Giải một số bài toán về số nguyên tố với sự trợ giúp mathematia

Đặệảỏết ơnắ ớTSKH Lê Hùng Sơn, người đã tận tình ch dỉ ẫn, giúp đỡ tác gi nghiên c u và hoàn thành luảứận văn này.M c dù bặản thân đã rấ ố ắng, nhưng chắt c gc ch n luắận văn không thể t

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

GS TSKH LÊ HÙNG SƠN

Hà n i- ộ 2016

L Ờ I CẢM ƠN

Luận văn này là kế t qu ả sau hai năm họ ậ c t p và nghiên c u t ứ ại Trường Đạ i

h c Bách Khoa Hà N i B ọ ộ ản thân tôi đã đượ c ti p c n v i nh ng ki n th c chuyên ế ậ ớ ữ ế ứ sâu v các môn h trong toán ng d ề ọ c ứ ụng, đặ c bi t là nh ng ng d ng công ngh ệ ữ ứ ụ ệ thông tin để ả gi i quy t các bài toán liên quan trong lý thuy t l n th c ti n gi ng d ế ế ẫ ự ễ ả ạ y.

V i tình c m chân thành, tác gi xin bày t lòng bi ớ ả ả ỏ ết ơn đế n quý th ầy cô đã tham gia gi ng d y l p cao h c khóa 2013B Toán tin, cùng các phòng ban liên quan ả ạ ớ ọ

c a Vi ủ ện đào tạo sau đạ ọ i h c Bách Khoa Hà N ội, các đồ ng nghi p, b n bè và gia ệ ạ đình đã tận tình giúp đỡ ạo điề , t u ki n cho tác gi trong qua trình h c t p nghiên ệ ả ọ ậ

c u ứ

c bi t, tác gi xin bày t lòng bi sâu s c t i GS

Đặ ệ ả ỏ ết ơn ắ ớ TSKH Lê Hùng Sơn, ngườ i đã t ậ n tình ch d ỉ ẫn, giúp đỡ tác gi nghiên c u và hoàn thành lu ả ứ ận văn này.

M c dù b ặ ản thân đã rấ ố ắng, nhưng chắ t c g c ch n lu ắ ận văn không thể tránh khỏ i nh ng thi t sót Tác gi r t mong nh ữ ế ả ấ ận đượ c nh ng ý ki ữ ến đó ng góp b sung ổ

c a quý th ủ ầy cô giáo cũng như các đồ ng nghi ệp để luận văn đượ c hoàn thi ện hơn

n a ữ

! Xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 10 tháng 03 năm 2016

Tác gi ả luận văn

Phạm Thái Hoàng

THCS trung h

c ph thôngTHPT trung h

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn 1

Danh mục các chữ ết tắ vi t 2

M Ở ĐẦU 5

I Lý do ch tài 5

II M ng, ph m vi nghiên c u c a lu

III Các lu i c a tác gi

u

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN V PH N M M MATHEMATICAỀ Ầ Ề 8

1.1 Gi i thi u v ph n m m Mathematica 8

1.2 Các phép tính toán h c v i s , bi u th c và hàm 10

1.2.1 Tính toán s 10

1.2.2 Tính toán v i bi u th c 13

i s trên các bi u th c

t tên và tính toán các bi u th c 14

1.2.3 Tính toán v i hàm 20

1.2.3.1 M t s hàm s n có s n 20

1.2.3.2 2

1.3 V th các hàm, các bi u th c 24

CHƯƠNG 2: ỨNG D NG CỤ ỦA MATHEMATICA TRONG ĐẠI S VÀ Ố HÌNH HỌC 29

2.1 S nguyên t 29

2.2 Gi

2.2.1 Gi 30

2.2.2 Gi i h nh 36

2.3 Phép tính tích phân 40

2.3.1 Phép tính gi i h n 40

2.3.2 Phép tính vi phân 41

o hàm c a hàm và bi u th c 41

2.3.2.2 Ti p tuy n 43

v th hàm s

2.2.3 Phép tính tích phân 46

2.2.3.1 Tích phân b nh 46

nh

2.4 V th 49

2.4.1 V th trên m t ph ng 49

2.4.1.1 V th nh t ng khúc 51

2.4.1.2 V th hàm tham s 51

2.4.2 V th trong không gian ba chi u 53

2.4.2.1 L nh Plot3D 53

2.4.2.2 L nh ListPlot3D 55

2.4.3 V th d ng f(x,y) = 0 và f(x,y,z) = 0 55

2.4.4 V mi a b ng th c 59

CHƯƠNG 3: GIẢI M T S BÀI TOÁN V S NGUYÊN T V I S TR Ộ Ố Ề Ố Ố Ớ Ự Ợ GIÚP CỦA PH N MẦ ỀM MATHEMATICA 62

3.1 Ki n th n v s nguyên t 62

62

3.1.2 Tính ch t 62

3.1.3 Cách nh n bi t m t s nguyên t 62

3.1.4 Phân tích m t s ra th a s nguyên t 62

3.1.5 S c s và t c s c a m t s

3.1.6 S nguyên t cùng nhau 63

-RA TÔ XTEN (Euratosthène- - ) 63

3.2 Gi i m t s bài toán v s nguyên t ng g s giúp c a Mathematica 64 tr KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 79

TÀI LIỆU THAM KH OẢ 81

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

xuyên c giáo d c trong h th ng giáo d

ho ng h c t p c a h

ng nhu c u c a tình hình m i, th c hi n có hi u qu công tác gi ng

d i giáo viên không ng ng nghiên c u h c h i và v n d ng vào th c t

bi t v i s phát tri n nhanh chóng c a công ngh

ng d ng sâu r ng vào t t c c trong cu c s c bi

công c h tr c l c cho công tác d y h c nh

nay

Là m t giáo viên d y Toán c ng THCS Minh Khai, tôi nh n th

u d ng toán n mang tính áp d

ng d ng gi i quy c m t d ng to n liên quan

n s nguyên t c th n i l r t kh i v i h c sinh THCS Trên th c t ki n th c

Trong r t nhi u các ph n m c s d ng nhi p trình Pascal, l p t

ngnhiên, tôi l a ch n m t ph n m m mà nó có tr giúp r t l n trong nhi c k

c ph bi n hi n nay Mathematica

n nay, Mathematica là m ngôn ng l p trình c p cao c

d ng và gi ng d y t i nhi ng h c, là công c h trong vitr i mpháp gi ng d y nhi u môn h c: Toán h c, V t lý, Hóa h c, Sinh h c, Công ngh , Toán kinh t , T o m t thông tin,

M i v i nghiên c u ph n m m này là s u sách vi t b n

Vi t v Mathematica còn h n ch , ít có trên th ng t

và h c t p

II Mục đích, đối tư ng, ph m vi nghiên c u củợ ạ ứ a lu n vănậ

Lu t p trung gi i thi u, nghiên c u các khái ni n và n

c gi i quy t nh ng bài toán v s nguyên t n

ng khái ni m trong toán h

Ngoài ra, khi chu n b bài t p v s nguyên t h c sinh THCS có th rèn

b bài và ki m tra k t qu V i ng d ng này thì Mathematica là m t tr giúp không h nh cho giáo viên trong công tác gi ng d y

III Các luận điểm cơ bản và đóng góp mớ ủi c a tác giả

Trên th c t , lu trình bày các d ng bài toán quen thu c v s nguy

t và ng d ng c a Mathematica khi gi i quy

x

IV Phương pháp nghiên cứu

- Tham kh o và d ch các tài li u ti ng Anh

CHƯƠNG 1: T NG QUAN V PH N M M MATHEMATICA Ổ Ề Ầ Ề

1.1 GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA

Ph n m m tính toán Mathematica l c hãng Wolfram Rese

là m t h th ng ph n m m làm toán nhbao g m các tính toán b ng ký hi u, tính toán b ng s , v th và là ngôn ng l p trình L u tiên khi version 1 c a Mat c phát hành, m

c a ph n m d ng cho các ngành khoa h c v t lý, côntoán h i th i gian Mathematica tr thành ph n m m quantrong nhi c khoa h c khác

Ngày nay Mathematica không nh c s d ng trong các ngành khoa h c

t t lý, sinh h c, toán h c, hóa h c, công ngh

ph n m m quan tr ng c a các ngành khoa h c xã h Tngh d ng Mathematica trong công tác thi t k

t Mathematica l i là công c m ti n hành mô hình hóa các bài toán kinh t

tr ng c a Mathematica n c khoa h c k thu

Mathematica có 28% là các k c, 20% các nhà vcác nhà toán h c, 12% các nhà doanh nghi p, các nhà khoa h c xã h

ty có trong Fortune 50, h u h t 15 b ch ch t c a chính ph Hoa K

i h c l n nh t th gi i s d ng Mathematica Có nhi u xu t b nh k và kho

i v i 1 List thì không th dùng hàm chuy n v Transpose c, tuy nhiên b n có

th s d ng các phép toán ma tr n gi a Matrix và List, k t qu v

toán gi a các ma tr n

- Phân bi t gi a các ý hi u :=; = và ==

Ví dụ:

x:=1 là l nh gán giá tr 1 cho h ng s x

x=1 là l nh gán giá tr 1 cho bi n x (x có th i giá tr trong khi th c hi

x==1 là so sánh gi a các giá tr v trái x có b ng giá tr v ph i là 1 hay không 1.2 Các phép tính toán học với số, bi u th c và hàm ể ứ

- Th c hi

In[2]:= 2.9/8.4^2Out[2]= 0.0410998

Ví dụ: Int[3]:= 2 4 5

40Out[3]=

- Cho k t qu chính xác n u dùng d u ngo bi u di n bi u th c s

In[4]= (3 + 5) ^ 2 3 (2 + 1)–Out[4]= 55

b) Các toán t ử logic: Mathematica cho phép s d

toán h c Khi so sánh Mathematica s tr l

c(bt1&& bt2&& ): Cho True n u t t c các bi u

th uTrue, False n u m t trong các bi u th cFalse

ta s nh c k t qu i v i Mathematica, khi nói v

t là nói v phân s t qu sau các phép tính trong Mathematica v n là

Ví dụ: Tính 37

- N u gõ l nh (- 7) ^ (1/3)thì s c k t qu 7: 1 3

- N u gõ l nh (- 7) ^ (1/3) //N thì s c k t qu là giá tr ph c:

1 2.2 Tính toán với biểu th cứ

n t các bi u th u th c ExpandAll[bi u thể ức]: Khai tri t c c con trong bi

: Khai tri n m u th c ExpandDenominator[bi u thể ức]

: Khai tri n t c ExpandNumerator[bi u ể thức] th

c a m u th c Denominator[bi u thể ức]: Cho giá tr

Collect[biểu th c, ứ x] c theo bi n x

c thành nhân t ng sFactor[đa thức]

Ví dụ 2: Cho bi u th c:  

 

 2 2

T c là bi u th c rút g n c a B là: 2

1

x x

Q

x x

Ví dụ 2:

Giải thích ví dụ 2:

Expand

, nó có ExpandAll

Căn bậc hai

Together Apart

FullSimplify

và Numerator Denominator

Exponent

arcsinx ArcSin[x] arccosx ArcCos[x]

arctgx ArcTan[x] arccotgx ArcCot[x]

Chú ý: không đượ c quên d ấu “_” ở ế v trái c a d u b ng trong m i đ ủ ấ ằ ỗ ịnh nghĩa hàm.

Mathematica có th tính phép tính ký hi u và nhân nhi u hàm

Bài gi i Clear[f]

c:

e) Định nghĩa hàm hợp:

bi u di n nhi u hàm khác nhau ta ph i dùngCompositon[f1,f2,f3,…fn][x]

Còn ch ng ch t nhi u l n cùng m t hàm thì dùng l nh: Nest[f,x,n]

Ví dụ: Cho f x x g x3;   1 x5 Tính: f g xo   ; gof   2 ; sing x

 

Bài gi i Clear[f,g]

f[x_]=x^3

g[x_]=1-x^5

Để ẽ đồ ị v th f(x) có nhi u màu khác nhau, ta dùng l nh: ề ệ

Plot[f[x],{x,xmin,xmax},PlotStyle ->GrayLevel[w]]

n th PlotStyle->GrayLevel[0]: hi

n th màu tr ng PlotStyle->GrayLevel[1]: hi

Muố ẽ n v nhi ều màu hơn nữ a, có th dùng l nh ể ệ

Để ẽ đồ ị v th ghép n i, ta dùng l nh: PlotStyle- ố ệ >Dashing[{n1,n2,n3,…}]

Ví d 3 ụ : V thf x x2 5x7 trong kho ng [-10,10]

Bài gi i Clear[f,g]

200 100

100 200 300 400

50 100

Show[graph1,graph2,…]: l nh hi n th nhi th trên cùng m t h tr c t

Ví d 4 ụ : V th hàm s f x x21;g x  x33x22;h x  x 1 trên cùng m t h tr c t

Bài gi i

Vi t l nh:

Clear[f,g,h]

AspectRatio >số: Cho t s gi dài tr c hoành x và tr c tung y Giá tr

-m nh là t s vàng 1 5 1,61803

40 60 80 100

t tên m i cho tr c x và y AxesLable->{“tên trục x”, “tên trục y”}

m c a AxesOrigin->{x-coordinate, y- coordinate}

và tr c y t m có t là {x-coordinate, y- coordinate}

nh kho nPlotRange->{y-min, y-max}

hi n th

: hi n th gi i h n trong PlotRange->{{x-min,x-max},{y-min,y-max}} th

hình ch nh t {{x-min,x-max},{y-min,y-max}}

CHƯƠNG Ứ2: NG D NG CỤ ỦA MATHEMATICA TRONG ĐẠI S VÀ Ố

L nh FactorInteger[…] vi t các th a s nguyên t c a m t s t nhiên theo

d ng m t list c a t ng c p Thành ph u tiên c a m i c p là th a s nguyên tthành ph n th hai là s a c a s nguyên t

L nh PrimeQ[…]: ki m tra 1 s có ph i s nguyên t hay không

Ví dụ 3

Ví d 4 ụ (Đề thi vào l ớp 10 Nam Định năm họ c 2012 2013) – : Gi

i dùng l nh gi i g

c nghi m:

L nh NRoots[v trái == v ế ế phải, biến] cho phép x p x nghi m c c

L nh FindRoot[v trái == v ế ế phải, {x,x0}]: Tìm nghi m c a v trái == v ế ế

phải b u v i x = x0 M t trong nh 0 là v tìm x th c a c hai v ,

m c a chúng rthì FindRoot ph i dùng nhi u l n

Ví d 8 ụ : X p x nghi m c 5x53x44x x3  2 0

NRootsFindRoots

2.2.2 Giải hệ phương trình:

SolveSolve[{VT1=VP1, VT2=VP2, …}, biến]

x y







Ví d 3 ụ (Đề thi vào l p 10 Phú Th ớ ọ năm họ c 2012 2013) – :

1

x y

- 2) FindRoot

3 5 3limx x7x x4

c v i gi i h

tính Limit[f[x], x->a, Direction->1] limx a  f x 

tính Limit[f[x], x->a, Direction- - 1]> lim  

N u hàm f(x) là kh vi thì Mathematica có th o hàm c a f(x)

L nh f’[x] o tình c p m t c a hàm m t bi n

b)

c)

d)

e)

V y4p tuy n là: x 1 6  y 4x2

D a vào k t qu trên ta s v ự ế ả ẽ ẽ được đồ và ti p tuy n c thị ế ế ủa đồ t thị ại điểm x1

như sau:

40 20

20 40 60 80 100

50100150200250

11

Ví d 1 ụ : V th hàm Cosx trên [0,20]

Bài gi i

bi c danh sách các tham s c dùng kèm v i l nh Plot, ta gõ câu

l nh Options[Plot] Các tham s c khai báo d ng: name -> value Các giá

tr hay dùng c a tham s là:

l n t ng Automatic: a ch

Ví d 2 ụ : V th c a hàm s y e x và y x e trên cùng m t h tr c

Bài gi i

Ví d 3 ụ (bài 39 trang 71 SGK Toán 7 t p 1) ậ :

V trên cùng m t h tr c t Oxy th c a các hàm s sau:

30 20 10

10 20 30

0.5 1.0

0.5 1.0 15 2.0 2.5 3.0

2.4.2 V trong không gian ba chi uẽ đồ thị ề

Ví d 1 ụ :

Ví dụ 2:

Ví d 3 ụ :

ContourPlot[]

ContourPlot3D[]

3 2 1

1 2 3

Ví dụ 3:

Ví dụ 4:

3 2 1 0 1 2 3

Ví dụ 1:

Ví dụ 2:

3 2 1 0 1 2 3

Ví d 3 ụ :

Ví dụ 4:

CHƯƠNG III:

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN V S NGUYÊN T V I S Ề Ố Ố Ớ ỰTRỢ

GIÚP CỦA PH N MẦ ỀM MATHEMATICA 3.1 Ki n thế ức cơ bản v s nguyên t ề ố ố

3.1.1 Định nghĩa:

- S nguyên t là s t nhiên l c là 1 và chín

3.1.2 Tính ch t ấ

- N u s nguyên t p chia h t cho s nguyên t q thì p = q

- N u tích abc chia h t cho s nguyên t p thì ít nh t m t th a s c a tích abc chia h t cho s nguyên t p

- N u a và b không chia h t cho s nguyên t p thì tích ab không chia h t cho

Gi s A a b c  .  v i a, b, c là nh ng s nguyên t th a mãn:

, , , N

   và , , ,  1

- Hai s nguyên t cùng nhau là hai s ng 1

- Hai s a và b nguyên t cùng nhau 

3.1.7 Sang Ơ- RA- TÔ – XTEN (Euratosthène)

Làm th ế nào để tìm đượ ấ ả c t t c các s nguyên t trong m t gi i h ố ố ộ ớ ạn nào đó, chẳ ng h n t ạ ừ 1 đế n 100?

Ta làm như sau: Trướ c h ế t xóa đi s ố 1

Giữ ại số 2 và xóa đi tất cả ội củ l b a 2 mà l ớn hơn 2.

Giữ ại số 3 và xóa đi tất cả ội củ l b a 3 mà l ớn hơn 3.

Giữ ại số l 5 (s ố 4 đã bị xóa) và xóa đi tấ t cả ội củ b a 5 mà l ớn hơn 5.

Giữ ại số l 7 (s ố 6 đã bị xóa) và xóa đi tấ t cả ội củ b a 7 mà l ớn hơn 7.

Các s ố 8; 9; 10 đã bị xóa Không c n xóa ti p các b i c a các s l ầ ế ộ ủ ố ớn hơn 10 cũng kế t lu ận đượ c rằ ng không còn h p s nào n a ợ ố ữ

Thậ ậ t v y, gi s n là m t h p s chia h t cho m t s a l ả ử ộ ợ ố ế ộ ố ớn hơn 10 thì do n <

100, a > 10 nên n ph i chia h t cho m ả ế ộ t số b nh ỏ hơn 10, do đó n đã bị xóa.

Nhà tóan h c c Hi L ọ ổ ạp Ơ - - - xten.( Th k ra tô ế ỉ III trướ c Công nguyên) là người đầu tiên đưa ra cách làm này Ông viế t các s trên gi y c s ố ấ ỏ ậy căng trên mộ t cái khung r i dùi th ng các h ồ ủ ợ p số đượ c m ộ t vật tương tự như các sàng: các hợ ố p s đượ c sàng qua, các s nguyên t ố ố đượ c gi l i B ng s nguyên t ữ ạ ả ố ố này đượ c g i là ọ sàng Ơ - - - xten ra tô

3.2 Giải m t s bài toán v s nguyên t ộ ố ề ố ố thường gặp trong chương trình THCS

với sự trợ giúp c a Mathematica ủ

Bài 1: Ki m tra các s : 259; 353l, 8003, 11257 có ph i s nguyên t hay không?

- N u s d ng Mathematica thì ta vi t l nh: PrimeQ[ ] s t qu nhan

t nhi u khi tính toán b ng tay

câu a chúng ta không th s d ng b ng s nguyên t mà ph i tính

b ng sàng Ơ - - - xten ra tô s c s nguyên t li n sau s 1000 là 1009 Tuy nhiên, cách làm này m t th i gian và r t r c r i

a)

b)

c)

=> s nguyên t n sau s 15 000 là s 15 013 li

tìm s nguyên t th 8500 thì bi n pháp là ta tính theo sàng Ơ- - - ra tô xten,

tuy nhiên s m r t nhi u th i gian t t khó làm vì d nh m l n

- Vì v y, chúng ta s d ng các l nh trong Mathematica s cho chúng ta k t qu nhanh chóng:

t c là s nguyên t th 10 là 29

887,1 697 507) = 101 (220

Bài 9 (Cả ế ừ đề i ti n t thi ch ọn độ i tuy n toán l p 9 Qu n Gò V p HCM năm 2014): ể ớ ậ ấ –

Tìm nghi m nguyên t c a h

172311

   

.16

V y v i x = 17 thì bi u th c B(A – 1) có giá tr là s nguyên t

Bài 12 ( Cải tiến từ bài 5 đề thi vào lớp 10 Hải Dương năm học 2012 – 2013):

Tìm s nguyên t l n nh t quá S 2  36 S =

Bài gi i

- c khi tìm s nguyên t l n nh nguyên l n nhquá : S

Bài 13 (Cả ế i ti n t ừ bài 3 đề thi tuy n sinh vào l ể ớp 10 trườ ng trung h c th ọ ực hành Đạ i

h ọc Sư Phạ m Hồ Chí Minh năm họ c 2013 2014) – :

p nghi m nguyên t a h

Gi i c

 

2 4