HỆ THỐNG LÝ THUYẾT TOÁN THPT Phần 1. LÝ THUYẾT TOÁN THỐNG KÊ

ài liệu này được chúng tôi biên soạn lại dựa theo bộ sách giáo khoa mới toán 101112. Sắp xếp lại thành các hệ thống chương trình có tính liên quan. Nhầm mục đích, giúp các bạn dễ tra cứu đồng thời tiết kiệm thời gian ôn tập, tìm đọc. Hỗ trợ kiến thức ôn thi cuối cấp.

HỆ THỐNG LÝ THUYẾT TOÁN THPT Điện thoại: 0946798489

 , trong đó mk là tần số của giá trị xk và nm1m2 mk

Ý nghĩa Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu

Ví dụ 1 Thống kê số cuốn sách mỗi bạn trong lớp đã đọc trong năm 2021, An thu được kết quả như bảng

bên Hỏi trong năm 2021 , trung bình mổi bạn trong lớp đọc bao nhiêu cuốn sách?

Ý nghĩa Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm

của mãu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu

B SỐ TRUNG VỊ

Để tìm trung vị (kí hiệu là Me) của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:

Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm xác định số liệu phân bố n là chẵn hay lẻ

Ví dụ 2 Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 5 nhân viên, thu nhập mỗi tháng của giám đốc là 20 triệu

đồng, của nhân viên là 4 triệu đồng Hãy tìm trung vị cho mẫu số liệu về lương của giám đốc và nhân viên công ty được cho

Lời giải

Để tìm trung vị của mẫu số liệu trên, ta làm như sau: - Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm:

 Hai giá tri chinh giua

- Dãy trên có hai giá trị chính giữa cùng bằng 4 Vậy trung vị của mẫu số liệu cũng bằng 4 Trong mẫu số liệu được sắp xếp trên, số phần tử ở bên trái trung vị và số phần tử ở bên phải trung vị bằng nhau và bằng 3 Lương của giám đốc cao hơn hẳn số trung bình, đây chính là giá tri bất thường Nếu ta thay lương của giám đốc là 30; 40;50 ; (triệu đồng) thì trung vị vẫn không thay đổi trong khi số trung bình sẽ thay đổi

Ý nghĩa Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự

không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường

2 TỨ PHÂN VỊ

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị, ta làm như sau: - Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm

PHẦN 1 LÝ THUYẾT VỀ TOÁN THỐNG KÊ

• Fanpage: Nguyễn Bảo Vương

Blog:Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

- Tìm trung vị Giá trị này là Q2

-Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái Q2 (không bao gồm Q2 nến n lẻ) Giá trị này là Q1

-Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải Q2 (không bao gồm Q2 nến n lẻ) Giá trị này là Q3 Q Q Q1, 2, 3

được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu

Chú ý Q1 được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, Q3 được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên

Ý nghĩa Các điểm Q Q Q1, 2, 3 chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bố phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị

Ví dụ 3 Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, 1mg 0, 001 g ) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho

Hai giá trị chính giữa

- Vì n 20 là số chẵn nên Q2 là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa Q 2 180 180 : 2 180   

- Ta tìm Q1 là trung vị của nửa số liệu bên trái Q2

0 50 70 100 130 140 140 150 160 180 và tìm được Q 1 (130 140) : 2 135  - Ta tìm Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2

180 180 190 200 200 210 210 220 290 và tìm được Q 3 (200 210) : 2 205

Hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu

Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu Khoảng cách từ Q1 đến Q2 là 45 trong khi khoảng cách từ Q2 đến Q3 là 25 Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên phải của

Q và mật độ thấp ở bên trái của Q2

3 MỐT

Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất

Ý nghĩa Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng

nhau

Nhận xét Mốt có thể không là duy nhất Khi các giá trị trong mẫu số liệu xuất hiện với tần số như nhau

thì mẫu số liệu không có mốt

Ví dụ 4 Thời gian truy cập Internet (đơn vị giờ) trong một ngày của một số học sinh lớp 10 được cho như

sau:

Điện thoại: 0946798489 HỆ THỐNG LÝ THUYẾT TOÁN THPT

Tìm mốt cho mẫu số liệu này

Lời giải

Vì số học sinh truy cập Internet 1 giờ mỗi ngày là lớn nhất (có 3 học sinh) nên mốt là 1.

BÀI 2 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN 1 KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ

Khoảng biến thiên, kí hiệu là R , là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu

Ý nghĩa Khoảng biến thiên dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu

số liệu càng phân tán

Ví dụ 1 Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 10 A được cho như sau:

Toå 1: 7 8 8 9 8 8 8

Toå 2: 10 6 8 9 9 7 8 7 8.

a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ có như nhau không?

b) Tính các khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu Căn cứ trên chỉ số này, các bạn tổ nào học đồng đều hơn?

Lời giải

a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tồ đều bằng 8

b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 7 ; 9 Do đó khoảng biến thiên là:

Do R2R1 nên ta nói các bạn Tồ 1 học đều hơn các bạn Tồ 2

Nhận xét Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến thiên chỉ sử

dụng thông tin giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ quan thông tin từ tất cả các giá trị khác Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường

Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là  , là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là: Q

  

Ý nghĩa Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán của mẫu số liệu Khoảng tứ phân vị càng lớn

thì mẫu số liệu càng phân tán

Chú ý Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa Ví dụ 2 Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày:

Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa Q 2 15 Nửa số liệu bên trái là 7,8,11,13 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8,11 Do đó, Q 1 (8 11) : 2 9,5

Nửa số liệu bên phải là 18,19, 20, 22 gồm 4 giá tri, hai phần tử chính giữa là 19,20 Do đó, Q 3 (19 20) : 2 19,5 

Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là  Q 19, 5 9, 5 10 

2 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

Phương sai là giá trị 2 x1 x 2 x2 x2 xnx2

Căn bậc hai của phương sai, s s2, được gọi là độ lệch chuẩn

Chú ý Người ta còn sử dụng đại lượng để đo độ phân tán của mẫu số liệu:

Blog:Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Ý nghĩa Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn

Ví dụ 3 Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 5 lớp khối 10 tại một trường Trung học:

3 PHÁT HIỆN SỐ LIỆU BẤT THƯỜNG HOẶC KHÔNG CHÍNH XÁC BẰNG BIỂU ĐỒ HỘP

Trong mẫu số liệu thống kê, có khi gặp những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường Chúng xuất hiện trong mẫu số liệu có thể do nhầm lẫn hay sai sót nào đó Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện những giá trị bất thường này

Các giá trị lớn hơn Q 3 1,5. hoặc bé hơn QQ 1 1,5. được xem là giá trị bất thường Q

Ví dụ 4 Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau:

Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:

Ta có Q 1 1,5  Q 30 và Q 3 1,5  Q 310 nên trong mẫu số liệu có hai giá trị được xem là bất thường

là 340mg (Iớn hơn 310mg ) và 0mg (bé hơn 30mg )

Điện thoại: 0946798489 HỆ THỐNG LÝ THUYẾT TOÁN THPT Lớp 11

BÀI 3 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM 1 SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Cho mẫu số liệu ghép nhóm

k k   Nhóm k1k2 được hiểu là nhóm gồm các giá trị k k1, 1 1, ,k2 Khi đó, ta cần hiệu chỉnh mẫu dữ liệu ghép nhóm để đưa về dạng Bảng 3.2 trước khi thực hiện tính toán các số đặc trưng bằng cách hiệu chỉnh nhóm k1k2 với k k   thành nhóm 1, 2 k10, 5;k20, 5 Chẳng hạn, với dữ liệu ghép nhóm điểm thi môn Toán trong Bảng 3.3 sau khi hiệu chỉnh ta

Ý nghĩa Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu

gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng đề đại diện cho mẫu số liệu

2 TRUNG VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM Cho mẫu số liệu ghép nhóm

Nhóm a a1; 2  a ai; i1  a ak; k1

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1 Xác định nhóm chứa trung vị Giả sử đó là nhóm thứ p:a ap; p1

Blog:Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Ví dụ 2 Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong

Gọi x1,,x56 là thời gian vào Internet của 56 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần Khi đó, trung vị là 2829

x x

Do 2 giá trị x28,x thuộc nhóm [15,5;18,5) nên 29

nhóm này chứa trung vị Do đó, p3;a315,5;m315;m1m2 3 12 15; a4a3 và ta 3

Ý nghĩa Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia

mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị

3 TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM Cho mẫu số liệu ghép nhóm

trong đó, n là cỡ mẫu, m là tần số nhóm p , với pp  ta quy ước 1 m1 mp1 0

Để tính tứ phân vị thứ ba Q của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa 3 Q 3

trong đó, n là cỡ mẫu, m là tần số nhóm p , với pp  ta quy ước 1 m1 mp1 0 Tứ phân vị thứ hai Q chính là trung vị 2 M e

Ví dụ 3 Tìm tứ phân vị thứ nhất Q và tứ phân vị thứ ba 1 Q của mẫu số liệu ghép nhóm cho 3

Điện thoại: 0946798489 HỆ THỐNG LÝ THUYẾT TOÁN THPT

  giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này

Ý nghĩa Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu

gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị

4 MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM Cho mẫu số liệu ghép nhóm

Nhóm a a1; 2  a ai; i1  a ak; k1

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bưóc 1 Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: a aj; j1

trong đó m là tần số của nhóm jj (quy ước m0 mk1 ) và h là độ dài của nhóm 0

Lưu ý Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau Một

mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt

Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghép nhóm không có mốt

Ví dụ 4 Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm của 50 học sinh lớp 11A ) Khoảng chiều cao (cm) [145;150) [150;155) [155;160) [160;165) [165;170)

Số học sinh có chiều cao khoảng 153,18 cm là nhiều nhất

Ý nghĩa Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để

đo xu thế trung tâm của mẩu số liệu

Lớp 12

Bài 4 KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ 1 KHOẢNG BIẾN THIÊN

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Nhóm a a1; 2  a a;; i1  a ak; k1

trong đó các tần số m10,mk 0 và nm1mk là cỡ mẫu Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là Rak1a1

Ý nghĩa Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu

gốc Khoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mâu số liệu ghép nhóm Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán

Blog:Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Ví dụ 1 Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 12A, được kết

quả như bảng sau:

Gọi R R1, 2 tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2

Ta có: R 1 90 0 90 và R 2 60 0 60

Do R1R2 nên ta có thể kết luận rằng thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ 2

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là  , là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba QQ3 và tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu đó, tức là  QQ3Q1

Ý nghĩa Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu

gốc Khoảng tứ phân vị cũng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán

Nhận xét Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu,

nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại giá trị bất thường

Ví dụ 2 Thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám X được cho trong bảng sau:

Thời gian (phút) [0;5) [5;10) [10;15) [15; 20)

a) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này

b) Từ một mẫu số liệu về thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám Y người ta tính

được khoảng tứ phân vị bằng 9,23 Hỏi thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám nào phân tán hơn?

Giải

a) Cỡ mẫu là n  3 12 15 8  38 Gọi x1,,x38 là thời gian chờ khám bệnh của 38 bệnh nhân này và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x10 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm [5;10) và ta có:

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:  QQ3Q114, 5 7, 71 6, 79

b) Do  Q 6, 799, 23 nên thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám Y phân tán hơn thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám X

Điện thoại: 0946798489 HỆ THỐNG LÝ THUYẾT TOÁN THPT BÀI 5 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

1 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

Cho mẫu số liệu ghép nhóm:

 là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

- Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu

Ý nghĩa Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch

chuẩn của mẫu số liệu gốc Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân

Ví dụ 1 Người ta theo dõi sự thay đổi cân nặng, được tính bằng hiệu cân nặng trước và sau ba tháng áp

dụng chế độ ăn kiêng của một số người cho kết quả như sau:

Thay đổi cân nặng (kg ) [ 1; 0) [0;1) [1; 2) [2;3) [3; 4)

Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và nhận xét về sự thay đổi cân nặng của người nam, người nữ sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng

Giải

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có:

Giá trị đại diện 0, 5 0,5 1,5 2,5 3,5

Như vậy, sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng này, về trung bình sự thay đổi cân nặng của nam và nữ là như nhau Tuy nhiên, sự biến động về thay đổi cân nặng của nữ nhiều hơn so với của nam

Blog:Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2 SỬ DỤNG PHƯƠNG SAI, ĐỘ LỆCH CHUẨN ĐO ĐỘ RỦI RO

Trong tài chính, người ta có nhiều cách để đo độ rủi ro của một phương án đầu tư Một trong các cách đó là sử dụng độ lệch chuẩn của lợi nhuận thu được theo phương án đầu tư Độ lệch chuẩn càng lớn thì phương án đầu tư càng rủi ro

Ví dụ 2 Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A B Anh An thống kê số tiền thu , được mỗi tháng trong vòng 60 tháng theo mỗi lĩnh vực cho kết quả như sau:

Số tiền (triệu đồng) [5;10) [10;15) [15; 20) [20; 25) [25;30) Số tháng đầu tư vào lĩnh vực A 5 10 30 10 5 Số tháng đầu tư vào lĩnh vực B 20 5 10 5 20

So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B Đầu tư vào lĩnh vực nào "rủi ro" hơn?

Giải

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có:

Giá trị đại diện 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 Số tháng đầu tư vào lĩnh vực A 5 10 30 10 5 Số tháng đầu tư vào lĩnh vực B 20 5 10 5 20 Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào các lĩnh vực ,A B tương ứng là:

Như vậy, về trung bình đầu tư vào các lĩnh vực A, B số tiền thu được hàng tháng như nhau Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực ,A B tương ứng là:

Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A Người ta nói rằng, đầu tư vào lĩnh vực B là "rủi ro" hơn

Ví dụ sau cho thấy không phải lúc nào ta cũng có thể dùng độ lệch chuẩn của lợi nhuận thu được để so sánh độ rủi ro của các phương án đầu tư

Ví dụ 3 Thống kê lợi nhuận hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) trong 20 tháng của hai nhà đầu tư được cho

Bảng 3.3 Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư lớn

Tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm trên Có nên dựa vào độ lệch chuẩn để so sánh độ rủi ro của hai nhà đầu tư này không?

Giải

Chọn điểm đại diện cho các nhóm số liệu ta tính được các số đặc trưng như sau: Lợi nhuận trung bình một tháng của các nhà đầu tư tương ứng là: