Sức bền vật liệu

Để xác định nội lực trong vật khi vật chịu tác dụng của ngoai lực người ta dùng phương pháp mặt cắt, phương pháp này cho phép biểu diễn nội lực trên một phần vật được tách ra từ vật nghi

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Khái niệm

1.1.1 Nhiệm vụ của môn học

Sức bền vật liệu là một môn học thuộc chuyên ngành cơ học vật rắn biến dạng, nó có nhiệm vụ là nghiên cứu các phương pháp tính toán công trình trên 3 mặt: Độ bền, độ cứng và ổn định

Một công trình được đánh giá là bền khi mỗi bộ phận của nó không bị phá hỏng khi chịu lực Các bộ phận công trình hay các chi tiết máy được xem như là cứng khi biến dạng của từng bộ phận không vượt quá một giá trị yêu cầu nào đó để đảm bảo sự hoạt động bình thường trong quá trình khai thác Yêu cầu về ổn định có nghĩa là các bộ phận của từng kết cấu công trình phải bảo toàn hình dạng hình học của kết cấu khi chịu lực, nhằm loại trừ các hiện tượng dẫn đến mất ổn định như bị cong vênh hoặc méo mó

1.1.2 Đối tượng của môn học

Về vật liệu, môn sức bền vật liệu nghiên cứu các kết cấu công trình được làm từ các vật liệu thực - đó là các vật liệu có biến dạng khi chịu tác dụng của tải trọng – ví dụ như sắt , đồng, gang, bê tông… Khác với môn cơ học lý thuyết – môn học nghiên cứu các vật liệu lý tưởng – vật liệu không có biến dạng

Trong không gian vật thể có các hình dạng rất khác nhau Ta có thể phân các vật thể thành 3 dạng tuỳ theo các kích thước theo 3 chiều của chúng - đó là kết cấu dạng thanh, kết cấu dạng tấm và vỏ, kết cấu dạng khối a/ K ế t c ấ u d ạ ng thanh : Thanh là một vật thể hình lăng trụ có kích thước theo một chiều lớn hơn rất nhiều so với hai chiều còn lại Ví dụ như trên hình 1-1a thể hiện một kết cấu thanh có chiều dài l lớn hơn nhiều lần so với h và b l b h l l F a) b)

Về mặt hình học ta cũng có thể định nghĩa: Thanh là một phần không gian khép kín được lấp đầy vật liệu, phần không gian đó được tạo nên khi ta di chuyển một hình phẳng có diện tích F dọc theo một đường cong l nào đó sao cho trọng tâm O của hình phẳng F luôn luôn trượt trên l và hình phẳng F luôn luôn vuông góc với tiếp tuyến của l tại điểm nó đi qua Ta gọi đường l là trục thanh, còn hình phẳng F là mặt cắt ngang của thanh (hình 1-1b) Trong tính toán công trình người ta biểu diễn thanh bằng đường trục thanh và mặt cắt ngang của thanh Tuỳ thuộc vào dạng của đường trục l ta chia thanh thành các dạng: Thanh thẳng, thanh gẫy, thanh cong (hình 1-2a,b,c) hoặc dựa vào mặt cắt ngang có thể chia thanh thành thanh có mặt cắt không đổi, thanh có mặt cắt thay đổi (hình 1-2b,c) b/ K ế t c ấ u d ạ ng t ấ m, v ỏ : Là vật thể lăng trụ có kích thước hai chiều lớn hơn nhiều so với chiều còn lại (hình 1-3a,b) c/ K ế t c ấ u d ạ ng kh ố i : Là vật thể có kích thước theo 3 chiều không khác nhau nhiều (hình 1-3c)

Trong 3 dạng kết cấu nêu trên, dạng thanh là đối tượng nghiên cứu của môn Sức bền vật liệu Hai dạng sau sẽ là đối tượng nghiên cứu của môn học khác như môn lý thuyết đàn hồi

1.1.3 Các giả thiết cơ bản và nguyên lý độc lập tác dụng của lực

Các giả thiết cơ bản

Khi tính toán công trình nếu xét tất cả các yếu tố ảnh hưởng thì vô cùng phức tạp Để đơn giản cho quá trình tính toán ta đưa vào một số giả thiết

Hình 1-3 b) c) a/ V ậ t li ệ u liên t ụ c, đồ ng ch ấ t và đẳ ng h ướ ng :

Vật liệu liên tục có nghĩa là nó lắp đầy không gian vật choán chỗ, trong đó không tồn tại các khe nứt, các chỗ trống Giả thiết này thừa nhận biến dạng trong vật thể là liên tục từ điểm này sang điểm khác Do vậy ta có thể gán cho các đại lượng nghiên cứu những hàm toán học liên tục Các loại vật liệu không thoả mãn tính chất này được gọi là vật liệu không liên tục hay vật liệu rời rạc, chẳng hạn như cát, sỏi…

Vật liệu đồng nhất có nghĩa là vật liệu có cùng tính chất (cơ học, lý học) ở mọi điểm Phần lớn các loại vật liệu được dùng trong xây dựng và chế tạo máy thoả mãn giả thuyết này ở khía cạnh vĩ mô Các loại vật liệu không thoả mãn tính chất này được gọi là vật liệu không đồng nhất ví dụ như bê tông cốt thép…

Vật liệu đẳng hướng có nghĩa là tại mỗi điểm trong vật tính chất cơ, lý như nhau theo mọi phuơng Các loại vật liệu không thoả mãn tính chất này được gọi là vật liệu không đẳng hướng hay vật liệu dị hướng như tre, nứa, gỗ… b/ V ậ t li ệ u đ àn h ồ i lý t ưở ng : Dưới tác dụng của ngoại lực, vật bị biến dạng, nếu khi thôi tác dụng của ngoại lực, vật tự khôi phục lại vị trí và hình dạng ban đầu, khi đó vật liệu được gọi là đàn hồi tuyệt đối hay đàn hồi lý tưởng Trong thực tế, biến dạng của vật liệu chỉ được coi là biến dạng đàn hồi lý tưởng khi ngoại lực tác dụng vào vật đang còn nhỏ hơn một giới hạn nhất định, giới hạn này phụ thuộc vào loại vật liệu Khi ngoại lực tác dụng vượt quá giới hạn nói trên, trong vật sẽ phát sinh biến dạng dẻo hay còn gọi là biến dạng dư - biến dạng còn tồn tại trên vật ngay cả khi đã loại bỏ hoàn toàn tác dụng của ngoại lực

Nói chung, trong phạm vi biến dạng đàn hồi quan hệ giữa lực tác dụng và biến dạng là quan hệ tuyến tính – quan hệ này được nhà vật lý người Anh Robert Hooke nêu thành định luật vào năm 1678 và gọi là định luật Hooke (Húc)- một định luật cơ bản trong lý thuyết đàn hồi và sức bền vật liệu (sẽ được trình bày trong chương 2) e/ Bi ế n d ạ ng và chuy ể n v ị c ủ a v ậ t là r ấ t nh ỏ so v ớ i kích th ướ c c ủ a v ậ t : Từ giả thiết về biến dạng nhỏ ta có thể viết các phương trình cân bằng tĩnh hoặc động cho một vật được coi như ở trạng thái chưa biến dạng

1.1.4 Nguyên lý độc lập tác dụng của lực

Nguyên lý được phát biểu như sau: Một vật (hay một hệ đàn hồi) khi chịu tác dụng đồng thời của một hệ gồm nhiều lực (hay nhiều nguyên nhân khác nhau), các đại lượng cơ học như ứng suất, biến dạng… gây ra trong vật được tính bằng tổng các đại lượng cơ học do từng lực (hay từng nguyên nhân) tác dụng riêng rẽ gây ra

Dựa trên nguyên lý này, ta có thể làm giảm độ phức tạp khi giải các bài toán sức bền vật liệu.

Ngoại lực, nội lực

1.2.1 Ngoại lực, liên kết và phản lực liên kết :

Một trong các nguyên nhân tác động vào vật và làm cho nó bị biến dạng là lực Lực được truyền từ các vật thể khác sang vật nghiên cứu thông qua các phần tiếp xúc giữa chúng được gọi là ngoại lực Tuỳ theo diện tích của bề mặt tiếp xúc lớn hay nhỏ so với kích thước của vật mà ta phân ngoại lực thành lực tập trung và lực phân bố

- Lực tập trung: Thường được ký hiệu là P, là lực truyền vào vật đang xét thông qua một diện tích rất nhỏ mà ta có thể xem như là một điểm, đơn vị của P là Niutơn (N) Ví dụ như trọng lượng của toa xe truyền xuống đường ray thông qua diện tích tiếp xúc giữa bánh xe và ray có thể xem như là lực tập trung (hình 1-4a)

- Lực phân bố bề mặt: Ký hiệu là p, là lực tác dụng lên vật thông qua một diện tích đủ lớn, khi đó thứ nguyên của p là lực trên diện tích, đơn vị thường dùng là N/m 2 , ví dụ như lực tác dụng của hàng hoá chất trong toa xe lên sàn xe, áp lực nước lên thành bể chứa là các lực phân bố (hình 1-4b)

- Lực phân bố theo chiều dài: Ký hiệu là q, đối với các vật thể dạng thanh, nếu lực phân bố trên bề mặt dọc theo trục có cường độ không đổi theo phương ngang (phương vuông góc với trục thanh), khi đó ta có thể coi các lực đó như lực phân bố dọc theo chiều dài, thứ nguyên của nó là lực trên chiều dài, đơn vị thường dùng là N/m (hình 1- 4c)

- Lực phân bố thể tích : Là lực tác dụng lên mọi điểm trong vật như lực trọng trường, lực quán tính, lực điện từ v v , thứ nguyên của nó là lực trên thể tích, đơn vị N/m 3

Trong tính toán công trình ta thường gặp rất nhiều loại liên kết, song có 3 loại thường gặp nhất như trên hình 1-5 (giới hạn xét các liên kết trong mặt phẳng)

- Liên kết đôi (còn gọi là khớp đôi, khớp cố định): Loại liên kết này như trên hình 1-5a) cho phép kết cấu quay xung quanh khớp, nhưng không cho phép dịch chuyển theo phương ngang và phương đứng Với liên kết này có 2 thành phần phản lực là V và H hoặc hợp 2 thành phần này thành một thành phần có phương đi qua khớp

- Liên kết đơn (còn gọi là khớp đơn, khớp di động): Loại liên kết này như trên hình 1-5b) cho phép kết cấu quay xung quanh khớp và dịch chuyển theo phương ngang nhưng không cho phép dịch chuyển theo phương đứng Với liên kết này chỉ có một thành phần phản lực là V

- Liên kết ngàm: Loại liên kết này như trên hình 1-5c) không cho phép kết cấu quay và cũng không cho phép dịch chuyển theo phương đứng và phương ngang Với liên kết này có 3 thành phần phản lực là M, H và V Một dạng đặc biệt của liên kết ngàm là loại ngàm trượt như trên hình 1-5.d) Đây cũng là loại liên kết mô mem, nó không cho phép kết cấu quay, dịch chuyển theo phương đứng nhưng cho phép dịch chuyển theo phương ngang

Như phần trên ta đã định nghĩa, ngoại lực là lực truyền từ vật thể khác sang vật nghiên cứu thông qua bề mặt tiếp xúc Nếu ta quan niệm vật là một tập hợp vô số các phần vô cùng nhỏ được liên kết với nhau khi trên một phần bề mặt của vật nhận được ngoại lực (chịu tác dụng của ngoại lực), lực đó sẽ truyền lan đi trong toàn vật thông qua diện tích tiếp xúc giữa các phần nhỏ vật đó Khi đó, ta coi lực truyền từ phần này sang phần khác của vật do tác dụng của ngoại lực là nội lực Để truyền được nội lực này vật liệu phải có liên kết đủ bền, nói cách khác vật liệu phải đủ sức kháng lại nội lực Do vậy khi nội lực vượt quá giới hạn sức kháng của vật liệu, vật sẽ bị phá hỏng

Hình 1-5 môn học: Một vật khi chịu tác dụng của ngoại lực khi nào sẽ được gọi là bền? Muốn vậy, trước hết phải xác định nội lực trong vật Để xác định nội lực trong vật khi vật chịu tác dụng của ngoai lực người ta dùng phương pháp mặt cắt, phương pháp này cho phép biểu diễn nội lực trên một phần vật được tách ra từ vật nghiên cứu bằng một mặt cắt tưởng tượng, mặt cắt đó chia vật thành hai phần độc lập nhau Nội lực xuất hiện trên mặt cắt thuộc mỗi phần thể hiện lực tương tác giữa hai phần thông qua mặt cắt đó Như vậy, nội lực xuất hiện trên mặt cắt thuộc mỗi phần xét là lực phân bố diện tích; cường độ của chúng (cả phương, chiều và trị số) có thể thay đổi tuỳ thuộc vào vị trí của mặt cắt, từng điểm trên mặt cắt và ngoại lực tác dụng trên vật thể

Phương pháp mặt cắt cho phép ta thể hiện nội lực trên một mặt cắt Theo nguyên lý cân bằng tĩnh học của phần vật thể được tách ra, ta hoàn toàn có thể xác định được thành phần hợp lực của nội lực trên một mặt cắt, ở đây ta chỉ xét nội lực trên các mặt cắt ngang của vật dạng thanh và chọn hệ trục toạ độ vuông góc x, y, z có trục z trùng với trục thanh, trục x,y nằm trong mặt phẳng của mặt cắt Khi hợp các nội lực về trọng tâm mặt cắt ta nhận được một véc tơ chính R và một mômen chính M Sau đó, phân tích véc tơ chính R thành ba phần theo phương của các trục toạ độ: NZ, QX , QY còn mômen chính M thành ba thành phần mômen đối và các trục toạ độ Mx, My, MZ (hình 1-6)

Các thành phần nội lực nói trên được gọi chung là nội lực trên mặt cắt ngang Mỗi thành phần có một ý nghĩa cơ học riêng của nó: Nội lực NZ, có phương trùng với trục thanh (hoặc vuông góc với mặt cắt) nên được gọi là nội lực dọc trục hay nội lực pháp tuyến; còn các thành phần Qx, Qy có phương vuông góc với trục thanh, chúng được gọi là lực cắt Các mômen Mx và My được gọi là nội lực mômen uốn còn MZ gọi là nội lực mômen xoắn

Ứng suất

Như đã phân tích ở phần trên, nội lực được xem xét như là lực phân bố diện tích xuất hiện trên mặt cắt nghiên cứu, cường độ của nội lực tại một điểm trên mặt cắt được gọi là ứng suất

1.3.1 Định nghĩa về ứng suất

Giả sử xét một vật bất kỳ chịu tác dụng của một hệ lực cân bằng Pi (i = 1, 2, , n)

(hình 1-6) Trước hết, ta gắn vật vào một hệ toạ độ thích hợp, nói chung hệ này thường được xác định đối với mỗi bài toán, trong trường hợp vật có dạng thanh thẳng người ta thường chọn hệ trục toạ độ vuông góc x, y, z trong đó một trục trùng với trục thanh

(trục z chẳng hạn), hai trục còn lại (x,y) thuộc mặt cắt ngang của thanh Để xác định ứng suất tại K ta tưởng tượng cắt qua K bằng một mặt cắt S tách vật ra thành hai phần độc lập nhau A và B Nội lực xuất hiện trên mặt cắt thuộc mỗi phần thể hiện trên hình 1-6)

Bây giờ ta khảo sát một phần nhỏ diện tích bao quanh điểm K có độ lớn là ΔF

Nội lực trên ΔF có giá trị là Δp, nội lực này có cường độ, phương, chiều phụ thuộc vào trạng thái cân bằng của phần A Cường độ trung bình của nội lực tại K thuộc mặt cắt S gọi là ứng suất trung bình, ký hiệu là p:

Khi thu nhỏ ΔF dần tới không ứng suất trung bình p trở thành ứng suất toàn phần tại K: dF dp F lim p p F 0 Δ

Như vậy ứng suất có thứ nguyên lực trên diện tích Trong hệ thống đơn vị quốc tế

(SI) đơn vị ứng suất là N/m 2 Chú ý rằng trong một số sách còn dùng các đơn vị ứng suất là Pascal (1Pa = 1N/m 2 )

Có thể phân tích ứng suất toàn phần p thành các thành phần theo 3 phương của hệ trục toạ độ vuông góc đã chọn (hình 1-8b)

- Thành phần vuông góc với mặt cắt, có phương trùng với pháp tuyến z, được gọi là ứng suất pháp và ký hiệu là σ z , trong đó ký tự z chỉ phương của ứng suất

- Hai thành phần tiếp tuyến với mặt phẳng cắt và theo hai phương của hệ trục toạ độ x và y, chúng được gọi là ứng suất tiếp Hai thành phần này đuợc ký hiệu là τ zx và τzy Ký tự thứ nhất (z) chỉ mặt phẳng mà ứng suất tiếp nằm trên đó (mặt z – mặt có pháp tuyến ngoài là trục z) Ký tự thứ hai (x hoặc y) chỉ phương của ứng suất tiếp

1.3.2 Quy ước dấu của ứng suất

Trên hình 1-8b) thể hiện các thành phần ứng suất tại điểm K trên mặt cắt thuộc phần A (phần trái)

Dấu của ứng suất được qui ước như sau: Ứng suất pháp là dương khi là ứng suất kéo, tức là có chiều đi ra khỏi mặt cắt, còn ứng suất tiếp (chỉ giới hạn xét trong mặt phẳng) được xem là dương khi nó làm cho phần xét quay thuận chiều kim đồng hồ (xem thêm chương 3) Để tính toán giá trị của sáu thành phần nội lực kể trên, ta phải thiết lập sáu phương trình cân bằng tĩnh học cho phần vật đang xét: ΣX = 0 Σmx = 0 ΣY = 0 Σm y = 0 ΣZ = 0 Σmz = 0 (1.3)

Từ ba phương trình cân bằng hình chiếu ta có thể xác định ba thành phần nội lực

Nz, Qx và Qy Còn lại ba phương trình cân bằng mômen cho phép ta xác định ba thành phần Mx, My va Mz.

Liên hệ giữa ngoại lực, nội lực và ứng suất

1.4.1 Mối liên hệ giữa ngoại lực và nội lực

Ta đã biết khi chịu tác dụng của ngoại lực thì trong vật thể xuất hiện nội lực, do đó giữa chúng có mối liên hệ với nhau, nếu trên phần xét thì mối liên hệ này chính là các phương trình cân bằng (1.3) Cụ thể xét cân bằng của phần xét (PX) (xem hình 1-7):

+ Chiếu lên trục z có: z n i PX i 1

+ Lấy mô men đối với trục x có:

+ Lấy mô men đối với trục y có: y n y i PX i 1

+ Lấy mô men đối với trục z có:

1.4.2 Mối liên hệ giữa nội lực và ứng suất

Như đã trình bày ở trên, nội lực trên mặt cắt là lực phân bố diện tích, cường độ của nó được biểu thị bằng ứng suất pháp (σ) và ứng suất tiếp (τ) Do vật liệu phân bố liên tục nên các ứng suất cũng phân bố liên tục trên các mặt cắt và có thể biểu thị bằng các hàm toán học liên tục : σ z = σ z (x,y) τzx = τzx (x,y) (1.10)

Khi các hàm ứng suất (1.10) được xác định, ta có thể xác định được các thành phần nội lực bằng các liên hệ sau:

Trong đó: Ký tự dưới dấu tích phân F chỉ tích phân được thực hiện trên toàn bộ mặt cắt

Các liên hệ (1.11) là cơ sở để xác định ứng suất khi đã biết nội lực.

Khái niệm về biến dạng

Sự thay đổi hình dáng và kích thước của vật khi vật chịu tác dụng của ngoại lực được gọi chung là biến dạng Trong sức bền vật liệu, người ta phân biến dạng thành hai dạng: biến dạng dài (còn gọi là biến dạng thẳng) và biến dạng góc (còn gọi là biến dạng trượt) Để định nghĩa về các biến dạng này tại một điểm K bất kỳ trong vật, ta xét ba điểm A, B, C lân cận điểm K với KA, KB, KC là các đoạn thẳng vô cùng bé và song song với phương của trục toạ độ x, y, z đã chọn Khi vật chưa biến dạng, ta có KA = Δx; KB Δy; KC = Δz, các gócCK)A,BK)A,BK)C là các góc vuông Sau khi vật bị biến dạng các điểm chuyển dịch tới vị trí mới K ’ , A ’ , B ’ và C ’ Khi đó độ dài các đoạn thẳng và các góc giữa chúng bị thay đổi (hình 1-10)

Ta định nghĩa các biến dạng dài tương đối hay biến dạng thẳng tương đối (ε) tại điểm K theo các phương của trục toạ độ x, y, z là : εx 0

Biến dạng góc hay biến dạng trượt tương đối theo các mặt phẳng đi qua K và song song với các mặt toạ độ là trị số tang của hiệu giữa góc vuông ban đầu và góc hình thành giữa các đoạn thẳng sau biến dạng, ký hiệu là γ và các ký tự chỉ mặt phẳng γxy 0 y 0 limx

KÉO VÀ NÉN ĐÚNG TÂM

Khái niệm

Một thanh được gọi là chịu kéo (hoặc nén) đúng tâm khi trên mặt mọi cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực có phương trùng với trục thanh (trục z) gọi là lực dọc và được ký hiệu là Nz, ký tự z chỉ phương của trục hoặc cũng chính là pháp tuyến của mặt cắt ngang

Thanh chịu kéo, nén đúng tâm rất thường gặp trong các bộ phận công trình hay chi tiết máy Ví dụ: ống khói ở các nhà máy

(hình 2-1a) là thanh chịu nén bởi chính trọng lượng của nó nếu chưa kể tới tải trọng gió; dây cáp dùng để nâng vật nặng như hình

2-1b là kết cấu chịu kéo

Ngoại lực gây ra kéo, nén trong thanh là những lực hoặc hợp lực của các lực có phương trùng với trục thanh Hình 2-2a thể hiện một thanh thẳng chịu tác dụng của một hệ lực cân bằng gồm các lực tập trung P1, P2, P3 và lực phân bố đều trên chiều dài DB có cường độ q, các lực đều có phương trùng với trục (z) của thanh.

Nội lực

Để xác định lực dọc trục (Nz) trên một mặt cắt ngang nào đó trên thanh AB (hình 2-2a), ta áp dụng phương pháp mặt cắt Chẳng hạn, ta tưởng tượng cắt thanh AB bằng lát cắt 1-1 vuông góc với trục thanh, chia thanh thành hai phần độc lập nhau Bây giờ, ta giữ lại một phần, phần trái chẳng hạn Để lập lại trạng thái cân bằng cho phần này, ta phải thêm vào mặt cắt một thành phần nội lực Nz (1) (hình 2-2b) Từ phương trình cân bằng hình chiếu Σz = 0 viết cho phần đang xét ta được: a)

Dấu “+” trước P1 trong biểu thức (a) chứng tỏ rằng chiều tác dụng của Nz (1) được giả định hướng ra khỏi mặt cắt như hình 2-2.b là đúng, khi đó Nz có giá trị dương và nó được gọi là lực kéo Ngược lại, Nz có giá trị âm ( 0), đoạn CD chịu nén (nội lực Nz< 0) Còn trong đoạn DB nội lực thay đổi bậc nhất dọc theo trục thanh, do vậy đường biểu diễn là đường thẳng nghiêng với trục hoành với hệ số góc chính bằng trị số lực phân bố đều q (xem lại biểu thức (c)) Mặt khác, biểu đồ Nz trên hình 2-2e còn cho ta nhận biết được mặt cắt nào trên thanh có trị số nội lực kéo, nén lớn nhất, đó là mặt cắt A chịu kéo lớn nhất với Nz (A) = 8 KN và mặt cắt B có

Nz (B) = -12KN là mặt cắt chịu nén lớn nhất Các nhận xét trên sẽ giúp ta kiểm soát được dạng các biểu đồ để vẽ đúng và xác định được các mặt cắt nguy hiểm - mặt cắt có nội lực hoặc ứng suất lớn nhất, sẽ được phân tích tiếp ở các phần sau.

ứng suất

2.3.1 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Nội lực Nz được xác định ở phần trên, thực chất là hợp của nội lực pháp tuyến σz phân bố a) b) l + Δ l l

P P mặt cắt thớ trên mặt cắt ngang, liên hệ giữa Nz và σz được biết trong công thức (1.11) ở chương 1: z z

Do vậy, vấn đề đặt ra trong phần này là phải tìm một biểu thức σz phù hợp để làm thỏa mãn biểu thức trên khi mà giá trị của Nz đã biết Tìm một biểu thức toán học σz để thoả mãn

(1.11) không phải đơn giản, mà thường phải dựa vào các quan sát thực nghiệm để rồi từ đó đưa vào các giả thiết để làm giảm độ phức tạp của bài toán

Ta quan sát thí nghiệm kéo một thanh thẳng mặt cắt không đổi, trước khi cho thanh chịu kéo ta vạch trên bề mặt của thanh những vạch dọc song song với trục và các vạch ngang vuông góc với trục thanh, tạo thành một lưới ô vuông, trong đó các vạch dọc thanh đặc trưng cho các thớ dọc, các vạch ngang được xem là vết của mặt cắt ngang (hình 2-3a) Khi thanh chịu kéo trong giới hạn đàn hồi, ta nhận thấy các vạch dọc vẫn thẳng và song song với trục thanh, các vạch ngang vẫn thẳng và các góc vuông trong các ô vẫn được bảo toàn (hình 2-3b), các hình vuông trở thành các hình chữ nhật Nhận xét trên cũng đúng với thí nghiệm nén

Từ quan sát thí nghiệm trên ta đưa ra các giả thiết sau: a/ Giả thiết mặt cắt phẳng-giả thiết Béc-nu-li (Bernoulli):

Trước khi biến dạng mặt cắt phẳng và thẳng góc với trục thanh, sau khi biến dạng nó vẫn phẳng và thẳng góc với trục thanh đã biến dạng Từ giả thiết này cho phép ta khẳng định rằng, nội lực Nz gây ra biến dạng thẳng tương đối theo phương trục thanh ở mọi điểm trên mặt cắt là như nhau (εz = const) b/ Giả thiết về các thớ dọc thanh:

Nếu quan niệm thanh là tập hợp của vô số các thớ được ghép song song với trục và giữa chúng độc lập với nhau thì khi thanh bị kéo hoặc nén mọi thớ đều chịu lực như nhau và giữa chúng không tác dụng lẫn nhau theo phương ngang thớ (phương vuông góc với trục thanh)

Với giả thiết này cho phép ta khẳng định tại mọi điểm trên một mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại ứng suất pháp tuyến σz, các thành phần khác đều bằng không

Từ hai giả thiết trên và xét đến tính đàn hồi và tính liên tục của vật liệu ta có thể kết luận: Trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần ứng suất pháp tuyến σz ≠ 0 và ứng suất này phân bố đều trên toàn mặt cắt (σz = const) (hình 2-4)

Thay σz = const vào biểu thức (1.11) ta rút ra:

- Nz : giá trị nội lực dọc trục tại mặt cắt đang xét

- F : diện tích của mặt cắt ngang

Dấu của σz cùng dấu với Nz Ứng suất dương khi nó là ứng suất kéo và ngược lại ứng suất âm khi nó là ứng suất pháp nén, đơn vị của ứng suất là N/m 2 hoặc các bội số và ước số của nó

Lưu ý rằng công thức (2.2) được thiết lập trên cơ sở giả thiết mặt cắt phẳng (giả thuyết Béc-

Hình 2-4 mặt cắt phẳng không được thoả mãn Ứng suất (σz ) tại các mặt cắt này phân bố không đều, có hiện tượng tăng cục bộ tại các vùng chuyển tiếp, hoặc tại các mép lỗ khoét Các ứng suất này gọi là ứng suất cục bộ (σcb) Giá trị của ứng suất cục bộ thường lớn hơn nhiều lần so với giá trị ứng suất ở các mặt cắt bình thường Hình 2-5 thể hiện ứng suất cục bộ ở một vài mặt cắt đặc biệt Hình 2-5.a là biểu đồ ứng suất σz trên mặt cắt ngang qua lỗ khoét tròn của thanh chịu kéo Hình 2-5b thể hiện sự phân bố σz trên mặt cắt của thanh có mặt cắt thay đổi đột ngột Cách xác định các ứng suất cục bộ được trình bày trong giáo trình lý thuyết đàn hồi

2.3.2 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Như đã chỉ ra ở tiết 2.3.1, trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo (nén) chỉ có ứng suất pháp (σz) và nó được tính bằng công thức (2.2) Trong phần này ta nghiên cứu ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Giả sử từ thanh thẳng chịu kéo dọc trục, tưởng tượng cắt thanh bằng một lát cắt phẳng (u), nghiêng so với mặt cắt ngang một góc α hay là góc hợp bởi trục u và trục x (h 2-6a) Ký hiệu góc α> 0 khi ta lấy góc α từ trục ứng suất tới trục z theo chiều kim đồng hồ Lát cắt u chia thanh thành hai phần, ta xét phần bên trái lát cắt Gọi diện tích mặt nghiêng u (mặt có pháp tuyến ngoài là u) là dF thì diện tích mặt cắt ngang của thanh là dF.cosα

Từ 2 phương trình cân bằng ∑ u = 0 và ∑ v = 0 ta có:

0 cos cos dF dF z uv z u α σ σ u z cos 2 (2.3) và τ =σ sin2α

Từ các công thức (2.3) và (2.4) ta nhận thấy rằng ứng suất pháp và tiếp trên mặt cắt nghiêng đi qua một điểm nào đó phụ thuộc vào góc nghiêng (α) Khi α = 0 tức là khi mặt nghiêng trùng với mặt cắt ngang, ứng suất pháp có giá trị lớn nhất : max(σu) = σz và τ = 0

Khi α = ± 45 0 ứng suất tiếp (τuv) đạt cực trị :

Biến dạng

2.4.1 Khái niệm về biến dạng kéo, nén

Quan sát biến dạng của một thanh khi bị kéo hoặc nén, ta thấy rằng khi bị kéo theo chiều dài thanh bị dãn ra, còn kích thước theo phương ngang bị co ngắn lại Ngược lại, khi chịu nén chiều dài của thanh bị ngắn lại, kích thước theo phương ngang lại tăng lên

Hình 2-7 thể hiện biến dạng của một thanh chịu kéo, trong đó l, h, b là kích thước ban đầu của thanh, Δl là biến dạng dài toàn phần của thanh; Δh, Δb biến dạng toàn phần theo phương ngang (phương vuông góc với trục thanh)

Xét một đoạn thanh vô cùng ngắn có chiều dài trước khi biến dạng là dz, sau khi thanh chịu kéo nó dài thêm một lượng Δdz, theo định nghĩa về biến dạng thẳng tương đối đã trình bày trong tiết 1.5 ta có: dz dz dz ; dz z z =Δ Δ =ε ε (2.5)

Biến dạng dài toàn phần của thanh (Δl) sẽ bằng tổng các biến dạng từng phần nhỏ (Δdz):

Ta biết rằng khi kéo, nén ứng suất σz và εz trên mặt cắt ngang là hằng số và giữa chúng có mối quan hệ tuyến tính, quan hệ này được thể hiện bằng định luật Húc, đối với trường hợp chịu kéo (nén) theo một phương, định luật Húc có dạng: σ = E.ε (2.7)

Trong đó, hệ số tỷ lệ giữa ứng suất và biến dạng thẳng tương đối (E) được gọi là mô đun đàn hồi của vật liệu khi chịu kéo (nén) Mỗi loại vật liệu có một hằng số E, chúng được xác định bằng thực nghiệm Bảng 2-1 giới thiệu trị số mô đun đàn hồi của một số vật liệu thường gặp trong xây dựng và chế tạo máy

Từ liên hệ (2.7) và (2.2) ta rút ra:

Thay (2.8) vào công thức (2.6) ta tìm được công thức xác định biến dạng dài toàn phần của thanh chịu kéo, nén:

Trong trường hợp thanh có mặt cắt không đổi (F = const) dọc theo trục thanh (l), nội lực dọc trục Nz cũng là hằng số, công thức (2.7) cho kết quả:

N z l l = Δ (2.10) Đối với những thanh có mặt cắt (F) thay đổi trên từng đoạn thanh hoặc nội lực (Nz) chỉ liên tục theo từng đoạn, biến dạng toàn phần Δl bằng tổng đại số các biến dạng của từng đoạn:

N z là hàm liên tục trên chiều dài l i

Trong các công thức (2.9), (2.10), (2.11) tích EF được gọi là độ cứng của thanh khi chịu kéo (hoặc nén) Sở dĩ gọi như vậy vì nếu EF tăng thì Δ l giảm

2.4.3 Biến dạng ngang và hệ số Poat-xông (Poisson):

Các đại lượng Δb, Δh trên hình 2-7 thể hiện biến dạng theo phương vuông góc với trục, gọi tắt là biến dạng ngang Nếu ta chọn các trục toạ độ x, y vuông góc với trục thanh, các kích thước b, h của mặt cắt ngang lần lượt song song với x và y, theo định nghĩa ta sẽ có biến dạng thẳng tương đối theo phương ngang là: h h b b y h x b

Bằng nhiều thí nghiệm trên các vật liệu khác nhau, nhà bác học Pháp Poát-xông

(Poisson) đã kết luận rằng: trong giới hạn đàn hồi tỷ số giữa các biến dạng thẳng tương đối theo phương ngang so với phương dọc là hằng số đối với mỗi loại vật liệu, tỷ số đó được gọi là hệ số Poát-sông, ký hiệu μ Dấu (–) trong biểu thức (2.13) biểu thị biến dạng ngang trái dấu với biến dạng dọc z y z x ε

−ε ε −ε μ (2.13) Đối với các vật liệu khác nhau, hệ số Poat-xông cũng khác nhau, chúng thay đổi trong giới hạn 0 ≤ μ ≤ 0,5 Bảng 2-1 giới thiệu hệ số E và μ của một số vật liệu thường gặp

Tên vật liệu Môđun đàn hồi E

Đặc trưng cơ học của vật liệu

Để nghiên cứu ứng xử của vật liệu dưới tác dụng của tải trọng, người ta phải tiến hành thí nghiệm trên các mẫu của chính vật liệu đó trong các phòng thí nghiệm chuyên dùng Các thí nghiệm được tiến hành nhằm xác định các đại lượng cho phép ta đánh giá được tính đàn hồi, tính dẻo, độ bền v.v của vật liệu

Những đại lượng đặc trưng đó được gọi là đặc trưng cơ học của vật liệu Tiếp theo đây, ta sẽ phân tích kết quả của một số thí nghiệm cơ bản

Thí nghiệm kéo vật liệu được tiến hành trên một máy sinh lực, gọi là máy kéo, nén vạn năng Mẫu thí nghiệm được chế tạo với hình dạng và kích thước nhất định, tuỳ thuộc vào loại vật liệu và tuân thủ theo qui phạm của từng quốc gia

Hình 2-8 thể hiện kích thước của một mẫu thép hình trụ có đường kính ban đầu do = 2cm, chiều dài ban đầu tính trên độ dài mẫu có mặt cắt không đổi, l o = 20cm

Sơ đồ nguyên lý hoạt động của máy thí nghiệm kéo

(nén) được thể hiện trên hình 2-9 Từ một bơm thuỷ lực, dầu được dẫn vào xi lanh A, dầu tác dụng lên bề mặt pittông B một áp lực P Cần pittông C được nối với mẫu M thông qua ngàm D, tác dụng vào mẫu một lực kéo, có trị số bằng áp lực P, lực này được chỉ thị trên đồng hồ áp lực N

Khi bị kéo, biến dạng của mẫu rất bé (chỉ ở mức độ phần trăm hoặc phần nghìn milimét), để đo các biến dạng này, người ta phải sử dụng đến các thiết bị đặc biệt gọi là các ten-zô-mét (extensometre) là thiết bị có thể phóng đại biến dạng lên nhiều lần bằng các phương tiện cơ học, quang học, điện, điện tử v.v tuỳ thuộc vào mục đích sử dụng và điều kiện đo đạc Các thiết bị này sẽ được trình bày chi tiết hơn trong chương15: Thực nghiệm công trình

Khi bắt đầu thí nghiệm, chiều dài của mẫu là l o , lực kéo

(P) bằng không, trên đồ thị (hình 2-10) được biểu diễn bằng điểm gốc O Lực kéo P tăng dần dần, chiều dài của mẫu tăng, thiết bị đo biến dạng cho ta giá trị Δl tương ứng với giá trị P:

Liên hệ giữa lực kéo P và biến dạng dài toàn phần Δl của mẫu được biểu diễn bằng đường cong trên hình 2-10 được gọi là đường cong đặc tính của vật liệu Mỗi loại vật liệu có một đường cong đặc tính riêng Quan sát đường cong đặc tính của vật liệu thép ít cacbon trên hình 2-10, ta thấy khi P = Pch lực không tăng nhưng biến dạng vẫn tăng, lúc này ta coi vật liệu đạt đến giới hạn chảy dẻo (Pch) Mặt khác, khi P đạt giá trị Pmax mẫu bị co thắt liên tục cho đến lúc bị đứt (hình 2-11)

Nếu như cùng một loại vật liệu nhưng các mẫu có kích thước khác nhau thì giá trị P0 và

Pmax cũng khác nhau Để có được một đường cong đặc tính cho một loại vật liệu, độc lập với kích thước của mẫu ta lấy trục hoành biểu diễn biến dạng thẳng tương đối ε, còn trục tung biểu diễn ứng suất pháp σ, nghĩa là:

Trong đó Fo là diện tích của mặt cắt ngang khi chưa biến dạng Khi đó ta thu được đường cong đặc tính của vật liệu như hình 2-12

Căn cứ vào đường cong đặc tính của vật liệu như trên hình 2-12, ta có thể định nghĩa một số các đặc trưng cơ học của một loại vật liệu như sau:

1/ Tung độ của điểm A, giới hạn cuối cùng của đoạn thẳng OA trên đường cong đặc tính, được gọi là giới hạn tỷ lệ của vật liệu, ký hiệu σtl Trong giới hạn này vật liệu tuân theo định luật Húc: Ứng suất tỷ lệ với biến dạng: σ = E.ε trong đó:

E: mô đun đàn hồi của vật liệu khi kéo, thể hiện bằng hệ số góc của đoạn thẳng OA với trục hoành (ε),E = tg α

2/ Tung độ của điểm B được goi là giới hạn đàn hồi ký hiệu là σđh Thực tế không có vật liệu nào tuyệt đối đàn hồi Ngay cả khi lực tác dụng còn nhỏ, nó vẫn có một biến dạng dẻo (dư) nhất định Do vậy, người ta định nghĩa giới hạn đàn hồi kỹ thuật σ0.01= σđh coi như bằng giá trị của ứng suất pháp ứng với nó vật liệu có biến dạng dư tương đối bằng 0,01%

3/ Tung độ của điểm C - giới hạn chảy ký hiệu σch, là giá trị ứng suất với thời điểm biến dạng dài của mẫu tăng trong khi lực không tăng hoặc khi lực kéo là hằng số Sau khi đạt đến

C E α O giới hạn chảy (σch), đường cong đặc tính thể hiện bằng đoạn nằm ngang CD Một số vật liệu trên đường cong đặc tính không xuất hiện đoạn nằm ngang CD Trong trường hợp đó người ta xác định giới hạn chảy dẻo kỹ thuật: σ0,2 = σch là giá trị ứng suất pháp ứng với nó vật liệu có biến dạng dư tương đối trên mẫu là 0,2% khi dỡ tải hoàn toàn Hình 2-13 thể hiện bằng điểm

C trên đường cong đặc tính, với εd = OD = 0,2% Từ thực nghiệm, ta nhận thấy rằng quá trình giảm tải quan hệ σ và ε thể hiện đường song song với đường chất tải ban đầu

Điều kiện bền và ứng suất cho phép

2.6.1 Điều kiện bền Ở các phần trên ta đã nghiên cứu cách tính toán ứng suất và biến dạng trong thanh chịu lực dọc trục (Nz); tiếp đó là xác định các đặc trưng cơ học của vật liệu Trong phần này, một vấn đề được đặt ra là khi nào một thanh chịu lực dọc trục (kéo, nén) sẽ được coi là bền Đây là một trong những nội dung chính của môn sức bền vật liệu Để giải quyết bài toán về độ bền cho các bộ phận công trình hay các chi tiết máy, hiện có ba phương pháp, đó là:

1/ Phương pháp tải trọng phá hoại

2/ Phương pháp ứng suất cho phép

3/ Phương pháp trạng thái giới hạn

Trong khuôn khổ của giáo trình này chỉ trình bày phương pháp ứng suất cho phép

Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong việc thiết kế các công trình xây dựng và chế tạo máy Nội dung của phương pháp này là: Kích thước của các bộ phận công trình hay chi tiết máy phải được xác định sao cho ứng suất trong tất cả các mặt cắt gây ra bởi ngoại lực (tải trọng), không được vượt quá một giá trị cho phép nào đó Giá trị này được gọi là ứng suất cho phép, ký hiệu là [σ] nếu là ứng suất pháp cho phép và ký hiệu là [τ] nếu là ứng suất tiếp cho phép Như vậy một thanh khi chịu lực dọc trục (chịu kéo, nén) điều kiện bền sẽ là: k [ ] K max σ ≤ σ (2.16)

N [ ] N max σ ≤ σ trong đó: maxσK và max σ N : là giá trị ứng suất pháp kéo hoặc nén lớn nhất trong thanh Giá trị này được tính tại mặt cắt nguy hiểm nhất trong thanh

[σ]K,[ σ]N : là ứng suất pháp kéo (nén) cho phép của vật liệu Đối với vật liệu dẻo [σ]K = [σ]N = [σ] Trong trường hợp này, ta chỉ cần kiểm tra ở mặt cắt nào ứng suất pháp có trị tuyệt đối lớn nhất:

[ ] z z max N σ = F ≤ σ (2.16)’ trong đó: F là diện tích thực tại mặt cắt đang xét

[ ] 0 n σ =σ (2.17) Đối với vật liệu dẻo, ứng suất nguy hiểm σo lấy bằng giới hạn chảy dẻo σch, nghĩa là: σ0 = σch

Còn đối với vật liệu dòn, ứng suất nguy hiểm σ0 được chọn bằng giới hạn bền σB, khi kéo hoặc khi nén, nghĩa là: σo = σB

Hệ số an toàn nlấy lớn hơn hoặc bằng 1 Điều này chứng tỏ rằng người ta luôn đòi hỏi ứng suất thực tế trong các bộ phận công trình phải nhỏ hơn ứng suất nguy hiểm được xác định bằng thực nghiệm Khi hệ số an toàn n càng lớn độ an toàn về bền của công trình càng cao, nhưng kích thước công trình và khối lượng vật liệu càng tăng lên, làm cho giá thành công trình tăng lên Do vậy, việc lựa chọn một hệ số an toàn n thích hợp để cho công trình vừa thoả mãn điều kiện bền vừa rẻ là rất quan trọng, nhưng cũng rất phức tạp Bởi vì hàm chứa trong hệ số an toàn là hàng loạt các yếu tố phản ánh sự sai khác giữa lý thuyết và thực nghiệm như sơ đồ tính toán, phương pháp tính, điều kiện làm việc thực tế của công trình, qui mô công trình, điều kiện thi công v.v Thông thường, mỗi quốc gia đều có ban hành các qui phạm để làm cơ sở cho việc chọn hệ số an toàn n

Bảng 2-4 giới thiệu ứng suất cho phép của một số vật liệu thường gặp trong xây dựng

2.6.3 Ba loại bài toán từ điều kiện bền

Ta thấy rằng điều kiện bền (2.16) thể hiện quan hệ giữa ba đại lượng Nz, F và [σ] Do vậy nếu biết được hai trong ba đại lượng đó ta hoàn toàn có thể xác định được đại lượng thứ ba

Khi đó công thức (2.16) có thể viết thành ba dạng khác nhau, mỗi dạng ứng với một loại bài toán a/ Bài toán xác đị nh kích th ướ c m ặ t c ắ t ngang : trong đó ẩn F là diện tích cần thiết của mặt cắt ngang của thanh chịu kéo nén

B ả ng 2-4 Ứng suất cho phép [σ] (MN/m 2 )

Théo OC và CT2 Thép CT3 Đồng Nhôm Gang Đá xây Gạch xây

10 ÷ 12 1,5 ÷ 2 b/ Bài toán ch ọ n t ả i tr ọ ng : khi đã biết diện tích cần thiết của mặt cắt ngang F và ứng suất cho phép [σ] ta có thể xác định tải trọng từ điều kiện:

Nz ≤ [σ].F (2.19) c/ Bài toán ki ể m tra b ề n : khi đã biết cả ba đại lượng Nz, F, [σ], ta thay chúng vào biểu thức (2.16), nếu biểu thức được thoả mãn ta nói rằng thanh thoả mãn điều kiện bền hay nói cách khác ứng suất pháp do tải trọng gây ra không vượt quá ứng suất cho phép

Ví d ụ 2-1 : Xác định kích thước mặt cắt ngang của thanh AB và BC của một giá treo trên tường (hình 2-21), biết rằng:

- Trên giá treo một vật nặng có trọng lượng P = 10KN

- Thanh AB làm bằng thép mặt cắt tròn có ứng suất cho phép [σ]t = 60 MN/m 2

- Thanh BC làm bằng gỗ có ứng suất cho phép khi nén dọc thớ [σ]g = 5 MN/m 2 , mặt cắt ngang hình chữ nhật có tỷ số kích thước giữa chiều cao (h) và chiều rộng (b) là h / b =1,5

Trước hết ta phải xác định nội lực trong các thanh AB và BC Tưởng tượng cắt qua hai thanh bằng mặt cắt m-n, nút B được tách ra khỏi giá treo (hình 2-21b) Để lập lại trạng thái cân bằng cho phần đã tách ta phải đặt vào mặt cắt của các thanh các nội lực dọc trục NAB và

NBC, giả định các lực này đều dương, nghĩa là có chiều đi ra khỏi mặt cắt (lực kéo) Viết các phương trình cân bằng hình chiếu lên các phương X, Y cho phần xét: ΣX = 0 ⇔ NAB + NBCcosα = 0 (1) ΣY = 0 ⇔ P + NBCsinα = 0 (2)

Giải hệ phương trình trên ta tìm được:

NBC mang dấu âm (-) chứng tỏ rằng nội lực dọc trục NBC có chiều ngược với chiều giả định, có nghĩa là NBC có chiều hướng vào mặt cắt

Như vậy, trong giá đỡ thanh AB chịu kéo, thanh BC chịu nén Từ điều kiện bền ta xác định kích thước cho thanh:

= = = = = ≈ = Ví d ụ 2-2 : Một cột bằng gang, mặt cắt ngang hình vành giếng có d = 100mm, D 130mm (hình 2-22) Biết gang có ứng suất cho phép nén [σ]n = 90MN/m 2 Hãy xác định lực nén P mà cột có thể chịu được, khi tính không xét trọng lượng bản thân cột

Trong trường hợp này lực dọc trục trên mặt cắt ngang Nz = - P (lực nén) Từ điều kiện bền ta có:

Ví d ụ 2-3 : Cho thanh AB, mặt cắt thay đổi, chịu lực như hình 2-23 Biết :

F1 = 4cm 2 F2 = 6cm 2 , P1 = 5,6 kN, P2 = 8,0kN Vật liệu làm thanh có ứng suất cho phép kéo [σ]k = 5MN/m 2 , ứng suất cho phép nén [σ]n = 15MN/m 2 Kiểm tra bền cho thanh ?

Bài giải: Để thực hiện việc kiểm tra bền ta phải xác định trị số lớn nhất của ứng suất pháp kéo và nén lớn nhất trong thanh, sau đó so sánh chúng với các ứng suất cho phép

Trên hình 2-23b thể hiện biểu đồ nội lực dọc trục (Nz) còn hình 2-23c biểu thị sự biến thiên của ứng suất pháp σz trên các mặt cắt dọc theo trục thanh Từ biểu đồ σz ta nhận thấy:

- Ứng suất pháp kéo lớn nhất thuộc các mặt cắt thuộc đoạn DB:

- Ứng suất nén lớn nhất thuộc các mặt cắt trong đoạn AC:

Các ứng suất pháp đều nhỏ hơn ứng suất cho phép, thanh thỏa mãn điều kiện bền

Tính thanh chịu kéo (nén) có kể đến trọng lượng bản thân

Đối với những thanh có chiều dài lớn, đặt thẳng đứng khi tính ứng suất và biến dạng cần phải xét đến trọng lượng bản thân thanh Chẳng hạn xét thanh AB có mặt cắt không đổi F, được treo thẳng đứng, ngàm tại A, đầu tự do B chịu lực kéo P (h.2-24) Thanh được làm bằng vật liệu có trọng lượng riêng γ Tại mặt cắt ngang cách đầu tự do B một khoảng z, khi có xét đến trọng lượng bản thân, nội lực dọc trục (Nz) tại mặt cắt đó là: z F P

N z = + γ (2.20) và ứng suất pháp tại mặt cắt z có giá trị: z

Ta nhận thấy rằng σz thay đổi tuyến tính dọc theo trục thanh:

- Tại mặt cắt đầu tự do (z = 0):

Từ điều kiện bền ta xác định diện tích cần thiết của mặt cắt ngang F:

Khảo sát mẫu số của công thức (2.22) ta nhận thấy khi chiều dài thanh tăng đến một lúc [σ] = γ.l và dần đến

F = ∞ Lúc này, ta kết luận rằng thanh với mặt cắt không đổi làm cho bài toán không giải được Để cho phương trình

Nhưng nếu thanh với mặt cắt không đổi sẽ không tận dụng hết khả năng làm việc của vật liệu, vì chỉ có mặt cắt ngàm A có: σz = σmax= [σ] còn lại các mặt cắt khác ứng suất σz đều nhỏ hơn [σ], nói cách khác ở các mặt cắt khác nhau F cũng khác nhau và phụ thuộc vào khoảng cách z Để tiết kiệm vật liệu người ta có ý tưởng chế tạo thanh có mặt cắt thay đổi, với mục đích làm cho ứng suất trên mọi mặt cắt ngang đều bằng nhau và bằng ứng suất cho phép [σ] (hình 2-25) Để thiết lập công thức tính F cho trường hợp này ta tách một đoạn thanh vô cùng ngắn nằm giữa hai mặt cắt có tung độ z và z+dz (hình 2-25b) Cả hai mặt cắt đều có ứng suất σz

= [σ], nhưng diện tích F của mặt cắt phía trên lớn hơn mặt cắt phía dưới một lượng dF Từ điều kiện cân bằng chiếu lên phương thẳng đứng của đoạn thanh đang xét ta có:

[σ].F + dG = [σ] (F + dF) (a) trong đó: dG = γ.F.dz là trọng lượng bản thân của đoạn thanh dz

Tích phân hai vế của (b) ta được ln F C + = [ ] γ z σ (c)

Hằng số tích phân C được xác định theo điều kiện biên của thanh:

Thay (d) vào (c) ta được : lnF0 + C = 0 ⇔ C = -lnF0 (e)

Thay (e) voà (c) và rút gọn ta được:

Một thanh có mặt cắt thay đổi theo hàm mũ

(2.23) được gọi là thanh chịu kéo (nén) có độ bền đều

Trong thực tế, tạo ra một thanh có mặt cắt thay đổi theo hàm mũ nêu trên là rất khó khăn, nên người ta có thể tạo dạng gần đúng bằng các đường gẫy có dạng bậc thang (hình 2-26)

Thế năng biến dạng đàn hồi

Xét một thanh như trên hình 2-27 có mặt cắt F không đổi, chiều dài l, chịu kéo bởi lực P

Khi lực P tăng dần từ không đến giá trị cuối cùng thì điểm đặt của P cũng dịch chuyển từ

B đến B’, lực P thực hiện một công trên quãng đường đi của nó do thanh bị biến dạng, gọi là công ngoại lực (A), công này chuyển hoá thành thế năng biến dạng (U) tích luỹ trong thanh và động năng (T) Nhưng vì tác dụng của P là tĩnh, vận tốc biến dạng rất nhỏ, động năng (T) được coi như bằng không Do vậy toàn bộ công A của lực P được chuyển hoá hoàn toàn thành thế năng biến dạng U Khi thanh biến dạng trong giới hạn đàn hồi cũng có nghĩa là tuân theo định luật Húc, liên hệ giữa lực dọc trục P và biến dạng dài của thanh được thể hiện bằng đoạn thẳng OBC trên đồ thị (2-27b) Ta nhận thấy rằng khi P tăng thêm một lượng dP thì biến dạng của thanh cũng tăng thêm và do đó công A cũng tăng thêm một lượng : dA = dU = p.d(Δl) (a) thể hiện gần đúng bằng diện tích dải chữ nhật BB”B1B1’ trên hình 2-27b Từ công thức (2.10) ta tính được :

Thay (c) vào (a) và tích phân theo P ta được : dA dU PdP

Nếu để ý đến biểu thức (b), công thức (2.24) có thể viết dưới dạng khác : l = Δl

Trong đó P và Δl lần lượt là giá trị lực nội lực dọc trục và biến dạng dài của thanh khi lực P đạt đến giá trị cuối cùng Lưu ý rằng các công thức (2.24) và (2.25) được thiết lập cho thanh có mặt cắt không đổi, nội lực dọc trục là hằng số dọc theo trục thanh Khi các điều kiện trên không thoả mãn, có nghĩa là lực dọc và mặt cắt ngang biến đổi dọc theo trục thanh, các công thức trên có thể áp dụng cho một đoạn thanh phần tử dz:

Còn thế năng biến dạng tích luỹ trong toàn thanh sẽ là:

U N (2.27) Để tiện cho việc nghiên cứu về thế năng biến dạng đối với các trường hợp chịu lực khác, trong sức bền vật liệu ta đưa thêm định nghĩa về thế năng biến dạng riêng là phần thế năng

Từ liên hệ (2.28) ta có thể tính được năng lượng tích luỹ trong từng đoạn thanh phần tử dz hoặc trên toàn bộ thanh:

Bài toán siêu tĩnh về kéo (nén)

Trong các nghiên cứu ở phần trên ta chỉ đề cập đến các bài toán tĩnh định, nghĩa là khi xác định các phản lực liên kết giữa các thanh trong hệ hoặc giữa thanh với các kết cấu khác, hoặc xác định nội lực trong trong các thanh, ta chỉ sử dụng đến các phương trình cân bằng tĩnh học (các phương trình cân bằng hình chiếu và cân bằng mômen) Nhưng trong thực tế ta còn gặp các kết cấu, ở đó số các phản lực liên kết cần xác định vượt quá số phương trình cân bằng tĩnh học có thể thiết lập, khi đó ta có bài toán siêu tĩnh, hay kết cấu siêu tĩnh Trong trường hợp kết cấu siêu tĩnh chỉ có nội lực dọc trục (N) ta có bài toán siêu tĩnh kéo và nén Để giải bài toán siêu tĩnh, việc làm đầu tiên là phải tìm các phương trình bổ xung thêm vào các phương trình cân bằng tĩnh đã viết để tạo ra hệ có số phương trình bằng số ẩn cần tìm Thông thường các phương trình bổ xung là các phương trình tương thích về biến dạng của kết cấu siêu tĩnh Để làm rõ cách giải bài toán siêu tĩnh ta xét một ví dụ đơn giản:

Xét thanh AB mặt cắt đều, bị ngàm chặt cả hai đầu, sơ đồ chịu lực như hình 2-28 Dưới tác dụng của lực P làm xuất hiện phản lực dọc trục tại các ngàm A và B lần lượt là VA và VB Điều kiện cân bằng tĩnh, vì hệ lực VA,VB và P cùng giá, ta chỉ có thể viết được một phương trình chiếu lên phương trục thanh (z): Σ z = 0 ⇔ VA + VB - P = 0 (a)

Trong (a) chứa hai ẩn lực VA và VB, ta phải tìm thêm phương trình thứ hai bổ xung với (a) tạo thành hệ hai phương trình Ta nhận thấy rằng, dưới tác dụng của P các đoạn thanh AC và CB bị biến dạng dài, nhưng tổng chiều dài của thanh vẫn là l, có nghĩa là: Δl = 0 (b) Điều kiện Δl = 0 chính là phương trình bổ xung, nó kết hợp với phương trình (a) tạo thành hệ hai phương trình với hai ẩn số sử dụng công thức (2.10) để tính Δl:

Thay (c) vào (b) và giải hệ hai phương trình (a) và (b) ta nhận được:

V A = 2 B Với bài toán trên, khi VA,VB đã được xác định, người ta có thể thực hiện tiếp các yêu cầu khác của bài toán, như tính nội lực, tính ứng suất, tính biến dạng, kiểm tra bền v.v

Ví d ụ 2-4 : Cho một hệ gồm ba thanh thép cùng loại có mặt cắt ngang như nhau F = 4cm 2 , được nối khớp với nhau tại D Biết vật liệu làm các thanh bằng thép có ứng suất cho phép [σ] 0MN/m 2 (hình 2-29) Xác định trọng lượng tối đa của vật nặng P treo tại D, để các thanh trong hệ thoả mãn điều kiện bền? (Không xét đến trọng lượng bản thân của các thanh)

Hệ đã cho được coi như có liên kết khớp tại các đầu thanh Ngoại lực tác dụng lên hệ bao gồm tải trọng P đặt tại khớp D và các phản lực RA, RB và RC đặt tại các đầu thanh phía trên

Do không tính đến trọng lượng bản thân của mỗi thanh và trong phạm vi giữa hai đầu thanh không có ngoại lực tác dụng nên phương tác dụng của các phản lực trùng với phương trục thanh (xem hình vẽ) Điều đó cũng có nghĩa là dưới tác dụng của tải trọng P, trên mặt cắt ngang của các thanh trong hệ chỉ có lực dọc trục Nz Các nội lực này có giá trị đúng bằng giá trị các phản lực:

NAD = RA ; NBD = NB ; NCD = RC

Do vậy, trong trường hợp này, thay cho việc xác định các phản lực ta viết các phương trình cân bằng và phương trình bổ xung thông qua các lực dọc Nz Tưởng tượng dùng mặt cắt m-n cắt qua cả ba thanh, tách hệ thành hai phần độc lập nhau Xét cân bằng của phần chứa tải trọng P (hình 2-29b), ta thấy đây là một hệ gồm bốn lực đồng quy tại D với 3 ẩn NAD, NBD và

NCD Trong trường hợp này ta chỉ có thể thiết lập được hai phương trình cân bằng hình chiếu: ΣX =0 ⇔ NAD.sinα - NCD.sinα = 0 (a) ΣY = 0 ⇔ NAD.cosα + NBD + NCD.cosα - P = 0 (b) Để thiết lập phương trình bổ xung, ta đưa vào điều kiện tương thích về biến dạng của các thanh Khi chịu tải P các thanh bị dãn, làm cho điểm D chuyển dời đến vị trị mới D’ Do hệ có cấu tạo đối xứng cả về hình học và cơ học nên độ dịch chuyển DD’ có phương trùng với

N AD N BD N CD Δ l BD Δ l AD x y a) b)

D 2 thanh hai bên bằng nhau Δl AD = Δl CD , các biến dạng này thể hiện trên hình vẽ bằng các đoạn

DD1 và DD2 Điểm D1 được xác định bằng cách vẽ một cung tròn tâm A bàn kính AD’, cung này cắt đường kéo dài AD tại D1, như vậy DD1 chính là độ dãn dài của thanh AD Do biến dạng của thanh được xem là nhỏ nên tam giác DD1D’ được coi như có góc vuông tại D1 Từ các hệ thức trong tam giác vuông cho phép ta thiết lập biểu thức liên hệ giữa các biến dạng: Δl AD = Δl BD cosα (c)

Giải hệ ba phương trình (a),(b) và (c), ta sẽ tìm được giá trị các nội lực N:

Từ công thức (2.10) ta tính được:

Giải hệ hai phương trình (e) và (h) ta tìm được: α

Vì ba thanh có mặt cắt ngang như nhau, nên lực dọc (Nz) trên thanh nào có trị tuyệt đối lớn nhất (Nz)max thanh đó sẽ có ứng suất pháp lớn nhất So sánh các biểu thức nội lực (i) ta rút ra:

N P N và theo điều kiện bền ta có:

Thay giá trị bằng số ta được:

BÀI TẬP 2.1 Cho một thanh chịu lực như trên hình 2-1B, diện tích mặt cắt ngang F = 4cm 2 , mô đun đàn hồi của vật liệu làm thanh E = 2.10 8 kN/m 2 , chịu tác dụng của các lực

P1 = 20kN, P2 = 30kN Vẽ biểu đồ nội lực (Nz) và tính chuyển vị của các mặt cắt B và C Cho a = 1m, b = 2m

2.2 Cho một thanh có mặt cắt không đổi, chịu lực như hình 2-2B Vẽ biểu đồ lực dọc và tính biến dạng dài của thanh theo P, a, E, F

2.3 Một thanh phẳng có bề dày không đổi, bề rộng biến đổi theo hàm bậc nhất, chịu một lực tập trung P ở đầu tự do như trên hình 2-3B Vẽ biểu đồ lực dọc và tính biến dạng dài toàn phần Δl của thanh Biết mô đun đàn hồi của vật liệu là E a

2.4 Cho các thanh chịu lực như hình 2-4B Vẽ biểu đồ lực dọc, tính ứng suất kéo, ứng suất nén lớn nhất trong thanh và biến dạng dài toàn phần Δl của thanh Cho E = 2.10 8 kN/m 2

2.5 Vẽ biểu đồ nội lực và tính chuyển vị dọc trục của đầu tự do của thanh chịu lực như trên hình 2-5B Cho biết E = 2.10 5 MN/m 2

2.6 Cho một cột như hình 2-6B chịu tác dụng của một lực tập trung P và trọng lượng bản thân a) Tính ứng suất tại điểm đặt lực B b) Tính chuyển vị của đầu tự do A của cột

Biết diện tích mặt cắt ngang là F, trọng lượng đơn vị của cột là q, mô đun đàn hồi của vật qkN/m

2.7 Một dầm cứng tuyệt đối AB cứng tuyệt đối được treo bằng hai thanh thép tròn AD và BC có cùng chiều dài l

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

Khái niệm

Trong chương 1 ta đã biết trong vật thể cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực, ứng suất có độ lớn, phương, chiều thay đổi tuỳ theo từng điểm, và tại mỗi điểm nó lại thay đổi theo phương của mặt cắt đi qua điểm đó Tập hợp tất cả các ứng suất tại một điểm theo mọi phương được gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó Tuy nhiên, như trong chương 1 đã trình bày, ứng suất là cường độ của nội lực trên một đơn vị diện tích, nó là lực phân bố mặt, do đó trạng thái ứng suất tại một điểm thực chất là tập hợp tất cả các ứng suất trên các mặt của phân tố bao quanh điểm đó Lý thuyết nghiên cứu về sự biến thiên của ứng suất quanh một điểm gọi là lý thuyết trạng thái ứng suất

Từ một vật thể cân bằng, ta tách ra một phân tố hình hộp vô cùng nhỏ bao quanh một điểm nào đó có các cạnh là dx, dy, dz, có các mặt vuông góc với các trục toạ độ xyz như trên hình 3-1a Như vậy trên các mặt của phân tố sẽ có 9 thành phần ứng suất là: σx σy σz τxy τxz τyx τyz τzx τzy (3.1) được phân bố trên các mặt của phân tố như trên hình 3-1b, trong đó các cặp ứng suất tiếp: τxy = τyx τ yz = τ zy (3.2) τzx = τxz

Các liên hệ (3.2) được rút ra từ các phương trình cân bằng mô men lấy lần lượt đối với các trục toạ độ x,y,z (3.2) còn được gọi là luật đối ứng của ứng suất tiếp Luật này phát biểu như sau:

C x y o z x y z σy σx σz τyz τyx τxy τxz τzy τzx a) b) có ứng suất tiếp thì mặt kia cũng có ứng suất tiếp, các ứng suất tiếp này bằng nhau về trị số nhưng ngược nhau về dấu Với quy ước dấu như trong chương 1 thì các ứng suất này cùng đi vào cạnh chung (giao tuyến của 2 mặt) hoặc cùng đi ra khỏi cạnh chung như trên hình 3-2

Như vậy trên các mặt của phân tố gồm 9 thành phần ứng suất, trong đó có 3 thành phần ứng suất pháp và 6 thành phần ứng suất tiếp, nhưng chỉ có 6 thành phần độc lập Các thành phần ứng suất tại một điểm phụ thuộc vào phương của mặt cắt qua điểm đó, do đó nếu mặt cắt qua điểm xét thay đổi phương liên tục thì đến vị trí nào đó trên mặt cắt sẽ không có ứng suất tiếp Mặt đó gọi là mặt chính Như vậy mặt chính là mặt trên đó ứng suất tiếp bằng không Pháp tuyến ngoài của mặt chính gọi là phương chính Ứng suất pháp trên mặt chính gọi là ứng suất chính Người ta cũng đã chứng minh được rằng tại một điểm trong vật thể cân bằng, bao giờ cũng tìm được 3 mặt cắt vuông góc với nhau, mà trên tất cả các mặt này không có ứng suất tiếp Phân tố được tạo bởi

3 mặt này được gọi là phân tố chính Các ứng suất chính này được biểu diễn bằng σ1, σ2, σ3 với quy ước là: σ1 > σ2 > σ3

Trong công thức trên các ứng suất được quy định cả trị số và cả dấu Ví dụ ta có phân tố chính có các ứng suất chính là –200 MN/m2, +5MN/m2 và –30MN/m2 thì: σ 1 =+5MN/m 2 , σ 2 =−30MN/m 2 , σ 3 =−200MN/m 2

Dựa vào các ứng suất chính ta phân trạng thái ứng suất thành 3 loại:

+ Trạng thái ứng suất khối (trạng thái ứng suất không gian): Là trạng thái ứng suất mà phân tố chính của nó có cả 3 ứng suất chính khác không như trên hình 3-3a

+ Trạng thái ứng suất phẳng: Là trạng thái ứng suất khi phân tố chính của nó có 2 thành phần ứng suất chính khác không (hình 3-3b)

+ Trạng thái ứng suất đơn (đường): Là trạng thái ứng suất mà phân tố chính của nó chỉ có một thành phần ứng suất chính khác không (hình 3-3c) Ta đã gặp trạng thái ứng suất này trong chương 2 - chương kéo (nén) thanh thẳng Trạng thái ứng suất này là trạng thái ứng suất đơn giản nhất nên còn được gọi là trạng thái ứng suất đơn σ2 σ1 σ3 σ2 σ1 σ3 σ2 σ1 σ2 σ1 σ σ a) b) c)

Trạng thái ứng suất khối và trạng thái ứng suất phẳng được gọi là trạng thái ứng suất phức tạp Trong các kết cấu thực tế, nếu ta chấp nhận một số giả thiết để đơn giản hoá quá trình tính toán thì nhiều bài toán ta có thể đưa về trạng thái ứng suất phẳng

Do đó ta sẽ xem xét tỷ mỷ trạng thái ứng suất này.

Trạng thái ứng suất phẳng

3.2.1 Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng bằng phương pháp giải tích

1 Ứng suất trên mặt nghiêng

Như ta đã biết, khi phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng thì các thành phần ứng suất chỉ xẩy ra trong mặt phẳng, ở đây ta chọn mặt phẳng này là mặt phẳng xy Tại một điểm trong vật thể cân bằng trong trạng thái ứng suất phẳng ta tách ra một phân tố hình hộp có các mặt song song với các mặt phẳng toạ độ và có mặt z là mặt chính Cắt phân tố này bằng một mặt nghiêng u (mặt có pháp tuyến ngoài là trục u) ta được một phân tố lăng trụ tam giác như trên hình 3-4a và có hình chiếu đứng như hình 3-4b Trục u nghiêng với trục x góc α với quy ước α > 0 khi lấy góc theo chiều thuận kim đồng hồ từ trục u tới trục x

Gọi diện tích của mặt ABCD là F, thì diện tích của mặt ABEF là Fcosα, còn diện tích của mặt EFCD là Fsinα

Trên các mặt của phân tố có các ứng suất như trên hình 3-4, trong đó các thành phần ứng suất σx, σy, τxy đã biết, ta hãy xác định các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng u: σ u và τ uv

Phân tố nằm trong trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các thành phần ứng suất trên các mặt Để tìm các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng u ta sử dụng các phương trình hình chiếu lên các trục u và v:

F dz dx dy x u σx σy τxy τyx τuv σu α a) b)

Giải hệ 2 phương trình trên và chú ý rằng τxy = τyx và một vài biến đổi lượng giác: sin 2α = 2 sinα.cosα cos2α = cos 2 α - sin 2 α ta được: σ −σ α−τ α σ +

Thay α bởi α +90 0 vào (3.3) ta tính được các thành phần ứng suất trên mặt v vuông góc với mặt u: α τ

Từ (3-3) và (3-4) ta có: const y x v u +σ =σ +σ σ (3.5) và τ uv =−τ vu (3.6)

Biểu thức (3.4) là bất biến của trạng thái ứng suất, nghĩa là vị trí của 2 mặt cắt vuông góc với nhau thay đổi nhưng tổng các ứng suất pháp trên 2 mặt cắt đó không thay đổi, còn (3.6) chính là biểu thức của luật đối ứng của ứng suất tiếp đã có ở trên

2 Ứng suất chính và phương chính

Như trên đã trình bầy, qua một điểm trong vật thể cân bằng bao giờ ta cũng tìm được mặt cắt đi qua điểm này là mặt chính, nghĩa là trên mặt đó ứng suất tiếp bằng không Ta hãy tìm ứng suất chính và phương của mặt chính này

+ Mặt chính và phương chính: Từ (3.4) ta thấy ứng suất phụ thuộc vào góc nghiêng của mặt cắt nên sẽ có một mặt nghiêng u nào đó trở thành mặt chính, nghĩa là trên mặt này ứng suất tiếp bằng không

Từ (3.3) cho τ uv =0 ⇒ được: y x xy 0

Thay vào (3-6) và giải ra ta được:

Như vậy (3.6) có 2 nghiệm α1 và α2 chênh nhau một góc 90 0 , có nghĩa là 2 mặt chính vuông góc với nhau Công thức (3.6) cho phép ta xác định được các phương chính Ta hãy xác định các ứng suất chính

Như vậy ứng suất chính là các ứng suất cực trị Trong trạng thái ứng suất phẳng có 2 ứng suất chính, đó là σmax và σmin Để tìm các ứng suất này ta chỉ việc thay α0 từ (3.6) vào (3.3) sẽ được:

Trong (3.7) trước số hạng thứ 2 lấy dấu + ứng với σmax, lấy dấu - ứng với σmin Cũng từ (3.7) ta có: const y x min max +σ =σ +σ σ

Ta lại gặp lại biểu thức bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất

+ Ứng suất tiếp cực trị và phương của nó:

Từ (3.3) ta cũng thấy ứng suất tiếp tại một điểm cũng phụ thuộc vào phương của mặt cắt, do đó ứng suất này cũng sẽ đạt cực trị khi: d 0 d uv α τ Đặt (3.3) vào phương trình trên ta được:

*=α + α các ứng suất tiếp cực trị được tính bằng cách đặt (3.8) vào (3.4) và sau một vài biến đổi ta được:

Ví d ụ 3-1 : Phân tố cho trên hình 3-5 nằm trong trạng thái ứng suất phẳng Hãy xác định các ứng suất trên mặt nghiêng m-m và các ứng suất chính

Chọn hệ trục toạ độ có trục x nằm ngang, y thẳng đứng Phân tố có các ứng suất:

Thay các giá trị này vào (3.3) được các ứng suất trên mặt nghiêng m-m:

Phương của σu và τuv cho trên hình 3-5.b

Thay giá trị các ứng suất σx, σy, τxy vào (3.7) được giá trị các ứng suất chính:

3.2.2 Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng bằng phương pháp đồ thị -

Vòng tròn Mo ứng suất Ở trên ta đã xác định được ứng suất tại một điểm trên mặt nghiêng bất kỳ theo công thức (3.3) Từ (3.3) chuyển vế và bình phương được:

⎛σ −σ α+τ α τ Cộng vế với vế của 2 đẳng thức trên được:

( σ u − C ) 2 + τ 2 uv = R 2 (3.12) Đây là phương trình đường tròn tâm C bán kính R trong hệ toạ độ σu và τuv Mỗi điểm trên vòng tròn này có toạ độ σ u và τ uv chính là ứng suất tại điểm xét và trên mặt cắt u nào đó đi qua điểm xét Nói cách khác, vòng tròn này biểu thị trạng thái ứng suất tại một điểm, là tập hợp các ứng suất tại một điểm theo mọi phương, do đó nó được gọi là vòng tròn ứng suất hay vòng tròn Mo ứng suất Dựa trên vòng Mo ứng suất này chúng ta hoàn toàn có thể nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm của một vật thể cân bằng

Ta hãy xem xét cách vẽ vòng tròn này Để vẽ vòng tròn chúng ta phải xác định được tâm C và một điểm nằm trên vòng tròn gọi là điểm cực P Như vậy vòng tròn có tâm C và bán kính R = CP Để vẽ vòng tròn ta tiến hành theo trình tự sau:

- Chọn hệ trục toạ độ là hệ trục σu và τuv, thường chọn trục σu song song với trục x

- Trên trục hoành lần lượt lấy 2 điểm A và B có hoành độ là σy và σx theo một tỷ lệ xích nhất định, tức là : y x , OA

OB=σ =σ Khi dựng các đoạn OA và OB phải kể tới dấu của các ứng suất

- Tại A dựng đoạn AP có tung độ bằng τxy (chọn cùng tỷ lệ xích như bước trước và cũng chú ý tới dấu của ứng suất), điểm P gọi là cực của vòng Mo, còn tại B dựng đoạn BP' có tung độ τyx Đường thẳng nối PD cắt trục hoành tại điểm C có hoành độ

- Dựng vòng tròn tâm C bán kính CP chính là vòng Mo ứng suất Thực vậy, vòng tròn này có tâm C có hoành độ:

Ta cũng có thể vẽ vòng Mo theo toạ độ Cũng như cách trên, ta phải xác định 2 điểm C và P Tâm C có toạ độ C ⎟⎟

2 , y x , cực P có toạ độ P(σy,τxy ) Sau khi dựng được 2 điểm C và P ta sẽ dựng được vòng tròn tâm C bán kính R =CP

Có thể dùng vòng Mo để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm như đã làm bằng phương pháp giải tích ở phần trên, có nghĩa là dùng vòng Mo ta có thể xác định được ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ, các ứng suất chính, phương chính, các ứng suất tiếp cực trị

* Tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng: Để tìm ứng suất trên mặt nghiêng u nào đó với pháp tuyến u của mặt cắt làm với trục x một góc α ta tiến hành như sau: Từ cực P trên vòng tròn, ta kẻ một đường thẳng song song với trục u đã cho (hoặc kẻ đường thẳng hợp với phương của trục x- phương ngang- một góc α), đường thẳng này cắt vòng tròn tại điểm K như trên hình 3-7 Toạ độ của điểm K(σu, τuv) chính là các ứng suất trên mặt nghiêng α τ xy

Thực vậy, theo hình 3-7 ta có:

OE = OC + CE trong đó:

= CK cosβcos2α - CK sinβsin2α

= CI cosβcos2α - CI sinβsin2α

Vậy hoành độ của điểm K: α τ

OE x 2 y x y xy và tung độ của điểm K:

EK = CK sinθ = CI sin(2α + β)

= CI cosβsin2α + CI sinβcos2α

So sánh với (3.3) ta thấy ngay toạ độ của điểm K đúng bằng các ứng suất trên mặt nghiêng u

* Tìm các ứng suất chính:

Ta nối điểm cực P với các giao điểm L và

M của vòng tròn Mo với trục hoành như trên hình 3-8 ta sẽ được : max min , OM

OL = σ = σ , còn PM chính là phương chính σmax, PL là phương chính σmin

Thật vậy, như trên đã nói mỗi điểm trên vòng tròn biểu diễn ứng suất trên mặt nghiêng nào đó, mà điểm L và M có tung độ bằng τ

Trạng thái ứng suất khối

Trạng thái ứng suất khối là trạng thái chịu lực tổng quát nhất, nó bao gồm nhiều nội dung, tuy nhiên trong giáo trình này chỉ giới hạn đề cập tới 2 nội dung chính sau đây

3.3.1 Các vòng Mo ứng suất

Trong phần trên, ta đã xét trạng thái ứng suất phẳng bằng vòng Mo ứng suất Trong trạng thái ứng suất khối, tồn tại 3 ứng suất chính là σ 1 , σ 2 , và σ 3 (hình 3-11a) Nếu ta xét các mặt nghiêng nhưng luôn luôn song song với một trong 3 ứng suất chính, chẳng hạn các mặt song song với σ 3 như trên hình 3-11b thì ứng suất trong các mặt này chỉ phụ thuộc σ1, σ2 Vì thế ứng suất trong các mặt này biến thiên theo quy luật như trong trạng thái ứng suất phẳng Ta có thể vẽ vòng tròn Mo biểu thị sự biến thiên của các ứng suất đó là vòng tròn đường kính BC ứng với các ứng suất σ1, σ2

Tương tự, với các mặt nghiêng song song với σ1 ta vẽ được vòng tròn có đường kính AB ứng với σ 2 và σ 3 , còn với mặt nghiêng song song với σ 2 ta vẽ được vòng Mo đường kính AC (hình 3-11c)

Như vậy, với trạng thái ứng suất khối, ta vẽ được 3 vòng Mo ứng suất (hình 3- 11c) Người ta đã chứng minh được rằng: Ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ trong một vật thể cân bằng có giá trị bằng toạ độ của điểm nào đó nằm trong miền giới hạn bởi 3 vòng Mo, miền chấm chấm như trên hình 3-11c

Từ 3 vòng tròn Mo ứng suất ta thấy ứng suất tiếp lớn nhất trong trạng thái ứng suất khối bằng:

=σ τ (3.14) Ứng suất này nằm trong mặt phẳng song song với σ 2 và nghiêng một góc 45 0 so với σ1 và σ3.

3.3.2 Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke

Trong chương 2 ta đã có công thức của định luật Hooke liên hệ giữa ứng suất pháp và biến dạng dài tương đối trong trạng thái ứng suất đường:

= σ ε trong đó ε là biến dạng dài tương đối theo phương của ứng suất σ

Nếu theo phương của ứng suất, chẳng hạn ứng suất σz có biến dạng dài tương đối εz thì theo phương vuông góc với nó, phương x và phương y có biến dạng dài tương đối ε x và ε y bằng: εx = εy = - μεz

Giả sử có một phân tố ở trạng thái ứng suất khối như trên hình 3-12

Ta ký hiệu εij (i, j = 1, 2, 3) là biến dạng dài tương đối theo phương i do ứng suất σj gây ra và sử dụng nguyên lý cộng tác dụng ta có biến dạng tổng cộng theo phương

Tương tự với các phương 2 và phương 3 ta có:

(3.15) là biểu thức biểu thị quan hệ giữa biến dạng dài tương đối và ứng suất trong trường hợp trạng thái ứng suất khối được gọi là biểu thức của định luật Hooke khối

Biểu thức (3.15) cũng đúng cho phân tố nằm trong trạng thái ứng suất khối dưới dạng theo các phương xyz bất kỳ:

Còn các ứng suất tiếp, mỗi cặp τ xy và τ yx , τ xz và τ zx và τ zy và τ yz lần lượt tác động trong một mặt phẳng xy, zx, yz Các ứng suất tiếp này gây ra các biến dạng góc γxy, γxz

, γyz trong từng mặt phẳng tác động của nó Theo định luật Hooke, khi vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi thì các biến dạng này tỷ lệ bậc nhất với các ứng suất, cụ thể:

G là mô đun đàn hồi của vật liệu khi trượt

Giữa các hằng số đàn hồi E, μ và G có liên hệ sau:

Dưới tác dụng của các ứng suất, các cạnh của phân tố hình hộp bị co dãn, các góc vuông bị méo đi Chiều dài các cạnh của phân tố theo các phương x, y, z lần lượt là a, b, c sau biến dạng chúng bằng: a + Δa = a + aεx = a (1+εx) b + Δb = b + bεy = b (1+εy) c + Δc = c + cεz = c (1+εz)

Thể tích của phân tố trước biến dạng là V0 = abc và sau biến dạng là V1 Coi biến dạng góc không gây ra biến đổi thể tích ta có:

Do đó có biến dạng thể tích tương đối bằng: z y x 0

Thay các biến dạng bằng biểu thức (3.16) ta được:

Ta nhận thấy: Biến đổi thể tích θ không phụ thuộc vào từng ứng suất σ x , σy hay σz mà phụ thuộc vào tổng của 3 ứng suất pháp theo 3 phương vuông góc Mặt khác, biến dạng thể tích của một trạng thái ứng suất là một lượng không đổi, nó không phụ thuộc vào hệ toạ độ đã chọn Do đó từ (3.19) và (3.20) ta có: εx + εy + εz = C1 σx + σy + σz = C2 trong đó: C1,C2 là tổng biến dạng và tổng ứng suất pháp theo 3 phương vuông góc, là các hằng số được gọi là các bất biến thứ nhất của trạng thái biến dạng và bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất

Ngoài sự biến đổi về thể tích, phân tố hình hộp còn bị biến đổi về hình dáng Sự thay đổi hình dáng do sự chênh lệch giữa các ứng suất pháp theo 3 phương và do các ứng suất tiếp gây ra

Hệ số Poisson có giá trị lớn nhất là 0,5 khi vật liệu là đàn hồi tuyệt đối Trong trường hợp này, dù chịu tải trọng như thế nào thì thể tích không hề thay đổi mà chỉ có

71 Đặt: z y x +σ +σ σ σ Σ gọi là ứng suất tổng, và hệ số tỷ lệ: μ

Biểu thức (3.22) biểu thị quan hệ tỷ lệ thuận giữa biến dạng thể tích và ứng suất tổng, tương tự như biểu thức của định luật Hooke trong trạng thái ứng suất đơn Chính vì thế (3.22) được gọi là định luật Hooke về biến dạng thể tích và ứng suất tổng

E μ được gọi là mô đun đàn hồi thể tích và được tính bằng (3.21).

Thế năng biến dạng đàn hồi

Trong chương 2, ta đã tính được thế năng biến dạng đàn hồi trong một đơn vị thể tích của vật, gọi tắt là thế năng biến dạng riêng trong trạng thái ứng suất đơn: u σε2

Từ đó có thể suy ra, trong trạng thái trượt thuần tuý, tồn tại ứng suất tiếp τ và biến dạng trượt tương ứng γ thì thế năng biến dạng riêng sẽ bằng: u=τγ2

Sử dụng nguyên lý cộng tác dụng đối với phân tố ở trạng thái ứng suất khối ta có công thức thế năng biến dạng riêng: u= σ x 2ε x

Thay (3.16),(3.17),(3.18) vào biểu thức trên và sau khi rút gọn ta được biểu thức của thế năng biến dạng đàn hồi riêng dưới dạng viết theo ứng suất:

Nếu quan niệm biến dạng đã gây ra biến đổi thể tích và biến đổi hình dáng thì thế năng u có thể phân thành các phần:

+ Thế năng thể tích utt: Là thành phần thế năng riêng tích luỹ do biến đổi thể tích σ U σ V σ W

+ Thế năng hình dáng uhd: Là thành phần thế năng riêng tích luỹ do biến đổi hình dáng và ta có: u = utt + uhd (3-24)

Giả sử ta có một phân tố A có các ứng suất pháp bằng nhau như trên hình 3.13 và bằng:

Thế năng biến dạng riêng của phân tố đó được tính bằng cách thay (3.25) vào (3.23):

Nhưng ta lại có các ứng suất pháp của 2 phân tố : σu + σv + σw = σx + σy + σz Nên biến đổi thể tích của 2 phân tố này bằng nhau, nghĩa là: utt = uA

Thay (3.23), (3.27) vào (3.24) ta tính được thế năng hình dáng uhd của trạng thái ứng suất khối:

Trường hợp đặc biệt: Trong trạng thái ứng suất đơn, giả sử chỉ có ứng suất chính σ1, thế năng riêng bằng:

BÀI TẬP 3.1 Một thanh thẳng chịu lực kéo đúng tâm P = 40kN, diện tích mặt cắt ngang F 5cm 2 Xác định mặt xiên góc α với mặt cắt ngang để cho trên mặt ấy giá trị ứng suất pháp bằng bốn lần giá trị ứng suất tiếp Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt xiên góc 30 0 với mặt cắt ngang

3.2 Trên mặt cắt m-n đi qua một điểm trong vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng có ứng suất toàn phần p = 3000N/cm 2 , ứng suất này có phương tạo thành một góc 60 0 với mặt cắt như trên hình 3-2B Trên mặt vuông góc với mặt cắt đó chỉ có ứng suất tiếp

Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt hợp với mặt cắt m-n một góc 45 0 Tính ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó

3.3 Trên hai mặt tạo với nhau một góc 60 0 và đi qua một điểm ở trạng thái ứng suất phẳng có các ứng suất σ y = 3kN/cm 2 , τ yx = −5kN/cm 2 , τ uv = 6kN/cm 2 như trên hình 3- 3B Tính các ứng suất chính tại điểm đó

3.4 Chứng minh rằng tại một điểm của vật thể có sự trượt thuần tuý thì ứng suất pháp trên hai mặt cắt bất kỳ vuông góc với nhau luôn luôn bằng nhau và ngược dấu, và ứng suất toàn phần trên mặt nào cũng bằng nhau

3.5 Tìm giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt nghiêng của các phân tố vẽ trên hình 3-5B Các ứng suất đã cho trước tính bằng kN/cm 2 τ p

3.6 Tìm ứng suất chính và phương chính của phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng vẽ trên hình 3-6B bằng phương pháp giải tích và phương pháp đồ thị

3.7 Trên các mặt đi qua một điểm của một vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng có các ứng suất như trên hình

3-7B Tính các ứng suất chính và xác định các phương chính tại điểm đó

3.8 Cho một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng có các ứng suất như trên hình 3-8B

Tính các biến dạng εx, εy, εu Biết: E = 2.10 6 daN/cm 2 , μ = 0,3

8 kN/cm 2 u σ u1 =5 kN/cm 2 α 1 σ y =6 kN/cm 2 σ u2 =2 kN/cm 2 α 2 α 1 E 0 α 2 0 0 a) σ y kN/cm 2 τ xy kN/cm 2 σ u1 0 kN/cm 2 σ u2 kN/cm 2 b) β σ u1 =5 kN/cm 2 α 1 σ y =6 kN/cm 2 σ u2 =3 kN/cm 2 α 2 α 1 0 0 α 2 5 0 c) σ u =5 kN/cm 2 α 1 α 1 0 0 d) τ yx =7 kN/cm 2 τ uv 32 kN/cm 2

Hình 3-7B σ u2 =4.92 kN/cm 2 α 2 σ u1 =4.33 kN/cm 2 α 1 τ u2 =4.92 kN/cm 2 α 1 0 0

60 0 σ u1 !1.3 daN/cm 2 σ u2 =1 00 0 02 d aN/ cm 2 τ u3 W7.36 daN/cm 2 g)

3.9 Cho các phân tố như trên hình 3-9B Tính các ứng suất chính và xác định phương chính Hãy cho biết các phân tố này có gì đặc biệt Vẽ vòng tròn Mo ứng suất

3.10 Tại điểm A của một dầm cầu có gắn 2 tenxômét để đo biến dạng theo phương nằm ngang và phương thẳng đứng như trên hình

3-10B Khi xe chạy qua cầu, người ta đo được: εx = 0.0004, εy = -0.00012

Tính ứng suất pháp theo phương dọc và phương thẳng đứng của dầm Cho biết:

3.11 Để xác định trạng thái ứng suất tại một điểm của một dầm cầu do tải trọng xe đặt trên cầu gây ra, người ta dùng 2 tenxômét điện trở dán vào điểm đó theo 2 phương xiên góc với nhau Khi xe đặt ở trên cầu, người ta đo được các biến dạng ghi ở trên các hình 3-11B

Hãy xác định các ứng suất pháp, ứng suất tiếp trên mặt cắt vuông góc với trục dầm và xác định các ứng suất chính, phương chính của trạng thái ứng suất này Biết ứng suất pháp trên mặt cắt song song với trục dầm bằng không và vật liệu làm dầm có mô đun đàn hồi E = 1.8.10 5 daN/cm 2 , hệ số poát xông μ = 0.17

3.12 Tại một điểm trên mặt của một thanh chịu lực, người ta đo được biến dạng theo một phương xiên góc với trục thanh (xem hình 3-12B) Vật liệu làm thanh trong các trường hợp đều có mô đun đàn hồi E = 2.10 7 N/cm 2 và hệ số Poát xông μ = 0.3 x x y y A

45 0 d) ε y = -1,78.10 -5 εm= -1,3.10 -5 a) Cho biết trạng thái ứng suất tại điểm đó là trạng thái ứng suất gì Xác định ứng suất chính, phương chính của trạng thái ứng suất này Biết thanh ở hình 3-12Ba, 3- 12Bb có các thớ dọc không tác dụng vào nhau và mặt cắt ngang thanh không có ứng suất tiếp Trên các mặt cắt song song và vuông góc với trục của các thanh ở hình 3- 12Bc, 3-12Bd thì ứng suất pháp đều bằng không b) Góc α bằng bao nhiêu thì không đo được biến dạng ? Tại sao ?

3.13 Trên một phân tố lấy từ vật thể chịu lực như trên hình 3-13B có các ứng suất σ = 30kN/cm 2 , τ 15kN/cm 2 Xác định biến dạng của đường chéo Δl mn

3.14 Tại một điểm trên mặt một vật thể chịu lực người ta đo được biến dạng tương đối theo 3 phương như trên hình 3-14B

Xác định các ứng suất σx, σy, τxy, ứng suất chính và phương chính tại điểm ấy Gọi tên những trạng thái ứng suất này Cho E = 2.10 4 kN/cm 2 , μ = 0,3

3.15 Có một phân tố hình hộp có các cạnh: a = 2cm, b = 4cm, c = 2cm, chịu tác dụng của các lực P1, P2 trên bốn mặt của phân tố (xem hình 3-15B)

Cho P1 = 60kN, P2 = 120kN, E = 2.10 4 kN/cm 2 , μ = 0,3 a) Xác định các biến dạng dài Δa, Δb, Δc của các cạnh a, b, c và biến đổi thể tích của phân tố hình hộp b) Muốn biến đổi thể tích ΔV= 0 thì phải đặt thêm lực pháp tuyến P3 bằng bao nhiêu vào hai mặt còn lại? Tính τmax trong trường hợp này

3.16 Xác định giá trị các ứng suất trên các mặt bên của một phân tố hình lập phương trên hình 3-16B có cạnh a = 5cm Cho biết b các biến dạng dài tuyệt đối Δx 5.10 -2 mm, Δy = 1.10 -2 mm, Δz = 7,5.10 -2 mm, các biến dạng góc γxy = 2.10 -2 , γyz = γzx = 0, μ 0,3,

Tìm giá trị các ứng suất chính của phân tố

LÝ THUYẾT BỀN

Khái niệm

Trong thanh chịu kéo (nén) đơn, vật liệu chịu lực trong trạng thái ứng suất đơn, nghĩa là phân tố chính chỉ tồn tại một ứng suất chính theo phương của trục thanh Với phân tố này ta đã có điều kiện bền là:

= σ σ trong đó: σmax, σ min : ứng suất chính kéo, nén trong thanh σ0 : ứng suất nguy hiểm được xác định bằng thực nghiệm n : hệ số an toàn được lấy theo quy chuẩn

Trong trường hợp vật liệu nằm trong trạng thái ứng suất phức tạp (trạng thái ứng suất khối và trạng thái ứng suất phẳng), ta chưa xác định được biểu thức kiểm tra bền vì các lý do sau đây:

- Một là: Phân tố nằm trong trạng thái ứng suất phức tạp thì trên các mặt của phân tố có nhiều thành phần ứng suất (6 thành phần đối với trạng thái ứng suất phẳng, 9 thành phần đối với trạng thái ứng suất khối), hoặc trên phân tố chính có 2 thành phần ứng suất chính với trạng thái ứng suất phẳng và 3 thành phần ứng suất chính với trạng thái ứng suất khối Do đó, các phân tố này do thành phần ứng suất nào gây phá hoại hoặc do các tổ hợp các thành phần ứng suất nào sẽ gây phá hoại ta đều chưa biết Và như vậy, với mỗi phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp ta phải tiến hành một thí nghiệm riêng ứng với trạng thái ứng suất này để kiểm tra độ bền, cũng có nghĩa là với phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp, để kiểm tra bền ta phải tiến hành vô số các thí nghiệm mà không phải là một thí nghiệm như trong trạng thái ứng suất đơn

- Hai là: Để tạo ra thí nghiệm mẫu ở trạng thái ứng suất phức tạp bất kỳ là một việc rất khó khăn, hiện tại điều kiện kỹ thuật chưa đáp ứng được Chỉ mới thực hiện được máy nén 3 trục để tạo ra trạng thái ứng suất khối đơn giản (ứng suất theo 2 phương như nhau, còn ứng suất theo phương thứ 3 thì khác)

Chính vì các lý do trên mà việc kiểm tra bền phải dựa vào các giả thuyết về độ bền của vật liệu mà ta gọi các giả thuyết này là các thuyết bền

Các thuyết bền tuy xuất phát từ các giả thuyết khác nhau nhằm giải thích σtt ≤ [σ] (4-2) trong đó: σtt : được gọi là ứng suất tính toán, là tổ hợp các thành phần ứng suất của phân tố đang xét

[σ] : là ứng suất cho phép được xác định bằng thí nghiệm phá hoại mẫu trong trạng thái ứng suất đơn, lấy như công thức (4-1)

Hiện nay có rất nhiều lý thuyết bền, dưới đây ta điểm lại một số thuyết bền thường sử dụng.

Lý thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất

Lý thuyết bền này cho rằng: Nguyên nhân phá hoại vật liệu của một phân tố ở trạng thái ứng suất bất kỳ là ứng suất pháp cực đại của nó đạt đến ứng suất giới hạn của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, còn các ứng suất khác không có ảnh hưởng gì: σmax= σgh (4.3) σ gh là ứng suất nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: σgh = σc đối với vật liệu dẻo σgh = σB đối với vật liệu dòn

Các ứng suất σ gh K và σ gh N tìm được khi thí nghiệm vật liệu chịu kéo đơn , nén đơn

Nếu đưa vào hệ số an toàn n thì điều kiện bền của vật liệu sẽ là:

Như vậy, với lý thuyết bền này ta có: σtt = σ1 và σtt = σ3

Lý thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất là lý thuyết bền đầu tiên Thuyết bền này đã bỏ qua ảnh hưởng của các ứng suất chính khác nên trong rất nhiều trường hợp nó cho kết quả không phù hợp với thực tế, chỉ phù hợp với những vật liệu dòn như gạch, đá v.v… Hiện nay nó có ý nghĩa lịch sử nhiều hơn là thực dụng.

Lý thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất

Lý thuyết bền này cho rằng: Vật liệu sẽ được coi là bị phá hoại khi biến dạng dài tương đối lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất bất kỳ đạt tới một biến dạng dài giới hạn của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: εmax = εgh εgh là biến dạng dài giới hạn của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn Do đó, điều kiện an toàn của phân tố là:

≤ ε n d gh max (4.7) trong đó: d ε gh : là biến dạng giới hạn trong trạng thái ứng suất đơn

[ε] : là biến dạng dài cho phép Áp dụng công thức của định luật Hooke tổng quát cho phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp ta được:

Với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn khi đạt đến trạng thái giới hạn:

Lý thuyết bền này thường chỉ phù hợp với vật liệu dòn nên không dùng cho vật liệu dẻo, và đặc biệt các công thức (4.10) và (4.11) không dùng được khi vật liệu không tuân theo định luật Hooke hoặc làm việc ngoài giới hạn đàn hồi

Lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất

Khác với 2 lý thuyết bền trên, lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất cho rằng: Vật liệu bị phá hoại không phải là do nó có ứng suất pháp quá lớn hay có biến dạng dài quá lớn mà khi phân tố ở trạng thái ứng suất bất kỳ có ứng suất tiếp lớn nhất đạt tới một ứng suất tiếp giới hạn của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:

Cũng giống như trên ta có:

=σ τ τ (4.13) trong đó: τ d gh và σ d gh là các ứng suất tiếp và ứng suất pháp của phân tố trong trạng thái ứng suất đơn

Do đó điều kiện an toàn của phân tố:

Lý thuyết bền này khá phù hợp với vật liệu dẻo, nó được sử dụng nhiều khi tính toán các chi tiết máy trong ngành cơ khí.

Lý thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng

Lý thuyết bền này còn được gọi tắt là lý thuyết bền thế năng Theo lý thuyết bền này, nếu giải thích nguyên nhân phá hoại của vật liệu mà chỉ là nội lực (ứng suất pháp, ứng suất tiếp) hoặc chỉ là biến dạng đều không toàn diện Theo lý thuyết bền này, cả 2 yếu tố đó phải được kể đến đồng thời thông qua việc xét năng lượng của hệ Trên cơ sở đó, lý thuyết bền này cho rằng vật liệu ở trạng thái ứng suất bất kỳ sẽ bị phá hoại khi thế năng riêng biến đổi hình dáng của nó đạt đến một giá trị giới hạn thế năng biến đổi hình dáng của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: gh hd hd U

Và điều kiện độ bền trong trường hợp này là:

U U d hd d gh d gh hd hd (4.17)

Thay (3.28) vào (4.17) và biến đổi ta được công thức kiểm tra bền:

Lý thuyết bền này cũng phù hợp với vật liệu dẻo, nó có ưu điểm là xét đến tất cả các thành phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp, nhưng cũng có thiếu sót là không đề cập đến khả năng chịu kéo và chịu nén khác nhau của vật liệu.

Lý thuyết bền Mo

Dựa trên nhiều kết quả thí nghiệm, lý thuyết bền Mo cho rằng độ bền của vật liệu chỉ phụ thuộc vào các ứng suất chính σ 1 và σ 3 , còn ứng suất chính trung gian σ 2 ảnh hưởng không đáng kể nên được bỏ qua Như vậy, giới hạn chịu lực của vật liệu ở trạng thái ứng suất bất kỳ sẽ xuất hiện khi σ 1 , σ 3 đạt tới những giới hạn nhất định Vì thế, ở trạng thái ứng suất bất kỳ, trong 3 vòng Mo ứng suất chỉ có vòng tròn lớn nhất liên quan tới σ1 và σ3 là quan trọng

Ta gọi vòng tròn này là vòng tròn quyết định

Tiến hành thí nghiệm trên một mẫu vật liệu cho tới giới hạn chịu lực, ta được các ứng suất chính giới hạn: σ 1 gh , σ gh 2 và gh σ3 Vòng tròn quyết định của phân tố đó được gọi là vòng tròn quyết định giới hạn

(vòng tròn lớn nhất trên hình 4-1) Lần lượt thí nghiệm tới giới hạn các mẫu kế tiếp nhau cùng một loại vật liệu nhưng có tỷ số khác nhau giữa các ứng suất chính σ1 và σ3 Vẽ vòng tròn quyết định giới hạn ứng với mỗi lần thí nghiệm đó, ta sẽ thu được một họ vòng tròn quyết định giới hạn của loại vật liệu vừa thí nghiệm Ta thấy rằng, tất cả các vòng tròn đó đều nhận một tiếp tuyến chung là một đường bao mà ta gọi là đường bao giới hạn (hình 4-2) Đường bao giới hạn cắt trục hoành σ tại điểm A ứng với trạng thái ứng suất kéo đều theo 3 phương chính (σ 1 gh =σ gh 2 =σ gh 3 >0) Về phía trái, đường bao có dạng hở (không cắt trục hoành) vì ứng với trạng thái ứng suất nén đều theo 3 phương (σ 1 gh =σ gh 2 =σ gh 3 1 ta được các ứng suất cho phép:

Sau đó, vẽ đường bao cho phép của vật liệu với hệ số an toàn n đã cho như hình 4-

6 Trạng thái ứng suất cần kiểm tra muốn an toàn và tiết kiệm phải có vòng tròn quyết định tiếp xúc với đường bao cho phép, ví dụ là vòng tròn 3 có tâm O3 như trên hình 4-

Nối các tiếp điểm A,B,C của đường bao cho phép với 3 tâm O1, O2 và O3 Đường thẳng qua điểm C và song song với trục hoành sẽ cắt O1A và O2B tại D và

E Có thể viết được các tỷ số đồng dạng của 2 tam giác đồng dạng CEB và CDA:

Thay tất cả vào (*) sau khi rút gọn ta được biểu thức kiểm tra độ bền theo lý thuyết bền Mo:

Lý thuyết bền Mo tuy không xét đến ảnh hưởng của ứng suất chính σ 2 nhưng lại có ưu điểm là đã xét đến khả năng chịu kéo và nén khác nhau của vật liệu Thực nghiệm cho thấy lý thuyết bền Mo rất phù hợp với vật liệu dòn

Như vậy, hiện nay tồn tại rất nhiều lý thuyết bền, nhưng không có một lý thuyết bền nào có ưu điểm tuyệt đối, tức là cho kết quả đúng cho mọi trường hợp và với mọi loại vật liệu Mỗi lý thuyết bền chỉ có khả năng cho kết quả đúng đối với những điều kiện nhất định Vì thế, khi cần kiểm tra bền phải tuỳ trường hợp cụ thể mà chọn lý thuyết bền nào cho thích hợp.

Ví dụ

Ví d ụ 4-1 : Từ 3 vị trí khác nhau của một vật thể làm bằng một loại vật liệu chịu hệ lực cân bằng, người ta tách ra 3 phân tố như trên hình 4-7 Theo lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất thì phân tố nào là nguy hiểm hơn cả? Đơn vị của ứng suất cho trên hình vẽ là MN/m 2

Bài giải: Áp dụng công thức (4.15) ta có: σ tt = σ 1 - σ 3

Như vậy, theo lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất thì phân tố c) là nguy hiểm nhất, còn phân tố a) và b) mức độ nguy hiểm như nhau

Ví d ụ 4-2 : Kiểm tra bền cho phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng cho trên hình 4-8 theo lý thuyết bền Mo Vật liệu là gang có [σ]K = 35MN/m 2 ; [σ]N = 120MN/m 2 Đơn vị ứng suất cho trên hình vẽ là MN/m 2

Trong trường hợp này có: σx = 5 MN/m 2 σy = -25 MN/m 2 τxy = 26 MN/m 2

Tính ứng suất chính của phân tố :

Theo lý thuyết bền Mo ta có:

Vậy theo lý thuyết bền Mo phân tố trên thoả mãn điều kiện bền

Ví d ụ 4-3 : Xác định bề dày t của phần trụ một nồi hơi chịu áp suất p Biết rằng nồi hơi có đường kính ngoài là D như trên hình 4-9 Vật liệu làm nồi hơi là thép có ứng suất cho phép [σ]

Dưới áp suất p phần vỏ trụ của nồi hơi chịu kéo theo 2 phương x, y Ta tách ra

Hình 4-10 σ x cắt chứa trục của vỏ trụ và đường sinh Do tính đối xứng, trên các mặt cắt của phân tố không có ứng suất tiếp nên các ứng suất pháp σx, σy là các ứng suất chính

Trên mặt cắt vuông góc với đường sinh, vì bề dày của thành nồi là mỏng nên coi các ứng suất σx phân bố đều trên toàn mặt cắt như trên hình 4-10 Các ứng suất này cân bằng với áp suất của nồi hơi tác dụng vào phần đáy nồi, ta có phương trình cân bằng: t 4 pD 4 p D

Tương tự như vậy, trên phần trụ dài l ta dùng mặt cắt chứa trục x và đường sinh, mặt cắt có diện tích là F = t.l (phần gạch chéo trên hình 4-11) Cũng coi ứng suất σy phân bố đều trên mặt cắt đó Tổng các ứng suất σy trên mặt cắt cân bằng với tổng hình chiếu lên phương y của p vào thành nồi hơi (hình 4-11b) Ta có: t 2 pD pD t

So sánh (*) và (**) ta được các ứng suất chính: t 2 pD y

2 =σ σ σ 3 = 0 Nồi hơi bằng thép nên ta dùng lý thuyết bền thế năng để kiểm tra:

Thay các ứng suất vào ta được:

Từ trên suy ra công thức tính bề dày t của thành nồi hơi:

BÀI TẬP 4.1 Xác định ứng suất tương đương của các phân tố theo các ứng suất chính ghi ở bảng dưới đây theo các lý thuyết bền thứ ba, thứ tư và lý thuyết bền Mo (đơn vị

MN/m 2 ) Cho μ=0,3; α = 1 , 4 on ok = σ σ ƯS

4.2 Xác định ứng suất tương đương theo các lý thuyết bền thứ ba và thứ tư đối với các phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng có các ứng suất như sau (đơn vị MN/m 2 ) ƯS

4.3 Cho trạng thái ứng suất tại một điểm của vật thể chịu lực như hình vẽ: σ1 20kN/cm 2 , σ = 40kN/cm 2 , σ = 80kN/cm 2 Kiểm tra độ bền theo lý thuyết bền thứ ba

4.4 Tại một điểm của một vật thể chịu lực có trạng thái ứng suất như hình vẽ Kiểm tra độ bền theo lý thuyết bền thứ ba và thứ tư, biết [σ] = 140kN/cm 2

4.5 Một trụ tròn bằng thép (μ = 0,3) đặt khít giữa hai tường cứng như hình vẽ

Phần giữa của trụ chịu áp lực p phân bố đều Tính ứng suất tương đương theo lý thuyết thế năng biến đổi hình dạng ở phần giữa và phần đầu của hình trụ Hình 4-5B y z x p a a a p

ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

Khái niệm

Khi nghiên cứu sự chịu lực của một thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm, chúng ta nhận thấy rằng: Ứng suất trong thanh chỉ phụ thuộc đơn thuần vào một đặc trưng hình học là diện tích F của mặt cắt ngang mà không phụ thuộc gì vào hình dáng mặt cắt Nhưng trong những chương dưới đây, khi tính những thanh chịu xoắn, chịu uốn v.v thì sự chịu lực của thanh không những phụ thuộc vào diện tích F mà còn phụ thuộc cả vào hình dạng của mặt cắt ngang nữa

Thí dụ, xét hai trường hợp chịu uốn của một thanh như trên hình 5-1 Bằng trực giác, ta dễ dàng nhận thấy rằng: Nếu tác dụng lực như hình 5-1a, thanh sẽ có khả năng chịu lực lớn hơn cách tác dụng lực như trường hợp trên hình 5-1b

Như vậy, khả năng chịu lực của thanh còn tuỳ thuộc vào hình dạng mặt cắt nên ngoài diện tích F, ta cần phải xét những đại lượng khác đặc trưng cho hình dáng hình học của mặt cắt ngang Dưới đây sẽ lần lượt xét các đại lượng đó.

Mô men tĩnh và mô men quán tính

Giả sử xét một hình phẳng có diện tích là F như hình 5-2 Chọn hệ trục toạ độ xoy như trên hình 5-2

Gọi x, y là toạ độ của một điểm A nào đó của hình phẳng F, và dF là vi phân diện tích của phân tố bao xung quanh điểm A Ta định nghĩa một số đặc trưng hình học của hình phẳng như dưới đây

Gọi mô men tĩnh của diện tích F đối với trục x và đối với trục y lần lượt là Sx và Sy thì:

Mô men tĩnh có thứ nguyên [chiều dài] 3 , đơn vị là m 3 , cm 3 …

Mômen tĩnh có thể có trị số âm, dương hoặc bằng không

Khi mômen tĩnh của diện tích F đối với một trục nào đó bằng không, thì trục đó được gọi là trục trung tâm Giao điểm của hai trục trung tâm được gọi là trọng tâm của

Xuất phát từ định nghĩa đó ta dễ dàng thiết lập công thức để xác định toạ độ trọng tâm của diện tích F đối với hệ trục toạ độ xoy như sau:

Ta giả thiết có hai trục trung tâm Cxo, Cyo cắt nhau tại trọng tâm C của mặt cắt (hình 5-3) Theo định nghĩa ta có:

Nếu gọi xc , yc là toạ độ trọng tâm C trong hệ trục xoy và xo, yo là toạ độ của A trong hệ trục xoCyo thì tương quan giữa xo, yo và x, y sẽ là: x = xc + xo y = yc + yo (b)

Từ định nghĩa ta có:

Thay (a) vào (c), ta được công thức xác định vị trí trọng tâm của diện tích F:

Từ công thức đó ta nhận thấy rằng: bất cứ trục nào đi qua trọng tâm cũng là trục trung tâm, thực vậy vì toạ độ của trọng tâm đối với trục đó là bằng không nên suy ra mômen tĩnh của diện tích F đối với trục đó là bằng không

5.2.2 Mômen quán tính đối với một trục

Ta gọi mômen quán tính của diện tích F đối với trục x: Jx , đối với trục y: Jy là các biểu thức tích phân sau đây:

Thứ nguyên của J là [chiều dài] 4 , mômen quán tính JX, JY bao giờ cũng là một số dương

5.2.3 Mômen quán tính cực (hay mômen quán tính đối với gốc toạ độ)

Ta gọi mômen quán tính cực của diện tích F đối với gốc toạ độ 0 là biểu thức tích phân:

Trong đó ρ là khoảng cách từ A (x, y) đến gốc toạ độ (xem hình 5-2) Vì: ρ 2 = x 2 + y 2 Nên: y x F

Cũng như mômen quán tính, mômen quán tính cực bao giờ cũng là số dương và thứ nguyên là [chiều dài] 4

5.2.4 Mômen quán tính ly tâm

Mômen quán tính ly tâm của diện tích F đối với hệ trục xoy: Jxy là biểu thức tích phân:

Mômen quán tính ly tâm có thể dương, âm hoặc bằng không và thứ nguyên là

Khi mômen quán tính ly tâm của diện tích F đối với một hệ trục nào đó bằng không thì hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính

Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt, ta cũng có thể xác định được một hệ trục quán tính chính Thực vậy, giả sử diện tích

F ban đầu nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục xoy (hình 5-4) Toạ độ x, y của A lúc đó là những trị số dương, do đó mômen quán tính ly tâm cũng là một trị số dương Bây giờ, ta quay hệ trục xoy một góc 90 o để đến một vị trí mới x’Oy’(trục vẽ nét đứt) trục y trở thành trục x, trục x trở thành trục y nhưng có chiều ngược lại, lúc này diện tích F nằm trong góc phần tư thứ hai, hoành độ x của A vẫn dương nhưng tung độ y của A là âm, mômen

90 0 x’ y’ α tìm thấy một góc α < 90 o nào đó mà sao cho khi quay hệ trục xoy với góc α đến vị trí uov thì mômen quán tính ly tâm của F đối với hệ trục uov này là bằng không Hệ trục đó là hệ trục quán tính chính Như vậy nói chung một hình phẳng có vô số hệ trục quán tính chính

Hệ trục quán tính chính có gốc toạ độ tại trọng tâm C của mặt cắt được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm

Ta có thể chứng minh tính chất sau đây: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ trục đối quán tính chính Quả vậy, giả sử ta có mặt cắt ngang với trục đối xứng y như trên hình vẽ (hình 5-5) Với mỗi điểm A có toạ độ x, y trên mặt cắt, ta luôn luôn tìm thấy một điểm A' đối xứng với A qua trục y, nghĩa là hoành độ của A' trái dấu với hoành độ x và tung độ y của A' bằng tung độ của

A Vậy biểu thức tích phân:

J là phép tổng của những cặp: xydF - xydF = 0 do đó Jxy phải bằng không

Mặt khác, trọng tâm C của mặt cắt ở trên trục đối xứng y nên nếu từ C ta vẽ đường vuông góc với trục y, ta sẽ được một hệ trục quán tính chính trung tâm Một hình phẳng chỉ có một trọng tâm C nên nói chung với một hình phẳng chỉ có một hệ trục quán tính chính trung tâm, trừ trường hợp hình phẳng là hình tròn hay là đa giác đều thì chúng có vô số hệ trục quán tính chính trung tâm Chính vì lẽ đó nên trong tính toán nội lực của kết cấu ta chọn hệ trục xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.

Mô men quán tính của một số hình đơn giản

Gọi b là chiều rộng và h là chiều cao của hình chữ nhật (hình 5-6) Ta hãy tính các mômen quán tính Jx, Jy đối với các trục của hệ trục quán tính chính trung tâm xoy

Lấy một dải phân tố có chiều dày là dy song song với trục x và cách trục x một khoảng cách y Diện tích của dải phân tố đó là dF = bdy Ta có mômen quán tính của hình chữ nhật đối với trục x sẽ là:

(5.6) Tương tự như vậy, ta dễ dàng tìm thấy:

Gọi b là chiều rộng của đáy và h là chiều cao của tam giác (hình 5-7) Ta tính trị số mômen quán tính của tam giác đối với trục x trùng với đáy của tam giác

Cắt một dải phân tố có chiều dày dy song song với đáy và cách đáy một đoạn là y, gọi bề rộng của dải phân tố là b(y), ta có: dF = b(y).dy

Theo định lý Talét, ta có: h y h b b y = − hay h

) y h ( b y = b − Mômen quán tính của tam giác đối với trục x là: h

4 y 3 hy h dy b y dy y h h b dy ) y h ( h y dy b h

Vì tính chất đối xứng nên ta nhận thấy ngay rằng: Jx = Jy, do đó ta có:

Jp = Jx + Jy = 2Jx = 2Jy (a) Như vậy, muốn tính Jx, Jy, ta hãy tính Jp Để xác định phân tố diện tích dF ta vạch hai vòng tròn đồng tâm có bán kính ρ và ρ+dρ và hai đường bán kính tạo với trục x các góc ϕ và ϕ+dϕ Trong đó dρ và dϕ là các vi phân của bán kính ρ và góc cực ϕ Phân tố diện tích dF được gạch chéo như trên hình vẽ (hình 5-8) Trị số của phân tố diện tích là:

Vậy mômen quán tính độc cực của diện tích hình tròn đối với tâm sẽ là:

J trong đó R là bán kính của đường tròn

Với các đẳng thức (a) ta được:

Nếu gọi D là đường kính của hình tròn thì công thức (5-8) và (5-9) có thể viết lại dưới dạng:

J D π ≈ π ≈ ρ (5.10) Đối với hình vành khăn, đường kính ngoài là D và đường kính trong là d (hình 5-9), ta có mômen quán tính độc cực đối với trọng tâm và mômen quán tính đối với các trục x, y là:

Hay có thể viết lại với trị số gần đúng:

Công thức chuyển trục song song của mô men quán tính

Giả sử ta đã biết mômen tĩnh và mômen quán tính của hình phẳng có diện tích F đối với hệ trục xoy, bây giờ phải tính các mômen quán tính của hình phẳng ấy đối với hệ trục XOY song song với hệ trục xoy cho trước (hình 5-10)

Gọi (a, b) là toạ độ của gốc o trong hệ trục

XOY X và Y là toạ độ của điểm A trong hệ trục đó

Ta có thể thiết lập tương quan giữa X, Y và x, y là:

Y = y + b Theo định nghĩa, ta có:

Lần lượt thay (a) vào các biểu thức (b) ta có:

2 X dF ab xdF b ydF a xydF dF

) a x )( b y ( J dF a xdF a 2 dF x dF ) a x ( J dF b ydF b 2 dF y dF ) b y ( J hay:

JXY = Jxy + aSx + bSy + abF Trường hợp đặc biệt:

Nếu hệ trục xoy là hệ trục trung tâm, ta có:

Do đó công thức (5.13) sẽ có dạng:

Công thức xoay trục của mô men quán tính – Cách xác định hệ trục quán tính chính

Giả sử đã biết mômen quán tính của hình phẳng F đối với hệ trục xoy, ta phải tính mômen quán tính của hình phẳng F đối với hệ trục uov Hệ trục này là vị trí của xoy sau khi đã xoay đi một góc α ngược chiều kim đồng hồ (hình 5-11) Quy ước α > 0 khi trục u quay đến trục x theo chiều kim đồng hồ

Gọi u, v là toạ độ của A trong hệ trục uov Trong phép quay hệ trục toạ độ, ta có: u = xcosα + ysinα v = ycosα - xsinα (a) Theo định nghĩa ta có:

Thay (a) vào các biểu thức (b) ta đuợc:

2 u dF x cos sin dF y cos sin xydF sin xydF cos dF ) sin x cos y )( sin y cos x

J dF y sin xydF sin cos 2 dF x cos dF ) sin y cos x

J dF x sin xydF sin cos 2 dF y cos dF ) sin x cos y

Ju = Jx cos 2 α + Jysin 2 α - 2Jxysinα cosα

Jv = Jx sin 2 α + Jycos 2 α + 2Jxysinα cosα

Juv = Jxsinα cosα - J y sinα cosα + J xy (cos 2 α - sin 2 α)

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác:

2 cos cos 2 α=1+ α 2 α= − α sin2α = 2sinα cosα , cos2α = cos 2 α - sin 2 α thay vào các công thức trên, ta có:

Nếu đem cộng các vế của hai phương trình đầu của công thức (5.15), ta sẽ được:

Ju + Jv = Jx + Jy = const nghĩa là: tổng các mômen quán tính đối với hai trục vuông góc đi qua một điểm luôn luôn là hằng số Ta gọi lượng đó là lượng bất biến của mômen quán tính

Như ta đã định nghĩa ở trên, hệ trục uov là hệ trục quán tính chính nếu mômen quán tính ly tâm Juv của diện tích F đối với hệ trục đó là bằng không Vậy vị trí của hệ trục quán tính chính được xác định từ phương trình thứ ba trong công thức (5.15) là:

J uv J x − y α+ xy α Rút ra: y x xy

Chú ý đến các công thức biến đổi lượng giác: α ± + α α + ± α α 1 tg 2

Thay trị số tg2α được tính từ công thức (5.16) vào các phương trình đầu của công thức (6-15) ta sẽ được các trị số mômen quán tính đối với trục quán tính chính là:

Các trị số mômen quán tính đó là cực trị vì đạo hàm của Ju theo α là:

Về phương diện toán học, tương quan giữa

Ju, Juv và Jx, Jy, Jxy được biểu diễn bởi các công thức (5-15) hoàn toàn tương tự như tương quan giữa σu, τuv và σx, σy, τxy mà ta đã thiết lập được ở chương 3 Vì vậy, ta cũng nhận thấy rằng nếu dùng một hệ trục toạ độ với trục hoành biểu diễn cho trị số của Ju và trục tung biểu diễn cho trị số của Juv thì quan hệ giữa Ju và Juv được biểu diễn bởi một vòng tròn Vòng tròn đó được gọi là vòng tròn Mo quán tính (hình 5-12)

Trình tự xác định vòng tròn đó hoàn toàn giống như trình tự xác định vòng tròn

- Tâm C của vòng tròn là điểm giữa của các điểm có hoành độ Jx và Jy

- Điểm gốc D có toạ độ là Jx, Jxy

- Điểm cực P có toạ độ là Jy, Jxy

Nếu từ P ta vạch một đường cát tuyến bất kỳ PM tạo với PD một góc α thì toạ độ

M biểu diễn trị số mômen quán tính của hình phẳng F đối với hệ trục uov (vị trí của xoy sau khi đã xoay đi một góc α)

Phương của các trục quán tính chính là các đường PA và PB

Từ hình vẽ ta cũng xác định được các công thức: min x xy 2 y max xy

Trong đó α1 và α2 là các góc lập bởi các phương chính và PD Ta cũng tìm lại được các công thức của Jmax và Jmin hoàn toàn giống như công thức (5.17)

Ví d ụ 5-1 : Xác định các mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích nửa hình tròn có bán kính R (hình 5-

Xác định hệ trục toạ độ ban đầu xoy như hình vẽ trong đó oy là trục đối xứng của nửa hình tròn

Mômen quán tính của nửa hình tròn đối với các trục ox, oy là bằng một nửa mômen quán tính của cả hình tròn đối với các trục đó Vậy ta có:

Trục y là trục đối xứng vậy trọng tâm C phải nằm trên trục đối xứng đó Tung độ yc được xác định theo công thức:

Vì vậy, trước hết ta phải xác định mômen tĩnh của nửa hình tròn đối với trục x

Chọn phân tố diện tích dF là một dải song song với trục x có bề dầy dy và bề rộng by dF = by dy (3) Để tính toán được dễ dàng, ta đổi biến số y theo biến số góc ϕ, (ϕ được xác định như trên hình vẽ) Tương quan giữa y và ϕ là: y = Rsinϕ (4)

Lấy vi phân hai vế ta có: dy = Rcosϕdϕ (5)

Chiều rộng by được xác định theo ϕ là: by = 2Rcosϕ (6)

S Đem các biểu thức (5), (6) thay vào cho (3) rồi thay vào đây, ta có: π ∫ ϕ ϕ ϕ ϕ

Sau khi tính tích phân đó, ta được:

Diện tích của nửa hình tròn là:

Thay (7) và (8) vào (2) ta được:

Từ C ta vạch đường thẳng Cx' vuông góc với trục y Hệ trục x'Cy là hệ trục quán tính chính trung tâm Với công thức chuyển trục song song, ta dễ dàng xác định mômen quán tính của diện tích đối với trục Cx' như sau:

Ví d ụ 5-2 : Xét một hình phẳng gồm hai thép định hình ghép với nhau như hình vẽ (hình 5-14); thép chữ

[có số hiệu là N o 20a và thép góc đều cạnh có số hiệu là N 0 8 (80×80×9) Xác định các mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt

Tra bảng, ta có các số liệu đặc trưng hình học của các mặt cắt ngang của các thép hình như sau: Đối với thép chữ [ số hiệu 20a (hình I): h = 20 cm Jx = 1660 cm 4 b1 = 8 cm Jy = 137 cm 4 z1 = 2,27 cm F = 25 cm 2 Đối với thép góc đều cạnh N 0 8 (hình II): b2 = 8 cm Jx2 = Jy2 = 57 cm 4 z2 = 2,19 cm Jxo = Jmax = 90,4 cm 4

1 Xác định trọng tâm của mặt cắt : Đánh số các mặt cắt như hình vẽ và chọn hệ trục toạ độ ban đầu là hệ trục x1y1 đi qua trọng tâm o1 của thép hình chữ [ Mômen tĩnh của toàn hình đối với hệ trục này là:

Toạ độ trọng tâm của mắt cắt ngang đối với hệ trục x1y1 là: m 10 21 ,

Xác định hệ trục trung tâm oxy song song với hệ trục x1y1 (hình 5-14) Toạ độ của các trọng tâm o1, o2 của các thép chữ [ và thép góc không đều cạnh đối với hệ trục toạ độ mới này là: x x 1 h y 1 y 2 x 2 x 0 y 0 o 1 o 2 o z 2 b 2 b 1 z 1

2 Tính các trị số mômen quán tính đối với hệ trục trung tâm xoy

+ Để tính được mômen quán tính ly tâm, trước tiên ta phải tính mômen quán tính ly tâm của thép góc đều cạnh đối với hệ trục x2o2y2 Mặt cắt của thép góc đó được biểu diễn như trên hình 5-15

Hệ trục xoyo là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt Ta lấy hệ trục đó làm hệ trục ban đầu và xoay đến hệ trục x2y2 Với công thức (5.15) ta có: α +

J x 2 y 2 J xo yo xoyo trong đó: Jxoyo = 0 sin2α = sin(90 0 ) = + 1 Vậy:

Mômen quán tính ly tâm của toàn hình đối với hệ trục trung tâm xoy là:

3 Xác định phương chính và hệ trục quán tính chính trung tâm:

Giải phương trình đó, ta có: α1 = - 8 o 36' và α2 = 81 o 24'

4 Tính trị số của các mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm: o1 o2 y 2 x 2 x 0 y 0 o 2 45 0

XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG

Khái niệm về thanh tròn chịu xoắn

Thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại một thành phần nội lực là mô men xoắn quay quanh trục thanh, ký hiệu là MZ (hình 6-1a)

Dấu của MZ được qui ước: Nhìn vào mặt cắt thấy mô men xoắn quay thuận chiều kim đồng hồ thì được coi là dương (MZ > 0), ngược lại là âm (MZ < 0) (hình 6-1b)

Ngoại lực gây xoắn là những mô men (tập trung hay phân bố) hoặc ngẫu lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh Trong thực tế, ta thường gặp thanh chịu xoắn như: Trục truyền chuyển động quay, trục động cơ, trục máy bơm, trục tua-bin, mũi khoan, thanh chịu lực không gian v.v…

6.1.2 Biểu đồ nội lực mô men xoắn

Cũng như thanh chịu kéo, nén đúng tâm, để vẽ biểu đồ nội lực thanh chịu xoắn, ta chia thanh thành các đoạn Việc chia đoạn chỉ phụ thuộc vào sự thay đổi của tải trọng tác dụng Trong mỗi đoạn, dùng phương pháp mặt cắt và viết phương trình cân bằng mô men quay quanh trục thanh cho toàn bộ ngoại lực và nội lực về một phía của mặt cắt, ta sẽ có biểu thức nội lực MZ cho mỗi đoạn Vẽ đồ thị biểu diễn quan hệ MZ với toạ độ mặt cắt z được biểu đồ nội lực mô men xoắn MZ Để hiểu được các bước tính toán, ta xét một ví dụ cụ thể sau đây

Ví d ụ 6-1 : Cho thanh AE có kích thước và chịu tác dụng của tải trọng như hình 6-

Bỏ qua lực ma sát trong hai ổ đỡ thì mô men phản lực quay quanh trục z tại B và D’ bằng không Chia thanh thành 4 đoạn (AB, BC, CD và DE) và lần lượt dùng phương pháp mặt cắt cho các đoạn thanh:

- Đoạn AB : Thực hiện mặt cắt 1-1, chọn A làm gốc, 0 ≤ z ≤ 0,5m, xét phần trái: z

- Đoạn BC : mặt cắt 2-2, chọn A làm gốc, 0,5 ≤ z ≤ 1,5m, xét phần trái:

- Đoạn CD : mặt cắt 3-3, xét phần phải:

Từ các biểu thức trên ta vẽ được biểu đồ mô men xoắn nội lực của thanh như hình 6-2c

Trong thực tế, đối với các trục truyền lực, mô men xoắn ngoại lực được tính toán thông qua công suất truyền động W và số vòng quay của trục n (vòng/phút): n

M= (Nm), W cho bằng mã lực

Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn

Xét một thanh tròn chịu xoắn, trước khi chịu lực, kẻ lên bề mặt thanh những đường thẳng song song với trục thanh và những đường tròn vuông góc với trục thanh tạo thành lưới ô vuông như hình 6-3a Quan sát thanh sau khi biến dạng (hình 6-3b), ta nhận thấy:

- Các đường thẳng song song với trục thanh trở thành các đường xoắn ốc

- Các đường tròn vẫn tròn và vuông góc với trục thanh Khoảng cách giữa các đường tròn không thay đổi

Từ thí nghiệm ta đưa ra một số giả thiết

6.2.2 Các giả thiết: a) Giả thiết về mặt cắt ngang: Trước và sau biến dạng mặt cắt ngang vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh Khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi b) Giả thiết về bán kính: Trước và sau biến dạng bán kính của mặt cắt ngang vẫn thẳng và có độ dài không đổi

6.2.3 Ứng suất trên mặt cắt ngang

Từ hai giả thiết trên, ta thấy trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn không có ứng suất pháp (vì không có biến dạng dọc theo phương dọc trục và theo phương bán kính), chỉ có thành phần ứng suất tiếp vuông góc với bán kính (vì có biến dạng góc), ký hiệu là τρ Để tính ứng suất tiếp tại một điểm trên mặt cắt, cách tâm một khoảng ρ với MZ đã biết (hình 6-4a), trên thanh tròn chịu xoắn ta tách một mẫu hình trụ bán kính ρ, dài dz như hình 6-4b

Sau biến dạng, điểm A dịch chuyển đến A’, đoạn dz có góc xoắn là dϕ và góc trượt γ Vì góc trượt rất nhỏ nên: dz z dz z M

Theo định luật Húc: dz

Mặt khác, ta có liên hệ giữa τ và MZ : ρ ρ

=∫ dF ∫ G d dz dF G d dz ∫ dF G d dz J

Gọi θ là góc xoắn tỷ đối

Thay (6.2) vào (b) ta có công thức tính ứng suất tiếp: ρ τ ρ ρ J

Trong đó: τ ρ : Ứng suất tiếp tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt cách tâm một đoạn ρ

MZ : Giá trị mô men xoắn tại mặt cắt tính toán

Biểu đồ ứng suất tiếp τ ρ phân bố bậc nhất theo bán kính (hình 6-5) Tại những điểm trên chu vi mặt cắt, ứng suất có giá trị lớn nhất: ρ τ W

W ρ = J ρ : là mô đun chống xoắn của mặt cắt

Hình vành khuyên (hình 6-6) : Đặt

Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn

GJ dz d M Z ρ ϕ dϕ : là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau dz, nên góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau đoạn l sẽ là:

Từ đó ta có công thức tổng quát cho thanh chia thành n đoạn:

Mz : Mô men xoắn của đoạn thứ i

J i ρ : Mô men quán tính cực của mặt cắt ngang đoạn thanh thứ i

Nếu M i z và J i ρ trên mỗi đoạn thứ i là hằng số thì:

Ví d ụ 6-2 : Cho thanh tròn có đường kính dCB = 2dAC = 10cm chịu lực như hình 6-

7a Tính ứng suất lớn nhất và góc xoắn của thanh AB với G = 8.10 3 kN/cm 2

- Để vẽ biểu đồ mô men xoắn

MZ, ta chia thanh làm hai đoạn AC và

CB, không cần xác định phản lực tại

B Đoạn AC: mặt cắt 1-1, gốc tại A,

0 ≤ z ≤ 1m, xét cân bằng phần trái :

Mz = +mz z Đoạn CB: mặt cắt 2-2, gốc tại A, 1m ≤ z ≤ 2m, xét cân bằng phần trái :

Mz = +m.1 M 2kNm+ - Biểu đồ MZ như hình 6-7b Từ biểu đồ ta thấy mô men lớn nhất trong mỗi đoạn:

- Ứng suất lớn nhất trong mỗi đoạn:

* Tính góc xoắn tương đối của 2 mặt cắt A và B:

AB AC CB AC CB AC CB

= + = + ∫ ∫ ϕ AB là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt A và B Trong trường hợp này, B không xoay nên ϕAB = 0,0125 (rad) cũng chính là góc xoắn tuyệt đối của mặt cắt A.

Tính thanh tròn chịu xoắn

Tính thanh chịu xoắn trước hết là phải đảm bảo điều kiện bền và sau đó đảm bảo điều kiện cứng

= τ (τ0 được xác định từ thí nghiệm, n là hệ số an toàn): Là ứng suất tiếp cho phép

[τ] cũng có thể xác định từ [σ] theo các thuyết bền:

+ Theo thuyết bền thế năng:

+ Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

Từ điều kiện bền (6.6) ta có 3 bài toán cơ bản:

* Bài toán kiểm tra bền: Cho trước tải trọng tác dụng lên thanh và kích thước mặt cắt ngang thanh, nghiệm lại điều kiện bền xem có thoả mãn hay không ?

* Bài toán chọn tải trọng cho phép: Biết trước các thông số về vật liệu và hình dạng mặt cắt, xác định tải trọng cho phép tác dụng lên công trình

* Bài toán chọn kích thước mặt cắt : Cho trước tải trọng tác dụng lên công trình và các đặc trưng cơ học của vật liệu, xác định kích thước mặt cắt ngang của thanh

Với thanh chịu xoắn, ngoài việc đảm bảo điều kiện bền thanh còn phải đảm bảo điều kiện cứng: Góc xoắn tương đối lớn nhất (θmax) không vượt quá giới hạn xoắn cho phép [θ]:

Nếu [θ] có đơn vị là độ/m ( o /m) thì ta đổi ra Rad/m như sau:

Từ điều kiện cứng (6.7) ta cũng có 3 bài toán cơ bản như điều kiện bền

Ví d ụ 6-3 : Chọn đường kính d cho thanh chịu xoắn như hình 6-8a

- Biểu đồ mô men xoắn có dạng như hình 6-8b

- Từ điều kiện bền, ta có :

- Từ điều kiện cứng, ta có:

Như vậy, để đảm bảo cả điều kiện bền và điều kiện cứng, ta chọn d = 6,2 cm.

Thanh siêu tĩnh chịu xoắn

Cũng như trong chương kéo (nén) đúng tâm, ta gọi thanh siêu tĩnh chịu xoắn khi thanh có “thừa” liên kết Với thanh loại này nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học chưa đủ để xác định được phản lực, nội lực của thanh Vì vậy, cũng giống như chương kéo đúng tâm, muốn tính thanh siêu tĩnh, ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học phải dùng thêm các phương trình bổ sung đó là các điều kiện tương thích về biến dạng Trong phần này ta cũng giới hạn xét thanh mặt cắt tròn Để hiểu các bước tính toán thanh siêu tĩnh chịu xoắn, ta xét một ví dụ sau:

Ví d ụ 6-4 : Vẽ biểu đồ mô men xoắn MZ cho thanh hai đầu ngàm, chịu tác dụng của mô men xoắn ngoại lực M như hình 6-9a Biết độ cứng khi xoắn của thanh là GJ ρ

Có hai phản lực tại A và B mà ta chỉ có một phương trình cân bằng mô men quanh trục z nên không đủ để tìm phản lực và nội lực của thanh Để giải quyết bài toán siêu tĩnh này, ta làm như sau:

- Loại bỏ một liên kết “thừa” tại B (hoặc A), ta được một hệ cơ bản là thanh tĩnh định Để hệ cơ bản tương đương với hệ ban đầu, ta đặt thêm vào hệ cơ bản ẩn phản lực

- Từ điều kiện tương thích về biến dạng: góc xoắn tại B trên hệ cơ bản do M và

MB gây ra phải bằng góc xoắn tại B của hệ siêu tĩnh, tức là bằng không, ta có phương trình bổ sung: ϕ o B (M, MB) = ϕB (M) = 0 (a) Khai triển điều kiện (a) ta có :

Dấu (+) chứng tỏ chiều quay của phản lực MB như chiều giả thiết là đúng

Biểu đồ mô men xoắn MZ có dạng như hình 6-9c.

Tính lò xo hình trụ bước ngắn

6.6.1 Ứng suất trên mặt cắt ngang dây lò xo

Xét lò xo xoắn ốc hình trụ như hình 6-10a, gọi d là đường kính dây và D là đường kính trung bình của vòng lò xo

Khoảng cách giữa hai vòng lò xo được gọi là bước Khi góc nghiêng α của vòng lò xo với trục lò xo lớn hơn 80 0 gọi là lò xo hình trụ bước ngắn Với lò xo bước ngắn, có thể coi một cách gần đúng mỗi vòng lò xo nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục lò xo

Cắt và xét một phần lò xo, ta có mô men xoắn và lực cắt trên tiết diện của dây là (hình 6-10b):

M Z Q = P Ứng suất tiếp do MZ gây ra được tính theo (6.3) có phương vuông góc với bán kính và ứng suất tiếp do Q gây ra được giả thiết phân bố đều trên tiết diện dây (hình 6-

1 Điểm nguy hiểm nhất trong lò xo là điểm có τmax do đồng thời cả Q và MZ gây ra Đó là điểm trên chu vi, ở mép trong của vòng lò xo vì tại đó τ 1 và τ 2 cùng phương và chiều:

6.6.2 Độ cứng của lò xo Độ co dãn λ của lò xo được xác định từ nguyên lý bảo toàn năng lượng và cho kết quả như sau:

C= Gd (Lực/ chiều dài): gọi là độ cứng của lò xo (6.11) n : là số vòng lò xo

Nếu biết C, ta tính được chuyển vị của lò xo theo (6.10) Muốn lò xo mềm, dễ biến dạng, ta cần giảm độ cứng C bằng cách giảm đường kính d của dây hoặc tăng số vòng n hay đường kính D của lò xo.

Xoắn thanh mặt cắt chữ nhật

Ta tiến hành thí nghiệm như với thanh mặt cắt tròn: Trên mặt ngoài của thanh, kẻ những đường song song và vuông góc với trục thanh

Sau biến dạng trục thanh vẫn thẳng nhưng các đường kẻ đều bị cong đi và giả thiết mặt cắt ngang phẳng không còn đúng nữa

Vì vậy, bài toán xoắn của thanh mặt cắt chữ nhật được giải quyết theo lý thuyết đàn hồi Theo kết quả của lý thuyết này, biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt b×h

(với h>b) có dạng như hình 6-12

Tại trọng tâm tiết diện, ứng suất tiếp bằng không, tại trung điểm cạnh dài h, ứng suất tiếp đạt trị số lớn nhất: h

Tại trung điểm cạnh ngắn b, ứng suất tiếp đạt trị số khá lớn: τ1 = γτmax (6.13)

Góc xoắn tương đối của thanh:

Trong các công thức trên α, β, γ là các hệ số phụ thuộc vào tỷ số b h(qui định h > b) Giá trị của chúng được cho trong bảng 6-1

BÀI TẬP 6.1 Vẽ biểu đồ mô men xoắn, tính ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn tương đối giữa hai đầu thanh (hình 6-1B) Cho G = 8.10 6 N/cm 2 , đường kính mặt cắt thanh d |m

6.2 Vẽ biểu đồ mô men xoắn và biểu đồ góc xoắn của thanh cho trên hình 6-2B

6.3 Tính ứng suất tiếp lớn nhất ở các đoạn thanh và góc xoắn tại đầu tự do của thanh

6.4 Tính ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn tại các mặt cắt A và B của thanh cho trên hình 6-4B Cho G = 8.10 6 N/cm 2

6.5 Xác định giá trị của mô men phân bố m để trục cân bằng Vẽ biểu đồ mô men xoắn, tính ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn giữa hai đầu trục Cho G = 8.10 6 N/cm 2 (hình 6-5B)

6.6 Kiểm tra độ bền và độ cứng của trục tròn có đường kính d = 6cm, [τ] 2000N/cm 2 , [θ] = 0,4 0 /m, G =8.10 6 N/cm 2 Bánh A là bánh chủ động, n

0vòng/phút, công suất của bánh lái ghi trên hình 6-6B

6.7 Một trục tròn rỗng có tỉ số hai đường kính d/D = 0,5 chịu xoắn bởi ngẫu lực M = 57,267kNm a) Xác định đường kính ngoài của trục, biết [τ] = 3000N/cm 2 b) Kiểm tra độ cứng của trục, biết [θ]=1 0 /m, G = 8.10 6 N/cm 2

6.8 Một trục tròn truyền công suất N = 450 mã lực quay với tốc độ n = 300vòng/phút a) Tính đường kính cần thiết của trục để góc xoắn không vượt quá 0,5 0 /m, biết G = 8.10 6 N/cm 2 b) Tính ứng suất tiếp lớn nhất của trục

6.9 Xác định mô men xoắn M tác dụng vào trục, nếu bằng cảm biến điện trở ta đo được biến dạng tương đối theo phương xiên góc 45 0 đối với đường sinh là: εA 30.10 -5 , biết E = 2.10 7 N/cm 2 ; μ = 0,3

6.10 Xác định công suất mà trục nhận được và ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang của trục, nếu bằng tenxômét điện trở ta đo được biến dạng của tấm điện trở dán theo phương AB là: ε = 4,25.10 -4 (hình 6-10B) Biết số vòng quay của trục là n 0 vòng/phút, G = 8.10 6 N/cm 2 , D = 40cm, η= d/D = 0,6

6.11 Thanh AB ngàm ở hai đầu Đoạn AC mặt cắt tròn đường kính d, đoạn CB mặt cắt vuông cạnh a nội tiếp hình tròn đường kính d như trên hình 6-11B Xác định khoảng cách zo để mô men Mo = 600N.m tạo ra các mô men phản lực ở hai ngàm bằng nhau

Kiểm tra độ bền của thanh, biết [τ] = 4500N/cm 2 , d = 4cm

6.12 Xác định mô men cho phép [M], biết [τ] = 4500N/cm 2 (hình 6-12B)

6.13 Vẽ biểu đồ mô men xoắn của thanh chịu lực như hình 6-13B Biết M N.m, d1cm, d2 = 10cm

6.14 Một trục chịu tác dụng của các mô men xoắn như hình 6-14B Xác định đường kính d của trục nếu n = 720 vòng/phút, [τ] = 30MN/m 2

Nếu sắp xếp lại các mô men hợp lý thì đường kính của trục giảm bao nhiêu % so với trường hợp trên?

6.15 Trên một đoạn dài 5m của một trục tuabin, người ta đo được góc xoắn tương đối giữa 2 mặt cắt là 1 độ Trục rỗng có đường kính ngoài 25cm, đường kính trong 17cm, trục quay với tốc độ n = 250 vòng/phút a) Xác định công suất của tua bin b) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang

6.16 Một trục động cơ truyền công suất W = 7 kW, quay với tốc độ n = 120vòng/phút a) Hãy xác định đường kính của thanh để góc xoắn giữa hai mặt cắt cách nhau một khoảng bằng 30 lần đường kính của trục không vượt quá 1 0 b) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất phát sinh trong trục

6.17 Trên trục truyền lực có một đoạn ngắn mặt cắt vuông cạnh a Trục truyền công suất W = 20 kW với tốc độ n = 120 vòng/phút Xác định kích thước mặt cắt vuông theo điều kiện bền, biết [τ] = 5 MN/m 2

6.18 Cho thanh chịu lực như trên hình 6-18B Biết G=8.10 6 N/cm 2 Yêu cầu :

1) Vẽ biểu đồ nội lực của thanh

2) Tính ứng suất tiếp lớn nhất trong các đoạn thanh

3) Tính góc xoắn của mặt cắt E

6.19 Để xác định công suất của một trục quay người ta dán một tấm điện trở ( Đattric)trên trục thanh và nghiêng 45 0 so với phương của trục như trên hình 6-19B, đo được biến dạng ε=4,25.10 − 4 Biết số vòng quay của trục là n = 120 v/ph, G 8.10 6 N/cm 2 , Trục có D = 40cm, 0,6.

D d η Hãy xác định công suất của trục

6.20 Bộ phận gối đỡ dầm cầu trục có cấu tạo như trên hình 6-20B Các đinh bu lông có đường kính d = 20 mm và [ ]τ `00N/cm 2 Yêu cầu xác định tải trọng P có thể tác dụng lên gối

6.21 Một lò xo hình trụ bước ngắn chịu lực nén P kN như trên hình 6-21B Đường kính dây lò xo d = 26 mm, còn đường kính trung bình của lò xo D = 150 mm

2,8cm 2,8cm 1,22kN 0,36kN 0,57kN

10 Biết rằng khi chịu tải khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 vòng dây là t0 = 3 mm Yêu cầu: Kiểm tra bền cho lò xo và xác định chiều cao h0 của lò xo khi nó không chịu lực

6.22 Cho hệ chịu lực như trên hình 6-22B Biết P = 2 kN; G = 8,5.10 6 N/cm 2 ; các lò xo có: R1 = 30 mm, r1 = 4 mm, n1 = 8; h1 = 80 mm; R2 = 40 mm, r2 = 5 mm, n2 = 5; h2

= 90 mm Đĩa C coi như cứng tuyệt đối Yêu cầu :

1) Khảo sát sự phân phối của P cho 2 lò xo: P1, P2 =?

2) Xác định chuyển vị của điểm C

6.23 Cho hệ chịu lực như trên hình 6-23B Biết M = 2000 Nm Trục thép có

[ ]τT =1.10 4 N/cm 2 , dT = 5 cm Lò xo có [ ]τ LX =2,5.10 4 N/cm 2 , D = 6 cm, d = 1 cm, n

8 Yêu cầu Kiểm tra bền cho trục và lò xo d

6.24 Ống CBE rỗng có đường kính ngoài D, đường kính trong d ngàm tại C như trên hình 6-24B Một thanh tròn đặc AEB có đường kính d0 = D/2 = d/16 được lồng vào trong ống BCE Thanh này được hàn chặt vào ống tại E và B Hệ chịu 2 mmô men xoắn tập trung như trên hình vẽ Yêu cầu :

1) Vẽ Biểu đồ nội lực của hệ Xác định ứng suất tiếp lớn nhất trong thanh và trong ống

2) Xác định góc xoắn tại A Biết cả thanh và ống đều có cùng G

UỐN PHẲNG

Khái niệm về dầm chịu uốn phẳng

Trong các công trình xây dựng ta thường gặp các kết cấu thanh chịu tác dụng của các lực có phương vuông góc với trục của chúng Dưới tác dụng của các lực này ta thấy trục của thanh bị uốn cong Các thanh thẳng chủ yếu chịu uốn được gọi là dầm, chẳng hạn như dầm cầu giao thông, dầm cầu trục trong các trạm bơm, dầm trong các nhà dân dụng và công nghiệp,v v

Xét một dầm chịu uốn với qui ước z là trục của thanh, hệ trục xoy có trục y là trục đối xứng- là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang (hình 7-1a) Nếu mặt phẳng chứa tải trọng trùng với mặt phẳng đối xứng yoz của dầm thì trong trường hợp này trên các mặt cắt ngang của dầm chỉ tồn tại hai thành phần nội lực là lực cắt Qy và mô men uốn Mx cùng nằm trong mặt phẳng đối xứng yoz của dầm Ta gọi đây là dầm chịu uốn phẳng hay chịu uốn ngang phẳng (hình 7-1b) Trường hợp nếu trên các mặt cắt ngang của dầm chỉ tồn tại một thành phần nội lực là mô men uốn Mx, ta gọi đây là dầm chịu uốn thuần túy phẳng (hình 7-1c)

Các dầm thường được nối với đất bởi các liên kết có dạng các gối tựa hoặc các ngàm như đã mô tả trong chương 1, dưới đây chỉ nhắc lại các liên kết và các phản lực liên kết hay gặp đối với các dầm chịu uốn Trên hình 7-2a,b mô tả một gối tựa cố định và các thành phần phản lực gối tựa tương ứng

Trên hình 7-3a,b mô tả sơ đồ thực một gối tựa di động và thành phần phản lực gối

Trên hình 7-4a,b mô tả một liên kết ngàmvà 3 thành phần phản lực tương ứng

Các loại dầm đơn giản gặp trong thực tế là dầm hình thành từ một thanh thẳng đặt trên 2 gối tựa (một gối cố định và một gối di động), hoặc một thanh thẳng có một đầu được ngàm chặt như đã mô tả trên hình 7-5 Dễ dàng nhận thấy rằng ở các dầm đơn giản nói trên số thành phần phản lực của mỗi dầm là không vượt quá 3, do vậy chúng sẽ được xác định từ 3 phương trình cân bằng tĩnh học từ hệ lực phẳng bất kỳ Ta thường gọi các dầm đơn giản nói trên là dầm tĩnh định.

Nội lực và biểu đồ nội lực trong dầm chịu uốn phẳng

7.2.1 Phương pháp xác định các thành phần nội lực M x và Q y

Như đã nói ở trên, trong dầm chịu uốn phẳng thì trên các mặt cắt ngang của dầm chỉ tồn tại 2 thành phần nội lực là lực cắt

Qy và mô men uốn Mx Để xác định các thành phần nội lực này ta dùng phương pháp mặt cắt quen thuộc đã trình bày ở chương 1 Dưới đây trình bày tóm tắt nội dung phương pháp mặt cắt để xác định nội lực trong dầm chịu uốn phẳng: Xét dầm chịu uốn trên hình 7-6a, lực tác dụng lên dầm bao gồm tải trọng và các phản lực liên kết (gọi chung là ngoại lực) Các thành phần phản lực liên kết VA, VB phụ thuộc vào các tải trọng đặt trên dầm và được xác định từ các phương trình cân bằng tĩnh học

Giả sử cần xác định nội lực tại mặt cắt bất kỳ trong dầm đã cho ta tưởng tượng dùng một mặt cắt phẳng bất kỳ m-n đi qua điểm cần xác định nội lực và chia dầm làm

2 phần riêng biệt (phần trái và phần phải) Hãy xét cân bằng của một phần, chẳng hạn

A B l z z xét phần trái (hình 7-6b), hoặc xét phần phải (hình 7-6c) Lúc này ta phải thay thế phần bị loại bỏ bằng lực tương hỗ của nó lên phần đang xét, đó chính là các thành phần nội lực Qy và Mx cần phải xác định Ta qui ước dấu các thành phần nội lực như sau:

+ Mô men uốn Mx sẽ mang dấu dương nếu nó làm căng các thớ dưới của dầm (hình 7-6 b,c) và ngược lại

+ Lực cắt Qy sẽ mang dấu dương nếu quay pháp tuyến ngoài của mặt cắt đến mũi tên của lực cắt Qy một góc 90 o theo chiều kim đồng hồ (hình 7-6b,c) (hoặc Qy làm cho phần xét quay theo chiều kim đồng hồ) và ngược lại Để xác định lực cắt Qy ta dùng phương trình tổng hình chiếu lên phương phương y của các thành phần nội lực (Qy và Mx) và tất cả các ngoại lực (ký hiệu chung là Pi) tác động lên phần đang xét (PX) phải bằng không:

∑ (7.1) Để xác định mô men uốn Mx ta dùng phương trình tổng mô men đối với trọng tâm O của mặt cắt đang xét của các thành phần nội lực (Qy và Mx) và tất cả các ngoại lực ( Pi ) tác động lên phần đang xét phải bằng không:

Từ các phương trình cân bằng (7-1) và (7-2) ta rút ra được các biểu thức của lực cắt Qy và mô men uốn Mx là các hàm số phụ thuộc vào toạ độ z

Như trên đã nói, các nội lực Qy, Mx đều là hàm số của toạ độ z của mặt cắt Để thể hiện rõ sự biến thiên của các nội lực này theo toạ độ mặt cắt ta tiến hành vẽ đồ thị của các hàm số này theo z , các đồ thị này được gọi là biểu đồ nội lực Để vẽ biểu đồ nội lực ta tiến hành theo các bước như sau:

1) Xác định phản lực (nếu cần) Phản lực cũng được coi là ngoại lực, song khi vẽ biểu đồ nội lực có trường hợp cần phải xác định phản lực, cũng có trường hợp không cần xác định phản lực Trường hợp nào cần, trường hợp nào không cần sẽ được làm rõ trong phần ví dụ ở dưới

2) Chia đoạn: Cơ sở của việc chia đoạn là dựa vào sự biến đổi của ngoại lực Phần này cũng được giải thích kỹ trong phần ví dụ ở dưới

3) Xét từng đoạn: Mỗi đoạn ta dùng phương pháp mặt cắt để viết được các quan hệ giữa các nội lực Qy và Mx với toạ độ z của mặt cắt, tức là ta đã viết: m n z l

4) Vẽ đồ thị của các hàm số (*) đó chính là các biểu đồ nội lực

Các quy ước về vẽ biểu đồ nội lực xem mục 7.2.3 phần các ví dụ

Dưới đây trình bày một số ví dụ tính toán và vẽ các biểu đồ nội lực trong các dầm đơn giản thường gặp trong thực tế

Ví d ụ 7-1: Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn cho dầm đơn giản 2 đầu là gối tựa, chịu tải trọng phân bố đều như trên hình 7-7a

Bài giải: Đối với các dầm đơn giản này để tiến hành tính toán nội lực và vẽ biểu đồ nội lực, trước hết ta phải xác định phản lực tại các gối tựa A và B bởi vì khi dùng phương pháp mặt cắt dù ta bỏ phần nào và xét phần nào cũng tồn tại phản lực Chú ý rằng đối với dầm chịu uốn phẳng, do tải trọng luôn có phương vuông góc với trục dầm (phương thẳng đứng) nên không tồn tại thành phần phản lực ngang tại gối cố định A (tức HA ≡

0) Như vậy trong dầm chỉ có 2 thành phần phản lực theo phương thẳng đứng tại A và

B (ký hiệu là VA,VB và giả thiết chiều hướng lên phía trên), chúng sẽ được xác định từ

2 phương trình cân bằng tĩnh học đối với hệ lực phẳng song song đã biết, chẳng hạn :

+ Phản lực VB được xác từ phương trình cân bằng tổng mô men đối với khớp A của các phản lực VA, VB và tất cả các tải trọng trên dầm (Pi) phải bằng không:

Ta có : V 0 q 2+ B − ll l ; giải ra

V B =+ql (dấu + chứng tỏ chiều VB đã giả thiết là đúng)

+ Phản lực VA có thể được xác định từ phương trình tổng mô men của tất cả các lực của phần xét đối với điểm B bằng không:

V A =+ql(dấu+chứng tỏ chiều VA đã giả thiết là đúng)

* Khi tính các phản lực liên kết cần hết sức thận trọng để tránh được các sai sót về trị số và chiều của phản lực, bởi lẽ nếu sai phản lực kéo theo sai toàn bộ các kết quả tính toán bước tiếp theo Để đảm bảo chắc chắn phản lực đã tính là đúng nên chăng phải tính toán thận trọng và tự kiểm tra lại từng kết quả tính toán theo thứ tự từ trên xuống dưới, hoặc sử dụng thêm một phương trình cân bằng khác, chẳng hạn phương trình:

Nếu phương trình này thoả mãn chứng tỏ kết quả phản lực đã tính là đúng, ngược lại nếu không thoả mãn chứng tỏ kết quả kết quả phản lực đã tính là sai Thông thường ta chỉ dùng phương trình (7.5) làm phương trình kiểm tra mà không dùng làm phương trình để xác định VA vì rằng nếu sử dụng phương trình này để xác định VA thì khi ta xác định VB sai sẽ kéo theo VA cũng sẽ sai, còn nếu dùng phương trình (7.4) thì dù có xác định VB sai vẫn có thể xác định được VA đúng

* Trong trường hợp tải trọng là phức tạp ta chưa khẳng định được chiều của các phản lực gối tựa, lúc này ta cần giả định trước chiều của các phản lực gối tựa rồi xác định chúng từ các phương trình cân bằng tĩnh học Nếu kết quả phản lực mang dấu dương thì chiều đã giả định ở trên là đúng, còn nếu mang dấu âm có nghĩa là phản lực sẽ có chiều ngược với chiều đã giả định

+ Để xác định các thành phần nội lực Q y và Mx trước hết ta phải chia dầm thành các đoạn tùy thuộc vào sự biến đổi của ngoại lực Trong trường hợp này suốt trên dầm ngoại lực không thay đổi nên ta chỉ chia dầm thành một đoạn Sử dụng phương pháp mặt cắt đã quen biết Tưởng tượng dùng mặt cắt m-n cách gối A một đoạn là z, chia dầm làm 2 phần riêng biệt Xét một phần nào đó, chẳng hạn phần bên trái Đặt các thành phần nội lực Qy và Mx vào mặt cắt đang xét với chiều qui ước là dương như đã nói ở trên Dùng các phương trình cân bằng (7.1) và (7.2) ta lập được các biểu thức của nội lực tại mặt cắt bất kỳ trong đoạn thanh đang xét như sau:

• Từ phương trình (7.1) ta có :

• Từ phương trình (7.2) ta có :

Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng

7.3.1 Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang

Xét một dầm chịu uốn thuần tuý phẳng, trên các mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần nội lực là mô men uốn Mx như trên hình 7-12a Bây giờ hãy phân tích để tìm ra qui luật phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang, từ đó giúp ta kiểm tra độ bền của dầm hoặc biết cách thiết kế các dầm chịu uốn đảm bảo được độ bền vững lâu dài Quá trình phân tích ứng suất được tiến hành qua các bước sau đây:

Bước 1: Quan sát thực nghiệm

• Trước khi tiến hành thực nghiệm uốn ta kẻ lên bề mặt ngoài của dầm các đường thẳng song song với trục của dầm - chúng tượng trưng cho các thớ dọc của dầm; kẻ lên bề mặt ngoài của dầm các đường thẳng vuông góc với trục của dầm - chúng tượng trưng cho các mặt cắt ngang của dầm (hình 7-12b) Các đường kẻ này tạo thành lưới ô vuông trên bề mặt dầm

• Tiến hành uốn dầm bởi cặp mô men uốn ở 2 đầu và quan sát ta thấy:

- Các đường thẳng vuông góc với trục dầm trong suốt quá trình chịu uốn luôn luôn thẳng và vuông góc với trục của dầm

- Các đường thẳng song song với trục dầm đã bị uốn cong nhưng vẫn còn song song với trục của dầm

- Trong quá trình chịu uốn các góc vuông trên bề mặt dầm vẫn được bảo toàn

Nhờ quan sát thực nghiệm ta có thể nêu ra một số giả thiết giúp ta phân tích ứng suất được đơn giản hơn nhưng vẫn đảm bảo được độ chính xác cần thiết của kết quả

Bước 2: Các giả thiết về uốn thuần tuý phẳng y y x z

Giả thiết về mặt cắt phẳng (Giả thiết Becnuli): Trong quá trình chịu uốn thuần tuý phẳng các mặt cắt ngang của dầm luôn luôn phẳng và vuông góc với trục của dầm đã biến dạng

Giả thiết về các thớ dọc: Trong quá trình chịu uốn thuần tuý phẳng các thớ dọc của dầm không kéo và ép lẫn nhau

Bước 3:Phân tích và thiết lập công thức tính ứng suất

• Phân tích ứng suất trên mặt cắt ngang :

Từ quan sát thực nghiệm ta thấy rằng khi chịu uốn các thớ dọc phía dưới trục thanh đã bị dãn dài ra còn các thớ dọc phía trên trục thanh bị co ngắn lại Do tính chất liên tục của biến dạng và giả thiết mặt cắt phẳng nên chuyển tiếp từ các thớ bị dãn dài ra đến các thớ bị co ngắn lại chắc chắn sẽ có một thớ không bị dãn dài ra và cũng không bị co ngắn lại, ta gọi là thớ trung hoà Tập hợp các thớ trung hoà tạo thành một lớp trung hoà hay mặt trung hoà, giao tuyến của nó với mặt cắt ngang gọi là đường trung hoà hay trục trung hoà (có thể xem gần đúng đường trung hoà là một đường thẳng) Từ giả thiết về các thớ dọc ta nhận thấy rằng trên mặt cắt ngang không có thành phần ứng suất pháp theo phương x và phương y Tại các điểm trên mặt cắt ngang của dầm không có ứng suất tiếp, bởi vì trên mặt cắt ngang không xuất hiện biến dạng góc Tóm lại, tại mọi điểm trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần ứng suất pháp σz Như vậy, nếu tách ra một phân tố hình hộp nhỏ bởi các mặt phẳng song song với các mặt toạ độ xy,yz và zx thì trên phân tố chỉ tồn tại một thành phần ứng suất - đó là ứng suất pháp σz, đây là phân tố thuộc trạng thái ứng suất kéo (nén) đơn đã biết

• Lập công thức tính ứng suất pháp σz :

Bây giờ ta hãy thiết lập công thức tính ứng suất pháp σz tại điểm A bất kỳ trên mặt cắt ngang có toạ độ x,y ( hình 7-13a) Theo định luật Húc trong kéo nén đơn ta có: z z = Eε σ (a) trong đó: E là mô đun đàn hồi của vật liệu làm dầm εz là biến dạng tỉ đối theo phương z tại điểm cần tính ứng suất pháp σz Để tìm εz ta hãy xét một đoạn thanh ngắn có chiều dài dz (hình 7-13a) Theo giả thiết mặt cắt phẳng của Becnuli đã nêu ở trên thì hai mặt cắt ngang của đoạn thanh luôn phẳng và vuông góc với trục thanh, chúng bị xoay đi và tạo với nhau góc dϕ Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hoà và y là khoảng cách từ trục trung hoà đến điểm A đang xét Xét biến dạng của thớ AA chứa điểm cần tính ứng suất pháp σ z x y nxn y kxn σ min

+ Trước biến dạng AA có chiều dài: dz = ρdϕ (bằng thớ OO1 là thớ trung hòa) + Sau biến dạng AA có chiều dài: (ρ+y)dϕ

Thay εz từ (b) vào (a) ta được :

Mặt khác từ mối liên hệ giữa nội lực Mx và ứng suất σz (chương 1) ta có:

Thay σz từ (c) vào (d), biến đổi ta được: x F

Thay (f) vào (c), kết quả ta được công thức tính ứng suát pháp σz như sau:

M x x z = σ (7.10) Để tính được ứng suất pháp σz theo (7.10) ta cần phải biết vị trí trục trung hoà x, từ đó mới xác định được y và Jx Xuất phát từ liên hệ giữa lực dọc Nz và ứng suất pháp σz (xem chương 1) ta có:

Thay σz từ (c) vào (g) và chú ý Nz = 0 ta được:

(E, ρ là hằng số khác không đối với mặt cắt)

Biểu thức Sx = 0 chứng tỏ trục trung hoà x là một trục trung tâm của mặt cắt , hơn nữa khi trục y đã là một trục đối xứng của mặt cắt, nên trục trung hoà x sẽ là trục quán tính chính trung tâm thứ 2 của mặt cắt ngang đang xét

7.3.2 Biểu đồ ứng suất pháp σ z

Nhìn vào công thức (7.10) ta thấy ứng suất pháp σ z là hàm bậc nhất theo toạ độ y và không phụ thuộc vào toạ độ x, có nghĩa ứng suất pháp phân bố đều theo bề ngang của mặt cắt và thay đổi bậc nhất dọc theo chiều cao của mặt cắt ngang

Như vậy biểu đồ ứng suất pháp phẳng là một đường bậc nhất dọc theo chiều cao của mặt cắt, trong đó tại điểm trên trục trung hoà x ứng suất pháp có trị số bằng không, còn tại các điểm biên dưới và biên trên ứng suất pháp có trị số tuyệt đối là lớn nhất- dấu của ứng suất pháp phụ thuộc vào chiều (hay dấu) của mô men uốn Mx Nếu Mx gây ra căng mặt phía dưới của dầm (hay Mx>0) thì:

+ Các điểm biên dưới với y=y k xn sẽ có ứng suất pháp kéo lớn nhất σ z =σ k max là: x k x k xn x x k xn x max x

+ Các điểm biên trên với y= y n xn sẽ có ứng suất pháp nén lớn nhất σ z =σ n max là: x n x n xn x x n xn x min x

W = J = (7.13) n xn k xn , y y là tung độ xa nhất của các điểm của vùng kéo và vùng nén

Ta gọi W x k , W x n đựơc gọi là các mô đun chống uốn kéo và mô đun chống uốn nén của mặt cắt ngang Nếu mặt cắt có y k xn = y n xn thì W x k = W x n =Wx và được gọi chung là mô đun chống uốn của mặt cắt ngang Khi trị số của các mô đun chống uốn càng tăng bao nhiêu thì trị số ứng suất pháp lớn nhất trên mặt cắt càng giảm đi bấy nhiêu và do đó độ bền chống uốn của mặt cắt tăng lên bấy nhiêu lần

Dưới đây là công thức tính Wx cho một số mặt cắt thường gặp:

• Mặt cắt chữ nhật (kích thước b x h)

W J 2 xn x x = • Mặt cắt tròn (đường kính D)

• Mặt cắt hình vành khăn (bán kính trong r, bán kính ngoài R)

7.3.3 Kiểm tra bền cho dầm chịu uốn thuần tuý phẳng

Như đã phân tích ở trên ta thấy mọi điểm trong dầm chịu uốn thuần tuý phẳng đều làm việc trong trạng thái ứng suất kéo đơn hoặc nén đơn Trên mặt cắt ngang chỉ xuất hiện ứng suất kéo và ứng suất nén Ứng suất pháp σz tại những điểm nằm ở biên dưới (hoặc biên trên) của mỗi mặt cắt sẽ có giá trị lớn nhất Ta coi đây là các điểm nguy hiểm của mỗi mặt cắt Để đảm bảo độ bền cho dầm ta cần tìm ra được các mặt cắt nguy hiểm của dầm, đó là các mặt cắt chứa điểm có ứng suất kéo lớn nhất k maxσzvà ứng suất nén lớn nhất maxσ n z trong toàn dầm Do vậy điều kiện bền của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng được viết:

• [σ]k và[σ]n gọi là ứng suất kéo cho phép và ứng suất nén cho phép của vật liệu làm dầm, chúng được xác định từ thực nghiệm hoặc tra theo bảng đã có sẵn

• Ứng suất kéo lớn nhất max σ max và ứng suất nén lớn nhất max σ min trong toàn dầm xuất hiện tại mặt cắt có trị số mô men uốn là lớn nhất max M x hoặc Mx tương đối lớn, ứng suất kéo lớn nhất (max σ max) xuất hiện tại các điểm biên dưới và (max σ min) xuất hiện tại các điểm xa trục trung hòa nhất

Khi dầm làm bằng vật liệu dẻo thì ta có:

[ ] [ ] [ ] σ k = σ n = σ Trường hợp này chỉ cần kiểm tra:

* Chú ý : Từ các điều kiện bền (7.14) và (7.15) ta rút ra 3 bài toán sau đây:

Cho trước sơ đồ dầm, tải trọng và vật liệu làm dầm ([σ]k, [σ]n hoặc [σ]) Tiến hành giải bài toán để tìm ra max σ max , max σ min rồi so sánh chúng với các ứng suất cho phép ở vế phải Nếu bất đẳng thức (7.14) hoặc (7.15) thoả mãn thì kết luận dầm đủ độ bền, ngược lại dầm không đủ độ bền

• Bài toán ch ọ n kích th ướ c m ặ t c ắ t (bài toán thiết kế)

Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng

Xét một dầm chịu uốn ngang phẳng (gọi tắt là uốn phẳng), trên mặt cắt ngang của dầm tồn tại đồng thời lực cắt Qy và mô men uốn Mx (hình 7-15.a) Trước khi thí nghiệm ta cũng kẻ lên bề mặt ngoài của dầm các đoạn thẳng song song và vuông góc với trục dầm (hình 7-15.b)

Quan sát thí nghiệm uốn phẳng dầm ta có thể nêu ra các nhận xét sau đây:

- Các đoạn thẳng song song với trục dầm đã bị uốn cong nhưng chúng vẫn song song với trục dầm giống như trường hợp dầm chịu uốn thuần tuý phẳng

- Khác với trường hợp dầm chịu uốn thuần tuý phẳng, ở đây ta thấy các đoạn thẳng vuông góc với trục dầm ban đầu đã bị uốn cong và các góc vuông ban đầu đã bị biến dạng Điều này chứng tỏ trên mặt cắt ngang của dầm đã xuất hiện ứng suất tiếp

Dưới đây ta sẽ nghiên cứu để thiết lập các công thức tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn phẳng

7.4.1 Công thức tính ứng suất pháp

Như đã nhận xét ở trên ta thấy khi dầm chịu uốn phẳng, các mặt cắt ngang của dầm không còn phẳng nữa mà đã bị vênh đi Để thiết lập công thức tính ứng suất pháp σ z trên mặt cắt ngang của dầm, ta không thể dựa vào giả thiết mặt cắt phẳng của Becnuli như đã nêu trong trường hợp dầm chịu uốn thuần tuý phẳng mà phải dựa vào lời giải chính xác của môn học Lý thuyết đàn hồi Tuy nhiên qua so sánh lời giải chính xác của lý thuyết đàn hồi với công thức tính ứng suất pháp trong dầm chịu uốn thuần tuý phẳng (7-10) đã thiết lập ở trên, người ta thấy có sự sai khác là không đáng kể (sự sai khác này nằm trong phạm vi cho phép) Do đó trong thực tế có thể dùng công thức (7-10) để tính ứng suất pháp cho dầm chịu uốn phẳng

7.4.2 Công thức tính ứng suất tiếp (công thức Ju-ráp-xki)

Xét một đoạn dầm dz rất nhỏ được tách ra bởi 2 mắt cắt z và z+dz (hình 7-16a) Các thành phần nội lực tại mắt cắt z là Qy và Mx, còn tại mặt cắt z+dz là Qy (bỏ qua dQy) và Mx+dMx Để tính ứng suất tiếp tại điểm A có toạ độ (x,y) bất kỳ ta tưởng tưởng dùng mặt phẳng đi qua điểm A và song song với mặt phẳng toạ độ xoz chia đoạn thanh dz làm 2 phần Xét cân bằng của một phần đoạn thanh dz chẳng hạn phần phía dưới, ta nhận thấy rằng: trong trường hợp mặt cắt hẹp (mặt cắt có bề rộng b rất bé so với chiều cao h) có thể bỏ qua thành phần ứng suất tiếp theo phương nằm ngang (ký hiệu τzx) và xem gần đúng thành phần ứng suất tiếp theo phương thẳng đứng (ký hiệu τ zy ) phân bố đều theo bề rộng bc của lát cắt trên mặt cắt ngang

Từ phương trình cân bằng chiếu lên phương z ta được:

− c c F phai z F c yz trai z dF b dz dF 0 (a)

Thay σ z trai , σ phai z theo (7.10) vào ( a ) và chú ý tới τzy= τyz ta có:

Biến đổi và rút gọn (b) với chú ý: Jx, Mx và Mx+dMx là các hằng số nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân và liên hệ vi phân x Q y dz dM = ta được công thức tính ứng suất tiếp τzy như sau: c x

Công thức (7-16) mang tên một tác giả người Nga lập ra và được mang tên ông là công thức Ju-ráp-xki Các đại lượng trong công thức (7.16) có ý nghĩa như sau:

- Qy là giá trị của lực cắt tại mắt cắt chứa điểm cần tính ứng suất tiếp

- Jx là mô men quán tính của mặt cắt đối với trục trung hoà x của mặt cắt đó

- bc là chiều dài của lát cắt đi qua điểm cần tính ứng suất tiếp (phương lát cắt song song với trục x )

- S C X là mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hoà x của mặt cắt, và nó được xác định theo công thức sau: c c c x y F

- Fc là diện tích của phần mặt cắt đựơc giới hạn bởi lát cắt và biên dưới (hoặc biên trên) của mặt cắt

- yc là khoảng cách từ trọng tâm diện tích Fc đến trục trung hoà x của mặt cắt

Trong công thức (7.16), do các đại lượng Jx, S C X và bc luôn mang dấu dương nên ứng suất tiếp τ zy luôn cùng dấu với lực cắt Qy Dưới đây chúng ta sẽ ta áp dụng công thức Ju-ráp-xki để vẽ biểu đồ ứng suất tiếp cho một số mặt cắt thường gặp:

• Mặt cắt chữ nhật có các cạnh b và h (hình 7-17a): τ yz τ zy

Chú ý rằng khi ta cắt lát cắt song song với trục x chia mặt cắt thành 2 phần: Phần có gạch chéo ta gọi là phần 1 và phần trắng gọi là phần 2(hình7-17a) Đối với toàn hình ta có: S x = S 1 x + S 2 x = 0 vì trục x là trục trung tâm của mặt cắt Do đó S 1 x = S 2 x Nhưng trong công thức (7.16) Sx cỉ lấy giá trịtuyệt đối nên ta có thể tính Sx phần nào cũng được

Thay Jx, S c x và bc ở trên vào (7.16) và rút gọn ta có biểu thức tính ứng suất tiếp cho mặt cắt hình chữ nhật như sau:

Từ (7.18) ta thấy ứng suất tiếp τzy phân bố theo luật parabol bậc 2 dọc theo chiều cao của mặt cắt chữ nhật Tại các điểm thuộc biên dưới và biên trên của mặt cắt có 2 y=±h thì giá trị ứng suất tiếp τzy = 0 ; còn tại các điểm nằm trên trục trung hoà x có y

= 0 thì ứng suất tiếp τ zy đạt giá trị cực đại

= 3 τ max y (trong đó F là diện tích mặt cắt ngang)

• Mặt cắt tròn bán kính R (hình 7-17b ):

Thay vào (7.16) và rút gọn ta được công thức tính ứng suất tiếp cho mặt cắt tròn như sau:

Từ (7.19) ta thấy ứng suát tiếp τzy phân bố theo luật parabol bậc 2 dọc theo chiều cao của mặt cắt tròn Tại các điểm thuộc biên dưới và biên trên của mặt cắt có y = ± R thì giá trị ứng suất tiếp τzy = 0; còn tại các điểm nằm trên trục trng hoà x có y = 0 thì ứng suất tiếp τzy đạt giá trị cực đại

4 y max τ (trong đó F là diện tích mặt cắt ngang)

• Mặt cắt thép định hình chữ I (hình 7-

Mặt cắt thép định hình chữ I có thể xem gần đúng gồm các hình chữ nhật hẹp sau:

- Phần lòng (hay phần bụng) là hình chữ nhật hẹp theo phương thẳng đứng, do vậy có thể bỏ qua thành phần ứng suất tiếp theo phương ngang τzx và chỉ xét đến thành phần ứng suất tiếp theo phương thẳng đứng τzy

- Phần đế (hay phần cánh) là các hình chữ nhật hẹp theo phương nằm ngang, do do vậy có thể bỏ qua thành phần ứng suất tiếp theo phương thẳng đứng τzy và chỉ xét đến thành phần ứng suất tiếp theo phương nằm ngang τ zx mà thôi

Các ứng suất tiếp τzy và τzx thuộc phần lòng và phần cánh phân bố theo luồng trên mặt cắt chữ I hướng theo chiều của lực cắt Qy (hình 7-18b)

+ Ứng suất tiếp τzy trong phần lòng: Tương tự như trong mặt cắt chữ nhật hẹp đã biết, ở đây ứng suất tiếp τzy trong phần lòng cũng phân bố theo luật parabol bậc 2 dọc theo chiều cao phần lòng, chú ý tới 2 giá trị đặc biệt sau đây:

Tại các điểm trên trục trung hoà x: ứng suất tiếp τzy đạt giá trị cực đại τmax là: d J

S Q x x y max τ (7.20) trong đó: d là bề rộng của phần lòng (tra bảng)

Jx là mô men quán tính của mặt cắt đối với trục trung hoà x (tra bảng)

Sx là mô men tĩnh của nửa mặt cắt đối với trục trung hoà x (tra bảng) x y τ max τ 1 τ 1 a) c)

Tại các điểm tiếp giáp giữa lòng và cánh: ứng suất tiếp τ zy đạt giá trị khá lớn τ 1 là: d J

+ Ứng suất tiếp τzx trong phần đế: Để tính ứng suất tiếp τzx trong phần đế ta dùng lát cắt qua phần cánh (có khoảng cách tới mép cánh là x) và lát cắt có phương song song với trục y Từ điều kiện cân bằng của phần đế được tách ra ta lập được công thức tổng quát để tính ứng suất tiếp τzx trong phần đế như sau: t.

Thay vào (7.22) ta được biểu thức tính ứng suất tiếp τ zx trong phần đế như sau: y zx x

Kiểm tra bền cho dầm chịu uốn ngang phẳng

Như đã biết tại các điểm trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng có đồng thời cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp Nhìn vào biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp ta thấy rằng: Tại các điểm thuộc biên dưới và biên trên của mặt cắt thì ứng suất pháp σz có trị số lớn nhất (max σ max và max σ min ) trong khi đó ứng suất tiếp τzy lại có trị số bằng không; tại các điểm nằm trên trục trung hoà x thì ứng suất pháp σz có trị số bằng không, trong khi đó ứng suất tiếp τzy lại có trị số lớn nhất (τmax); tại các điểm còn lại trên mặt cắt ngang thì cả ứng suất pháp σ z và ứng suất tiếp τ zy (hoặc τ zx ) đều có trị số khác không Do vậy mặt cắt ngang của dầm có thể bị phá hỏng do ứng suất pháp lớn nhất tại các điểm thuộc biên dưới hoặc biên trên của mặt cắt; hoặc bị phá hỏng do suất tiếp lớn nhất tại các điểm nằm trên trục trung hoà x; hoặc bị phá hỏng đồng thời hợp của các ứng suất là bất lợi nhất theo lý thuyết bền Như vậy đối với các dầm chịu uốn ngang phẳng ta cần phải kiểm tra bền theo 3 bước sau đây:

• Bước 1: Kiểm tra theo ứng suất pháp lớn nhất

Nếu gọi maxσ K và maxσ N là trị số ứng suất kéo lớn nhất và trị số ứng suất nén lớn nhất trong toàn dầm thì các trị số này phải thuộc về các điểm biên dưới hoặc biên trên của mặt cắt nguy hiểm của dầm, đó là các mặt cắt có trị số mô men uốn Mx lớn nhất (ký hiệu là Mmax) hoặc Mx khá lớn (ký hiệu là Mkl) Như đã phân tích ở trên tại các điểm biên dưới hoặc biên trên của mặt cắt sẽ không có ứng suất tiếp mà chỉ có ứng suất pháp maxσ K Z hoặc maxσ n Z ; nói cách khác các phân tố này thuộc về trạng thái ứng suất kéo nén đơn và điều kiện bền ở đây sẽ hoàn toàn giống như điều kiện bền của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng đã xét ở trên, cụ thể là:

+ Đối với các dầm làm bằng vật liệu dòn ( [σ]k < [σ]n )

+ Đối với các dầm làm bằng vật liệu dẻo ( [σ]k = [σ]n ) max σ z Ăĩ [ ] σ Trong đó: M * x là trị số mô men uốn tại các mặt cắt nguy hiểm của dầm

• Bước 2: Kiểm tra theo ứng suất tiếp lớn nhất

Nếu gọi maxτz là trị số ứng suất tiếp lớn nhất trong toàn dầm thì trị số này phải thuộc về các điểm nằm trên trục trung hoà x thuộc mặt cắt nguy hiểm của dầm, đó là mặt cắt có trị số lực cắt Qy là lớn nhất (ký hiệu là Qmax) Như đã phân tích ở trên tại các điểm trên trục trung hoà x của mặt cắt sẽ không có ứng suất pháp, còn ứng suất tiếp τxy sẽ có trị số cực đại τmax Như vậy phân tố này thuộc về trạng thái ứng suất trượt thuần tuý và điều kiện bền ở đây được viết như sau:

Trong đó [τ] sẽ được xác định từ thực nghiệm, hoặc dựa vào ứng suất pháp cho phép [σ] và các lý thuyết bền đã học, chẳng hạn:

] σ [ (theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất)

] σ[ (theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại)

• Bước 3: Kiểm tra theo ứng suất pháp và ứng suất tiếp

Nếu gọi σkl và τkl là trị số ứng suất pháp và ứng suất tiếp tương đối lớn (khá lớn) trong toàn dầm thì các trị số này phải thuộc về các điểm trung gian nào đó thuộc mặt cắt nguy hiểm của dầm - đó là mặt cắt tại đó mô men uốn Mx có trị số lớn nhất hoặc khá lớn (ký hiệu là Mkl) và lực cắt Qy có trị số lớn nhất hoặc khá lớn (ký hiệu là Qkl) Các trị số ứng suất pháp σkl và ứng suất tiếp τkl được xác định theo các công thức (7.10) và (7.16) đã biết, việc kiểm tra bền cho dầm dựa vào các lý thuyết bền như sau:

* Đối với các dầm làm bằng vật liệu dẻo:

- Áp dụng thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất :

- Áp dụng thuyết bền thế năng BĐHD cực đại :

* Đối với các dầm làm bằng vật liệu dòn:

- Áp dụng thuyết bền Mo ta có:

• Đối với các dầm ngắn (khi chiều cao h của mặt cắt không nhỏ thua 10 lần chiều dài dầm l) thì cần phải kiểm tra bền theo cả 3 bước đã nêu ở trên, và chú ý:

* Nếu mặt cắt có Mmax trùng khớp với mặt cắt có Qmax thì 3 bước kiểm tra bền đều phải thực hiện với cùng mặt cắt này

* Nếu mặt cắt có Mmax không trùng khớp với mặt cắt có Qmax thì cần:

- Kiểm tra bước 1 cho mặt cắt có Mmax

- Kiểm tra bước 2 cho mặt cắt có Qmax

- Kiểm tra bước 3 cho 3 mặt cắt sau:

+ Mặt cắt có Mmax và Qkl

+ Mặt cắt có Qmax và Mkl

• Đối với các dầm dài (khi chiều dài dầm l lớn hơn 12 lần chiều cao h của mặt cắt), qua thực tế thấy rằng các dầm này chủ yếu bị phá hỏng do ứng suất pháp chứ không phải do ứng suất tiếp Do vậy đối với dầm dài (trong thực tế đa số dầm thuộc loại dầm dài) ta chỉ cần kiểm tra bền theo bước 1 (kiểm tra theo ứng suất pháp) là đủ an toàn

Từ các điều kiện bền đã nêu trên ta rút ra 3 bài toán quen thuộc sau đây:

* Bài toán kiểm tra bền

* Bài toán chọn mặt cắt để dầm đủ độ bền (bài toán thiết kế)

*Bài toán chọn tải trọng cho phép để dầm đủ độ bền (bài toán quản lý)

Ví dụ 7-6 : Hãy kiểm tra bền cho dầm có sơ đồ trên hình 7-11 (ví dụ 7-4) Biết dầm làm bằng thép xây dựng CT3, mặt cắt thép định hình chữ I số hiệu 30 (IN o 30) có [σ] kN/cm 2 ; cho giá trị a = 2m, q kN/m

Bài giải: a Vẽ biểu đồ nội lực (biểu đồ lực cắt Qy và mô men uốn Mx )

Biểu đồ Mx , Qy cho trên hình 7-11 Tại mặt cắt A mô men uốn có trị số lớn nhất

Mmax = qa 2 = 40 kNm b Kiểm tra bền:

+ Xác định đặc trưng của dầm: chiều dài nhịp của dầm là khoảng cách giữa 2 gối tựa l = 3a = 6m Chiều cao h của mặt cắt chữ IN o 30 bằng 30cm Với tỷ số 20 hl = , dầm đã cho thuộc loại dài, do vậy chỉ cần kiểm tra bền theo ứng suất pháp là đủ

+ Với mặt cắt chữ IN o 30, tra bảng ta có Wx = 472 cm 3

+ Tính ứng suất pháp lớn nhất trong dầm:

40 W max M 2 2 2 x z = max = = < σ σKết luận: dầm đã cho an toàn về độ bền.

Hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang của dầm chịu uốn

Như đã biết đối với các thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm ứng suất pháp phân bố đều trên mặt cắt ngang, trị số của nó tỷ lệ nghịch với độ lớn của diện tích mặt cắt F Điều này có nghĩa là độ bền của thanh chịu kéo nén đúng tâm chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích F của mặt cắt mà không hề phụ thuộc gì vào hình dáng của mặt cắt ngang Ngược lại, đối với các dầm chịu uốn ứng suất pháp phân bố không đều trên mặt cắt ngang, trị số của nó không chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích F mà còn phụ thuộc vào mô men quán tính Jx của mặt cắt (hay đặc trưng hình học của mặt cắt x y z

M x h y n max σz k max σz n σ max y nxn y kxn k σ max x y

Hình 7-19 ngang) Các dầm có diện tích mặt cắt ngang F như nhau, nhưng có hình dạng mặt cắt khác nhau sẽ cho khả năng chịu uốn khác nhau và ta gọi mặt cắt hợp lý là mặt cắt có diện tích mặt cắt ngang F nào đó nhưng có hình dạng sao cho khả năng chịu uốn của dầm là lớn nhất

Hình dạng hợp lý của mặt cắt được thể hiện qua 2 điểm sau đây:

• Bố trí mặt cắt phù hợp với loại vật liệu tương ứng của dầm:

- Đối với các dầm làm bằng vật liệu dẻo thì khả năng chịu ứng suất kéo và ứng suất nén của dầm đều đạt đến giới hạn nguy hiểm, nghĩa là Max σ =[σ] k = [σ] n = [σ]

- Đối với các dầm làm bằng vật liệu dòn thì khả năng chịu ứng suất kéo là rất kém so với khả năng chịu ứng suất nén, nghĩa là [σ] k < [σ] n ,

Vậy mặt cắt của dầm phải có hình dạng sao cho khi chịu uốn ứng suất kéo lớn nhất trong dầm maxσ k z đạt đến trị số [σ]k thì cùng lúc đó ứng suất nén lớn nhất trong dầm maxσ n z cũng đạt đến trị số [σ]n, có nghĩa là: k k x x k max xn x k max z [ ]

J max σ = M = = σ (a) và max n n x max n xn x max n z [ ]

Lập tỷ số (a)/(b) ta được biểu thức tổng quát biểu thị sự hợp lý của mặt cắt ngang: n k n xn k xn

Từ biểu thức (7.28) có thể phát biểu như sau:

+ Đối với các dầm làm bằng vật liệu dẻo ([σ] k = [σ] n = [σ]), thì mặt cắt phải có hình dạng sao cho k n xn xn = y y tức là trục trung hoà x là trục đối xứng của mặt cắt, chẳng hạn mặt cắt hình chữ nhật, mặt cắt tròn, mặt cắt chữ I…

+ Đối với các dầm làm bằng vật liệu dòn ([σ]k < [σ]n), thì mặt cắt phải có hình dạng sao cho y k xn < y n xn tức là trục trung hoà x phải lệch về phía biên chịu ứng suất kéo của mặt cắt và phải đảm bảo điều kiện (7.28), chẳng hạn mặt cắt chữ T, chữ U (hình 7- 19b)

• Bố trí mặt cắt sao cho mô đun chống uốn của mặt cắt W x càng lớn càng tốt

Như đã biết trị số ứng suất pháp kéo và nén lớn nhất trong dầm (maxσ k z và n maxσz) trong dầm tỷ lệ nghịch với trị số mô đun chống uốn W x k và W x n ( hoặc Wx) của dầm Do vậy khi Wx (hoặc W x k vàW x n ) càng lớn bao nhiêu thì trị số của ứng suất pháp lớn nhất trong dầm càng nhỏ đi bấy nhiêu, tức là độ bền của dầm càng tăng lên bấy nhiêu Cách đơn giản để tăng Wx của mặt cắt là tăng diện tích F của mặt cắt ngang, điều này không có lợi vì tốn thêm nhiều vật liệu và tiền của Nếu giữ nguyên diện tích của mặt cắt F, ta có thể tăng được mô đun chống uốn Wx bằng cách bố trí các mặt cắt hình rỗng thay cho các mặt cắt đặc quen thuộc, chẳng hạn mặt cắt dạng hình chữ nhật rỗng, mặt cắt vành khăn, mặt cắt chữ I có phần lòng hẹp, v.v… Để đánh giá được khả năng chịu uốn của dầm cũng như hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang người ta thường dùng tỷ số Wx/F ( tỷ số phụ thuộc giữa độ lớn của mô đun chống uốn và diện tích mặt cắt ngang) Khi tỷ số này càng lớn bao nhiêu thì mặt cắt ngang của dầm càng hợp lý bấy nhiêu, tức là độ bền của dầm càng tăng lên bấy nhiêu

Trong kỹ thuật người ta quen dùng tỷ số không thứ nguyên Wx/ F 3 thay cho tỷ số

Trạng thái ứng suất trong dầm chịu uốn ngang phẳng

Xét một mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng (hình 7-20), ta thấy:

- Các phân tố thuộc biên dưới và biên trên của mặt cắt (phân tố A và B) chỉ tồn tại ứng suất pháp σz (σy = 0 và τzy = 0), đó là các phân tố ở trạng thái ứng suất kéo, nén đơn Phương của các ứng suất chính này song song với trục của dầm

- Các phân tố nằm trên trục trung hòa x (phân tố C) chỉ có ứng suất tiếp τzy (còn σz = σy = 0), đó là các phân tố ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý Trị số ứng suất chính (σmax và σmin) và phương ứng suất chính αmax được xác định theo phương pháp giải tích hoặc phương pháp vẽ vòng Mo ứng suất:

, 1 min max, = σ = ± τ = ± τ σ zy o max max max tg τ 1 45 α = − = − ⇒ α = − σ

- Các phân tố còn lại (phân tố D, E) là các phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, bao gồm ứng suất σ z và τ zy (σ y = 0) Các ứng suất chính và phương của chúng được xác định theo phương pháp giải tích hoặc phương pháp vẽ vòng Mo ứng suất:

Ta nhận thấy rằng đối với dầm đơn giản chịu tải trọng như trên hình 7-21a, thì phương ứng suất chính kéo σ 1 thay đổi theo một qui luật xác định: từ chỗ song song với phương trục dầm tại các điểm ở biên phía dưới, chuyển thành góc 45 o so với phương trục dầm tại các điểm ở trên trục trung hoà x, rồi tiến tới vuông góc với phương trục dầm tại các điểm ở biên phía trên của mặt cắt Phương của ứng suất chính nén σ3 luôn luôn vuông góc với phương ứng suất chính kéo tại mọi điểm và biến đổi theo thứ tự ngược lại Từ kết quả tính toán người ta lần lượt vẽ được một họ các đường cong sao cho tại mỗi điểm tiếp tuyến của nó trùng với phương ứng suất chính kéo σ1 và gọi họ đường cong này là quỹ đạo ứng suất chính kéo (đường nét đứt) Tương tự vẽ được họ đường cong sao cho tại mỗi điểm tiếp tuyến của nó trùng với phương ứng suất chính nén σ 3 và gọi họ đường cong này là quỹ đạo ứng suất chính nén (đường nét liền) Ta gọi chung hai họ đường cong trên là quỹ đạo ứng suất chính

Trong thực tế người ta có thể vẽ được quỹ đạo ứng suất chính cho dầm bất kỳ dựa vào các phương pháp thực nghiệm, chẳng hạn phương pháp quang đàn hồi hoặc

Qy Mx τzy τmax τzy σz σz σ3 = σ Nmax σ1 = σ Kmax αmax= 90 o αmax= 45 o σ1 = τmax αmax=0 o σ1 σ1 σ1 σ1 σ3 σ3 σ3 σ3 αmax> 45 o αmax< 45 o

Quỹ đạo ứng suất chính có ý nghĩa rất quan trọng và đã được ứng dụng rộng rãi trong thực tế Chẳng hạn đối với dầm làm bằng bê tông cốt thép gồm hai loại vật liệu chính là bê tông và thép có tính chất cơ học rất khác nhau Thép có khả năng chịu ứng suất kéo và nén rất tốt, nhưng là loại vật liệu hiếm và đắt tiền Trái lại bê tông rẻ tiền hơn, có khả năng chịu nén tốt nhưng khả năng chịu ứng suất kéo rất kém Nhờ biết được quỹ đạo ứng suất chính trong dầm người ta bố trí các thanh thép dọc theo phương ứng suất chính kéo (ta thường gọi là cốt thép) để nó có thể chịu được lực kéo thay cho bê tông trong vùng chịu kéo Hình 7-21b mô tả cách bố trí cốt thép dựa vào quĩ đạo ứng suất chính của dầm đã biết Việc bố trí cốt thép một cách hợp lý trong mỗi kết cấu bê tông cốt thép sẽ góp phần làm tăng khả năng chịu lực và tính ưu việt của loại kết cấu mới này.

Khái niệm về tâm uốn

Xét một dầm chịu uốn mặt cắt có trục y đối xứng như trên hình 7-22a Khi tải trọng P nằm trong mặt phẳng đối xứng yoz của dầm ta thấy dầm hoàn toàn chịu uốn phẳng, hay đường cong trục dầm nằm trong mặt phẳng đối xứng yoz của dầm

Xét dầm đã cho trên hình 7-22b, khi này trục y không phải là trục đối xứng của mặt cắt và mặt phẳng yoz không phải là mặt phẳng đối xứng của dầm Ta nhận thấy rằng tuy tải trọng P nằm trong mặt phẳng yoz nhưng dầm không những bị uốn mà còn bị xoắn, có nghĩa là đường cong trục dầm không còn phẳng nữa Sở dĩ dầm bị xoắn là do ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang phân bố theo luồng và tạo thành mô men xoắn như trên hình 7-22c Nếu gọi hợp lực của ứng suất tiếp τzy trong phần lòng là To (To = Qy P ), và hợp lực của ứng suất tiếp τ zx trong phần đế là Td thì trên mặt cắt xuất hiện mô men xoắn Mz là:

M z o c d c d (a) Để khử hiện tượng xoắn nói trên ta cần tìm vị trí đặt lực P tại một điểm E nào đó để dầm chỉ chịu uốn mà không bị xoắn nữa, có nghĩa là tạo ra mô men xoắn ngoại lực

M z để cân bằng với mô men xoắn do ứng suất tiếp trên mặt cắt gây ra:

Mz = P ( eo+ xc ) = P.xc + P.eo (b) Đồng nhất (a) và (b) ta xác định được vị trí của điểm E (gọi là tâm uốn) như sau: q a) b)

Thay (d) vào (c) và chú ý t rất nhỏ so với h, ta được công xác định tâm uốn là: x

Từ (7-29) ta thấy rằng vị trí của tâm uốn không phụ thuộc vào độ lớn của tải trọng mà chỉ phụ thuộc vào hình dạng và kích thước của mặt cắt ngang mà thôi.

Khái niệm về dầm chống uốn đều

Trong các bài toán đã nêu ở trên chúng ta mới chỉ xét đến các dầm có mặt cắt không thay đổi dọc theo chiều dài của dầm Kích thước mặt cắt ngang của dầm được xác định từ điều kiện bền tại mặt cắt có mô men uốn M x đạt trị số cực đại (Mmax) Như vậy tại tất cả các mặt cắt còn lại đều có mô men uốn nhỏ thua Mmax, nghĩa là ứng suất pháp lớn nhất tại các mặt cắt này vẫn còn nhỏ thua ứng suất cho phép của vật liệu [ ] σ

Dầm có mặt cắt không đổi như trên sẽ dẫn đến lãng phí nhiều vật liệu và gọi là dầm chống uốn không đều

Một dầm có kích thước mặt cắt thay đổi dọc theo chiều dài của nó theo một qui luật nào đó sao cho khi dầm chịu tải trọng thì ứng suất pháp lớn nhất trên mọi mặt cắt của dầm cùng đồng thời đạt đến ứng suất cho phép của vật liệu[ ] σ , ta gọi đó là dầm x y τ zx τ zx τ zy x c

Chẳng hạn xét một dầm công xôn chịu tải trọng tập trung P tại đầu tự do như trên hình 7-23a, có biểu đồ mô men uốn Mx như trên hình 7-23b Giả thiết dầm có mặt cắt hình chữ nhật với bề rộng không đổi (b = const), hãy xác định qui luật thay đổi của chiều cao h để dầm đã cho có khả năng chống uốn đều?

Gọi h(z) là chiều cao của dầm tại mặt cắt bất kỳ có hoành độ z, ta có mô đun chống uốn Wx của mặt cắt là:

Từ điều kiện chống uốn đều ta có;

Nếu gọi ho là chiều cao của mặt cắt tại đầu tự do của dầm thì từ điều kiện bền theo ứng suất tiếp lớn nhất ta có thể xác định ho như sau:

Trường hợp nếu mặt cắt chữ nhật có chiều cao h không đổi (h = const), có thể xác định bề rộng b của mặt cắt thay đổi để dầm có khả năng chống uốn đều

Từ điều kiện chống uốn đều ta có:

Chiều rộng bo tại đầu tự do của dầm được xác định từ điều kiện sau:

Chú ý rằng, trong thực tế để thuận tiện cho việc thi công các dầm chống uốn đều người ta thường làm các dầm có mặt cắt thay đổi dạng bậc thang xấp xỉ với đường

Hình 2-23 a) b) Mx biểu diễn chính xác theo công thức (7.30) và (7.32) Dầm chống uốn đều không những tiết kiệm được nhiều vật liệu mà còn làm cho dầm được nhẹ nhàng, đẹp mắt hơn nên nó được sử dụng nhiều trong các công trình xây dựng, hoặc làm lò xo lá để giảm sóc trong các ô tô, tàu hoả v v

BÀI TẬP 7.1 Vẽ biểu đồ lực cắt và biểu đồ mô men uốn của dầm cho trên hình 7-1B (a, b, c, d, e, f)

7.2 Không cần tính phản lực hãy vẽ nhanh biểu đồ lực cắt và biểu đồ mô men uốn cho các dầm trên hình 7-2B (a, b, c) a)

7.3 Vẽ biểu đồ lực cắt và biểu đồ mô men uốn của các dầm cho trên hình 7-3B (a,b)

7.4 Vẽ biểu đồ lực cắt và biểu đồ mô men uốn cho các dầm tĩnh định nhiều nhịp cho trên hình 7-4B (a, b)

7.5 Vẽ Biểu đồ nội lực của dầm cho trên hình 7.5B

7.6 Đã biết biểu đồ mô men uốn của các dầm đặt trên hai gối tựa A và B như trên hình 7-6B (a, b) Hãy suy ra biểu đồ lực cắt và xác định tải trọng tác dụng lên các dầm đã cho a a a

7.7 Đã biết biểu đồ lực cắt Q và một phần biểu đồ mô men uốn M của dầm cho trên hình 7-7B Hãy vẽ đầy đủ biểu đồ M và sơ đồ tải trọng tác dụng lên dầm

7.8 Một dầm mặt cắt hình chữ nhật chịu lực như trên hình 7-8B a) Vẽ biểu đồ lực cắt và biểu đồ mô men uốn b) Tính giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại điểm M thuộc về mặt cắt nguy hiểm nhất của dầm

7.9 Cho dầm AB dài l = 2m, chịu lực tập trung P = 2 kN đặt tại chính giữa dầm (hình 7-9B) a) Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp cực đại trên dầm b) Tính ứng suất chính và xác định phương ứng suất chính tại điểm K thuộc mặt cắt C chính giữa dầm

7.10 Một dầm đơn giản AB dài 4m làm bằng thép chữ I số 18 chịu tải trọng phân bố đều trên toàn nhịp như trên hìn 7-10B Tính ứng suất tiếp cực đại trên dầm, biết rằng ứng suất pháp cực đại là 140MN/m 2

7.11 Một dầm chịu lực như trên hình 7-11B Cho biết P = 160kN, a = 0,35m, l = 4m và [σ] kN/cm 2 Kiểm tra bền cho dầm trong hai trường hợp: a) Dầm gồm hai thép chữ I số 18 đặt song song với nhau b) Dầm gồm hai thép chữ I số 18 đặt chồng lên nhau và hàn liền

7.12 Kiểm tra bền dầm cho trên hình 7-12B theo điều kiện bền ứng suất pháp lớn nhất Cho biết a = 1 m, P = 26 kN, M kN.m, [σ] k kN/cm 2 , [σ] n kN/cm 2

7.13 Cho dầm có sơ đồ chịu lực như hình 7.13B Yêu cầu :

1) Vẽ các biểu đồ nội lực : Mô men uốn M, lực cắt Q ( theo q và a )

2) Xác định độ dài a theo điều kiện bền của dầm?

3) Xác định giá trị lớn nhất của ứng suất pháp kéo, nén trong dầm ứng với a tính đư- ợc ở câu 2 a l

7.14 Cho dầm có sơ đồ chịu lực như hình 7-14B Yêu cầu :

1) Vẽ các biểu đồ nội lực : Mô men uốn M, Lực cắt Q (theo q và a)

2) Tính hệ số an toàn về bền n của dầm ?

3) Nếu mặt cắt của dầm bố trí lại nh hình 2b thì dầm có an toàn không?

7.15 Cho dầm có sơ đồ chịu lực nh hình 7-15B Yêu cầu :

1) Vẽ các biểu đồ nội lực : Mô men uốn M, lực cắt Q ( theo q và a ) ứng với α = 1

2) Xác định q theo điều kiện bền ứng suất pháp? Biết a = 1m; α = 1;[ ] σ = 160 MN/ m2

3) Người ta dán 2 tấm Đatric trên mặt trên và mặt dưới trong đoạn AC của thanh để đo biến dạng dài tương đối dọc theo chiều dài của thanh, khi thay đổi giá trị của α đến một lúc nào đó ta thấy cả 2 biến dạng trên 2 Đatric đều bằng 0 Hãy xác định giá trị của α trong trường hợp này và vẽ lại biểu đồ nội lực của dầm ứng với giá trị α vừa tìm được

7.16 Cho dầm như trên hình 7-16B Biết P = 3qa, M = qa 2 Yêu cầu:

2) Vẽ biểu đồ nội lực của dầm

3) Xác định giá trị của q Biết rằng người ta đo được ứng suất tiếp tại điểm M (xem

4) h.7.16Bb) của mặt cắt bất kỳ thuộc đoạn AE là τ zy MN/m 2 Cho a = 2 m, các kích thước mặt cắt ngang cho trên hình vẽ, J x q1cm 4 , C là trọng tâm mặt cắt

7.17 Cho dầm như trên hình 7-17B Yêu cầu:

2) Vẽ biểu đồ nội lực

3) Xác định a = ? cho q = 3 kN/cm Biết ứng suất pháp tại điểm A1 của mặt cắt D bằng σ A Z 1 =−8kN/cm 2 Cho J x 400cm 4

4) Tính ứng suất chính tại điểm A1 của mặt cắt D Phải

7.18 Chọn kích thước của mặt cắt ngang theo điều kiện bền của các dầm cho trên hình 7-18B cho 2 trường hợp: a) Dầm mặt cắt chữ nhật kích thước b x h (với h = 2b) và vật liệu dầm có [σ]=1kN/cm 2 b) Dầm mặt cắt thép định hình chữ I và vật liệu dầm có [σ] kN/cm 2

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

Các phương pháp xác định chuyển vị của dầm

8.3.1 Phương pháp tích phân trực tiếp ( hay ph ươ ng pháp tích phân b ấ t đị nh )

Giả sử xét một dầm chịu uốn gồm có n đoạn Đối với mỗi đoạn ta tiến hành lập biểu thức của mô men uốn Mx rồi viết phương trình vi phân của độ võng dưới dạng:

Giải phương trình vi phân( 8.3 ) bằng phương pháp tích phân trực tiếp:

- Tích phân lần thứ nhất ta được phương trình của góc xoay ϕ(z):

- Tích phân lần thứ hai ta được phương trình của độ võng y(z):

Trong các biểu thức (8.4) và (8.5) thì C và D được gọi là các hằng số tích phân, chúng sẽ được xác định từ các điều kiện biên và các điều kiện liên tục của chuyển vị

(điều kiện này sẽ được làm rõ trong các ví dụ )

Sau đây sẽ trình bày một số ví dụ cụ thể để xác định chuyển vị của dầm theo phương pháp tích phân trực tiếp (hay phương pháp tích phân bất định)

Ví d ụ 8-1 : Thiết lập phương trình độ võng và góc xoay của dầm công xôn chịu tải trọng tập trung

P tại đầu tự do như trên hình 8-3, sau đó tính độ võng tại mặt cắt A Cho biết dầm có độ cứng EJ const

Quá trình giải bài toán có thể chia ra các bước sau đây:

+ Bước 1: Thiết lập phương trình vi phân độ võng trong các đoạn dầm

- Viết biểu thức của mô men uốn Mx tại mắt cắt z bất kỳ: z

- Thiết lập phương trình vi phân của độ võng của đoạn dầm đang xét:

+ Bước 2: Tích phân trực tiếp phương trình vi phân (b) lần lượt ta được:

+ Bước 3: Xác định các hằng số tích phân C1 và D1 từ điều kiện biên

Tại ngàm B (ứng với z =l ) ta có:

Thay các hằng số C1 và D1 từ (g) vào (c) và (d) ta được các phương trình góc xoay và phương trình độ võng của dầm đã cho như sau:

Từ (i) suy ra độ võng tại A :

EJ 3 y P y A = z = 0 = + l 3 (8.6) yA> 0 tức là mặt cắt A bị võng xuống dưới

Ví d ụ 8-2 : Dùng phương pháp tích phân trực tiếp để thiết lập phương trình độ võng và góc xoay của dầm đơn giản hai đầu khớp chịu tải trọng tập trung P đặt tại chính giữa của dầm như trên hình 8-4 z 1 P

Chia dầm AB làm 2 đoạn AC và CB, thực hiện các bước như ví dụ 8-1

+ Bước 1: Thiết lập phương trình vi phân độ võng trong các đoạn dầm:

(2l ≤ 2 ≤l (b) + Bước 2: Tích phân trực tiếp phương trình vi phân (a) và (b) lần lượt ta được:

+ Bước 3: Xác định 4 hằng số tích phân C1, C2 và D1, D2 từ điều kiện biên và điều kiện liên tục về chuyển vị giữa 2 đoạn AC và CB như sau:

• Điều kiện liên tục về góc xoay và độ võng tại điểm nối 2 đoạn dầm (điểm C): z 2

Giải hệ 4 phương trình ( g ), (h), (i), (k) ta xác định đước 4 hằng số:

Thay các hằng số tích phân vừa xác định ở trênvào (c), (d), (e), (f) ta sẽ được phương trình góc xoay và độ võng của dầm như sau:

(2l ≤ 2 ≤l (q) Độ võng lớn nhất tại điểm C chính giữa dầm bằng:

* Nhận xét: Phương pháp tích phân trực tiếp vừa trình bày ở trên là một trong các phương pháp tổng quát cho phép ta thiết lập được phương trình góc xoay và độ võng của dầm chịu tải trọng bất kỳ, dầm có độ cứng thay đổi bất kỳ, từ đó có thể suy ra góc xoay và độ võng tại mọi điểm của dầm Tuy nhiên, phương pháp này có hạn chế đối với các dầm có nhiều đoạn, vì nó dẫn đến việc phải giải hệ nhiều phương trình để xác định các hằng số tích phân (nếu dầm có n đoạn thì phải giải hệ gồm 2n phương trình)

8.3.2 Phương pháp thông số ban đầu

Xét dầm gồm có nhiều đoạn, ký hiệu theo thứ tự là : 1, 2, , i, i+1, , n Giả sử xét đoạn thứ i và thứ i+1 kề liền nhau, được nối với nhau tại hoành độ z = a Gọi yi(z) và yi+1(z) là phương trình trục võng của đoạn thứ i và i+1 (hình 8-5) Nếu kéo dài trục võng của đoạn thứ i sang đoạn thứ i+1 thì ta có thể viết:

Trong đó Δy(z) là số gia của độ võng tại hoành độ z > a Giả sử đã biết phương trình trục võng của đoạn thứ i, muốn biết phương trình trục võng của đoạn thứ i+1 ta cần phải xác định số gia của độ võng Δy(z) Thực hiện khai triển Taylor số gia Δy(z) tại hoành độ z = a, ta được:

Chú ý rằng, các hệ số của chuỗi số Taylor Δy(a), Δy’(a), Δy”(a) là các giá trị của hàm số gia Δy(z) và đạo hàm các cấp của nó tại hoành độ z = a, trong đó:

Các hệ số Δya và Δϕ a chính là là số gia (bước nhảy) của độ võng và goc xoay tại z

Nếu chọn EJ là độ cứng của một đoạn nào đó làm độ cứng qui ước (chẳng hạn

Nếu chú ý tới các liên hệ vi phân giữa mô men uốn M, lực cắt Q và tải trọng phân bố q (từ chương 7), ta có thể viết tiếp:

* Chú ý: Thông thường ta chỉ xét đến tải trọng phân bố q tối đa là bậc nhất nên số hạng tiếp theo của chuỗi kể từ đạo hàm cấp 6 trở đi sẽ bằng không

Thay các hệ số của chuỗi vừa mới xác định được vào phương trình (8.8) và (8.9) ta viết được phương trình độ võng của đoạn thứ i+1 theo đoạn thứ i như sau:

Trường hợp thường gặp trong thực tế là dầm có độ cứng không thay đổi dọc theo chiều dài của nó, nghĩa là:

E1J1 = E2J2 = = EiJi = Ei+1Ji+1 = = EnJn = EJ do đó K1 = K2 = = Ki = Ki+1 = = Kn = 1

Do vậy từ (8.10) suy ra phương trình độ võng của đoạn thứ i+1 là:

• ΔM a =M i + 1 (a)−M i (a)là bước nhảy của mô men uốn tại z = a

• Δ Q a = Q i + 1 ( a ) − Q i ( a ) là bước nhảy của lực cắt tại z = a

• Δ q a = q i + 1 ( a ) − q i ( a ) là bước nhảy của lực phân bố tại z = a

, a = − Δ + là số gia của đạo hàm lực phân bố tại z = a

Các hệ số Δya, Δϕ a , ΔMa, ΔQa, Δqa, Δqa’ là các thông số tại đầu mỗi đoạn dầm, chúng sẽ được xác định từ điều kiện chuyển vị và tải trọng tại z = a (vị trí nối tiếp giữa thứ i và thứ i+1) Do vậy, phương pháp này có tên gọi là phương pháp thông số ban đầu

Nhìn vào công thức (8.10) và (8.11) ta thấy chúng có dạng công thức truy hồi, có độ võng của đoạn thứ i phía trước nó Vậy để viết được phương trình độ võng của đoạn dầm thứ nhất ta phải tưởng tượng phía trước nó có đoạn thứ 0 (đoạn này xem như không có chuyển vị) Gọi yo, ϕo, Mo, Qo, qo và qo’ là các thông số tại đầu đoạn thứ nhất (tại z = 0), áp dụng công thức (8.11) và chú ý a = 0 ta viết được phương trình độ võng của đoạn thứ nhất như sau:

.z EJ z M y ) z ( y 1 = o +ϕ o − ô 2 − o 3 − o 4 − , o 5 + (8.12) Hình vẽ 8-6 minh hoạ cụ thể cách xác định các thông số đầu đoạn của dầm

Ví d ụ 8-3 : Dùng phương pháp thông số ban đầu viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm đơn giản trên hình 8-7 Xác định độ võng tại C ( yc = ? )

Quá trình giải bài toán có thể chia ra các bước sau đây:

+ Bước 1: Lập bảng thông số tại đầu các đoạn dầm:

- Xác định các phản lực gối tựa tại VA và VB bằng các phương pháp đã biết, kết quả: Δy a ≠ 0 Δϕ a =0

- Chia dầm làm 2 đoạn AC và CB, lập bảng thông số tại A và C ( đầu của đoạn

AC và CB) – xem Bảng 8-1

B ả ng 8-1: B ả ng thông s ố ban đầ u Đoạn Đoạn AC

Tại C (a = l /2) Δy yo=0 Δya=0 ϕ Δ ϕ o ≠ 0 Δϕ a =0 ΔM ΔMo=0 ΔMa=0 ΔQ ΔQo= + P / 2 ΔQ a = - P Δq Δqo=0 Δqa=0 q' Δ Δq , o=0 Δq , a=0

+ Bước 2: Viết phương trình độ võng của dầm theo (8.12 ) và (8.10):

+ Bước 3: Xác định các thông số chưa biết (ϕo) từ điều kiên :

+ Bước 4: Viết lại phương trình độ võng và góc xoay của dầm:

- Thay (b) vào (a) ta được phương trình độ võng của dầm:

+ Bước 5: Xác định chuyển vị tại các mặt cắt theo yêu cầu của đề bài: Độ võng tại C :

Dấu dương có nghĩa là điểm C võng xuống phía dưới

Nhận xét: Ví dụ 8-3 vừa trình bày phương pháp thông số ban đầu để xác định chuyển vị của dầm giống hoàn toàn với dầm ở ví dụ 8-2 đã giải theo phương pháp tích phân trực tiếp Kết quả lời giải của 2 phương pháp hoàn toàn trùng khớp với nhau, tuy nhiên nếu giải theo phương pháp thông số ban đầu chỉ cần phải xác định 1 hằng số chưa biết (thông số ϕ o ), còn nếu giải theo theo phương pháp tích phân trực tiếp thì phải xác định 4 hằng số chưa biết bằng cách giải hệ 4 phương trình, do vậy dẫn đến làm tăng khối lượng tính toán lên một cách đáng kể Chính vì lẽ đó mà phương pháp thông số ban đầu được sử dụng rất hiệu quả để xác định chuyển vị của các dầm có nhiều đoạn

Ví d ụ 8-4 : Dùng phương pháp thông số ban đầu để viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm cho trên hình 8-8, sau đó xác định độ võng tại mặt cắt B và góc xoay tại mặt cắt A của dầm

+ Bước 1: Lập bảng thông số tại đầu các đoạn dầm:

- Xác định các phản lực gối tựa tại VA và VC dựa vào các phương trình cân bằng đã biết, kết quả:

- Chia dầm làm 3 đoạn AB, BC và CD, lập bảng thông số tại A, B và C (đầu của đoạn AB,BC và CD) - xem Bảng 8- 2

B ả ng 8-2: B ả ng thông s ố ban đầ u Đoạn Đoạn AB

Tại A (a*=0) Đoạn BC Tại B (a*=a) Đoạn CD

Tại C (a* 2a) Δy yo=0 Δya=0 Δya=0 ΔM ϕo =? Δ φ = 0 Δ φ = 0 ΔQ Mo = - qa 2 ΔMa=0 ΔMa=0 Δq Po= + 9qa /4 ΔQa= - 4qa ΔQa 11qa/4 q' Δ qo=0 Δqa=0 Δqa= - q q , o=0 Δq , a =0 Δq , a =0

+ Bước 2: Viết phương trình độ võng của dầm theo (8-12 ) và (8-10):

+ Bước 3: Xác định các thông số chưa biết ϕ o từ điều kiên :

+ Bước 4: Viết lại phương trình độ võng và góc xoay của dầm:

- Thay (b) vào (a) ta được phương trình độ võng của dầm như sau:

- Đạo hàm (c) ta được phương trình góc xoay của dầm như sau:

+ Bước 5: Xác định chuyển vị tại các mặt cắt theo yêu cầu của đề bài:

B = = = + (dấu + chứng tỏ tiết diện B chuyển vị xuống phía dưới)

A = ϕ = + ϕ = (dấu + chứng tỏ mặt cắt A xoay theo chiều thuận kim đồng hồ)

8.3.3 Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo)

Hai phương pháp vừa trình bày ở trên là các phương pháp tổng quát cho phép thiết lập được phương trình của độ võng và góc xoay của dầm chịu tải trọng bất kỳ, từ đó giúp ta có thể xác định được chuyển vị của mọi mặt cắt trên dầm Tuy nhiên trong trường hợp chỉ cần thiết xác định chuyển vị tại một vài mặt cắt nào đó ta vẫn phải thiết lập phương trình độ võng và góc xoay cho toàn dầm, rồi từ đó mới tính ra được chuyển vị tại mặt cắt cụ thể Để giảm bớt công sức và thời gian, dưới đây ta sẽ nghiên cứu phương pháp đồ toán (hay còn gọi là phương pháp tải trọng giả tạo) giúp ta có thể tính toán nhanh gía trị độ võng và góc xoay tại các mặt cắt cụ thể theo yêu cầu

Từ chương 7, ta đã biết giữa mô men uốn M, lực cắt Q và tải trọng phân bố q có mối liên hệ vi phân sau:

Mặt khác ta biết giữa độ võng y(z), góc xoay ϕ(z) và mô men uốn M cũng có mối liên hệ vi phân :

− (gọi qgt là tải trọng phân bố giả tạo) (8-13)

) z ( Q ) z ( = gt ϕ (gọi Qgt(z) là lực cắt giả tạo)

) z ( M ) z ( y = gt (gọi Mgt(z) là mô men uốn giả tạo)

Thì từ (b) có thể viết:

Như đã biết, từ phương trình vi phân (a) nếu đã biết tải trọng phân bố q(z) để tìm ra lực cắt Q và mô men uốn M ta thường dùng phương pháp mặt cắt đã quen thuộc mà không cần thiết phải giải phương trình vi phân (a) tốn nhiều công sức Nhìn vào quan hệ vi phân (c) và (a) ta thấy chúng có hình thức hoàn toàn gíông nhau, do vậy nếu biết được qgt(z) ta cũng có thể tìm ra được lực cắt giả tạo Qgt(z) và mô men giả tạo Mgt (z) bằng phương pháp mặt cắt quen thuộc, có nghĩa là tìm ra được độ võng và góc xoay thực tại mặt cắt cụ thể trên dầm Để tính Qgt và Mgt ta cần đặt tải trọng giả tạo qgt (z)= -

M lên một dầm giả tạo thoả mãn các điều kiên sau đây:

• Chiều dài của dầm giả tạo phải bằng với chiều dài của dầm thật đã cho

• Mô men uốn giả tạo M gt (z) và lực cắt Qgt(z) của dầm giả tạo phải bằng với độ võng y(z) và góc xoay ϕ(z) của dầm thật đã cho

Một số ứng dụng về chuyển vị của dầm chịu uốn

8.4.2 Tính toán dầm siêu tĩnh

Trong các ví dụ ở trên chúng ta mới chỉ xét đến các dầm đơn giản: đó là các dầm được cấu tạo bằng một thanh thẳng có một đầu được ngàm chặt và một dầu tự do, hoặc đặt trên hai gối tựa gồm một gối tựa cố định và một gối di động như trên hình 8-12a,b, hoặc dầm đơn có mút thừa Như vậy, ở mỗi dầm đơn giản bao gồm 3 liên kết đơn đủ đảm bảo cho dầm có khả năng chịu được ngoại lực Để xác định tất cả các phản lực cũng như nội lực của dầm đơn giản nói trên, ta chỉ cần sử dụng 3 phương trình cân bằng tĩnh học của hệ lực phẳng, chứ không cần sử dụng thêm bất kỳ phương trình nào khác

Trong thực tế ta còn gặp rất nhiều dầm cấu tạo bằng một thanh thẳng nối với đất với số lượng lớn hơn 3 liên kết, chẳng hạn 4 liên kết (hình 8-12c), hoặc 5 liên kết (hình

8-12d),v.v Về mặt cấu tạo, đây là các dầm có “thừa” liên kết Những dầm có thừa liên kết được gọi là dầm siêu tĩnh Bậc siêu tĩnh của một dầm bằng với số lượng liên kết thừa của nó tính đổi ra liên kết đơn Nếu ký hiệu n là số bậc siêu tĩnh của dầm thì các dầm trên hình 8-12c và 8-12d có bậc siêu tĩnh lần lượt là n =1 và n = 2

Chú ý rằng chữ “thừa” để trong dấu nháy nói lên rằng về mặt cấu tạo hình học thì dầm có thừa liên kết, nhưng thực tế các liên kết thừa này có tác dụng làm tăng độ cứng của dầm và làm giảm đáng kể nội lực phát sinh trong dầm

Vì dầm siêu tĩnh có thừa liên kết nên số lượng phản lực liên kết của dầm luôn nhiều hơn số lượng phương trình cân bằng tĩnh học độc lập có thể viết cho hệ Như vậy, về bản chất vật lý muốn xác định được tất cả các phản lực cũng như nội lực trong dầm siêu tĩnh thì ngoài số lượng phương trình cân bằng đã có ta phải bổ xung thêm một số phương trình dựa vào điều kiện chuyển vị của dầm, số lượng phương trình phải bổ xung thêm sẽ bằng với số bậc siêu tĩnh n của dầm Dưới đây trình bày một ví dụ cụ thể giúp ta có thể nắm bắt được cách giải các bài toán dầm siêu tĩnh

Ví d ụ 8-8 : Cho dầm có một đầu được ngàm chặt còn đầu kia đặt trên gối tựa di động như trên hình 8-13a Hãy vẽ biểu đồ mô men uốn và lực cắt của dầm, biết dầm có độ cứng EJ = const

+ Bước 1: Biến đổi dầm siêu tĩnh đã cho về một đầm tĩnh định tương đương:

Tưởng tượng loại bỏ gối tựa di động tại

B (xem đây là liên kết thừa) để đưa dầm siêu tĩnh đã cho về dầm tĩnh định đã biết cách giải Để dầm tĩnh định này làm việc hoàn toàn tương đương với dầm siêu tính đã cho ta phải:

- Bổ xung thêm ẩn lực V B tại vị trí gối tựa B bị loại bỏ (chiều VB có thể giả thiết bất kỳ)

- Bổ xung thêm phương trình dựa vào điều kiện chuyển vị: Độ võng tại gối B trong dầm tĩnh định do tải trọng q và ẩn lực VB gây ra phải bằng không (vì trong dầm siêu tĩnh chịu tải trọng phân bố q độ võng tại gối B luôn bằng không): yB(q,VB) = 0 (a)

+ Bước 2: Giải phương trình bổ xung và các phương trình cân bằng tĩnh học để xác định ẩn lực đặt thêm vào (VB) và các phản lực Trong ví dụ, người ta chỉ cần giải phương trình bổ xung để tìm VB:

Theo nguyên lý độc lập tác dụng của các lực, ta có thể viết lại (a) như sau: yB(q) + yB(VB) = 0 (b) trong đó:

- yB(q) là độ võng tại tiết diện B do tải trọng phân bố q gây ra có thể tìm được nhờ

3 phương pháp đã nêu ở trên Lấy kết quả đã có ở ví dụ 8-5:

- yB(VB) là độ võng tại mặt cắt B do tải trọng ẩn lực VB gây ra, từ kết quả ví dụ 8-

V B =+3 l (dấu + chứng tỏ chiều VB có chiều đi lên nhưđã giả thiết là đúng)

+ Bước 3: Vẽ các biểu đồ nội lực Qy và Mx Đặt ẩn lực VB vừa tìm được cùng với tải trọng phân bố q lên dầm tĩnh định Dùng phương pháp mặt cắt quen thuộc để thiết lập biểu thức và vẽ các biểu đồ nội lực Qy và

Chú ý: Có thể vẽ nhanh hơn các biểu đồ nội lực Qy và Mx bằng phương pháp cộng biểu đồ (biểu đồ mô men và lực cắt chỉ do q gây ra và biểu đồ mô men và lực cắt chỉ do VB gây ra)

BÀI TẬP 8.1 Viết phương trình đường đàn hồi của dầm cho trên hình 8-1B( a,b,c,d) bằng phương pháp tích phân bất định, biết độ cứng chống uốn của dầm là EJ=const

8.2 Bằng phương pháp thông số ban đầu, viết phương trình độ võng và góc xuay của dầm cho trên hình 8-2B (a, b, c, d), biết EJ = const q l

8.3 Cho các dầm trên hình 8-3B , biết EJ = const Bằng phương pháp đồ toán, hãy: a) Tính độ võng và góc xoay tại đầu A ( yA =?, ϕA =?) của dầm trên Hình 8-3B(a) b) Tính độ võng tại C (yC =?) và góc xoay tại A (ϕA =?) của dầm trên hình 8-3B(b) c) Tính độ võng tại B (yB =?) và góc xoay tại A (ϕ A =?) của dầm trên hình 8-3B(c)

8.4 Một dầm có mặt cắt ghép 2 hình chữ [ chịu lực như hình 8-4B Hãy chọn số hiệu thép mặt cắt hình chữ [ để dầm đảm bảo độ bền và độ cứng, cho biết P = 40kN, l 3m, [σ] = 16kN/cm 2 E = 2.10 4 kN/cm 2 , [ f] = (1/400)l

8.5 Vẽ biểu đồ mô men uốn và biểu đồ lực cắt cho các dầm siêu tĩnh chịu tải trọng như trên hình 8-5B, cho biết độ cứng của các dầm EJ = const

DẦM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI

Khái niệm và các giả thuyết về nền

Trong các chương 7 và 8 chúng ta đã nghiên cứu cách tính các dầm đặt trên các liên kết bao gồm các ngàm và các gối tựa cứng như trên hình 9-1a Đối với loại dầm này tải trọng tác dụng lên dầm sẽ truyền xuống nền tại vị trí có liên kết tựa Các phản lực liên kết của nền lên dầm chỉ là các mô men tập trung hoặc lực tập trung Số lượng các phản lực liên kết nói trên luôn luôn là hữu hạn nên chỉ cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học (đối với dầm tĩnh định), hoặc dùng các phương trình cân bằng tĩnh học và bổ xung thêm một số phương trình về chuyển vị của dầm là đủ (đối với dầm siêu tĩnh)

Tuy nhiên trong thực tế xây dựng ta còn gặp rất nhiều dầm và các bản đáy công trình đặt trực tiếp trên nền đất, nền đá, nền nhân tạo,v v Chẳng hạn như các dầm móng nhà dưới hàng cột (hình 9-1b), bản đáy các trạm bơm và các cống trong công trình thuỷ lợi, các đường ray đặt trên nền đường sắt,v.v…Do các nền đều có tính đàn hồi nên người ta gọi tên chúng là dầm trên nền đàn hồi Dầm trên nền đàn hồi có đặc điểm rất khác với các dầm đặt trên gối tựa cứng ở chỗ là khi tải trọng đặt lên dầm nó sẽ truyền xuống nền tại mọi vị trí mà dầm tiếp xúc với nền Có thể thấy phản lực của nền lên dầm phân bố trên toàn bộ diện tích tiếp xúc giữa dầm và nền và nói chung qui luật phân bố của chúng là rất phức tạp vì nó phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố khác nhau của dầm cũng như của nền Vì tại mọi điểm tiếp xúc giữa dầm và nền đều xuất hiện các phản lực nền có cường độ phân bố p mà ta chưa biết được nên dầm trên nền đàn hồi là một loại dầm siêu tĩnh đặc biệt với bậc siêu tĩnh n là vô hạn Ngoài ra ta còn thấy độ võng của dầm tại mỗi điểm không những phụ thuộc vào độ cứng của dầm mà còn phụ thuộc vào các đặc tính đàn hồi của nền Do có nhiều yếu tố phức tạp kể trên nên khi giải bài toán dầm trên nền đàn hồi người ta thường phải sử dụng các giả thuyết về nền Mỗi giả thuyết mô phỏng khái quát về các đặc tính chung của nền, từ đó đưa ra các lời giải tương ứng Cho đến nay đã có rất nhiều giả thuyết khác nhau về nền, tuy nhiên chỉ có một số ít các giả thuyết đã và đang được chấp nhận để tính toán dầm trên nền đàn hồi Dưới đây sẽ trình bày một số giả thuyết rất cơ bản về nền

Phản lực nền phân bố theo luật bậc nhất dọc theo chiều dài của dầm

Theo giả thuyết này người ta cho rằng phản lực p của nền lên dầm phân bố đều theo bề rộng b của dầm (vì bề rộng b là rất nhỏ so với chiều dài l của dầm) và phân bố theo luật bậc nhất dọc theo suốt chiều dài của dầm, tức là: p(z) = a.z + c (9.1)

Trên hình 9-2 mô tả qui luật phân bố của phản lực nền theo giả thuyết này, trong đó a và c là các hằng số được xác định từ các phương trình cân bằng Theo giả thuyết này khi đã biết được các hằng số a và c thì ta hoàn toàn có thể xác định được nội lực và chuyển vị của dầm, có nghĩa là theo giả thuyết này dầm trên nền đàn hồi được tính toán dễ dàng như một dầm tĩnh định đơn giản

Rõ ràng rằng giả thuyết này là quá thô sơ vì bất luận độ cứng của dầm ra sao và tính chất đàn hồi của nền như thế nào thì nó đều cho rằng phản lực của nền đều là hàm bậc nhất dọc theo chiều dài của dầm Do tính quá thô sơ như vậy nên các kết quả tính toán dầm trên nền đàn hồi theo giả thuyết này gần như không phù hợp với thực tế Chỉ trong trường hợp dầm có độ cứng rất lớn được đặt trên nền rất mềm (hoặc trên nền phao) thì giả thuyết này mới cho kết quả tương đối phù hợp Do vậy hiện tại giả thuyết này không được sử dụng mà nó chỉ mang ý nghĩa lịch sử mà thôi

Giả thuyết 2: Giả thuyết Winkler ( Vin-cơ-le 1867):

Cường độ phản lực của nền tại mỗi điểm tỷ lệ với độ lún của nền hay độ võng của dầm tại chính điểm đó

Nếu gọi y(z) là độ lún của nền hay độ võng của dầm tại điểm bất kỳ có toạ độ z, ko là hệ số nền và p(z) là phản lực của nền tại chính điểm đó, thì theo giả thuyết Winkler giữa chúng có mối liên hệ như sau:

Nếu bề rộng b của dầm rất nhỏ so với chiều dài l của dầm thì ta có thể xem rằng phản lực nền phân bố đều theo bề rộng b và chỉ biến thiên theo trục dầm z nên theo (9.2) có thể viết: p(z) = k y(z) (9.3) trong đó : k = ko.b (9.4)

Trong các công thức trên k và k được gọi là hệ số nền

• Đối với móng các trạm bơm, móng các cống (hình 9-3a) v.v thường thoả mãn tính chất của bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi, để cho tính toán được đơn giản hơn người ta thường cắt ra một giải có bề rộng b = 1m (hình 9-3b) để tính toán như một dầm trên nền đàn hồi

• Hệ số nền ko hoặc k là một đặc trưng cơ học rất quan trọng của nền (có đơn vị là kN/m 3 , MN/m 3 , ) Với mỗi loại nền khác nhau hệ số nền k phải được xác định chính xác bằng thực nghiệm hiện trường (khoan nền để lấy mẫu và phân tích), dùng bàn nén tại hiện trường hoặc có thể lấy gần đúng bằng cách tra bảng đã có sẵn dưới đây:

B ả ng 9-1 : H ệ s ố n ề n k o Đặc tính chung của nền Tên đất nền Hệ số nền k o (MN/m 3 ) Đất có độ chặt kém Đất chảy Đất mới đắp Đất sét ướt và mềm nhão

1 ÷ 5 Đất có độ chặt trung bình Sỏi đắp (nhân tạo) Đất sét ẩm

Cát đầm chặt Sạn, sỏi Đá dăm Đất sét có độ ẩm bé

50 ÷ 100 Đất rất chặt Đất sét pha cát đầm kỹ Đất sét cứng

Nền cứng Đá mềm có vết nứt Đá vôi Đá đá sa thạch

Nền rất cứng Đá rất rắn 1000 ÷ 15000

Nền nhân tạo Nền cọc 50 ÷ 150

Nền từ vật liệu xây dựng Gạch Đá xây

Bê tông và bê tông cốt

Giả thuyết Winkler là một giả thuyết rất nổi tiếng, nó có ưu việt hơn hẳn giả thuyết thứ nhất ở chỗ đã xét đến sự làm việc tương tác giữa dầm và nền, đã coi phản lực của nền tại một điểm là một đại lượng có liên quan chặt chẽ đến độ cứng (độ võng) của dầm và tính chất cơ học của nền (hệ số nền ko) Vì vậy kết quả tính toán dầm trên nền đàn hồi theo giả thuyết này cho kết quả khá phù hợp với thực tế, nhất là trong trường hợp nền là lớp đất mềm và tương đối mỏng nằm phía trên của lớp đá cứng

Nền theo giả thuyết Winkler (gọi tắt là nền Winkler) là loại nền lún cục bộ, nghĩa là độ lún của nền chỉ xảy ra tại các điểm nằm phía dưới của dầm nên có thể mô tả nền như một hệ thống gồm vô số lò xo độc lập đặt thẳng đứng sát với nhau (hình 9-4.a) Nói cách khác mô hình nền Winkler mới chỉ xét đến tính đàn hồi của nền theo một phương (phương thẳng đứng) mà thôi Thực tế chỉ ra rằng nền không chỉ bị lún trong phạm vị dưới đáy dầm mà còn bị lún ngoài phạm vi của đáy dầm nữa (hình 9- 4.b), có nghĩa là nền không chỉ có tính đàn hồi theo phương thẳng đứng mà còn có tính đàn hồi theo phương ngang và theo nhiều phương nữa Điều này nói lên rằng phản lực của nền tại mỗi điểm không những phụ thuộc vào độ lún của nền tại chính điểm đó mà còn phụ thuộc vào độ lún của các điểm lân cận nó nữa Tóm lại việc sử dụng nền Winkler để tính toán dầm và các kết cấu trên nền đàn hồi nói chung là đơn giản nhưng lại cho kết

Hình 9-4 a) b) rãi ở nhiều nước trên thế giới, nhất là ở Mỹ và các nước Tây Âu Để khắc phục được một số tồn tại đã nêu ở trên của giả thuyết này, hiện nay người ta đã mở rộng giả thuyết Winkler sang mô hình nền có hai hệ số (hệ số theo phương thẳng đứng và phương ngang – nền Paschernak), và một số mô hình nền khác Đồng thời trong tính toán độ lún người ta còn chú ý xét đến ảnh hưởng của tải trọng bên

Nền được coi là một nửa không gian vô hạn đàn hồi đồng chất và đẳng hướng

Trên cơ sở của giả thuyết này, môn Lý thuyết đàn hồi đã lập ra các lời giải khá dài và phức tạp, có thể áp dụng để tính toán dầm và các kết cấu trên nền đàn hồi Lời giải của Lý thuyết đàn hồi cho thấy lực đặt tại một điểm bất kỳ trên nền không những gây ra độ lún tại chính điểm đó mà còn gây ra độ lún của các điểm xung quanh nó với độ lớn giảm dần theo khoảng cách đến điểm đặt lực Theo quan điểm này ta có thể xét ảnh hưởng của tải trọng bên đến độ lún của dầm đang khảo sát Hình 9-5 là sơ đồ tính toán bản đáy của một cống lấy nước Tải trọng tác dụng lên cống ngoài trọng lượng bản thân, trọng lượng và áp lực nước ta còn xét đến ảnh hưởng theo phương thẳng đứng và phương ngang của lớp đất đắp hai bên mang cống

Trong thực tế hầu như ta không gặp các loại nền hoàn toàn đồng chất và đẳng hướng Theo kết quả khoan thăm dò địa chất rất nhiều nền công trình thì thấy rằng các nền được cấu tạo bởi rất nhiều lớp, mỗi lớp có tính chất cơ lý khác nhau Do vậy, việc tính toán các kết cấu trên nền theo giả thuyết nền bán không gian vô hạn đàn hồi, đồng chất và đẳng hướng thường không cho kết quả phù hợp với thực tế Để khắc phục nhược điểm này người ta đã đưa ra mô hình nền nhiều lớp, trong đó mỗi lớp là một môi trường đồng chất và đẳng hướng, và sử dụng các phương pháp số (phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn) để tính toán các kết cấu trên nền

Tóm lại, mỗi giả thuyết về nền cũng chỉ cho kết quả phù hợp trong một số trường hợp nhất định, chính vì vậy dầm trên nền đàn hồi nói riêng và các kết cấu trên nền đàn Đất đắp Đất gốc Đất gốc a) b)

Hình 9-5 hồi nói chung vẫn là một vấn đề đang đòi hỏi các nhà cơ học phải tiếp tục quan tâm nghiên cứu

Tính dầm trên nền đàn hồi theo giả thuyết Winkler

9.2.1 Phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi

Xét một đoạn dầm có độ cứng EJ không đổi đặt trên nền đàn hồi và chịu tải trọng phân bố dọc theo trục dầm q(z) như trên hình 9-6 Giả thiết rằng khi chịu lực dầm và nền không bong tách khỏi nhau, có nghĩa là độ võng của dầm luôn luôn bằng với độ lún của nền tại mọi điểm Gọi y(z) là độ võng của dầm hay độ lún của nền tại mặt cắt bất kỳ có hoành độ z, theo Winkler ta có phản lực của nền là:

Theo chiều hệ toạ độ đã chọn trên hình 9-6, ta qui ước dấu của các đại lượng như sau: y(z) là dương khi dầm hay nền bị lún xuống phía dưới, còn tải trọng phân bố q(z) và phản lực nền p(z) là dương khi có chiều từ dưới hướng lên phía trên Nếu gọi q(z) là tổng cường độ của lực phân bố tác dụng lên dầm tại mặt cắt z thì ta có thể viết :

Giả sử rằng trong quá trình bị uốn vật liệu của dầm vẫn làm việc trong giới hạn đàn hồi nên ta có thể áp dụng phương trình vi phân quen thuộc đã được thiết lập ở chương 9 cho bài toán này như sau:

2 =− (c) Đạo hàm tiếp hai lần phương trình (c) ta sẽ được:

Chuyển vế (d) ta được phương trình sau:

Hình 9‐6 thì ta sẽ có phương trình vi phân trục võng của dầm trên nền đàn hồi mhư sau:

Chú ý rằng (9.6) là phương trình vi phân cấp 4 không thuần nhất, trong đó m là một hệ số đặc trưng của dầm trên nền đàn hồi, nó phụ thuộc vào cả độ cứng EJ của dầm và tính chất đàn hồi (hệ số ko) của mỗi loại nền khác nhau Hệ số m có thứ nguyên là :

1 − và có đơn vị là : m -1 , cm -1

9.2.2 Lời giải tổng quát của bài toán dầm trên nền đàn hồi

Nghiệm y(z) của phương trình vi phân cấp 4 không thuần nhất (9.6) sẽ bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng:

0 ) z ( y m 4 ) z ( y IV + 4 = (9.7) và một nghiệm riêng y(z)của phương trình vi phân không thuần nhất (9.6)

• Phương trình đặc tính của phương trình vi phân thuần nhất (9.7):

0 m 4 r 4 + 4 sẽ có 4 nghiệm là : r1= m+im r2 = m-im r3 = -m+im r4 = -m-im

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất (9.7) là: im m 4 im m 3 im m 2 im m 1 o(z) A e A e A e A e y = + + − + − + + − − (9.8)

Trong đó : A1, A2, A3, A4 là các hằng số tích phân sẽ đựơc xác định tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể

• Trong trường hợp tải trọng phân bố q(z) có dạng hằng số hoặc bậc nhất thì nghiệm riêng y(z)của phương trình vi phân không thuần nhất (9.6) có thể chọn: k

Cuối cùng nghiệm y(z) của của phương trình vi phân không thuần nhất (9.6) là: k

A ) z ( y = 1 m + im + 2 m − im + 3 − m + im + 4 − m − im − (9.10) Nghiệm (9.10) có thể biến đổi về dạng hàm lượng giác như sau: k

) z ( ) q simz C mz cos C ( e ) mz sin C mz cos C ( e ) z ( y = mz 1 + 2 + − mz 3 + 4 − (9.11)

Như vậy theo (9.11) ta có được phương trình trục võng của dầm trên nền đàn hồi Đạo hàm một lần (9.11) ta sẽ nhận được phương trình góc xoay của trục võng Tiếp tục đạo hàm lần thứ hai và thứ ba ta sẽ nhận được phương trình biểu thị mô men uốn và lực cắt dọc theo trục dầm dưới dạng:

Chú ý rằng các hằng số C1, C2, C3, C4 trong (9.11) cũng tương tự như các hằng số

A1, A2, A3, A4 đã nói ở trên sẽ được xác định tuỳ thuộc vào các bài toán cụ thể

Dưới đây ta sẽ áp dụng lời giải tổng quát (9.11) vào một số bài toán thường gặp trong thực tế.

Bài toán dầm dài vô hạn

Xét một dầm được giả thiết là dài vô hạn đặt trên nền đàn hồi, chịu một lực tập trung P như trên hình 9-7a Vì dầm dài vô hạn nên có thể xem rằng lực P nằm trên trục đối xứng y của dầm

Chọn gốc O của hệ trục toạ độ trùng với điểm đặt lực P như hình 9.7 Áp dụng lời giải tổng quát (9.11) đã có vào bài toán này và chú ý tới q(z) = 0, ta có phương trình trục võng của dầm là: mz mz

1 2 3 4 y(z) e (C cos mz C sin mz) e= + + − (C cos mz C sin mz)+ (9.12) Để xác định các hằng số C1, C2, C3, C4 ta dựa vào các điều kiện biên sau đây:

• Tại mặt cắt cuối của dầm với z = +∞ thì độ võng của dầm tại đó bằng không, nghĩa là:

C1 = C2 = 0 (b) và phương trình (9.12) được viết lại là: mz

Từ phương trình trục võng (9.12), có thể suy ra phương trình góc xoay, mô men uốn và lực cắt của dầm như sau:

] mz sin ) C C ( 2 mz cos ) C C ( 2 [ e EJm ) z ( M ) z (

Ta có thể nhận thấy rằng do tính chất đối xứng của dầm và tải trọng nên biểu đồ độ võng y(z) và biểu đồ mô men uốn M(z) sẽ đối xứng, còn biểu đồ góc xoay θ(z)và biểu đồ lực cắt Q(z) sẽ phản đối xứng qua trục đối xứng y của dầm Do vậy ta chỉ cần xét cho nửa dầm phía bên phải rồi suy ra cho nửa bên trái

• Do tính chất đối xứng của dầm và tải trọng nên góc xoay tại gốc toạ độ O nằm trên trục đối xứng của dầm phải bằng không, nghĩa là:

• Tách ra một đoạn dầm rất ngắn giới hạn bởi mặt cắt lân cận trái và lân cận phải của mặt cắt đi qua gốc toạ độ như trên hình 9-8 Để thỏa mãn điều kiện cân bằng thì trị số lực cắt tại mặt cắt bên trái và bên phải điểm O phải bằng P/2 và có chiều đi lên, nghĩa là tại mặt cắt bên phải điểm O ta có: z y dz

Thay các hằng số C3 và C4 từ (g) vào (9.12) đến (9.15) và chú ý đặt: mz mz 1 mz 2 mz 3 e (cos mz sin mz) e (cos mz sin mz) e cos mz e sin mz

(9.17) thì phương trình độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt của dầm là:

(chú ý: các hàm số η , η 1 , η 2 , η 3 có thể tính trực tiếp bằng máy tính hoặc tra bảng trong phụ lục 1 ở cuối giáo trình)

Các biểu đồ biểu diễn độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt của dầm theo lời giải (9.18) được vẽ trên hình 9-7 b,c,d,e) Từ các biểu đồ này ta đưa ra các nhận xét sau đây:

1 Tại mặt cắt đặt lực tập trung P thì độ võng, mô men uốn và lực cắt đạt giá trị cực đại bằng:

2 Các biểu đồ trên hìmh 9-7 đều có dạng tuần hoàn tắt dần theo z với chu kỳ m.

= Thật vậy, tại mặt cắt cách gốc toạ độ O một nửa chu kỳ z mπ

= thì độ võng chỉ còn bằng 4% độ võng lớn nhất, tại mặt cắt cách gốc toạ độ O một chu kỳ m z 2π

= thì độ võng chỉ còn bằng 0,2% độ võng lớn nhất và có thể coi như bằng không

Từ đây ta rút ra kết luận rằng dầm được coi là dài vô hạn nếu khoảng cách từ điểm dặt lực P đến các đầu mút của dầm lớn hơn m

2π như trên hình 9-9 Nếu không thoả mãn thì dầm được coi là dài hữu hạn và sẽ được nghiên cứu sau

1) Khi tính toán dầm chịu nhiều lực tập trung ta có thể sử dụng nguyên lý cộng tác dụng, nhưng để ý rằng khi áp dụng công thức (9.18) ta phải chọn gốc toạ độ tại điểm đặt lực đối với mỗi lực tập trung

2) Khi dầm chịu tải trọng phân bố trước khi áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta phải chia khoảng trên đó có lực phân bố tác dụng thành nhiều các khoảng nhỏ và thay thế các lực phân bố trên từng khoảng nhỏ này bằng hợp lực bằng tải trọng tập trung tương đương và lại tính toán theo quy tắc ở chú ý 1)

Ví d ụ 9-1 : Cho một dầm có chiều dài 16m đặt trên nền đàn hồi, chịu 4 lực tập trung P1, P2, P3 và P4 mỗi lực có trị số bằng 200 kN như trên hình 9-10 Hãy tính độ võng và mô men uốn tại mặt cắt B của dầm, biết dầm có mặt cắt hình chữ nhật với kích thước b = 60cm, h = 20cm, mô đun đàn hồi E = 2.10 7 kN/m 2 Nền có hệ số ko= 80 MN/m 3

* Bước 1 : Phân tích các số liệu về dầm:

- Mô men quán tính của mặt cắt:

So sánh và thấy a > T và b>T, nên dầm đã cho thuộc loại dài vô hạn

* Bước 2: Tính các giá trị đề bài yêu cầu: m P a 2 π

P P P Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính độ võng và mô men uốn tại mặt cắt B như sau:

Sử dụng công thức (9-18) để tính độ võng và mô men uốn tại mặt cắt B do 4 lực

P1, P2, P3 và P4 lần lượt đặt tại 4 điểm A, B, C, D gây ra Trong tính toán cần chú ý đến toạ độ của B đối với các gốc toạ độ lần lượt là A, B, C, D của 4 bài toán riêng biệt Các trị số z B , mz B , η , η 1 lần lượt đối với 4 lực P1, P2, P3 và P4 được cho trong bảng dưới đây:

Tên các lực tập trung P1 P2 P3 P4

Toạ độ điểm B (zB) +1,0 (m) 0,0 (m) -1,0 (m) -2,0 (m) mz 1,1 0,0 -1,1 -2,2 η 0,4476 1,0 0,4476 0,0244 η1 -0,1457 1,0 -0,1457 -0,1548

Bài toán dầm dài bán vô hạn

Xét một dầm đặt trên nền đàn hồi, một đầu chịu lực tập trung Po và mô men tập trung Mo còn đầu kia xem như dài vô hạn như trên hình 9-11 Ta gọi đây là dầm dài bán vô hạn Chọn hệ trục toạ độ zoy có gốc O trùng với vị trí đặt lực Áp dụng lời giải tổng quát dưới dạng đã rút gọn (9.16) cho bài toán này, trong đó 2 hằng số tích phân C3 và C4 được xác định từ 2 điều kiện biên sau đây: o 0 z M

Thay các hằng số vừa tìm được vào (9.16) ta được phương trình của trục võng, tiếp tục suy ra phương trình của góc xoay, mô men uốn và lực cắt như sau:

Bài toán dầm dài hữu hạn

Những dầm không thuộc loại dài vô hạn, hoặc dài bán vô hạn như đã nói trên sẽ được xem là dầm dài hữu hạn

Xét một dầm thuộc loại dài hữu hạn có độ cứng EJ không đổi đặt trên nền đàn hồi như trên hình 9-12 Giả sử dầm gồm có n đoạn, ký hiệu là 1, 2, 3, , i, i+1, ,n Xét hai đoạn i và i+1 kề liền nhau, tải trọng phân bố q(z) trên 2 đoạn dầm ký hiệu là qi(z) và qi+1(z) có dạng hằng số hoặc bậc nhất Tại điểm nối đoạn i và i+1 có hoành độ z = a, có đặt lực tập trung Pa và mô men tập trung Ma, có cấu tạo để dầm có bước nhảy độ võng Δy a và bước nhảy góc xoay Δθ a Tương tự như phương pháp thông số ban đầu đã biết, ta có thể biểu diễn độ võng và tải trọng của đoạn thứ i+1 theo đoạn thứ i như sau:

= ) z ( q i + 1 i (9.22) trong đó: Δy(z) và Δq(z) là bước nhảy của độ võng và của tải trọng phân bố tại hoành độ z > a và là hàm của (z – a)

Bây giờ ta viết phương trình vi phân trục võng cho đoạn thứ i và thứ i+1:

Thay y i+ 1 ( z ) từ (9.21) cùng đạo hàm cấp 4 của nó và q i+ 1 ( z ) theo (9.22) vào (9.24) ta được:

Thực hiện phép trừ giữa 2 phương trình (9.24*) với (9.23) ta được:

Nhận xét: Phương trình (9.25) chính là phương trình vi phân cấp 4 của bước nhảy độ võng của dầm tại hoành độ z > a Nó có dạng hoàn toàn giống với phương trình vi phân trục võng của dầm (9.6), do vậy có thể viết nghiệm của (9.25) là: m(z a)

Từ (9.26) thực hiện thêm các bước sau đây:

1 Khai triển Taylor bước nhảy Δ q ( z )tại hoành độ z = a ta được:

Trong đó: Δq a ,Δq , a là bước nhảy của cường độ tải trọng phân bố và đạo hàm của nó tại hoành độ z = a

2 Đưa vào (9.26) một số hàm Hypecbolic ký hiệu như sau:

Bây giờ ta có thể viết lại (9.26) như sau: Δy(z-a) = H 1 Am(z-a) + H2 Bm(z-a) + H3 Cm(z-a) + H4 Dm(z-a) -

Từ đây tiếp tục đạo hàm ta nhận được phương trình bước nhảy góc xoay, bước nhảy mô men uốn và lực cắt như sau:

− θ Δ (z a) - 4H1 Dm(z-a)+ mH2 Am(z-a)+ mH3 Bm(z-a)+ mH4 Cm(z-a) q , a k

* Chú ý rằng các đại lượng trong công thức (9.29) có ý nghĩa như sau:

1 Các hàm A, B, C, D có đối số là m(z-a) có tên gọi là hàm Krưlốp Giá trị các hàm Krưlốp có thể tính trực tiếp theo( 9.28) hoặc tra bảng phụ lục 2 ở cuối giáo trình này Lưu ý rằng các hàm Krưlốp có một số tính chất đặc biệt như sau:

• Từ (9.28) suy ra rằng khi đối số m(z-a) = 0 thì chỉ hàm A có giá trị bằng 1, còn lại các hàm B, C, D đều có giá trị bằng không

• Từ (9.28) thấy rằng các hàm A, B, C, D có tính chất hoán vị vòng quanh theo sơ đồ trên hình 9-13

2 Các hằng số H1, H2, H3, H4 được xác định từ liên hệ giữa các chuyển vị và nội lực tại vị trí nối tiếp giữa 2 đoạn như sau:

Thay các hằng số vừa tìm được vào (9.29) và (9.30), từ đó viết các phương trình của độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt của đoạn thứ i+1 như sau:

Chú ý : trong các phương trình từ (9.31) đến (9.34) :

1 Các đại lượng Δya, Δθa, ΔMa(Ma), ΔQa(Pa), Δqa, Δq’a là các bước nhảy của chuyển vị, nội lực, tải trọng và đạo hàm của tải trọng tại hoành độ z = a (đầu đoạn thứ i+1)

2 Các phương trình trên đều có dạng công thức truy hồi, do vậy muốn sử dụng được chúng ta tìm cách viết các phương trình trên cho đoạn thứ nhất bằng cách tưởng tưởng thêm đoạn thứ “không” đứng trước nó (đoạn không có chuyển vị) Gọi các thông số tại đầu đoạn thứ nhất tại z = 0 là : yo, θo, Mo, Po, qo, q’o , ta có thể viết các phương trình chuyển vị và nội lực cho đoạn thứ nhất như sau:

Chú ý : các thông số yo, θ o , Mo, Qo, qo, q’o và Δy a , Δθ a , ΔM a , ΔQ a , Δq a , Δq’ a đa số đã biết, chỉ có yo, θo là chưa biết và chúng sẽ được xác định dựa vào điều kiện mô men uốn và lực cắt đã biết tại đầu cuối của dầm

Cho một dầm dài 12m, đặt trên nền đàn hồi có hệ số nền ko= 60 MN/m 3 Biết dầm mặt cắt hình chữ nhật có b = 1,0 m và h = 0,8 m, dầm chịu các tải trọng q 20kN/m; P = 300kN; M = 90kNm Mô đun đàn hồi của dầm E = 1.10 7 kN/m 2 (hình 9-

Yêu cầu: Vẽ biểu đồ mô men uốn M và biểu đồ lực cắt Q cho dầm

• Bước 1: Xác định các đặc trưng của dầm và nền:

- Mô men quán tính: 0,04266(m ) 4266000(cm )

- Tính hệ số k: k = ko.b = 6.10 4 ×1,0 = 6.10 4 ( kN/m 2 )

• Bước 2: Viết phương trình mô men uốn và lực cắt cho dầm

- Lập bảng thông số ban đầu cho các đoạn của dầm :

B ả ng thông s ố ban đầ u Đoạn AB ( zA= 0 ) Đoạn BC ( zB = 4m ) Đoạn CD ( zC = 8m ) y o ≠ 0 Δy B = 0 Δy C = 0 θ o ≠ 0 Δθ B = 0 Δθ C = 0

P o = - P ΔQB = 0 ΔQC = - P qo = 0 ΔqB = -q ΔqC = 0 q , o =0 Δq’B = 0 Δq’C = 0

- Viết phương trình mô men uốn và lực cắt cho các đoạn dầm Đoạn AB: m

4 = × × - Tìm các thông số yovà θo từ điều kiện mô men uốn và lực cắt tại cuối dầm:

Khai triển (a) ta được hệ 2 phương trình sau chứa các thông số yo và θo :

300 Aml + 13,9.10 4 yo Bml + 32,0.10 4 θ o Cml + 159,0Dm(l-4)

- 693 Bml + 32,0.10 4 yo Cml + 73,8.10 4 θ o Dml - 90Am(l-4)

- 107,0 Cm(l-4) - 693,0 Bm(l-8) =- 90 Tính trực tiếp hoặc tra bảng các hàm Krưlốp với trị số các đối số là: ml = 0,4432.12 = 5,2 m(l- 4) = 0,4432.(12-4) = 3,47 m(l- 8) = 0,4432.(12-8) = 1,73

Ta được giá trị hàm Krưlốp, thay vào (b), kết quả giải ra được: yo = 4,32 10 -3 (m ) θo = - 17,18.10 - 4 (Rad) (c)

Với các giá trị yovà θo vừa tìm được ta viết được phương trình cuối cùng của mô men uốn và lực cắt trong các đoạnn dầm như sau:

Q1(z) = -300Amz + 587,3Bmz - 569Cmz (d) + Đoạn BC: (4≤z≤8)

• Bước 3: Vẽ biểu đồ mô men uốn và lực cắt

Chia dầm bằng 13 mặt cắt cách đều nhau 1m Tính giá trị các hàm Krưlốp ứng với các giá trị của đối số mz, m(z-4), m(z-8) và tính được giá trị của mô men uốn và lực cắt trên 13 mặt cắt tương ứng với các giá trị z = 0,1,2, ,12 Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn với các giá trị đã tính được như trên hình 9-14b,c

BÀI TẬP 9.1 Hai dầm thép chữ I số 30 đặt trên nền đất chặt có hệ số nền k00MN/cm 2 chịu tác dụng của xe ô tô tiêu chuẩn H30, trọng lượng các trục xe ghi trên hình 9-1B

Tính độ võng và mô men uốn của dầm ở các mặt cắt A, B và C Coi như dầm dài vô hạn

9.2 Một dầm dài vô hạn đặt trên nền đàn hồi chịu lực như hình 9-2B Tính ứng suất pháp lớn nhất tại mặt cắt A Cho biết hệ số dầm nền cm 1

24 m= 1 − , mô men uốn của mặt cắt ngang của dầm Wx0 cm 3

9.3 Một dầm dài vô hạn đặt trên nền đàn hồi chịu lực như hình 9-3B Tính ứng suất pháp lớn nhất tại mặt cắt A

Cho biết: m = 1/20cm -1 , Wx = 200cm 3

85 kN 85 kN 87 kN 87 kN 90 kN

9.5 Viết các thông số ban đầu của các dầm đặt trên nền đàn hồi cho trên hình 9-5B Viết các điều kiện biên để xác định các thông số ban đầu chưa biết

9.6 Thành lập biểu thức của lực cắt, mô men uốn, góc quay và độ võng của dầm đặt trên nền đàn hồi cho trên hình 9-6B Vẽ biểu đồ của các đại lượng đó Cho hệ số dầm nền m = 0.0021cm -1

HỢP CHỊU LỰC PHỨC TẠP

Khái niệm và phân loại bài toán

Trong các chương trước đây ta mới chỉ nghiên cứu các thanh thẳng chịu lực đơn giản như kéo (nén) đúng tâm, xoắn thuần tuý và uốn ngang phẳng Đó là các trường hợp dưới tác dụng của ngoại lực trên các mặt cắt ngang của thanh chỉ xuất hiện một trong ba thành phần nội lực là: Nz, Mx (hoặc My) và Mz

Trong thực tế, ta gặp nhiều các thanh thẳng chịu cả kéo (nén) và uốn (như hình 10-1a), chịu uốn và xoắn (hình 10-1b), chịu kéo (nén), uốn và xoắn đồng thời (hình 10-1c) Ta gọi đây là các trường hợp chịu lực phức tạp, có nghĩa là mỗi bài toán bao gồm 2 hay nhiều trường hợp chịu lực đơn giản đã nghiên cứu trước đây Đối với các bài toán chịu lực phức tạp, người ta thường bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt mà chỉ xét đến ảnh hưởng của lực dọc Nz, mô men uốn Mx và My, mô men xoắn Mz

Tuỳ thuộc vào sự có mặt các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang người ta phân chia ra các bài toán sau đây:

1 Bài toán uốn xiên: Khi trên các mặt cắt ngang tồn tại đồng thời mô men uốn Mx và mô men uốn My

2 Bài toán uốn và kéo (nén) đồng thời (hay uốn + kéo, nén): Khi trên các mặt cắt ngang tồn tại đồng thời lực dọc Nz và các mô men uốn Mx, My ( hoặc Nz và Mx, hoặc Nz và

3 Bài toán uốn và xoắn đồng thời: Khi trên các mặt cắt ngang tồn tại đồng thời mô men xoắn Mz, và các mô men uốn Mx, My (hoặc Mz và Mx, hoặc Mz và My)

4 Bài toán chịu lực tổng quát: Khi trên các mặt cắt ngang tồn tại đồng thời lực dọc Nz, các mô men uốn Mx, My và mô men xoắn Mz Để nghiên cứu các bài toán chịu lực phức tạp chúng ta có thể áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng của các lực Theo nguyên lý này, có thể xem kết quả của bài toán x z

Hình 10-1 y chịu lực phức tạp là tổng các kết quả của các bài toán chịu lực đơn giản như kéo (nén) đúng tâm, xoắn thuần tuý và uốn phẳng đã biết

Dưới đây ta lần lượt đi sâu nghiên cứu từng bài toán cụ thể.

Bài toán uốn xiên

10.2.1 Định nghĩa và nhận dạng bài toán

Một thanh được gọi là uốn xiên nếu trên các mặt cắt ngang của nó tồn tại đồng thời 2 thành phần nội lực là mô men uốn Mx và My (hình 10-2a) Để tiện lợi cho tính toán, ta qui ước dấu các thành phần nội lực như sau:

• Mô men uốn Mx mang dấu dương nếu nó làm căng phần phía dương của trục y (hay gây ra ứng suất kéo ở miền có tung độ y là dương) như trên hình 10-2a và ngược lại sẽ mang dấu âm

• Mô men uốn My mang dấu dương nếu nó làm căng phần phía dương của trục x (hay gây ra ứng suất kéo ở miền có hoành độ x là dương) như trên hình 10-2a và ngược lại sẽ mang dấu âm

Các mô men uốn Mx và My cũng có thể biểu diễn dưới dạng véc tơ như trên hình 10-2b, chiều véc tơ mô men uốn Mxvà M y xác định theo qui tắc vặn nút chai Khi đã biết các véc tơ mô men uốn Mxvà M yta sẽ có véc tơ mô men tổng Mlà: y x M

Ngược lại nếu đã biết véc tơ mô men tổng Mlại suy ra được giá trị của các mô men uốn thành phần M x và M ylà:

Suy ra giá trị góc α: x y z

Ta gọi đường thẳng tạo với trục x của mặt cắt một góc α xác định theo (10.3) gọi là đường tải trọng của mặt cắt, đường thẳng này cũng là giao tuyến của mặt phẳng tác dụng của mô men tổng với mặt cắt ngang

Một thanh chịu uốn xiên khi tải trọng là các lực tập trung (P), các lực phân bố dọc theo chiều dài của trục (q) phải có phương vuông góc với trục dầm, cắt trục dầm nhưng không trùng với phương trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt (xem hình 10-

Khi tính toán ta thường phân các lực q

Pr r ra 2 thành phần lần lượt theo phương các trục quán tính chính trung tâm x và y của mặt cắt, ký hiệu là Px, Py, qx, qy, sau đó cộng kết quả của 2 bài toán độc lập nhau: Bài toán uốn phẳng quanh trục x do các tải trọng Py, qy gây ra và bài toán uốn phẳng quanh trục y do các tải trọng Px, qx gây ra

10.2.2 Xác định các thành phần nội lực M x và M y

Như đã phân tích ở trên, để xác định các thành phần nội lực Mx và My do các lực tập trung (P) và các lực phân bố (q) gây ra trước hết ta phải phân tích chúng thành 2 thành phần Px và Py , qx và qy Sau đó, áp dụng phương pháp mặt cắt để xác định mô men uốn Mx do các thành phần tải trọng Py và qy gây ra; tương tự xác định mô men uốn My do các thành phần tải trọng Px và qx gây ra

Ví d ụ 10-1 : Dầm công xôn AB đầu A được ngàm chặt còn đầu B tự do, chịu các tải trọng như trên hình 10- 4a Hãy vẽ các biểu đồ mô men uốn Mx và My của dầm

• Bước 1: Phân tích các tải trọng ra 2 thành phần theo phương x và y:

* Vẽ biểu đồ mô men uốn Mx (do Py và qy gây ra):

- Dạng biểu đồ: Trên đoạn dầm AB có lực phân bố qy = const, nên biểu đồ mô men uốn Mx có dạng Parabol bậc 2

- Tính trị số Mx tại các mặt cắt A và B (áp dụng qui ước dấu đã có):

- Vẽ biểu đồ mô men uốn Mx như trên hình 10- 4b (biểu đồ Mx lấy dấu đã quy ước)

* Vẽ biểu đồ mô men uốn My (do Px và qx gây ra):

- Dạng biểu đồ: Trên đoạn dầm AB không có lực phân bố qx, nên biểu đồ mô men uốn My có dạng đường thẳng (bậc nhất)

- Tính trị số My tại các mặt cắt A và B (áp dụng qui ước dấu đã có):

M = = - Vẽ biểu đồ mô men uốn My như trên hình 10- 4c (biểu đồ My vẽ theo quy ướcdấu đã có)

10.2.3 Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang

Xét điểm A bất kỳ có toạ độ x, y trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên (hình 10-5a) Ta nhận thấy rằng, do không xét lực cắt Qx và Qy cho nên tại mọi điểm trên mặt cắt ngang ta chỉ xét một thành phần ứng suất pháp σz do đồng thời cả mô men uốn Mx và My gây ra Theo nguyên lý độc lập tác dụng, ứng suất pháp σz do đồng thời cả mô men uốn Mx và My gây ra sẽ bằng tổng các ứng suất pháp σz do từng thành phần mô men uốn Mx và My tác dụng riêng biệt gây ra, nghĩa là:

Theo kết quả của các bài toán uốn phẳng đã biết thì:

• Ứng suất pháp do riêng M xgây ra bằng: y

• Ứng suất pháp do riêng M y gây ra bằng: x

Thay (b) và (c) vào (a) ta đựơc:

Công thức (10.4) là công thức tổng quát để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên Các đại lượng trong công thức này có ý nghĩa như sau:

- Jx và Jy là mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt ( Jx > 0 và Jy > 0)

- Mx và My là mô men uốn trên mặt cắt ngang chứa điểm cần tính ứng suất pháp,

(Mx và My là các đại lượng có dấu)

- x và y là toạ độ của điểm cần tính ứng suất pháp (x và y là các đại lượng đại số)

Trong kỹ thuật để tránh nhầm lẫn khi tính toán người ta thường dùng công thức (10-

4) dưới dạng công thức kỹ thuật sau đây: x

Trong công thức (10.5) dấu (+) hay (-) trước các số hạng được lấy tương ứng với vị trị của điểm cần tính ứng suất pháp dựa trên cơ sở phân vùng ứng suất Hình 10-

5b,c minh hoạ rõ cách phân vùng ứng suất pháp σ z lần lượt do Mx và My gây ra Từ đây suy ra dấu của ứng suất pháp tại điểm A (xA, yA) trên hình vẽ như sau:

Nhìn vào công thức tổng quát (10.4) ta thấy rằng trên mỗi mặt cắt ngang ngọn của các véc tơ ứng suất pháp σz tạo thành một mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cắt ngang như trên hình 10-6a, ta gọi đây là biểu đồ ứng suất không gian Vết của mặt phẳng ứng suất nói trên với mặt cắt ngang là một đường thẳng qua gốc toạ độ, đó là đường ranh giới giữa miền chịu ứng suất kéo và miền chịu ứng suất nén trên mặt cắt ngang Đường thẳng này được gọi tên là đường trung hoà (hay trục trung hoà) - đó là tập hợp các điểm mà tại đó ứng suất pháp σz có giá trị bằng không Do vậy, để xác định vị trị của trục trung hoà trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên ta xuất phát từ công thức tổng quát (10.4) và cho σz bằng không, nghĩa là:

Cuối cùng ta nhận được phương trình: y = tgβ.x (10.7)

Ta gọi (10.7) là phương trình đường trung hoà trong uốn xiên Dưới đây, ta nêu ra một số tính chất quan trọng của đường trung hoà:

1 Đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt

2 Đường trung hoà và đường tải trọng nói chung không vuông góc với nhau Thật vậy, ta có: y x y x

(Đối với hầu hết các loại mặt cắt ta luôn có J x ≠J y , nên tgα.tgβ ≠ -1) σmax σmin x α β y Đường trung hòa Đường tải trọng α

Trường hợp đặc biệt khi thanh có mặt cắt tròn hoặc đa giác đều, ta luôn có Jx = Jy, dẫn đến tgα.tgβ = -1, lúc này đường trung hòa vuông góc với đường tải trọng Do vậy, thanh không bị uốn xiên mà bị uốn phẳng trong mặt phẳng chứa trục thanh và đường tải trọng.

Bài toán uốn và kéo (nén) đồng thời

10.3.1 Định nghĩa và nhận dạng bài toán

Một thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời khi trên các mặt cắt ngang của nó xuất hiện các thành phần mô men uốn Mx, My và lực dọc Nz hoặc Mx và Nz hoặc My và Nz cùng như trên hình 10-9a,b,c

Thanh sẽ bị uốn và kéo nén đồng thời khi tải trọng tác động vào thanh là các lực tập trung P và các lực phân bố q có phương cắt trục thanh nhưng không vuông góc với trục thanh và lực dọc trục thanh, hoặc các lực có phương song song với trục thanh nhưng đặt lệch tâm mặt cắt

Chẳng hạn như đập chắn nước (hình10-10a) và tường chắn đất (hình10-10b) sẽ chịu nén và uốn đồng thời do trọng lượng bản thân và áp lực của nước hoặc của đất; cột đỡ dầm cầu trục trong các trạm bơm và các xưởng cơ khí (hình 10-10c) sẽ chịu uốn và nén đồng thời do lực đặt không trùng với trục thanh

Thật vậy khi có lực dọc đặt lệch tâm tại điểm K có toạ độ xK, yK bất kỳ trên mặt cắt ngang (hình 10-11a) thì trên mặt cắt ngang sẽ xuất hiện các thành phần nội lực là: z x K y K

Kết quả trên chứng tỏ rằng, cột chịu lực dọc đặt lệch tâm là một trường hợp riêng của thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời Ngược lại một thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời bởi các thành phần nội lực Nz, Mx và My thì cũng có thể đưa về trường hợp trên mặt cắt ngang đó có đặt lực lệch tâm P có giá trị bằng Nz tại điểm K có toạ độ xK, yK như sau:

10.3.2 Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang

Xét điểm A bất kỳ có toạ độ x, y trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn và kéo nén đồng thời (hình 10-9a) Ta nhận thấy rằng, tại mọi điểm trên mặt cắt ngang nếu bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt thì chỉ có một thành phần ứng suất pháp σz do đồng thời cả lực dọc Nz, mô men uốn Mx và My gây ra Theo nguyên lý độc lập tác dụng, ứng suất pháp σz do cả lực dọc Nz, mô men uốn Mx và My gây ra sẽ bằng tổng các ứng suất pháp σz do từng thành phần nội lực Nz, Mx và My tác dụng riêng biệt gây ra, nghĩa là: σ z (Nz, Mx, My) = σ z (Nz) + σ z (Mx) + σ z (My) (a) trong đó: Theo kết quả của các bài toán đơn giản đã biết thì:

+ Ứng suất pháp do riêng Nz gây ra bằng :

+ Ứng suất pháp do riêng M x gây ra bằng: y

+ Ứng suất pháp do riêng gây ra bằng:

Công thức (10.16) được gọi là công thức tổng quát để tính ứng suất pháp trong thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời Các đại lượng trong công thức này có ý nghĩa như sau:

- F là diện tích của mặt cắt ngang

- Jx và Jy là mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt ( Jx >0 và Jy>0)

- Nz, Mx và My là lực dọc và mô men uốn trên mặt cắt ngang chứa điểm cần tính ứng suất pháp σ z (Nz, Mx và My là các đại lượng đại số)

- x và y là toạ độ của điểm cần tính ứng suất pháp (x và y là các đại lượng đại số)

Trong kỹ thuật, để tránh dễ nhầm lẫn khi tính toán, người ta thường dùng công thức

(10.16) dưới dạng công thức kỹ thuật sau đây: x

Dấu (+) hay (-) trong công thức (10-17) tuỳ thuộc vào vị trí của điểm cần tính ứng suất thuộc vùng ứng suất nào (vùng ứng suất kéo hay nén lấy theo phân vùng ứng suất) do từng thành phần nội lực Nz, Mx và My gây ra

Công thức tổng quát (10.16) cho phép chúng ta xác định giá trị của ứng suất pháp σ z tại các điểm trên mặt cắt ngang và vẽ ra đựơc một mặt phẳng ứng suất trong không gian gọi là biểu đồ ứng suất không gian Vết của mặt phẳng ứng suất này trên mặt cắt ngang là một đường thẳng có tên gọi là đường trung hoà (hay trục trung hoà) như trên hình 10-12 Rõ ràng rằng ứng suất pháp σ z tại mọi điểm nằm trên đường trung hoà đều có giá trị bằng không

Như vậy để tìm vị trí của đường trung hoà ta xuất phát từ công thức (10.16) và cho ứng suất pháp σz bằng không, và chú ý tới công thức (10.14 ), ta viết:

+ (f) x y Đường trung hòa σ k max σ n max

(10.18) và chú ý P ≠0, từ (10.18) rút ra được:

2 x y b=− i (10.19) thì từ (h) ta viết được phương trình sau: b 1 y a x+ = (10.20)

Phương trình (10.20) là phương trình đường trung hoà trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời (hay trong trong trường hợp kéo (nén) lệch tâm) và dưới đây là một số tính chất của nó:

1 Đường trung hoà là một đường thẳng không qua gốc toạ độ, nó cắt trục hoành tại hoành độ x = a, và cắt trục tung tại tung độ y b như hình 10-13 (trong đó a và b xác định theo công thức (10.19))

2 Vị trí của đường trung hoà trong trường hợp lệch tâm không phụ thuộc vào độ lớn của lực mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm đặt của lực mà thôi Thật vậy, các hệ số a và b trong phương trình của đường trung hoà theo công thức (10.19) không phụ thuộc vào độ lớn của lực đặt lệch tâm P, nó chỉ phụ thuộc vào toạ độ x K và y K của điểm đặt lực lệch tâm

3 Đường trung hoà và điểm đặt lực lệch tâm luôn luôn nằm ở hai góc phần tư đối nhau Thật vậy theo biểu thức (10.19), a và b luôn trái dấu với xKvà yK

Bài toán uốn và xoắn đồng thời

Một thanh được gọi là chịu uốn và xoắn đồng thời nếu trên các mặt cắt ngang của nó tồn tại các mô men uốn Mx và My ( hoặc chỉ có Mx hoặc chỉ có My) và mô men xoắn Mz

Ví dụ các thanh vừa chịu uốn vừa chịu xoắn như trên hình 10-22a,b Để xác định các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang ta sử dụng phương pháp mặt cắt đã quen thuộc Chẳng hạn tại mắt cắt ngàm của thanh trên hình 10-22a, ta có các thành phần nội lực sau:

10.4.2 Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang

Ta thấy rằng tại đểm A có toạ độ x, y bất kỳ trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn và xoắn đồng thời sẽ xuất hiện ứng suất pháp do mô men uốn uốn Mx và My gây ra và và ứng suất tiếp do mô men xoắn Mz gây ra, trong đó:

+ Ứng suất pháp σz được tính theo công thức: x

+ Ứng suất tiếp τz được tính theo công thức trong trường hợp thanh mặt cắt tròn chịu xoắn thuần tuý: ρ τ ρ

Hoặc theo công thức ứng suất tiếp (6.12), (6.13) trong trường hợp mặt cắt chữ nhât

Dưới đây chúng ta sẽ đi sâu phân tích ứng suất tại những điểm đặc biệt, hay tại những điểm được xem là nguy hiểm trên mặt cắt tròn và mặt cắt chữ nhật làm cơ sở cho việc kiểm tra bền cho các thanh chịu uốn và xoắn đồng thời

Giả sử xét thanh mặt cắt tròn chịu uốn và xoắn đồng thời bởi các mô men uốn Mx , My và mô men xoắn Mz Dưới tác dụng của các mô men uốn Mx và My ta thấy rằng thanh không chịu uốn xiên, mà chịu uốn phẳng bởi mô men uốn tổng cộng Mu nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh và đường tải trọng (hình 10-23a) và có trị số là :

Như vậy tại các điểm A và B là giao điểm của đường tải trọng với chu vi mặt cắt ngang sẽ tồn tại các ứng suất sau:

+ Ứng suất pháp σz có trị số lớn nhất σmax và nhỏ nhất σmin bằng: x u u u min max W

+ Ứng suất tiếp τz có trị số lớn nhất τmax bằng: a)

M U τz max B τ z max σ k max σ n max τ z max σ k max

Nếu mặt cắt đang xét là mặt cắt nguy hiểm nhất thì các điểm A và B chính là các điểm nguy hiểm nhất trong thanh cần phải được kiểm tra về độ bền Như đã biết các phân tố ứng suất tại điểm A và B thuộc trạng thái ứng uất phẳng với các gía trị ứng suất σz = σmax (σmin) và ứng suất tiếp τz = τmax cần được kiểm tra dựa vào các lý thuyết bền đã trình bày ở chương 3

Chẳng hạn nếu kiểm tra bền theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta có:

Nếu kiểm tra bền theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại ta có:

Ví d ụ 10-6 : Một pu-li nặng 5 kN có đường kính 1,2m được lắp tại chính giữa trục quay

AB bằng thép có đường kính d và được làm quay bởi động cơ điện như trên hình 10-24a Lực căng trong dây Cu-roa thuộc phần căng T1 = 6 kN và thuộc phần chùng T2 = 3 kN Hãy xác định đường kính d của trục quay theo điều kiện bền, biết vật liệu làm trục có [σ] 160(MN/m 2 )

Ta nhận thấy rằng mặt cắt C chính giữa của trục AB là mặt cắt nguy hiểm nhất của trục khi động cơ làm việc, tại đây sẽ có các thành phần nội lực sau:

M z = 1 − 2 = − Thay vào điều kiện bền (10.30) ta có:

= π (d) Đồng nhất (c) và (d) giải ra:

Xét thanh mặt cắt chữ nhật chịu uốn và xoắn đồng thời như trên hình 10-25a Trên cơ sở qui luật phân bố ứng suất pháp σz do các mô men uốn Mx và My gây ra và ứng suất tiếp τz do mô men xoắn Mz gây ra, ta hãy phân tích ứng suất tại một số điểm đặc biệt (những điểm được xem là nguy hiểm nhất trên mặt cắt) để làm cơ sở cho việc kiểm tra bền như sau: x

* Tại các điểm góc của mặt cắt B và D ta thấy:

- Ứng suất pháp σz có giá trị lớn nhất: y y x x max z W

- Ứng suất tiếp τz có giá trị bằng không: τz = 0

Kết luận: Các phân tố tại các điểm góc thuộc trạng thái ứng suất kéo (nén) đơn và buộc chúng phải thoả mãn điều kiện bền sau:

* Tại các điểm giữa cạnh dài E và F ta thấy:

- Ứng suất pháp σz có trị số khá lớn: y y z W

- Ứng suất tiếp τz có giá trị cực đại bằng :

Kết luận: Các phân tố tại các điểm giữa cạnh dài thuộc trạng thái ứng suất phẳng và buộc chúng phải thoả mãn điều kiện bền sau:

- Nếu theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta có:

- Nếu theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại ta có:

* Tại các điểm giữa cạnh ngắn G và H ta thấy:

- Ứng suất pháp σz có trị số khá lớn: x y z

- Ứng suất tiếp τz có giá trị khá lớn :

Kết luận: Các phân tố tại các điểm giữa cạnh dài thuộc trạng thái ứng suất phẳng và buộc chúng phải thoả mãn điều kiện bền sau:

- Nếu theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta có:

- Nếu theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại ta có:

Ví d ụ 10-7 : Một thanh công xôn dài l = 0,8m, mặt cắt ngang hình chữ nhật có kích thước b = 8cm và h = 6cm chịu tải trọng như trên hình 10-26.a Hãy kiểm tra bền cho thanh, biết vật liệu làm thanh có ứng suất cho phép [σ] = 60 MN/m 2 và các gía trị của tải trọng P = 4,8 kN và q = 60 kN/m

* Bước 1: Xác định nội lực tại mặt cắt nguy hiểm

Với tải trọng đã cho ta thấy mặt cắt ngàm là nguy hiểm nhất của thanh, với các giá trị nội lực được xác định như sau:

M z =+ l= * Bước 2: Kiểm tra bền tại các điểm đặc biệt tại mặt cắt nguy hiểm

Kiểm tra bền theo điều kiện bền (10-32) ta có:

2 max tt =σ X,5MN/m 0 ta có: k 2

Từ các điều kiện bền (11.10) và (11.11) ta cũng sẽ có 3 bài toán cơ bản sau đây:

• Bài toán kiểm tra bền

• Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang

• Bài toán chọn trị số cho phép của tải trọng

Ví d ụ 11-3 : Tính ứng suất kéo và nén lớn nhất trong thanh cong có trục cong là một phần đường tròn bán kính Ro = 10cm, chịu uốn thuần tuý bởi mô men M = 2kNm như trên hình 11-10a Cho biết thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật với b = 3cm và h

• Tính các số liệu cần thiết:

- Bán kính cong của thớ gần tâm cong nhất R1 và xa tâm cong nhất R2:

R 2 = o + = + - Tính bán kính cong r của thớ trung hoà theo (11.9):

- Tính các toạ độ y1 và y2:

• Tính ứng suất σ max và σ min theo công thức (11.6) và (11.7):

- Tại điểm biên xa tâm cong nhất:

- Tại điểm biên gần tâm cong nhất:

Biểu đồ ứng suất pháp σ z vẽ như trên hình 11-10b

Ví d ụ 11-4 : Hãy kiểm tra bền cho móc cẩu khi nâng vật nặng P = 100kN (hình 11-

11) Biết rằng mặt cắt ngang của móc cẩu có dạng hình thang cân với b1 = 8 cm, b2 = 3 cm, h = 12 cm và vật liệu làm móc cẩu có [σ ] = 160 MN/m 2

• Bước 1: Xác định các số liệu của mặt cắt:

- Bán kính cong trục thanh:

- Xác định bán kính cong của thớ trung hoà theo công thức trong bảng 11-1:

- Mô men tĩnh Sx của mặt cắt đối với trục trung hoà x:

- Xác định toạ độ gần tâm cong nhất y1 và xa tâm cong nhất y2:

• Bước 2 : Kiểm tra bền cho móc cẩu

-Tính nội lực tại mặt cắt nguy hiểm nhất (mặt cắt A-A):

- Tính ứng suất pháp lớn nhất σ max và σ min theo công thức (11.6) và (11.7): + Tại điểm biên gần tâm cong nhất:

+ Tại điểm biên xa tâm cong nhất:

• Kết luận: Móc cẩu an toàn khi nâng vật nặng 100 kN đã cho

BÀI TẬP 11.1 Vẽ biểu đồ nội lực cho các thanh cong trên hình 11-1B

11.2 Xác định ứng suất pháp kéo và nén lớn nhất cho các thanh cong trên hình 11-2B

11.3 Xác định tải trọng cho phép P lên một móc thép trên hình 11-3B Biết giới hạn chảy của vật liệu σ ch = 270MN/m 2 , hệ số an toàn n = 1,5 Móc có mặt cắt tròn đường kính d = 2cm, bán kính cong R = 3cm

11.4 Xác định tải trọng cho phép P cho thanh cong trên hình 11-4B Cho [σ] 270MN/m 2 , R2 = 30cm, R1 = 50cm qkN/m

11.5 Kiểm tra bền cho thanh cong dạng nửa tròn bằng gang trên hình 11-5B Biết

11.6 Kiểm tra bền cho thanh cong trên hình 11-1B (sơ đồ b), nếu biết mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước b = 6cm, h = 16cm, vật liệu bằng thép có [σ] = 140MN/m 2 d\m

ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM

Khái niệm

Trong chương 1 ta đã đề cập đến nhiệm vụ của môn SBVL là nghiên cứu các phương pháp tính toán công trình trên 3 mặt: Tính toán độ bền, độ cứng và ổn định của công trình Trong các chương trước chúng ta đã giải quyết 2 nhiệm vụ đầu, chương này ta sẽ giải quyết nốt nhiệm vụ còn lại Trong thực tế, có một số trường hợp tuy điều kiện bền và điều kiện cứng vẫn còn đảm bảo, nhưng công trình vẫn bị phá hoại Sự phá hoại này do một nguyên nhân khác, đó là do công trình bị mất ổn định Để có khái niệm về sự mất ổn định của một thanh chịu nén ta xét một ví dụ đơn giản sau

Giả sử một thanh dài và mảnh chịu lực nén đúng tâm như trên hình 12-1 Khi lực P còn nhỏ hơn một giá trị nào đó mà ta gọi là lực tới hạn (Pth) thì thanh vẫn thẳng (hình 12-1a), lúc này thanh vẫn chịu nén đúng tâm Khi đó ta nói thanh ở trạng thái cân bằng ổn định Khi tăng P đạt tới giá trị tới hạn P

= Pth thì thanh vẫn thẳng và nếu tác dụng một lực R rất nhỏ vuông góc với trục thanh thì thanh sẽ bị cong đi (hình 12-1b), nhưng khi ta bỏ lực R đi thì thanh vẫn cong và không trở lại dạng thẳng ban đầu Trạng thái này của thanh được gọi là trạng thái tới hạn

(hình 12-1c) Ở trạng thái này thanh vẫn chịu nén đúng tâm Lực P ứng với trạng thái này được gọi là lực tới hạn P th Nếu ta tăng lực P lên lớn hơn giá trị này P>Pth thì thanh ở trạng thái mất ổn định, thanh không còn giữ được trạng thái thẳng ban đầu

Trạng thái cân bằng của thanh chịu nén cũng tương tự sự cân bằng của viên bi có trọng lượng đặt trên một mặt cong chúng ta đã gặp trong môn Cơ học lý thuyết Viên bi này cũng sẽ cân bằng ổn định khi ta đặt nó ở vị trí thấp nhất của mặt cong lõm (hình 12-2 a), vì nếu ta đẩy nó dời khỏi vị trí cân bằng này thì trọng lượng bản thân nó sẽ kéo nó ngay lập tức trở lại vị trí cân bằng ban đầu Nếu ta đặt nó ở vị trí cao nhất của mặt cong lồi thì vật sẽ ở trạng thái cân bằng không ổn định (hình 12-2b), vì nếu ta đẩy nó khỏi vị trí cân bằng này nó sẽ chuyển động và không thể trở lại vị trí ban đầu nữa

Qua các ví dụ trên ta thấy vật thể đàn hồi cũng như vật thể rắn đều có những trạng thái cân bằng ổn định và không ổn định tương tự nhau Đặc điểm của hệ khi bị mất ổn định là biến dạng của nó tăng rất nhanh và hệ có thể bị phá hoại đột ngột Để đảm bảo an toàn về mặt ổn định cho thanh chịu nén thì lực nén tác dụng lên thanh (P) phải nhỏ hơn giá trị tới hạn : od th

Trong đó Kođ là hệ số an toàn về mặt ổn định Kođ>1, giá trị của nó tuỳ thuộc vào mức độ quan trọng của công trình và được lấy theo quy chuẩn của nhà nước Do đó nội dung chính của việc giải bài toán về mặt ổn định là xác định tải trọng tới hạn.

Xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm - (bài toán Ơle 1774)

Giả sử một thanh thẳng 2 đầu liên kết khớp chịu nén đúng tâm bởi lực P như trên hình 12-3 Hãy xác định lực tới hạn Pth của thanh Bài toán này đã được nhà bác học nổi tiếng L.Ơle giải năm 1774 Khi P đạt tới giá trị tới hạn, thanh vẫn thẳng nhưng do một nguyên nhân nào đấy thanh bị cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất Chọn hệ trục toạ độ như trên hình vẽ và xét mặt cắt cách gốc toạ độ một đoạn z Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh ta tính được mômen uốn nội lực tại mặt cắt đó:

Giả sử ở trạng thái này, vật liệu làm thanh vẫn còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, do đó có thể sử dụng phương trình vi phân gần đúng đường đàn hồi của dầm chịu uốn Gọi mômen quán tính chính trung tâm nhỏ nhất của mặt cắt ngang của thanh là

− M (b) trong công thức trên ta lấy Jmin vì rằng khi thanh bị cong nó sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất, tức là mặt phẳng có EJmin

Thay (a) vào (b) ta được : y’’(z)=- min th

P min th Đặt : α 2 min th

Hình 12-3 z ta được phương trình vi phân đường đàn hồi của dầm dưới dạng : y’’(z) + α 2 y(z) = 0 (d) Đây là phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất hệ số hằng số, có nghiệm tổng quát: y(z) = C1 sin αz +C2 cos αz (e) trong đó C1, C2 là các hằng số tích phân được xác định từ các điều kiện biên, đó là các điều kiện tại các đầu thanh :

+ Tại A: z = 0 có y = 0 , do đó có : y = C1.0 + C2.l = 0

+ Tại B : z = l có y = 0 , do đó có : y = C1.sin αl + C 2 cosαl =0

Từ các điều kiện trên ta tìm được C2 = 0 và phương trình (e) có dạng : y = C1 sin αz (f)

Sử dụng điều kiện thứ 2 ở trên ta có : y = C1 sin αl = 0

Nếu C1 = 0 thì y luôn luôn bằng 0, thanh luôn luôn thẳng, nghĩa là thanh còn nằm trong trạng thái ổn định, điều này trái với giả thiết ban đầu là thanh bị cong và đã mất ổn định Như vậy còn lại :

Thay (g) vào (f) ta được phương trình đường đàn hồi của dầm có dạng : y(z) = C1 sin n z l π (h)

Thay (g) vào (c) ta xác định được lực tới hạn :

Với những giá trị khác nhau của số tự nhiên n ta được những giá trị khác nhau của lực tới hạn tương ứng với các dạng đường đàn hồi khác nhau như trong bảng 12-1

Ta chỉ xét kết cấu chịu tác dụng của tải trọng tĩnh, tức là tải trọng tăng dần từ 0 đến một giá trị xác định, như vậy khi P đạt đến giá trị tới hạn đầu tiên (ứng với n =1) thì thanh đã bị mất ổn định Do đó, thực tế lực tới hạn chỉ bằng:

Bảng 12-1 n Hình dáng thanh khi mất ổn định

Và lực tới hạn này được gọi là lực tới hạn Ơle: P Ơle , còn lực tới hạn Pth > Pơle là không có nghĩa Tuy nhiên về mặt lý thuyết ta thấy khi thanh mất ổn định nếu như đường đàn hồi của dầm có dạng n lần nửa bước sóng hình sin thì Pth tăng gấp n 2 lần so với Pơle, có nghĩa là nếu trong điều kiện cho phép không làm ảnh hưởng tới điều kiện làm việc của thanh ta có thể đặt thêm các gối tựa tại những điểm uốn của thanh khi mất ổn định như trên hình 12-4 thì có thể làm tăng giá trị của lực tới hạn lên 4 hoặc 9 lần

Phần trên ta đã tính được lực tới hạn đối với thanh chịu nén đúng tâm 2 đầu liên kết khớp, với những thanh có các liên kết khác, chẳng hạn một đầu ngàm một đầu tự do, một đầu ngàm một đầu khớp bằng cách tính toán tương tự ta có thể tìm được lực tới hạn Ơle bằng một biểu thức có dạng tương tự biểu thức (12.1):

Trong đó μ và m =μ 1 là các hệ số phụ thuộc vào loại liên kết ở 2 đầu thanh, các trị số này cho trên hình 12-5 Để ý rằng m chính là bằng số nửa bước sóng hình sin của đường đàn hồi của thanh khi mất ổn định

Như trên đã nói, khi đạt tới trạng thái tới hạn thanh vẫn chịu nén đúng tâm nên ta có thể tính được ứng suất tới hạn :

Trong đó: i min = J Min F là bán kính quán tính chính cực tiểu của mặt cắt ngang Đặt: λ i μ min l (12.2) thì công thức tính ứng suất tới hạn có dạng : σth=π λ 2 2 E (12.3)

Như vậy σ th của thanh phụ thuộc vào vật liệu làm thanh (môđun đàn hồi E của vật liệu) và λ của thanh λ phụ thuộc vào đặc trưng hình học (Jmin , F) của mặt cắt ngang và liên kết của thanh Trị số của λ càng lớn (thanh có chiều dài l lớn và J min nhỏ) thì σ th của thanh càng nhỏ, do đó tính ổn định của thanh càng kém Thanh có đặc điểm như vậy gọi là thanh mảnh, do đó λ được gọi là độ mảnh của thanh.

Giới hạn áp dụng công thức Ơle

Như đã xét ở trên, khi tính Pơle của thanh chịu nén đúng tâm ta đã đưa vào giả thiết vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính, vì vậy các công thức trên chỉ đúng khi chúng còn thoả mãn các giả thiết đó, có nghĩa là khi ứng suất trong thanh còn nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ : tl th ≤σ σ

Từ đó suy ra : tl

Kí hiệu: 0 2 t πE λ = σ l (12.5) thì điều kiện để áp dụng công thức Ơle là :

Trị số của λ0 chỉ phụ thuộc vào vật liệu làm thanh

Ví d ụ : Với thép CT3 có E = 2,1.10 5 MN/m 2 , σ tl = 210 MN/m 2 nên λ 0 ≈ 100

Với gỗ thông λ0 = 75 và gang λ0 = 80

Những thanh có λ >λ0 được gọi là thanh có độ mảnh lớn, còn những thanh có λ < λ0 được gọi là thanh có độ mảnh vừa và bé Như vậy các công thức tính ứng suất tới hạn ở trên chỉ đúng cho những thanh có độ mảnh lớn, còn không dùng cho các thanh có độ mảnh vừa và bé

Tính ổn định của thanh chịu nén đúng tâm ngoài miền đàn hồi

Như ta đã biết các công thức tính ứng suất tới hạn ở trên chỉ đúng khi vật liệu của thanh còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, còn với các thanh khi vật liệu của nó không còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi nữa, tức là các thanh có độ mảnh vừa và bé thì các công thức trên không thể dùng được Với các thanh này khi tính ổn định ta thường dùng các công thức kinh nghiệm Cụ thể :

Với những thanh có độ mảnh vừa, tức là : λ1 ≤ λ ≤ λ 0 trong đó λ1 là giới hạn của độ mảnh vừa, thì ta tính ứng suất tới hạn theo công thức thực nghiệm của Ia-xin-ski : σth = a – bλ (12.7) trong đó a và b là các hằng số phụ thuộc vào vật liệu làm thanh và được xác định bằng thực nghiệm Ví dụ: Thép CT3 thì a = 336MN/m 2 , b = 1,47 MN/m 2

Với những thanh có độ mảnh bé, tức là :

0 ≤ λ ≤ λ1 thì ứng suất tới hạn được lấy bằng : σth = σ0 (12.8) trong đó σ0 là ứng suất nguy hiểm, nó phụ thuộc vào vật liệu :

Với vật liệu dẻo thì σ0 = σc

Với vật liệu dòn thì σ 0 = σ B

Nếu ta biết được a, b, σ0 thì từ công thức

(12.7) ta có thể tính được λ1

Như vậy ứng suất tới hạn phụ thuộc vào độ mảnh của thanh, ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất tới hạn và độ mảnh của thanh như trên hình 12-6

Hyperbol Ơle σ th σ o σ 1 λ 1 λ o λ đường thẳng Iaxinxki

Chú ý rằng ở trên ta đã xét các thanh có liên kết 2 phía như nhau: Hoặc đó là liên kết khớp cầu, hoặc đó là liên kết ngàm cả 2 phía Trong những trường hợp này, khi mất ổn định thanh sẽ bị cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất Tuy nhiên trong trường hợp khi liên kết ở 2 phía không như nhau thì khi mất ổn định thanh sẽ bị cong theo phương có độ mảnh lớn mà không nhất thiết bị cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất

Ví d ụ 12-1 : Một cột bằng thép CT3 có mặt cắt chữ I số hiệu N o 22a như trên hình 12-7 Tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn của cột trong 2 trường hợp : a) l= 3m b) l= 2,25 m

Với thép IN o 22a tra bảng ta được: F = 32,4cm 2 , iy = imin 2,5cm Thanh 2 đầu khớp cầu nên μ = 1 a) Trường hợp l= 3m i μ min l

Như vậy λ > λ0 = 100, do đó ta tính ứng suất tới hạn theo công thức Ơle : σth = π λ 2 2 E = 2 2 5

Pth =σ th F = 143 32,4 10 -4 = 0,463 MN = 463 KN b)Trường hợp l= 2,25 m i μ min l

Do đó ta tính ứng suất tới hạn theo công thức Ia-xin-ski : σth = a - b λ = 336 − 1,47 × 90 = 204 MN/m 2

Ví d ụ 12-2: Cho một cột bằng gỗ cao 7m, mặt cắt ngang hình chữ nhật 12×22 cm 2 như trên hình 12-8 Trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất 2 đầu bị ngàm chặt, trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất 2 đầu liên kết khớp Xác định lực tới hạn và ứng suất tới hạn của thanh, biết E = 9.10 3 MN/m 2 l

Với mặt cắt chữ nhật ta có: imax 6,36 cm

12 = 12 = Trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất, độ mảnh của thanh bằng : max 6 , 36 10 2

Trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất, độ mảnh của thanh bằng :

Rõ ràng λ’ > λ’’ nên khi mất ổn định cột sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất Như vậy ta sẽ dùng λ’ để tính ứng suất tới hạn và lực tới hạn

Với gỗ λ0 = 75, do đó λ’ > λ0 nên ứng suất tới hạn được tính theo công thức Ơle:

P th =σ th = 6 = 3 12.5.Tính ổn định của thanh chịu nén đúng tâm theo phương pháp thực hành

Như đã thấy ở trên, ứng suất tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm phụ thuộc vào độ mảnh của thanh và như vậy phải phân thanh thành 3 loại với 3 công thức tính ứng suất tới hạn khác nhau Để thuận tiện hơn ta sẽ dùng phương pháp thực hành để tính

Cơ sở của phương pháp này là dựa vào điều kiện bền và điều kiện ổn định của thanh Với thanh chịu nén đúng tâm thì : Điều kiện bền :

≤ (a) trong đó σ0 là ứng suất nguy hiểm , n là hệ số an toàn về độ bền Điều kiện ổn định :

NF ≤ σ = σ (b) trong đó Kođ là hệ số an toàn về ổn định

Chia vế với vế của (b) cho (a) và kí hiệu : od 0 th N od

Theo hình 12-5 ta có σ th ≤σ 0 và thông thường n ≤Kod , do đó ϕ≤1

Như vậy : [ ] σ od = ϕ [ ] σ N và [ ] σ od ≤ [ ] σ N

Do đó ϕ được gọi là hệ số giảm ứng suất cho phép

Hệ số ϕ phụ thuộc vào vật liệu, độ mảnh của thanh và các hệ số an toàn về độ bền, hệ số an toàn về ổn định Dựa vào công thức (c) và biểu đồ quan hệ giữa [ ]σ th vàλ người ta đã lập bảng tính sẵn các trị số ϕ cho một số vật liệu thường gặp như trong bảng của phụ lục

Từ cơ sở trên ta đi đến cách giải 3 bài toán cơ bản :

1) Bài toán kiểm tra ổn định : Cho trước hình dạng, kích thước của kết cấu, cho trước vật liệu làm kết cấu và tải trọng tác dụng lên kết cấu Yêu cầu kiểm tra bất đẳng thức:

NF ≤ϕσ (12-9) có thoả mãn hay không

Muốn giải bài toán này trước hết ta tính trị số λ: i μ min l

Có λ ta tra ϕ từ bảng tra ở phụ lục và thay vào (12.9), nếu bất đẳng thức đó thoả mãn thì thanh ổn định, nếu bất đẳng thức đó không thoả mãn thì thanh không ổn định

2) Bài toán chọn tải trọng cho phép: Cho trước hình dạng, kích thước và vật liệu của kết cấu Yêu cầu xác định tải trọng cho phép tác dụng lên kết cấu

Từ công thức (12.9) ta xác định được :

[ ] N = ϕ F [ ] σ N (12.10) Để giải bài toán này ta cũng tính λ, sau đó tra bảng được ϕ và thay vào công thức (12.10) ta sẽ xác định được giá trị lực dọc cho phép và từ đó xác định được tải trọng cho phép tác dụng lên thanh

3) Bài toán chọn mặt cắt: Cho vật liệu làm kết cấu và tải trọng tác dụng lên kết cấu, yêu cầu chọn kích thước mặt cắt ngang của kết cấu

Từ công thức (12.10) ta có :

≥ ϕ (12.11) đó bài toán này phải giải bằng phương pháp đúng dần Trình tự giải bài toán này như sau : a) Giả thiết ϕbằng một giá trị ϕ0 nào đó (ϕ0 = 0÷1, thường chọn 5

0 =0 ϕ ), thay ϕ0 vào (12.11) ta xác định được F b) Có mặt cắt ta xác định được imin và do đó tính được λ c) Có λ và vật liệu, tra bảng tra ϕ ở phụ luục được giá trị ϕ1 Nếu

100% 5% ϕ − ϕ ϕ ≤ ) thì F đã tính được ở bước a) là nghiệm của bài toán, trường hợp ngược lại nếu ϕ ≠ ϕ 1 0 thì ta lại quay lại từ bước a) bằng cách giả thiết lại trị sốϕ2 = (ϕ1+ ϕ0)/2 và cứ tiếp tục quá trình như trên đến khi giá trị ϕ của 2 lần giả thiết và tính liên tiếp xấp xỉ nhau thì dừng lại

Chọn hình dáng mặt cắt hợp lý và vật liệu

Như ta đã biết, với thanh chịu nén đúng tâm, nếu chỉ kiểm tra theo điều kiện bền thì chỉ có diện tích mặt cắt ngang ảnh hưởng đến độ bền của thanh còn hình dáng của mặt cắt không có ảnh hưởng gì Tuy nhiên khi kiểm tra theo điều kiện ổn định, ngoài trị số diện tích của mặt cắt ngang thì hình dáng của mặt cắt ngang ảnh hưởng rất lớn tới tính ổn định của thanh Do đó việc thay đổi hình dáng mặt cắt có thể làm tăng hoặc giảm tính ổn định của thanh, có nghĩa là với những thanh có cùng diện tích mặt cắt ngang nhưng hình dáng khác nhau thì có thể chịu được những lực nén khác nhau

Như vậy thanh có mặt cắt ngang có hình dáng hợp lí khi với một diện tích mặt cắt nhất định thanh chịu được lực nén lớn nhất Với thanh như thế vừa đảm bảo an toàn lại vừa tiết kiệm được vật liệu vì nó tận dụng được khả năng chịu lực của vật liệu

Như ta đã biết, muốn tăng tính ổn định của thanh (làm tăng ứng suất tới hạn σ th ) cần phải giảm độ mảnh λ, mà: i μ Min l

Như vậy, muốn giảm λ có nhiều biện pháp: Có thể giảm chiều dài l của thanh, thay đổi liên kết ở 2 đầu thanh sao cho μnhỏ đi (nếu điều kiện làm việc của thanh cho a) i min =i max , tức là J min =J max Điều kiện này đảm bảo thanh chống lại sự mất ổn định như nhau theo mọi phương Để đảm bảo điều kiện này mặt cắt chỉ có thể là hình tròn hoặc đa giác đều b) Mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang càng lớn càng tốt Muốn như thế ta phải tìm cách phân bố vật liệu ra xa trục trung hoà, tức là phải dùng các hình rỗng hoặc hình ghép như trên hình 12-9

Tuy nhiên chiều dầy của mặt cắt ngang không được quá mỏng để tránh xẩy ra hiện tượng mất ổn định cục bộ Đối với các mặt cắt ghép bằng các thép định hình, người ta thường sử dụng các thanh giằng phải đảm bảo chắc chắn, đồng thời kích thước và khoảng cách giữa các thanh giằng phải đủ để đảm bảo mặt cắt làm việc như mặt cắt nguyên và không xẩy ra hiện tượng mất ổn định cục bộ trong thanh ghép cũng như trong mỗi thanh giằng

Ngoài hình dáng của mặt cắt, vật liệu làm thanh cũng ảnh hưởng tới tính ổn định của thanh Tuy nhiên, với những thanh có độ mảnh lớn thì chỉ có môđun đàn hồi E là ảnh hưởng tới σ th , còn với những thanh có độ mảnh vừa và bé thì giới hạn bền và giới hạn chảy lại ảnh hưởng lớn tới ứng suất tới hạn

Trên hình 12-10 biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất tới hạn với các yếu tố ảnh hưởng tới nó: độ mảnh của thanh, giới hạn bền và giới hạn chảy của 2 loại thép :

Nhìn vào đồ thị trên, ta thấy: Việc sử dụng vật liệu cường độ cao để làm thanh chịu nén không phải bao giờ cũng có lợi Việc chọn vật liệu nào còn tuỳ thuộc vào độ mảnh của thanh

Như ta đã biết, với những loại thép khác nhau thì ứng suất nguy hiểm khác nhau, nhưng môđun đàn hồi E lại có giá trị gần như không đổi Do đó với những thanh có độ mảnh lớn không nên dùng thép có cường độ cao vì không những không tăng được ứng suất tới hạn mà còn rất đắt Còn với những thanh có độ mảnh vừa và bé thì lại nên dùng thép có cường độ cao để tăng ứng suất tới hạn

Thép hợp kim Thép ít các bon

Ví d ụ 12-5 : Một cột được ghép bởi 2 thép chữ N 0 14 như trên hình 12-11 Hãy xác định khoảng cách ghép a để thanh có mặt cắt hợp lí Với mặt cắt đó, hãy xác định tải trọng cho phép tác dụng lên cột, biết cột làm bằng thép CT3 có [ ]σ N =160 MN / m 2 Cho l=4m

Với thép N 0 14 tra bảng ta được: F = 15,6cm 2 , Jx = 491cm 4 , ix = 5,6cm, Jy 45,4cm 4 , z o = 1,67 cm Điều kiện để mặt cắt hợp lí là: Jxo = Jyo mà Jxo = 2 Jx suy ra:

Thay số vào ta được :

Giải phương trình trên ta được a = 7,35cm

Vì thanh có mặt cắt hợp lí nên i min =i max =i xo cm 6 , 5

Tra bảng được ϕ=0,35, do đó :

12.7 Uốn ngang và uốn dọc đồng thời

Xét dầm đơn chịu tác dụng của lực nén đúng tâm P và các lực ngang R1, R2 như trên hình 12-12

Nếu như không xét đến biến dạng uốn do lực P gây ra thì dầm trên được tính như một dầm chịu uốn và nén đồng thời; nghĩa là lực dọc chỉ do P gây ra, còn mômen uốn do các lực R gây ra Việc tính như vậy chỉ đúng cho dầm có biến dạng nhỏ Trong trường hợp dầm có biến dạng uốn tương đối lớn thì không thể bỏ qua ảnh hưởng của lực nén P tới biến dạng uốn được Khi đó nội lực mômen uốn trên mặt cắt ngang của dầm đồng thời do cả lực ngang và lực dọc gây ra, ta gọi dầm là chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời x o

MR là mômen uốn do các lực ngang gây ra

P.y là mômen uốn do lực dọc gây ra, với y là độ võng của dầm do cả lực dọc và lực ngang gây ra tại mặt cắt xét Để xác định độ võng y ta dựa vào phương trình vi phân độ võng của dầm chịu uốn:

'' M y =− Đặt M từ biểu thức (a) vào ta được:

EJy''=- M = -MR - P.y hay EJ y M EJ

Nghiệm tổng quát của phương trình trên là: y z cos C z sin C y= 1 α + 2 α + (d) trong đó y là một nghiệm riêng của phương trình có vế phải của (c), nó phụ thuộc vào dạng của tải trọng ngang

Nếu tải trọng ngang phân bố đối xứng qua mặt cắt giữa dầm thì có thể coi gần đúng đường đàn hồi của dầm có dạng hình sin:

= π (e) trong đó f là độ võng lớn nhất tại mặt cắt giữa dầm, và nghiệm riêng trong (d) có dạng: z sin f y R l

= π (f) với fR là độ võng lớn nhất tại mặt cắt giữa dầm do tải trọng ngang gây ra

'' M y =− Đặt (e) và (f) vào biểu thức trên ta được: z sin f '' y 2 R

Thay tất cả vào (c) được: z sin f z sin f z sin f 2 R

Sau khi rút gọn và để ý đến ký hiệu α ta được:

= Ở đây ta thấy 2 2 EJ l π có dạng giống biểu thức tính lực tới hạn Ơle của thanh chịu nén đúng tâm nên ta cũng ký hiệu nó là Pth Do đó biểu thức tính độ võng y của dầm trong trường hợp này sẽ là:

= (12.12) và từ mối liên hệ vi phân giữa nội lực với độ võng của dầm ta có:

= (12.14) trong đó y,M,Q là độ võng, mômen uốn, lực cắt chỉ do lực ngang gây ra

Các công thức (12.12),(12.13),(12.14) được thiết lập cho dầm đơn có liên kết khớp ở 2 đầu Với các dầm có liên kết khác ta cũng tính được y, M, Q tương tự như các công thức trên, chỉ khác là thay lực Pth bằng công thức: với μ là hệ số phụ thuộc loại liên kết ở 2 đầu dầm như đã trình bầy ở phần trên

Chú ý rằng trong các công thức (12.12),(12.13) và (12.14), Pth không phải bao giờ cũng tính với EJ Min như khi tính ổn định của thanh chịu nén đúng tâm, ở đây EJ là độ cứng chống uốn trong mặt phẳng uốn

Sử dụng các công thức (12.12),(12.13),(12.14) ta có thể tính được các giá trị nội lực lớn nhất: th

− và ứng suất nén lớn nhất trong dầm bằng:

Uốn ngang và uốn dọc đồng thời

Phần trên chúng ta đã xét hệ chịu tác dụng của tải trọng tĩnh, đó là các tải trọng có độ lớn tăng từ từ, từ không tới một giá trị xác định nên không làm xuất hiện lực quán tính trong hệ (gia tốc của hệ bằng không) Nhưng trong nhiều trường hợp tải trọng tác dụng lên hệ lại làm xuất hiện lực quán tính trong hệ, chẳng hạn như khi tải trọng tác dụng lên hệ tăng đột ngột hay tải trọng thay đổi theo thời gian Những tải trọng đó được gọi là tải trọng động Ví dụ: Lực ly tâm do phần lệch tâm của rôto khi quay gây ra tạo nên lực biến đổi tuần hoàn theo thời gian; lực do va đập từ vật này vào vật khác…

Lực quán tính phát sinh trong hệ có thể do nhiều nguyên nhân khác nhau gây ra, nhưng trong chương này ta chỉ xét một số trường hợp thường gặp trong kỹ thuật: Đó là lực quán tính sinh ra do hệ chuyển động thẳng đều, do chuyển động quay của một vài bộ phận trong hệ hoặc do sự va chạm của vật khác lên hệ Đối với bài toán động trong chương này, khi nghiên cứu ta thường sử dụng nguyên lí Dalambert hoặc sử dụng định luật bảo toàn năng lượng Khi giải các bài toán này ta thường đưa về việc xét các đại lượng động (nội lực, ứng suất, biến dạng, chuyển vị động) chỉ khác các đại lượng tĩnh ở hệ số động, nghĩa là khi tính toán ta chỉ tính toán hệ chịu tác dụng của tải trọng tĩnh, rồi nhân các đại lượng động đó với hệ số động ta sẽ được các đại lượng có kể tới tác dụng động lực học của tải trọng

13.2 Tính thanh chuyển động thẳng với gia tốc không đổi

Giả sử vật nặng P treo vào dây cáp và được kéo lên nhanh dần đều với gia tốc không đổi a như trên hình

13-1 Dây cáp có trọng lượng riêng là γ, diện tích mặt cắt ngang F

Tưởng tượng cắt dây bằng mặt cắt 1-1 cách đầu dây một khoảng x và xét cân bằng phần dưới Như vậy phần xét cân bằng dưới tác dụng của các lực:

Trọng lượng P, trọng lượng của dây q =γF và lực quán tính Lực quán tính gồm 2 thành phần: Do khối lượng m của lực tập trung P gây ra bằng agP , do khối lượng phân bố của dây gây ra là γgFa Trong đó g là gia tốc trọng trường Theo nguyên lý Dalambert thì ta có phương trình cân bằng của phần xét là :

Nđ = (P+γFx)+ ( agP +γFxg a) (a) Ứng suất trên mặt cắt ngang của dây cáp là : x

TẢI TRỌNG ĐỘNG

Mở đầu

Phần trên chúng ta đã xét hệ chịu tác dụng của tải trọng tĩnh, đó là các tải trọng có độ lớn tăng từ từ, từ không tới một giá trị xác định nên không làm xuất hiện lực quán tính trong hệ (gia tốc của hệ bằng không) Nhưng trong nhiều trường hợp tải trọng tác dụng lên hệ lại làm xuất hiện lực quán tính trong hệ, chẳng hạn như khi tải trọng tác dụng lên hệ tăng đột ngột hay tải trọng thay đổi theo thời gian Những tải trọng đó được gọi là tải trọng động Ví dụ: Lực ly tâm do phần lệch tâm của rôto khi quay gây ra tạo nên lực biến đổi tuần hoàn theo thời gian; lực do va đập từ vật này vào vật khác…

Lực quán tính phát sinh trong hệ có thể do nhiều nguyên nhân khác nhau gây ra, nhưng trong chương này ta chỉ xét một số trường hợp thường gặp trong kỹ thuật: Đó là lực quán tính sinh ra do hệ chuyển động thẳng đều, do chuyển động quay của một vài bộ phận trong hệ hoặc do sự va chạm của vật khác lên hệ Đối với bài toán động trong chương này, khi nghiên cứu ta thường sử dụng nguyên lí Dalambert hoặc sử dụng định luật bảo toàn năng lượng Khi giải các bài toán này ta thường đưa về việc xét các đại lượng động (nội lực, ứng suất, biến dạng, chuyển vị động) chỉ khác các đại lượng tĩnh ở hệ số động, nghĩa là khi tính toán ta chỉ tính toán hệ chịu tác dụng của tải trọng tĩnh, rồi nhân các đại lượng động đó với hệ số động ta sẽ được các đại lượng có kể tới tác dụng động lực học của tải trọng.

Tính thanh chuyển động thẳng với gia tốc không đổi

Giả sử vật nặng P treo vào dây cáp và được kéo lên nhanh dần đều với gia tốc không đổi a như trên hình

13-1 Dây cáp có trọng lượng riêng là γ, diện tích mặt cắt ngang F

Tưởng tượng cắt dây bằng mặt cắt 1-1 cách đầu dây một khoảng x và xét cân bằng phần dưới Như vậy phần xét cân bằng dưới tác dụng của các lực:

Trọng lượng P, trọng lượng của dây q =γF và lực quán tính Lực quán tính gồm 2 thành phần: Do khối lượng m của lực tập trung P gây ra bằng agP , do khối lượng phân bố của dây gây ra là γgFa Trong đó g là gia tốc trọng trường Theo nguyên lý Dalambert thì ta có phương trình cân bằng của phần xét là :

Nđ = (P+γFx)+ ( agP +γFxg a) (a) Ứng suất trên mặt cắt ngang của dây cáp là : x

Gọi σt là ứng suất trên mặt cắt ngang của dây cáp khi hệ ở trạng thái tĩnh:

F x t = P+γ σ (c) và hệ số Kđ là :

Kđ = ( ) 1 + g a (13.1) thì ứng suất động sẽ là : σđ = Kđ σt (13.2) Ứng suất pháp lớn nhất trong dây cáp tại mặt cắt x = l : max σđ = maxσt Kđ (13.3) Khi đó điều kiện bền của dây cáp là : max σđ ≤[ ]σ

Kđ >1 khi a >0 (a có chiều hướng từ dưới lên trên) tức là trong trường hợp khi vật đi lên nhanh dần đều, hoặc đi xuống chậm dần đều;

Kđ 0 nên :

Khi đã tính được Kđ, bằng cách tương tự như trên ta có thể xác định được các đại lượng S khác trong hệ :

St là đại lượng cần tính (ứng suất, chuyển vị ) do Q coi như đặt tĩnh lên hệ tại mặt cắt va chạm gây ra

St là đại lượng cần tính (ứng suất, chuyển vị ) do các tải trọng hoàn toàn tĩnh đặt lên hệ gây ra (khi hệ ở trạng thái tĩnh)

Từ công thức (13.10) ta thấy: Nếu chuyển vị Δ t lớn thì hệ số Kđ nhỏ Để tăng chuyển vị tĩnh này, ta có thể hoặc làm giảm độ cứng của hệ, hoặc có thể đặt thêm tại mặt cắt va chạm những chi tiết có độ cứng nhỏ (chẳng hạn như lò xo)

Công thức Kđ ở trên lập cho dầm đơn một bậc tự do, nhưng nó vẫn đúng cho hệ có một bậc tự do khác

Ví d ụ 13-4: Một vật nặng Q = 200N rơi từ độ cao H = 4cm xuống dầm mặt cắt chữ I số hiệu 22a như trên hình 13-9a Yêu cầu : a) Xác định ứng suất lớn nhất trong dầm b) Ứng suất lớn nhất trong dầm sẽ bằng bao nhiêu nếu như tại mặt cắt va chạm ta đặt thêm một lò xo có độ cứng C = 100N/mm như trên hình 13-9b (khoảng cách H vẫn giữ nguyên bằng 4cm), trọng lượng của lò xo và bộ phận giữ nó trên dầm nặng 200N

Thép IN o 22a tra bảng được Jx = 2760cm 4 , Wx = 251cm 3 , E = 2.10 11 N/cm 2 a) Biểu đồ mômen do Q coi như đặt tĩnh lên dầm gây ra cho trên hình 13-9.c

2 t d tp = K σ = 11 , 4 2 , 39 = 27 , 25 MN / m σ b) Trường hợp này yA gồm 2 thành phần: Phần do võng của dầm Δ d t (đã tính ở phần a), phần do lún của lò xo: d t lx t A t =y =Δ +Δ Δ lx t Q / C 200 /100 2 mm 0,002m Δ = = = Do đó : Δ t =0,002+0,0008=0,0028(m) Ở đây Q’ = Q = 200N nên :

Va chạm ngang vào hệ đàn hồi một bậc tự do

Giả sử một vật nặng Q chuyển động với vận tốc Vo đến đập vào hệ đàn hồi một bậc tự do như trên hình 13-10 Ta cũng giả thiết quá trình va chạm là không đàn hồi Trường hợp này cũng sử dụng định luật bảo toàn năng lượng và tính toán hoàn toàn tương tự như trên ta được:

Vì Q và Q’ chuyển động theo phương ngang nên π = 0, do đó:

Gọi δ là chuyển vị theo phương ngang tại mặt cắt va chạm gây ra do lực đơn vị đặt tĩnh theo phương ngang và yđ là chuyển vị động do va chạm Khi dầm có chuyển vị yđ thì thế năng biến dạng đàn hồi của dầm là:

Gọi Δ t là chuyển vị tĩnh do một lực ngang có giá trị bằng Q đặt tại mặt cắt va chạm gây ra thì δ = Δ Q t Từ (d) ta có :

= Δ (13.12) Ứng suất và chuyển vị được tính như ở các phần trên

Ví d ụ 13-5: Một vật nặng Q = 2kN chuyển động trên mặt nước với vận tốc Vo =1 m/s đến đập vào cột tròn có đường kính d = 20cm như trên hình 13-

11.Vật liệu làm cột có E = 1,1.10 10 N/m 2 Tìm ứng suất lớn nhất trong cột

Bài giải : Mặt cắt cột có mômen quán tính Jx≈0,05d 4 m 10 4 ,

BÀI TẬP 13.1 Một dây dài 60 m, đầu dưới treo một vật nặng Q = 50 KN, được kéo lên theo phương thẳng đứng với gia tốc không đổi Sau 3 giây đầu tiên, vật Q được nâng lên một độ cao là 9m Hãy xác định đường kính của dây khi không kể và khi có kể tới trọng lượng bản thân của dây Biết trọng lượng riêng của dây γ = 70 KN/m 3 , [ ] σ = 160 MN / m 2

13.2 Một dầm thép chữ I số hiệu 20a dài 8m đặt nằm ngang như trên hình 13-2B Dùng 2 dây có diện tích mặt cắt ngang F = 1cm 2 để nâng dầm lên theo phương thẳng đứng với gia tốc không đổi a 9m/s 2 nhưng vẫn giữ cho dầm nằm ngang

Hãy xác định ứng suất lớn nhất trong dây và trong dầm

13.3 Một dầm cầu trục AD dài 5m, ghép bằng 2 thép chữ I số hiệu 30 như hình 13-

3B Tời B đặt chính giữa dầm có trọng lượng 20KN nâng một vật trọng lượng P 60KN

Xác định lực căng trong dây của tời và ứng suất pháp lớn nhất trong dầm Biết P được nâng lên với gia tốc không đổi, sau giây thứ nhất nó đi được 2,5m/s

13.4 Một vật P đặt trong hòm kín với các lò xo có độ cứng C 1 và C 2 như trên hình 13- 4B Hòm kín chuyển động lên theo phương thẳng đứng với gia tốc a Tính lực tác dụng vào các lò xo (bỏ qua trọng lượng của lò xo)

13.5 Một cần cẩu nâng kiện hàng lên với gia tốc a = 2m/s 2

Dây cáp nâng hàng có diện tích F = 3,5cm 2 và ứng suất cho phép

P a a) Với dây cáp đó cần cẩu có thể nâng được kiện hàng nặng bao nhiêu với gia tốc này? b) Nếu dây cáp dài 6m thì dây bị dãn dài bao nhiêu? c) Khi nâng kiện hàng bằng một nửa tải trọng cho phép thì có thể nâng với gia tốc là bao nhiêu?

13.6 Một vật P được kéo lên bằng ròng rọc di động như trên hình 13-6B Nếu kéo dây cáp với gia tốc không đổi a thì lực căng dây là bao nhiêu?

13.7 Xác định ứng suất động trong thanh 1 và thanh 2 có diện tích mặt cắt ngang là F1

= 8cm 2 , F2 = 200cm 2 , khi trọng lượng Q =3 0KN được kéo lên với gia tốc a=9,8m/s 2 như trên hình 13-7B Bỏ qua ma sát giữa ròng rọc và dây cáp

13.8 Một công xon có mặt cắt ngang hình tròn đường kính d cm, dài l = 1m như hình 13-8B Tại đầu tự do có gắn một ròng rọc, ma sát coi như không đáng kể Vật nặng P = 1kN được nâng lên nhờ dây cáp CBD nằm trong mặt vuông góc với trục công xon, kéo theo phương ngang, chuyển động với gia tốc a = 3m/s 2 Kiểm tra độ bền của công xon biết [σ] = 10MN/m 2

13.9 Một lò xo hình trụ bằng thép có 20 vòng dây, đường kính trung bình D cm, đường kính sợi lò xo d = 1cm Đầu lò xo treo một vật nặng 250N Trọng lượng bản thân lò xo là 50N Tính chu kỳ dao động dọc trục của lò xo khi tính không kể đến khối lượng của lò xo Cho G 8.10 6 N/cm 2

13.10 Dầm đơn ghép bằng 2 thép chữ I số hiệu 33 Một môtơ nặng 12kN đặt ở giữa dầm như trên hình 13-10B

Môtơ quay với vận tốc n = 2000 vòng/phút, sinh ra lực ly tâm với cường độ P0 = 4kN Cho E = 2.10 8 kN/m 2

13.11 Một môtơ có trọng lượng Q = 1,35kN đặt giữa một dầm đơn mặt cắt chữ I dài

3m , hai đầu liên kết khớp

Xác định số hiệu thép chữ I của mặt cắt dầm sao cho tần số riêng của dầm bằng 1,2 lần tần số góc của lực kích thích Biết môtơ quay với vận tốc n = 1200 vòng/phút

Nếu biên độ của lực kích thích PO = 0,2kN thì ứng suất pháp lớn nhất trong dầm là bao nhiêu? Cho E = 2.10 8 kN/m 2

13.12 Một động cơ có trọng lượng

Q = 48KN đặt giữa dầm chữ I số 40 dài 4m như hình 13-12B Tốc độ quay của động cơ là n = 510 vòng/phút Do khối lượng lệch tâm nên khi quay động cơ tạo ra lực quán tính P0 = 4,8KN a) Tính độ võng và ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm b) Tìm số vòng quay trong một phút của động cơ để phát sinh hiện tượng cộng hưởng

Khi tính bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm nhưng có kể tới lực cản Cho biết mô đun đàn hồi

E = 2.10 7 N/cm 2 , hệ số tắt dao động s

13.13 Một động cơ có trọng lượng Q = 2kN đặt trên dầm đơn kê trên 2 lò xo có độ cứng C = 1,5KN/cm như trên hình 13-13B Mặt cắt dầm là thép chữ I số 12 Phần lệch tâm của rôto có trọng lượng là 50N, đặt lệch tâm một đoạn 10cm a) Xác định ứng suất pháp lớn nhất trong dầm khi động cơ quay với vận tốc n = 200vòng/phút Cho

E 10 8 KN/m 2 b) Xác định số vòng quay lớn nhất để thoả mãn điều kiện bền của dầm Biết

[ ] σ = 160 MN / m 2 Khi tính bỏ qua trọng lượng bản thân dầm và lực cản

13.14 Một động cơ nặng Q = 2400N được gắn chặt vào đầu một công xôn gồm hai thép chữ I số 14 đặt ngang nhau Động cơ quay với tốc độ n = 600 vòng/phút

2 l / 2 l / a) Tính chiều dài của công xon để phát sinh cộng hưởng Biết E = 2.10 5 MN/m 2 b) Nếu cho tần số riêng của dầm bằng 1,3 lần tần số kích thích thì dầm phải có chiều dài bao nhiêu? Tính hệ số động trong trường hợp này

Khi tính bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm và lực cản của môi trường

13.15 Một vật nặng Q = 300N rơi tự do từ độ cao 1m xuống một đĩa cứng gắn ở một đầu thanh thép tròn đường kính d = 2cm, dài l = 3m như hình 13-15B Tính độ dãn dài và ứng suất trong thanh Khi tính bỏ qua trọng lượng của thanh

13.16 Một vật nặng Q = 1250N rơi từ độ cao H m xuống đĩa C như trên hình 13-

16B Thanh AB dài 250cm, có diện tích mặt cắt ngang 0,25cm 2 Thanh BC dài 200cm, có diện tích mặt cắt ngang 0,2cm 2 Tính ứng suất động lớn nhất trong thanh ABC Biết

E = 2.10 5 MN/m 2 Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh

13.17 Một kết cấu gồm ba thanh thép có diện tích mặt cắt ngang và chiều dài như nhau, F 1cm 2 , l = 1m, chịu một vật nặng Q rơi từ độ cao h = 0,5m như hình 13-17B

Xác định trọng lượng cho phép của vật nặng theo điều kiện bền của các thanh Biết α

13.18 Một vật nặng P rơi tự độ cao h xuống một lò xo có độ cứng C đặt ở đầu một công xon như trên hình 13-18B Công xon có độ cứng ở đầu A là

Tính độ cao cần thiết để ứng suất động trong thanh lớn gấp 2,4 lần ứng suất tĩnh

Nếu muốn ứng suất động lớn gấp ba lần ứng suất tĩnh thì phải thả vật nặng ở

13.19 Một vật nặng 10kN rơi từ độ cao H = 10cm va chạm vào dầm thép chữ I 20 như hình 13-19B

TÍNH ĐỘ BỀN KHI ỨNG SUẤT THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN

Khái niệm

Trong ngành chế tạo máy, người ta thường gặp việc tính độ bền cho những chi tiết có ứng suất thay đổi tuần hoàn theo thơì gian Một trong những trường hợp thường gặp là các loại trục truyền động (hình 14-1)

Như vậy ngay cả khi tải trọng P là tĩnh, thì ứng suất trên mặt cắt ngang vẫn thay đổi theo thời gian : ϕ

Nếu trục quay đều, ϕ(t) = ωt thì : t sin

Như vậy, cứ một vòng quay của trục, ứng suất ở A lại lần lượt qua các giá trị cực đại và cực tiểu, hai giá trị này bằng nhau nhưng khác dấu Sự biến thiên ứng suất ở

A được vẽ thành một đường hình sin Cứ mỗi lần ứng suất đi qua các giá trị tương ứng với một vòng quay của trục, ta nói điểm A đã thực hiện được một chu trình ứng suất

Thời gian thực hiện một chu trình ứng suất là một chu kỳ Người ta đưa ra các định nghĩa (hình 14-2): w P

Pmax = Ptb + Pbđ Pmin = Ptb - Pbđ Khi : Pmax = - Pmin chu trình được gọi là đối xứng

Pmax ≠ Pmin chu trình được gọi là bất đối xứng

Hệ số bất đối xứng: max min p r= p

- Khi r = -1 tức là khi Pmax = - Pmin ta có chu trình đối xứng (hình14-3)

- Khi r = 1 ta có ứng suất là một đường thẳng nằm ngang, đó là trường hợp tải trọng tĩnh (hình14-4)

- Khi r = 0 hoặc r=∞ ta có chu trình mạch động, lúc này (hình14-5a,b):

P : là ứng suất pháp σ hoặc ứng suất tiếp τ.

Giới hạn mỏi và biểu đồ giới hạn mỏi

14.2.1 Giới hạn mỏi của chu trình đối xứng Để tính về độ bền mỏi của các chi tiết máy, người ta phải làm các thí nghiệm để xác định giới hạn mỏi của vật liệu ứng với các chu trình có hệ số bất đối xứng khác nhau Giới hạn mỏi của vật liệu là giá trị lớn nhất của ứng suất thay đổi tuần hoàn mà vật liệu có thể chịu đựng được một số chu trình không hạn định và không xuất hiện vết nứt vì mỏi Giới hạn mỏi được kí hiệu pr (σr , τr) với r là hệ số không đối xứng

Với chu trình đối xứng, giới hạn mỏi được ký hiệu là σ-1 , τ-1; với trường hợp kéo nén đơn σ+1 Việc xác định giới hạn mỏi của các chu trình đối xứng tương đối đơn giản hơn các loại chu trình khác

Hình 14-6 trình bày sơ đồ nguyên lý của máy thí nghiệm xác định σ-1 khi uốn Mẫu thí nghiệm được đặt lên máy và gia tải qua các ổ bi sao cho phần giữa của mẫu chịu uốn thuần tuý

Trong thí nghiệm, người ta chuẩn bị từ 6 đến 10 mẫu thử giống nhau Với mẫu đầu tiên, người ta đặt tải P sao cho ứng suất cực đại trên mẫu thử vào khoảng 0,5 giới hạn bền Cho máy chạy cho tới khi mẫu bị phá hỏng, ghi lại giá trị của σ và số chu trình N Với mẫu 2,3 , tải P được giảm dần

Biểu đồ mỏi Vê le được lập trên quan hệ giữa σ và số chu trình N để mẫu bị gãy Giá trị ứng suất ứng với lúc đường cong nằm ngang được coi là giới hạn mỏi khi uốn thuần tuý đối xứng của mẫu thử (hình14-7) Kinh nghiệm cho thấy đối với thép, nếu mẫu chịu được 10 7 chu trình mà không bị phá hoại thì sẽ chịu được mãi mãi Đối với kim loại mầu thì số chu trình cần thiết là 20.10 7 đến 50.10 7

Người ta đã thiết lập những quan hệ gần đúng sau đây giữa giới hạn bền mỏi cho chu trình đối xứng trong trường hợp uốn σ-1u, kéo nén dọc trục σ-1k, xoắn τ-1 với giới hạn bền σb:

+ Đối với kim loại mầu: σ-1,u ≈ (0.25 ÷ 0.5 ) σb

14.2.2 Biểu đồ giới hạn mỏi Để xác định đầy đủ độ bền mỏi của vật liệu, ngoài giới hạn mỏi của các chu trình đối xứng, người ta còn phải xác định giới hạn mỏi của các chu trình không đối xứng Thực nghiệm cho thấy giới hạn mỏi của các chu trình không đối xứng lớn hơn các chu trình đối xưng và phụ thuộc vào hệ số không đối xứng của chu trình Với các dữ liệu thu thập được, người ta lập thành một biểu đồ gọi là biểu đồ giới hạn mỏi Có hai loại biểu đồ giới hạn mỏi, một loai vẽ trên quan hệ pmax, pmin - ptb (biểu đồ Smit)(hình 14-8), loại thứ hai vẽ trên quan hệ pbđ - ptb (biểu đồ Clây), (hình 14-9) Đường cong trên biểu đồ là tập hợp những điểm biểu thị giới hạn mỏi của cùng vật liệu ứng với các chu trình khác nhau Điểm A có ptb = 0, pbđ = p-1 ứng với chu trình đối xứng Điểm B và B' có pbđ = 0 ứng với trường hợp tác dụng của tải trọng tĩnh

Xét một chu trình bất kì biêủ thị bằng một điểm L trên hình vẽ Nối OL, tia OL gặp đường cong tại M Với chu trình biểu diễn bằng điểm L, ta có:

B’ B tb bd tb bd bd tb bd tb max min p

Trong đó θ là góc của tia OL đối với trục hoành

Với chu trình biểu thị bằng điểm M, ta có: tb bd tb bd bd tb bd tb max min

' p bd tb bd tb bd tb bd tb max min

Như vậy r = r' Hai chu trình có hệ số bất đối xứng bằng nhau được gọi là hai chu trình đồng dạng với tỉ số đồng dạng: bd bd tb tb r p

Vì điểm M biểu thị chu trình giới hạn nên tỉ số nr là hệ số an toàn của chu trình biểu thị bằng điểm

L Chu trình được coi là an toàn nếu nr > 1 Vì những thí nghiệm để tìm giới hạn mỏi đều là những thí nghiệm phá hoại nên hai điểm B và B' đều có hoành độ là giới hạn bền của vật liệu Nhưng với vật liệu dẻo, ta coi giới hạn nguy hiểm là giới hạn chảy pch Vì vậy giới hạn mỏi của bất cứ chu trình nào cũng không được vượt quá giới hạn chảy Do đó ta phải thay thế biểu đồ B'D'ADB bằng đường gãy C'D'ADC trong đó C' và C có hoành độ bằng giới hạn chảy khi kéo và nén và nghiêng góc 45 o với trục hoành (hình14-10) Với một điểm K bất kì nằm trên đường CD ta luôn có : pmax = Ok + kK = Ok + kC = pch,k

Nhằm giảm thiểu số thí nghiệm để xác định giới hạn mỏi, người ta đưa ra những cách lập các biểu đồ gần đúng Có nhiều loại biểu đồ gần đúng như coi đường cong qua AB là đường bậc hai, hoặc coi biểu đồ gồm hai đoạn thẳng xác định bởi các ứng

Biểu đồ gần đúng được dùng phổ biến nhất là biểu đồ của Sêrensen và Kinasôvili với các giá trị pch,n, po,n , p-1 , po,k , pch,k (hình14-12).

Các nhân tố chính ảnh hưởng tới giới hạn mỏi

14.3.1 Ảnh hưởng của sự tập trung ứng suất

Yếu tố quan trọng nhất làm giảm giới hạn mỏi là hiện tượng ứng suất tập trung gây ra do sự thay đổi đột ngột của mặt cắt chi tiết Trong thực tế, sự tập trung ứng suất xuất hiện tại những rãnh then, lỗ khoan, rãnh thoát dao, trục bậc Sự tập trung ứng suất không những phụ thuộc vào hình dạng, kích thước của mặt cắt mà còn phụ thuộc cả vào dạng biến dạng và vật liệu

Có hai loại hệ số tập trung ứng suất:

- Hệ số tập trung ứng suất lý thuyết: là tỉ số giữa ứng suất cục bộ lớn nhất tính theo lý thuyết đàn hồi và ứng suất danh nghĩa: dn max lt p

- Hệ số tập trung ứng suất thực tế có xét tới ảnh hưởng của vật liệu, hệ số này

HỆ SỐ ĐỘ NHẬY VỚI ỨNG SUẤT TẬP TRUNG CỦA THÉP

1,31,41,5 bằng tỉ số của giới hạn mỏi p-1 theo chu trình đối xứng của mẫu có mặt cắt đều và giới hạn mỏi thực tế p-1tt theo chu trình đối xứng của mẫu có mặt cắt thay đổi: tt 1

Hệ số tập trung ứng suất thực tế thường nhỏ hơn hệ số tập trung ứng suất lý thuyết Quan hệ giữa hai hệ số này được biểu thị bằng hệ số nhạy q:

- Với thép hợp kim: q ≈1 và do đó: αtt ≈ αtt

Như vậy giới hạn mỏi của gang không chịu ảnh hưởng của sự tập trung ứng suất

Hình 14-13 là đồ thị hệ số nhạy q với các hệ số αlt khác nhau có kể đến độ bền của thép Hình 14-14, 14-15, 14-16 và 14-17 là những đồ thị của các hệ số tập trung ứng suất thực tế đối với một số chi tiết thường gặp trong thực tế ứng với các dạng chịu tải khác nhau Trong nghành cơ khí, các hệ số αtt cũng hay được cho dưới dạng các bảng số liệu

Hình 14-14 ĐỒ THỊ CÁC HỆ SỐ TẬP TRUNG

1 Đối với thép có σb = 120 kG/mm 2 (1200 MN/m 2 )

2 Đối với thép có σb = 80 kG/mm 2 (800 MN/m 2 ) d D P

Hình 14-15 ĐỒ THỊ HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT THỰC TẾ

Trường hợp các trục bậc chịu xoắn và uốn có tỉ số 2 d

D < thì các hệ số của biểu đồ (hình 14-16 và 14-17) phải được hiệu chỉnh theo biểu đồ ở hình 14-18

HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT THỰC TẾ đối với những tc bậc khi xoắn

1 Đối với thép có σb = 120 kG/mm 2 (1200 MN/m 2 )

2 Đối với thép có σb = 50 kG/mm 2 (500 MN/m 2 )

HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT THỰC TẾ đối với những trục bậc chịu uốn

1 Đối với thép có σb = 120 kG/mm 2 (1200 MN/m 2 )

2 Đối với thép có σb = 50 kG/mm 2 (500 MN/m 2 )

0,4 ĐỒ THỊ CỦA NHỮNG HỆ SỐ ĐIỀU CHỈNH với tỷ số D/d < 2 ξ

Nếu D/d < 2 thì αhd được xác định theo công thức : αtt = 1 + ξ (αtto – 1)

14.3.2 Ảnh hưởng của kích thước chi tiết

Nhiều thực nghiệm cho thấy với các chi tiết máy cùng loại biến dạng, giới hạn mỏi thay đổi tuỳ theo kích thước của các chi tiết Chi tiết có kích thước lớn sẽ có giới hạn mỏi nhỏ hơn, ảnh hưởng của kích thước chi tiết đối với giới hạn mỏi được biểu thị bằng hệ số kích thước αkt Hệ số này bằng tỷ số giữa giới hạn mỏi p-1do của mẫu thử có đường kính từ 7mm ÷ 10 mm với giới hạn mỏi p-1d của chi tiết đồng dạng hình học với mẫu thử: d 1 do kt 1 p p

Hệ số kích thước αkt không những phụ thuộc kích thước chi tiết mà còn phụ thuộc vật liệu, phương pháp gia công nữa (xem hình 14-19)

14.3.3 Ảnh hưởng của tình trạng bề mặt

Giới hạn mỏi còn chịu ảnh hưởng của chất lượng bề mặt khi gia công cơ Nếu bề mặt chi tiết không nhẵn, có nhiều vết nứt cực nhỏ, giới hạn mỏi của chi tiết giảm Hệ số bề mặt αbm bằng tỷ số giữa giới hạn mỏi p-1bm của mẫu mặt ngoài đánh bóng với giới hạn mỏi p-1dbm của mẫu có bề mặt bất kì: dbm 1 bm 1 bm bm p

Nếu xét cả ba yếu tố chính ảnh hưởng đến sự tập trung ứng suất ta có một hệ số chung αr bằng tỷ số giữa giới hạn mỏi p-1 của một mẫu có đường kính từ 7 ÷ 10 mm

1 Thép các bon, đánh bóng nhẵn

2 Thép các bon, mài nhẵn

3 Thép hợp kim, đánh bóng nhẵn

4 Thép hợp kim, mài nhẵn 5.Thép hợp kim với ứng suất tập trung vừa phải (α σ hd< 2)

Do đó giới hạn mỏi của một chi tiết thực tế làm việc theo chu trình đối xứng bằng:

Cách tính về độ bền mỏi

Khi tính độ bền mỏi của một chi tiết máy, người ta thường dùng phương pháp kiểm tra, phương pháp này được tiến hành như sau:

- Chọn sơ bộ kích thước của chi tiết máy trên cơ sở tính toán gần đúng và xét đến tính công nghệ của chi tiết đó

- So sánh hệ số an toàn nr của chi tiết trên với hệ số an toàn cho phép [n] theo điều kiện : nr ≥ [n]

Hệ số an toàn nr chính là hệ số đồng dạng của chu trình đã cho với chu trình giới hạn đồng dạng của nó

14.4.1 Trường hợp kéo, nén, uốn, xoắn thuần tuý Đây là những trường hợp chịu lực đơn giản Giả sử ta có một chu trình ứng suất bất kì biểu thị bằng điểm L Nếu tia OL gặp đường cong giới hạn mỏi trên đoạn A’F’

3 Mài mỏng hoặc tiện mỏng

4 Mài thô hoặc tiện thô thì chu trình cho trước đồng dạng với chu trình bị phá hoại vì mỏi Nếu tia OL gặp đường cong trên đoạn F’C thì chu trình cho trước bị phá hoại vì chảy Điểm L biểu thị chu trình ứng suất của chi tiết có toạ độ ptb và pbđ Tia OL cắt A’F’ tại K có toạ độ p’tb và p’bđ tb tb bd bd r p

Vì K nằm trên đoạn A’E’ nên: p’bđ = ap’tb + b Tại A’ : p’tb = 0 r

0 bd p 5 , ' 0 p = α Thay các giá trị trên vào phương trình đường thẳng, ta có: r 0 r

Thay: p’bđ = nr pbđ p’tb = nr ptb nr β.ptb + nr αr pbđ = p-1 bd r tb

Trường hợp chu trình ứng suất biểu thị bằng điểm L’ và tia OL’ gặp đường cong giới hạn mỏi trên đoạn F’C, giới hạn phá hoại tương ứng với chu trình này là giới hạn

L’ p’tb + p’bđ = Ok’ + k’K = Ok’ + k’C = pch,k

Ta suy ra: bd tb k , ch r p p n p

Trong thực tế, người ta có thể tính nr theo cả hai công thức trên và lấy giá trị nhỏ nhất để so với [n]

14.4.2 Trường hợp uốn và xoắn biến đổi đồng thời

Ta có thể áp dụng lý thuyết bền ứng suất tiếp cực đại hay lý thuyết thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất để đến công thức tính hệ số an toàn nr như sau:

Trong đó nσ và nτ là những hệ số an toàn của các biến dạng uốn và xoắn.

Ví dụ

Ví d ụ 14-1 : Một trục pit tông rỗng (D = 30 mm, d mm) của động cơ nhiệt chịu lực uốn P biến thiên giữa hai giới hạn Pmax = 60KN và Pmin = -20KN (hình 14-

22) Đặc trưng cơ học của vật liệu: σb = 1000MN/m 2 , σch = 800MN/m 2 , giới hạn mỏi của chu trình đối xứng σ u -1 = 500MN/m 2 , giới hạn mỏi của chu trình mạch động σo 750MN/m 2 Bề mặt của trục đánh bóng, αbm = 1, hệ số kích thước αkt = 1.2

Kiểm tra độ bền của chi tiết, biết rằng [n] = 1,5

Sơ đồ tải trọng của trục vẽ ở hình 14-22a, trong đó ta coi áp lực tác động lên trục và vào hai gối bên phân bố đều (hình 14-22.b), hình 14-22c là biểu đồ mômen uốn

Mômen uốn cực đại tại mặt cắt giữa trục là:

Mômen chống uốn của mặt cắt:

Mômen uốn cực đại và cực tiểu:

Mxmax = 1,375.10 -2 Pmax = 1,375.10 -2 60000 = 825Nm Mxmin = 1,375.10 -2 Pmin = 1,375.10 -2 (-20000) = -273Nm Ứng suất pháp cực đại và cực tiểu:

= σ − Ứng suất trung bình và ứng suất biên độ của chu trình : σbđ = 0,5(σmax -σmin) = 0,5 [338-(-113)] "5,5MN/m 2 σtb = 0,5( σmax + σmin) = 0,5(338 - 113) 2,5MN/m 2

Hệ số an toàn tính theo công thức: bd r tb

5 , 225 2 , 1 5 , 112 33 , 0 n r 500 = + Nếu tính theo điều kiện bị phá hỏng vì chảy thì: tb bd k , ch nr σ + σ

Ví d ụ 14-2 : Một lò xo hình trụ bằng thép của van động cơ nhiệt có giới hạn mỏi của chu trình đối xứng và chu trình mạch động bằng τ-1 = 270MN/m 2 , τo 450MN/m 2 , G = 8.10 4 MN/m 2 Lò xo có số vòng nv = 4,5; dây thép làm lò xo có đường kính d = 4 mm, đường kính ngoài của lò xo hình trụ là Dn = 48mm Để tự do, lò xo có chiều dài L = 60 mm, khi van đóng lò xo dài Lđ = 43 mm, khi van mở lò xo dài Lm = 29 mm Trong chế tạo, lò xo được làm cứng bề mặt (αbm = 1) Tính hệ số an toàn của lò xo (hình 14-23)

Từ công thức tính độ lún của lò xo:

Trong đó λ và D (đường kính trung bình của lò xo hình trụ) được tính như sau: λmax = L - Lm = 60 - 29 = 31mm λmin = L - Lđ = 60 - 43 mm

D = Dn - d = 48 - 4 = 44 mm Thay bằng số, ta có:

= 114N Ứng suất tiếp do biến dạng xoắn của dây lò xo (bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt) bằng :

Từ đó, ta có: min 2 max bd 81 MN / m

Ví d ụ 14-3 : Trục truyền động của một bánh răng trụ truyền công suất 28KW với tốc độ n = 720 vòng/phút Khi ăn khớp với bánh răng to, nó tạo ra lực vòng P và lực hướng kính T = 0,364P Xác định hệ số an toàn n Biết trục làm bằng thép 45 có σch20MN/m 2 , σ-1 = 250MN/m 2 Khi tính toán, coi σ do uốn là chu trình đối xứng, τ do xoắn là chu trình mạch động, cho α u tt = 1,95 ; α u bm = 1,03 ; α u kt = 1,2 ; ρ

Lực T uốn trục trong mặt phẳng yoz, lực P uốn trục trong mặt phẳng xoz và gây ra mômen xoắn M z = PD/2 , các ổ lăn được coi như khớp bản lề

Mômen xoắn được xác định theo công suất truyền động và số vòng quay là:

T = 0,364P = 3,01 KN Mômen uốn lớn nhất tại giữa dầm tính theo P và T là :

Do mômen uốn là chu trình đối xứng nên ứng suất pháp : σbđ = σmax = 41,5 MN/m 2 , σtb = 0 Mômen xoắn là chu trình mạch động nên : max 2 tb bd 10 , 4 MN / m

Các hệ số an toàn nσ và nτ được tính theo các công thức:

Vậy hệ số an toàn của trục vừa chịu xoắn vừa chịu uốn là 2,3

BÀI TẬP 14.1 Một trục tròn d = 40,bề mặt mài nhẵn có σ-1 = 200MN/m 2 chịu uốn thuần tuý trong chu trình đối xứng Mmax = -Mmin = 640Nm Xác định hệ số an toàn n

14.2 Một trục bậc có D = 80, d = 40 làm bằng thép 40 X có σ-1kn 250MN/m 2 , σb = 1000MN/m 2 , bề mặt mài nhẵn bóng Xác định lực Pmax trong chu trình đối xứng với hệ số an toàn cho phép [n] = 1,8,biết ρ/d = 0.2

14.3 Một trục tròn d = 50,thép C có σB = 600MN/m 2 , bề mặt mài bóng cao , có khoan một lỗ xuyên tâm a = 10 mm chịu xoắn với Mxmax = -Mxmin = 900 Nm Xác định [n] nếu σ-1= 0.4σb ,τ-1= 0.5σ-1

14.4 Một trục bậc đường kính D = 60, d = 50 chịu lực kéo nén chu kỳ có r = -0.5

Trục bằng thép có σ-1 = 204MN/m 2 ,σb = 500MN/m 2 trục được gia công bằng phương pháp tiện Xác định lực tác dụng lên trục Biết αlt = 1.6, [n] =3 , β = 0

14.5 Một trục trơn rỗng quay tròn có tiết diện nguy hiểm vì khoan một lỗ tra dầu Trục chịu uốn với Mu = 1.5 KNm, mô men xoắn Mxmax = 1.8KNm , hệ số bất đối xứng rx = -0.25 Trục có D = 70, d = 35 Trục làm bằng thép 45 có σ-1 300MN/m 2 ,τ-1 =1 80MN/m 2 Bề mặt trục màI nhẵn Xác định hệ số an toàn của trục Biết α σ lt = 2.5, qσ = 0.65, αkt = 1.43, αm = 1.09, α τ lt = 3, qτ = 0.65, βτ = 0.05

14.6 Thí nghiệm với thép CT3 người ta xác định được σb = 388MN/m 2 , σ-1 185MN/m 2 và một số giá trị tương ứng giữa σbd và σtb như sau: σ r bđ 175 140 85 (MN/m 2 ) σ r tb 100 200 300 (MN/m 2 )

Xác định giới hạn mỏi σ0.25

14.7 Một trục chịu uốn với M u max = 400Nm, M u min = -160Nm và chịu xoắn

M x max= 640Nm, M x min = 320Nm Trục có D = 50, d = 40, ρ = 0.25 Vật liệu trục σb = 500MN/m 2 ,σ-1 $0MN/m 2 ,τ-1 0MN/m 2 ,σo @0MN/m 2 , τo= 254MN/m 2 , trục được mài nhẵn Xác định hệ số an toàn

14.8 Một chi tiết bằng thép có D mm, d = 40 mm,l = 400mm , a = 100 mm , ρ 0.2 cm ,Po = 160 N = const Lực P biến thiên từ Pmax= -Pmin Xác định Pmax nếu [n]

= 2 Bề mặt chi tiết tiện thô Vật liệu có σb= 600MN/m 2 , σ-1 %0MN/m 2 , τ-1 = 150 MN/m 2 ,σo = 415 MN/m 2 ,τo %5MN/m 2 (hình 14.8B) a l

CHƯƠNG 15: THỰC NGHIỆM CÔNG TRÌNH

Ý nghĩa của việc nghiên cứu bằng thực nghiệm

Như trong chương 1 đã trình bầy: phương pháp nghiên cứu của môn sức bền vật liệu là kết hợp lí thuyết với thực nghiệm Từ việc quan sát thí nghiệm người ta đưa ra các giả thiết làm đơn giản hoá quá trình tính toán, và bằng các công cụ là toán, cơ, vật lí mà tìm ra các phương pháp tính toán công trình Cuối cùng lại dùng thực nghiệm để kiểm tra lại kết quả tính toán Như vậy thực nghiệm giữ vai trò ở khâu đầu và khâu cuối cùng, nó vừa góp phần làm đơn giản hoá quá trình tính toán, vừa là xác minh độ tin cậy, mức độ chính xác của phương pháp tính toán đã dựa trên những giả thiết gần đúng

Ngoài ý nghĩa trên, các bài toán thực tế đôi khi rất phức tạp Mức độ phức tạp không chỉ ở hình dạng kết cấu mà còn phức tạp ở các điều kiện biên, điều kiện đầu và các tính chất của vật liệu Việc giải một số bài toán loại này bằng phương pháp giải tích để tìm ra kết quả dưới dạng một biểu thức giải tích đóng đôi khi rất khó khăn, thậm chí có trường hợp không thể thực hiện được Trong những trường hợp như thế thì việc nghiên cứu giải bài toán bằng thực nghiệm đóng vai trò hết sức quan trọng Trên cơ sở hàng loạt những kết quả thí nghiệm, ta sử dụng công cụ toán học (xác suất thống kê) có thể tìm ra những công thức tính toán công trình dươí dạng những biểu thức thuận lợi cho tính toán thiết kế (đường hồi qui)

Thông thường, có hai loại thí nghiệm: thí nghiệm vật liệu và thí nghiệm công trình Những thí nghiệm nhằm mục đích xác định các đặc trưng cơ học của vật liệu như mô đun đàn hồi E, mô đun trượt G, hệ số Poat-xông μ , những đặc trưng về tính dẻo của vật liệu như độ dãn tỉ đối, độ thắt tỉ đối, góc xoắn tỉ đối , những đặc trưng về tính bền của vật liệu như giới hạn tỉ lệ, giới hạn chảy, giới hạn bền, độ bền mỏi gọi là thí nghiệm vật liệu Còn những thí nghiệm nhằm mục đích kiểm tra các kết quả tính toán, kiểm tra khả năng làm việc của công trình hay các chi tiết máy được gọi là thí nghiệm công trình

Thí nghiệm vật liệu có thể được tiến hành trên các mẫu thí nghiệm chế tạo từ các vật liệu thực của công trình (thí nghiệm phá hoại) hoặc thí nghiệm ngay trên các cấu kiện của công trình thực (thí nghiệm không phá hoại) Các mẫu thí nghiệm được chế tạo theo những quy định của nhà nước Vì tính chất cơ học của vật liệu phụ thuộc vào hình dáng, kích thước và chế độ gia công của mẫu thí nghiệm nên hình dáng, kích thước, chế độ gia công mẫu thí nghiệm cũng được quy định theo tiêu chuẩn của nhà nước

Thí nghiệm công trình có thể tiến hành ngay trên các cấu kiện của công trình thực hoặc trên các mô hình tương tự Các mô hình có tỉ lệ kích thước biến đổi trong phạm vi rất rộng tuỳ thuộc vào mục đích nghiên cứu và khả năng kinh phí cho phép Vật liệu làm mô hình có thể là cùng loại vật liệu với công trình thực hoặc có thể là các loại vật

Nguyên tắc và dụng cụ đo biến dạng

Trong các thí nghiệm công trình ta thường phải xác định ứng suất và chuyển vị Để xác định ứng suất trong công trình hoặc trong mô hình thường thông qua việc đo biến dạng, rồi trên cơ sở của định luật Hooke mà tìm ra ứng suất Do đó một trong những vấn đề cơ bản của việc nghiên cứu bằng thực nghiệm là việc đo biến dạng và chuyển vị của mẫu thí nghiệm Dưới đây sẽ đề cập đến một số phương pháp và dụng cụ đo biến dạng và chuyển vị thường gặp

15.2 Nguyên tắc và dụng cụ đo biến dạng

Có rất nhiều phương pháp đo biến dạng, song dưới đây chỉ trình bầy một vài phương pháp cơ bản và thông dụng nhất

15.2.1 Đo biến dạng dựa trên nguyên lí cơ học

Dụng cụ để đo biến dạng gọi là Ten-zô-met (Tensometre), thông dụng nhất là ten- zô-met kiểu đòn bẩy Cấu tạo của Ten-zô-met này như trên hình 15-1 và sơ đồ nguyên lí như trên hình 15-2

Trên khung 1 của Ten - zô - met có một lưỡi dao cố định và một lưỡi dao động 2 hình quả trám tì lên khung 1 Khoảng cách giữa 2 lưỡi dao này gọi là chuẩn đo (Base) của dụng cụ Lưỡi dao 2 được nối với tay đòn 3 Ngoài ra còn có kim chỉ thị 4 và bảng chia độ 5 Để đo biến dạng của mẫu ta dùng bộ gá lắp gắn chặt 2 lưỡi dao của Ten - zô

- met vào mẫu tại vị trí đo Khi mẫu thí nghiệm bị biến dạng thì khoảng cách giữa 2 lưỡi dao cũng bị thay đổi, lưỡi dao 2 quay làm thanh 3 quay theo (đường nét đứt trên hình 16-2) đẩy kim 4 quay trên mặt chia độ 5 Nhờ hệ thống đòn bẩy, biến dạng dài (sự thay đổi độ dài của khoảng cách giữa 2 lưỡi dao) được khuếch đại lên K lần K gọi là hệ số khuếch đại của Ten-zô-met (thông thường K00) Như vậy hiệu số δ đọc được trên bảng chia độ trước và sau khi mẫu bị biến dạng cho ta biến dạng dài Δl của đoạn l của mẫu đã được nhân lên K lần Do đó biến dạng dài tương đối của mẫu được tính :

Hình 15-1 Hình 15-2 Ưu điểm của loại Ten-zô-met này là đơn giản, dễ sử dụng, ít chịu ảnh hưởng của môi trường Tuy nhiên độ nhậy của dụng cụ này thấp nên độ chính xác không cao Quán tính của dụng cụ lớn nên không sử dụng để đo biến dạng động Ngoài ra độ chính xác khi đo còn phụ thuộc rất lớn vào kỹ thuật gá lắp dụng cụ vào mẫu thí nghiệm, tức là phụ thuộc vào trình độ tay nghề của cán bộ thí nghiệm Khi muốn đo biến dạng tại nhiều điểm thì phải sử dụng nhiều Ten-zô-met

Một loại dụng cụ khác nhưng cũng dựa trên nguyên lí này đó là Đi-mêch (Demec) Sơ đồ của dụng cụ này cho trên hình 16-3 Về cơ bản cấu tạo của nó cũng tương tự như Ten-sơ-met đòn bẩy, chỉ khác là bộ chỉ thị ở đây là một chuyển vị kế (cấu tạo của chuyển vị kế sẽ được trình bầy ở phần dưới) Khung của Đi-mêch được làm bằng một loại kim loại có độ dãn nở vì nhiệt vô cùng nhỏ (thường là thép Inva) để khử ảnh hưởng của môi trường cúc

Muốn đo biến dạng của mẫu tại vị trí nào đó ta chỉ việc dán 2 chiếc ”cúc” vào vị trí cần đo Hai cúc này đặt cách nhau một khoảng xấp xỉ chuẩn đo của dụng cụ (khoảng cách của các cúc này được định vị bằng một dụng cụ riêng kèm theo) Để đo biến dạng của mẫu ta chỉ việc cắm 2 lưỡi dao của Đi-mêch vào 2 lỗ của 2 cúc đã dán sẵn trên mẫu thí nghiệm trước và sau khi mẫu bị biến dạng Hiệu số 2 lần đọc này chính là biến dạng tuyệt đối Δl của đoạn dài giữa 2 cúc đã dán sẵn trên mẫu đã đưọc nhân lên K lần K được gọi là hệ số khuếch đại của Đi-mêch Biết Δl, l và hệ số K của Đi-mêch ta dễ dàng xác định được biến dạng tương đối ε của mẫu Với cách đo như trên, chỉ cần một Đi-mêch ta có thể đo biến dạng tại nhiều vị trí khác nhau trên công trình, và cũng có thể đo biến dạng của mẫu nhiều lần ở nhiều thời điểm khác nhau (đo biến dạng theo thời gian) Ngoài ra, với dụng cụ này, kết quả đo không phụ thuộc vào kỹ thuật gá lắp dụng cụ Do mở rộng được chuẩn đo nên độ nhậy tăng Tuy nhiên dụng cụ này cũng có quán tính lớn nên chỉ đo được biến dạng tĩnh

15.2.2 Đo biến dạng bằng tấm điện trở Đây là phương pháp đo biến dạng dài được dùng phổ biến hiện nay Phương pháp này có nhiều ưu điểm mà các phương pháp khác không thể có được như là :

- Có độ chính xác cao

- Chỉ cần một máy đo có thể đo biến dạng tại nhiều vị trí trên công trình

- Có thể đo biến dạng theo nhiều phương khác nhau tại cùng một điểm và do đó có thể xác định được giá trị, phương của ứng suất chính

- Có thể đo biến dạng gây ra do tải trọng tĩnh, tải trọng động cũng như tải trọng xung

- Có thể đo biến dạng ở khoảng cách xa vị trí đặt máy đo, ở những vị trí kín không thể quan sát được, ví dụ đo biến dạng ở những điểm trong lòng cấu kiện bê tông, kết cấu chìm ngập dưới nước, các điểm trong lòng công trình đất

- Có thể sử dụng tấm điện trở để chế tạo thành các đầu chuyển đổi (Transducer) để đo nhiều các đại lượng cơ học khác

Tuy nhiên phương pháp đo này chịu ảnh hưởng rất nhiều của môi trường ngoài như nhiệt độ, độ ẩm, từ trường nên cần có biện pháp kỹ thuật xử lí thích hợp mới cho được kết quả tin cậy Đo biến dạng bằng phương pháp này ta sử dụng một tấm điện trở (hay còn gọi là Đattric điện trở, cảm biến điện trở ) Cấu tạo của tấm điện trở (Straingate) cho trên hình 15-4 Lớp vỏ bằng giấy cách điện hoặc bằng Polyeste Một dây điện trở được dán chặt vào giữa 2 lớp vỏ và được hàn vào 2 dây dẫn điện Chiều dài lđược gọi là chuẩn đo Điện trở của Đattric thường có giá trị là 120, 350, 600 Ω đến 2000 Ω Chuẩn đo

Muốn đo biến dạng dài theo phương nào đó, ta chỉ việc dán (bằng các loại keo dán đặc biệt) tấm điện trở lên mẫu theo phương cần đo biến dạng Khi mẫu bị biến dạng làm chiều dài của nó thay đổi, đoạn dán tấm điện trở cũng thay đổi, và do đó chiều dài dây điện trở cũng bị thay đổi Chiều dài dây điện trở thay đổi làm cho điện trở của nó cũng bị thay đổi theo Ta đã biết điện trở R của dây dẫn được xác định bằng công thức sau:

R =ρFl (a) trong đó : ρ là điện trở suất của vật liệu làm dây dẫn l là chiều dài dây dẫn

F là diện tích mặt cắt ngang của dây dẫn

Từ (a) ta có : ln R = ln ρ + ln l - ln F và do đó sự biến đổi tương đối của điện trở :

Nhưng Δl/l = ε là biến dạng dài tương đối của dây điện trở và cũng là biến dạng dài tương đối của mẫu thí nghiệm tại điểm đo Gọi ε = ε z và ta cũng đẫ biết: εx = εy = - μεz = -με

F ΔF = εx + εy = - 2με với μ là hệ số Poat-xông

Nếu bỏ qua sự thay đổi của điện trở suất thì từ (b) ta có :

C i Đối với mỗi loại vật liệu (để làm dây điện trở) thì μ = Const nên 1 + 2μ = Const

K gọi là hệ số nhậy của tấm điện trở Do đó : ε Δ R K

Sự thay đổi tương đối của điện trở tỉ lệ bậc nhất với sự thay đổi tương đối của chiều dài dây dẫn, tức là tỉ lệ bậc nhất với biến dạng dài tương đối Như vậy nếu đo được tỉ số ΔR/R thì sẽ xác định được biến dạng dài tương đối ε của dây điện trở, cũng chính là biến dạng dài tương đối của mẫu thí nghiệm Để xác định sự thay đổi điện trở này, ta dùng một cầu đo điện trở, thông thường đó là cầu Uytstơn (hình 15-5) Khi cầu cân bằng, tức là khi điện kế G chỉ số 0 thì ta có

Nếu dùng R1 làm Đattric đo thì khi R1 biến đổi từ R1 thành R1 + ΔR1, ta sẽ thay đổi điện trở R4 thành R4 + ΔR 4 để đẳng thức (***) được thoả mãn Biết ΔR 4 ta có thể xác định được ΔR1 và do đó theo (d) có thể xác định được ε

Nếu mẫu thí nghiệm không thuộc trạng thái ứng suất đơn mà thuộc trạng thái ứng suất phẳng thì muốn đo được ứng suất chính ta phải đo biến dạng theo nhiều phương, rồi dựa vào các công thức của trạng thái biến dạng ta sẽ xác định được các biến dạng chính Để đo biến dạng theo nhiều phương ta thường dùng các đattric loại đặc biệt gọi là hoa điện trở như trên hình 15-6

Nếu đã biết phương chính ta thường dùng hoa điện trở vuông góc (hình 15-6a)

Đo chuyển vị bằng phương pháp cơ học

Dụng cụ để đo chuyển vị gọi là chuyển vị kế (Indicator) Chuyển vị kế kiểu cơ học có sơ đồ như trên hình 15-9 Cấu tạo của nó gồm: Trục 1 trượt được trong ống 2 Đồng hồ chỉ thị 3 gồm một hệ thống bánh răng làm nhiệm vụ truyền chuyển động thẳng của trục 1 thành chuyển động quay của các kim trên mặt chia độ Nhờ hệ thống bánh răng này mà trụ

Hình 15-9: Chuy ể n v ị k ế ki ể u c ơ h ọ c chuyển dịch của trục 1 được khuếch đại lên K lần K gọi là hệ số khuếch đại của chuyển vị kế Muốn đo chuyển vị tại một điểm nào đó của kết cấu ta dùng bộ gá lắp để đặt đầu của trục 1 tiếp xúc với điểm đó Bộ gá lắp được kẹp chặt vào vỏ 2 và được đặt trên một vị trí cố định (không bị chuyển vị) Khi mẫu bị chuyển vị thì đầu của trục 1 cũng dịch chuyển theo Hiệu số đọc được trên đồng hồ khi mẫu đã chuyển vị và khi chưa chuyển vị cho ta trị số chuyển vị của mẫu Các chuyển vị kế kiểu này thường có độ chính xác tới 0,01 mm hoặc 0,001mm

Nhược điểm chính của loại chuyển vị kế kiểu cơ học là :

- Muốn đo chuyển vị cần phải có điểm cố định để đặt bộ gá lắp

- Mỗi chuyển vị kế chỉ đo chuyển vị tại một điểm

- Chuyển vị kiểu cơ học thuần tuý (không có cầu đo bên trong) chỉ có thể sử dụng để đo chuyển vị tĩnh

Tuy nhiên chuyển vị kế loại này cho kết quả khá tin cậy và ít chịu ảnh hưởng của môi trường ngoài

Hình 15-20: chuy ể n v ị k ế d ự a trên nguyên lý đ i ệ n

Tuy nhiên có một số loại chuyển vị kế này người ta lắp bên trong nó một cầu đo nên hệ số khuếch đại cao hơn nhiều và có quán tính nhỏ có thể dùng để đo được cả chuyển vị động với tần số không lớn lắm (chuyển vị kế dựa trên nguyên lý điện: Hình 15-20)

PHẦN ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN OLYMPIC CƠ HỌC TOÀN QUỐC (1989 –

1 Vẽ biểu đồ nội lực của dầm AD như trên hình 1

2 Một thanh tròn AB chịu xoắn như trên hình 2 Trên mặt ngoài của đoạn AC và CB theo phương 45 0 so với trục thanh ta đo được biến dạng dài tỷ đối trên AC là ε 1 = ε 0 ; trên CB là ε 2 =−ε 0 Biết các hằng số vật liệu là E, G và μ

1) Vẽ biểu đồ nội lực của thanh AB và xác định giá trị M0

2) Xác định tỷ số a 1 /a 2 để thoả mãn điều kiện trên

3 Dầm cứng tuyệt đối AB, đầu B tựa trên cột bê tông BE có kích thước và liên kết như trên hình 3 Cột bê tông có mô đun đàn hồi E2, diện tích mặt cắt ngang F2, chiều dài l 2 và mô men quán tính đối với trục x là J2 Thanh CD có mô đun đàn hồi E1, diện tích mặt cắt ngang F1, chiều dài l 1

Hãy khảo sát giá trị lớn nhất của ứng suất tại mặt cắt ngàm của cột BE khi lực P dịch chuyển từ A đến B Biết l 1 =l 2 =l/2, 2 2 1 1 2E 2 2 J 2

4 Thanh OD tuyệt đối cứng được treo tại khớp A và D, dây kim loại ABCD đi qua các ròng rọc B và C, chịu lực như trên hình 4.Biết dây có diện tích mặt cắt ngang F, mô đun đàn hồi E, bỏ qua ma sát ở các ròng rọc

1) Mặt cắt nà của dây kim loại không bị dịch chuyển theo phương dọc trục dây? Vị trí đó có phụ thuộc vào vị trí của điểm đặt lực P trên thanh OD không?

2) Hãy xác định chuyển vị của điểm đặt lực P

3) Cho P = 15 kN, hãy tìm vị trí điểm đặt lực P để dây kim loại đảm bảo điều kiện bền Cho F=1 cm 2 , [ ]σ =10 kN / cm 2

5 Cho một hệ chịu lực như trên hình 5 Độ cứng chống uốn của dầm AB là EJ, của

1) Hãy xác định khe hở δ giữa dầm CD và AB sao cho dưới tác dụng của lực P, dầm

CD vừa chạm vào vào dầm AB tại K ( K là điểm giữa nhịp của dầm AB)

2) Nếu giảm khe hở δ một lướngao cho mô men uốn lớn nhất phát sinh trong dầm CD giảm đi một lượng là ΔM=Pa/4 thì giá trị lớn nhất của mô men uốn phát sinh trong dầm AB trong trường hợp này là bao nhiêu?

6 Hai dầm nằm ngangcó cùng chiều dài l và độ cứng chống uốn EJ, đặt chéo nhau trong không gian, cách nhau theo phương thẳng đứng một khoảng nhỏ δ như trên hình

6 ( IK = δ, I là điểm giữa nhịp dầm AB, K là điểm giữa nhịp dầm CD) Lực phân bố đều q theo phương thẳng đứng tác dụng lên dầm AB

1) Hãy xác định trị số q0 của lực phân bố để dầm AB vừa chạm vào dầm CD

2) Hãy xác định độ võng tại I của dầm AB khi trị số của lực phân bố q = 4 q0, trong đó q0 xác định theo câu hỏi 1) a a a a/2

7 Một kết cấu như trên hình 7 Thanh AB có mặt cắt hình chữ nhật b x h với h thẳng đứng, thanh BC có mặt cắt hình tròn đường kính dầm Trên mặt trên cùng của thanh

AB gá các Tensơmét đòn hướng thẳng đứng với chuẩn đo là L ( cm ) để đo dịch chuyển theo phương theo phương dọc trục của thanh Ở bất cứ tenssơmét nào người ta cũng đọc được độ dịch chuyển dịch của kim như nhau và bằng s khoảng chia, giá trị của mỗi khoảng chia là 10-3 Trên bề mặt của thanh BC dán các tấm điện trở theo 2 phương tạo với phương BC các góc 45 0 và 135 0 , nhờ máy đo biến dạng người ta xác định được ε 45 =−ε 135 =t%

1) Hãy xác định tải trọng tập trung tác dụng tại mặt cắt A

2) Cho b = 2h, hãy xác định tỷ số h/dầm để 2 thanh AB và CD thoả mãn điều kiện đồng bền

3) Hãy xác định chuyển vị thẳng đứng tại điểm A Biết 10d

BC = l l , trong đó lBC và l AB biểu thị chiều dài của các thanh BC và AB; d = 20 mm;

8 Một dầm chịu lực như trên hình 8 Dầm làm bằng vật liệu dòn có

Hãy tính khoảng cách x từ đầu C đến vị trí đặt gối tựa B để dầm làm việc hợp lý và xác định kích thước δ của mặt cắt ngang Cho P = 4,8 kN; l=2,7m

9 Dầm thép DE theo thiết kế sẽ chịu lực phân bố đều q0 như trên hình 9.a Để tăng khả năng chịu lực của dầm , người ta gia cường như trên hình 9.b, trong đó AA1 và BB1 là cứng tuyệt đối có chiều dài các Dây AB làm bằng cùng vật liệu với dầm, có diện tích mặt cắt ngang F1 và được kéo trước bởi một lực X1 nào đó

1) Xác định trị số của X1 sao cho ứng suất lớn nhất tại các mặt cắt nguy hiểmcủa dầm là như nhau và không vượt quá trị số lớn nhất của ứng suất của dầm khi chưa gia cường

2) Sau khi gia cường, dầm có thể chịu được lực phân bố q bằng bao nhiêu lần so với q0?

Cho diện tích mặt cắt ngang của dầm là F, mô men quán tính là J và môđun đàn hồi của vật liệu làm dầm là E

10 Dầm AB chịu lực như trên hình 10.a.Chiều dài nhịp và kích thước mặt cắt ngang cho trên hình vẽ Dầm có các đặc trưng cơ học là E và μ Tại điểm C trên đường trung gian của mặt ngoài , bằng các phương tiện thí nghiệm, người ta đo được biến dạng dài tỷ đối theo phương nghiêng với trục thanh một góc 45 0 có giá trị ε 0

1) Hãy xác định giá trị mô men M

2) Đường đàn hồi của trục dầm có dạng như đường nét liền hay nét đứt biểu thị trên hình 10.b ( tiếp tuyến của đường nét đứt tại A trùng với trục thanh, điểm uốn của cả 2 đường cách A một đoạn bằng l/3)

3) Giá trị M thay đổi thế nào khi M1 và M2 tác dụng ngược chiều nhau

4) Phân tích trạng thái ứng suất tại các điêmtreen mặt cắt cách gối A một khoảng bằng 3 l/ trong cả 2 trường hợp ( khi M1 và M2 tác dụng cùng chiều và ngược chiều) l

11 Một trục tròn ngàm 2 đầu chịu lực như trên hình 11 Biét l@cm,d= 20cm, mô đun đàn hồi khi trượt G =8.10 6 N/cm 2 , góc xoay tương đối giữa 2 mặt cắt A và B rad

1) Hãy xác định ứng suất tiếp lớn nhất phát sinh trong trục

2) Vẽ biểu đồ biểu thị góc xoay của các mặt cắt