1 sự biến thiên

Tìm các khoảng đơn điệu khảo sát chiều biến thiên của hàm số yf x ... Mệnh đề nào dưới đây đúng?.  Hàm số yf x  được gọi là nghịch biến giảm trên K nếu: Khi đó, đồ thị của hàm số

Tập xác định của hàm số y xn là:

 n là số nguyên dương  TXĐ: D 

 n là số nguyên âm hoặc số 0  TXĐ: D\ 0  n là số không nguyên  TXĐ: D0;Hàm số y xn với n có đạo hàm ,  xn n x.n1

 Tập xác định : D

 Tập giá trị: T0; do y ax  0 x   ax ax.lna, đặc biệt:  ex  ex

x a

 , đặc biệt:  ln x 1x   Đạo hàm hàm hợp: log 

u a

 , đặc biệt:  lnu uu

  và log  .lna

u a 

Tập xác định của hàm số 32yx  là

A 2; B  C ;2 D \ 2 

y x D y' 3x4 Đạo hàm của hàm số y10x là

A 10

B 10 ln10x C x.10x1 D 10x

(Đề minh họa 2022) Trên khoảng 0; , đạo hàm của hàm số  ylog2x là:

ln 2y

 2 

1 ln 2024xy

x 

C

 2 

11 ln 2024y

x 

x 

 .

_ _ _ _ _ _

Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) của hàm số yf x 

 Ta xét dấu của f x  bằng cách chọn một giá trị x bất kì nằm giữa hai nghiệm liên tiếp của 0 f x ,

sau đó tính f x 0 Dấu của f x 0 chính là dấu của cả khoảng đó

 Đối với hàm đa thức, dấu của f x  ở khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số a

 Qua nghiệm bội lẻ thì f x  đổi dấu, còn qua nghiệm bội chẵn thì f x  không đổi dấu (chẵn giữ nguyên, lẻ đổi dấu)

x a

   x

 Hàm số luôn nghịch biến trên 0;

Bước 1: Đưa máy tính về chế độ một hàm: qwR51 qwRR11 Bước 2: Sử dụng chức năng TABLE để khảo sát hàm số yf x  trên TXĐ của nó bằng cách:

 Bước 2.1: Ấn w7 w8

 Bước 2.2: Nhập hàm f x  vào máy tính  Bước 2.3: Nhập START a; END b; STEP

20b a

Ví dụ:  0;2: Ta nhập START 0; END 2; STEP 0,1

 ; : Ta nhập START 10; END 10; STEP 1 Bước 3: Quan sát bảng vừa nhận được:

 Nếu x tăng, f x  tăng  hàm số đồng biến trên khoảng  a b;

 Nếu x tăng, f x  giảm  hàm số nghịch biến trên khoảng  a b;

Đối chiếu với các đáp án và kết luận

(Mã 101 – 2022) Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1;.B  0;1 C 1; 0.D 0;

(Đề minh họa 2022) Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ?

A y   x3xB y   x4x2C y   x3xD 2

_ _

(Mã 101 – 2022) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên  ?

A y x4 x2B yx3 xC 1

3y x x

_ _

(Mã 105 - 2017) Cho hàm số y x42x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 B Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2 D Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1

_ _ _ _ _ _

Trong các hàm số sau đây hàm số nào nghịch biến trên tập xác định?

y     C y e xD y 12x

_ _

Giả sử hàm số yf x  xác định trên khoảng K

 Hàm số yf x  được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:

Khi đó, đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải

 Hàm số yf x  được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

Khi đó, đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải

 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K

[Mã 101 – 2021 Lần 1] Cho hàm số yf x  có đồ thị là đường cong hình bên Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A  0;1 B ;0

C 0;  D 1;1

Cho hai hàm số y ax,y bx với ,a b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là  C1 và  C2 như hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 0  a1b.B 0  b1a.

_ _

_ _

 y ax3bx2cx d TXĐ: D  Bước 1: Đạo hàm: y 3ax22bx c có  b23ac Bước 2: Tìm m để hàm số bậc ba đơn điệu trên  :

 Để hàm số bậc ba đồng biến trên  0, 00a

     

 Để hàm số bậc ba nghịch biến trên  0, 00a

     

 Chú ý: Nếu hệ số a chứa tham số m, ta xét thêm trường hợp a0 Khi đó, xét với từng giá trị

m xem hàm số đã cho có đơn điệu trên  hay không? Xét hàm số bậc bay ax3bx2cx d TXĐ: D 

cx d

cx d 



Bước 2: Tìm m để hàm số phân thức bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định:

 Để hàm số phân thức bậc nhất đồng biến trên từng khoảng xác định   y0ad bc 0 Để hàm số phân thức bậc nhất nghịch biến trên từng khoảng xác định   y0ad bc 0 Chú ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu " " xảy ra tại vị trí y

[Đề minh họa 2020 lần 2]Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số

Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số  1 1

  

_ _ _ _

Bước 1: Đạo hàm: yf x m ; 

Bước 2: Để hàm số yf x m ;  đơn điệu trên khoảng D cho trước:

 Để hàm số yf x m ;  đồng biến trên khoảng D  y  0 x D Để hàm số yf x m ;  nghịch biến trên khoảng D y  0 x DBước 3: Cô lập m sang một vế và đặt vế còn lại (vế chứa biến x) là g x :

Bước 4: Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số g x  trên D để tìm GTLN hoặc GTNN Cách 2: Sử dụng chức năng TABLE (w7 w8) để tìm GTLN hoặc GTNN của

hàm số g x  trên D Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn đề bài

cx d

cx d 

Bước 2: Tìm m để hàm số phân thức bậc nhất đơn điệu trên khoảng D cho trước:

 Để hàm số phân thức bậc nhất đồng biến trên khoảng D cho trước

 Chú ý: Ví dụ điều kiện để d

 

 

 

[Mã 101 – 2020 Lần 2] Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

[Mã 101 - 2020 Lần 1]Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 4x m

 đồng biến trên khoảng  ; 7 là

A 4;7 B 4;7 C  4;7 D 4; 

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

 

f x f u x     

Hàm số yf x  có đạo hàm f x  trên D nếu:

 Đồ thị hàm số f x  nằm phía trên trục Ox nên f x 0 Do đó: yf x  đồng biến trên D  Đồ thị hàm số f x  nằm phía dưới trụcOx nên f x 0 Do đó: yf x  nghịch biến trên D Ví dụ:

 Đồ thị hàm số yf x  nằm phía trên trục hoành trong các khoảng x x1;2 và x x3;4 Do đó: Hàm số yf x  đồng biến trên các khoảng x x1;2 và x x3;4

 Đồ thị yf x nằm phía dưới trục hoành trong các khoảng ; x1, x x2;3và x4; Do đó: Hàm số yf x  nghịch biến trên các khoảng ; x1, x x2;3 và x4;

Đặt g x f u x 

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x : g x u x f u x .   Bước 2: Giải phương trình g x 0 (chỉ lấy nghiệm bội lẻ) Bước 3: Lập bảng xét dấu hoặc bảng biến thiên của g x 

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu hoặc BBT kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x : g x u x f u x .   Bước 2:

 Hàm số g x  đồng biến g x 0  *  Hàm số g x  nghịch biến g x 0  *

Bước 3: Giải bất phương trình  *, từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho

[Mã 101 – 2021 Lần 2] Cho hàm số yf x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

_ _ _ _ _ _ _ _ _

Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  liên tục trên  và có bảng xét dấu như hình sau Hàm số g x f x 23x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 1

A  0;1 B   4; 2 C 1; 0 D   2; 1

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Cho hàm số f x Hàm số   y f x  có đồ thị như hình vẽ Hàm số   1 3 3

g xf x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1; 2. B 2;0.

C  0; 4 D  1;5

_ _

_ _ _ _ _

– 2

41

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Cho hàm số f x Hàm số   yf x  có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số g x f2x2x6x23x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1;04

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(Đề minh họa 2019) Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:  

Hàm số y3f x  2 x33x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A   ; 1  B 1; 0  C  0;2 D 1; .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Cho hàm số f x có bảng xét dấu của   f x như sau: ' 

 B  1;3 C 3;0 D   4; 3

_ _ _ _