Giải tích số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Chử Văn Tiệp (Chủ biên)

Nguyễn Thành Chung - Nguyễn Hoàng Thành

GIẢI TÍCH SỐ

Đà Nẵng - 2021

Lời nói đầu 5

2.3 Nội suy Lagrange 12

2.4 Chọn mốc nội suy tối ưu 16

2.4.1 Hiện tượng Runge 16

2.4.2 Mốc nội suy Chebyshev 16

2.5 Nội suy Newton 20

3.2.4 Công thức Newton - Cotes 34

3.2.5 Công thức hình thang mở rộng và công thức Simpson mở rộng 36

3.3 Công thức Gauss 37

3.3.1 Đa thức Legendre 38

3.3.3 Công thức Gauss - Chebyshev 42

3.3.4 Công thức Gauss - Laguerre 43

3.3.5 Công thức Gauss - Hermite 44

3.4 Phương pháp Monte - Carlo 46

4 NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 53

4.5.2 Cách chọn điểm x0 để đảm bảo thuật toán hội tụ 67

4.5.3 Thuật toán Newton cải tiến cho trường hợp phương trình có nghiệm bội68 4.6 Phương pháp dây cung 69

4.7 Giải đa thức 72

4.7.1 Phương trình đa thức và sự phân bố nghiệm 72

4.7.2 Nghiệm phức và phương pháp Muller 77

5 NGHIỆM SỐ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG 85

5.3.2 Phương pháp Gauss - Seidel 97

5.3.3 Phương pháp giảm dư quá hạn liên tiếp 100

5.4 Phương pháp tính gần đúng giá trị riêng, vector riêng của ma trận 101

6 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRUNG BÌNH PHƯƠNG 105 6.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert 105

6.1.1 Bất đẳng thức Bessel và đẳng thức Parseval 105

6.1.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hibert 107

6.2.1 Xấp xỉ bằng đa thức đại số 109

6.2.2 Xấp xỉ bằng đa thức trực giao 109

6.3 Xấp xỉ trung bình phương hàm cho dưới dạng bảng bằng đa thức đại số 112

7 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 117 7.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân thường 117

7.2 Phương pháp một bước 118

7.2.1 Phương pháp xấp xỉ Picard 118

7.2.2 Phương pháp chuỗi Taylor 119

7.2.3 Phương pháp Euler 120

7.2.4 Phương pháp Euler cải tiến 122

7.2.5 Phương pháp Runge - Kutta 122

7.3 Phương pháp đa bước 127

7.3.1 Phương pháp Adams - Bashforth 128

7.3.2 Phương pháp Adams - Moulton 130

7.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 131

A Phần mềm toán học 139 A.1 MATLAB 139

A.1.1 Mở đầu về MATLAB 139

A.1.2 Giao diện 139

A.1.3 Các phép toán 140

A.1.4 Vẽ đồ thị cơ bản 140

A.2 Python 140

A.2.1 Tổng quan 140

A.2.2 Một số lệnh cơ bản trong Python 141

A.2.3 Thư viện trong Python 144

Giải tích số hay còn gọi là Phương pháp số, Phương pháp tính, Toán học tính toán là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học Giải tích số có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật, đặc biệt trong thế kỷ XXI, Giải tích số được ứng dụng trong khoa học xã hội, y học, tài chính, chẳng hạn nghiệm số của phương trình vi phân được sử dụng trong thiên văn học để dự đoán chuyển động của các hành tinh, các vì sao và các thiên hà, phương pháp số trong đại số tuyến tính được sử dụng để phân tích dữ liệu, các phương pháp số trong kỹ thuật siêu âm để chuẩn đoán tế bào ung thư, dò mìn, lý thuyết nội suy và và xấp xỉ hàm số được sử dụng trong dự báo thời tiết, dự báo biến đổi khí hậu, sự phát triển lây lan của dịch cúm, Sự phát triển của máy tính hiện đại trước và trong thế chiến thứ hai cũng với sự phát triển của ngôn ngữ lập trình bậc cao đã thúc đẩy Giải tích số lên một tầm cao mới mà tiên phong trong lĩnh vực này là Alan Mathison Turing (1912-1954) và John von Neumann (1903-1957) Ngày nay Giải tích số được ứng dụng ngày càng rộng rãi trong đời sống hàng ngày, chẳng hạn trong thiết kế máy bay, ô tô, chuẩn đoán bệnh, phân tích thị trường chứng khoán, xử lý dữ liệu

Hiện nay giáo trình về Giải tích số bằng tiếng Việt chưa nhiều, trong đó phải kể đến các cuốn sách hay được giới thiệu ở các tài liệu tham khảo [1, 2, 3] Tuy nhiên, những cuốn sách này đã được xuất bản khá lâu Cuốn sách này nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để tìm nghiệm xấp xỉ của các phương trình đại số và phương trình vi phân, hệ phương trình đại số tuyến tính, xấp xỉ hàm số

Với sự phát triển của cách mạng công nghệ thông tin như hiện nay, việc dạy và học môn học này trong các trường đại học cũng cần có những sự thay đổi cho phù hợp, chẳng hạn việc học Giải tích số cần gắn với việc chạy chương trình số trên các phần mềm tính toán hiện đại và hiệu quả, giảm nhẹ về kiến thức toán học ở mức độ chuyên sâu (xem [4, 5, 6, 7, 8]) Với quan điểm đó, cuốn sách này được biên soạn theo hướng thực hành và chi tiết các chứng minh khi cần thiết Sách được biên soạn theo chương trình đào tạo sinh viên sư phạm Toán của Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng và Trường Đại học Quảng Bình với thời lượng 3 tín chỉ (45 tiết) Ngoài ra, giáo trình cũng có thể được sử dụng để tham khảo khi giảng dạy học phần Phương pháp tính cho các trường kỹ thuật.

Nội dung cuốn sách gồm 7 chương:

• Chương 1 Sai số;

• Chương 2 Phép nội suy;

• Chương 3 Tính gần đúng đạo hàm và tích phân; • Chương 4 Nghiệm số của phương trình phi tuyến;

• Chương 5 Nghiệm số của hệ đại số tuyến tính và bài toán tìm giá trị riêng và vector riêng;

• Chương 6 Phương pháp xấp xỉ trung bình phương; • Chương 7 Giải gần đúng phương trình vi phân.

có rất nhiều phần mềm, ví dụ Maple, Matlab, R, C++, Python Chúng tôi chọn trình bày hai phần mềm trong số đó là Matlab và Python Phần mềm Matlab tương đối mạnh và giao diện trực quan, dễ sử dụng là lựa chọn hàng đầu cho những người làm về giải số Tuy nhiên, đây là phần mềm bản quyền, cho nên chúng tôi chọn minh họa thêm một phần mềm mã nguồn mở là Python để phù hợp với đa số người học là học sinh, sinh viên Ngoài ra, do môn Giải tích số cần kiến thức chuẩn bị của nhiều môn học khác ví dụ Giải tích, Đại số tuyến tính, Phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng, giải tích hàm, xác suất thống kê, nên để cho người đọc tiện nắm bắt vấn đề, các kiến thức cơ bản về các lĩnh vực trên sẽ được nhắc lại mỗi chương hoặc ở phần phụ lục.

Mặc dù nhóm tác giả đã dành nhiều thời gian và công sức trong công tác biên soạn, tham khảo các tài liệu và trình bày một cách hệ thống, song giáo trình sẽ khó tránh khỏi các thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến phản hồi từ bạn đọc để giáo trình được hoàn thiện hơn trong lần tái bản sau Mọi góp ý xin gửi về địa chỉ: Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng - 459 Tôn Đức Thắng - Đà Nẵng - Việt Nam.

Qua đây, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, cũng như các thầy, cô trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng đã ủng hộ, động viên trong quá trình biên soạn cuốn sách tham khảo này.

Đà Nẵng, tháng 11 năm 2021 Các tác giả

SAI SỐ

Chương này trình bày một số khái niệm về sai số: Sai số tương đối, sai số tuyệt đối, sai số quy tròn, Các kết quả chính được chứng minh chi tiết, bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [4, 1, 9, 10].

1.1 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

Sai số là giá trị chênh lệch giữa giá trị đo được hoặc tính được a và giá trị thực hay giá trị chính xáca⋆ của một đại lượng nào đó.

• Sai số tuyệt đối: |a − a⋆|.

• Sai số tuyệt đối giới hạn: Số dương ∆a nhỏ nhất thoả mãn

• Sai số giả thiết: Xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán Một ví dụ cho sai số loại này là vào năm 1964, Arno Penzias và Robert Wilson đã phát hiện ra bức xạ phông nền vũ trụ khi họ tiến hành nghiên cứu một máy thu tín hiệu vi sóng ở phòng thí nghiệm Bell Nguyên nhân là do khi chế tạo máy thu tín hiệu họ đã không tính đến độ nhiễu của bức xạ nền vũ trụ bởi vì lúc đó học thuyết về vụ nổ Bigbang vẫn còn chưa được công nhận.

• Sai số do số liệu ban đầu: Xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào không chính xác Một ví dụ cho sai số loại này là Năm 1999, tàu thăm dò khí hậu sao Hỏa Mars Climate Orbiter đã bị phá hủy do nhầm lẫn đơn vị đo giữa số số liệu đầu vào và lập trình trên máy tính, dẫn đến việc con tàu không kịp giảm tốc khi chạm vào bầu khí quyển sao Hỏa.

• Sai số phương pháp: Xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần đúng • Sai số tính toán: Xuất hiện do làm tròn số trong quá trình tính toán, quá trình tính

càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn.

1.3 Sai số quy tròn

Quy tắc quy tròn số: Quy tròn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng Cụ thể, nếu chữ số bỏ đi đầu tiên lớn hơn hoặc bằng 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.

Như vậy, với ba kết quả đầu thì tính gần đúng khai triển nhị thức Newton cho kết quả rất không chính xác Điều đó chứng tỏ việc quy tròn số cũng như việc lựa chọn thuật

1.4 Cách viết số xấp xỉ

• Chữ số có nghĩa: Các chữ số từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải của một số viết dưới dạng thập phân là chữ số có nghĩa.

+ Viết kèm theo sai số: a⋆ = a± ∆a hoặc a⋆ = a(1± δa).

+ Viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa là số đáng tin Một số viết theo cách thứ hai có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối giới hạn không lớn hơn một nửa đơn

b) Sai số của tích u = xy:

1.6 Thuật toán (Algorithm)

Thuật toán là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán.

Mã giả là một bản mô tả giải thuật lập trình máy tính ngắn gọn và không chính thức cấp cao, trong đó sử dụng những quy ước có cấu trúc của một số ngôn ngữ lập trình, nhưng thường bỏ đi những chi tiết không cần thiết để giúp hiểu rõ giải thuật hơn, như bỏ đi chương trình con, khai báo biến và những đoạn mã đặc biệt của hệ thống Ngôn ngữ lập trình được bổ sung bằng những mô tả chi tiết bằng ngôn ngữ tự nhiên ở nơi thích hợp, hoặc bằng ký hiệu toán học đơn giản.

Ví dụ 1.5 Viết mã giả cho thuật toán: Tính tổng x1+ x2+· · · + xN • Bước 1: INPUT N, x1, x2, , xN.

• Bước 2: Set SUM = 0.

• Bước 3: For i = 1, 2, , N Set SUM = SUM + xi • Bước 4: OUTPUT SUM.

Bài tập chương 1

1 Xét số đúng a∗ =√

3 với giá trị gần đúng a = 1.73 Hãy cho biết sai số tuyệt đối của nó.

2 Đo độ dài của cầu sông Hàn là 487.7 m và sai số tuyệt đối là ∆a = 0.01 m Tính δa 3 Khi đo một số góc ta được các giá trị sau:

7 Hãy xác định giá trị của hàm số dưới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối ứng với những giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin:

PHÉP NỘI SUY

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số công thức nội suy đa thức trong đó có đi sâu vào công thức nội suy Lagrange và nội suy Newton, cách chọn mốc nội suy tối ưu Các kết quả chính được chứng minh chi tiết, bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các

• Hãy ước lượng y(x).

• Hãy xây dựng một đa thức bậc không quá n

y = pn(x) = c0+ c1x + c2x2+ c3x3+· · · + cnxn sao cho

pn(xi) = yi, (i = 0, 1, , n).

Ngoài ý nghĩa lịch sử, đa thức đại số thường được dùng trong phép nội suy vì các phép toán cộng, trừ, nhân, đạo hàm, tích phân dễ dàng được thực hiện trên đa thức Hơn nữa kết quả sau đảm bảo cho việc chọn đa thức để xấp xỉ là khả thi.

Định lý 2.1 (Định lý xấp xỉ Weierstrass) Giả sử f là một hàm liên tục trên [a, b] Khi đó với mọi ϵ > 0, tồn tại một đa thức p(x) sao cho với mọi x thuộc [a, b] ta có |f(x) − p(x)| < ϵ.

2.2 Phương pháp Vandermonde

Chon+1 điểm (x0, y0) , (x1, y1) , , (xi, yi) , , (xn, yn), trong đó các xiđôi một khác nhau,i = 0, 1, , n Tìm một đa thức bậc không quá n

Chúng ta cần giải hệ phương trình trên để tìm các hệ sốci,i = 0, 1, , n, từ đó tìm được đa thức nội suy Hệ trên được viết dưới dạng ma trận vector như sau:

vì các xi, i = 0, n đôi một khác nhau nên hệ Vandermonde trên có nghiệm duy nhất Ví dụ 2.1 Bốn phép đo một hệ thống điện được thực hiện Điện thế ở thời điểm 0 s là 1 V, ở thời điểm 1 s là 2 V, 2 s là 9 V, và 3 s là 28 V Tìm một mô hình toán học cho

Tuy nhiên, phương pháp Vandermonde không phải là phương pháp hiệu quả cho bài toán trên nhất là khi số mốc nội suy lớn Dưới đây, chúng ta sẽ tiếp cận thêm một số phương pháp khác để tìm được đa thức nội suy.

2.3 Nội suy Lagrange

Định lý 2.2 Giả sử ta cón+1 điểm (x0, y0), (x1, y1), , (xn, yn) trong đó x0, x1, , xn là các số đôi một phân biệt Khi đó, tồn tại duy nhất một đa thức bậc không quá n đi qua n + 1 điểm này có dạng

Pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + + ynLn(x)

Chứng minh Ta có thể dễ dàng kiểm tra được mỗiLk(x), k = 0, n là một đa thức bậc n thỏa mãn tính chất Lk(xk) = 0 và Lk(xj) = 0 với mọi j ̸= k Từ đó suy ra Pn(x) là đa thức bậc không quá n thỏa mãn Pn(xi) = yi với mọi i = 0, n.

Chúng ta sẽ chứng minh tính duy nhất bằng phương pháp phản chứng Giả sửPn(x) vàQn(x) là hai đa thức bậc không quá n và đều thỏa mãn Chú ý 2.1 Có thể chứng minh sự tồn tại duy nhất bằng cách sử dụng hệ Vander-monde mà không cần viết công thức nội suy Lagrange.

Ví dụ 2.2 Trong trường hợp n = 1, tức là chỉ có hai mốc nội suy

Định lý dưới đây cho ta công thức tính sai số của phép nội suy.

Định lý 2.3 Cho f ∈ Cn+1[a, b] và (x0, y0), (x1, y1), , (xn, yn) là n + 1 điểm thuộc đồ thị hàm số f trong đó x0, x1, , xn là các số thực phân biệt Gọi Pn(x) là đa thức Lagrange bậc n đi qua các điểm trên Khi đó với mỗi x ∈ [a, b] tồn tại ξn nằm giữa m = min{x0, x1, , xn, x} và M = max{x0, x1, , xn, x} sao cho

Từ giả thiết của hàm f và cách xây dựng hàm ϕ ta có ϕ ∈ Cn+1[a, b] và theo trên hàm ϕ có n + 2 nghiệm Từ định lý Rolle, suy ra rằng giữa hai nghiệm của hàm f sẽ tồn tại ít nhất một nghiệm của đạo hàm f′ Do đó, ϕ′ có ít nhấtn + 1 nghiệm trong khoảng (a, b), ϕ′′ có ít nhất n nghiệm trong khoảng (a, b), , ϕ(n+1) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b) Tức là, tồn tại ξ∈ (a, b) sao cho

Ví dụ 2.4 Tìm cận trên cho sai số tại điểm x = 0.25 và x = 0.75 giữa hàm số f (x) = ex và đa thức nội suy đi qua các mốc −1, −0.5, 0, 0.5, 1.

Lời giải Ta có M = sup

2.4 Chọn mốc nội suy tối ưu

2.4.1 Hiện tượng Runge

Hiện tượng trên được gọi là hiện tượng Runge (sai số ở điểm gần hai đầu mút tăng lên vô hạn khi số điểm chia của mốc nội suy cách đều tăng lên vô hạn).

Chú ý 2.2 Hiện tượng Runge không phải luôn xảy ra với mọi hàm chẳng hạn hàm y = cos x như hình vẽ bên dưới.

2.4.2 Mốc nội suy Chebyshev

Tn−1(x) = cos(n− 1)y = cos(ny − y) = cos ny cos y + sin ny sin y Cộng vế với vế hai phương trình trên ta thu được

Định nghĩa 2.1 Cho trước một số tự nhiênn, các điểm Chebyshev trên (−1, 1) được cho bởi công thức sau

Định lý 2.4 Cho f ∈ Cn+1[−1, 1] và Pn(x) là đa thức nội suy của f với các mốc nội suy Chebyshev Khi đó

Vì các đa thức xác định duy nhất bởi các nghiệm của chúng (sai khác một hằng số nhân) và vìω(x) và Tn(x) có cùng số nghiệm, ta có

ωn= cnTn+1

với một hằng số cn là một hằng số nào đó Ta thấy hệ số của số hạng mũ cao nhất xn+1

của ωn là1 nên từ tính chất của Tn+1 suy ra cn = 2−n Do |Tn+1(x)| ≤ 1, ta có

|ωn(x)| = |cnTn+1(x)| = |cn||Tn+1(x)| ≤ 2−n

với mọix∈ [−1, 1] Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh ■ Với đoạn [a, b] bất kỳ, bằng cách đổi biến ta có

Từ công thức ước lượng sai số trên, ta thấy rằng nếu hàmf (x) bị chặn và có các đạo hàm cấp cao cũng bị chặn thì khi số mốc nội suy càng lớn thì sai số càng giảm dần về0 Ta có thể chỉ ra rằng cách chọn mốc nội suy Chebyshew là tối ưu nhất.

Định lý 2.5 Với mọi đa thức Pn(x) với hệ số ứng với lũy thừa bậc cao nhất bằng 1

với mọik = 0, 1, , n nên Q(xk)≥ 0, với k lẻ và Q(xk)≤ 0, với k chẵn

Vì Q là hàm liên tục nên theo định lý giá trị trung gian cho mỗi j = 0, 1, , n− 1, đa thức Q(x) có ít nhất một nghiệm nằm giữa xj và xj+1 Do đó Q(x) có ít nhất n nghiệm trong khoảng[−1, 1] Mà bậc của Q không vượt quá n − 1 nên Q(x) ≡ 0 Do đó

Hình 2.5: Nội suy hàm Runge với mốc nội suy Chebyshev

2.5 Nội suy Newton

Công thức nội suy Lagrange cho chúng ta một công thức tường minh và dễ nhớ về đa thức nội suy Tuy nhiên, nó có một nhược điểm là nếu bổ sung thêm một hay một vài điểm vào bảng dữ liệu, ta sẽ phải tính lại tất cả các đa thức Lagrange cơ bản mà không thể kế thừa được những gì đã tính Newton đưa ra một cách tiếp cận khác cho đa thức nội suy giúp ta khắc phục được nhược điểm trên Đa thức nội suy Newton đi quan điểm

Từ các tính toán trên ta thấy được quy luật để tính hệ số cn Để đơn giản ta sẽ sử dụng ký hiệu tỷ sai phân như dưới đây.

2.5.1 Tỷ sai phân

Tỷ sai phân cấp 1 của hàm f (x) tương ứng với 2 điểm x0 vàx1 được ký hiệu f [x0, x1] và được cho bởi công thức sau

Giả sử x0, x1, , xn là n + 1 điểm phân biệt Khi đó tỷ sai phân cấp n được cho bởi công thức sau

f [x0, x1, , xn] = f [x1, x2, , xn]− f[x0, x1, , xn−1] xn− x0

Để thuận tiện trong cách trình bày, ta quy ước tỷ sai phân cấp 0 của hàm f ứng với xi, ký hiệu f [xi] là giá trị của hàm f tại xi:

Sử dụng khái niệm tỷ sai phân, bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được công thức nội suy Newton sau:

Định lý 2.6 Giả sử Pn(x) đa thức nội suy của hàm y = f (x) tại n + 1 điểm phân biệt (x0, y0), (x1, y1), ,(xn, yn), tức là Pn(xi) = f (xi) với i = 0, 1, , n Khi đó Pn(x) có dạng

Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x− x0) +

+ f [x0, x1, , xn](x− x0)(x− x1) (x− xn−1).

Áp dụng định lý Lagrange ta thấy nếu hàm f ∈ C1([a, b]), x0, x1 ∈ [a, b], khi đó tồn tại ξ là một số nằm giữa x0 và x1 sao cho

Định lý 2.7 Choy = f (x) là hàm n≥ 1 lần khả vi liên tục trên [a, b] và x0, x1, , xn

là n + 1 điểm phân biệt thuộc [a, b] Khi đó tồn tại ξ∈ (a, b) sao cho

Vì f (xi) = Pn(xi) với mọi i = 0, 1, , n nên hàm g có n + 1 không điểm phân biệt trong [a, b] Áp dụng định lý Rolle mở rộng, tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho g(n)(ξ) = 0 Do đó

x đi qua các điểm nội suy (1, 1), (4, 2), và (9, 3) sử dụng công thức tỷ sai phân Newton.

Lời giải Áp dụng công thức nội suy Newton ta có

Ví dụ 2.8 Bảng tỷ sai phân cho các điểm (1, 6), (2, 11), (3, 18), và (4, 27) có dạng xi yi f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2]

2.5.2 Mốc cách đều

Giả sử x0, x1, , xnlà một dãy tăng các điểm phân biệt cách đều nhau: h = xi+1− xi

và x = x0+ sh Khi đó công thức nội suy Newton có được viết dưới dạng

Nếu các mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự từ cuối lênxn, xn−1, , x0, ta có công thức nội suy Newton lùi sau

Ví dụ 2.9 Cho trước 5 điểm (−1, 1), (1, −1), (2, 13), (3, 69), (4, 221) Hãy tìm đa thức bậc không quá 4 đi qua các điểm trên.

Lời giải Ta có bảng tỷ sai phân như sau

Nếu thêm một điểm (0,−3), điều gì sẽ xảy ra? Khi đó

Ta thấy cột cuối cùng có hệ số bằng 0 nên ta vẫn chỉ thu được đa thức như trên Điều này chỉ ra rằng điểm mới thu vào nằm trên đồ thị của đa thức bậc bốn trên.

Khi giá trị cần ước lượng nằm ở đầu bảng ta sẽ sử dụng công thức nội suy Newton tiến, khi giá trị cần ước lượng nằm ở cuối bảng ta sẽ sử dụng công thức nội suy Newton tiến lùi, kết quả sẽ chính xác hơn Còn khi giá trị cần ước lượng nằm ở giữa bảng, ta sẽ

Lời giải Do giá trị cần ước lượng nằm giữa bảng nên ta sẽ sử dụng công thức Stirling Ta có bảng sai phân như sau:

x−2 = 0.20 y−2 = 1.37638

x−1 = 0.21 y−1 = 1.28919 00679

nằm trên một đa thức Sử dụng bảng tỷ sai phân, tìm bậc của đa thức đó.

5 Sử dụng phương pháp nội suy Newton tìm đa thức bậc thấp nhất đi qua các điểm sau

6 Tính Sn = 1 + 42 + 72+· · · + (3n + 1)2 7 Tính Sn = 1 + 22 + 32+· · · + n2.

8 Tính Sn = 1 + 23 + 33+· · · + n3.

9 Sử dụng công thức nội suy Lagrange, hãy phân tích phân thức hữu tỷ sau thành tổng các phân thức tối giản cơ bản (a) Hãy tìm đa thức nội suy Lagrange qua ba điểm A1, A3 và A4.

(b) Hãy tìm đa thức nội suy bậc không quá bốn p4(x) đi qua 5 điểm trên (c) Hãy tìm một đa thức bậc năm đi qua 4 điểm A1, A2, A3 vàA4

11 Có bao nhiêu đa thức bậc 5 cắt đa thức f (x) = x6 − 2x5 + 4x3− 2x2 + 2x + 4 tại 7 điểm phân biệt.

12 Số người nhiễm covid-19 ở Đà Nẵng trong mấy ngày đầu tháng 9 năm 2021 theo thống kê của bộ y tế như sau:

y (số ca nhiễm) 55 81 63 34

Hãy tìm đa thức nội suy P3(x) bậc không quá 3 đi qua bốn điểm trên và từ đó ước lượng số ca nhiễm trong ngày thứ 4.

13 Đa thức Berstein bậc n ứng với hàm f ∈ C[0, 1] được cho bởi

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp cơ bản tính gần đúng đạo hàm và tính gần đúng tích phân Bạn đọc muốn tìm hiểu sâu hơn về những vấn đề này có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [4, 9, 11, 12].

với các giá trị gần0 của h Tuy không phải là một cách hiệu quả để tính xấp xỉ đạo hàm nhưng đây là một công thức dễ nhớ Để tính đạo hàm một cách chính xác hơn, ta giả sử rằng {x0, x1,· · · , xn} là n + 1 điểm phân biệt trong một khoảng I và f ∈ Cn+1(I) Lấy đạo hàm công thức nội suy

Để thuận tiện, trong công thức thứ hai ta thay x0 cho x0+ h, công thức cuối ta thay x0 cho x0+ 2h thu được ba công thức xấp xỉ cho f′(x0) như sau

Chú ý rằng trong phương trình thứ ba nếu thay thế −h bằng h thì công thức này trở về công thức thứ nhất nên thực chất ta chỉ có hai công thức

• Công thức ba điểm ở đầu mút:

Mặc dù sai số ở hai công thức (3.2) và (3.3) đều là O(h2), sai số của công thức (3.3) chỉ xấp xỉ một nửa sai số của công thức (3.2).

Nếu ta sử dụng đa thức nội suy cho 5 điểm ta một cách tương tự ta cũng thu được các công thức 5 điểm với sai số O(h4) như sau

Bằng cách sử dụng đa thức nội suy với nhiều mốc nội suy hơn ta thu được công thức đạo hàm cấp cao hơn, chẳng hạn

Chọn {x0, x1,· · · , xn} thuộc [a, b], lấy tích phân đa thức nội suy Lagrange và sai số của nó trên [a, b] ta được:

Ta thấy công thức Simpson là chính xác vì sai số với f (x) = x2 là bằng 0 Kết quả được tổng kết dưới bảng sau

Định nghĩa 3.1 Bậc chính xác của một phương pháp xấp xỉ tích phân là số nguyên k lớn nhất mà mọi đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng k được tính chính xác bằng phương pháp này.

Theo định nghĩa trên ta thấy bậc chính xác của công thức hình thang là1 và của công thức Simpson là3.

Chú ý 3.1 Bậc chính xác của một phương pháp xấp xỉ tích phân bằngn khi và chỉ khi sai số bằng không với mọi đa thức bậck = 0, 1,· · · n và khác không với một đa thức bậc n + 1 nào đó.

Công thức hình thang và công thức Simpson thuộc công thức Newton - Cotes Có hai loại công thức Newton Cotes là công thức Newton Cotes đóng và công thức Newton -Cotes mở.

3.2.4 Công thức Newton - Cotes

Công thức Newton - Cotes đóng: sử dụng các nút xi = x0+ ih, x0 = a, xn = b,

trong đó ξ là một số nào đó nằm giữa x0 và x4.

Công thức Newton-Cotes mở: sử dụng các nút xi = x0+ ih, x0 = a + h, xn = b− h,

trong đó ξ là một số nào đó nằm giữa x−1 vàx4.

Ví dụ 3.3 So sánh kết quả xấp xỉ bằng các công thức Newton - Cotes đóng và mở

24 [11 sin π/20 + sin π/10 + sin 3π/20 + 11 sin π/5]≈ 0.29286923 Chi tiết về sai số được thể hiện ở bảng dưới đây

Để kết quả xấp xỉ chính xác hơn, chúng ta chia nhỏ đoạn[a, b] trước khi áp dụng công thức hình thang hoặc Simpson.

Định lý 3.1 (Công thức hình thang mở rộng) Cho f ∈ C2[a, b], h = (b− a)/n, xj = a + jh Khi đó công thức hình thang suy rộng được cho bởi công thức

Định lý 3.2 (Công thức Simpson mở rộng) Cho f ∈ C2[a, b], h = (b− a)/n, xj = a + jh, n chẵn Khi đó tồn tại µ∈ [a, b] sao cho

Lời giải Chúng ta sẽ sử dụng công thức Simpson vì nó chính xác hơn công thức hình thang Vì ta có 6 điểm nên ta sẽ kết hợp sử dụng công thức Simpson 3/8 và công thức

Simpson 1/3 như sau

Tổng quát hệ số của công thức Gauss được suy ra từ nghiệm của đa thức Legendre mà ta sẽ nghiên cứu dưới đây.

P (x)Pn(x)dx = 0 với mọi đa thức P (x) có bậc nhỏ hơn n.

Một số đa thức Legendre đầu tiên:

Các nghiệm của đa thức Legendre là phân biệt trong khoảng (-1,1) và đối xứng với nhau qua gốc tọa độ và quan trọng nhất là chúng là các nút tối ưu cho phương pháp

Gauss Các nút x1, x2, xn cần để tạo ra một công thức xấp xỉ tích phân cho kết quả chính xác đối với các đa thức có bậc nhỏ hơn2n là các nghiệm của đa thức Legendre bậc

Chứng minh Trước tiên, ta xét trường hợpP (x) là đa thức bậc nhỏ hơn n Sử dụng công thức nội suy Lagrange ta có

Do đó định lý đúng với đa thức bậc nhỏ hơnn.

Tiếp theo, ta xétP (x) là các đa thức có bậc ít nhất là n và nhỏ hơn 2n Chia đa thức P (x) cho đa thức Legendre Pn(x) ta được