Giải toán lớp 11 kết nối tri thức

Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh ,SB SD K ; là giao điểm của mặt phẳng AMN và đường thẳng SC... a Xác định giao điêm của mặt phẳng MNP với đường thẳng B C′.. b Gọi K là giao

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 1

Câu 1.24: Biểu diễn các góc lượng giác 5 , , 25 , 17

α = − β = γ = δ = trên đường tròn lượng giác

Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?

Do đó, hai góc β và γ có điểm biểu diễn trùng nhau

Câu 1.25: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A sin(π α− )= sinα B cos(π α− )= cosα

C sin(π α+ )= − sinα D cos(π α+ )= − cosα

Câu 1.26: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A cos(a−b)= cos cosa b− sin sina b B sin(a−b)= sin cosa b− cos sina b

C cos(a+b)= cos cosa b− sin sina b D sin(a+b)= sin cosa b+ cos sina b

Câu 1.27: Rút gọn biểu thức M = cos(a+b)cos(a−b)− sin(a+b) (sin a−b), ta được

A M = sin4a B M = − 1 2cos2a C M = − 1 2sin2a D M = cos4a

cos2 a 2cos a 1 1 2sin a

= = − = − (áp dụng công thức nhân đôi)

Câu 1.28: Khẳng định nào sau đây là sai?

A Hàm số y= cosx có tập xác định là  B Hàm số y= cosxcó tập giá trị là [− 1;1]

C Hàm số y= cosx là hàm số lẻ D Hàm số y= cosx tuần hoàn chu kì 2 π

L ời giải

Ch ọn C

Hàm số y = cosx:

 Có tập xác định là  và tập giá trị là [ − 1; 1 ; ]

 Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì2π

Câu 1.29: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?

A y= tanx+x B y=x2+1 C y =cotx D y sinx

x

L ời giải

Ch ọn C

Hàm số y= cotx tuần hoàn với chu kì π

Câu 1.30: Đồ thị của các hàm số y = sin x và y= cosx cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn

5

2

ππ

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y sinx = và y = cosx là nghiệm của phương trình

sinx = cosx ⇔ tanx = 1do tan sin

cos

x x

x

,4

x π kπ k

(sinα+cos )α = +1 sin2α

b) cos4α − sin4α = cos2 α

L ời giải

a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: 2 2

sin α + cos α = 1

và công thức nhân đôi: sin2 α = 2sin cos α α

Ta có: VT =(sina+cos )a 2 =sin2a+cos2a+2sin cosa a= +1 sin2a=VP (đpcm)

b) Áp dụng hệ thức Iượng giác cơ bản: 2 2

sin a + cos α = 1

và công thức nhân đôi: 2 2

cos2 α = cos α − sin α

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 5

Vậy tập giá trị của hàm số 2cos 2 1

Vậy tập giá trị của hàm số y sinx cosx = + là − 2; 2

Bài 1.35 Giải các phương trình sau:

Bài 1.36 Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi

dưỡng các mô trong cơ thể Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động

mạch Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp Huyết áp tối đa và huyết áp tối

thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là

huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường Giả sử huyết áp của một

người nào đó được mô hình hoá bởi hàm số

trong đó p t( ) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo phút

Bài 1.37 Khi một tia sáng truyền từ ông khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt,

phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26 Góc tới i liên hệ với góc khúc xạ r bởi Định luật khúc xạ

1

sin

sin

n i

Ở đây, n và 1 n 2 tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước) Cho biết

góc tới i = 50, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là

n i n

1, 33sin 0, 57597 (thoa mãn đki)

r r

r r

Theo định nghĩa 1 rađian là số đo của cung có độ dài bằng bán kính

Câu 4: Trên đường tròn bán kính bằng 4, cung có số đo

Câu 5: Trên đường tròn bán kính R= 6, cung 60° có độ dài bằng bao nhiêu?

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 9

Điểm M thỏa mãn (Ox OM, )= 500 ° thì nằm ở góc phần tư thứ II vì 500 ° − 360 ° = 140 °∈(90 ;180 ° °)

Câu 7: Bánh xe của người đi xe đạp quay được 2 vòng trong 5 giây Hỏi trong 1 giây, bánh xe quay

được một góc bao nhiêu độ?

A 144° B 288° C 36° D 72°

L ời giải

Ch ọn A

Ta có: trong 5 giây quay được 2 360 × ° = 720 °

Vậy trong 1 giây quay được: 720 144

π α< < Khẳng định nào sau đây sai?

A tan α < 0 B cot α > 0 C sin α > 0 D cos α > 0

π α< < ta có sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0

Câu 9: Cho biết tan 1

Câu 10: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?

A tan 45° < tan 60° B cos 45 ° ≤ sin 45° C sin 60° < sin 80° D cos 35 ° > cos10 °

L ời giải

Ch ọn D

Khi α∈(0°; 90°) hàm cosα là hàm giảm nên cos 35 ° < cos10 ° suy ra D sai

Câu 11: Cho sin 1

Câu 13: Với mọi góc a và số nguyên k, chọn đẳng thức sai?

A sin(a+k2π)= sina B cos(a+kπ)= cosa

C tan(a+kπ)= tana D cot(a−kπ)= cota

Lời giải

Ch ọn B

Câu 14: Chọn khẳng định đúng?

A tan(π α− )= tanα B sin(π α− )= − sinα

C cot(π α− )= cotα D cos(π α− )= − cosα

cos 90 ° +α = − sinα ⇒ cos 90 ° +α = sin α

Suy ra A = cos 10° cos 20° cos 180°2 + 2 + + 2 ( 2 2 ) ( 2 2 )

1 1 9

A

⇔ = + + =

Câu 16: Trong tam giác ABC, đẳng thức nào dưới đây luôn đúng?

A sin(A+B)= cosC B cosA= sinB

Câu 17: Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Đặt M = cos 2( A+ +B C) thì:

A M = − cosA B M = cosA C M = sinA D M = − sinA

L ời giải

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 11

Ch ọn A

Ta có A, B, C là 3 góc của một tam giác ⇒ + + = A B C 180 ° ⇒⇒ 2 A B C + + = 180 ° + A

Từ đó ta có M = cos 2( A+ +B C) ⇔M = cos(A+ 180 °)⇔M = − cosA

Câu 19: Khẳng định nào dưới đây sai?

A cos 2a= 2 cosa− 1 B 2sin2a = − 1 cos 2 a

C sin(a+b)= sinacosb+ sin cosb a D sin 2a= 2 sinacosa

Lời giải

Ch ọn B

Ta có: cos 2 a = 2 cos2a − 1 nên A sai

Và: cos 2 a = − 1 2sin2a ⇔ 2sin2a = − 1 cos 2 a nên B đúng

Hàm số y = sin 2 x tuần hoàn với chu kỳ T = 2 π nên hàm số y = sin 2 x tuần hoàn với chu kỳ T = π

Câu 24: Khẳng định nào dưới đây là sai?

26

Câu 26: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm:

A sinx+ = 3 0. B 2 cos2x − cos x − = 1 0.

Ta có − ≤ 1 s inx ≤ 1 nên đáp án A là đáp án cần tìm vì s inx = − 3

Câu 27: Cho hai phương trình cos 3x− = 1 0; cos 2 1

2

x= − Tập các nghiệm của phương trình đồng thời

là nghiệm của phương trình là

Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác ta có tập các nghiệm của phương trình đồng thời là

nghiệm của phương trình là 2

,3

24

,24

,3

24

,7

24

2

23

2 2

12

2 tan

12

α

−+

+

Câu 35: Chứng minh biểu thức 2 2 2 2

sin x tan x + 4sin x − tan x + 3cos x không phụ thuộc vào x

Vậy ∆ABC cân tại C

Câu 39: Số nghiệm của phương trình ( 0) 3

đã cho có 4 nghiệm

ÔN T ẬP CHƯƠNG 2

GI ẢI BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG SÁCH GIÁO KHOA

A TR ẮC NGHIỆM

Câu 2.22: Khẳng định nào sau đây là sai?

A Một dãy số tăng thì bị chặn dưới B Một dãy số giảm thì bị chặn trên

C Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm D Một dãy số không đổi thì bị chặn

L ời giải

Ch ọn D

Câu 2.23: Cho dãy số 1, , , ,1 1 1

2 4 8 … (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó)

Công thức tồng quát của dãy số đã cho là

= D

1

12

Câu 2.24: Cho dãy số ( )u n với u n =3n+ Khẳng định nào sau đây là đúng? 6

A Dãy số ( )u n là cấp số cộng với công sai d =3

B Dãy số ( )u n là cấp số cộng với công sai d=6

C Dãy số ( )u n là cấp số nhân với công bội q= 3

D Dãy số ( )u n là cấp số nhân với cộng bội q= 6

Suy ra dãy số (u ) là c n ấp số cộng với công sai d = 3

Câu 2.25: Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

Bài 2.27 Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ

đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?

L ời giải

Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông

Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông

Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông

Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:

1 2 3 11 12+ + + + + 1 2 3 11 12+ + + + +

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu u1 =1, công sai d =1

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 giờ đến 12 giờ truqa là:

12

12.(1 12)

782

12

12.(1 12)

782

Bài 2.28 Tế bào E Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần Hỏi sau 24 giờ, tế bào

ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

L ời giải

Số tế bào phân chia sau mỗi 20 phút tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu là 2, công bội là 2

Sau 24 giờ ( tức n= (24.60) : 20 = 72 ) tế bào ban đầu phân chia thành số tế bào là: 71 21

a) Trong một cấp số cộng ( )u n , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của

hai s ố hạng đứng kề với nó, nghĩa là

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của

hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

Bài 2.30 Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tồng bằng 21 , và nếu lần lượt cộng

thêm các số 2;3;9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân

L ời giải

Gọi ba số cần tìm lần lượt là x y z, ,

Theo tính chất của cấp số cộng ta có x+ =z 2y

Kết hợp với giả thiết x+ + =y z 21, ta suy ra 3y=21⇔ =y

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x= − = −y d 7 d và z= + = +y d 7 d

Sau khi thêm các số 2;3;9 vào ba số x y z, , ta được ba số là x+2,y+3,z+9 hay 9 d,10,16 d− +

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: ( )( ) 2 2

9−d 16+d =10 ⇔d +7d−44=0

Giải phương trình ta được d= −11 hoặc d =4

Suy ra ba số cần tìm là 18, 7, 4− hoặc 3, 7,11

Bài 2.31 Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0, 5 m Cầu thang đi từ tầng một lên tầng

hai gồm 25 bậc, mổi bậc cao 16 cm

a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân

Bài 2.32 Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông

ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1 Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình

vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm

lần, thì tồng diện tích các hình vuông được tô màu xanh bao nhiêu?

L ời giải

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ nhất là: 1

9, số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 0

8

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ hai là: 12

9 , số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 1

8

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 4

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ năm là: 15

9 , số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 4

Câu 2: Cho dãy số ( )u n với u n =2n−1 Dãy số ( )u n là dãy số

A Bị chặn trên bởi 1 B Giảm C Bị chặn dưới bởi 2 D Tăng

L ời giải

Ch ọn D

*

n

∀ ∈  ta có: u n+1−u n =2(n+ − −1) 1 (2n− = > nên 1) 2 0 u n+1>u n vậy dãy số ( )u n tăng

Câu 3: Cho cấp số cộng ( )u n có u1= và công sai 3 d =7 Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số

hạng của ( )u n đều lớn hơn 2018?

a r

a r

=



⇔  = −

Do đó dãy số ( )u n là một cấp số nhân với u1 =3, công bội q= 3

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là: 1

3 1

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là a b c, , ⇒ + =a c 2b( )*

a) Theo bài ra, ta có 15

105

a b c abc

a b c

a b c

a + bc− b c+ = ⇔a + bc= b c+ → điều phải chứng minh

Câu 16: Cho dãy số ( )u n xác định bởi

a) Chứng minh dãy số ( )v n với v n =u n+3, n≥1 là một cấp số nhân

b) Tìm công thức tổng quát của dãy số ( )u n

a) Tìm số hạng đầu tiên và công bội

b) Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên

c) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng 765

d) Số 12288 là số hạng thứ mấy?

L ời giải

4 4

a) Vậy số hạng đầu u1=3 và công bội q= 2

b) Tổng của 10 số hạng đầu tiên 10 1.1 10 3.1 210 3069

− − Vậy tổng của 8 số hạng đầu tiên bằng 765

d) Giả sử u n =12288 Theo công thức tổng quát của cấp số nhân, ta có

n

Câu 18: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp sống nhân  u n , biết

a) 5 1

4 2

15 6

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 10

Lấy  2 chia  1 , ta được q 2 Vậy 1 1

2

u q

u S

40 680

S S

1

8

1 8

8 8

q u

u q

u q

  



  



Câu 20: Tìm ba số khác nhau tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng

thứ nhất và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân

Với u  1 4, suy ra d 6 Vậy ba số cần tìm là  4, 2, 8

1

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 1

Vì đây là mẫu số liệu ghép nhóm và tần số các nhóm khác nhau nên có 1 mốt

Câu 3.10: Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là

A [20; 40) B [40; 60) C [60;80) D [80;100)

L ời giải

Ch ọn B

Tần số của nhóm [40;60) lớn nhất (=12) nên mốt thuộc nhóm [40;60)

Câu 3.11: Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là

Do x11,x 12 đều thuộc nhóm [20;40) nên nhóm này chứa Q 1

Câu 3.12: Nhóm chứa trung vị là

2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 2

Chọn 80 là giá trị đại diện cho nhóm trên 65 tuổi Tính tuổi trung bình của người Việt Nam năm 2020

Lời giải

Tuổi trung bình của người Việt Nam năm 2020:

7.89 2.5 14.68 9.5 13.32 19.5 53.78 44.5 7.66 80

357.89 14.68 13.32 53.78 7.66

Bài 3.14 Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ong cho kết quả như sau:

Tìm mốt của mẫu số liệu Giải thích ý nghĩa của giá trị nhận được

Ý nghĩa: Đa số các con ong có tuổi thọ là 76 ngày

Bài 3.15 Một bảng xếp hạng đã tính điềm chuần hoá cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở

Việt Nam và thu được kết quả sau:

Xác định điểm ngưỡng đề đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam

Lời giải

3

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 3

Điểm ngưỡng để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là tứ phân

Vậy để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam ta lấy các trường có

điểm chuẩn hóa trên 35.42

1

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 1

GI ẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA ÔN TẬP CHƯƠNG IV PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM

Câu 4.35: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )P Mặt phẳng ( )Q chứa đường thẳng a và cắt

mặt phẳng ( )P theo giao tuyến là đường thẳng b Vị tri trương đối của hai đường thẳng avà b

là:

A chéo nhau B cắt nhau C song song D trùng nhau

L ời giải

Ch ọn C

Câu 4.36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của cạnh SD

Đường thẳng SB song song với mặt phẳng

A (CDM) B (ACM) C (ADM) D (ACD)

Câu 4.38: Cho ba mặt phẳng ( ) ( ) ( )P , Q , R đôi một song song với nhau Đường thẳng a cắt các mặt phẳng

( ) ( ) ( )P , Q , R lần lượt tại , ,A B C sao cho 2

Câu 4.39: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi , M N lần lượt là trung điểm của

các cạnh ,SB SD K ; là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC Tỉ số SK

2

L ời giải

Ch ọn B

Gọi O là giao điểm AC và BD, gọi P là trung điểm MN

Ta có MN là đường trung bình tam giác SBD suy ra S,P,O thẳng hàng và P là trung điểm

của SO

Do đó P thuộc SO hay P thuộc mp SAC( )

Trong mp SAC( ), nối AP kéo dài cắt SC tại K suy ra K là giao điểm của SC và

Câu 4.40: Cho hình hộp ABCD A B C D⋅ ′ ′ ′ ′ Gọi ,M M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC B C, ′ ′ Hình

chiếu của B DM′ qua phép chiếu song song trên (A B C D′ ′ ′ ′) theo phương chiếu AA′ là

A B A M′ ′ ′ B ΔC D M′ ′ ′ C DMM ′ D ΔB D M′ ′ ′

L ời giải

Ch ọn D

PH ẦN 2: TỰ LUẬN

Bài 4.41 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB/ /CD và AB<CD Xác định giao

tuyến của hai mặt phẳng sau:

a) (SAD) và (SBC);

b) (SAB) và (SCD);

c) (SAC) và (SBD)

L ời giải

3

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 3

a) Gọi giao điểm của AD và BC là K

Ta có: SK cùng thuộc mp SAD( ) và (SBC)

Vậy SK là giao tuyến của (SAD) và (DBC)

b) (SAB) và (SCD) có AB/ /CD chung nên giao tuy ến là đường thẳng Sx đi qua x và song song với

AB vàCD

c) Gọi O là giao điểm cuae AC và BD suy ra O thuộc giao tuyến của (SAC) và (SBC)

Suy ra SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)

Bài 4.42 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C⋅ ′ ′ ′ Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh

,

AB BC và AA′

a) Xác định giao điêm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B C′

b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B C′ Tính tỉ số KB

KC

′

L ời giải

a) Ta có (MNP) (∩ ABC)=MN,(ABC) (∩ ACC A′ ′ =) AC AC, / /MN (do MN là đường trung bình của

tam giác ABC ) suy ra giao tuyến của (MNP) và (ACC A' ')song song với MN và AC

Qua P kẻ đường thẳng song song với AC cắt CC' tại H

PH là giao tuyến của (MNP)và (ACC A' ')

Nối H với N cắt B C' tại K

Vậy K là giao điểm của (MNP) và B C'

b) Gọi giao điểm B C' và BC'là O

Ta có ACC A' 'là hình bình hành, Plà trung điểm AA PH', / /AC suy ra H là trung điểm CC'

Bài 4.43 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt

lấy điểm M và N sao cho CM =2SM và BN =2AN

a) Xác định giao điểmK của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD Tính tỉ số SK

SD

b) Chứng minh rằng MN/ /(SAD)

L ời giải

a) Ta có: mp ABM( )∩mp ABCD( )= AB mp ABCD, ( )∩mp SCD( )=CD AB, / /CDsuy ra giao

tuyến của (ABM) và (SCD) là đường thẳng qua M song song với AB và CD

Qua M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD)

Vậy, K là giao điểm của (AMN) và SD

Xét tam giác SCD ta có: MK //CD suy ra 1

3

SK SM

SD = SC = b) Xét tam giác SCD ta có: MK/ /CD suy ra 1

Bài 4.44 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi , G K lần lượt là trọng tâm của

các tam giác SAD SCD ,

a) Chứng minh rằng GK/ /(ABCD)

b) Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh , ,SA SB SC SD ,

lần lượt tại , , ,M N E F Ch ứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành

L ời giải

5

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 5

a) Xét tam giác HAC ta có: GH=2GA, HK=2KC suy ra GK / /AC hay GK / / ABCD( )

b) (MNEF / / ABCD) ( ) do đó MN / /AB, NE / /BC,EF / /CD,MF / /AD

b) Xét tứ giác A C OA′ ′ ta có: A C′ ′/ /AO A C, ′ ′ =2AO suy ra A G′ =2GO mà O là trung điểm BD suy ra

G là trọng tâm tam giác A BD′

Như vậy AC ' đi qua trọng tâm Gcủa tam giác A BD′

Bài 4.46 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM =3AM Mặt phẳng ( )P đi qua

M song song với hai đường thẳng AD và BC

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng ( )P với đường thẳng CD

b) Tính tỉ số KC

CD

L ời giải

6

a) Qua M kẻ MH / /BC,Ml / /AD

( )

mp P đi qua M song song với hai đường thẳng AD và BC suy ra mp P( ) chứa MH và MI

Ta có: (ABC) ( )∩ P =MH,(ABC) (∩ BCD)=BC MH, / /BC suy ra giao tuyến của ( )P và (BCD) song

song với BC và MH

Qua I kẻ IK // BC (K thuộc CD)

Vậy giao điểm của ( )P và CD là K

b) Ta có: ( ) (P ∩ ABD)=MI,(ABD) (∩ ACD)=AD P,( ) (∩ ACD)=HK MI, / /AD

suy ra HK / /MI

Tứ giác MHKI có: MH / /KI, MI / /HK suy ra MHKI là hình bình hành do đó MH=KI

7

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 7

BÀI T ẬP TỔNG ÔN CHƯƠNG IV PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong các hình chóp, hình chóp có ít cạnh nhất có số cạnh là bao nhiêu?

Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó

với mỗi mặt của hình chóp

Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất một giao tuyến

Hình chóp tứ giác S ABCD có 5 mặt nên thiết diện của ( )α với S ABCD có không qua 5 cạnh,

không thể là hình lục giác 6 cạnh

Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng

B Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng

C Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng

D Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng

L ời giải

8

Ch ọn C

 A sai Qua 2 điểm phân biệt, tạo được 1 đường thẳng, khi đó chưa đủ điều kiện để lập một

mặt phẳng xác định Có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm đã cho

 B sai Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì chỉ tạo được đường thẳng, khi đó có

vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng

 D sai Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm

đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt

phẳng nào đi qua cả 4 điểm

Câu 5: Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng

phân biệt từ các điểm đã cho?

L ời giải

Ch ọn B

Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định

Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa 3

C = mặt phẳng

Câu 6: Trong mặt phẳng ( )α , cho 4 điểm , , ,A B C D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Điểm

S không thuộc mặt phẳng ( )α Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và 2 trong 4 điểm nói trên?

C cách chọn 2 trong 4 điểm , , ,A B C D cùng với điểm S lập thành 1 mặt phẳng xác định

Vậy số mặt phẳng tạo được là 6

Câu 7: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

A Ba điểm phân biệt B Một điểm và một đường thẳng

C Hai đường thẳng cắt nhau D Bốn điểm phân biệt

L ời giải

Ch ọn C

 A sai Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm

thẳng hàng đã cho

 B sai Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có

vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó

 D sai Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm

đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt

phẳng nào đi qua cả 4 điểm

9

Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 9

Câu 8: Cho tứ giác ABCD Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các định của tứ giác

Câu 9: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A Nếu 3 điểm , ,A B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng ( )P và ( )Q thì A B C th, , ẳng hàng

B Nếu , ,A B C thẳng hàng và ( )P , ( )Q có điểm chung là A thì B C , cũng là 2 điểm chung

Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến

 A sai Nếu ( )P và ( )Q trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung Khi đó, chưa đủ

điều kiện để kết luận , ,A B C thẳng hàng

 B sai Có vô số đường thẳng đi qua A, khi đó ,B C chưa chắc đã thuộc giao tuyến của ( )P

và ( )Q

 C sai Hai mặt phẳng ( )P và ( )Q phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm

, ,

A B C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì , ,A B C cùng thuộc giao tuyết

Câu 10: Cho bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AC và BC

Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP 2PD Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng

MNP là giao điểm của

A CD và NP B CD và MN C CD và MP D CD và AP

L ời giải

Ch ọn A