Địnhlý ceva mở rộng và ứng dụng

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC——– o0o ———NGUYỄN THỊ QUỲNHĐỊNH LÝ CEVA MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Trang 3 Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyêndưới sự h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——– o0o ———

NGUYỄN THỊ QUỲNH

ĐỊNH LÝ CEVA MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

THÁI NGUYÊN – 2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyêndưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Trịnh Thanh Hải và TS Lê Hồng Quang.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới hai Thầy giáo, Người đã hướngdẫn và truyền cho em những kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình học tập và hoànthiện luận văn này

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường Đạihọc Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho emtrong suốt quá trình em học tập ở trường

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trung Tâm giáo dục nghề nghiệp - giáodục thường xuyên Tiên Du, Bắc Ninh cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đãtạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian đi học Cao học Đồng thời, tôi cũng xingửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, khích lệ tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn tại trường Đại học Khoa học Đại học TháiNguyên

Tôi xin chân thành cảm!

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 01 năm 2024

Học viên

Nguyễn Thị Quỳnh

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản 3

1.2 Định lý Ceva 5

1.3 Một số kết quả mở rộng định lý Ceva 10

1.3.1 Định lý Ceva trong trường hợp điểm P tiến đến ∞ 10

1.3.2 Định lý Ceva ở dạng lượng giác 11

1.3.3 Định lý Ceva ở dạng véctơ 12

1.3.4 Định lý Ceva ở dạng biểu diễn qua các tỉ số tọa độ ri = pi qi . 13

Chương 2 Một số ứng dụng của định lý Ceva trong giải toán 18 2.1 Ứng dụng của định lý Ceva trong đa giác có số cạnh lẻ 18

2.2 Ứng dụng của định lý Ceva vào bài toán đồng quy trong tứ diện 20

2.3 Một số bài toán liên quan 38

Mở đầu

Trong chương trình toán phổ thông, các bài toán hình học phẳng là một phần quantrọng trong các chuyên đề toán học và đồng thời nó cũng là một chủ đề khó trongchương trình toán THPT chuyên Chính vì thế trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia,thi Olympic Toán quốc tế và khu vực, những bài toán Hình học phẳng cũng hay được

đề cập và thường được xem là bài toán khó của kì thi Trong các dạng toán liên quanđến hình học phẳng thì bài toán đồng quy, thẳng hàng vừa được coi là bài toán quen

và lạ, vừa dễ vừa khó

Các em học sinh thường gặp một số khó khăn khi tiếp cận các dạng toán liên quanđến bài toán đồng quy, thẳng hàng nói riêng và bài toán hình học phẳng nói chung bởikhông biết phải bắt đầu từ đâu và khó khăn khi định hướng vẽ hình phụ Để hiểu vàvận dụng tốt một số dạng toán cơ bản và vận dụng kiến thức Hình học phẳng vào giảitoán đồng quy thẳng hàng thì thông thường học sinh phải có kiến thức nền tảng hìnhhọc tương đối đầy đủ và chắc chắn trên tất cả các lĩnh vực của nó và định lý Ceva làmột công cụ hỗ trợ đắc lực khi giải các bài toán khó về hình học

Định lý Ceva là định lý mang tên nhà toán học người Italia là Giovanni Ceva(1647-1734), người tìm ra định lý này vào năm 1698

Đã có một một số giáo viên dạy khối chuyên toán như Đặng Thành Trung, Nguyễn

Tố Uyên, tìm hiểu về định lý Ceva và ứng dụng của định lý vào giải toán Cũng cómột vài học viên cao học tìm hiểu về chủ đề định lý Ceva ví dụ như: Luận văn thạc

sĩ của Nịnh Mạnh Cường, Trường Đại học Khoa học (2014), Vũ Văn Đức (2011) vớiluận văn: “Một số định lý hình học nổi tiếng và áp dụng” Định lý Ceva đã thu hútđược sự quan tâm của những người yêu toán và trong thời gian gần đây đã có thêmnhững kết quả mở rộng định lý Ceva cũng như ứng dụng định lý Ceva vào giải toánđược công bố trên các bài báo, tạp chí, diễn đàn toán học quốc tế, chẳng hạn như[2], [3], [4], [5], [6]

Với mong muốn tìm hiểu thêm và một số kết quả mới liên quan đến định lý Ceva

mở rộng và ứng dụng kết quả này vào giải toán trung học phổ thông, chúng tôi chọn

đề tài luận văn: “Định lý Ceva mở rộng và ứng dụng” làm chủ đề cho luận văn thạc

sĩ của mình Đã có có một vài luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơcấp đề cập đến định lý Ceva nhưng luận văn đã cố gắng tìm các kết quả công bố trongthời gian gần đây để đảm bảo tính đề cập được những ứng dụng mới

Mục tiêu của đề tài luận văn là trình bày một số kết quả mở rộng của Định lý Cevatrong những năm gần đây và ứng dụng các kết quả này vào giải quyết một số bài toánhình học

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chương nhưsau:

Chương 1: Mở rộng định lý Ceva

1.1 Một số kiến thức cơ bản

1.2 Định lý Ceva

1.3 Một số kết quả mở rộng định lý Ceva

1.3.1 Định lý Ceva trong trường hợp điểm P tiến đến ∞

1.3.2 Định lý Ceva ở dạng lượng giác

1.3.3 Định lý Ceva ở dạng véctơ

1.3.4 Định lý Ceva ở dạng biểu diễn qua các tỉ số tọa độ ri = pi

qi.Chương 2: Một số ứng dụng của định lý Ceva trong giải toán

2.1 Ứng dụng của định lý Ceva trong đa giác có số cạnh lẻ

2.2 Ứng dụng của đinh lý Ceva vào bài toán đồng quy trong tứ diện

2.3 Một số bài toán liên quan

Chương 1 Mở rộng định lý Ceva

Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về định lý Ceva, mối quan hệ củacác định lý Ceva và Menelaus trong không gian Euclide n chiều và một số dạng mởrộng của định lý Ceva

1.1 Một số kiến thức cơ bản

Định nghĩa 1.1 Trên trục d cho hai điểm A và B Khi đó độ dài đại số của−→

AB, kíhiệu: AB; là số dương nếu −→

AB cùng hướng với vectơ đơn vị −→e của đường thẳng d và

là số âm nếu chúng ngược hướng

Tính chất 1.1 Độ dài đại số có các tính chất sau:

i) AB = −BA;

ii) AB + BC = AC (A, B, C thẳng hàng);

iii) A1A2+ A2A3+ · · · + An−1An= A1An (với mọi Ai thẳng hàng, i = 1, n)

Định nghĩa 1.2 Một Cevian là một đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với một

số điểm trên cạnh đối của đỉnh

Định nghĩa 1.3 Hàng điểm gồm ba điểm thẳng hàng A, B, C thì ta có tỷ số BA

BC = k.

Ký hiệu (AC, B) = AB

BC = k được gọi là tỷ số đơn, ta còn nói B chia đoạn AC theo tỷ

số k

Định nghĩa 1.4 Hàng điểm gồm ba điểm thẳng hàng A, B, C, D thì ta có tỷ sốCA

DB = k được gọi là tỷ số kép, ta còn nói

là A, B chia đoạn D, C theo tỷ số k

Định nghĩa 1.5 Cho hàng điểm (AB, CD) nếu tỷ số kép (AB, CD) = −1 thì tagọi (AB, CD) là hàng điểm điều hoà, (AB, CD) = −1 thì (AB, CD) = (AB, CD)

= (BA, DC) = (CD, AB) = (BC, DA) = (BA, CD) = (AB, DC) = (BC, AD) =(CD, BA) = −1

Định nghĩa 1.6 Điểm Nagel là điểm đồng quy của ba đoạn thẳng nối đỉnh và tiếpđiểm của đường tròn bàng tiếp góc tương ứng lên cạnh đối diện

Định nghĩa 1.7 Điểm Gergonne là điểm trong tam giác giác, nằm trong tam giác và

có thể được tạo bằng cách sử dụng điểm nối chính giữa các cạnh với điểm tiếp xúc củađường phân giác Điểm Gergonne là điểm giao của các phân giác trong tam giác giác.Định nghĩa 1.8 Điểm Fermat của một tam giác, cũng được gọi là điểm Torricellihoặc điểm Fermat-Torricelli, là một điểm sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đếncác đỉnh của tam giác là bé nhất

Định nghĩa 1.9 Cho x1, , xn là một hệ điểm trên một đa diện của không gian afin

A Nếu một điểm p thuộc A,

p

nXi=1

ai =

nXi=1

aixihay

(a1+ a2+ · · · + an)p = a1x1+ a2x2+ · · · + anxn

và có ít nhất một trong a1, , an không bị triệt tiêu nên ta nói rằng dãy các hệ

số (a1, a2, , an) là một tọa độ Barycentric của p có mối quan hệ với dãy x1, , xn.Bản thân các đỉnh của chúng có tọa độ x1 = (1, 0, 0, , 0), x2 = (0, 1, 0, , 0), xn =(0, 0, , 1) Các tọa độ Barycentric không phải là duy nhất Với mọi b 6= 0, ba1, , bancũng là tọa độ Barycentric của p Nếu tọa độ không âm, p nằm trong bao lồi của

x1, , xn Vậy trong một đa diện, điểm của nó được xem như là một đỉnh

Định nghĩa 1.10 Cho góc hình học tạo bởi hai đường thẳng x và y Nếu coi x làcạnh đầu và y là cạnh cuối thì ta nói góc giữa hai đường thẳng x và y đã được địnhhướng (hoặc gọi là góc định hướng (x, y)) Số đo của góc định hướng (x, y) là số đo củagóc định hướng giữa hai tia có chung đỉnh O và hai cạnh nằm trên hai đường thẳng x

và y

Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa này, ta suy ra rằng nếu α là số đo góc giữa hai tia nằmtrên x và y thì số đo của góc định hướng giữa x và y là:

Sđ(x, y) = α + kπ (k ∈ Z) hoặc (x, y) = α (mod π)

Trong đó α được gọi là giá trị chính

Định nghĩa 1.11 Cho hai góc (x, y) = α, (x0, y0) = β Khi đó (x, y) = (x0, y0) (modπ) khi và chỉ khi giá trị chính của hai góc bằng nhau

Định nghĩa 1.12 Cho hai góc (x, y) = α, (x0, y0) = β Khi đó

ta cần chứng minh ba đường thẳng AA0, BB0, CC0 đồng quy Gọi P là giao điểm của

AA0 và BB0, D là giao điểm của CP và AB Khi đó áp dụng phần trên ta có

Các cevian quan trọng nhất là “đường trung tuyến”, “đường phân giác” và “đườngcao” của tam giác Các đường trung tuyến đi qua trung điểm của cạnh đối diện Các

Hình 1.2: Ba đường trung tuyến, phân giác, đường cao

đường phân giác chia các cạnh đối diện theo tỷ lệ A

Hình 1.3: Tâm đường tròn ngoại tiếp, điểm Gergonne

Có nhiều “tâm, cevian” và “tam giác cevian” tương tự của tam giác ABC được khảosát trong “hình học tam giác” Hình 1.3 chỉ ra rằng ba “tâm tam giác”: tâm của đườngtròn ngoại tiếp “tâm đường tròn”, “điểm đối xứng”, được định nghĩa là giao điểm của ba

“đường trung tuyến” và “điểm Gergonne” được định nghĩa là giao điểm của các đườngnối các đỉnh với các tiếp điểm của “đường tròn” với các cạnh đối diện

Hình 1.4: Điểm Nagel, điểm Fermat, điểm bất động thứ nhất

Hình 1.4 cho thấy ba “tâm tam giác” khác Đầu tiên là “điểm Nagel”, đi qua cácđường thẳng {AA0, } nối đỉnh với tiếp điểm của đường tròn ngoại tiếp Tiếp theo làđiểm “Fermat”, trong đó mỗi cạnh được nhìn dưới một góc 120◦ Điểm thứ ba là “điểmbất động thứ nhất” cùng với “điểm bất động thứ hai” là giao điểm chung của ba “đườngtròn Apollonian”.

Định lý 1.2 (Menelaus) Cho tam giác ABC và các điểm A0, B0, C0 trên các đườngthẳng BC, CA, AB sao cho: hoặc cả ba điểm A0, B0, C0 đều nằm trên phần kéo dài của

ba cạnh, hoặc một trong ba điểm trên nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn haiđiểm còn lại nằm trên hai cạnh của tam giác ABC Điều kiện cần và đủ để A0, B0, C0thẳng hàng là

= 1 (1)

Ngược lại, giả sử B0, C0 nằm trên hai cạnh của tam giác và A0 thuộc phần kéo dàicủa cạnh còn lại Gọi D là giao điểm của A0C0 và AC Khi đó, theo chứng minh trên

1 Các điểm {A0, B0, C0} thẳng hàng

2 Các đường thẳng {AA0, BB0, CC0} cùng đi qua một điểm Ngoài ra, nếu C00 làđiểm điều hòa liên hợp của C0 ứng với {A, B} thì hai mệnh đề trên được phát như sau(xem hình 1.6),

- Khi các điểm {A0, B0, C0} thẳng hàng thì các đường thẳng {AA0, BB0, CC0} cùng

đi qua một điểm

- Khi các đường thẳng {AA0, BB0, CC0} cùng đi qua một điểm thì ba điểm {A0, B0, C0}thẳng hàng

Hình 1.6: “Ba cực tuyến” của P ứng với ABC

Chứng minh Chứng minh được suy ra từ Định lý Ceva và định lý Menelaus Nếu tíchcủa các tỷ số độ dài bằng 1 thì tích tương ứng của các tỷ lệ có dấu bằng 1 hoặc −1

Trong trường hợp đầu tiên, theo định lý Menelaus, ta có các điểm {A0, B0, C0} thẳnghàng Theo mối liên hệ giữa các liên hợp điều hòa ta có

so với các điểm cuối tương ứng trên các cạnh {BC, CA, AB} Kết quả được thể hiệntrong Hình 1.6, trong đó tất cả các điểm trùng nhau, ngoại trừ các điểm trùng với{A00, B00, C00} trên một đường thẳng, là hệ quả của các mệnh đề trước đó Đường thẳngchứa các điểm {A00, B00, C00} được gọi là “Ba cực tuyến” của P đối với tam giác ABC.Hai khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong “ Hình học của tam giác”

1.3 Một số kết quả mở rộng định lý Ceva

1.3.1 Định lý Ceva trong trường hợp điểm P tiến đến ∞

Giả sử điểm P tiến tới vô cực Khi đó, ba đường thẳng {AA0, BB0, CC0} là ba đườngthẳng song song mà chúng ta coi là đồng quy tại một điểm ở vô cực Định lý Ceva dướiđây được suy ra từ định lý của Thales

Hình 1.7: Định lý Ceva cho các đường song song {AA0, BB0, CC0}

Hình 1.8: Hình elip Steiner bao các cực tam tuyến

là đỉnh B và các cạnh {BA, BC} là “tiệm cận” của nó Có hai hyperbol tương tự baotất cả các đường thẳng A0B0C00 và tất cả các đường thẳng B0C0A00 có tâm tương ứngtại {C, A}

1.3.2 Định lý Ceva ở dạng lượng giác

Một dạng khác của định lý Ceva thu được ở dạng lượng giác Hai góc được xác địnhthông qua “cevian” tương ứng và các cạnh của tam giác Trong hình 1.9, các góc địnhhướng (x, y) mod π thỏa mãn:

b

A =α2−α1, B = ““ β2− “β1, C =b γ2−γ1

Hình 1.9: Định lý Ceva được biểu diễn qua các góc

Khi đó điều kiện của Ceva tương đương với

sin(α2)sin(α1) · sin(β2)

A0Bsin(α1) =

A0Asin( “B), ⇒ A

0C

A0B :

sin(α2)sin(α1) =

sin( “B)sin( bC). (1.2)Các đẳng thức tương tự với đẳng thức cuối cùng cũng đúng với các đỉnh khác; nhân

ba đẳng thức tương ứng và biến đổi chúng ta có được đẳng thức (1.1)

1.3.3 Định lý Ceva ở dạng véctơ

Hình 1.10: Định lý Ceva dạng vectơ

Một điều kiện khác của định lý Ceva thu được bằng cách đưa các véctơ đơn vị{u1, u2, u3} tương ứng với các cạnh {AB, BC, CA} và {w1, w2, w3} theo các cevian

{AP, BP, CP } Khi đó, ký hiệu h , i là tích trong vécto và J(X) là phép biến đổibiến mọi véctơ theo π/2, ta có điều kiện của Định lý Ceva tương đương:

hu1, J (w2)i

hu3, J (w2)i· hu2, J (w3)i

hu1, J (w3)i· hu3, J (w1)i

hu2, J (w1)i = ư1. (1.3)Điều này xuất phát từ mở rộng thứ hai của điều kiện Ceva (phương trình (1.1)) bằngcách lấy sin của các góc có thể được biểu thị bằng các tích:

sin(α2) = hưu3, J (w2)i, sin(α1) = hu1, ưJ (w2)i ⇒ sin(α2)

sin(α1) =

hu3, J (w2)i

hu1, J (w2)i.Các công thức tương tự cũng có giá trị đối với các góc khác và điều kiện sau được thayvào điều kiện trước đó

1.3.4 Định lý Ceva ở dạng biểu diễn qua các tỉ số tọa độ ri = pi

qi.Các tỉ số tọa độ của tam giác ABC xác định vị trí của điểm P theo các tỉ số

ri = pi/qi được xác định bởi các cevian qua P trên các cạnh của tam giác

số thứ ba và hai số đó có thể được đưa ra một cách tùy ý, số thứ ba được xác địnhthông qua đẳng thức trước đó Định lý tiếp theo dẫn đến mối quan hệ của tọa độ nàyvới “tọa độ tâm” hoặc “tọa độ barycentric” (b1, b2, b3) của điểm P

Định lý 1.4 Cho các điểm {B0, C0} trên các cạnh {AC, AB} của tam giác ABC chiacác cạnh tương ứng theo tỉ lệ {B0C0/B0A = p2/q2}, C0A/C0B = p3/q3, khi đó các phátbiểu sau là đúng

Chứng minh 1 Theo định lý Ceva suy ra p1/q1 = A0B/A0C = −(p2/q2)−1(p3/q3)−1.

2 Từ (Q, A0) ∼ (B, C) là cặp điều hòa suy ra QB/QC = −p1/q1

Nhận xét 1.3 Đối với các điểm nằm trên các cạnh của tam giác, có thể tìm được mốiliên hệ của tỉ số tọa độ tỷ lệ với trọng tâm Đối với một điểm A0 thuộc đường thẳng

BC với tỉ số r1 = A0B/A0C các trọng tâm tương ứng là

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

2

1 1−r 3

−r 3

1−r 3 0

Sử dụng các biểu thức đã biết và Hệ quả 2.1, ta được

(a1, b1, c1) = 1

1 − r3+ r3r1(1, −r3, r3r1),(b1, b2, b3) = 1

Chương 2 Một số ứng dụng của

định lý Ceva trong giải toán

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của định lý Ceva trong giảitoán như: ứng dụng của định lý trong đa giác có số cạnh lẻ; tìm sự đồng quy trong tứdiện và một số bài toán liên quan Nội dung chính của chương được tham khảo chủyếu trong tài liệu [2], [3], [4], [5], [6]

2.1 Ứng dụng của định lý Ceva trong đa giác có số cạnh lẻ

Sử dụng phần mềm hình học động, chúng tôi đã kiểm tra sự tồn tại của định lýCeva cho đa giác có số cạnh lẻ (rõ ràng định lý này không đúng cho đa giác có số cạnh

Suy ra điểm J trùng với điểm J0 và do đó EJ cũng đi qua điểm P

Từ cách chứng minh trên, ta có thể tổng quát hóa cho mọi đa giác có số cạnh lẻ

Ta có định lý tổng quát sau:

Định lý 2.2 Cho A1, A2, A3, , An là đa giác n-cạnh với n là số lẻ Gọi B1 là mộtđiểm trên cạnh A1A2, B2 là một điểm trên A2A3, , Bn là một điểm trên cạnh AnA1.Nếu n Cevians của đa giác đồng quy thì

A1B1

B1A2 · A2B2

B2A3 · · ·AnBn

BnA1 = 1.

Nếu A1B1

B1A2 · A2B2

B2A3 · · ·AnBn

BnA1 = 1 và n − 1 Cevians đồng quy thì Cevian thứ n cũng

đi qua điểm đồng quy đó

Một số trường hợp đặc biệt của định lý thường được khái quát hóa Ví dụ, trongtam giác, mỗi đường trung tuyến chia tam giác đó thành hai tam giác có diện tíchbằng nhau Định lý này chỉ là một trường hợp đặc biệt khi chia cạnh BC thành haiđoạn thẳng Nếu chia cạnh theo tỉ lệ BD

lý rộng hơn, trong đó các đa giác đều tương tự khác được dựng trên các cạnh của tamgiác vuông có cùng tính chất

2.2 Ứng dụng của định lý Ceva vào bài toán đồng quy trong

tứ diện

Các định lý đồng quy được biết đến nhiều nhất trong tam giác liên quan đến sựđồng quy của một số đường thẳng quan trọng đó là sự đồng quy của các đường trungtuyến, sự đồng quy của các đường trung trực, sự đồng quy của các đường phân giác,

sự đồng quy của các đường cao và Định lý Ceva Chúng tôi nhắc lại một số định lýsau:

Định lý 2.3 Trong một tam giác, các đường trung trực đồng quy tại một điểm (điểm

đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)

Định lý 2.4 Trong một tam giác, các đường phân giác đồng quy tại một điểm (điểm

đó là tâm đường tròn nội tiếp tam giác)

Định lý 2.5 Trong một tam giác, các đường trung tuyến đồng quy tại một điểm (điểm

đó là trọng tâm tam giác)

Định lý 2.6 Trong một tam giác, các đường cao đồng quy tại một điểm (điểm đó làtrực tâm đường tam giác)

Các kết quả tổng hợp ở trên là sự mở rộng của các định lý Ceva Dễ dàng nhậnthấy rằng để xác định khái niệm đường trung tuyến, chiều cao, cevian trong một tứ

giác hoặc trong đa giác có số cạnh chẵn là không xảy ra Những khái niệm này có thểđược mở rộng cho các đa giác có số cạnh lẻ.

Giả sử P = [A1A2 A2nA2n+1] là một đa giác lồi Khi đó ta có các định nghĩa sau.Định nghĩa 2.1 Đường trung tuyến của P là đường thẳng đi qua một đỉnh đến trungđiểm của cạnh đối diện của đa giác P (Cạnh đối của đỉnh Ak là cạnh [Ak+nAk+n+1],chỉ số được đánh theo quy ước A2n+1+p = Ap)

Định nghĩa 2.2 Đường cao của đa giác P bất kỳ là đường thẳng đi qua một đỉnh vàvuông góc với cạnh đối diện của đa giác P

Định nghĩa 2.3 Đường phân giác của đa giác P bất kỳ là đường phân giác của mộtgóc của đa giác ( ◊A1A2A3, ◊A2A3A4, , ⁄A2n+1A1A2)

Định nghĩa 2.4 Đường phân giác trong của đa giác P bất kỳ là đường phân giáccủa các góc An+k¤AkAn+k+1, trong đó Ak là một đỉnh của đa giác và [An+kAn+k+1] làcạnh đối diện của đỉnh đó

Định nghĩa 2.5 Đường trung trực của đa giác P bất kỳ là đường thẳng đi qua trungđiểm của một cạnh và vuông góc với cạnh đó

Định nghĩa 2.6 Cevian là đường thẳng nối một đỉnh của đa giác P bất kỳ với mộtđiểm của cạnh đối diện

Sự đồng quy của các đường phân giác và đường cao được thể hiện trong các định

lý sau

Định lý 2.7 Trong một đa giác lồi, các đường phân giác đồng quy khi và chỉ khi đagiác đó ngoại tiếp đường tròn (Giao điểm của các đường phân giác là tâm đường trònnội tiếp trong đa giác)

Định lý 2.8 Trong một đa giác lồi, các đường trung trực của tất cả các cạnh đồngquy khi và chỉ khi đa giác đó là đa giác nội tiếp đường tròn (Giao điểm của các đườngtrung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.)

Ta có các ví dụ về đa giác có số cạnh lẻ 2n + 1 ≥ 5, trong đó ba đường trung tuyếnbất kỳ không đồng quy Điều này có nghĩa là Định lý 2.3 không thể mở rộng dưới dạng

đã cho Ta có định lý sau