MỤC L ỤC
Chương2.ĐẠI SỐMATRẬN 2VÍDỤMỞĐẦ 2U 2.1CÁCPHÉPTOÁNMATRẬ 3N 2.2.NGHỊCHĐẢ CỦAMATRẬ 8O N 2.3.ĐẶCTRƯNGCỦACÁCMATRẬ KHẢNGHỊCH 13N 2.4.CÁCMATRẬ KHỐIN 152.5.NHÂNTỬHÓAMATRẬ 19N 2.8.KHÔNGGIANCONCỦAn 252.9.CHIỀUVÀ ẠNG 40H
Trang 2Chương2. ĐẠISỐMATRẬN
VÍDỤMỞĐẦU
Mô hìnhMáytínhtrongThiết ếMáybay k
Đểthiếtkế ếth hệmáybaythương mại vàquân sựkếtiếp,các kỹsưt i ạ Boing’sPhantomWork sử dụng môhình 3D và tính toán động lực chấ ỏng (CFD). ọ nghiên cứu dòngt l Hkhôngkhíquanhmộ máybayảođểtrả ờt l icho nh ngcâuh ivềthiếtkếquantr ngtrước ữ ỏ ọ khit oạ nhữngmôhìnhvậ lý.Điềunàyđãt giảmđáng ểsốchutrìnhthiế ếvàgiáthành–k t k
vàđạisốtuyế tínhđóngn vai trò quan tr ng trong tiếntrình này. ọ
Máybayảolúcđầunhưmộtmô hình toán“khung dây” mà chỉt nt i ồ ạ trong bộnhớmáy tínhvàthiếtbịđầucuố hiể thịđồ ọ (Mộ môhìnhBoingi n h a t 777đãchỉranhưvậy.)Môhìnhtoánhọcnàysắ ế vàtácđộng p x p tới mỗibướcthiết k ếvàchế ạ máybaycảtrong ẫ t o l nngoài.PhântíchCFDquantâm ớ t i bềmặ tbênngoài.
Mặcdùbềngoàilớ vỏcủ máybaykhip a hoànthànhtrôngcóvẻtrơ tru,tuynhiêncấuntrúcbề mặtlàkháphứctạp.Bên ạnhcánhvàthânmáyc bay, một máy bay còn cóvỏ, bộ
phậngiữthăngbằng,bộ ậnđiph ều ướng,…Cáchh màkhôngkhí ịchchuyể xungd n quanhcácbộphậnnàyquyếtđịnhcách mà máy bay di chuyển trên bầ utr i Các phương trình môờ
tảsự ịchchuyể này làd n ấ phức ạp,và ọphả tínhtoánđếnđầuvào vàr t t h i đầuracủ độngacơ,vành ngữ vệtcònl iạ docánhcủamáybay.Đểnghiêncứu luồng khí, các kỹsưcầ nmộtmô ảt cả itiến pcấ caocủ bềmặ máybay.a t
M tộ máytính ạ mộ môhìnhbềmặ bằngcáchthêm ướ bachiềucủ các ộ trongt o ra t t l i a h pmôhình nguyên th y.ủ Cáchộptrong ướinàyhoặchoàntoàn ằmtronghoặcl n ngoàimáybay,hoặcchúnggiaovớibềmặtcủamáybay.Máytính ự chọ cáckhố giao ớibềm tl a n i v ặ vàchianhỏchúng,chỉgiữl iạ những ộ ỏh nh pnh ơ màvẫ còngiaovớ bềmặt.Quátrìnhn i chianhỏnàyđượcl p l iặ ạ chođến khilướ i là cựcm n M tị ộ l iđiểnướ hình có thểchứa trên 400,000 hộp.
Quátrìnhtìmluồngkhíquanhmáybay bao ồmviệcgiả ặ đi l p lg i l p ặ ạicác ệphươngh
trìnhtuyếntính xA =bmà có thểliên quanđến haitriệuphươ trìnhvàbiế số Véctơbng n thayđổimỗ ần,và ự vào ữliệucủ ướ vànghiệmcủ cácphươngtrìnhtrướcđó.Sửi l d a d a l i a
dụngmộ máytínhnhanhnhấ ngoàithịtrường,mộtnhómcủ FantomWorkscóth dànht t a ể
từmộ vàigiờđế mộ vàingàyđểthiếtt n t lập và giải quyết mộ ấtv nđềvềlu ng khí.Sau khiồ nhómnàyphântíchcácgiảipháp,họcó ểcóth mộtsốđiều ỉnh nhch ỏtớibềmặtcủamáybaytoànbộquátrìnhmộ ầ t l n nữa.Cóthểcầnđến hàngngàn lần chạ y CFD.
Chương này trìnhbàyhaikháiniệmquantrọ hng ỗtrợviệctìmnghiệm ủ ữ hệc anh ngphươngtrìnhđồsộ ưvậy:nh
Khốimatr n:M thệCFDđi nậ ộ ể hìnhcómatrậ ệsố“thư vớ ầu ế cácphầ ửn h a” i h h t n tkhông.Nhómcácbiế mộ cáchchínhxác ẫ ớ mộ matrậnkhố vớ nhiềukhốin t d n t i t i ikhông.Mục giớ thiệunhữngmatrậ nhưvậ vàmô ảcácứng ụngcủ chúng.2.4 i n y t d a
Nhântửhóamatrận:Th mchíkhiđượcviếtậ vớ nhữngmatrậnkhối, ệcácphươngi htrìnhnàylàrấtphứctạ Đểđơnp giả ơn ữ cáctínhtoán,phầ m mn h n a n ề CFDcủ aBoingsửdụngcáig iọ lànhân ửhóaLUcủ ma ật a trnhệs Mục2.5 ảoluậnvềLUố th
và vi ệcnhântửhóacácmatrậ hữun íchkhác.Chitiếthơnvềnhântửhóaxuấ hiệ ởt n
mộtsố ụcsauđó.m
Trang 3Đểphântích nghiệm của một hệluồng khí, các kỹsưmuốnhình dung ra luồng khí trên bề mặt máy bay. ọsử dụng đồH họa máytính và đại sốtuyế tính để cung cấpnphươngtiệnchođồhọa.Mẫukhungdâycủabềmặtmáybayđược ưutrữnhưlàl dữ ệ li utrongnhiềumatrận.Mộtkhimộ hìnhảnhđượcxuấtramànt hìnhmáytính,cáckỹsưcóthểthayđổiquymôcủanó, phóng to ơcjthunhh ỏcácvùng ỏ,vàxoaynhữnghìnhnhảnhđểxemcácphần mà có thểbịchekhuất Mỗi thao tác nàyđược hoàn thành bởiviệ cnhâncácmatrậnthíchhợp.Mục2.7giả ithíchcácýtưởngcơbả n
Khả năngphân tích và giải các phương trình của chúng tôi sẽ đượ nângc cao khichúngtôithựchiệncácbiế đổiđạin sốcácmatrận. ơ ữa,cácđịnhnghĩavàđịnhlýH n ntrongchương này cungcấpmộtsốcông ụcơbảnđểc giảiquyếtnhi u ngdụngcủađạiề ứsốtuyếntínhbaogồmhai hay nhiềumatrận.V iớ nh ngữ matrậnvuông,Định lý Ma trậnnghịchđảotrong mục 2.3 kết nối hầuhết các khái niệm ãđượctrìnhbàytrướcđó.Mụ đ c2.4và2.5kiểmtracácmatrận ốikh vàviệcnhân ửhóamat trận,màxuấ hiệ tronghầut n
h tế cáccáchdunghiệ đạicủađạin sốtuyế tính.Mục2.6n và2.7mô ảt haiứngdụ củang
đạisốmatrận, cho tới kinhtếhọc và đồhọamáy tính.
2.1CÁCPHÉPTOÁNMATRẬN
Nếu Alàmộtmatrậncỡm´n,ngh làĩa mộtmatrậnvớ mhàngvàncột,khiđóphần tửởi
hàng ivàc t c ộ j ủaAđượckýhiệubởi a ijvàđượckýhiệu là phần tử( , ) i j củaA.Chẳng hạn,phần tử(3,2)làsốa32ởhàngba, cộ thai.Mỗi c t của ộ A làmột dãy msốthực màcó thểđồng nhấtvớ mộ véctơtrongi t m.Thôngthường,nhữngcộtnàyđượckýhiệubởia a1, 2¼,anvàmatrậnAđượcviế làt
Sốhọcvềvéctơđãđượcmôt tả ừtrướ cósựmởrộngc tựnhiênchocácmatrậ Tanóin haima trận là bằng nhau ếu chúng có cùng cỡ (nghĩa làn có cùng sốhàng và sốcộ các cộtt)tươngứngcủachúnglàbằ nhau, ặcng ho nóimộtcáchkháccácphầ ử ủachúnglàbằ n t c ngnhau.NếuA Blàcácmatrậncỡvà m´n ,thìtổngA B+ làmatrận cỡ m´nmàcáccộtc aủ
nólàtổngcủacác ộ ươ ứngc t t ng của AvàB.Từ ệ ộ cácvéctơcộtđượcvi c cng thự hiệntheoc
Trang 4từngphầ ử,mỗ phầ ửcủaA Bn t i n t + làtổng tươngứng củacácphần t ử ủaAvàB.Tổ c ng
A+Bđượcđịnhnghĩachỉkhi A và B có cùng cỡ.
Khiđó
nhưngA C+ khôngthểxácđịnhđược vì chúng không có cùng cỡ.
Nếurlàm t ộ vôhướngvàAlàm t ộ matrận,thìphépnhânvôhướngrAlàmatrậncó các cộtlà tích của rvới các ột tương ứngc của A. Cũ nhưvéctơ, Ang - được dùng cho( 1)A- , và
A-Bchính là A+ -( 1)B.
ĐỊNHLÝ 1Cho A, B vàC là cácma trận cùng cỡ, r và s là các vô hướng.Khiđó
Trang 5baonhiêunếuchúng ồ ại?t n t
GIẢITừA có 5c tộ vàBcó 5hàng, tích của ABlà t ntạivàlàmộtmatrậncỡ3 2 ồ ´ :
TíchBAkhôngt n t iồ ạ vìhaicộ của t Bkhông ươngthíchvớ 3t i hàngcủ A.a
ĐịnhnghĩacủaABlàquatrọ chotínhtoánlýthuyếtvàứngdụng,tuynhiênquyng
tắcsauđâychomộ phươngt thức ệuquảchoviệctínhtoáncácphầ tửriêng ẻcủahi n l ABkhilàmviệcnh ngữ vấnđề ỏbằ tay.nh ng
Xemxétcácphần tửliênquansẽchota th ấyvìsaohaiphươngpháptínhtíchmatrậnchocùngmộtkếtquả.
Trang 6ĐỊNHLÝ2GiảsửAlàmột matrậncỡ m´n ,BvàClàcácmatrậncócỡsaochocácphép
toáncộngvànhânđượ chỉralàthự hiệnđược.c c
Tínhtrái‐phảitrongphépnhânlàbắ buộcvìt ABvàBAkhôngluôngiốngnhau.Điềunàykhôngcógì llà ạvìchúngtabiế rằngcáccộ củaAB cáct t là t hổ ợptuyế tínhcủan cácc cột ủa
A,trongkhiđó,cáccột ủac BAlạiđượct oạ thànhtừcác ột cc ủaB. ịtrí ủaV c cácthừ sốa
trongtíchABđượcnhấn mạnhbở tagọ Alàđượcnhânphảii i bở B,còn i Blàđượcnhântrái
bởiA.NếuAB=BAthì ta nóiA và B là giao hoán với nhau.
Trang 82.2.NGHỊCHĐẢOCỦAMATRẬN
Một ma trận cỡn´n A được gọi là khảnghịch ếu ồ ạ ma trận C sao choCA In t n t i = và
AC =IvớiI=I nlàmatrậnđơnvịcấpn.Trongtrường ợpnàyClàmộ nghịchđảocủ h t a
A. Thực tế, được xác địnhC duynhất bởi A, vì ếu B là mộ nghịch đảo khác của A thìn t
Giátrịad bc- đượcgọi là nh đị thứccủa ma trận A,và taviết det( ) A=ad-bc.Định
lý4chỉrarằng Akhảnghịchnếuvà ỉnếu det( )ch A¹0.
độngtạicácđiểm 1, 2, 3 nhưhình vẽ Gọi ftrong 3làtập tất cảcác lực tạinhữngđiểm này,
Trang 9Bâygiờ,tabiểudiễne1nhưlàmộtvéctơuố Khiđón 1
D-baogồm cáclực sinh rasựuốn. Ngh là,ĩa cộtđầutiêncủa 1
D-baogồmcác lựcđược tácđộng tại bađiểmđểsinhramộtđơnvịuốn t i ạ điểm1vàđộuốnbằng không tạicác iểm đ khác Tương tự ư nh vậy,cột 2 và3của 1
D-baogồm những lực cầnđếnđểtạo ra mộtđơn vịuố tn ươngứng ạ đ ểm2và3.Tạ mỗ t i i i i
cột,mộthoặ hailự phảitráidấu(hướnglêntrên)đểc c tạo ra mộtđơnvịuốn tại iểmtương đứngvàđộuốnbằng không tạihai i đểmcòn ại.Nếuđộl uốn ođược, chđ ẳnghạ bằninchen,trênpound,thìcácphần t ửcủamatrậ cn ứngđượ đobằngpoundc trêninche.
2 NếuA, Blàcácmatrậncỡn´nkhảnghịchthìABcũng khảnghịch, vànghịchđảo
củaABlà tích ủa nghịch đảoc của A và B theo thứ ự ngượct lại, nghĩ a là
Trang 10HãytínhE A E A E Avà1 , 2 , 3 mô tảlàm thếnào mà các tích này lại cóthểnhậnđượcbằngcác phépbiếnđổ sơci ấphàng ơbả trênA.c n
GIẢITathấy rằng
Cộng 4- lầnhàng 1 củaA vàohàng 3 choma trận E A(đây 1 là một toán tửthaythếhàng). Đổichỗhàng 1 và hàng 2 cho ta E A2 ,vànhânhàng3củaAvới5tađược E A.3
Phépnhântráibởimatrậ nE1trong Ví dụ5 có tác dụng tương tựtrên bất kỳma trận 3 n ´ nào.Nócộng 4- lần hàng 1vào hàng3 của ma trậnđó.Nóiriêng,từ E I1 =E1,tacó ểththấyrằngE1tựnóđượcchobởiphépbiế đổisơcấphàngtn ương ự ừmatrậ đơnt t n vị.Bở ivậy,Vídụ5minhhọachotrườnghợp ổngquátvềcácmatrậncơsở.XemBàitập27và28.t
Trang 11CÁCCHÚÝSỐ
Trongthựchành, hiếmkhiđượctính,trừkhi cầta nđến cácphầntử
của Đểtính ảc và mấ ấ t g p ba ầ l n sốphéptoángiải
Cuốicùng,kiểmtra ạ kế quảl i t
CáchnhìnkhácvềNghịchđảo Ma trận
Ký hiệu các cột ủac I nbởie1,¼,en. Sự rút gọn[A I]thành 1
[I A-]cóthể nhìn theo cáchgiảiđồngthờ nghiệmcủa i nhệphươngtrình
ở đây các cột mở rộng của những hệ này đã được đặt kế tiếp A dưới dạng
A-chínhxáclà các nghiệm củacác hệtrong (2) Quan sát nàylà có íchvì mộtsốvấnđềứngdụ cóng thể ỉyêucầutìmmột ặcch ho hai ột ủac c A- 1.Trongtrườnghợpđó,chỉnhững hệtươngứng trong (2) cần phải giải mà thôi.