Hàm gamma, hàm beta và ứng dụng

Sở dĩ chúng được gọi như vậy vì những tính chấtđặc trưng của chúng thường được ứng dụng rất nhiều trong toán học cũngnhư những lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác, đặc biệt là vật lý lý thuy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN LÊ HẠNH NHI

HÀM GAMMA, HÀM BETA

VÀ ỨNG DỤNG

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2023

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN LÊ HẠNH NHI

Tôi xin cam đoan nội dung trong đề án " Hàm Gamma, hàm Beta

và ứng dụng" là do bản thân thực hiện theo logic riêng dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Đinh Thanh Đức Các nội dung và kết quả sử dụng trong

Mục lục

1.1 Hàm Gamma 5

1.1.1 Định nghĩa 6

1.1.2 Định nghĩa hàm Gamma cho các giá trị nguyên âm 9 1.1.3 Một số tính chất của hàm Gamma 11

1.1.4 Định lý Bohr- Mollerup 18

1.2 Hàm Beta 20

1.2.1 Định nghĩa 21

1.2.2 Một số tính chất của hàm Beta 21

2 Một số ứng dụng của hàm Gamma và Beta 25 2.1 Công thức phản xạ Euler 25

2.2 Đánh giá một số tích phân qua hàm Gamma và Beta 34

2.2.1 Tích phân Wallis 36

2.2.2 Tích phân Raabe 37

2.2.3 Ứng dụng tính một số tích phân suy rộng và xác định 38 2.3 Hàm Hurwitz và Riemann zeta 43

2.4 Công thức Stirling 49

2.5 Biểu diễn tích phân của ln Γ(x) và ψ(x) 52

2.6 Khai triển Fourier cho ln Γ(x) của Kummer 56

2.7 Tích phân Dirichlet và thể tích Ellipsoids 62

Kết luận 68

Tài liệu tham khảo 69

MỞ ĐẦU

Việc khám phá và tìm hiểu ứng dụng của các hàm đặc biệt vào cuộcsống là vấn đề nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của giới khoa họctrong nhiều thập kỷ qua Nhà toán học Paul Turán gọi chung các hàm đặcbiệt là "hàm hữu ích" Sở dĩ chúng được gọi như vậy vì những tính chấtđặc trưng của chúng thường được ứng dụng rất nhiều trong toán học cũngnhư những lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác, đặc biệt là vật lý lý thuyết.Một trong số các hàm đặc biệt đó là hàm Gamma và hàm Beta

Hàm Gamma là sự mở rộng miền xác định của hàm giai thừa cho tất cảcác số thực và số phức Do đó hàm Gamma là một hàm phân hình tươngứng với (x − 1)! với x là số nguyên dương Hàm Gamma có rất nhiều ứngdụng cực kì quan trọng trong lý thuyết xác suất, tổ hợp, thống kê và cơhọc lượng tử, vật lý chất rắn, vật lý hạt nhân Đồng thời, trong nỗ lực kéodài hàng thập kỷ nhằm thống nhất cơ học lượng tử với lý thuyết tươngđối, hàm Gamma cũng góp phần cho sự phát triển của lý thuyết hấp dẫnlượng tử- mục tiêu của lý thuyết dây

Vấn đề mở rộng hàm giai thừa cho các số không nguyên đã được DanielBernoulli và Christian Goldbach xem xét lần đầu tiên vào những năm 1720

và được Leonard Euler giải quyết vào cuối thập kỷ đó Hàm Gamma có 3dạng định nghĩa khác nhau Euler đã đưa ra hai định nghĩa và Gauss đãphát triển hàm thành 1 định nghĩa khác Định nghĩa thứ nhất được Eulerviết dưới dạng tích vô hạn và ông đã thông báo cho Goldbach trong một

lá thư vào ngày 13 tháng 10 năm 1729 Ông lại viết thư cho Goldbach vàongày 8 tháng 01 năm 1930 để công bố khám phá của mình về biểu diễntích phân Đó là dạng định nghĩa thứ hai của hàm Gamma [3] Euler cònkhám phá thêm một số tính chất quan trọng của hàm Gamma, đặc biệt

Nhà toán học Karl Weierstrass cũng đã xác lập thêm vai trò của hàmGamma trong giải tích phức, bắt đầu từ việc đưa ra biểu diễn khác củahàm Gamma

Còn đối với hàm Beta, thay vì xem nó như một hàm, sẽ sáng tỏ hơn khi

ta xem xét hàm Beta dưới dạng một lớp các tích phân mà các tích phân

đó có thể được đánh giá theo hàm Gamma Do đó, ta thường gọi các hàmBeta là tích phân Beta [1]

Hàm Gamma được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật

lý lượng tử, cơ học thống kê và động lực học chất lưu Lý do chính khiếnhàm Gamma trở nên hữu ích là do sự phổ biến của các biểu thức dạng

f (t)e−g(t) mô tả các quá trình phân rã theo cấp số nhân theo thời gianhoặc không gian Tích phân của các biểu thức như vậy thường có thể đượcgiải bằng hàm Gamma khi không thể sử dụng những phương pháp sơ cấp.[3] Ví dụ, nếu f là hàm lũy thừa và g là hàm tuyến tính thì nhờ sự thayđổi đơn giản của các biến ta sẽ nhận được

Z ∞ 0

tbe−atdt = Γ(b + 1)

ab+1 Công thức xấp xỉ Stirling có thể được chứng minh nhờ hàm Gamma

Trong toán học, xấp xỉ Stirling là phép tính gần đúng cho giai thừa và dẫnđến kết quả chính xác ngay cả đối với các giá trị nhỏ của n Đề án cũngtrình bày cách chứng minh công thức phản xạ tuyệt đẹp của hàm Gammađược tìm thấy bởi Euler Và công thức phản xạ này dùng để kết nối hàmGamma với các hàm lượng giác [1]

Từ đánh giá của Jacobi và Poisson đối với tích phân kép của hàm Beta,Dirichlet đã tìm ra sự mở rộng của tích phân Beta sang không gian nhiềuchiều Nhờ vậy, hàm Gamma và Beta có thể được sử dụng để tính diện tích

và thể tích Đồng thời, chúng ta cũng trình bày chứng minh của Kummercho khai triển Fourier của ln Γ(x) Và đây là một công thức rất hữu íchtrong lý thuyết số

Một ứng dụng hay của hàm Gamma là nghiên cứu hàm Riemann zeta,một hàm có tầm quan trọng trong lý thuyết phân bố số nguyên tố Vàmột trong những tính chất cơ bản của hàm Riemann zeta là phương trìnhhàm của nó Nó cho thấy sự mở rộng của hàm zeta thành hàm phân hìnhtrong mặt phẳng phức và ngay lập tức dẫn đến một bằng chứng rằng hàmzeta có vô số cái gọi là số 0 "tầm thường" trên trục số thực Và JonathanMichael Borwein gọi công thức này là "một trong những phát hiện đẹpnhất của toán học" [3]

Mục đích của đề án này là hệ thống những vấn đề căn bản về lý thuyếtcủa hàm Gamma và Beta, đồng thời tìm hiểu một số ứng dụng của cáchàm này trong lĩnh vực toán học

Đề án "Hàm Gamma, hàm Beta và ứng dụng" bao gồm haichương

Chương 1: Hàm Gamma và hàm Beta

Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất cơ bản của hàm Gamma

và hàm Beta và định lý Bohr- Mollerup, một định lý rất hữu ích

Chương 2: Một số ứng dụng của hàm Gamma và Beta

Chương này trình bày một số ứng dụng của hàm Gamma, hàm Betanhư: đánh giá một số tích phân, công thức phản xạ của Euler, công thứcStirling, cuối cùng là ứng dụng của hàm Gamma vào việc nghiên cứu hàmRiemann zeta, tích phân Dirichler và thể tích ellipsoid

Đề án được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của

PGS.TS Đinh Thanh Đức, hiện đang công tác tại Trường Đại học QuyNhơn Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắcđến thầy Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đạihọc Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Toán và Thống kê cùngquý thầy cô giảng dạy lớp Cao học Phương pháp Toán sơ cấp K24B đãtạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.Nhân đây tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên để tôihoàn thành tốt đề án này.

Mặc dù đề án được thực hiện dưới sự nỗ lực và cố gắng của bản thânnhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệmnghiên cứu còn hạn chế nên khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mongnhận được sự góp ý của thầy cô để đề án này được hoàn thiện hơn

Bình Định, ngày 15 tháng 10 năm 2023

Học viên thực hiện

Nguyễn Lê Hạnh Nhi

Chương 1

Hàm Gamma và hàm Beta

Trong chương này, tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất củahàm Gamma và hàm Beta Đồng thời, tôi cũng giới thiệu định lý Bohr-Mollerup Định lý này rất hữu ích vì nó giúp ta dễ dàng chứng minh hàmlồi logarit cho bất kì công thức nào được sử dụng để xác định hàm Gamma

Xa hơn nữa, thay vì định nghĩa hàm Gamma bằng một công thức cụ thểnào đó, chúng ta có thể chọn các điều kiện của định lý Bohr- Mollerup làmđịnh nghĩa và chọn bất kì công thức nào chúng ta thích mà thỏa mãn cácđiều kiện đó để làm điểm bắt đầu cho việc nghiên cứu hàm Gamma Cáckết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5]

1.1 Hàm Gamma

Bài toán "Tìm một hàm của biến liên tục xđể giá trị của hàm này bằngn! khi x = n là một số tự nhiên" được Euler nghiên cứu vào cuối nhữngnăm 1720 Bài toán này được đề xuất bởi Daniel Bernoulli và Goldbach.Lời giải của nó có trong bức thư của Euler gửi cho Goldbach vào ngày 13tháng 10 năm 1729 Trước hết, chúng ta đề cập lại về khởi thủy của Euler

về vấn đề này Ta giả sử rằng x ≥ 0 và n ≥ 0 là những số nguyên, ta viết:

x! = (x + n)!

trong đó với mọi số thực hoặc số phức bất kì a, ta định nghĩa

(a)n = a(a + 1) (a + n − 1) với n > 0, (a)0 = 1 (1.1.2)

Viết lại biểu thức (1.1.1) dưới dạng

x! = n!(n + 1)x

(x + 1)n =

n!nx(x + 1)n.

(n + 1)x

nx Bởi vì

lim

n→∞

(n + 1)x

nx = 1,nên ta có

n!nx(x + 1)n =

n

−1

1 + 1j

x

và



a + xj

−1

1 + 1j

x

= 1 + x(x − 1)

2j2 + O

1

j3

.Khi đó, tích vô hạn

−1

1 + 1j

x

hội tụ và giới hạn trong biểu thức (1.1.3) tồn tại Do đó, ta nhận đượchàm

Y(x) = lim

k→∞

k!kx(x + 1)k

(1.1.4)xác định với mọi số phức x ̸= −1, −2, −3, và Q

Một hệ quả được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.1.1 là

Γ(x) cũng có một biểu diễn tích rấtđẹp như sau

Định lý 1.1.2 ([1])

1Γ(x) = xe

 

1 + x2





1 + xn



e−x/k)



e−x/n)

Định lý 1.1.3 ([1]) Với Re x > 0

Γ(x) =

Z ∞ 0



1 − tn

(1 − k)n(nk)x−1ndx

= nz

Z 1 0

(1 − k)nkx−1dx

Ta sẽ chứng minh

Z 1 0

(1−k)nkx−1dx = n!

x(x + 1) (x + n) khiRe x > 0.Đặt

1

0

+ nx

Z 1 0

(1 − k)n−2kx+1dk,

(x + n − 1)(x + n).Cuối cùng ta được

Z 1 0

(1 − k)nkx−1dk = n!

x(x + 1) (x + n).

Do đó

Z n 0



1 − tn

n

tx−1dt = In = n!n

x

x(x + 1) (x + n).Mặt khác

lim

n→∞

Z n 0



1 − tn

n

tx−1dt =

Z ∞ 0

e−ttx−1dt

Tích phân trong công thức (1.1.11) của Γ(x) đôi khi được gọi là tíchphân Euler loại hai Nó thường được xem là định nghĩa của hàm Gammavới Re x > 0 hơn là công thức của Gauss trong Định lý 1.1.2

1.1.2 Định nghĩa hàm Gamma cho các giá trị nguyên âm

Từ phương trình (1.1.6), ta có

Γ(x) = 1

Ngoại trừ x = 0, vế phải của phương trình này được xác định với

x + 1 > 0, tức là x > −1 Lưu ý rằng, ta có thể nói Γ(x) là vô hạn vì với

x → 0, ta có Γ(x + 1) → Γ(1) = 1 và do đó Γ(x) = (1/x)Γ(x + 1) → ∞.Đến đây, vế trái của phương trình này chỉ được xác định với x > 0 Tuynhiên, bây giờ ta có thể sử dụng vế phải của phương trình để mở rộng địnhnghĩa hàm Gamma cho x > −1 Như vậy, ta có các ý sau:

(i) Phương trình (1.1.12) đã được chứng minh là đúng với x > 0;

(ii) Vế phải được xác định với x > −1 còn vế trái được xác định với

x > 0;

(iii) Sử dụng vế phải để xác định vế trái với x > −1

Điều này có nghĩa là bây giờ chúng ta có Γ(x) xác định với x > −1 Vìvậy, vế phải của phương trình (1.1.12) được xác định với x + 1 > −1, tức

là x > −2 Và quá trình này có thể được lặp đi lặp lại để ta có thể xácđịnh Γ(x) với mọi giá trị âm của x

Định lý 1.1.4 ([4]) Γ(m) = ∞ với m = 0 hoặc m là các số nguyên âm.Chứng minh Ta có Γ(0) = ∞ Từ phương trình (1.1.12), ta có

Γ(−1) = 1

−1Γ(0) = ∞Γ(−2) = 1

−2Γ(−1) = ∞

Như vậy, ta có thể vẽ đồ thị của Γ(x) Việc vẽ các điểm kết hợp với cácđịnh lý khác nhau dẫn đến đồ thị như trong Hình 1.1

Hình 1.1: Đồ thị của hàm Gamma

1.1.3 Một số tính chất của hàm Gamma

Định lý 1.1.5 ([4]) Với mọi x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x)

Chứng minh Từ công thức (1.1.11), ta có Γ(x + 1) =

Z ∞ 0

txe−tdt.Đặt

Z ∞ 0

txe−tdt = −txe−t