Hà Nôi, 2021 Ta xét phương trình dạng đa thức: f(x)=P(x)=a_0 xn+a_1 x(n1)+⋯+a_(n1) x+a_n (1) trong đó a_0≠ 0. Để tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình (1), ta hoàn toàn có thể áp dụng các phương pháp đã học như lặp đơn, tiếp tuyến, dây cung, ... Nhưng do (1) có dạng đa thức nên cũng có những đặc trưng riêng, có thể giải theo phương pháp khác. I. Sơ đồ Hoocne Tính giá trị của đa thức Tại x=c nếu f(c)=p(c)=0 thì hiển nhiên c là nghiệm của phương trình (1) Nói chung với c bất kì thì p(c)≠0. Ta sẽ tìm p(c)
BÁO CÁO MƠN HỌC: GIẢI TÍCH SỐ ĐỀ TÀI 6: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Giảng viên hướng dẫn: TS Hà Thị Ngọc Yến Danh sách thành viên nhóm: 1.Đinh Tuấn Anh 20185429 2.Đặng Minh Anh 20195947 3.Hồng Thanh Bình 20195950 4.Bùi Thị Lan Chi 20195952 5.Phạm Thanh Nhã 20195986 Hà Nơi, 2021 Ta xét phương trình dạng đa thức: f ( x )=P ( x )=a0 x n +a x n−1+ …+a n−1 x+ an (1) a ≠ Để tìm nghiệm thực gần phương trình (1), ta hồn tồn áp dụng phương pháp học lặp đơn, tiếp tuyến, dây cung, Nhưng (1) có dạng đa thức nên có đặc trưng riêng, giải theo phương pháp khác I Sơ đồ Hoocne Tính giá trị đa thức Tại x=c f ( c ) =p ( c )=0 hiển nhiên c nghiệm phương trình (1) Nói chung với c p ( c ) ≠ 0.Ta tìm p ( c ) Do p ( x )=a0 x n +a1 xn −1 +…+ an−1 x + an=( a0 x +a ) x n−1 +a2 x n−2 … =( ( a x +a1 ) x+ a2 ) x n−2+ …=(… ( ( a0 x+ a1 ) x + Khi x=c ta tính dần: a 0=b a 1+b c=b1 a 2+ b1 c=b2 … a n+ bn−1 c=bn bn= p (c) Quá trình mô tả bảng sau Gọi sơ đồ Hoocne a a a … an −1 Hệ số đa thức c b0 c b1 … c bn−2 b b b … bn−1 c Ta thấy sốb , b1 , b2 , … bn−1 hệ số đa thức thương Q(x) chia đa thức p(x) cho đơn thức x - c Thực Ta đặt: 𝑄(𝑥) = 𝛽) = 0𝑥) = 𝛽𝑛−1−1 + 1𝑥) = 𝛽𝑛−1−2 + … + 𝑝(𝑥) = 𝛽) = 𝑄(𝑥) = 𝛽)(𝑥) = 𝛽 − 𝑐) + 𝛽) + 𝑛−1 𝑛−1−2 𝑥) = 𝛽 + 𝑛−1−1 (2) (3) Khai triển (3) ta được: 𝑝(𝑥) = 𝛽) = 0𝑥) = 𝛽𝑛−1(+ (1 − 0𝑐) + 𝛽)𝑥) = 𝛽𝑛−1−1(+ … + (𝑛−1−1 − 𝑛−1−2 (𝑐) + 𝛽)𝑥) = 𝛽(+ (𝑛−1 − Đồng theo lũy thừa x với phương trình (1) 𝛽0 = 𝑎0 𝛽1 − 0𝑐) + 𝛽 = 𝑎1 𝛽𝑛−1 − 𝑛−1−1 𝑐) + 𝛽 = 𝑎𝑛−1 Hay 𝑎0 = a1 + 0𝑐) + 𝛽 = 𝑎𝑛−1 + 𝑛−1−1 𝑐) + 𝛽 = 𝑛−1 𝑛−1−1 𝑐) + 𝛽) So sánh với hệ có thay 𝑥) = 𝛽 = 𝑐) + 𝛽 ta thấy: 𝑏0 = 0, 𝑏1 = 1, 𝑏𝑛−1 = 𝑛−1 = 𝑝(𝑐) + 𝛽) ., Hay nói cách khác 𝑝(𝑥) = 𝛽) = (𝑥) = 𝛽 − 𝑐) + 𝛽)[𝑏0𝑥) = 𝛽𝑛−1−1 + 𝑏1𝑥) = 𝛽𝑛−1−2 + … + 𝑏𝑛−1−1] + 𝑝(𝑐) + 𝛽) Như sơ đồ Hoocne tính giá trị đa thức p(x) điểm x = c, đồng thời cho ta đa thức thương đa thức p(x) chia cho x – c Ví dụ: Cho 𝑝(𝑥) = 𝛽) = 𝑥) = 𝛽4 − 4𝑥) = 𝛽3 − 7𝑥) = 𝛽2 + 22𝑥) = 𝛽 + 24 Tính 𝑝(5) tìm đa thức 𝑝1(𝑥) = 𝛽) cho: 𝑝(𝑥) = 𝛽) = (𝑥) = 𝛽 − 5)𝑝1(𝑥) = 𝛽) + 𝑝(5) Lập sơ đồ Hoocne ta được: p(x) -4 -7 22 24 5 -10 60 -2 12 84 = p(5) Vậy 𝑝(5) = 84 𝑝1(𝑥) = 𝛽) = 𝑥) = 𝛽3 + 𝑥) = 𝛽2 − 2𝑥) = 𝛽 + 12 Đồng theo lũy thừa x với phương trình (1) II MIỀN CHỨA NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Định lý 1: Xét phương trình 𝑝(𝑥) = 𝛽) = 𝑎0𝑥) = 𝛽𝑛−1 + 𝑎1𝑥) = 𝛽𝑛−1−1 + … + 𝑎𝑛−1−1𝑥) = 𝛽 + 𝑎𝑛−1 = (4) (𝑎0 ≠ 0, 𝑎𝑖 ∈ 𝑅 với với i=1 ´, n) Đặt 𝐴 = max{|𝑎 = max{|𝑎𝑖|, i=1 ´, n} nghiệm (thực phức) phương trình (4) thỏa mãn |x|1 nên |x n|−1 n ¿ 0, 𝑎𝑖 > với 𝑖 = 1, 𝑛−1 𝑝(𝑥) = 𝛽) > ∀𝑥) = 𝛽 > 0; phương trình (4) khơng có nghiệm dương Giả sử 𝑎0 > 0, 𝑎𝑘 (𝑘 ≥ 1) hệ số âm tính từ 𝑘 = 1,2, … gọi B = max trị tuyệt đối hệ số âm Thì nghiệm dương phương trình (4) thỏa mãn √ x 0, phương trình khơng có nghiệm dương, tức là: −1− A < x ≤ hay x ϵ ¿ hay x ϵ [−r , 0] , |a0| chuyển sang bước Nếua n> k bậc a k = max {|ai|, 0 => sign = 1, chuyển sang 3.6 3.5: f ' ( x n−1 ) sign = -1 3.6: Gán x n=x n−1 +sign∗η∗f '( x n−1) 3.7: Gán x = xn 3.8: Kiểm tra xem x ≥ b ,đúng kết thúc chương trình, sai sang 3.9 ' 3.9: Kiểm tra |f ( x n )|> ε chưa, quay lại 3.6, sai trả x n o Bước 4: Sử dụng hàm xếp cận trên, cận cực trị Ta dãy cD, a0, a1, a2, a3,…,an, cT dãy sau xếp o Bước 5: Xác định khoảng phân ly • Tìm (a, b) cho f(a).f(b) < f’(x) không đổi dấu [a, b] • Lưu ý tìm khoảng phân ly nhỏ tốt • Ta nhận dãy cD, a0, a1, a2, a3,…,an, cT dãy sau xếp điểm cực trị => Chọn liên tiếp cặp de tạo thành khoảng phân ly Ví dụ: (cD, a0);(a0, a1);(a1, a2);…;(an-1, an);(an, cT) o Bước 6: Tìm nghiệm gần đa thức phương pháp chia đôi Sử dụng phương pháp chia đôi để thu nhỏ khoảng phân ly nghiệm, chọn sai số ε |b – a| < ε ta tìm nghiệm gần Một số ví dụ minh họa 3.1 Tìm nghiệm gần phương trình: x5- 3x + =0 Ta có đồ thị phương trình: Tìm cận trên, cận bán kính R: Kết quả: Sử dụng thuật toán vét cạn dùng khoảng cách k : Sử dụng thuật toán Gradient Descent: Đánh giá so sánh: Ở trường hợp này, chương trình chạy tốt thuật tốn 3.2 Tìm nghiệm gần phương trình: x8 - 3x3 – = Ta có đồ thị phương trình: Tìm cận trên, cận bán kính R: Sử dụng thuật tốn vét cạn dùng khoảng cách k : Sử dụng thuật toán Gradient Descent: Không cho cực trị Đánh giá so sánh: Do giới hạn thuật toán GDA điểm giới hạn learning rate (Điểm khởi tạo xa so với cực trị mà learning rate nhỏ 0.0005 ) nên ta khơng tìm nghiệm phương trình Ở phương trình này, thuật tốn vét với khoảng cách k chạy tốt 3.3 Tìm nghiệm gần phương trình: x4 - x2 + 0.25 = Ta có đồ thị phương trình: Tìm cận trên, cận bán kính R: Kết quả: Sử dụng thuật toán vét cạn dùng khoảng cách k : Khơng tìm nghiệm trường hợp Sử dụng thuật toán Gradient Descent: Đánh giá so sánh : Trong trường hợp đồ thị nằm hoàn toàn phía trục hồnh tiếp xúc với trục hồnh Với x1, x2 ta ln có f ( x ) f ( x ) ≥ 0) Do với k khơng thể tìm khoảng ly nghiệm phương pháp vét cạn sử dụng bước nhảy Mà trường hợp nghiệm phuơng trình điểm tiếp xúc với trục hồnh cực trị nên hồn tồn dụng tốt phương pháp GDA