bài tập lớn cơ sở hình học

Định nghĩa 1.2 Quan hệ toàn đẳng cho đoạn thẳng trên πF.. Mặt phẳng πF với quan hệ toàn đẳng giữa các đoạn thẳng định nghĩa ở 1.2 thỏa mãn các tiên đề C2-C3.. Lập luận tương tự trường hợ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN-TIN

BÀI TẬP LỚN

Môn: Cơ sở hình học

Giảng viên: GS.TSKH Đỗ Đức Thái

Hà Nội - 2023

Mục lục

1.1 Mặt phẳng Cartersian 3

1.2 Các quan hệ trên mặt phẳng πF 3

1.2.1 Quan hệ liên thuộc 3

1.2.2 Quan hệ ở giữa 3

1.2.3 Quan hệ toàn đẳng 4

2 Tính chất của mặt phẳngπF 8 2.1 Tiên đề Archimedean và tiên đề Dedekind trên mặt phẳng Hilbert 8

2.2 Định lí về các tính chất hình học của mặt phẳng πF 8

3 Điều kiện để độ dài đoạn thẳng trên mặt phẳng Hilbert là số thực 9 3.1 Đẳng cấu giữa hai mô hình hình học Hilbert 9

3.2 Định lý cơ bản của hình học Hilbert 10

4 Tam giác đồng dạng trong mặt phẳng Hilbert 11 4.1 Định nghĩa 11

4.2 Dấu hiệu đồng dạng của hai tam giác 11

4.3 Những tính chất của mặt phẳng Hilbert thoả mãn tiên đề (P ) được suy ra từ lí thuyết đồng dạng 12

4.3.1 Định lý Pythagoras 12

4.3.2 Định lý về tính chất phương tích của một điểm đối với đường tròn 13

4.3.3 Định lý Menelaus 13

1 Mặt phẳng Cartersian trên trường sắp thứ tự

1.1 Mặt phẳng Cartersian

Cho (F, P ) là trường sắp thứ tự ĐặtπF := F × F = {(a, b) | a, b ∈ F }

Ta sẽ xây dựng mô hình hình học trênπF Trước hết trênπF có các đối tượng cơ bản sau:

(i) Điểm là các cặp (a, b) với a ∈ F vàb ∈ F

(ii) Đường thẳng là tập hợp các điểm (x, y) thỏa mãnax + by + c = 0,

ở đó a, b, c ∈ F , a và b không đồng thời bằng0F

1.2 Các quan hệ trên mặt phẳng πF

1.2.1 Quan hệ liên thuộc

Trong mặt phẳng πF, ta nói điểmM (x0; y0)thuộc đường thẳngl : ax +

by + c = 0 nếu ax0+by0+ c = 0

Mệnh đề 1.1 Mặt phẳng πF với quan hệ liên thuộc trênπF định nghĩa như trên thỏa mãn các tiên đề (I1)-(I3) và tiên đề Playfair

1.2.2 Quan hệ ở giữa

Định nghĩa 1.1(Quan hệ ở giữa trên mặt phẳng πF)

(a) Giả sử A(a a1; 2), B(b b1; 2), C(c c1; 2) thuộc đường thẳng l : y = mx+

n Khi đó ta nói B nằm giữa A và C, ký hiệu A ∗ B ∗ C nếu

a1< b < c1 1hoặcc1< b < a1 1

(b) Giả sửA(a; b1), B(a; b2), C a, b( 3)thuộc đường thẳngl : x = a Khi

đó ta nóiBnằm giữa A và C, ký hiệuA ∗ B ∗ C nếu b1< b < b2 3

hoặcb3< b < b2 1

Mệnh đề 1.2 Mặt phẳng πF với quan hệ ở giữa định nghĩa ở 1.1 thỏa mãn các tiên đề (B1)-(B4)

1.2.3 Quan hệ toàn đẳng

Trước hết ta định nghĩa quan hệ toàn đẳng cho đoạn thẳng trongπF Định nghĩa 1.2 (Quan hệ toàn đẳng cho đoạn thẳng trên πF) Với hai điểm A(a1; b1) và B(a2; b2) trong πF, ta định nghĩa dist (2

A, B) = (a1−a2)2+ (b1−b2)2 Khi đó ta nói rằng đoạn thẳng AB toàn đẳng với

(A, B) = dist2

C, D)

Bổ đề 1.1 Trường (F, P ) là trường Pythagorean khi và chỉ khi với mọi

a, b ∈ F mà a = 0F hoặc b = 0Fthì tồn tại α ∈ P thỏa mãnα2= a2+ b2

Có thể chứng minh rằng phần tử α ∈ P như trên là duy nhất Khi

đó ta có thể ký hiệuα =√

a2+ b2

Nếu F là trường Pythagorean và A(a1, b , B1) (a2, b2) thuộc πF thì

a1−a2)2+ (b1− b22∈ F Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.3 Nếu F là trường Pythagorean thì AB ∼= CD khi và chỉ khidist(A, B) = dist(C, D)

Mệnh đề 1.4 Mặt phẳng πF với quan hệ toàn đẳng giữa các đoạn thẳng định nghĩa ở 1.2 thỏa mãn các tiên đề (C2)-(C3) Mặt phẳngπF thỏa mãn (C1) khi và chỉ khiF là trường Pythagorean

Chứng minh Không khó để kiểm tra các tiên đề (C2)-(C3) Ta sẽ chứng minh ý sau của mệnh đề

Giả sử πF thỏa mãn tiên đề (C1) Khi đó ta chứng minhF là trường Pythagorean

Với a ∈ F bất kỳ, lấyO(0F; 0F), A(a; 1F) Khi đó theo (C1) tồn tại B(b; 0F) ∈Ox sao cho OA ∼−→ = OB, tức làb2= 1 + a2 Khi đó√

1 +a2=

b ∈ F Vậy F là trường Pythagorean

Ngược lại, giả sửF là trường Pythagorean, ta chứng minhπF thỏa mãn tiên đề (C1) Xét đoạn thẳng AB với dist(A, B) = d và tia −→Crtrong

πF Xét các trường hợp sau:

TH1: Tia −→Crnằm trên đường thẳng l : y = mx + b và C(c; mc + b) Ta chứng minh cho trường hợp −→Cr = {(x, y) | y = mx+b, x > c}∪{C}, trường hợp −→Cr = {(x, y) | y = mx + b, x < c} ∪ {C} chứng minh tương tự

Xét điểmD(d; md + b) Khi đó

dist (2

+ (md − mc 2

= (d − c)2

(1 + m2

)

Chọn d = √ d

1 + m2+ c > c thì D ∈−→Crvà dist(C, D) = d Do đó (C1) đúng trong trường hợp này

TH2: Tia −→Crnằm trên đường thẳng l : x = c Lập luận tương tự trường hợp đầu, ta cũng có (C1) đúng trong trường hợp này

Bây giờ ta định nghĩa quan hệ toàn đẳng cho góc trên mặt phẳngπF

Ta xét phần tử hình thức ∞F ∈ F Quy ước:/

(i) a.b−1=a

b, ∀a, b ∈ F ; b = 0 F

(ii) ∀m ∈ F, m = 0 F: ∞F− m

1 + m.∞F

−1

Định nghĩa 1.3 (Hệ số góc của đường thẳng) Giả sử l là đường thẳng trênπF

(i) Nếu l ∥ Oy hoặc l ≡ Oy thì hệ số góc (slope) của l là∞F (ii) Nếu l có phương trình lày = ax + bthì hệ số góc củallà a Định nghĩa 1.4 (Hai tia vuông góc) Giả sử r, r′ là hai tia trên mặt phẳngπF

(i) Nếu r ∥ Oy: Ta nói r′⊥ r nếur′∥ Ox

(ii) Nếu r ∥ Ox: Ta nói r′⊥ r nếur′∥ Oy

(iii) Nếu r ∦ Oy và r ∦ Ox thì ta nóir′⊥ r nếu tích hai hệ số góc của

r, r′là−1F

Bổ đề 1.2 Cho tia −→Artrong mặt phẳngπF, khi đó, tồn tại hai tia−−→Ar

1

và −−→Ar2sao cho −−→Ar1⊥−Ar→và −−→Ar2⊥−Ar.→

Chứng minh Giả sửA(xA; yA) Ta xét các trường hợp sau:

TH1: Tia −→Arcó hệ số góc là m (m ≡ 0F)

Đặt

−−→

Ar1= {(x, y) ∈ π|x = xA+tm; y = yA− ; t ∈ P ∪ A}t

−−→

Ar2= {(x, y) ∈ π|x = xA+tm; y = yA− ; (− ) ∈ P ∪ }t t A Khi đó −−→Ar1⊥−Ar→ và −−→Ar2⊥−Ar.→

TH2: −Ar ∥ Oy.→

Đặt −−→Ar1 = {(x, y) ∈ π|x ≥ xA; y = yA},−−→Ar2 = {(x, y) ∈ π|x ≤

xA; y = yA}

TH3: −Ar ∥ Ox.→

Đặt −−→Ar1 = {(x, y) ∈ π|x = xA; y ≥ yA},Ar−−→2 = {(x, y) ∈ π|x =

xA; y ≤ yA}

Vậy trong mọi trường hợp đều tồn tại hai tia −−→Ar1và −−→Ar2sao cho −−→Ar1⊥−Ar→

và −−→Ar2⊥Ar.−→

Từ đó ta có thể định nghĩa được góc vuông, góc nhọn và góc tù trong

πF

Định nghĩa 1.5 Giả sử α là góc tạo bởi hai tia −→Ar và−→

Ar′ Khi đó (i) Góc α được gọi là góc vuông nếu −Ar→⊥−→Ar′

(ii) Góc α được gọi là góc nhọn nếu tồn tại tia −As→vuông góc với tia −Ar→ sao cho tia −→Ar′nằm trong phần trong của góc dsAr

(iii) Góc α là góc tù nếu gócα khác góc vuông và tia−→

Ar′không nằm trong phần trong của [r1Ar và [r Ar2 , ở đó −−→Ar1 và −−→Ar2 là hai tia vuông góc với −Ar.→

Định nghĩa 1.6 Cho (F, P ) là trường sắp thứ tự Với a ∈ F, ta định nghĩa

|a| =







anếu a ∈ P,

0F nếu a = 0F,

−a nếu (−a) ∈ P

Định nghĩa 1.7 (tang của góc giữa hai tia trên πF) Giả sử α là góc tạo bởi 2 tia −Ar,→ −→

Ar′trên πF

(i) Nếu hai tia −Ar,→ −→

Ar′nằm trên 2 đường thẳng có hệ số góc là m, m′

thì ta định nghĩa

tanα=













1 + mmm′−m′





 nếu α là góc nhọn;

−

1 + mmm′−m′





 nếu α là góc tù;

(ii) Nếu −Ar→∥ Oy,−→Ar′∥ Oy thì ta định nghĩa tan α = 0F

(iii) Nếu −Ar→∥ Oy,−→Ar′∥ Oy thì ta định nghĩa

tanα=













m1





 nếu α là góc nhọn;

−

m1 nếu α là góc tù;

∞F nếu α là góc vuông

Với định nghĩatancủa góc tạo bởi hai tia trênπF như trên, ta có thể định nghĩa quan hệ toàn đẳng cho góc trênπF

Định nghĩa 1.8 Cho hai góc α, α′trong πF Khi đó ta nóiαtoàn đẳng với α′nếu tan α = tan α′, ở đó tanα,tanα′là phần tử thuộcF ∪ {∞F} Mệnh đề 1.5 Mặt phẳngπF với quan hệ toàn đẳng cho góc định nghĩa như trên thỏa mãn các tiên đề (C4)-(C5) Mặt phẳngπF thỏa mãn tiên

đề (C6) khi và chỉ khi(F, P )là trường sắp thứ tự Pythagorean

Từ Mệnh đề 1.4 và Mệnh đề 1.5 ta có hệ quả quan trọng sau đây

Hệ quả 1.1 Nếu (F, P ) là trường sắp thứ tự Pythagorean thìπF là mặt phẳng Hilbert thỏa mãn tiên đề Playfair

2 Tính chất của mặt phẳng πF

2.1 Tiên đề Archimedean và tiên đề Dedekind trên mặt phẳng Hilbert

Giả sửP là mặt phẳng Hilbert

Định nghĩa 2.1 (Tiên đề Archimedean (A)) Cho 2 đoạn thẳng AB, CD trên P Khi đó, tồn tạin ∈ N∗sao cho

nAB := AB + AB + | {z +AB} > CD

n lần

Định nghĩa 2.2 (Tiên đề Dedekind (D)) Giả sử các điểm ở trên một đường thẳng l được chia thành hai tập hợp S và T khác rỗng sao cho không có điểm nào thuộcS nằm giữa hai điểm thuộcT và không có hai điểm nào thuộc T nằm giữa hai điểm thuộc Khi đó tồn tại điểmS P sao cho với mọiA ∈ S và với mọiB ∈ T ta có A ≡ P hoặc B ≡ P hoặc

A ∗ P ∗ B

Mệnh đề 2.1 Giả sử (F, P ) là trường sắp thứ tự Khi đó

(i) Mặt phẳng πF thỏa mãn tiên đề (A) khi và chỉ khi trường F thỏa mãn tiên đề (A)

(ii) Mặt phẳngπF thỏa mãn tiên đề (D) khi và chỉ khi trườngF thỏa mãn tiên đề (D)

2.2 Định lí về các tính chất hình học của mặt phẳng

πF

Định lý 2.1 Giả sử (F ,P) là trường sắp thứ tự Xét mặt phẳngπF với các quan hệ( )I , (B , (C)) như đã xây dựng Khi đó

(i) πF thỏa mãn (I1−I3), B( 1−B4) và tiên đề( )P

(ii) πF thỏa mãn (C1) khi và chỉ khiF là trường Pythagorean (iii) πF thỏa mãn (C6) khi và chỉ khiF là trường Pythagorean

(iv) πF thỏa mãn tiên đề(E)khi và chỉ khiF là trường Euclidean (v) πF thỏa mãn (A) khi và chỉ khiF là trường thỏa mãn tiên đề(A)

Hệ quả 2.1 Cho (F, P ) là trường sắp thứ tự Khi đó

(i) πF là mặt phẳng Hilbert thỏa mãn tiên đề ( ) khi và chỉ khiP F là trường Pythagorean

(ii) πF là mặt phẳng Euclidean khi và chỉ khiF là trường Euclidean

3 Điều kiện để độ dài đoạn thẳng trên mặt phẳng Hilbert là số thực

3.1 Đẳng cấu giữa hai mô hình hình học Hilbert

Định nghĩa 3.1 Giả sử P và P′là hai mặt phẳng Hilbert

Giả sử φ : P −→ P′là một song ánh Ánh xạφđược gọi là một đẳng cấu giữa mô hình P vàP′nếu

(a) Với mọi L ⊂ P, L là đường thẳng trongP khi và chỉ khi φ(L)là đường thẳng trongP′

(b) Với ba điểm A, B, C ∈ P, A ∗ B ∗ C trong P khi và chỉ khi φ A( ) ∗ φ(B) ∗ φ(C) trongP′

(c) Với mọi A, B, C, D ∈ P mà A = B; C = D thì AB ∼ = CD trongP khi

và chỉ khi φ(A)φ B) ∼( = φ(C)φ D) trong( P′

(d) Giả sử α là góc tạo bởi hai tia −→ABvà −→AC trong ;P

Giả sử φ(α) là góc tạo bởi hai tia −−−−−−−→φ A( )φ(B),−−−−−−→

φ(A) (C) trongφ P′; Giả sử α′là góc tạo bởi hai tia −−→A′B′và −−→A′C′trong ;P

Giả sửφ(α′)là góc tạo bởi hai tia −−−−−−−→

φ A( ′)φ(B′), −−−−−−−→

φ A( ′)φ(C′) trong

P′;

Khi đó α ∼= α′(trong P) khi và chỉ khi φ(α) ∼= φ(α′) (trongP′) Nhận xét Từ a) và b) suy ra ánh xạφbiến tia thành tia

3.2 Định lý cơ bản của hình học Hilbert

Định lý 3.1 (Định lý cơ bản của hình học Hilbert) Giả sử P là mặt phẳng Hilbert thỏa mãn tiên đề( )P

Gọi F là trường sắp thứ tự các độ dài đoạn thẳng trong , khi đóP (a) F là trường Pythagorean, và do đó,πF là mặt phẳng Hilbert thỏa mãn(P )

(b) P đẳng cấu vớiπF

Hệ quả 3.1 Giả sử P là mặt phẳng Hilbert thỏa mãn tiên đề (P )và tiên đề (D) Khi đó trường sắp thứ tựF các độ dài đoạn thẳng trongP đẳng cấu với Hay nói cách khác, nếu mặt phẳng HilbertR P thỏa mãn tiên đề(P )và tiên đề(D)thì các độ dài đoạn thẳng trongP là số thực

Để chứng minh hệ quả trên, trước hết ta cần một bổ đề

Bổ đề 3.2 (i) Nếu trường sắp thứ tự(F, P )thỏa mãn tiên đề(D)thì cũng thỏa mãn tiên đề(A)

(ii) Nếu trường sắp thứ tự Pythagorean(F, P )thỏa mãn tiên đề (D) và tiên đề (A) thì (F, P ) ∼= (R, R+)

Chứng minh Do P đẳng cấu với πF, mà P thỏa mãn tiên đề (D)nên

πF thỏa mãn (D) Suy ra trường sắp thứ tự F thỏa mãn (D) Theo Bổ

đề 3.2, từ F thỏa mãn tiên đề(D)ta cóF cũng thỏa mãn tiên đề( )A Mặt khác, doPlà mặt phẳng Hilbert thỏa mãn tiên đề (P) nên theo Định lý 3.1, ta cóFlà trường Pythagorean

Từ đó, cũng do Bổ đề 3.2 ta suy ra (F, P ) ∼= (R R, +)

4 Tam giác đồng dạng trong mặt phẳng Hilbert

4.1 Định nghĩa

Định nghĩa 4.1 Cho △ABC và △A′B′C′trong mặt phẳng P Ta nói rằng△ABC ∼ △A′B′C nếu







b

A ∼= bA′; bB ∼= bB′; bC ∼= bC′;

a.a′−1=b.b′−1=c.c′−1hay có thể viết a

a′= b

b′ = c

c′

4.2 Dấu hiệu đồng dạng của hai tam giác

Định lý 4.1 Cho tam giácABC và tam giácA′B′C′trong mặt phẳng P

(a) (SIM AAA) Nếu △ABC và △A′B′C′có ba cặp góc tương ứng lần lượt bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng

(b) (SIM SSS) Nếu △ABC và △A′B′C′có ba cặp cạnh tương ứng tỉ

lệ với nhau thì hai tam giác đó đồng dạng

(c) (SIM SAS) Nếu △ABC và △A′B′C′có hai góc A và A′bằng nhau, hai cạnh AB, AC tỉ lệ với hai cạnhA′B′, A′C′thì hai tam giác đó đồng dạng

4.3 Những tính chất của mặt phẳng Hilbert thoả mãn tiên đề (P ) được suy ra từ lí thuyết đồng dạng

4.3.1 Định lý Pythagoras

Định lý 4.2 Nếu tam giác ABC vuông tạiAcó hai cạnh góc vuôngb, c

và cạnh huyền là a thìa2= b2+ c2

Hệ quả 4.1 Trường sắp thứ tự F các độ dài đoạn thẳng trongP là trường Pythagorean

4.3.2 Định lý về tính chất phương tích của một điểm đối với đường tròn

Định lý 4.3 Cho A là một điểm nằm ngoài đường tròn, đường thẳng

AB tiếp xúc với đường tròn tạiB và đường thẳngACD cắt đường tròn tại C và D, khi đóAB2=AC.AD

4.3.3 Định lý Menelaus

Định lý 4.4 Cho tam giác ABC bất kì và đường thẳng cắt các đườngl thẳng chứa các cạnh của tam giác tại các điểmD, E, F Khi đó

AD

BD·BFCF ·CE

AE = 1.