332 Phép biến đổi tích phân Laplace trên thang thời gian 402.1 Định nghĩa và ví dụ.. Bên cạnh việc chứng minh kết quả cho phươngtrình vi phân xác định trên tập số thực , hoặc phương trìn
Các kí hiệu cơ bản và định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Thang thời gian là một tập con đóng khác ∅ của tập số thực, kí hiệu T
Có nhiều thang thời gian quan trọng như thang thời gian số thực, số nguyên, và thang thời gian R Z hZ = {hz | z ∈ Z}, trong đó h là một số thực dương cố định.
Nhắc lại một số kí hiệu : Tập số tự nhiên N = 1 2{ , , }, N 0 = N∪ { }0 , q N 0 = {q n : n∈ N 0 } , với q > 1
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu thang thời gian trên tập số thực Đối với tập số nguyên Z, nếu chọn t ∈ Z, ta biết rằng số nguyên lớn hơn tiếp theo là t + 1 Tuy nhiên, khi xét đến tập số thực R và chọn t ∈ R, không thể xác định số thực lớn hơn tiếp theo Cuối cùng, chúng tôi xem xét thang thời gian T = [1; 0]− ∪ N và tìm hiểu cách chọn t ∈ T.
Khi t < 0, không tồn tại phần tử lớn hơn tiếp theo trong tập T Ngược lại, nếu chọn t ∈ T sao cho t ≥ 0, phần tử lớn hơn tiếp theo sẽ là t + 1 Định nghĩa sau đây giúp làm rõ những phát biểu này trong bối cảnh các thang thời gian tùy ý Định nghĩa 1.2 xác định toán tử nhảy phía trước σ: T → T với σ(t) = inf{s ∈ T: s > t} và toán tử nhảy phía sau ρ: T → T với ρ(t) = sup{s ∈ T: s < t} Đồng thời, hàm độ hạt được xác định bởi hà t(t) = σ(t) - t, với giá trị trong khoảng [0, ∞).
Quy ước inf∅ = supT và sup∅ = infT.
Toán tử nhảy phía trước xác định phần tử tiếp theo lớn hơn hoặc bằng t nếu T = R, trong khi toán tử nhảy phía sau xác định các phần tử nhỏ hơn tiếp theo Hàm độ hạt t( ) đo khoảng cách đến phần tử lớn hơn tiếp theo Theo định nghĩa 1.3, nếu σ t > t( ), ta nói t tán xạ phải; nếu ρ t < t( ), ta nói t tán xạ trái Điểm vừa tán xạ phải vừa tán xạ trái được gọi là điểm cô lập Nếu t < supT và σ t( ) = t, thì gọi là t trù mật phải; nếu t > infT và ρ t( ) = t, thì gọi là t trù mật trái Những điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái được gọi là trù mật Định nghĩa 1.4 mô tả hàm f : T → R là điều hòa khi tồn tại giới hạn phải ở mọi điểm trù mật phải và giới hạn trái ở mọi điểm trù mật trái, cho thấy sự xuất hiện của bước nhảy gián đoạn.
Ví dụ 1.1 Ta xét ví dụ sau về hàm không điều hòa trên R Cho f : R →
[ 1 1]− , được xác định bởi f :( sin1 t t6= 0
Nhận thấy rằng với mọi t ∈ R \ {0}, không có giới hạn trái và giới hạn phải tại 0, điều này dẫn đến việc lim x → ∞ (sin(t)x) không tồn tại và lim x → −∞ (sin(t)x) cũng không tồn tại.
Hàm không điều hòa trên R có hạn chế vì N0 không có điểm trù mật trái và trù mật phải Một hàm f: T → R được gọi là trù mật phải liên tục tại điểm t0 ∈ T nếu t0 là trù mật trái, tồn tại giới hạn trái của f tại t0, và nếu t0 là trù mật phải, thì f liên tục tại t0 Nếu hàm f trù mật phải liên tục tại mọi điểm trong T, nó được gọi là hàm trù mật phải liên tục trên T.
Tại các điểm cô lập, hàm số 0 t = 2 f hiển nhiên liên tục, do đó, chúng ta sẽ tập trung vào điểm trù mật phải và điểm trù mật trái Sự tồn tại của hàm số này là điều quan trọng cần xem xét.
Hàm số f có giới hạn tại 0 bằng f(0), do đó f liên tục tại điểm này Tuy nhiên, f lại gián đoạn tại 2, vì giới hạn trái của f tại 2 bằng 2 nhưng giá trị f(2) lại là 0 Điều này cho thấy rằng mặc dù f không liên tục tại 2, nhưng vẫn có khả năng trù mật Định lý 1.1 nêu rằng nếu f : T → R và g : T → T, thì
(i) Nếu f liên tục, thì f là trù mật phải liên tục.
(ii) Nếu f liên tục và g điều hòa hoặc trù mật phải liên tục, thì f g◦ tương ứng là điều hòa hoặc trù mật phải liên tục.
Vi phân và tích phân
Định nghĩa 1.6 Tập hợp T k được xác định như sau:
Nếu supT = ∞, đạo hàm trên thang thời gian của một hàm có thể không xác định cho mọi điểm Đặc biệt, không thể xác định đạo hàm ở sup hữu hạn của thang thời gian Tuy nhiên, thang thời gian hàm đạo hàm có thể xác định tại mọi điểm của T k Theo định nghĩa, T k là điều kiện cần để đạo hàm trên thang thời gian có nghĩa Cụ thể, một hàm f : T → R được gọi là ∆ - khả vi tại t ∈ T k nếu giới hạn f ∆ ( ) := limt s → t f σ t( ( ))−f s( ) σ t( )−s tồn tại với s ∈ T\ {σ t ( )}.
Kí hiệu f ∆ ( )t là - đạo hàm của∆ f tại Hàmt f được gọi là ∆ - khả vi trên T k nếu f ∆ ( )t tồn tại với mọi t ∈ T k và f ∆ : T k → R được gọi là ∆ - đạo hàm của trênf T k
Ví dụ 1.3 Cho f : T →R xác định bởi f t( ) = t 2 với mọi t ∈ T f ∆ ( ) = limt s → t f σ t( ( ))−f s( ) σ t( )−s
Mặc dù không bằng s σ t( ), nhưng có thể xảy ra s = t Khi một điểm trên thang thời gian tán xạ phải, t ∆ - đạo hàm tại điểm đó tương đương với số góc của đường thẳng đi qua hai điểm (t, f t( )) và (σ t, f σ t( )) Trong trường hợp mật độ trùt, ∆ - đạo hàm tại cũng tương tự như định nghĩa đạo hàm thông thường Định lý 1.2 khẳng định rằng nếu f : T → R và t ∈ T k, thì nếu f là ∆ - khả vi tại t, điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu tính khả vi của hàm số.
Chứng minh (i)Trước hết ta thấy rằng, với bất kì s ∈ T, σ t( )−s = ( ( )σ t −t) + (t−s) = ( ) + (à t t−s ) (1.1)
Giả sử ∈ (0 1), , và xỏc định 0 = [1+ |f ∆ ( ) + 2 ( )]t | à t − 1 Khi đú 0 ∈ (0 1), Theo định nghĩa của đạo hàm, cho ∈ (0 1), thì tồn tại δ > 0 sao cho
Ta tiếp tục sử dụng (1.1) và (1.2) để chỉ ra rằng |f t( )− f s( )| < Cho
Sử dụng phương trình (1.1) để viết lại như sau
Do đó |f t( )−f s( )| < Vậy liên tục.f
(ii) Giả sử khả vi tại điểmf t∈ T Ta thấy khi trự mật phảit à t( ) = 0 và σ t( ) = t, vì vậy ta được f σ t( ( )) = ( ) = ( ) + ( )f t f t à t f ∆ ( )t
Xét trường hợp tán xạ phải Vìt σ t( ) =6 t và f liên tục tại , ta có thểt viết lại đạo hàm tại như sau:t f ∆ ( ) = limt s → t f σ t( ( ))−f s( ) σ t( )−t
Phần (i) của định lý 1.2 tương tự như các trường hợp trong số thực, trong khi phần (ii) chỉ đúng khi tán xạ phải, ngược lại trù mật phải thì f(t) = f(t) Định lý tiếp theo cung cấp một số quy tắc tính ∆ - khả vi Công thức (i) và (ii) tương đồng với các trường hợp số thực, trong khi công thức (iii) có sự khác biệt Định lý 1.3 khẳng định rằng nếu f, g : T → R là ∆ - khả vi tại t ∈ T k, thì tổng f + g : T → R cũng là ∆ - khả vi tại t.
(ii) Cho hằng số bất kì α ∈ R,thìαf : T → R là ∆ - khả vi tại vớit
(αf) ∆ ( ) =t αf ∆ ( )t (iii) Tích f g :T →R là ∆ - khả vi tại vớit
Chứng minh Chúng ta chỉ cần chứng minh phần (iii).
Giả sử > 0 và xác định
Khi đó tồn tại δ > 0 sao cho | − |t s < δ ta có :
Giả sử ta chọn đủ nhỏ để 0 < 1, ta đánh giá
Dễ dàng có được đẳng thức thứ 2, khi đổi vị trí f và g trong đẳng thức (1.3)
Bây giờ chúng ta cần thận trọng hơn khi đưa ra công thức quy tắc dây chuyền Cho hàm f, g : R →R, quy tắc dây chuyền là
Tuy nhiên, trong thang thời gian tùy ý thì công thức này sẽ không có nghĩa, ta sẽ thấy trong các ví dụ sau.
Ví dụ 1.4 Giả sử T = Z và giả sử f, g : Z →Z xác định bởi f t( ) = ( ) =g t t 2 Sử dụng định lí 1.2, ta tính được f ∆ ( ) =t g ∆ ( ) =t f σ t( ( ))−f t( ) à t( )
Sử dụng quy tắc nhân định lý 1.3, ta được
Từ đó, nếu giả sử (f ◦g) ∆ ( ) =t f ∆ ( ( ))g t g ∆ ( )t , thì ta có
Do đó (f ◦g) ∆ ( ) =t f ∆ ( ( ))g t g ∆ ( )t chỉ đúng với một điểm duy nhất trong
Z, đó là điểm 0 Như vậy chúng khác nhau tại mọi điểm t6= 0, tức là không có quy tắc dây chuyền thông thường với các hàm f, g như trên tại t 6= 0.
Mặc dù có một số quy tắc dây chuyền cho thang thời gian, nhưng chúng không mạnh mẽ bằng các quy tắc áp dụng cho số thực Trong bài viết này, chúng tôi chỉ sử dụng một trong những quy tắc đó Trước khi đi vào chi tiết về quy tắc dây chuyền và Định lý 1.4, chúng ta cần xem xét một số câu hỏi, chẳng hạn như liệu hàm tăng ngặt γ( )T có tạo thành một thang thời gian hay không Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi này trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.1 Giả sử γ : T → R là một hàm tăng ngặt Thì γ( )T là một thang thời gian khi và chỉ khi
(ii) γ bị chặn trên ( bị chặn dưới) chỉ khi T bị chặn trên ( bị chặn dưới)
Chúng ta sẽ chứng minh chiều thuận bằng cách sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử rằng hàm γ không liên tục tại một điểm a ∈ T, với T là một thang thời gian Có thể tồn tại điểm a là trù mật trái hoặc trù mật phải, dẫn đến sự không liên tục của γ tại a Giả sử a là trù mật trái nhưng không phải là trù mật phải Xét dãy {t n} với n ∈ N, t n ∈ T, là dãy hội tụ tăng ngặt đến a Do dãy này tăng ngặt, γ(a) sẽ là cận trên của dãy {t n} Do đó, dãy {γ(t n)} cũng phải hội tụ đến một sup hữu hạn, và sup{γ(t n)} < γ(a) vì γ không liên tục tại a Kết quả này cho thấy γ(a) lớn hơn sup{γ(t n)}, mâu thuẫn với tính chất của dãy tăng ngặt.
Bởi vì γ( )T là tập đóng sup{γ t( n )} n ∈ N ∈ γ( )T
Cho b ∈ T sao cho γ b( ) = sup{γ t( n )} n ∈ N Điều này dẫn đến việc tăng γ b = sup{γ t( n )} n ∈ N, từ đó suy ra b ≤ a Từ (1.4) ta có b 6= a, do đó b < a Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng {t n } n ∈ N hội tụ đến Kết luận là γ( )T là thang thời gian liên tục.
Bây giờ ta giả sử supT = ∞ và γ t < M > 0 và chọn 0 := [1 + |γ ∆ ( ) +t | |ω ∆ ˜ ( ( )) ]γ t | − 1 Thì 1 > 0 > 0 Hàm γ t( ) là ∆ - khả vi có nghĩa là tồn tại δ 1 > 0 sao cho với t, s ∈ T, thì | − |t s < δ 1, ta có
Tương tự, hàm ω t( ) là ∆ - khả vi có nghĩa là tồn tại δ 2 > 0 sao cho với r, γ t( ) ∈ T˜, thì |γ t( )− |r < δ 2 , ta có
|ω(˜σ γ t( ( )))−ω r( )−(˜σ γ t( ( ))−r ω) ∆ ˜ ( )( ( ))t γ t | ≤ 0 |σ γ t˜( ( ))− |r trong đó σ t˜( ) là toán tử nhảy phía trước trên ˜T Cho δ := min{δ 1 , γ− − 1 ( ( )γ t −δ 2), γ − 1 ( ( ) +γ t δ 2)− }t
Ta thấy vì là tăng ngặt vàγ γ t > γ t( ) ( )−δ 2 nên t > γ − 1 ( ( )γ t −δ 2)hay t−γ − 1 ( ( )γ t −δ 2) > 0
Tương tự có γ − 1 ( ( ) +γ t δ 2)− t > 0 Thì với s ∈ T sao cho | − |t s < δ, ta còn có | − |t s < δ 1 Đối với mọi như vậy, ta cós
| − |t s < t−γ − 1 ( ( )γ t −δ 2), suy rat−s < t−γ − 1 ( ( )γ t −δ 2), nêns > γ − 1 ( ( )γ t −δ 2), dẫn tớiγ s > γ t( ) ( )−δ 2 , hay γ t( )−γ s < δ( ) 2
Tương tự ta có thể sử dụng | − |t s < γ − 1 ( ( ) +γ t δ 2) − t để chứng tỏ
13 δ 2 < γ t( )−γ s ( ) Từ | − |t s < δ kéo theo |γ t( )−γ s( )| < δ 2 Do đó
Một lần nữa bởi vì γ là tăng ngặt, ta được ω γ t˜( ( )) = ( ( )) Nên taγ σ t có thể viết lại dòng cuối như sau
Bây giờ ta xem lại ví dụ 1.4:
Lưu ý đầu tiên là g( ) =Z {t 2 : t ∈ }Z Nên
Để thiết lập các bước cho tích phân trên thang thời gian, ta định nghĩa thang thời gian T và các điểm a, b ∈ T với điều kiện a < b Chúng ta thực hiện phép chia đoạn [a, b] thành n đoạn con, không cần thiết phải bằng nhau, thông qua các điểm chia a = t0 < t1 < < tn = b, trong đó ti ∈ T Tập hợp các điểm chia này được ký hiệu là
Chính xác hơn nữa P phân hoạch đoạn [a, b] ∩T thành tập hợp các tập con:
Ta kí hiệu tập hợp của tất cả các cách phân hoạch như vậy là P(a, b). Bây giờ ta sẽ xác định ý nghĩa của - phân hoạch.δ
Một phân hoạch P ∈ P(a, b) được gọi là một -phân hoạch nếu với δ > 0, điều kiện δ(t_i − t_{i−1}) ≤ δ được thỏa mãn cho mọi i ∈ {1, 2, , n} và (t_{i−1}, t_i) ∩ T ≠ ∅ Tập hợp các -phân hoạch được ký hiệu là δPδ(a, b).
Ta thấy rằng có thể xảy ra t i −t i − 1 > δ chỉ với ρ t( i ) = t i − 1 Ta minh họa điều này trong ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.5 Xét thang thời gian T = {2 n : n ∈ N 0 } ∪ { }0 Giả sử a = 0 và b = 32 Cho P α là một phân hoạch của [0 32], trên T cho bởi
P α là một phân hoạch -δ của đoạn [0, 32] với mọi δ > 0, vì tập hợp các khoảng (t i − 1, t i) không giao nhau với T cho mọi i trong {1, 2, , n} Ngược lại, P β không thỏa mãn điều này; mặc dù (t i − 1, t i) không giao với T cho mọi i khác 2, nhưng với i = 2, ta có (t 1, t 2) ∩ T = (1, 8) và ∩ T = (2, 4) không rỗng Do đó, P β không phải là một phân hoạch -δ.
Tiếp theo, chúng ta xác định ∆ - khả tích Riemann, tương tự như các tích phân Riemann thông thường Định nghĩa 1.10 nêu rõ rằng giả sử f : [a, b]∩ →T C là một hàm bị chặn.
P ∈ P(a, b) Với mỗi cặp t i − 1 và t i trong , chọn một điểmP τ i ∈ T sao cho t i − 1 ≤ τ i < t i Ta gọi tổng
Tổng Riemann được định nghĩa bởi công thức X i=1 f τ( i )(t i −t i − 1), và một hàm số P f được coi là khả tích Riemann trên khoảng [a, b] nếu tồn tại một số I ∈ C thỏa mãn điều kiện: với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
| − |S I < ε với mọi cách chọn τ i ∈ T với bất kì P ∈ P δ (a, b) Số phức được gọi làI ∆
- tích phân Riemann của f trên [a, b] và được kí hiệu
Hàm đa thức và hàm mũ
Trên tập số thực, 0 là đạo hàm của 1, và 1 là đạo hàm của một số khác, nhưng trong trường hợp của R trên thang thời gian, việc tính toán lại không đơn giản như vậy.
23 dụ, là đạo hàm củat t 2
2 trên , nhưng với một thang thời gian tùy ý thìR
Với quy tắc nhân (định lý 1.3) là
Chúng ta đang tìm kiếm một tập hợp các hàm trên thang thời gian tính toán có các tính chất tương tự như hàm đa thức, ngay cả khi σ t( ) là liên tục Bắt đầu từ 1, chúng ta xác định truy hồi thông qua tích phân Định nghĩa 1.11 giới thiệu thang thời gian đa thức g k , , h k : T× →T.
R với k ∈ N 0 như sau g 0(t, s) = h 0(t, s) ≡ 1 ∀s, t ∈ T, g k+1 (t, s) Z t s g k ( ( ) )∆σ τ , s τ ∀s, t∈ T, h k+1(t, s) Z t s h k (τ, s)∆τ ∀s, t∈ T. Định lí 1.10 Cho s ∈ T và cho h ∆ k (t, s) là kí hiệu ∆ - đạo hàm của h k (t, s) tại s cố định Có các chú ý sau:
Biến thứ hai của đa thức đặt vào giữa chúng tại điểm Ta thấy khis s thang thời gian là ,R g k (t, s) = h k (t, s) = 1 k!(t−s) k với mọi k ∈ N 0
Chúng ta cần xác định một hàm có các đặc tính tương tự như hàm mũ trong trường hợp số thực Cụ thể, mục tiêu là tìm ra một nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu với điều kiện y ∆ = ( )p t y và y t( 0 ) = 1.
Để xác định cách tìm một hàm, trước tiên chúng ta cần một số khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.12 cho biết rằng với h > 0, mặt phẳng phức Hilger được xác định theo một cách cụ thể.
C:= { ∈z C: z =6 −1 h}. Định nghĩa 1.13 Tổng vòng được kí hiệu ⊕ trên C h được định nghĩa z⊕w := z +w +zwh.
Số đối của z ∈C h được định nghĩa
1 +zh. Hiệu vòng được định nghĩa zw := z ⊕ ( w ) Định lí 1.11 Cặp đôi (C h ,⊕) tạo thành một nhóm Abel.
Bõy giờ ta xem xột đến độ hạt biến thiờn à t( ) thay thế của h Định nghĩa 1.14 Một hàm f :T →C được gọi là hồi quy nếu
Thiết lập các hàm hồi quy và hàm trù mật phải liên tục f : T → R được kí hiệu
Mệnh đề 1.3 ( ( )R C ,⊕) tạo thành một nhóm Abel
Cho s ∈ T k là một điểm trự mật phải Thỡ σ s( ) = s ⇒ à s( ) = 0 Nờn
(p⊕q)( ) = ( ) + ( )s p s q s p và liên tục tại , nênq s p⊕q cũng liên tục tại Tiếp theo chos s ∈ T k là một điểm trù mật trái Thì lim t → s (p⊕q)( ) = limt t → s [ ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( )]p t q t à t p t q t
Giới hạn của hàm p và q tại điểm s là hữu hạn, và chúng phải liên tục với nhau Điều này dẫn đến việc giới hạn trội của p⊕q tồn tại tại s Khi t là một hằng số trong tập T, hàm (p⊕q)(t) sẽ hồi quy theo định lý 1.11, cho thấy p⊕q là hồi quy và có tính trù mật liên tục Hơn nữa, hàm p⊕q có tính kết hợp và giao hoán, trong khi p(t) có nghịch đảo là p(t) theo định lý 1.11 Khi t thay đổi trong tập T, p⊕q vẫn duy trì tính kết hợp, giao hoán và p có nghịch đảo là p Cuối cùng, cần chứng minh rằng p cũng là trù mật liên tục tại điểm s trong tập T.
Cặp ( ( )R C ,⊕) là một nhóm Abel, vì trự mật p s( ) và −p t( ) đều phải liền mạch Định nghĩa 1.15 xác định Z h là một dải với h > 0.
Z h := { ∈z C: −π h < Im( )z ≤ π h} Định nghĩa 1.16 Với h > 0, thì biến đổi trụ ξ h : C h → Z h được định nghĩa ξ h ( ) :=z 1 hLog(1 + zh) với Log là nhánh chính của loga hypecbolic Với h = 0, xác định ξ 0 ( ) :=z z với mọi z ∈ C
Khi x > -1, log(1 + xh) được định nghĩa là logarit tự nhiên, trong khi khi x < -1, log(1 + |xh|) + iπ được sử dụng Để hiểu rõ hơn, ξh có thể được xem như một biến đổi trụ, vì khi kết hợp đường Im(z) = z πh và đường Im(z) = z -πh, ta nhận được một hình trụ Z h Định nghĩa 1.17 cho phép xác định hàm mũ trên thang thời gian với p ∈ R( )C thông qua công thức e p (t, s) := exp.
Nếu không có hồi quy, định nghĩa của thang thời gian hàm mũ sẽ trở nên vô nghĩa Định lý tiếp theo cho thấy rằng việc giải bài toán giá trị ban đầu mà chúng ta đã đề cập là điều hiển nhiên Cụ thể, định lý 1.12 khẳng định rằng với p(t) ∈ R(C) và t₀ ∈ T không đổi, nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu y ∆ = p(t)y với y(t₀) = y₀ là có thể xác định.
Ta sẽ sử dụng định lí 1.12 để tìm hàm mũ cho thang thời gian q N 0 , q ∈ N.
Ta xét một ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.7 Cho T = q N 0 , cho p t( ) ∈ R( )R , và t 0 ∈ T không đổi, thì theo định lý trước, e p (t, t 0) là nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu. y ∆ = ( )p t y, y t( 0) = 1.
Vì mỗi điểm của T tán xạ, ta có thể viết lại phương trình động lực này như một quan hệ lặp lại chú ý rằng σ t( ) = qt, y σ t( ( ))−y t( ) σ t( )−t = ( ) ( )p t q t y σ t( ( )−y t( )) qt−t = ( ) ( )p t q t y σ t( ( )−y t( )) = (q −1) ( ) ( )tp t y t y σ t( ( )) = [1 + (q −1) ( ) ] ( )p t t y t
Xét e p (t, t 0) = 1 ta có thể làm lần lượt với các e p (t, t 0): e p (qt 0 , t 0) = 1 + (q −1) (p qt 0)qt 0 , e p (q 2 t 0 , t 0) = [1 + (q −1) (p qt 0)qt 0][1 + (q −1) (p q 2 t 0)q 2 t 0],
(1 + (q −1) ( ) )p s s , t 0 < t, s ∈ T. Định lí 1.13 Nếu p, q ∈ R( )C và t, s, r ∈ T thì
Phần (ii) của định lý 1.13 sẽ đóng vai trò quan trọng trong các nội dung tiếp theo Việc viết lại e p ( ( ) )σ t mà không cần σ t( ) trong hàm sẽ giúp chúng ta chứng minh nhiều kết quả liên quan đến phép biến đổi Laplace của các hàm đặc biệt.
Dựa trên định lý 1.13, chúng ta có một hệ quả quan trọng, sẽ được áp dụng thường xuyên trong các phần sau để tính toán biến đôi Laplace cho các hàm đặc biệt.
1 + ( ) ( )à t p t e p ( 0) =t, −(p t)( ) p t( ) e p ( 0)t, Chứng minh Định lý 1.13 cho ta e p ( ( ) ) =σ t , s e p ( 0)t,
Sử dụng định nghĩa của ta được e p ( ( ) ) =σ t , s
Chúng ta sẽ áp dụng thang thời gian hàm mũ để xác định các hàm mới như sin, cosin và các đường hyperbolic trong quá trình tính toán Định nghĩa 1.18 nêu rõ rằng, với một hàm trù mật liên tục trên khoảng T, chúng ta có thể xác định các hàm lượng giác cos p và sin p trên thang thời gian theo công thức: cos p (t, t 0) = e ip (t, t 0) + e − ip (t, t 0).
2 và sin p (t, t 0) = e ip (t, t 0)−e − ip (t, t 0) với i = √ 2i
Tiếp theo, giả sử p là một hàm trù mật phải liên tục trên T sao cho
−àp 2 ∈ R( )R Khi đú, ta xỏc định cỏc hàm lượng giỏc hypecbolic cosh p và sinh p trên thang thời gian như sau cosh p (t, t 0) = e p (t, t 0) +e − p (t, t 0)
Áp dụng hồi quy chỉ xảy ra khi ip và -ipc cùng hồi quy, và 2 - áp dụng hồi quy khi và p - p cùng hồi quy, từ đó xác định được hàm lượng giác và hàm lượng giác hyperbolic Khi T = R, cos 1(t, s) = cos(t−s), trong đó nửa sau của phương trình được hiểu như hàm cosine thông thường Tương tự, sin1(t, s) = sin(t−s) Hơn nữa, với thang thời gian này, cos p(t, s) = cos(
Mệnh đề 1.4 Giả sử p là một hàm trù mật phải liên tục trên T sao cho àp 2 ∈ R( )R Khi đú
Chứng minh. cos ∆ p (t, t 0) e ip (t, t 0 ) +e − ip (t, t 0 )
= −p t( ) sin p (t, t 0) Để chứng minh (ii) ta làm tương tự. Định lí 1.14 Giả sử a ∈ T k , b ∈ T và giả sử f : T×T k → R liên tục tại
(t, t) với t ∈ T k , t > a Giả sử f ∆ (t,ã) trự mật phải liờn tục trờn [a, σ t( )], f , τ(ã ) là ∆ - khả vi với mỗi τ ∈ [a, σ t( )] kớ hiệu f ∆ là đạo hàm của f Khi đó g t( ) :Z t a f t, τ( )∆τ ⇒g ∆ ( ) =t
Chứng minh Ta có f t, τ( ) là ∆ - khả vi tại kéo theo tồn tạit δ 1 > 0 sao cho khi | − |t s < δ 1 , thì ta có
Tiếp tục với f tại (t, t) cho ta thấy tồn tại δ 2 > 0 sao cho khi | − |t s < δ 2 và | − |t τ < δ 2 ta có
Giả sử δ := min δ{ 1 , δ 2 } và giả sử | − |t s < δ Khi đó
từ định nghĩa của Ta có thể vận dụng tính chất của tích phân vàg hiệu sai phân để viết lại như sau
Sử dụng mệnh đề 1.2 ta có thể viết lại Z t σ t ( ) f ∆ (t, τ)∆ = ( )τ à t f ∆ (t, t) từ đó ta được
Theo định lý 1.2 cho ta f t, t( ) = ( ( ) )f σ t , t −à t f( ) ∆ (t, t) thay vào ta được
Tiếp theo, ta dùng phương trình (1.12) và (1.13) để rút gọn ta được:
Phương trình động lực
Trong ví dụ 1.7, chúng ta đã giải quyết bài toán giá trị ban đầu của phương trình động lực học Tiếp theo, chúng ta sẽ khám phá nghiệm của một số bài toán giá trị khác để hiểu rõ hơn về ứng dụng của phương pháp này.
33 ban đầu mà được sử dụng sau đây. Định lí 1.15 Sự biến thiên của hằng số loại I
Giả sử p ∈ R( )R và f : T → R là trù mật phải liên tục Giả sử t 0 ∈ T và x 0 ∈ R Khi đó nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu x ∆ ( ) =t −p t x σ t( ) ( ( )) + ( )f t , x t( 0) = x 0 (1.14) là x t( ) = e p (t, t 0)x 0+
Chứng minh Ta chỉ ra x t( ) cho trong phương trình (1.15) thỏa mãn bài toán giá trị ban đầu trong phương trình (1.14) x ∆ ( ) =t
Theo định lý 1.14 ta được x ∆ ( ) =t p t e( ) p (t, t 0)x 0 +
Theo hệ quả 1.1, ta có thể viết lại như sau: x ∆ ( ) =t p t e( ) p (t, t 0)x 0 +
Nhõn cả hai vế với (1 + ( ) ( ))à t p t ta được
Theo định lý 1.15 Dễ dàng thấy được x thỏa mãn điều kiện ban đầu bởi vì e p (t 0 , t 0) = 1 vàZ t 0 t 0 e p (t, τ f τ) ( )∆ = 0τ
Chúng ta sẽ chỉ ra nghiệm duy nhất của bài toán bằng cách giả sử x(t) là một nghiệm của phương trình (1.15) Từ đó, chúng ta có thể giải phương trình động lực với f(t), dẫn đến công thức f(t) = x ∆(t) + (p(t)σ(t))(1.16) Tiếp theo, ta có e^p(t, t₀) = f(t)e^p(t, t₀)[x ∆(t) + (p(t)σ(t))](1.17).
= [e p (t, t 0) ( )]x t ∆ (1.19) Áp dụng định lý 1.3 vào phương trình (1.18) ta được phương trình (1.19).
Lấy tích phân hai vế (1.19) ta được
Z t t 0 e p (t, τ f τ) ( )∆τ từ phần (iii),(iv), và (v) của định lý 1.13 Định lí 1.16 Sự biến thiên của hằng số loại II
Giả sử p ∈ R( )R và f : T → R là trù mật phải liên tục Giả sử t 0 ∈ T và x 0 ∈ R Khi đó, nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu x ∆ ( ) = ( ) ( ) + ( )t p t x t f t , x t( 0 ) = x 0 (1.20) là x t( ) = e p (t, t 0)x 0 +
Z t t 0 e p (t, σ τ f τ( )) ( )∆τChứng minh Theo định lý 1.2, ta cú thể viết x t( ) = ( ( ))x σ t −à t x( ) ∆ ( )t
Sử dụng biểu thức ta viết lại phương trình (1.20) như sau x ∆ ( ) = ( )[ ( ( ))t p t x σ t −à t x( ) ∆ ( )] + ( )t f t
Ta có ( p) = ( )p t và áp dụng cùng với định lý 1.15 cho phương trình (1.21) ta được x t( ) = x 0 e p (t, t 0) +
Từ định lý 1.13 ta có
37 Định lí 1.17 Sự biến thiên của hằng số loại III.
Giả sử g là một hàm trù mật phải liên tục Khi đó, nghiệm của bài toán giá trị ban đầu x ∆ k+1 ( ) = ( )t g t , x ∆ i (0) = 0 ∀ 0 ≤ ≤i k (1.22) là x t( ) Z t
Chứng minh Ta chứng minh quy nạp với Giả sửk k = 0 Từ hệ quả 1.1 cho ta nghiệm bài toán: x ∆ ( ) = ( ) ( )t p t x t g ( )t , x t( 0) = x 0 là x t( ) = e p (t, t 0)x 0 +
Nên với p t( ) ≡0, ta có nghiệm bài toán: x ∆ ( ) = ( )t g t , x(0) = 0 là x t( ) Z t
Vì vậy giả thiết của ta đúng với k = 0 Tiếp theo, ta giả sử giả thiết đúng với k = n và xét x t( ) Z t
Theo định lý 1.14, vế phải là
Nhắc lại h k (a, a) = 0 và h ∆ k (t, s) = h k − 1(t, s) ta được x ∆ n+2 ( ) =t
Từ giả thuyết quy nạp ta có
0 h n (t, σ s g s( )) ( )∆s là nghiệm bài toán giá trị ban đầu y ∆ n+1 = ( )g t , y ∆ i = 0 ∀ 0≤ ≤i n nên x ∆ n+1 ( ) = ( )t g t
Trường hợp i = 0 là nghiệm tầm thường giống như x(0) = 0 trực tiếp theo định nghĩa.
Phép biến đổi tích phân Laplace trên thang thời gian
Định nghĩa và ví dụ
0 f t e( ) z ( ( ) 0)∆σ t , t (2.1) với z ∈ D{ }f trong đó D{ }f là một tập hợp của z ∈ C sao cho tích phân tồn tại và a+ ( )à t z 6= 0, t∀ ∈ T +
Trong ví dụ 2.1, chúng ta thấy rằng việc sử dụng σ t( ) trong hàm mũ là rất quan trọng Trước khi đi vào các tính chất của phép biến đổi Laplace, chúng ta sẽ thực hiện tính toán biến đổi Laplace của một hàm trực tiếp theo định nghĩa.
Ví dụ 2.1 Giả sử T + = 2 N 0 ∩ { }0 và giả sử X[2 2 ,2 5 ] là hàm đặc trưng của T + ∪[2 2 ,2 5 ] Khi đó
Hàm mũ với 2 N 0 được cho bởi e p ( 1) =t, Y s ∈ [1 ) ,t
Xét với 2 N 0 ∩ { }0 ta có thể viết e p ( 0) =t, e p ( 1)t, e p (1 0) = [1 + (0)], p Y s ∈ [1 ) ,t
41 ở đó, ta tính e p (1 0), trực tiếp theo định nghĩa Nên
Biến đổi Laplace chuyển các hàm từ thang thời gian sang các hàm trên tập con của số phức Miền hội tụ của phép biến đổi, D{ }f, phụ thuộc không chỉ vào hàm f mà còn vào các thang thời gian cụ thể Chúng ta sẽ minh họa điều này thông qua hai ví dụ sau.
Ví dụ 2.2 Giả sử T = hZ Khi đó, với bất kì hồi quy α ∈ C e α ( 0) =t, exp
Vì vậy đặc biệt là e z ( 0) = (1 + (t, z h) ) h t
t h Đầu tiên ta sẽ tìm D{ }1
Ta thấy vế phải giống như một tổng cấp số nhân lùi vô hạn, L{ }1 ( )z hội tụ nếu và chỉ nếu
Nếu ta giả sử D a, r( ) ⊂ C kí hiệu là quả cầu đóng có bán kính tâm ,r a thì miền hội tụ là
Tiếp theo, ta tìm D{e α ( 0)t, } với α ∈ R hồi quy
Một lần nữa, ta thấy vế phải giống một cấp số nhân lùi vô hạn mà hội tụ nếu và chỉ nếu
Nên miền hội tụ của ta là
Trước khi khám phá các tính chất của phép biến đổi Laplace, cần lưu ý một kết quả quan trọng sẽ được áp dụng nhiều lần Khi T + = R, sự hội tụ của giới hạn khi t tiến tới vô cùng, cụ thể là \( \lim_{t \to \infty} f(t)e^{-zt} = 0 \) kéo theo \( \lim_{t \to \infty} f(t)e^{-zt} = 0 \) khi z = 0.
Tuy nhiên, với bất kỳ thang thời gian nào, điều này không còn chính xác vì hàm mũ có thể thay đổi dấu của mũ Chẳng hạn, khi T = Z, từ ví dụ trước ta có e^z(0) = t.
Đối với giá trị z nhỏ hơn -1, cần đổi dấu mũ cho mọi t thuộc tập hợp số nguyên Z Điều quan trọng là đưa ra điều kiện đủ cho giới hạn khi t tiến tới vô cực của hàm f(t)e(z(0)) bằng 0 Mệnh đề tiếp theo sẽ cung cấp kết quả mới liên quan đến thang thời gian.
Mệnh đề 2.1 Giả sử T + sao cho à t < M( ) với M ∈ R và mọi t ∈ T + Cũng giả sử f : T + →R và t lim →∞ f t e( ) z ( ( ) 0) = 0σ t , Khi đó t lim →∞ f t e( ) z ( 0) = 0t, Chứng minh. t lim →∞ f t e( ) z ( ( ) 0) = 0σ t ,
Từ hệ quả 1.1 ta được t lim →∞ −(z t)( ) z f t e( ) z ( 0) = 0t,
1 + ( )à t zf t e( ) z ( 0) = 0t, vỡ à t < M( ) , ta tỡm được t lim →∞
Tính chất của phép biến đổi Laplace trên thang thời gian 46
trên thang thời gian Định lí 2.1 (Tuyến tính) Giả sử f và g là hai hàm điều hòa trên T + và cho α, β ∈ R là hằng số Khi đó
L{αf +βg}( ) =z αL{ }f ( ) +z βL{ }g ( )z với z ∈ D{ } ∪ D{ }f g Định lí 2.2 Giả sử hàm f : T + →R sao cho f ∆ là điều hòa Khi đó
L{f ∆ }( ) =z zL{ }f ( )z −f(0) + lim t →∞ f t e( ) z ( 0)t, cho mọi điểm hồi quy z ∈ R sao cho tồn tại giới hạn.
Sử dụng tích phân từng phần từ định lý 1.9 và đạo hàm của e z ( ( ) 0)σ t ,
Ta thấy e z (0 0) =, exp(0) = 1 và − ( z t e)( ) z ( 0) =t, ze z ( ( ) 0)σ t , ( hệ quả 1.1) ta có thể đơn giản biểu thức
Từ định nghĩa của phép biến đổi Laplace ta có thể viết lại
Hệ quả 2.1 Giả sử f : T + →R sao cho f ∆ n là điều hòa Thì
X i=0 z i f ∆ i (0) với những điểm hồi quy z ∈ R sao cho t lim →∞ f ∆ i ( )t e z ( 0) = 0 0t, , ≤ ≤ −i n 1
Theo định lý 1.2, nếu một hàm khả vi tại điểm t ∈ T, thì hàm này cũng liên tục tại điểm đó Định lý 1.1 chỉ ra rằng tính liên tục của một hàm chỉ đúng khi hàm đó điều hòa Do đó, nếu f ∆ n là hàm điều hòa, thì f ∆ k cũng phải điều hòa với mọi k trong khoảng từ 0 đến n.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp trên Vớin n = 1, theo định lý 2.2 ta được
X i=0 z i f ∆ i (0) Định lí 2.3 Giả sử f : T + →R điều hòa và
L{ }F ( ) =z 1 z[L{ }f z( )− lim t →∞ F t e( ) z ( 0)]t, với điểm hồi quy z ∈ R, z 6= 0
Tích phân từng phần ta được
Ta có F(0) = 0 và sử dụng định lý phép tính cơ bản, định lý 1.7, ta tìm được
L{ }1 = 1 z[1− lim t →∞ e z ( 0)]t, với mọi điểm hồi quy z ∈ R, z 6= 0
(z t e)( ) z ( 0)∆t, t Áp dụng định lý phép tính toán cơ bản
= 1 z[1− lim t →∞ e z ( 0)]t, Định lí 2.4 Giả sử k ∈ N 0 khi đó
X i=0 h i ( 0)t, e z ( 0)t, z k i − +1 với những điểm hồi quy z ∈ R, z 6= 0
Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp trên Vìk h 0( 0) =t,
1, làm ví dụ để thấy giả thiết của ta đúng với k = 0 Tiếp theo, giả sử giả thiết của ta đúng với k ∈ N không đổi.
49 từ định nghĩa về thang thời gian đa thức Định lý 2.3 cho
Khi giả thiết của chúng ta đúng với một giá trị k, thì nó cũng sẽ đúng với giá trị k + 1, cho thấy yêu cầu của chúng ta đúng với mọi k ∈ N theo nguyên tắc quy nạp toán học Định lý 2.5 khẳng định rằng nếu α ∈ R là điểm hồi quy, thì
L{cos α ( 0) ( ) =t, } z z z 2 +α 2 với điều kiệnlim t →∞ e iα z ( 0) = limt, t →∞ e − iα z ( 0) = 0t,
L{sin α ( 0) ( ) =t, } z α z 2 +α 2 với điều kiệnlim t →∞ e iα z ( 0) = limt, t →∞ e − iα z ( 0) = 0t,
Bây giờ ta có thể sử dụng định lý 1.13 để kết hợp hai hàm mũ
Ta thấy (α z)e α z ( 0)t, là một đạo hàm của e α z ( 0)t, , sử dụng định lý phép tính cơ bản ta được
Để chứng minh các điều kiện lim t →∞ e α z ( 0) = 0t và mối quan hệ giữa hàm lượng giác với hàm mũ, ta cần xem xét định nghĩa của cos α ( 0)t và sin α ( 0)t Việc áp dụng tính tuyến tính của biến đổi Laplace sẽ giúp minh chứng cho các phần (ii) và (iii) một cách trực tiếp.
Xét phương trình động lực x ∆∆ + kx = sin α (0)t với α, k ∈ R và k > 0, k0 ≠ α^2 Khi T = R, phương trình chuyển thành x'' + kx = sin αt, mô tả dao động của hệ thống lò xo có độ cứng k.
Giải phương trình này với điều kiện giá trị ban đầu x(0) = x 0 (0) = 0 là x t( ) = 1 k −α 2 sin( ) +αt α
Sử dụng phép biến đổi Laplace L để giải bài toán giá trị ban đầu x ∆∆ + kx = sin α (0)t với điều kiện x ∆ (0) = 0 Theo giả thiết, lim t →∞ e α z (0) = 0, lim t →∞ e √ k z (0) = 0, lim t →∞ x t e( ) z (0) = 0, và lim t →∞ x ∆ ( )t z (0) = 0 Áp dụng L vào cả hai vế của phương trình 2.4.
Theo hệ quả 2.1 cùng với điều kiện ban đầu và giả thiếtlim t →∞ x t e( ) z ( 0) =t,
0, và lim t →∞ x ∆ ( )t z ( 0) = 0t, Sử dụng cùng với phép biến đổi của sin và phần (iii ) của định lý 2.5, theo giả thiết lim t →∞ e α z ( 0) = 0t, ta được x 2 L{ }x ( ) +z kL{ }x ( ) =z α z 2 +α 2
Phân tích bằng phương pháp từng phần ta được
! sử dụng phần (iii) của định lý 2.5 để biến đổi ngược, ta được
Ta thấy sử dụng lim t →∞ e √ k z ( 0) = 0t, trong phép biến đổi ngược Nên giải phương trình (2.4) x t( ) = 1 k −α 2 sin α ( 0) +t, α
Ta thấy việc sử dụng biến đổi L để giải bài toán giá trị ban đầu cho mọi thang thời gian T + là dễ hơn với R
Để đảm bảo hàm tìm được là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu, có thể kiểm tra trực tiếp Các kỹ thuật sử dụng phép biến đổi Laplace để giải các phương trình vi phân đã được Oliver Heaviside áp dụng lần đầu tiên trước khi được chứng minh bằng toán học.
Chúng ta sẽ kiểm tra trực tiếp x t( ) cho trong (2.5) thực sự là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu cho trong phương trình (2.4) Sử dụng mệnh đề
Biến đổi vế trái của phương trình động lực, ta có x ∆∆ ( ) +t kx t( ) −α 2 k−α 2 + k k −α 2
Để kiểm tra điều kiện ban đầu, ta nhận thấy từ định nghĩa sin p (t, t) = 0 và cos p (t, t) = 1, điều này dẫn đến x(0) = 0 Tiếp theo, ta xem xét x ∆(0) = α k−α 2 + α√ k.
(α 2 −k) = 0 Đó là phép biến đổi Laplace xác định cho các thang thời gian với độ hạt hằng số được định nghĩa:
Tích chập Laplace trên thang thời gian
Định nghĩa và tính chất của Tích chập
Tích chập thông thường của hai hàm trên đoạn số thực [0,∞) được xác định
Định nghĩa tích chập của các hàm trên thang thời gian thông thường T + không thể áp dụng trực tiếp do t, s ∈ T + mà không đảm bảo t− ∈ s T + Điều này dẫn đến việc khả năng tồn tại hàm tại t−s có thể không xác định Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần đưa ra một định nghĩa thay thế cho tích chập của các hàm đặc biệt Giả sử f là một trong các hàm như e α (0) cosht, sinh α (0) cost, hoặc k (0)t với k ∈ N 0, ta có thể xây dựng một định nghĩa mới cho hàm này.
55 hòa trên T 0 , khi đó, ta định nghĩa tích chập của và như sauf g
Mệnh đề 3.1 Tính chất của tích chập
Giả sử α ∈ R và f là một trong cỏc hàm của e α ( 0) coshã, , α ( 0) sinhã, , α ( 0)ã, , cos α ( 0) sinã, , α ( 0)ã, hoặch k ( 0)ã, , k ∈ N 0 Nếu hàm g là một hàm điều hũa trên T 0 sao cho t lim →∞ e z ( 0)(t, f ∗g)( ) = 0t , Khi đó
Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh trường hợp f t,( 0) = e α ( 0)t, Xét bài toán giá trị ban đầu động lực y ∆ −αy = ( )g t , y(0) = 0.
Với sự biến thiên của hằng số trong định lý 1.16, nghiệm của bài toán này là: y t( ) Z t
Nhưng vế phải của phương trình chỉ là (e α (t, σ s( ))∗g t)( ) Ta áp dụng biến đổi Laplace cho cả hai vế của y ∆ −αy = ( )g t ta được
⇒ L{ }g ( ) =z 1 z −αL{ }g ( )z Định lý 2.5 cho ta thấy L{e α ( 0) ( ) =t, } z z α − 1 dẫn đến
Trường hợp là một trong các hàm của cosh α (0), sinh α (0), cos α (0), sin α (0) theo các định nghĩa tương ứng, thể hiện tính liên tục và tuyến tính trong biến đổi Laplace.
Ta chứng minh mệnh đề với trường hợp f t,( 0) = h k ( 0)t, Xét bài toán giá trị ban đầu động lực. y ∆ k+1 = ( )g t , y ∆ i = 0 ∀ 0≤ ≤i k
Theo công thức sự biến thiên của hằng số cho trong định lý 1.17, nghiệm bài toán này như sau y t( ) Z t
Trước đây, ta nhận thấy vế phải của phương trình (h k (t, σ s( ))∗g t)( ) Dùng biến đổi Laplace cho cả hai vế của y ∆ k+1 = ( )g t , cho
Dùng hệ quả 2.1 với điều kiện ban đầu cho ta thấy z k+1 L{ }y ( ) =z L{ }g ( )z
Nhắc lại định lý 2.4 L{h k ( 0) =t, } z k+1 1 vì vậy
⇒ L{h k (t, σ s( ))∗ }g z( ) = L{h k ( 0) ( )t, } z L{ }g z( ) Nên ta có được kết quả như mong muốn
Ví dụ 3.1 Giải phương trình tích phân x t( ) = 2 3( 0)t, −5
4(t, σ s x s( )) ( )∆s Đầu tiên ta viết lại phương trình : x t( ) = 2 3( 0)t, −5( 4(t, σ s( ))∗x t)( )
Sử dụng biến đổi Laplace cho cả 2 vế ta được:
Hệ quả 3.1 Giả sử f và g là một trong các hàm e α ( 0) cosht, , α ( 0)t, , sinh α ( 0) cost, , α ( 0) sint, , α ( 0)t, hoặc h k ( 0)t, , k ∈ N 0 Khi đó f ∗g = g f.∗ Chứng minh Đầu tiên ta làm với trường hợp e α ( 0)t, ∗e β ( 0) =t, e β ( 0)t, ∗e α ( 0)t,
Chúng ta có x(0) = 0 và y(0) = 0 Theo định lý 1.16 về sự biến thiên của hằng số, x(t) và y(t) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu Phương trình cho x là x ∆ − αx = e^(β(0)t), với điều kiện x(0) = 0, và phương trình cho y là y ∆ − βy = e^(α(0)t), với y(0) = 0 Tại thời điểm t = 0, ta có x ∆(0) = αx(0) + e^(β(0*0)) = 1.
Ta biết rằng y ∆ (0) = 1 và cả x lẫn y đều là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu Phương trình x ∆∆ −( + )α β x ∆ +αβx = 0 với điều kiện x(0) = 0 và x ∆ (0) = 1 có thể được viết lại dưới dạng x ∆ = αx + e α (0)t Bằng cách lấy đạo hàm của cả hai vế, ta có được x ∆∆ = αx ∆ + βe α (0)t.
Sử dụng (3.2) ta viết lại βe α ( 0)t, −αβx−βe α ( 0) +t, αβx = 0
Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu có thể được xác định bằng phương pháp tương tự Do đó, vì nghiệm của bài toán này là duy nhất, ta có x(t) = y(t).
Các chứng minh cho hàm lượng giác và hàm hyperbolic được xác định từ hàm mũ và tính chất tuyến tính của thang thời gian tích phân Cuối cùng, ta có các biểu thức như e α (0)t, ∗h k (0) = t, h k (0)t, ∗e α (0)t.
Khi k > 0, ta có x(0) = 0 và y a( ) = 0, với h 0(t, s) = 1 là trường hợp tầm thường Theo công thức biến đổi hằng số trong định lý 1.16, x t( ) trở thành nghiệm của bài toán giá trị ban đầu Do đó, x ∆ ( )t −αx = h k ( 0) (0) = 0t, , x.
Lấy đạo hàm lần ta đượci x ∆ i+1 −αx ∆ i = h k i − ( 0)t, và với phép quy nạp hữu hạn trên i x ∆ i (0) = 0, 0≤ ≤i k, x ∆ k+1 (0) = 1
Do đó x t( ) là một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu x ∆ k+2 −αx ∆ k+1 = 0, x ∆ i (0) = 0, x ∆ k+1 (0) = 1
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra y t( ) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu Theo định lý 1.14, việc h k (0 0) = 0, , k > 0 có nghĩa là y ∆ i (0) = 0, 0 ≤ ≤i k
Nên theo sự biến thiên của hằng số cho trong định lý 1.17, là nghiệm củay bài toán giá trị ban đầu. y ∆ k+1 = e α ( 0)t, , y ∆ i (0) = 0 0≤ ≤i k
Nên x và y là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu giống nhau và vì vậy chúng phải bằng nhau.
Sự chuyển dịch
Tiếp theo, ta tập trung vào sự chuyển dịch của phép biến đổi Định lý chuyển dịch sẽ trả lời hai câu hỏi quan trọng sau:
1) Chúng ta cần làm gì để có được một hàm mà ảnh của nó qua phép biến đổi Laplace bị chuyển dịch với hệ số ?α
2) Làm gì để chuyển dịch hàm với hệ số α để được ảnh qua phép biến đổi Laplace?
Với T = R trả lời cho câu hỏi đầu tiên được cho bởi công thức
L{e at f t( ) (} z) = L{ }f (z−a) Hai mệnh đề sau đây cho chúng ta công thức trong thang thời gian tùy ý.
Mệnh đề 3.2 Tính chất trễ I
Nếu α, β ∈ R( )R là hằng số thì
(z−α) 2 +β 2 với điều kiện t lim →∞ e α ( 0) sint, β
(z −α) 2 +β 2 với điều kiện t lim →∞ e α ( 0) cost, β
(z−α) 2 −β 2 với điều kiện t lim →∞ e α ( 0) sinht, β
(z−α) 2 −β 2 với điều kiện t lim →∞ e α ( 0) cosht, β
Ta bắt đầu bằng việc kiểm tra x t( ) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu x ∆∆ −2αx ∆ + (α 2 +β 2 ) = 0x , x(0) = 0, x ∆ (0) = β (3.4)
Sử dụng quy tắc nhân, định lý 1.3 và 1.13, ta tính x ∆ và x ∆∆ x ∆ = αe α ( 0) sint, β
Ta ∆ - đạo hàm x ∆ ta được x ∆∆ =α 2 e α ( 0) sint, β
Để giải phương trình động lực (2.12) và hệ quả 2.1, ta áp dụng biến đổi Laplace cho cả hai vế, dẫn đến biểu thức z²L{x} - zx(0) - x∆(0) - 2[zL{x} - x(0)] + (α² + β²)L{x} = 0 Điều này cho thấy x(t) đáp ứng điều kiện ban đầu x(0) = 1.
Ta thấy rằng trong quá trình sử dụng hệ quả 2.1, ta đã sử dụng các giả định rằng lim t →∞ e à ( 0) sint, β
Sử dụng điều kiện ban đầu, ta đi đến z 2 L{ } − −x β 2αzL{ }x + (α 2 +β 2 )L{ }x = 0 Bây giờ ta giải L{ }x
Nhắc lại định nghĩa của x t( ) ta tìm được
(z−α) 2 +β 2 như mong muốn Chứng minh phần (ii), (iii), và (iv) làm tương tự.
63 Định nghĩa 3.2 Cho a ∈ T, a > 0 và xác định hàm bước nhảy u a bởi u a ( ) :=t
1 nếu t ∈ T∩[a,∞) Mệnh đề 3.3 Cho a ∈ T + , a > 0 Thì
L{u a ( ) =t } e z a, ( 0) z với những z ∈ R( )R sao cho t lim →∞ e z ( 0) = 0t,
Theo hệ quả 1.1 ta có thể viết lại như sau
Tính chất trễ loại thứ 2, đã được đề cập trong câu hỏi thứ 2 ở phần đầu mục, được xác định với T = R.
Mặc dù chúng ta đã thảo luận về mệnh đề tích chập trước đây, nhưng nếu cả hai hàm thuộc về thang thời gian của chúng ta, thì không đảm bảo rằng t−a cũng thuộc thang thời gian Do đó, f(t−a) không xác định Tuy nhiên, có thể kiểm tra một kết quả tương tự cho một số hàm khác Mệnh đề tiếp theo là một kết quả mới liên quan đến thang thời gian.
Mệnh đề 3.4 Tính chất trễ loại II
Choa ∈ T + , a > 0 Giả sử là một trong các hàmf e α (t, a) cosh, α (t, a ,) sinh α (t, a ,) cos α (t, a ,) sin α (t, a) Nếu z, α ∈ R( )R là hồi quy và thỏa mãn t lim →∞ e α z (t, a) = lim t →∞ e iα z (t, a) = lim t →∞ e − iα z (t, a) = 0 thì
Chứng minh Đầu tiên ta làm với trường hợp f t, a( ) = e α (t, a) Sử dụng định lý 1.13 e α (t, a e) z ( ( ) 0) =σ t , 1
= − 1 α−ze z ( 0) =a, e z ( 0)a, L{e α ( 0)t, } với điều kiện t lim →∞ e α z (t, a) = 0 Tiếp theo ta xét trường hợp f t, a( ) = cos α (t, a) cos α (t, a) = e iα (t, a) +e − iα (t, a)
2L{u a ( )t e − iα (t, a)} với sự tuyến tính của Sử dụng trường hợp đầu tiên của phần chứngL minh
2e z ( 0)a, L{e − iα ( 0)t, } (3.6) với điều kiện lim t →∞ e iα z (t, a) = lim t →∞ e − iα z (t, a) = 0 Vận dụng (2.14) e z ( 0)a, 1
Sử dụng định nghĩa của cos α ( 0)t, ta được
Chứng minh với cosh α (t, a ,) sinh α (t, a ,) sin α (t, a)tương tự như vớicos α (t, a) vì chúng là một tổ hợp tuyến tính của hàm mũ.
Tiếp theo ta tiến hành đưa hàm delta Dirac vào Xét một hàm d a, :
T →R với tham số > 0 và a ∈ T, a+ ∈ T cho bởi d a, ( ) :=t
1 trường hợp còn lại Thì với b ∈ T, b ≥ a+ ta có
Chúng ta có thể xem lực tác động như một yếu tố ảnh hưởng đến một khối trong khoảng thời gian ngắn, với hiệu quả của lực độc lập với khoảng cách Một hàm xung có thể được hiểu là lực tác dụng ngay lập tức, hoặc là tác động yếu nhất trong khoảng thời gian ngắn nhất cho phép, với thang thời gian được xác định là δ a ( ) = limt.
Ví dụ 3.2 Giả sử T = R, thì δ a ( ) = limt
0 trường hợp còn lại Bây giờ ta giả sử T = h , h >Z 0 thì δ a ( ) = limt
0 trường hợp còn lại Xét một hàm liên tục f : T → R thì tích phân
∆t khi →à a( ) thỡ tớch phõn tiến đến f a( ) Ta đi đến định nghĩa tiờp theo.
67 Định nghĩa 3.3 Giả sử a, b ∈ T và giả sử f : T → R liên tục Nếu δ 0 ( )t thỏa mãn hai điều kiện sau (i)
Z b a f t δ( ) 0( )∆ = 0t t nếu 0 = [6 a, b) khi đó δ 0( )t được gọi là hàm delta Dirac.
Chúng ta xác định hàm xung với tham số t₀ thuộc T, với δ(t₀) = tδ₀(t - t₀) Định lý và hệ quả tiếp theo đưa ra kết quả mới cho thang thời gian Định lý 3.1 nêu rằng nếu a, b thuộc T và f: T → R là hàm liên tục, thì
Chứng minh Cho γ t( ) = t−t 0 Thì tăng ngặt,γ ∆ - khả vi, và γ ∆ = 1 là
Khả tích trên từng khoảng hữu hạn của hàm số được xác định bởi phép tịnh tiến T γ( ) Phép tịnh tiến này không chỉ là một công cụ toán học mà còn đóng vai trò như một thang thời gian Để áp dụng, chúng ta sử dụng phương pháp đổi biến số theo Định lý 1.8.
Nếu t 0 ∈ [a, b] thì 0 ∈ [ ( ) ( )]γ a , γ b và ta có
Nếu t 0 không thuộc [a, b] thì cũng không thuộc0 [ ( ) ( )]γ a , γ b và ta có
Hệ quả 3.2 Giả sử α ≥ 0 hồi quy Khi đó
Để giải bài toán giá trị ban đầu, ta áp dụng phép biến đổi L vào phương trình sau: \( ax \Delta \Delta + bx \Delta + cx = \delta \alpha(t) \) với điều kiện \( x(0) = x \Delta (0) = 0 \) và các hệ số \( a, b, c \in \mathbb{R} \) với \( a = 0, \alpha \geq 0 \) Khi tác động phép biến đổi L vào cả hai vế của phương trình, ta thu được biểu thức: \( aL\{x \Delta \Delta\}(z) + bL\{x \Delta\}(z) + cL\{x\}(z) = zL\{\delta_0(t - \alpha)\}(z) \).
Từ hệ quả 3.2, suy ra aL{x ∆∆ }( ) +z bL{x ∆ }( ) +z cL{ }x ( ) =z e z (α,0)
Sử dụng hệ quả 2.1 với điều kiện giá trị ban đầu (3.9)
(az 2 +bz + )c L{ }x z( ) = e z (α,0) với điều kiện nghiệm thỏa mãn lim t →∞ x t e( ) z ( 0) = limt, t →∞ x ∆ ( )t e z ( 0) = 0t, Nên
Giả sử b 2 −4ac >0 và cho r 1 = −b+√ b 2 −4ac 2a và r 2 = − −b √ b 2 −4ac 2a là nghiệm của az 2 +bz +c Thì
L{ }x ( ) =z e z (α,0) a z( −r 1 )(z−r 2 ) Tách ra từng phần ta được aL{ }x z( ) = e z (α,0)
Bây giờ giả sử b 2 −4ac= 0 Thì az 2 +bz+ = ( +c a z 2a b ) 2 và phương trình (2.18) trở thành
Theo định lý 2.5 Áp dụng mệnh đề (3.21)
2a (t, α) điều hòa, ta có thể đơn giản vế trái bằng cách sử dụng mệnh đề (3.16)
Trong luận văn, việc tính toán trên thang thời gian là một lĩnh vực mới mẻ và khác biệt so với các tính toán trên tập số thực Thang thời gian đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tập số rời rạc, từ đó ứng dụng vào giải các phương trình động lực học thực tế Với tiềm năng lớn, thang thời gian hứa hẹn sẽ trở thành chủ đề nghiên cứu hấp dẫn cho nhiều nhà khoa học trong tương lai, nhằm khám phá những ứng dụng hữu ích của nó Một số đóng góp nổi bật của luận văn bao gồm
1 Nghiên cứu kiến thức về Thang thời gian, đưa ra các so sánh để đánh giá sự giống và khác nhau giữa thang thời gian và số thực.
2 Nghiên cứu biến đổi Laplace, các tính chất của phép biến đổi trên thang thời gian
3 Chứng minh cụ thể các định lý và mệnh đề, đưa ra các ví dụ minh họa cho các định lý, định nghĩa.
1 Alan M Thomas (2003), Thesis of "Transforms on Time Scales".
2 R.P Agarwal and M Bohner (1999), Basic Calculus on Time Scales and Some of its Applications Results Math.35 (1-2) : 3 - 22, 1999.
3 N Asmar (2000) Partial Differential Equations and Boundary Value Problems Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ.
4 Bohner and A Peterson, (2002) Advances in Dynamic Equations on Time Scales Birkhauser, Boston.
5 M Bohner and A Peterson, (2001)Dynamic Equations on Time Scales.
6 R Donahue (1987) The Development of Transforms Method for Use in Solving Difference Equations Honors thesis, University of Dayton.
7 C H Edwards Jr and D E Penney(1996), Differential Equations : Computing and Modeling Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.
8 G Folland(1999), Real Analysis : Modern Techniques and Their Apli- cations John Wiley and Sons, Inc., New York, second edition.