Báo cáo bài tập lớn học phần lập trình python đề tài mã hoá và giải mã rabin

Lý do tại sao hệ thống mã hóa Rabin được sử dụng để bảo vệ thông tin là do tính toán các giá trị nguyên tố lớn và các phép toán toán học phức tạp liên quan đến các số nguyên tố.. Thành c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN - 

-BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Học phần: Lập trình python

Đề tài:

Mã hoá và giải mã Rabin

***

HỌ VÀ TÊN SINH VIÊN: Phạm Tiến Huy

Đinh Thị Hồng Nhung

Phạm Thị Thanh Huyền

Lớp: Công nghệ thông tin 1.K22

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: PGS.TS.LÊ ĐẮC NHƯỜNG

Hải Phòng 2023

1

MỤC LỤC

I.GIỚI THIỆU HỆ MÃ HOÁ RABIN 4

1.Michael O.Rabin 4

2.Giới thiệu hệ mã hoá Rabin 4

3.Giới thiệu PIP 5

II.KHẢO SÁT VÀ PHÂN TÍCH HỆ MÃ HOÁ RABIN 5

Phần I.Sơ đồ hệ mã hoá rabin 5

1.Giải thuật tạo khoá cho hệ mã Rabin 7

2 Giải thuật mã hoá công khai Rabin 7

3 Giải thuật giải mã cho hệ mã hoá Rabin 8

4 Ví dụ 9

Phần 2: Các đặc trưng của hệ mã Rabin 11

1.Tính an toàn của hệ mã 11

2 Sử dụng dư thừa dữ liệu 11

3 Tính hiệu quả 12

4 Ưu và nhược điểm của hệ mã Rabin 12

III.GIỚI THIỆU CODE 12

IV.ỨNG DỤNG CỦA HỆ MÃ RABIN 16

LỜI NÓI ĐẦU

Hệ thống mã hóa Rabin là một trong những phương pháp mã hóa khóa công khai phức tạp và mạnh mẽ, dựa trên tính toán toán học phức tạp

Khi chúng ta bắt đầu thảo luận về mã hóa và giải mã Rabin, thường sẽ bắt đầu bằng việc tạo ra một cặp khóa, bao gồm khóa công khai (public key) và khóa bí mật (private key) Khóa công khai có thể được chia sẻ với mọi người, trong khi khóa bí mật được giữ bí mật

Lý do tại sao hệ thống mã hóa Rabin được sử dụng để bảo vệ thông tin là

do tính toán các giá trị nguyên tố lớn và các phép toán toán học phức tạp liên quan đến các số nguyên tố Nó có tính khả thi cho việc giải mã mà không có khóa bí mật phù hợp Thành công trong việc giải mã Rabin yêu cầu việc tìm ra các ước số của một số nguyên tử lớn, điều này được coi là một vấn đề tính toán rất khó

Lưu ý rằng mã hóa và giải mã Rabin thường sử dụng trong các ứng dụng bảo mật thông tin và giao tiếp an toàn Nó không chỉ đơn giản là một cách để bảo vệ dữ liệu mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo tính toàn vẹn

và bảo mật của thông tin quan trọng

3

I.GIỚI THIỆU HỆ MÃ HOÁ RABIN

1 Michael O.Rabin

Michael Oser Rabin là một nhà toán học người Israel sinh ngày 1 tháng 9 năm 1931 tại Bessarabia (nay là Moldova) Ông là giáo sư tại Trường Đại học Harvard và Trường Đại học Hebrew Jerusalem, và đã đóng góp đáng kể cho lĩnh vực khoa học máy tính

Michael O Rabin đã đạt được nhiều thành tựu trong nghiên cứu toán học

và khoa học máy tính Ông đã đưa ra các ý tưởng quan trọng về lý thuyết tính toán, bao gồm bài toán chấp nhận ngôn ngữ (acceptance of languages) và thuật toán Monte Carlo

Ngoài ra, Michael O Rabin cũng là một trong những nhà toán học đầu tiên đóng góp cho lĩnh vực mật mã học, với việc phát triển hệ mã hóa Rabin, một thuật toán mã hóa khóa công khai Hệ mã hóa Rabin được coi là một trong những thuật toán mã hóa khóa công khai đầu tiên được phát triển sau thuật toán RSA

Vì những đóng góp của mình trong lĩnh vực khoa học máy tính và toán học, Michael O Rabin đã được trao nhiều giải thưởng danh giá, bao gồm giải thưởng Turing năm 1976 và giải thưởng Israel trong lĩnh vực khoa học máy tính

và toán học vào năm 2002

2 Giới thiệu hệ mã hoá Rabin

Một đặc điểm quan trọng đáng mong muốn của bất kì lược đồ mã hóa nào

là nó phải chứng minh được là việc phá khóa tương đương với việc giải một bài toán nào đó đã biết, mà người ta tin tưởng là rất khó, giống như việc phân tích ra thừa số hay giải bài logarit rời rạc

Chẳng bao lâu sau sự công bố hệ thống RSA, năm 1979 Michael O.Rabin

đã cho ra đời hệ thống mã hóa công khai của riêng mình Đó là sự phá vỡ của cái khó khăn mà sự phân tích thành nhân tử của hệ mã hóa RSA đã gặp phải

Hệ mã hóa công khai Rabin là một ví dụ đầu tiên về một lược đồ khóa công khai đã được chứng minh về tính an toàn Khó khăn mà một người tấn công thụ động gặp phải khi giải mã đó là độ khó tương đương về mặt tính toán với việc phân tích ra thừa số

Nghĩa là với một số bất kỳ(n công khai) thì sự giải mã sẽ khó tương đương với giải bài toán phân tích ra thừa số nguyên tố

Hệ mã hóa Rabin sử dụng phương pháp mã hóa và giải mã khóa công khai, tức là sử dụng hai khóa khác nhau để mã hóa và giải mã thông tin Khóa

công khai được công khai cho tất cả mọi người, trong khi khóa riêng (private key) được giữ bí mật bởi người nhận thông tin

Thuật toán mã hóa Rabin sử dụng một hàm băm (hash function) để chuyển đổi thông tin cần mã hóa thành một số nguyên Sau đó, thuật toán sử dụng khóa công khai để mã hóa số này Người nhận sẽ sử dụng khóa riêng để giải mã số này và chuyển đổi trở lại thành thông tin gốc ban đầu

3 Giới thiệu PIP

PIP (Package Installer for Python) là một trình quản lý gói mở rộng và phổ biến được sử dụng trong Python để cài đặt và quản lý các thư viện và gói mô-đun từ Python Package Index (PyPI) và từ các kho lưu trữ khác PIP giúp người dùng dễ dàng cài đặt và quản lý các thư viện và gói mô-đun Python một cách hiệu quả

Dưới đây là một số tính năng chính của PIP:

- Cài đặt Gói: PIP cho phép người dùng cài đặt các gói mô-đun Python từ PyPI hoặc từ các kho lưu trữ khác bằng cách sử dụng lệnh đơn giản pip install

<package_name>

- Quản lý Gói: PIP cũng cung cấp các chức năng quản lý gói như cập nhật, gỡ cài đặt hoặc xem thông tin về gói mô-đun cụ thể

- Tải và Cập nhật Gói: PIP cho phép người dùng tải và cập nhật các phiên bản mới của gói mô-đun từ PyPI hoặc từ các kho lưu trữ khác

- Xử lý Phụ thuộc: PIP tự động xử lý các phụ thuộc và cài đặt các gói phụ thuộc cần thiết cho một gói cụ thể

- Tạo Môi trường ảo: PIP cung cấp tính năng tạo môi trường ảo để cách ly và quản lý các phụ thuộc của dự án một cách độc lập

- Sử dụng PIP, người dùng có thể dễ dàng quản lý và cài đặt các gói mô-đun Python từ một nguồn tài nguyên phong phú như PyPI, giúp việc phát triển và quản lý dự án Python trở nên hiệu quả và thuận tiện hơn

II.KHẢO SÁT VÀ PHÂN TÍCH HỆ MÃ HOÁ RABIN Phần I Sơ đồ hệ mã hoá rabin

Sơ đồ hệ mật mã khóa công khai Rabin được cho bởi:

S=(P, C, K, E, D)

Trong đó:

5

P =C=Z n, trong đó n là một số nguyên Blum, n =p × q, với p và q là 2 số nguyên tố có tính chất p ≡3 mod 4 , q ≡3 mod 4.

K={ ¿ (khóa công khai) ¿(n , B), K “ (khóa bí mật) ¿(p , q), 0 ≤ B ≤ n−1 }

Các thuật toán E và D được xác định bởi:

E(K '

D¿

Trong một mạng truyền tin bảo mật với sơ đồ mật mã Rabin, mỗi người tham gia chọn cho mình các yếu tố n, B, p, q để lập nên khóa công khai và khóa bí mật của mình

Thuật toán giải mã dK =D left ({K} ^ {¿, y¿ ¿ :

ĐặtC=B

2

4 , ta có dK (y)= left (sqrt {C} - {B} over {2} right ) mod, do đó để có dK”(y) ta cần tính √C mod n, tức cần giải phương trình Z2≡C mod n

• Theo định lý số dư Trung Quốc, phương trình đó tương đương với hệ thống gồm 2 phương trình sau đây: ( ¿ )

Z2≡C mod p

Z2≡C mod q

Định lý Fermat: nếu p là số nguyên tố thì: C p−1≡1 mod p

• Theo tiêu chuẩn Euler: khi p là số nguyên tố thì số a là thặng dư bậc 2 mod p nếu và chỉ nếu a ( p−1)/2 ≡1 mod p

Vì p là số nguyên tố và C là thặng dư bậc 2 mod p nên ta có:

C ( p−1)/2 ≡1 mod p

Tương tự, vì q là số nguyên tố và C là thặng dư bậc 2 mod q nên ta có:

C (q−1)/2 ≡1 mod q

• Theo giả thuyết, p ≡3 mod 4 , q ≡3 mod 4 nên ( p+1)/ 4 và (q+ 1)/ 4 là các số nguyên và ta có:

(± C ( p+1) / 4)2

≡C mod p

(± C ( p+1) / 4)2

≡C mod q

Do đó, phương trình Z2≡C mod n hay hệ phương trình ( ¿ ) có 4 nghiệm theo mod n tương ứng với 4 hệ phương trình sau đây:

(1)Z ≡C ( p+1 )/ 4 mod p (3)Z ≡ −C (p +1)/4

mod p

Z ≡C ( p +1)/ 4 mod q Z ≡C ( p +1)/ 4 mod q

(2)Z ≡C ( p+1 )/ 4

mod p (4)Z ≡ −C ( p +1)/ 4

mod p

Z ≡ −C (p +1)/4

mod q Z ≡ −C (p +1)/4

mod q

Cả 4 nghiệm của 4 hệ phương trình đó theo mod n đều được viết chung dưới một ký hiệu là C mod n, vì vậy thuật toán giải mã dK”(y) sẽ cho ta 4 giá trị khác nhau theo mod n mà bản rõ là 1 trong 4 giá trị đó Việc chọn giá trị nào trong 4 giá trị tìm được làm bản rõ tùy thuộc vào những đặc trưng khác của bản rõ mà người giải mã nhận biết ( ví dụ: bản rõ dưới dạng số phải có biểu diễn nhị phân

là mã của một văn bản tiếng anh thông thường)

1 Giải thuật tạo khoá cho hệ mã Rabin

Mỗi bên tạo 1 khóa công khai và một khóa bí mật tương ứng Bên A phải làm các việc sau:

a Tạo 2 số ngẫu nhiên lớn và khác nhau p và q, p gần bằng q

b Tính n = pq

c Khóa công khai của a là n, khóa bí mật của A là (p, q)

2 Giải thuật mã hoá công khai Rabin

Sau khi A đã tạo và công khai khóa mã hóa công khai Lúc đó B muốn gửi thông điệp cho A thì B sẽ dùng khóa công khai của A để mã hóa và sau đó A sẽ giải mã thông điệp bằng khóa bí mật tương ứng của mình

-> Khi đó B cần làm các việc sau:

Nhận khóa công khai được xác thực của A là n

Giả sử thông điệp là một số nguyên m trong khoảng [0,1, ,n-1]

7

Tính c = m^2 mod n

Gửi bản mã hóa c cho A

*Chú ý: Vấn đề chọn p và q thì ta có thể chọn p và q là một só nguyên tố bất kỳ.

Nhưng chúng ta có thể chọn p ≡ q ≡ mod 4 để việc giải mã được đơn giản -> Khi đó chúng ta có hai cách để giải mã:

i.Giải mã khi chọn p và q bất kỳ

ii.Giải mã khi p ≡ q ≡ 3 mod 4

Cách mã hóa thì ta vẫn làm như nhau

3 Giải thuật giải mã cho hệ mã hoá Rabin

Sau khi A nhận được thông điệp đã được mã hóa từ B A đã có khóa bí mật là p và q với n = pq, để nhận được bản rõ m từ c, A phải làm các việc sau:

a.Giải mã theo cách chọn p và q bất kỳ:

• Chọn ngẫu nhiên b ϵ Z p cho đến khi b2−4 a là một só không dư bậc 4 mod p, nghĩa là b2−4 a

p =1

• Gọi f là một đa thức f =x2

• Tính r =C ( p+1)/ 4mod f ( r sẽ là một số nguyên)

• Trả lại(r, -r)

• Thực hiện tương tự để tìm 2 căn bậc 2 của a theo mod q Kết quả sẽ được (s, -s)

• Sử dụng giải thuật Euclidean mở rộng để tìm các số nguyên c và d thỏa mãn:

cp + dp = 1

• Đặt x = (rdq + scp) mod n và y = (rdq – scp) mod n

• Kết quả trả về sẽ là (±x mod n, ±y mod n)

b Giải mã theo cách chọn p ≡ q ≡ 3 mod 4

Nếu p và q được chọn để cả p ≡ q ≡ 3 mod 4 thì thuật toán để tìm 4 căn bậc

2 của c mod n có thể đơn giảm như sau:

• Dùng thuật toán Euclide mở rộng để tìm 2 số nguyên a và b thỏa mãn:

ap + bq = 1

• Tính r =c (p+ 1 )/ 4mod p

• Tính s c= (q +1 )/4mod q

• Tính x = (aps + bqr) mod n

• Tính y = (aps – bqr) mod n

• Bốn căn bậc hai của c mod n là x, -x mod n, y và -y mod n

4 Ví dụ

a Tạo khóa

A chọn số nguyên tố p = 311, q = 311, có p ≡ q ≡ 3 mod 4 và tính n = pq = 102941

Khóa công khai của A là n = 102941

Khóa bí mật của A là (p = 311, q = 311)

b Mã hóa

Giả sử 6 bit cuối cùng của thông điệp ban đầu cần phải được lặp lại trước khi mã hóa

Để mã hóa thông điệp 10 bit m =633_((10) )= 1001111001111001_((2) ) Theo hệ 10 thì m = 40569

Sau đó B tính:

c =m2

mod n=40569 2

mod 102941 23053=

và gửi cho A

c Giải mã

Dùng thuật toán Euclide mở rộng tìm 2 số nguyên và b thỏa mãn:

ap + bq = 1

Tìm được a = 140, b = -149

Tính r = c^((p+1)/4)mod p = 23053^((331+1)/4)mod 331 = 144

Tính s = c^((p+1)/4)mod q = 23053^((311+1)/4)mod 311 = 139

Tính x = (aps + bqr) mod n = (6052060 – 6672816) mod 102941 = -25674 Tính x = (aps - bqr) mod n = (6052060 + 6672816) mod 102941 = 40569

9

Bốn căn bậc 2 của c mod n là x, -x mod n, y và -y mod n.

m1 = 25674(10) = 644 A (H ) = 0110010001001010(2)

m2 = 77265(10) = 2 DD 3 ( H) = 0010110111010011(2)

m3 = 40569( 10 = 9E79(H ) = 1001111001111001(2)

m4 = 62372(10) = F A3 4(H) = 1111001110100100(2)

Vì chỉ có m3 có dư thừa dữ liệu yêu cầu, A giải mã c thành m3 (bỏ 6 bit lặp cuối cùng) và phục hồi ban đầu là m =1001111001_((2) )=633_((10) )

Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho n = 77, thông điệp c = 56 Giải mã thông điệp trên

Dựa vào thuật toán Euclide mở rộng tìm được

a = -8, b = 3

p = 7, q = 19

Tính:

r = c (p +1)/4mod p = 4(7+1 4)/mod 7 = 2

s = c (q +1)/ 4mod q = 4(19+ 1)/4mod 19 = 17

x = (aps + bqr) mod n = (-952 + 114) mod 133 = 93

y = (aps – bqr) mod n = ( -952 – 114) mod 133 = 131

m1 = x = 93

m2 = -x mod n = -93 mod 133 = 40

m3 = y = 131

m4 = -y mod n = -131 mod 133 = 2

Phần 2: Các đặc trưng của hệ mã Rabin

1.Tính an toàn của hệ mã

a.Một người tấn công bị động cần phục hồi bản rõ m từ bản mã c Đây

chính là giải toán căn bậc 2 ở trên Vấn đề phân tích ra thừa số n và tính căn bặc

2 theo module n là tương đương về mặt tính toán Vì vậy giải sử việc phân tích

ra thừa số số n là khó về mặt tính toán thì lược đồ mã hóa công khai Rabin được chứng minh là an toàn đối với một người tấn công bị động

b.Trong khi được chứng minh là an toàn đối với một người tấn công bị

động, lược đồ mã hóa công khai Rabin lại không chống nổi một cuộc tấn công bản mã lựa chọn Một cuộc tấn công như vậy có thể mô tả như sau:

Người tấn công chọn 1 số nguyên mEZ*n và tính c=m^2 mod n Người tấn công sau đó đưa c đến máy giải mã của A, giải mã c và trả lại một bản rõ y nào đó Vì

A không biết m, và m được chọn ngẫu nhiên, bản rõ y không nhất thiết phải giống hệt m Với khả năng 1⁄2, y ± m mod n, khi đó gcd(m-y, n) là một trong≢ các thừa số của n Nếu y ± m mod n, người tấn công lại lặp lại với một số m≢ mới

c.Lược đồ mã hóa công khai Rabin dễ bị thương tổn bởi những cuộc tấn

công tương tự như với các trường hợp của hệ mã hóa RSA Giống hệt như RSA, các cuộc tấn công (a) và (b) có thể bị thất bại bằng cách biến đổi bản rõ, trong khi các cuộc tấn công đó có thể tránh được bằng cách thêm dư thừa dữ liệu trước khi mã hóa

2 Sử dụng dư thừa dữ liệu

a.Một nhược điểm của hệ mã hóa công khai Rabin là người nhận phải có

nhiệm vụ chọn bản rõ đúng từ 4 khả năng Sự nhầm lẫn trong việc giải mã có thể vượt qua một cách dễ dàng bằng cách thêm dư thừa dữ liệu vào bản rõ gốc một cách xác định trước khi mã hóa (ví dụ; 64 bit cuói cùng của thông điệp có thể được lặp lại)

Với khả năng cao, chỉ 1 trong 4 căn bậc 2 của bản mã c là m1, m2, m3, m4 có được dư thừa đó Người giải mã sẽ chọn bản này làm bản rõ Nếu không

có căn bậc 2 nào của c có dư thừa này, người nhận sẽ từ chối c, vì nó là giả mạo

b.Nếu sử dụng dư thừa dữ liệu như trên, lược đồ Rabin sẽ không còn dễ bị

thương tổn bởi các cuộc tấn công bản mã lựa chọn như nói trên Nếu người tấn công chọn một thông điệp m có dư thừa dữ liệu như yêu cầu và đưa c = m^2mod

n vào máy giải mã của A, khả năng rất cao là máy sẽ trả lại bản rõ m cho người tấn công (vì 3 căn bậc 2 của c kia sẽ có khả năng rất cao là không chứa dư thừa

dữ liệu như yêu cầu), không đưa ra thông tin mới nào Mặt khác, nếu người tấn công chọn một thông điệp m mà không có dư thừa dữ liệu cần thiết, khả năng cao là cả 4 căn bậc 2 của c mod n đều không có dư thừa dữ liệu cần thiết Trường hợp này máy giải mã sẽ thất bại trong việc giải mã c và không trả lời người tấn công Chú ý rằng chứng minnh tính tương đương của việc phá khóa lược đồ cải tiến này bởi một người tấn công thụ động với việc phân tích ra thừa

số không còn giá trị nữa Tuy nhiên, nếu giả sử rằng việc giải mã Rabin gồm 2

11

giai đoạn: giai đoạn thứ nhất là tìm 4 căn bậc 2 của c mod n và giai đoạn thứ 2 là lữa chọn căn bậc 2 làm bản rõ thì vẫn chứng minh được tính tương đương

Vì vậy lược đồ mã hóa công khai Rabin, được sửa đổi một cách thích hợp bằng cách thêm dư thừa dữ liệu là rất được quan tâm ứng dụng

3 Tính hiệu quả

Việc mã hóa Rabin cực kỳ nhanh vì nó chỉ liên quan dến việc tính một bình phương theo module duy nhất Để so sánh mã hóa của hệ RSA với e = 3 cần một phép nhân module và một phép bình phương module Giải mã Rabin chậm hơn mã hóa nhưng có thể sánh được tốc độ giải mã của hệ RSA

4 Ưu và nhược điểm của hệ mã Rabin

a.Ưu điểm:

• Độ an toàn cao: Hệ mã hóa Rabin dựa trên tính khó giải của bài toán phân tích số nguyên tố, giúp nó có độ an toàn cao

• Không yêu cầu tính toán phức tạp: So với các hệ mã hóa khác, hệ mã hóa Rabin không yêu cầu tính toán phức tạp, đặc biệt là ở bước giải mã

• Khả năng chống lại tấn công đưa vào: Hệ mã hóa Rabin có khả năng chống lại tấn công đưa vào, chẳng hạn như tấn công theo ký tự hay tấn công đặt lại khóa

b.Nhược điểm:

• Tốc độ mã hóa chậm: Hệ mã hóa Rabin có tốc độ mã hóa chậm hơn

so với một số hệ mã hóa khác, chẳng hạn như hệ mã hóa RSA

• Sử dụng hàm băm: Hệ mã hóa Rabin sử dụng hàm băm để chuyển đổi thông tin thành một số nguyên, vì vậy nếu hàm băm không được chọn cẩn thận,

nó có thể gây ra lỗ hổng an ninh

• Sử dụng hai số nguyên tố lớn: Hệ mã hóa Rabin yêu cầu sử dụng hai

số nguyên tố lớn để tạo khóa, điều này đôi khi gây khó khăn trong việc triển khai hệ mã hóa này

III.GIỚI THIỆU CODE

1 Mã nguồn bắt đầu bằng việc nhập thư viện