Thảo luận môn học toán đại cương đề tài ma trận, định thức và ứng dụng

Thảo luận môn học toán đại cương đề tài ma trận, định thức và ứng dụng Thảo luận môn học toán đại cương đề tài ma trận, định thức và ứng dụng Thảo luận môn học toán đại cương đề tài ma trận, định thức và ứng dụng Thảo luận môn học toán đại cương đề tài ma trận, định thức và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

Viện Quản Trị Kinh Doanh

Bài Thảo Luận Môn học: Toán Đại Cương

ĐỀ TÀI

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ ỨNG

DỤNG

Nhóm thực hiện: Nhóm 02 Giảng viên hướng dẫn: Vũ Thị Thu Hương Lớp học phần: 232_AMAT1011_02

Hà Nội, 2024

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

NHÓM 02 – LỚP HP: 232_AMAT1011_02

Nhóm trưởng: Nguyễn Minh Hiếu

1 Nguyễn Thành Đạt Phân dạng bài tập

2 Nguyễn Hữu Anh Đức Giải bài tập chương

3 Dương Khánh Hà Phân dạng, cách giải và ví

dụ

4 Nguyễn Ngọc Hà Giải bài tập chương

5 Lại Duy Hải Phân dạng, cách giải và ví

dụ

9 Trần Huy Hoàng Trình bày ứng dụng và làm

word

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc

BIÊN BẢN HỌP NHÓM LẦN 1

I Thành viên tham dự

1 Nguyễn Hữu Anh Đức

2 Nguyễn Hương Giang

III Nội dung cuộc họp

1 Thời gian: 20h – 21h ngày 17/03/2024

2 Địa điểm: Online trên Google Meet

3 Nội dung thảo luận:

 Thảo luận về chủ đề bài thảo luận nhóm.

 Thống nhất ý kiến và hướng đi của bài thảo luận.

IV Đánh giá chung

Nhóm làm việc hăng hái, có tinh thần trách nhiệm

Hiếu

Nguyễn Minh Hiếu

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc

BIÊN BẢN HỌP NHÓM LẦN 2

I Thành viên tham dự

1 Nguyễn Hữu Anh Đức

2 Nguyễn Hương Giang

III Nội dung cuộc họp

1 Thời gian: 20h - 21h ngày 30/03/2024

2 Địa điểm: Online trên Google Meet

3 Nội dung thảo luận:

 Tổng chỉnh sửa bài thảo luận

IV Đánh giá chung

Nhóm làm việc hăng hái, có tinh thần trách nhiệm

Nhóm trưởng

Hiếu

Nguyễn Minh Hiếu

Mục Lục

Phần 1 Cơ Sở Lý Thuyết 3

I Lý thuyết 3

1 Ma trận 3

2 Các phép toán trên ma trận 4

3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 5

II Định thức 6

1 Khái niệm 6

2 Tính chất của định thức 7

3 Cách tính định thức 9

III Hạng của ma trận 10

1 Khái niệm 10

2 Tính chất của hạng ma trận 11

3 Cách tính hạng của ma trận 11

IV Ma trận nghịch đảo 13

1 Khái niệm 13

2 Tính chất của ma trận nghịch đảo 13

3 Cách tính ma trận nghịch đảo 13

4 Dùng ma trận giải phương trình ma trận 15

Phần 2 Bài Tập Vận Dụng 16

I Dạng 1: Tính toán ma trận cơ bản 16

II Dạng 2: Tính định thức 16

III Dạng 3: Tìm hạng của ma trận 18

IV Dạng 4 : Tìm ma trận nghịch đảo và giải phương trình 18

Phần 3 Ứng dụng ma trận vào thực tế 22

I Vận dụng tính doanh số trong bán hàng 22

II Ứng dụng trong khoa học 23

III Ứng dụng trong ma trận nghịch đảo 23

PHẦN MỞ ĐẦU

2 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Sử dụng 3 phép biến đổi sơ cấp sau đây để đưa ma trận về dạng tam giác rồi mớitính định thức:

Đổi chỗ hai dòng (hai cột) Định thức đổi dấu

Nhân một dòng (một cột) với một số k khác 0 Định thức tăng k lần

Nhân một dòng (một cột) với một số rồi cộng

vào một dòng (một cột) khác Định thức không thay đổi

II Định thức

1 Khái niệm

- Định nghĩa : Cho ma trận vuông cấp n : A=(a ij)m X n Định thức của ma trận A là một

số thực có kí hiệu |A| hoặc det(A) và độ lớn được xác định theo cách dưới đây:

+ Định thức của ma trận vuông cấp một A = (a11) là một số thực được xác định như sau:

|A|=|(a11)| := a11

+ Giả sử đã có công thức tính định thức đến cấp n-1 Khi đó, độ lớn của định thức

ma trận vuông cấp n: A=(a ij)m X n được xác định như sau:

- Có thể đổi vai trò của i và j trog công thức trên, nghĩa là có thể khai triển định

thức theo cột j tùy ý

- Khái niệm định thức chỉ phát biểu cho các ma trận vuông

- Khi |A| ≠ 0 thì nói A là ma trận vuông không suy biến

- Ma trận của các phép biến đổi sơ cấp là không suy biến

2.Tính chất của định thức

 |A’| =|A|

- Tính chất này nói lên vai trò bình đẳng của "cột" và "dòng" trong định thức Vì

vậy, các tính chất sau chỉ phát biểu với "dòng" nhưng đều đúng với "cột":

 Định thức bằng 0 nếu có một dòng chỉ gồm các phần tử

bằng 0

 Định thức bằng 0 nếu nó chứa hai dòng tỉ lệ

Hệ quả 1: Định thức bằng 0 nếu nó chứa hai dòng giống nhau

+ Nếu giao hoán hai dòng khác nhau thì định thức đổi dấu

+ Nếu nhân các phần tử của một dòng nào đó với số k thì định thức nhân lên đúng bằng k

Hệ quả 2: Thừa số chung của một dòng nào đó đều có thể đưa ra ngoài dấu định thức.

+ Nếu nhân một dòng nào đó với một số bất kỳ rồi cộng vào một dòng khác thì định thức không thay đổi

Hệ quả 3: Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức

không đổi

Hệ quả 4:

+ Nếu có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức bằng 0

+ Nếu các phần tử của cột j nào đó là tổng của các cặp số hạng thì có thể phân tích định thức thành tổng của hai định thức, trong đó: Các cột khác giữ nguyên còn cột thứ j thì mỗi số hạng của từng phần tử phân về một định thức thành phần

+ A và B là các ma trận vuông cùng cỡ thì |AB| = |A||B|

+ Nếu A có dạng tam giác trên hoặc tam giác dưới thì định thức của A đúng bằng

tích của các phần tử trên đường chéo chính

+ Nếu B, D là các ma trận vuông và A có dạng

A =(B C 0 D) thì |A| = |B||D|

3.Cách tính định thức 3.1 Tính định thức bằng định nghĩa

- Tức là phân tích định thức theo một dòng, hoặc một cột để đưa về tổng của các định thức có cấp thấp hơn theo công thức

3.2 Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp

- Tính định thức theo cách khai triển theo dòng hoặc theo cột thường dẫn đến

một tổng của n định thức cấp n−1

- Khi n lớn và định thức không có hình dáng gì đặc biệt thì cách tính này là dài, cần nhiều phép tính

- Trong khi đó, nếu định thức có nhiều phần tử 0, nằm về một góc nào đó thì số

số hạng trong khai triển sẽ giảm đáng kể

Vậy, trước khi phân tích định thức ta nên đưa định thức về dạng đặc biệt (thường là dạng tam giác hoặc dạng

Khi đó ta cần dùng các phép biến đổi sơ cấp sau:

- Giao hoán hai dòng hoặc hai cột (định thức đổi dấu)

- Nhân các phần tử của một dòng hoặc cột với một số α ≠ 0 (định thức nhân lên α lần)

- Nhân các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với một số rồi cộng vào các

phần tử tương ứng của một dòng (cột) khác (định thức không đổi)

Chú ý : (Về cách biến đổi sơ cấp)

- Nên đưa về dạng ma trận tam giác để dễ theo dõi nhất Tuy nhiên, điều đó

không phải là bắt buộc

- Sẽ là thuận tiện nếu ở mỗi bước biến đổi phần tử phía trên bên trái (a11) là 1

hoặc −1 hoặc đó là ước số chung của các phần tử phía dưới, cùng cột

- Nếu a1j = ±1 thì có thể đưa các phần tử phía dưới phần tử đó về 0

- Nên chia cho thừa số chung (đưa ra ngoài dấu định thức) để các phần tử bé

Với số nguyên dương k ≤ min{m,n} ta lấy ra k dòng và k cột nào đó của ma trận

A Các phần tử nằm ở giao của k hàng và k cột đó cho ta 1 ma trận vuông cấp k Định thức của ma trận con đó được gọi là định thức con cấp k của ma trận A, ứng với k dòng, k cột đã chọn

3.1 Phương pháp định thức con bao

- Trong 1 ma trận nếu tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì mọi định thức

con cấp cao hơn k đều bằng 0

Định lý 1.1 : Nếu ma trận có định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp r +1 bao nó đều bằng 0 thì r(A) = r

3.2 Phương pháp biến đổi cơ cấp

Định lý: Ba phép biến đổi sơ cấp trên các dòng hay các cột của một ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận

Các phép biến đổi sơ cấp thường được biểu thị bởi biểu tượng kéo theo: “=>”

- Nếu hai ma trận A, B cùng cỡ và cùng khả nghịch thì (AB)-1 = A-1B-1

- E-1 = E với E là ma trận đơn vị cấp tùy ý

- Bước 1: Tính định thức của ma trận của ma trận A

+ Nếu det(A) = 0 thì không có ma trận nghịch đảo A-1

+ Nếu det(A) ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo A-1 ⟶ Chuyển sang bước 2

- Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A’ của A

- Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau : A* =(Aij’)nn

với A’= Aij’ là phần bù đại số của phần tử ở hang cột i, cột j trong ma trận A’.

Bước 4: Tính ma trận A-1=

Cách 2: Phương pháp biến đổi sơ cấp

Cho ma trận A vuông cỡ nxn với |A| ≠0 Lập ma trận (A|E) cỡ nx2n gồm 2 khối, trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A Ma trận (A|E) gọi là ma trận bổ sung của ma trận A Biển đổi sơ cấp liên tiếp trên các dòng của ma trận bổ sung sao cho khối bên trái là A trở thành E (điều này thực hiện được do |A| ≠0) thì khối bên phải là E sẽ trở thành A-1

Chú ý:

+ Sau khi lập ma trận bổ sung chỉ được phép biến đổi sơ cấp theo dòng đối với

ma trận đó, không được phép biến đổi sơ cấp theo cột Biến đổi đồng thời cả hai khối

a ik b kj

Ta có thể khai triển định thức theo hàng 2 hoặc cột 3 vì có 2 phần tử băng 0.

 Xét khai triển theo hàng 2:

TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BIẾN ĐỔI SƠ CẤP

1 Nhân một hàng với một số k ≠ 0 Định thức nhân k

2 Đổi chỗ 2 hàng Định thức đổi dấu

3 Nhân k với hàng r rồi cộng vào

Bước 1: Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa định thức về dạng định thức ma trận tam giá

c, nhớ ghi lại tác dụng của các phép biến đổi sơ cấp được sử dụng

Bước 2: Tính giá trị định thức dạng tam giác và kể cả tác dụng tổng hợp của các phép biến đ

2 Bài toán tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp ma trận phụ hợp

Nếu ma trận A vuông có | A| thì A có ma trận nghịch đảo A−1

được tính bởi công

Bước 1: Tính | A| Nếu | A| = 0 thì kết luận ma trận A không tồn tại ma trận nghịch đảo

Nếu | A| 0, chuyển sang bước 2.

Bước 2: Tìm tất cả các phần phụ đại số của các phần tử a ij có mặt trong ma trận A rồi thiết

lập ma trận (A¿

)T và suy ra phụ hợp A¿Bước 3: Nhân ma trận A¿ với

3

621

135

21

121

−2

21 )

3 Bài toán tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp:

Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n trên K Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4 Ta thực hiện các bước sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên

Ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của:

A= ( 0 1 −1 4 −3 4

3 −3 4 )

Giải:

4 Bài toán: Ứng dụng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận

1 Tìm ma trận X thoả mãn AX = B biết | A|≠0

Phương pháp: Do | A|≠0 nên tồn tại A-1 Nhân vào bên trái cả hai vế của phương trìnhvới A-1, ta được: A−1×(A× X)=A−1×B→ I×X =X =A−1×B → X= A−1×B

2 Tìm ma trận X thoả mãn XA = B biết | A|≠0

Tương tự như trên, nhân vào bên phải cả hai vế với ma trận A-1, do đó X = BA-1

Ví dụ : Giải phương trình ma trận ( 1 2 3 4 ) × X = ( 3 5 5 9 )

1.2.2 Các phương pháp xét hệ vecto là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

1 Sử dụng DHNB hệ vecto độc lập tuyến tính / phụ thuộc tuyến tính

1.2.2 Hạng và cơ sở của vecto

1 Phương pháp biến đổi Gauss:

-Chuyển đổi ma trận được tạo thành từ các vectơ sang dạng bậc thang

-Số vectơ khác vectơ 0 (hàng khác 0) trong ma trận bậc thang chính là hạng của vectơ.Định lí:

-Hạng của hệ m véctơ n chiều bằng hạng của ma trận cỡ 𝑛×𝑚 tạo thành bằng cách xếp liên tiếp các véctơ theo cột

2 5 3

3 6; 0; 1 15

6 0

1 5

2

8 3

Cách giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp biến đổi sơ cấp:

Đưa hệ phương trình tuyến tính tổng quát về hệ tam giác (hoặc hình thang ) tương đương, bằng các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận hệ số mở rộng Ā

1 Đổi chỗ hai dòng;

2 Nhân một dòng với số 𝑘≠0

3 Cộng k lần một dòng r vào dòng s.

Đặc biệt, khi hệ phương trình Ax b  có số ẩn bằng số phương trình, tức là A là ma trận vuông Nếu A khả nghịch (tức là det( A  ) 0) thì có thể sử dụng các phương pháp sau:

– Phương pháp Cramer

– Phương pháp ma trận nghịch đảo

– Phương pháp Gauss–Jordan

– Phương pháp khử Gauss

Bài toán 1: Biện luận hệ phương trình đại số tuyến tính AX = B

 Nếu r( A)≠r( ¯A) thì hệ phương trình vô nghiệm.

 Nếu r( A)=r( ¯A) thì hệ phương trình tồn tại nghiệm:

Nếu r( A)=r( ¯A)=n (số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất.

Nếu r( A)=r( ¯A)≠n (số ẩn) thì hệ có vô số nghiệm.

1 Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì r( A)=r( ¯A)=3

r( A)=r( ¯A)=3 { 1−a≠0 b−3≠0 ⇔ { a≠1 b≠3

Vậy { a≠1 b≠3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2 Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì r( A)=r( ¯A)<3⇔r( A)=r( ¯A)=2

Nếu r( A)=r( ¯A)=2 { 1−a=0 b−3=0 ⇔ { a=1 b=3

Vậy { a=1 b=3 thì hệ phương trình vô số nghiệm

3 Để hệ phương trình vô nghiệm thì r( A)≠r( ¯A)→r( A )=2,r ( ¯A )=3

⇔ { 1−a=0 b−3≠0 ⇔ { a=1 b≠3

Bài toán 2: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất theo phương pháp Cramer

Hệ CramerAX = B (A là ma trận vuông cấp n) có nghiệm:

| A| ,i=¯1.¯n

Với Ai là ma trận có được từ A bằng cách thay cột thứ i của A bởi cột ma trận vế phải B

(Phương pháp dùng cho hệ 2,3 phương trình)

4 8 0

4 8 0

4 8 0

26 13 26

Bài toán 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp dùng ma trận nghịch đảo.

- Xét hệ Cramer AX = B Vì | A|≠0 nên A có ma trận nghịch đảo A-1 Do vậy từ AX = B

Đây vẫn là hệ phương trình ở Ví dụ 1, thế nhưng ta cần giải bằng phương pháp ma trận nghịch đảo

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là  1 2 3

21 8 31 , , , ,

26 13 26

Bài toán 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss–Jordan

Thực hiện các bước sau:

Bước 1: Viết ma trận bổ sung A= ¯ ( A|B )

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa phần ma trận A về dạngtam

giác Đến đây ta dễ dàng biết được r( A) và r( ¯A) .

Khi đó xảy ra các trường hợp:

- Nếu r( A)≠r( ¯A) thì kết luận hệ AX = B vô nghiệm.

- Nếu r( A)=r( ¯A )=n thì hệ đã cho tương đương với hệ tam giác: A ' X=B ' , tiếp tục dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa phần A’ về dạng chéo -> dạng đơn vị, lúc

9 3 3

2

1 0 0

3 1

0 1 0

3 1

0 0 1

3

d d d d d d

 hệ có nghiệm duy nhất là 1 2 3

2 1 1 ( , , ) , ,

3 4

A= ( A|B ) = ( 2 −1 3 4 −2 5

2 −1 1

−2 1 8

|

4 7

3 ) → ( 2 −1 3 0 0 −1

0 0 −2

−2 5 10

|

4

−1

→r( A )=2 và r( ¯A)=3 → r( A)≠r( ¯A)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Phần 3: Các ứng dụng của Ma trận và Định thức

trong kinh tế

1 Hàm số và ứng dụng:

 Mô hình hóa các mối quan hệ kinh tế: Dùng hàm số để mô tả mối quan hệ giữa

các biến kinh tế như giá cả, sản lượng, lợi nhuận, v.v Ví dụ:

o Hàm cầu: Mô tả mối quan hệ giữa giá cả và lượng hàng hóa được người tiêu dùng mua

o Hàm cung: Mô tả mối quan hệ giữa giá cả và lượng hàng hóa mà nhà sản xuấtcung cấp

 Phân tích sự thay đổi: Dùng đạo hàm để phân tích tốc độ thay đổi của các biến kinh

 Lập kế hoạch và dự báo: Dùng hàm số để dự đoán xu hướng của các biến kinh tế

trong tương lai Ví dụ:

o Dùng hàm hồi quy để dự đoán doanh thu bán hàng dựa trên dữ liệu về giá cả

và chi phí quảng cáo

o Dùng mô hình ARIMA để dự đoán biến động của giá cổ phiếu

2 Giới hạn và ứng dụng:

 Tính toán chi phí cận biên: Dùng giới hạn để tính toán chi phí cận biên của sản

xuất, là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm

 Phân tích lợi nhuận tối đa: Dùng giới hạn để xác định mức sản lượng mà doanh

nghiệp có thể đạt được lợi nhuận tối đa

 Đánh giá hiệu quả đầu tư: Dùng giới hạn để tính toán tỷ suất lợi tức nội bộ (IRR)

của một dự án đầu tư

3 Đạo hàm và ứng dụng:

 Tối ưu hóa: Dùng đạo hàm để tìm giá trị tối ưu của các hàm kinh tế như hàm lợi

nhuận, hàm chi phí, v.v Ví dụ:

o Tìm mức sản lượng mà doanh nghiệp có thể đạt được lợi nhuận tối đa

o Tìm mức giá bán mà doanh nghiệp có thể thu được doanh thu tối đa

 Phân tích độ nhạy cảm: Dùng đạo hàm để đánh giá mức độ nhạy cảm của các biến

kinh tế đối với thay đổi của các yếu tố khác Ví dụ:

o Đánh giá mức độ nhạy cảm của lợi nhuận doanh nghiệp đối với thay đổi giá

o Tính toán tổng doanh thu bán hàng trong một khoảng thời gian

o Tính toán tổng lợi nhuận của doanh nghiệp trong một khoảng thời gian

 Tính toán giá trị hiện tại: Dùng tích phân để tính toán giá trị hiện tại của một dòng

tiền trong tương lai

 Mô hình hóa sự tăng trưởng: Dùng tích phân để mô hình hóa sự tăng trưởng của

các biến kinh tế theo thời gian

Ngoài ra, Toán cao cấp chương 1 còn có nhiều ứng dụng khác trong kinh tế như:

 Giải quyết các bài toán tối ưu hóa tuyến tính

 Phân tích các mô hình kinh tế vi mô và kinh tế vĩ mô

 Lập kế hoạch và dự báo kinh tế

Các ví dụ khác :

 Vật lý: Ma trận được sử dụng để mô hình hóa các chuyển động của vật thể trong

không gian

 Kỹ thuật: Ma trận được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến mạch điện,

truyền thông, và điều khiển hệ thống

 Toán học ứng dụng: Ma trận được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến tối ưu

hóa, mô phỏng, và giải tích số

 Thống kê: Ma trận được sử dụng để mô hình hóa các mối quan hệ giữa các biến

ngẫu nhiên