PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP XÁC SUẤT VÀ NHỮNG BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ ĐIỂM CAO

Luận văn, báo cáo, luận án, đồ án, tiểu luận, đề tài khoa học, đề tài nghiên cứu, đề tài báo cáo - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Kinh tế Quảng Nam, tháng 02 năm 2019 TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- THIPKESONE SENGSOUVANH PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP XÁC SUẤT VÀ NHỮNG BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 05 năm 2019 TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN TỔ HỢP XÁC SUẤT VÀ NHỮNG BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ Sinh viên thực hiện HỌ TÊN: THIPKESONE SENGSOUVANH MSSV: 2115020134 CHUYÊN NGÀNH: S PHẠM TOÁN KHÓA: 2015 – 2019 Cán bộ hướng dẫn ThS. BÙI TÁ VĨNH SA Quảng Nam, tháng 05 năm 2019 LỜI CẢM ƠN Được sự phân công của khoa Toán trường Đại học Quảng Nam, sự đồng ý của giảng viên hướng dẫn ThS. Bùi tá Vĩnh Sa, tôi đã thực hiện đề tài “Phân loại các dạng toán tổ hợp xác suất và những bài toán ứng dụng thực tế”. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quảng Nam, Phòng Đào tạo, Khoa Toán cùng quý thầy cô giáo đã dày công giảng dạy tôi trong suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài. Nhân đây, tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần của gia đình, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học và khóa luận này. Mặc dù khóa luận được thực hiện với sự nỗ lực và cố gắng hết sức của bản thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô giáo để khóa luận được hoàn thiện hơn. Quảng Nam, tháng 5 năm 2019. Sinh viên Thipkesone Sengsouvanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài ..........................................................................................................1 2. Mục tiêu nghiên cứu ....................................................................................................1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...............................................................................1 4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................1 5. Đóng góp của đề tài .....................................................................................................1 6. Cấu trúc đề tài ..............................................................................................................1 Chương 1: Một số kiến thức cơ sở ..................................................................................2 1.1. Các phép đếm cơ bản................................................................................................ 2 1.1.1. Quy tắc cộng ..........................................................................................................2 1.1.2. Quy tắc nhân ..........................................................................................................2 1.1.3. Hoán vị ..................................................................................................................2 1.1.3.1.Định nghĩa ...........................................................................................................2 1.1.4. Chỉnh hợp ..............................................................................................................3 1.1.4.1. Định nghĩa ..........................................................................................................3 1.1.4.2. Số các chỉnh hợp.................................................................................................4 1.1.5. Tổ hợp ....................................................................................................................4 1.1.5.1. Định nghĩa ..........................................................................................................4 1.1.5.2. Số các tổ hợp ......................................................................................................4 1.2. Xác suất cổ điển ........................................................................................................5 1.2.1. Phép thử và biến cố ............................................................................................... 5 1.2.1.1. Phép thử ..............................................................................................................5 1.2.1.2. Biến cố ................................................................................................................5 1.2.1.3. Phép toán trên các biến cố ..................................................................................5 1.2.2. Xác suất của biến cố .............................................................................................. 6 1.2.2.1. Định nghĩa cổ điển của xác suất .........................................................................6 1.2.2.2.. Các tính chất cơ bản của xác suất ......................................................................6 1.2.2.3. Hai biến cố độc lập .............................................................................................8 1.2.3. Quy tắc cộng xác suất ............................................................................................8 1.2.4. Quy tắc nhân xác suất ............................................................................................9 1.2.5. Xác suất có điều kiện ...........................................................................................10 1.2.6. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes ..................................................11 Chương 2: Phân loại các dạng toán tổ hợp - xác suất ..................................................13 2.1. Các dạng toán tổ hợp .............................................................................................. 13 2.1.1. Bài toán thành lập số ...........................................................................................13 2.1.2. Bài toán sắp xếp đồ vật, người ............................................................................15 2.1.3. Bài toán tổ hợp trong hình học ............................................................................17 2.2. Các dạng toán xác suất ...........................................................................................20 2.2.1. Tính xác suất bằng định nghĩa ............................................................................20 2.2.2. Tính xác suất bằng các quy tắc cộng nhân xác suất ............................................22 2.2.3. Tính xác suất có điều kiện ..................................................................................25 Chương 3: Một số bài toán ứng dụng thực tế ................................................................ 28 3.1. Bài toán về xác suất trong chuẩn đoán bệnh. .........................................................28 3.2. Một số bài toán xác suất trong thực tế ....................................................................32 KẾT LUẬN ...................................................................................................................34 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 35 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong giáo dục phổ thông hiện nay, tổ hợp – xác suất là một trong những nộ i dung quan trọng. Mặc dù độ khó của những kiến thức này là không cao, nhưng phầ n lớn học sinh vẫn gặp những khó khăn nhất định. Vì vậy, trong khóa luậ n này, chúng tôi dự định phân loại các dạng toán về tổ hợp - xác suất. Đồng thời, chúng tôi cũng đề cập đến một số ứng dụng của tổ hợp xác suất trong cuộc sống. 2. Mục tiêu nghiên cứu Phân loại các dạng toán tổ hợp – xác suất. Giới thiệu một số bài toán ứng dụng thực tế. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Tổ hợp và xác suất cổ điển. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu Phân tích, tổng hợp các kiến thức. Trao đổi, thảo luận với chuyên gia. 5. Đóng góp của đề tài Hệ thống lại một số kiến thức về tổ hợp và xác suất. Trình bày một số ứng dụng của tổ hợp, xác suất trong thực tế. 6. Cấu trúc đề tài Khóa luận được chia thành ba chương với những nội dung chính sau đây: Chương 1: Một số kiến thức cơ sở. Trình bày và hệ thống lại một số khái niệm và tính chất của tổ hợp, xác suất. Chương 2: Phân loại các dạng toán tổ hợp - xác suất. Phân loại và đưa ra phương pháp giải, cũng như các ví dụ minh họa cho các dạng toán về tổ hợp, các dạng toán về xác suất Chương 3: Một số bài toán ứng dụng thực tế Trình bày một số bài toán ứng dụng của tổ hợp xác suất trong toán học, trong một số trò chơi, trong y học. 2 Chƣơng 1: Một số kiến thức cơ sở 1.1. Các phép đếm cơ bản 1.1.1. Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này cóm cách thực hiện, hành động kia cón cách thức hiện không trùng với bấ t kì cách nào của hành động thứ nhất thì công viêc cóm n cách thực hiện. Ví dụ 1.1. Trong một hợp chưá sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cần đen được đánh số 7, 8, 9 (h.22). có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy? Giải Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kỳ là một lần chọn. Nếu chọn quả trắng thì có 6 cách chọn, còn nếu chọn quả đen thì có 3 cách. Do đó, số cách chọn một trong các quả cầu là6 3 9  (cách). 1.1.2. Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có.m n cách hoành thành công việc. Ví dụ 1.2. Bạn Hoàng có hai áo màu khác nhau và ba quần kiểu khác quần kiể u khác nhau. Hỏi Hoàng có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo? Giải Hai áo được ghi chữ a và b, ba quần được đánh số 1, 2, 3. Để chọn một bộ quầ n áo, ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động: Hành động 1: Chọn áo, Có hai cách chọn (chọn a hoặc b). Hành động 2: Chọn quần. Ứng với mỗi cách chọn áo có ba cách chọn quần (chọ n 1, hoặc 2, hoặc 3). Kết quả ta có các bộ quần áo như sau :1, 2, 3, 1, 2, 3a a a b b b (h.24). Vậy số cách chọn một bộ quần áo là2.3 6 (cách). 1.1.3. Hoán vị 1.1.3.1.Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử 1n  . 3 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạ n, hai hoán vị abc, bac của ba phần tử a, b, c là khác nhau. 1.1.3.2. Số các hoán vị Số các hoán vị của n phần tử là 1 ...2.1 nP n n n   Ví dụ 1.3. Trong một trận bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hòa nên phải thự c hiện đá luân lưu 11m. Một đội đã chọn được năm cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11m. Hãy nêu ba cách sắp xếp đá phạt. Giải Để xác định, ta giả thiết tên của năm cầu thủ được chọn là A, B, C, D, E. Để tổ chức đá luân lưu, huấn luyện viên cần phân công người đá thứ nhất, thứ hai, .... và kế t quả phân công là một danh sách có thứ tự gồm tên của năm cần thủ. Chẳng hạn, nế u viết DEACB nghĩa là D đá quả thứ nhất, E đá quả thứ hai, ... và B đá quả cuối cùng. Có thể nêu ba cách tổ chức đá luân lưu như sau: Cách 1: ABCDE Cách 2: ACBDE Cách 3: CABED Mỗi kết quả của việc sắp thứ tự tên của năm cầu thủ đã chọn được gọi là một hoán vị tên của năm cầu thủ. Ví dụ 1.4. Có 3 vận động viên An, Bình, Châu chạy thi. Nếu không kể trường hợp có 2 vận động viên cùng về đích một lúc thì có bao nhiêu khả năng xảy ra ? Giải Do các vận động viên về đích được tính theo một thứ tự nên có3 3 3.2.1 6P    (khả năng) 1.1.4. Chỉnh hợp 1.1.4.1. Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử 1n  . kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chính hợ p chập k của n phần tử đã cho. 4 1.1.4.2. Số các chỉnh hợp Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là   1 ... 1 k nA n n n k      ,1 n k n n k    . Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy n n nP A . Ví dụ 1.5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, ... , 9 ? Giải Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy năm chữ số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 9. Vậy số các số đó là 5 9 9.8.7.6.5 15120A   . Ví dụ 1.6. Một nhóm có 5 bạn A; B; C; D; E. Hãy kể ra các cách phân công 3 bạn làm trực nhật: 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bảng, 1 bạn xếp bàn ghế. Giải Vậy có  3 5 5 5 5.4.3 60 5 3 2 A      cách 1.1.5. Tổ hợp 1.1.5.1. Định nghĩa Giả sử tập A có n phần tử 1n  . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọ i là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điệu kiện1 k n  . Tuy vậy, tập hợ p không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp 0 của n phần tử là tập rỗng. 1.1.5.2. Số các tổ hợp Kí hiệu k nC là số các tổ hợp chập k của n phần tử 0 k n  . Số các tổ hợp chập k của n phần tử là  k n n C k n k   . 5 Ví dụ 1.7. Trong một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiến dịch “mùa hè xanh” của đoàn THCS HCM. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Giải Vì chỉ cần chọn 4 học sinh nam trong 20 học sinh nam mà không cần quan tâm đến thứ tự nên ta có 4 20 4845C  cách chọn. Tương tự chọn 3 học sinh nữ trong 15 học sinh nữ có 3 15 455C  cách Vậy số cách chọn là 4845.455 = 2204475 cách chọn. 1.2. Xác suất cổ điển 1.2.1. Phép thử và biến cố 1.2.1.1. Phép thử Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả củ a nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử kí hiệu là (đọc là ô-mê-ga). Ví dụ 1.8. Gieo một đồng tiền. Đó là phép thử với không gian mẫu ,S N  . Ở đây, S kí hiệu cho kết quả “Mặt sấp xuất hiện” và N kí hiệu cho kết quả “ Mặt ngửa xuấ t hiện”. 1.2.1.2. Biến cố Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi là biến cố không). Còn tập được gọ i là biến cố chắc chắn 1.2.1.3. Phép toán trên các biến cố Tập \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu làA . TậpA B được gọi là hợp của các biến cố A và B. TậpA B được gọi là giao của các biến cố A và B. TậpA B   thì ta nói A và B xung khắc. Ví dụ 1.9. Xét phép thử gieo một đồng tiền hai lần với các biến cố sau A là kết quả của hai lần gieo là như nhau, B là có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp, C là lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp, D là lần đầu xuất hiện mặt sấp. Ta có       , ; , , ; ; ,A SS NN B SN NS SS C NS D SS SN   . 6 Do đó , ,A B SN NS SS B   ; A B SS  là biến cố “ Cả hai lần đều xuất hiện mặt sấp”. 1.2.2. Xác suất của biến cố 1.2.2.1. Định nghĩa cổ điển của xác suất Đinh nghĩa 1.10. Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả có đồng khả năng xuất hiện. Khi đó ta gọi tỉ số    n A n  là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) và ta viết      n A P A n   . Chú ý: n A là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cổ A, còn n  là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Ví dụ 1.11. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau a) A là mặt sấp xuất hiện hai lần. b) B là mặt sấp xuất hiện đúng một lần. c) C là mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần. Giải Không gian mẫu , , ,SS SN NS NN  gồm bốn kết quả. Vì đồng tiền cân đối, đồng chất và việc gieo là ngẫu nhiên nên các kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta có a)     , 1, 4A SS n A n    , theo định nghĩa ta có      1 4 n A P A n    . b)   , , 2B SN NS n B  nên      2 1 4 2 n B P B n     . c)   , , , 3C NN SN NS n C  nên      3 4 n C P C n    . 1.2.2.2.. Các tính chất cơ bản của xác suất 7 Định lí 1.12. Giả sử A, B là các biến cố liên quan đến một phép thử có không gian mẫu . Khi đó ta có a)   0, 1P P     . b) 0 1P A  ,với mọi biến cố A. c) Nếu A và B xung khắc với nhau thì ta có     P A B P A P B   (công thức cộng xác suất). Hệ quả 1.13. Với mọi biến cố A, ta luôn luôn có:   1P A P A  . Ví dụ 1.14. Một nhóm sinh viên gồm 15 người, trong đó có 6 sinh viên cùng quê ở Đà Nẵng, 4 sinh viên cùng quê Tiền Giang và 5 bạn còn lại ở TP.HCM. Cả 15 bạn đứng sau 15 cánh cửa giống nhau được đánh số từ 1 đến 15. Bạn hãy chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cửa. Tìm xác suất để a. Cả 3 sinh viên đứng sau cánh cửa đó đều cùng quê (A). b. Có đúng 2 sinh viên cùng quê (B). c. Có ít nhất 2 sinh viên cùng quê (C). d. Không có sinh viên nào là đồng hương. Giải a. Ký hiệu Ad : “ Ba sinh viên được chọn cùng ở Đà Nẵng”, At : “ Ba sinh viên được chọn cùng ở Tiền Giang”, Ah : “Ba sinh viên được chọn cùng ở Tp.HCM”. Khi đó Ad, At, Ah đôi một xung khắc nhau và do chỉ chọn ngẫu nhiên 1 lần 3 cửa nênA Ad At Ah   . Theo tính chất của xác suất, chúng ta có       P A P Ad P At P Ah   .  3 3 3 6 4 5 3 15 34 0, 075 455 C C C P A C      . 8 b. Tượng tự với ký hiệu Bd : “ Trong 3 sinh viên có 2 SV cùng quê Đà Nẵng ”, Bt : “ Trong 3 SV có 2 SV cùng quê Tiền Giang ”, Bh : “ Trong 3 SV có 2 SV cùng quê TpHCM ”. Khi đó( ) ( ) ( ) ( )P B P Bd P Bt P Bh   .  2 1 2 1 2 1 6 9 4 11 5 10 3 15 . . . 301 0, 66154 455 C C C C C C P A C      . c.      34 301 355 0.7363 455 455 455 P C P A P B      d. VìD C nên 335 ( ) 1 ( ) 1 0.2637 455 P D P C     335 ( ) 1 ( ) 1 0.2637 455 P D P C     1.2.2.3. Hai biến cố độc lập Định nghĩa 1.15. Hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia (nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia). Định lí 1.16. A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi     . .P A B P A P B . 1.2.3. Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì     P A B P A P B   Mở rộng quy tắc cộng xác suất: Cho k biến cố1 2, ,......, kA A A đôi một xung khắc. Khi đó       1 2 1 2... ....k kP A A A P A P A P A       . Giả sử A và B là hai biến cố ùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Khi đó       P A B P A P B P AB    . Ví dụ 1.17. Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối đổng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau A: Lần thứ nhất hiện mặt 6 chấm 9 B: Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm C: Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm D: Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm Giải Ta có  , 1 , 6i j i j    ,trong đó i là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, j là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai,  36n   . Như vậy    6, 1 , 6 , 6A j i j n A    ;    6, 1 , 6 , 6B j i j n B    ;    , , 6, 6 , 1C A B D C A B n A B       . Từ đó, theo định nghĩa ta có      6 1 36 6 n A P A n     .      6 1 36 6 n A P B n     .      1 . 36 n A B P A B n     . Theo nhận xét ta có          1 1 1 11 . 6 6 36 6 P C P A B P A P B P A B         .      11 25 1 1 36 36 P D P C P C      . 1.2.4. Quy tắc nhân xác suất Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không ảnh hưởng đến xác suất của B. Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi     .P AB P A P B . Ví dụ 1.18. Một cặp vợ chồng mong muốn sinh con trai. Nếu sinh con gái, họ sẽ sinh tiếp cho đến khi sinh được một đứa con trai thì dừng lại. Biết rằng xác suất sinh được con trai trong mỗi lần sinh là 0,51. Tìm xác suất sao cho cặp vợ chồng đó sinh được con trai ở lần sinh thứ 22. Giải 10 A là biến cố: “Sinh con gái ở lần thứ nhất” B là biến cố: “Sinh con trai ở lần thứ hai” Ta có:( ) 1 0,51 0, 49 ( ) 0,51 P A P B     GọiC là biến cố: “Sinh con gái ở lần thứ nhất và sinh con trai ở lần thứ hai.” Khi đóC AB , mà A và B độc lập, do đó, theo quy tắc nhân xác suất ta suy ra( ) ( ) ( ). ( ) 0,2499P C P AB P A P B   . 1.2.5. Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.19. Cho A và B là hai biến cố bất kỳ trong không gian mẫu Ω. Khi đó (i) Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của biến cố A với điều kiện B, ký hiệu P(A B), và được xác định bởi công thức  ) . ( ( ) P AB P P A B B  (ii) Xác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất của biến cố B với điều kiện A, ký hiệu P(B A), và được xác định bởi công thức  ( ) B . ( A A) P AB P P  Sau đây là một số tính chất của xác suất có điều kiện. Tính chất 1.20. Khi cố định biến cố B thì xác suất có điều kiện P(A B) có các tính chất sau (i)   BA 0,1 ,P  với mọi biến cố A. (ii) B 1B .P  (iii)    1 AB BAP P  . (iv)       1 2 1 2 1 2 P B P B P B PA A A A A BA    . Ví dụ 1.21. Lấy ngẫu nhiên 1 lá bài trong bộ bài 52 lá. Tính lá bài lấy ra có số nút nhỏ hơn 5 biết rằng lá bài lấy ra có màu đỏ? Giải Gọi A là biến cố lá bài lấy ra có số nút nhỏ hơn 5. B là biến cố lá bài lấy ra có màu đỏ. 11 Ta có  ( ) 8 52 4 . ( ) 26 52 13 P A B P AB P B    1.2.6. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Định nghĩa 1.22. Hệ biến cố 1 2, ,..., nA A A được gọi là hệ biến cố đầy đủ nhiều chúng thỏa mãn hai điều kiện sau đây (i), , 1,i j i j A A i j n      ; (ii)1 . n i i A    Các mệnh đề sau đây cho ta kết quả của công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes. Mệnh đề 1.23. (Công thức xác suất đầy đủ) Cho 1 2, ,..., nA A A là hệ biến cố đầy đủ và B là một biến cố bất kỳ trong không gian mẫu Ω. Khi đó, ta có  1 ( ). ( ). n i i i P A P B AP B    Mệnh đề 1.24. (Công thức Bayes) Cho 1 2, ,..., nA A A là hệ biến cố đầy đủ và B là một biến cố bất kỳ trong không gian mẫu Ω và  0P B  . Khi đó, ta có  1 ( ). ( ) ( ). ( ) . ( ) ( ). ( ) k k k k k n i i i P A P B A P A P B A A P B P A P B A P B     Ví dụ 1.25. Trong một kỳ thi có 100 thí sinh, trong đó có 60 nữ và 40 nam. Kết quả có 40 thí sinh trúng tuyển, trong đó có 22 nam và 18 nữ. a) Lấy ngẫu nhiên 1 túi hồ sơ trong 100 thí sinh trên. Tính xác suất túi hồ sơ đó trúng tuyển ? b) Giả sử lấy được túi hồ sơ trúng tuyển. Tính xác suất túi hồ sơ đó của nữ ? Giải a) Gọi A biến cố lấy được túi hồ sơ của nam. Khi đó,A là biến cố lấy được túi hồ sơ của nữ. B là biến cố lấy được túi hồ sơ trúng tuyển. Ta thấy, ,A A là hệ biến cố đầy đủ. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ cho hai biến cố A và B ta có 12  60 22 40 18 ( ). ( ) ( ). ( ) . . 0.4. 100 40 100 40 B P A P B A P A P B AP      b) Áp dụng công thức Bayes ta có  ( ). ( ) 0.45. ( ) P A P B A A P B B P   13 Chƣơng 2: Phân loại các dạng toán tổ hợp - xác suất 2.1. Các dạng toán tổ hợp 2.1.1. Bài toán thành lập số Bài toán 2.1. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số? Giải Gọiabcde là số tự nhiên cần tìm. Khi đó ta có số cách chọn a là 9, số cách chọn b là 10, số cách chọn c là 10, số cách chọn d là 10, số cách chọn e là 10. Vậy có tất cả9.10.10.10.10 90000 số. Bài toán 2.2. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau? Giải Gọiabcde là số tự nhiên cần tìm. Khi đó ta có số cách chọn a là 9, số cách chọn b, c, d, e là 4 9A . Vậy có tất cả 4 99.A số. Nhận xét 2.3. Trong hai bài toán trên, nếu thành lập số tự nhiên mà các chữ số không cần đôi một khác nhau thì ta sử dụng quy tắc nhân thông thường để tính toán. Ngược lại, khi có yêu cầu các chữ số đôi một khác nhau thì ta cũng có thể sử dụng quy tắc nhân để tính toán nhưng số cách chọn của các số sau càng ít đi so với các số trường do yêu cầu các chữ số đôi một khác nhau. Trong trường hợp cụ thể ở Bài toán 2.2, ta dùng công cụ chỉnh hợp để việc tính toán nhanh chóng hơn. Đối với những bài toán thành lập số mà yêu cầu của đề bài phức tạp hơn, chúng ta sử dụng kết hợp hai quy tắc đếm cộng và nhân, và một số công cụ khác như hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Cụ thể hơn, ta xét một số bài toán sau đây. Bài 2.4. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. a) Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số có 12 chữ số sao cho chữ số 5 có mặt 3 lần, chữ số 6 có mặt 4 lần, còn lại các chữ số khác có mặt 1 lần ? b) Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho có 1 chữ số lặp lại 4 lần, một chữ số khác lặp lại 2 lần và một chữ số khác với hai số trên ? Giải a) Chữ số 5 có mặt 3 lần trong số có 12 chữ số nên có 3 12C cách chọn vị trí cho chữ số 5. Chữ số 6 có mặt 4 lần trong số12 3 9  vị trí còn lại nên có 4 9C cách chọn vị trí cho chữ số 6 14 Còn 5 chữ số cuối cùng xếp vào 5 vị trí nên có 5 cách. Vậy có3 4 12 9. .5 3.326.400C C  cách . b) Có 4 7C cách chọn vị trí cho chữ số lặp lại 4 lần. Tuy nhiên vì chữ số lặp lại 4 lần này ta chưa biết là số nào nên có 7 trường hợp xảy ra, vậy có 4 77.C cách Có 2 3C cách chọn vị trí cho chữ số lặp lại 2 lần. Tuy nhiên vì chữ số lặp lại 2 lần này ta chưa biết là số nào nên có 6 trường hợp xảy ra, vậy có 2 36.C cách . Còn 5 chữ số cuối cùng chỉ có thể xuất hiện 1 lần nên có 5 cách chọn. Vậy có   4 2 7 37. . 6. .5 22050C C  số. Bài toán 2.5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 ? Giải Ta coi chữ số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau như một “chữ số kép” X. Bài toán trở thành có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số X, 0, 1, 4, 5. Gọi số có 5 chữ số cần tìm là1 2 3 4 5a a a a a . Khi đó, chữ số1 0a  nên có 4 cách chọn, các chữ số còn lại có 4 cách. Tuy nhiên 2 chữ số trong X lại có 2 cách sắp xếp. Vậy có 4.4.2 = 192 số thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Bài toán 2.6. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8? Giải Gọi số cần tìm có dạng1 2 3 4 5 6 .a a a a a a Vì     3 4 5 3 4 58 , , 1, 2,5 ; 1,3.4a a a a a a     nên có 2.3 cách chọn, và ba chữ số còn lại có 3 6A cách. Vậy có 3 62.3. 1440A  số thỏa mãn yêu cầu. Bài toán 2.7. Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ cả 3 chữ số trên ? Giải Gọi số có 5 chữ số cần tìm là1 2 3 4 5a a a a a . 15 Vì 5 = 2 + 2 + 1 = 1+ 1 + 3 nên chỉ có hai trường hợp sau xảy ra thỏa mãn yêu cầu. Trường hợp hai số có hai vị trí, một số còn lại có một vị trí, ta có 2 2 5 3. .1 3 90C C  số (vì không xác định rõ các vị trí đó cho số nào, mà đề bài ta có ba số, vậy kết quả phải nhân 3). Trường hợp hai số có một vị trí, một số còn lại có ba vị trí, ta có 1 1 5 4. .3 3 60C C  số. Vậy có 90 + 60 = 150 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài toán 2.8. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần ? Giải Ta xét hai trường hợp sau đây. Trường hợp chữ số thứ nhất là 1 có một cách sắp xếp, xếp hai chữ số 1 còn lại vào bảy vị trí có 2 7C cách, năm vị trí còn lại có 5 cách sắp xếp. Trường hợp chữ số thứ nhất khác 1 có 4 cách chọn (do chọn từ {2, 3, 4, 5}). Xếp 3 chữ số 1 vào 7 vị trí có 3 7C cách, xếp 4 chữ số còn lại có 4 Cách. Vậy có2 3 7 7.5 4. .4 5880C C  số. 2.1.2. Bài toán sắp xếp đồ vật, ngƣời Bài toán 2.9. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hồng này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn 1 bó hoa gồm 7 bông: a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ ? b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ? Giải a) Có ba khả năng xảy ra như sau. Trường hợp 1: chọn 1 bông đỏ, 3 bông trắng và 3 bông vàng. Trường hợp 2: chọn 1 bông đỏ, 2 bông trắng và 4 bông vàng. Trường hợp 3: chọn 1 bông đỏ, 1 bông trắng và 5 bông vàng. Vậy có1 3 3 1 2 4 1 1 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5. . . . . . 112C C C C C C C C C   cách chọn. b) Có ba khả năng xảy ra như sau. Trường hợp 1: chọn 3 bông vàng, 3 bông đỏ và 1 bông trắng. 16 Trường hợp 2: chọn 3 bông vàng và 4 bông đỏ. Trường hợp 3: chọn 4 bông vàng và 3 bông đỏ. Vậy có3 3 1 3 4 4 3 4 5 3 5 4 5 4. . . . 150C C C C C C C   cách chọn. Nhận xét 2.10. Trong Bài toán 2.9, vì số lượng các bông hồng là không quá lớn, nên số các trường hợp xảy ra là không nhiều. Tuy nhiên nếu đề bài cho số lượng bông hoa lớn hơn, thì số trường hợp sẽ rất nhiều. Vì vậy việc tính toán sẽ rất dài dòng và mất thời gian. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sử dụng phương pháp tính phần bù. Cụ thể hơn, ta xét bài toán sau đây. Bài toán 2.11. Một hộp đựng 20 viên bi đỏ, 30 viên bi trắng. Người ta chọn ra 25 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra có ít nhất 3 viên bi đỏ? Giải Nếu theo cách lập luận ở Bài toán 2.9 thì chúng ta có 18 khả năng với số bi đỏ trong các trường hợp lần lượt là 3, 4, … ,20. Do đó,...