lý thuyết chia và đồng dư

PHÉP CHIA HẾT VÀ CÓ DƯ... Phép chia hếtĐịnh nghĩa:Xét a,b Z vàb 0b chia hết a b là ước của ahaya chia hết cho b a là bội của bkhi và chỉ khitồn tạiq Zsao cho:a = bq... Ước chung lớn nhất

Trang 1

Khoa Công nghệ thông tin và truyền thông Bộ môn Khoa học máy tính

LÝ THUYẾT CHIA VÀ ĐỒNG DƯ

Trang 2

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

Trang 4

Trang 5

PHÉP CHIA HẾT VÀ CÓ DƯ

Trang 6

Trang 7

Phép chia hết

Định nghĩa:

Xét a,b Z vàb 0

b chia hết a (b là ước của a)hay

a chia hết cho b (a là bội của b)khi và chỉ khitồn tạiq Zsao cho:a = bq

Trang 8

Trang 10

Trang 11

5.( a 0, b0, a|b và b|a) khi và chỉ khi a = b

6.Nếu b|a thì b|ax

9.Nếu c|a và c|b thì c|(ax+by)

Trang 12

Trang 14

Trang 15

UCLN VÀ BCNN

Trang 16

Trang 17

Ước chung lớn nhất (UCLN)

a1,a ,…,a2nlà các số nguyên không đồng thời bằng 0 Số nguyênd Zđược gọi làước chungcủa các ai (i=1,2, ,n) khi và chỉ khid là ước của mỗi ai(d|a )i

Ước chung dcủa các ai(i=1,2, ,n) được gọi làUCLN

của các a nếu và chỉ nếuid là bội của mọi ước chung

Trang 18

Trang 19

Trang 20

Trang 21

Số nguyên tố cùng nhau:UCLN của các ai(i=1,2, ,n) bằng 1thì cácaiđược gọi lànguyên tố cùng nhau

Số nguyên tố sánh đôi:Hai số bất kỳ trong các số a1,a ,…,a2nlà nguyên tố cùng nhau,thìcác số a1,a ,…,a2nđược gọi lànguyên tố sánh đôi

Nếu a1,a ,…,a2nlà nguyên tố sánh đôi thì a1,a ,…,a là2n

Trang 22

Trang 23

Các tính chất của UCLN

1.Nếu (a1,a ,…,a2n) = d thì tồn tại các số nguyên x1,x2,…,xnsao cho: a1 1x+ a2x2+ + an nx= d

2.Nếu m là số nguyên dương thì (ma ,ma , ,ma12n) = m(a1 2,a , ,a )n

3.Nếu d > 0 là UC của a1,a , ,a thì2n

Trang 24

Trang 25

Các tính chất của UCLN

4.Nếu d>0 là UC của a1,a ,…,a2nthì d là UCLN của a1,a ,…,a2nkhi và chỉ khi

5.Nếu b>0 là ước của a thì (a,b) = b, đặc biệt (0,b) = b

6.Nếu c|ab và (a,c)=1 thì c | b

7.Nếu b|a và c|a và (b,c) = 1 thì bc | a

8.Nếu (a,b)=1 thì (ac,b) = (c,b)

Trang 26

Trang 27

Định lý:

Nếua và b là hai số nguyên dương

Vàa = bq + rvới 0r < b thì:(a,b) = (b,r)

Thuật toán Euclid tìm UCLN:

Thực hiện phép chia có dư a cho b, Nếua chia hết cho bthì(a,b) = b

Nếua không chia hết cho b a = bq + r, thì(a,b) = (b,r)

Thực hiện phép chia có dư b cho r .

Quá trình thực hiện sẽ dừng sau một số hữu hạn bước

Ví dụ:

Trang 28

Trang 29

Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

a1, a2, …,anlà các số nguyên khác 0

Số nguyênMđược gọi làbội chungcủa cácai

(i=1,2, ,n) khi và chỉkhi M là bội của mỗi ai

Bội chung M của các ai(i=1,2, ,n) được gọi làbội chung nhỏ nhất(BCNN) của cácainếu và chỉ nếuM là ước của mọi bội chung của các ai

Ký hiệu:M = [ a1,a ,…,a ]2n

Quy ước:BCNN là một số nguyên dương

Ví dụ:

[2,3,4] = 12

Trang 30

Trang 31

Luôn luôn tồn tại BCNN của các số nguyên kháckhông a1, a2, ,ancho trước

Trang 32

Trang 34

Trang 36

Trang 37

Các tính chất của BCNN

a1, a2, ,anlà các số nguyên khác 0

1.Nếu số nguyênM>0 là bội chung của a1, a2, ,anthì:

M = [a1, a2, ,an]khi và chỉ khi

Trang 38

Trang 39

SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ

Trang 40

Trang 41

Số nguyên tố (SNT)

Số nguyên p>1được gọi làsố nguyên tốnếup không có ước số dương nào khác ngoài 1 và chính nó.

Haysố nguyên p>1được gọi làsố nguyên tốnếup chỉ có hai ước số dương là 1 và p

2,3,5,7, là các số nguyên tố

Trang 42

Trang 44

Trang 46

Trang 48

Trang 49

Bảng số nguyên tố

trên một đoạn

không vượt quá

lập bảng các số nguyên tố không vượt quá một số n>1 cho trước,

Trang 50

Trang 52

Trang 54

Trang 55

Định lý cơ bản của số học

Bổ đề:

Nếup là số nguyên tố, a là số nguyên0thì Hoặcp là ước của a: p|a

Hoặcp và a là nguyên tố cùng nhau: (a,p) = 1 Nếumột tích các số nguyên chia hết cho số nguyên

tố pthìphải có ít nhất một thừa số của tích đó chia hết cho p

Hệ quả:Nếutích các số nguyên tố chia hết cho sốnguyên tố pthìp phải trùng với một trong các thừa sốcủa tích đó

Trang 56

Trang 57

Định lý cơ bản của số học

Mỗisố nguyên a>1đều có thểphân tích thành tích của các thừa số nguyên tốvà sự phân tích đó làduy nhấtnếu không kể đến thứ tự các thừa số

8 = 2.2.2 18 = 2.3.3

Dạng phân tích tiêu chuẩn

Những thừa số nguyên tố khi phân tích số nguyên a>1 có thể trùng nhau

Gọi p1, p2, ,pn là các thừa số nguyên tố khác nhau từng đôimột vài (i=1,2, ,n) là số lần xuất hiện của chúng thìdạngphân tích tiêu chuẩn của a:

Trang 58

Trang 60

Trang 61

Một số vấn đề về SNT

Giả thiết Goldbach-Euler

1)-Có phải chăng mọi số nguyên lẻ lớn hơn 5 đều được biểu diễn thành tổng của 3 số nguyên tố?

25 = 3+11+11 = 7+7+11

2)-Có phải chăng mọi số chẵn lớn hơn 2 đều được biểu diễn thành tổng của 2 số nguyên tố?

34 = 5+29 = 3+31

Trang 62

Trang 63

PHƯƠNG TRÌNH NGUYÊN

Trang 64

Trang 66

Trang 68

Trang 69

PT nguyên bậc nhất 2 ẩn

Định lý:Tìm nghiệmcủa phương trìnhax + by = c(1) d = (a,b).

Khi đó:

Nếud không là ước của cthì(1) không có nghiệm nguyên

Nếud là ước của cthì(1) có vô số nghiệm nguyên Khi

(x0,y )0là mộtnghiệm nguyênnào đó của (1) thìmọinghiệm nguyên (x, y) của (1)có dạng:

Trang 70

Trang 72

Trang 74

Trang 76

Trang 78

Trang 79

PT nguyên bậc nhất 2 ẩn

Giải trực tiếp phương trình nguyênax +by = c(1)Ví dụ:Giải phương trình: 47x - 17y = 5

Trang 80

Trang 81

Một phương trình nguyên bậc nhất n ẩn có nghiệm nguyênkhi và chỉ khihệ số của các ẩn là nguyên tố cùng nhau

Giải phương trình nguyên bậc nhất n ẩn rất phức tạp Xét ví dụ cụ thể

Trang 82

Trang 84

Trang 86

Trang 88

Trang 90

Trang 92

Trang 94

Trang 96

Trang 98

Trang 100

Trang 102

Trang 104

Trang 106

Trang 108

Trang 110

Trang 112

Trang 114

Trang 116

Trang 118

Trang 120

Trang 122

Trang 124

Trang 126

Trang 128

Trang 130

Trang 132

Trang 134

Trang 136

Trang 138

Trang 140

Trang 142

Trang 144

Trang 146

Trang 148

Trang 150

Trang 152

Trang 154

Trang 156

Trang 158

Trang 160

Trang 162

Trang 164

Trang 166

Trang 168

Trang 170