Năm 1979, Robert Langlands đưa ra một lý thuyết toán học đầy tham vọng và có tính chất cách mạng; Lý thuyết toán học này liên quan tới hai bộ môn toán học được gọi là lý thuyết số và lý thuyết nhóm, lý thuyết này đã nắm bắt các cấu trúc kết hợp với các phương trình liên hệ tới toàn bộ các con số sắp xếp trong cái gọi là chương trình Langlands. Robert Langlands cho rằng việc chứng minh những giả thiết làm nền tảng cho lý thuyết của ông là công việc và trí tuệ của các thế hệ sau.
Chương trình langlands hay ngôn ngữ phổ quát của các con số Chương trình langlands hay ngôn ngữ phổ quát của các con số Bởi: Phạm Văn Thiều Hiện nay, hằng tháng có khoảng 200.000 định lý được chứng minh trong 3.000 lĩnh vực khác nhau của toán học Điều đó khiến cho người ta nghĩ rằng giấc mơ của các nhà toán học về một ngôn ngữ chung để tiếp cận với các con số bằng những công cụ hiện có xem ra khó có thể thực hiện được Tuy nhiên, vào tháng giêng năm 1967, bằng trực giác thiên tài của mình, nhà toán học Canada Robert Langlands đã thấy trước phương cách để xây dựng một ngôn ngữ chung giữa số học, hình học, đại số và giải tích Ông đã đề ra cả một chương trình thống nhất các tri thức trong những lĩnh vực này nhằm tạo ra một ngôn ngữ phổ quát cuả toán học Laurent Lafforgue vừa dọn tới phòng làm việc mới ông mới được bổ nhiệm giữ chức phụ trách môn hình học đại số của Viện nghiên cứu khoa học cao cấp (IHES) – một viện nghiên cứu toán học và vật lý nổi tiếng thế giới, đặt tại Bures – sur – Yvette, gần Paris Đây cũng là một trong những cương vị có uy tín nhất thế giới toán học Nhà toán học trẻ người Pháp 33 tuổi này đã làm nên công trạng gì mà được hưởng một vinh dự cao quý như vậy? Theo lời ông Jean – PierreBourguignon, giám đốc viện này và là người quyết định bổ nhiệm Lafforgue thì “Laurent Lafforgue vừa mới chứng minh được trọn vẹn một phần trong chương trình Langlands Đây là một công trình tuyệt vời Bởi vì rất nhiều nhà toán học đã từng cho rằng công việc này phải mất hàng chục năm nữa mới hoàn thành được ” Vậy chương trìnhLanglands là gì? Ngoài một số hạn chế các nhà toán học ra, ít người được nghe nói về nó Dự án bí ẩn này thực ra là nhằm đặt mối quan hệ giữa các đối tượng toán học phức tạp và trừu tượng nhất đã được tạo ra và những phương tiện cần thiết để chứng minh các mối quan hệ đó cũng phức tạp không kém Tuy nhiên, chương trình Langlands có một mục đích được phát biểu một cách đơn giản như sau: tạo ra những nhịp cầu nối giữa số học, hình học, đại số và giải tích, lập một cuốn “từ điển” giữa các ngôn ngữ toán học khác nhau 1/7 Chương trình langlands hay ngôn ngữ phổ quát của các con số Thực tế các nhà toán học không xem xét các sự vật theo cùng một cách và do vậy họ không nói cùng một thứ ngôn ngữ Nhà số học xét các con số, nhà hình học xét các hình dạng, nhà đại số xét các quan hệ còn nhà giải tích xét các biến thiên Chương trình Langlands hứa hẹn với họ rằng, cuối cùng họ sẽ giao lưu được với nhau Nói một cách văn hoa thì cuối cùng trong cái tháp Babel toán học người ta sẽ nói chỉ một ngôn ngữ - ngôn ngữ phổ quát, ngôn ngữ cho thấy bản chất sâu xa của các sự vật Đối tượng ban đầu là các số nguyên 1, 2, 3 và số học, tức sự nghiên cứu những quan hệ giữa các số nguyên ấy, chính là ngôn ngữ nguyên thuỷ của chúng “Chúa đã tạo ra các số nguyên và con người sáng chế ra những thứ còn lại” - đó là lời tổng kết ở thế kỷ trước của nhà toán học Đức Leopold Kronecker Các phép tính được phép đối với các số nguyên chỉ là phép cộng, trừ, nhân và chia Vốn từ vựng của số học cũng rất hạn chế, nhưng chúng cũng đủ để đặt ra những bài toán mà tới tận ngày hôm nay cũng chưa ai giải được Một ví dụ về bài toán số học kinh điển là nghiên cứu phương trình x2 + y2 = z2 Liệu có tồn tại những số nguyên hay phân số thoả mãn phương trình đó không? Nếu có, thì có bao nhiêu nghiệm? Nhờ ít phép tính đơn giản, các nhà toán học cổ Hi Lạp đã tìm ra lời giải đúng: phương trình trên có nghiệm (ví dụ: 22 + 33 = 52) và thậm chí còn có vô số nghiệm Các phương trình diophante Từ Diophante ở thế kỷ IV tới Pierre Fermat ở thế kỷ XVII, những người say mê số học đã mở rộng dần dần câu hỏi trên cho tất cả các phương trình cùng loại (được gọi là phương trình Diophante) bất kể bậc, số ẩn và các hệ số của chúng Chẳng hạn, liệu người ta có tính được nghiệm của phương trình 3x3 − 7x2 + 23y2 − 4z = w2 không? Thật không may, những bài toán số học ở đây trở nên rất phức tạp Cả Diophante lẫn Fermat đều không có các phương tiện để tìm câu trả lời tổng quát Do vậy các phương trình Diophante - đổi tượng cơ bản của số học – vẫn giữ kín những bí mật của chúng Tuy nhiên, các nhà toán học vốn là những người ương bướng Do ngôn ngữ số học không thể giải được bài toán này, họ bèn thử “phiên dịch” nó sang một thứ ngôn ngữ khác, ngôn ngữ hình học Sự nghiên cứu các hình không gian chỉ thực sự tấn công các bài toán số học bắt đầu từ năm 1637, khi nhà toán học Pháp René Descartes đưa ra khái niệm hệ toạ độ không gian Descartes muốn quy mọi bài toán về hình học Ông biểu diễn các điểm trong một mặt phẳng bằng cặp hoành độ và tung độ (x, y) của chúng Như vậy, tập hợp nghiệm của một phương trình Diophante hai ẩn sẽ được biểu diễn bằng hình học bời một đường cong Ví dụ, phương trình y = 2x + 1 bây giờ trở thành một đường thẳng Khi có ba ẩn số, đường cong sẽ trở thành một mặt Và, nếu có bốn ẩn số hoặc nhiều hơn thì ta sẽ khó hình dung được tập hợp nghiệm, nhưngh các ngôn ngữ hình học vẫn giữ nguyên giá trị Nhờ các toạ độ Descartes này mà bài toán số học bây giờ có thể được dịch thành bài toán hình học (và ngược lại) Và sự nghiên cứu các phương trình 2/7 Chương trình langlands hay ngôn ngữ phổ quát của các con số Diophante đã có những tiến bộ nhất định trong sự phiên dịch này: nếu số học là ngôn ngữ nguyên thuỷ của toán học thì hình học là ngôn ngữ tự nhiên nhất và trực giác nhất của nó Dẫu sao sự ghép nối giữa số học và hình học còn xa mới đạt đến mức hoàn hảo: ngôn ngữ hình học không cho phép phân biệt được những điểm có toạ độ nguyên và các điểm có toạ độ bất kỳ, vì vậy không cho phép mô tả một cách thuận lợi các phương trình Diophante Chính khi này các nhà vật lý đã vào cuộc Trong suốt nửa cuối thế kỷ XVII, nhà bác học Anh Isaac Newton có một bài toán: đó là tìm cách hình thức hoá sự tiến triển các hiện tượng vật lý, như quỹ đạo của một viên đạn hay sự rơi của một quả táo Mục đích ở đây không phải là nghiên cứu các hình dạng mà là sự biến thiên Tuy nhiên, các công cụ của hình học, là thước và compa, không thích hợp đối với vấn đề mới mẻ này Cùng với nhà toán học người Đức Wilhelm Leibniz, Newton đã sử dụng các toạ độ Descartes để tạo ra một ngôn ngữ toán học mới: đó là giải tích Bây giờ ta không nói về các ẩn, các phương trình, các toạ độ và các đường cong nữa mà là nói về các biến và hàm Đạo hàm, tích phân, các phép tính giới hạn và nghiên cứu về tính liên tục, tức toàn bộ kho công cụ của giải tích đã được xây dựng Tuy nhiên, nếu giải tích đã trở thành một trong số những ngôn ngữ mạnh nhất của toán học thì vốn từ vựng của nó cũng vẫn chưa cho phép diễn đạt một cách thuận tiện những tính chất của các phương trình Diophante Một lý thuyết có tính cách mạng 3/7 Chương trình langlands hay ngôn ngữ phổ quát của các con số Phải đợi tới ngày 30 tháng 5 năm 1832, bài toán cổ nói trên mới có bước tiến đáng kể Trước hôm đấu súng, biết chắc mình sẽ chết, trong bức thư tuyệt mệnh của mình, Evariste Galois, lúc đó mới 20 tuổi, đã vội vã ghi lại một lý thuyết có tính chất cách mạng về các phương trình Diophante Galois cho rằng không nên phí thời gian đi tính nghiệm của các phương trình đó, mà hay hơn là ta nên tập trung nghiên cứu các mối quan hệ tồn tại giữa các nghiệm khác nhau của chúng Những nghiệm này (sẽ trở nên vô ích để tìm kiếm) tạo thành một tập hợp có tên là “biểu diễn Galois” của phương trình Nhà toán học trẻ đã chứng minh được rằng chỉ cần biết cấu trúc của tập hợp đó là ta biết được các tính chất của phương trình xuất phát Galois cũng là người đã phát minh ra phương trình dịch hai ngôn ngữ cũ là số học và hình học sang ngôn ngữ mới đầy sức sống là ngôn ngữ đại số – ngôn ngữ nghiên cứu những quan hệ giữa các phần tử khác nhau của cùng một tập hợp Phải sau khi ông mất nhiều thập niên người ta người ta mới bắt đầu hiểu được tầm quan trọng công trình của ông, nhưng theo Laurent Lafforgue thì “phát minh của Galois, có lẽ là phát minh thiên tài nhất của mọi thời đại Ngày hôm nay nó vẫn còn là trung tâm của số học và toàn bộ toán học nói chung ” Galois mới chỉ áp dụng phương pháp dịch có tính cách mạng của mình cho một trường hợp tương đối đơn giản, đó là phương trình Diophante một ẩn (có dạng với là các số nguyên); phương trình loại này chỉ có hữu hạn nghiệm và biểu diễn Galois của nó là một tập hợp có hữu hạn phần tử Người ta có thể biết được cấu trúc của tập hợp hữu hạn này không mấy khó khăn Lý thuyết Galois cũng cho phép chứng minh một cách rất đơn giản rằng nghiệm của các phương trình nói trên có bậc lớn hơn 4 nói chung không thể biểu diễn qua các số nguyên, phân số và căn thức Thất tiếc là phương pháp dịch có hiệu quả này lại không thể dùng được cho các phương trình có nhiều ẩn số Khi này tập hợp các nghiệm không còn là tập hợp rời rạc của những con số đơn độc nữa mà là một tập hợp liên tục như một đường cong hoặc một mặt Các nhà toán học phải mất một thời gian rất lâu để tìm cách định nghĩa biểu diễn Galois gắn liền với các đối tượng số học và hình học đó Trong hơn một thế kỷ chưa có ai định nghĩa được đúng biểu diễn này, đây là các đối tượng đại số tinh tế ẩn chứa những tính chất số học của các phương trình Diophante Một cuốn từ điển hoàn chỉnh Người Pháp ở thế kỷ XX đã đương đầu với công việc này André Weil đã chỉ ra các phương hướng nghiên cứu lớn, Jean-Pierre Serre đã nhận được một số kết quả nhưng Alexandre Grothendieck mới là người làm phần lớn công việc Trong một công trình vĩ đại được thực hiện trong thời gian từ 1958 đến 1979, nhà toán học người Pháp gốc Đức này (cũng làm việc ở IHES) chỉ một mình đã tổng quát hoá thành công lý thuyết của Galois Ông đã định nghĩa đúng biểu diễn Galois gắn liền với bất cứ một phương trình (hay hệ phương trình) Diophante nào và do đó đã lập được một cuốn từ điển hoàn 4/7 Chương trình langlands hay ngôn ngữ phổ quát của các con số chỉnh cho phép dịch một bài toán số – hình học thành một bài toán thuần tuý đại số “Vào thời đó, phòng làm việc của Grothendieck là trung tâm của thế giới toán học” – Laurent Lafforgue kế lại một cách đầy thán phục Tuy vậy, cuốn từ điển này chỉ tra được theo một chiều, từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ đại số Nó cho phép thay việc nghiên cứu một phương trinh Diophante bằng nghiên cứu biểu diễn Galois của nó Nhưng điều này tiến bộ hơn ở chỗ nào? Biết đâu sự dịch này chẳng qua chỉ làm chuyển đổi bài toán mà thôi Hơn nữa, làm thế nào nghiên cứu được cấu trúc của tập hợp đại số mới này, nơi che giấu những bí mật của phương trình? Từ khi ra đời công trình nền tảng của Galois, câu hỏi này luôn dày vò đầu óc của tất cả các nhà toán học lớn trên thế giới Phải cần cả trăm năm để cho một lời giải táo bạo, lạ lùng và mẫu mực xuất hiện: để biết cấu trúc của một đối tượng đại số cần phải dịch nó thành một đối tượng giải tích Sau khi đã chuyển đổi một bài toán số học thành đại số và bây giờ lại cần chuyển đổi từ đại số sang ngôn ngữ lớn cuối cùng của toán học vẫn còn đứng riêng rẽ, đó là giải tích Điều này có nghĩa là làm tương ứng mỗi một biểu diễn Galois với một hàm giải tích Khi đó các công cụ của giải tích sẽ cho phép ta biết một cách hoàn hảo cấu trúc của các đối tượng đại số đó Sau một trăm năm nỗ lực, cuối cùng vào năm 1930, nhà số học người áo Emil Artin đã thực hiện được một phần của sự phiên dịch đó Ông đã thành công lập được sự tương ứng giữa một số biểu diễn Galois (gọi là “giao hoán”) với các hàm tuần hoàn đặc biệt và như vậy đã lập được cầu nối giữa đại số và giải tích điều hoà - một lĩnh vực toán học được phát minh bởi nhà toán học Pháp Joseph Fourier (1768-1830) để phân tích các sóng Vấn đề khó nhất vẫn cần phải làm, đó là tìm một công thức chung để lập sự tương ứng giữa một hàm giải tích với tất cả các biểu diễn Galois khác (tức là các biểu diễn “không giao hoán”, chúng nhiều hơn về số lượng và giàu thông tin hơn) Emil đã tốn hơn 30 năm để tìm kíêm công thức này, nhưng đã không tìm ra Năm 1955, một nhà toán học Nhật Bản tên là Yukata Taniyama đã đề xuất, nhưng không chứng minh được, một công thức áp dụng cho các biểu diễn Galois liên quan với các phương trình eliptic Nhưng cuối cùng, trong một bức thư gửi cho André Weil vào tháng giêng năm 1967, nhà toán học Canada Robert Langlands đã phát biểu một phương pháp chung xác lập sự tương ứng đó Ông đã nêu ra một tập hợp các hàm điều hoà đặc biệt có tương ứng một – một với các biểu diễn Galois còn lại Vậy là toàn bộ các đối tượng đại số đã có tương đương giải tích của chúng Robert Langlands chưa chứng minh được sự tương ứng sâu sắc này, nhưng ông đã tìm được nhiều kết quả và luận chứng có sức thuyết phục để làm cơ sở cho trực giác của mình Việc chứng minh sự tương ứng này quan trọng đối với sự nghiên cứu các con số tới mức nó trở thành cả một chương trình – chương trình Langlands Tuy nhiên, chương trình Langlands – cầu nối các lý thuyết toán học phức tạp nhất – rất không may lại là khó chưa từng thấy Chính vì vậy mà năm ngoái cả cộng đồng toán 5/7 Chương trình langlands hay ngôn ngữ phổ quát của các con số học phải sững sờ khi một nhà toán học trẻ người Pháp tuyên bố đã một mình hoàn thành toàn bộ một phần của chương trình đó! Một sự đối xứng tuyệt đối Thực tế, chứng minh của Laurent Lafforgue không liên quan tới tập hợp các số nguyên Nó được hạn chế trong một tập hợp trừu tượng hơn rất nhiều, nhưng dễ nghiên cứu hơn: đó là tập hợp các hàm gắn một giá trị với một điểm thuộc một đường cong “Trong suốt nửa đầu của thế kỷ XX, các nhà toán học đã nhận thấy rằng ứng với mỗi một luật đúng với các con số sẽ có một luật tương tự đúng với các hàm ” – Laurent Lafforgue giải thích Trong thế giới các con số, Langlands đã bắc một nhịp cầu giữa đại số và giải tích Nhưng vì có một sự đối xứng tuyệt đối giữa thế giới các hàm và thế giới các con số nên cũng sẽ có một chương trình Langlands đúng cho thế giới các hàm Trong những năm 1970, nhà toán học Ucraina Vladimir Drinfeld đã phác thảo một chứng minh cho chương trình này và đã xét một trường hợp đặc biệt có tính chất quyết 6/7 Chương trình langlands hay ngôn ngữ phổ quát của các con số định Ba mươi năm sau, sau bảy năm rưỡi đơn thương độc mã nghiên cứu với hơn 600 trang trình bày, Laurent Lafforgue đã hoàn tất chương trình của Drinfeld “Tôi sẽ không đạt được gì nếu không có công trình của Drinfeld” – Laurent nhấn mạnh “Tôi nghiên cứu các đối tượng do ông phát minh ra và tổng quát hoá những chứng minh của ông ấy ” Sau khi đã bị thất bại trong lần chứng minh đầu tiên của mình vào năm 1999, nhà toán học trẻ người Pháp cuối cùng đã thống nhất được các ngôn ngữ đại số và giải tích vào mùa hè năm 2000 Nhưng thế thì sao? Nếu chương trình đã được chứng minh với các hàm thì cũng tức là nó cũng sẽ đúng đối với các số vì hai thế giới này là hoàn toàn đối xứng với nhau Điều này quá là đẹp Nhưng sự tương tự không thể dùng để làm chứng minh Vì vậy tất cả vẫn còn phải làm với các con số Và trong lĩnh vực này sự tiến bộ rất là chậm chạp Tuy nhiên, gần đây đã có những tiến bộ đáng kể Năm 1994, khi chứng minh một định lý nổi tiếng của số học có tên là “định lý cuối cùng của Fermat”, nhà toán học người Anh Andrew Wiles đã chứng minh được công thức của Taniyama, công thức dịch các phương trình eliptic thành các đối tượng giải tích Nhưng hiện chưa ai biết tới thế kỷ nào chương trình Langlands mới được hoàn tất Dù sao, sự hoàn tất chương trình đó cũng sẽ không giải quyết được dứt điểm bài toán cổ xưa về các phương trình Diophante Cái cầu giữa hình học và đại số thực tế vẫn là chiếc cầy một chiều Người ta biết cách dịch các phương trình thành những biểu diễn Galois, nhưng làm thế nào dịch các biểu diễn này thành các phương trình? Để cho các nhà toán học về các phương trình Diophante nói cùng một ngôn ngữ phổ quát cần phải cho phép, chiếc cầu nối này có chiều ngược lại, tức là từ đại số đến hình học Alexander Grothendieck đã một mình chìm đắm trong nghiên cứu về sự dịch tối hậu đó Ông đã vẽ ra một phác thảo về nó – “lý thuyết về các motif” – nhưng chưa thiết lập được một cách chặt chẽ cơ sở của nó.”Đây là lần đầu tiên trong cuộc đời mình Grothedieck đã phải đương đầu với một bài toán mà ông không giải được” – Laurent kể Giống như chàng lcar tiền quá gần tới Mặt Trời, Grothendieck, người được xem là một trong số các nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại, đã đột ngột dừng nghiên cứu toán học vào năm 1970 và rời IHES Một vài năm sau, ông đã giã từ thế giới văn minh và lui về sống cuộc đời của một ẩn sĩ Bỏ lại phía sau lý thuyết các motif còn dang dở Alexander Grothendieck đã trao lại cho các nhà toán học những từ bập bẹ đầu tiên của một ngôn ngữ toán học phổ quát mà hiện chưa ai biết nói Giờ Laurent Lafforgue đã rời Đại học Orsay để kế vị ông ở IHES Trên bàn làm việc mới của Lafforgue, bên cạnh bức ảnh của Grothendieck là một tờ giấy trắng và một chiếc bút chì 7/7