Tính toán hệ tmd ho ơ hệ một bậ tự do nhằm giảm thành phần dao động tần số riêng

Đồ thị mô tả miền ổn định của kết cấu trong trờng hợp có lắp thiết bị TMD ứng với các giá trị khác nhau của tỉ số khối lợng à.U19T .... Một trong những biện pháp đã đợc sử dụng phổ bi

B Ộ GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO T Ạ O TRƯỜ NG Đ Ạ I H C BÁCH KHOA HÀ NỘI Ọ

NGUYỄN BÁ NGHỊ

TÍNH TOÁN H Ệ TMD CHO CƠ H M T BẬ Ệ Ộ C T DO NH Ự Ằ M

GIẢM THÀNH PH Ầ N DAO Đ Ộ NG T Ầ N SỐ RIÊNG

LUẬ N VĂN TH C SĨ Ạ NGÀNH CƠ HỌC KỸ THU T Ậ

Hà N i, 20 ộ 06

Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 17061131505741000000

TRƯỜ NG Đ Ạ I H C BÁCH KHOA HÀ NỘI Ọ

NGUYỄN BÁ NGHỊ

TÍNH TOÁN H Ệ TMD CHO CƠ H M T BẬ Ệ Ộ C T DO NH Ự Ằ M GIẢM

THÀNH PH Ầ N DAO Đ Ộ NG T Ầ N SỐ RIÊNG

LUẬ N VĂN TH C SĨ Ạ NGÀNH CƠ HỌ C KỸ THU T Ậ

TS NGUYỄN ĐÔNG ANH

Hà Nội, 2006

T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña t«i vµ cha ®îc c«ng bè trong bÊt cø c«ng tr×nh nµo kh¸c C¸c sè liÖu, kÕt qu¶ nªu trong luËn v¨n lµ trung thùc

T¸c gi¶ luËn v¨n

NguyÔn B¸ NghÞ

Mục lục

Trang

19TLời cam đoan19T i

19TMục lục ii19T 19TDanh mục các hình vẽ, đồ thị iii19T 19TMở đầu - 1 -19T 19TChơng 1 Tổng quan về TMD - 3 -19 T 19T1.1 Giới thiệu về TMD - 3 -19T 19T1.2 Một số ứng dụng của TMD - 5 -19T 19T1.3 Giải thích nguyên lý giảm dao động của TMD - 9 -19T 19T1.4 Tính toán hệ TMD nhằm giảm dao động tần số riêng - 19T 12 -

19TChơng 2 Mô hình con lắc ngợc một bậc tự do19 T 17

-19T2.1 Dao động tự do không cản - 19T 17

-19T2.2 Dao động tự do có cản - 19T 20

-19T2.3 Đáp ứng của hệ có cản chịu kích động điều hoà - 19T 25

-19TChơng 3 Tính toán TMD cho mô hình con lắc ngợc

nhằm giảm thành phần dao động tần số riêng19T 35

-19T3.1 Tính toán TMD dạng con lắc – lò xo thuận19T 35

-19T3.1.1 Thành lập phơng trình vi phân của cơ hệ - 35 -19T 19T3.1.2 Tính toán các tham số tối u của TMD - 39 -19T 19T3.1.3 Nghiên cứu tính ổn định của hệ - 19T 44 -

19T3.1.4 Khảo sát các tham số tối u của TMD19T 47 -

-19T3.2 Xác định hệ số cản tơng đơng của hệ có gắn TMD - 19T 50

-19T3.3 Điểm cần lu ý khi chọn các tham số ban đầu cho TMD - 55 -19T 19T3.4 Kết quả mô phỏng số 19T - 56 -

19T3.4.1 Kích động va chạm - 58 -19T 19T3.4.2 Kích động điều hoà - 19T 61 -

19T3.4.3 Hệ chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng - 68 -19T 19T3.4.4 Khảo sát hiệu quả giảm dao động của TMD theo sự thay

đổi các thông số của hệ19T - 74

-19TTài liệu tham khảo - 81 -19T 19TPhụ lục - 83 -19T

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

19TUHình 1.1 Mô hình bộ hấp thụ động lực của Frahm (1909) - -U1 9T 4

19TUHình 1.2 Mô hình bộ hấp thụ dao động của Denhartog U19T 4

-19TUHình 1.3 Hình ảnh toà nhà Hancock Tower ở Boston U19T 6

-19TUHình 1.4 Toà nhà Crystal và Thiết bị TMD U19T 7

-19TUHình 1.5 Hình ảnh toà nhà Chifley tower - -U19T 7

19TUHình 1.6 Toà nhà cao nhất thế giới Taipei 101 - 8 -U 19T 19TUHình 1.7 Thiết bị TMD đợc lắp trong toà nhà Taipei 101 ở Đài loan - 8 -U19T 19TUHình 1.8 Bộ hấp thụ dao động và hệ chính - 9 -U19T 19TUHình 1.9 Sơ đồ của hệ chính tơng đơng - U19 T 11 -

19TUHình 2.1 Mô hình con lắc ngợc một bậc tự do không cản - U19T 17

-19TUHình 2.2a Đáp ứng của hệ với (0) 0U19Tϕ = - 19

-19TUHình 2.3 Mô hình con lắc ngợc một bậc tự do có cản - U19T 20

-19TUHình 2.4 Đáp ứng của hệ có cản dới tới hạn - U19T 22

-19TUHình 2.5 Đáp ứng của hệ ứng với cản khác nhau - U19T 25

-19TUHình 2.6 Đáp ứng của hệ với cản nhỏ ξ=1,5% - U19T 25

-19TUHình 2.7 Đáp ứng với kích động không liên tục - U19T 29

-19TUHình 2.8 Dịch chuyển của kêt cấu - U19T 30

-19TUHình 2.9 Gia tốc của kết cấu - U19T 30

-19TUHình 2.10 Đồ thị mô tả sự biến thiên của ˆU19Tϕh19TU theo điều kiện đầu - U19T 31

-19TUHình 2.11.a Sự phụ thuộc của ˆU19Tϕh19TUvào điều kiện đầu U19Tϕ019TUvới U19Tϕ0 =0.1 - 32

-19TUHình 2.12 Dao động của hệ với điều kiện đầu thoả mãn (2.47) - 33 -U19T 19TUHình 2.13 Dao động của hệ với điều kiện đầu không thoả mãn (2.47) - 33 -U19T 19TUHình 3.1 Mô hình con lắc ngợc có gắn TMD - 35 -U19T 19TUHình 3.2 Đồ thị mô tả miền ổn định của kết cấu trong trờng hợp có lắp

thiết bị TMD ứng với các giá trị khác nhau của tỉ số khối lợng

à.U19T - 45

-19TUHình 3.3 Đồ thị mô tả sự thu nhỏ miền dự trữ ổn định - U19 T 46

-19TUHình 3.4 Đồ thị mô tả sự thu nhỏ miền dự trữ ổn định - U19 T 47

-19TUHình 3.5 Sự thay đổi của α theo γ và ηứng với các giá trị khác nhau của

àU19T - 48

-19TUHình 3.6 Sự thay đổi của ξ theo γ và η ứng với các giá trị khác nhau của

àU19T - 48

-19TUHình 3.7 Tỉ lệ phần trăm giữa ξ tính theo 3( 29) và theo ( 14).3 U 19T - 49

-19TUHình 3.8 Tỉ lệ phần trăm giữa α tính theo 3( 29) và theo ( 14).3 U 19T - 50

-19TUHình 3.9 Đáp ứng của kết cấu khi không lắp và có lắp TMDe - 58 -U19T 19TUHình 3.10 Đáp ứng của kết cấu khi lắp TMDe và TMDs - 58 -U19T 19TUHình 3.11 Dịch chuyển của TMDe, TMDs - 59 -U19T

19TUHình 3.12 Đồ thị mô tả (U19 Tu u 1 2 19TU) với kích động va chạm - 59 -U19T 19TUHình 3.13 Đáp ứng của hệ khi có và không có TMD - U19T 60 -

19TUHình 3.14 Đáp ứng của hệ khi có và không có TMD - U19T 61

-19TUHình 3.15 Đáp ứng của kêt cấu khi không và có lắp TMDe - U 19T 62

-19TUHình 3.16 Thành phần dao động tự do của kết cấu khi không và có lắp

19TUHình 3.20 Đồ thị mô tả (U19 Tu u 1 2 19TU) với kích động điều hoà - U19T 64

-19TUHình 3.21 Đáp ứng của kết cấu khi không và có lắp TMDe - 65 -U 19T 19TUHình 3.22 Đáp ứng của kết cấu khi lắp TMDe và TMDs - 65 -U19T 19TUHình 3.23 Đáp ứng của TMDe, TMDs - 66 -U19T 19TUHình 3.24 Đáp ứng gia tốc U19 T - 66 -

19TUHình 3.25 Đồ thị mô tả (U19 Tu u 1 2 19TU) với kích động điều hoà - U19T 67

-19TUHình 3.26 Đáp ứng của kết cấu khi không lắp và có lắp TMDe - 68 -U19T 19TUHình 3.27 Đáp ứng của kết cấu khi lắp TMDe và TMDs - 69 -U19T 19TUHình 3.28 Đáp ứng của TMDe, TMDs - 69 -U19T 19TUHình 3.29 Đáp ứng gia tốc U19 T 70 - -

19TUHình 3.30 Đồ thị mô tả (U19 Tu u 1 2 19TU) với kích động ngẫu nhiên - U19T 70

-19TUHình 3.31 Đáp ứng của kết cấu khi không lắp và có lắp TMDe - U19T 71

-19TUHình 3.32 Đáp ứng của kết cấu khi lắp TMDe và TMDs - U19T 71

-19TUHình 3.33 Đáp ứng của TMDe, TMDs - U19T 72

-19TUHình 3.34 Đáp ứng gia tốc U19 T 72 -

-19TUHình 3.35 Đồ thị mô tả (U19 Tu u 1 2 19TU) với kích động ngẫu nhiên - U19T 73

-19TUHình 3.36 nh hởng của khối lợng mả UR 1 RU đến hiệu quả giảm dao động - U19T 75

-19TUHình 3.37 nh hởng của khối lợng m đến hiệu quả giảm dao động.ả U19T - 75

-19TUHình 3.38 nh hởng của khối lợng TMD mả UR 2 RU đến hiệu quả giảm dao

-ở nớc ta hiện nay, c g với sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế thì cơ s-ở ùnhạ tầng cũng đợc đầu t rất lớn để đáp ứng đợc nhu cầu của xã hội Theo đó

là rất nhiều những công trình lớn nh các toà nhà cao tầng, các cây cầu lớn, dàn khoan, tháp vô tuyến đợc xây dựng Dới tác động của chấn động địa chất, sóng biển, gió bão, phơng tiện giao thông à sẽ tạo ra các dao động có hại Việc ứng dụng các phơng pháp kỹ thuật để dập tắt hoặc làm giảm các dao động này là rất cần thiết

Một trong những biện pháp đã đợc sử dụng phổ biến trên thế giới là lắp thêm vào công trình một bộ tiêu tán năng lợng (TTNL) nhằm mục đích làm giảm các dao động có hại Tuy nhiên phơng pháp này ở nớc ta vẫn còn rất mới cha đợc nghiên cứu nhiều và hầu nh cha đợc áp dụng trong các công trình trong thực tế

Đối với các kết cấu, công trình kỹ thuật chịu tác động của tải trọng va đập và không liên tục thì quá trình chuyển tiếp xảy ra thờng xuyên sẽ gây ra các dao

động rung lắc Mặt khác với tải trọng có tần số kích động thấp thì ảnh hởng của dao động riêng của kết cấu có ý nghĩa quan trọng trong khi dao động cỡng bức đợc xem nh là dao động tựa tĩnh Do vậy việc giảm dao động cho các kết cấu nói trên đang đợc nhiều tác giả quan tâm

Luận văn đề cập đến phơng pháp điều khiển tối u cho kết cấu với đề tài

“Tính toán hệ TMD cho cơ hệ một bậc tự do nhằm giảm thành phần dao động tần số riêng Đối tợng nghiên cứu đợc chọn” là kết cấu có mô hình con lắc ngợc Vì mô con lắc ngợc có thể đợc dùng làm mô hình tơng đơng cho nhiều công trình kỹ thuật nh: các toà nhà cao tầng, tháp truyền hình, các công trình biển Để giảm dao động sẽ gắn vào kết cấu bộ tiêu tán năng lợng TMD (tuned mass damper) dạng con lắc lò xo Các thông số kỹ thuật của -

TMD sẽ đợc thiết kế sao cho giảm tốt nhất thành phần dao động tần số riêng của kết cấu Dựa trên cơ sở lý thuyết điều khiển tối u với việc cực tiểu hoá hàm mục tiêu là tích phân năng lợng, thông qua việc giải phơng trình Lyapunov để tính tích phân đó T điều kiện hàm mục tiêu đạt cực tiểu có thể ừ tìm ra đợc các thông số tối u cho bộ TMD Việc tính toán giải tích và mô phỏng số đợc thực hiện với sự trợ giúp của phần mềm Maple và Matlab cho thấy hiệu quả giảm dao động của thiết bị TMD

Tác giả xin trân thành cám ơn Trung tâm Đào tạo và Bồi dỡng sau đại học,

Bộ môn Cơ học ứng dụng Khoa Cơ khí Trờng Đại học Bách khoa Hà nội, Phòng Cơ học công trình Viện cơ học đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt để luận văn đợc hoàn thành đúng hạn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn đối với GS TSKH Nguyễn Đông Anh, ngời thầy

đã tận tình hớng dẫn và giúp đỡ trong suốt thời gian thực hiện luận văn

động bằng hấp thụ và tiêu tán năng lợng trong chừng mực nhất định có thể

bổ sung cho hai phơng án trên Để giảm dao động ngời ta gắn vào hệ thiết

bị tiêu tán năng lợng TMD (tuned mass damper) TMD là loại thiết bị sử dụng ớ v i mục đích tiêu tán một phần năng lợng của hệ chính TMD là tên chuẩn quốc tế, trong một số tài liệu đã đợc các tác giả dịch sang tiếng Việt nh bộ tiêu tán năng lợng, bộ hấp thụ dao động,à Tuy nhiên, các thuật ngữ trên vẫn cha thống nhất nên trong khuôn khổ luận văn, tác giả xin đợc giữ nguyên tên quốc tế là TMD

Việc ứng dụng bộ hấp thụ dao động thụ động đợc nghiên cứu lần đầu tiên bởi Frahm vào năm 1909 10 với mô hình nh ở trên [ ] Hình 1.1 Trong đó bộ hấp

thụ dao động thụ động có khối lợng mR 0 R và lò xo với độ cứng kR 0 R Hệ chính là

vật có khối lợng mR 1 Rđợc gắn với nền bằng lò xo có độ cứng kR 1 R Khi cả hai hệ

đều bỏ qua lực cản nhớt, dới tác dụng của kích động điều hoà, bằng cách

điều chỉnh độ cứng kR 0 R và khối lợng mR 0 R sao cho tần số riêng của bộ hấp thụ

bằng đúng tần số kích động điều hoà, ngời ta thấy rằng có thể làm tắt dao

động của khối lợng mR 1 R.

Lý thuyết về bộ hấp thụ dao động có gắn thêm thiết bị giảm chấn cản nhớt

đợc Den artog [9H ] phát triển cho trờng hợp hệ chính không cản chịu kích

động điều hoà (có mô hình nh trên Hình 1.2 Ông đã đa ra phơng pháp ) tính toán các thông số tối u của bộ hấp thụ dao động thụ động p dụng quy á

Hình 1.1 Mô hình bộ hấp thụ động lực của Frahm (1909)

trình tính toán của Den artog, các tác giả khác H đã đa ra lời giải cho nhiều trờng hợp khác nhau về mục tiêu điều khiển và dạng kích động Sau đó, nghiên cứu về bộ hấp thụ dao động thụ động cho các hệ chính có cản nhớt

đợc tiếp tục bởi Bishop và Welbourn [8]

Hình 1.2 Mô hình bộ hấp thụ dao động của Denhartog

Khi nghiên cứu với hệ chính có cản nhớt hoặc hệ chính nhiều bậc tự do thì việc xác định các thông số tối u cho TMD bằng phơng pháp giải tích gần nh không thể thực hiện đợc Vì vậy những nghiên cứu TMD đã đợc nhiều tác giả phát triển theo hớng phơng pháp số cho bài toán này

Để tăng hiệu quả của bộ hấp thụ dao động thụ động các nhà nghiên cứu đã mở rộng tần số kích động bằng cách đa ra các lò xo phi tuyến cho bộ hấp thụ Roberson [14] đã nghiên cứu đáp ứng động của hệ chính kết nối với bộ hấp thụ dao động thụ động bằng lò xo vuông phi tuyến Roberson định nghĩa giải giảm chấn là giải tần số giữa những điểm cộng hởng mà tại đó biên độ dao

động nhỏ hơn đơn vị Dải tần số này đối với bộ hấp thụ dao động thụ động dạng phi tuyến thờng rộng hơn bộ hấp thụ dao động thụ động tuyến tính Để tăng hiệu quả của TMD, những công nghệ hiện đại còn sử dụng các bộ điều khiển tích cực, bán tích cực lắp vào TMD Kỹ thuật này đợc sử dụng tơng

đối phổ biến ở Nhật Bản với tên gọi thiết bị HMD (Hybrid mass damper) Việc tích hợp thiết bị TMD trong thực tế cũng mở ra nhiều nghiên cứu Khi lắp đặt vào kết cấu, thờng thiết bị TMD có biên độ dao động lớn hơn nhiều lần dao động của kết cấu Vấn đề nghiên cứu đặt ra là thiết kế hình dạng của thiết bị sao cho có thể sử dụng không gian một cách tối u Vì kiến trúc của kết cấu rất đa dạng nên hình dạng cấu trúc của thiết bị TMD cũng không kém phần phong phú

Việc nghiên cứu và ứng dụng phơng pháp giảm dao động cho các thiết bị máy móc và công trình kỹ thuật ở Việt Nam vẫn còn hạn chế Tuy nhiên những nghiên cứu về lý thuyết đã đợc một số tác giả quan tâm [3], [5], [ ] 12

1.2 Một số ứng dụng của TMD

Thiết bị tiêu tán năng lợng TMD đã đợc ứng dụng rộng rãi trong thực tế từ nhiều năm nay Nó không chỉ đợc ứng dụng trong các toà nhà cao tầng mà còn đợc lắp đặt trong các cây cầu, ống khói và các thiết bị công nghiệp khác

ở các nớc nh Pakistan, Nhật Bản, Australia, Anh, Đức, Mỹ, Canađa Một trong những ứng dụng sớm nhất của TMD đợc thực hiện vào tháng 6 năm 1977 cho toà nhà Hancock Tower cao 244m ở Boston, nh trên Hình 1.3

Hai thiết bị TMD đợc lắp vào hai đầu đối diện của tầng 58 nhằm làm giảm dao động xoắn cho toà nhà Về cơ bản mỗi thiết bị có kích thớc khoảng 5.2x5.2x1 m gồm một thùng kim loại đợc đổ đầy chì có khối lợng 300 tấn

đợc gắn vào khung của toà nhà thông qua các thiết bị giảm chấn Thiết bị TMD lắp vào đã làm giảm đợc khoảng 50% dao động cho toà nhà

Hình 1.3 Hình ảnh toà nhà Hancock Tower ở Boston.

21TToà nhà Crystal Tower ở Osaka cao 37 tầng và 2 tầng hầm đợc hoàn thành năm 1990 Để làm giảm dao động của toà nhà dới tác dụng của gió ngời ta

đẵ lắp vào toà nhà thiết bị TMD Thiết bị TMD có khối lợng đợc tận dụng các thùng chứa đầy nớc đá đặt trên mái nhà dùng để làm mát cho toà nhà nh Hình 1.4 dới đây21T

Trong toà nhà Chifley Tower cao 240m (50 tầng) ở Sydney Australia đợc hoàn thành vào năm 1992 nh Hình 1 Để làm giảm dao động cho toà nhà 5 dới tác dụng của gió, vào năm 1994 ngời ta đã lắp vào toà nhà bộ TMD dạng con lắc Con lắc đợc làm bằng khối kim loại nặng khoảng 400 tấn treo trên thanh kim loại có tiết diện 8x75 mm gần nóc nhà

H×nh 1.4 Toµ nhµ Crystal vµ ThiÕt bÞ TMD

H×nh 1.5 H×nh ¶nh toµ nhµ Chifley tower

Một trong những áp dụng tiêu biểu gần đây nhất là thiết bị TMD trong toà nhà trung tâm thơng mại Đài Bắc, Đài Loan có 101 tầng, cao 508m, cao nhất thế giới và đợc xây trên vùng động đất Các kỹ s đã thết kế TMD có dạng con

Hình 1.6 Toà nhà cao nhất thế giới Taipei 101

Hình 1.7 Thiết bị TMD đợc lắp trong toà nhà Taipei 101 ở Đài loan

lắc với một hình cầu nặng 730 tấn có chạm trổ điêu khắc đặt tại tầng 88 (Hình

1.7) Quả cầu đợc treo bởi hệ thống cáp thép, xung quanh là các nhà hàng ăn,

quán bar vừa rất hiệu quả trong giảm gia tốc, vừa thu hút khách du lịch

1.3 Giải thích nguyên lý giảm dao động của TMD

Giải thích nguyên lý giảm dao động của TMD đợc đa ra bởi Soong [16] Hệ

chính một bậc tự do có khối lợng mR 1 R chịu kích động bởi lực FR 1 R(t) Để giảm

đáp ứng dao động của hệ chính ta gắn vào hệ dao động một bộ hấp thụ dao

động thụ động khối lợng mR 0 Rđợc mô tả nh ở Hình 1.8

Hình 1.8 Bộ hấp thụ dao động và hệ chín h

Phơng trình chuyển động của cơ hệ đợc mô tả bởi :

00

Phơng trình (1.1) có thể viết thành (1.2) bằng cách nhân thêm x 1 vào hai vế

ở đây là kỳ vọng toán học cho trờng hợp hệ chịu kích động ngẫu nhiên

hay giá trị trung bình cho trờng hợp kích động điều hoà

Trong trờng hợp hệ chịu lực cỡng bức nh trên thì ta chỉ xét đáp ứng của hệ

- d x1 12 là năng lợng tiêu hao do tác dụng của lực cản

- [F t1( )+F t x là năng lợng do kích động từ bên ngoài 0( )]1

- Phần năng lợng bằng [m x x0  0 1 ] đợc truyền từ hệ chính sang khối

lợng lắp thêm mR 0 R

Đó chính là nguyên lý hoạt động của bộ hấp thụ dao động thụ động Trong

trờng hợp dấu của [m x x0  0 1 ] dơng, bộ hấp thụ dao động thụ động đã hấp

thụ một phần năng lợng của dao động Nếu năng lợng truyền từ hệ chính

sang bộ hấp thụ thụ động càng lớn thì dao động của hệ chính sẽ càng nhỏ

Nếu ta chọn bộ hấp thụ dao động không đúng, dấu của [m x x0  0 1 ] âm, hệ

chính sẽ dao động mạnh thêm Bộ hấp thụ dao động thụ động sẽ đạt hiệu quả tốt khi dao động của bộ hấp thụ lệch pha 90P

với là toán tử tích phân vô hạn theo thời gian Cộng hai phơng trình của (1.6) lại với nhau ta thu đợc

trong đó m x x0  0 1 và d x1 12 có ý nghĩa tơng tự nh đã nói ở trên,

− m x x  + k x x đợc xem nh là năng lợng của lực quán tính và lực

đàn hồi của kết cấu Từ đây ta cũng thu đợc công thức tính hệ số cản tơng

đơng có dạng

0 1

1 eq

1.4 Tính toán hệ TMD nhằm giảm dao động tần số riêng

Việc tính toán thiết kết bộ TMD nhằm giảm thành phần dao động tần số riêng của kết cấu đợc thực hiện dựa trên cơ sở lý thuyết điều khiển tối u T ính toán tối u có thể thực hiện theo các tiêu chuẩn khác nhau, tuỳ theo mục đích thiết kế mà ta đa ra tiêu chuẩn thích hợp Với mỗi tiêu chuẩn có thể thu đợc những kết quả không giống nhau Xét hệ có lắp TMD đợc mô tả bằng hệ phơng trình vi phân nh sau:

0

Mx + Dx + Kx  = (1 )9 với điều kiện đầu

(0)= , (0) = 

Trong đó M , D, K tơng ứng là các ma trận khối lợng, cản và độ cứng, có tính chất thực, đối xứng vuông cấp n với M , K là ma trận xác định dơng, D

bán xác định dơng Phơng trình đặc trng tơng ứng của (1.9) là

2

|λ M + D + Kλ | 0= (1.11)Bằng cách đổi biến ta sẽ a đợc hệ (1.9) về dạng sauđ

y = ; A =

IRnR là ma trận đơn vị cấp nghiệmn, của (1.12) có dạng y=eAt y0 Phơng trình

đặc trng có dạng A - Iλ =0 Vấn đề ta quan tâm ở đây là tối u hoá dao

động của hệ (1.9) theo ngh a lĩ à tìm ra các tham số tối u của TMD sao cho dao động của hệ (1.9) là tắt nhanh nhất Để làm việc đó ta nêu ra đây một số tiêu chuẩn tối u, tiêu chuẩn đợc dùng phổ biến nhất là:

| |

λ λ

k

trong đó λk nh ở trên Tiêu chuẩn này đợc thiết kế nhằm mục tiêu tối thiểu hoá số lần dao động trớc khi hệ trở về trạng thái cân bằng Để hiểu rõ hơn về tiêu chuẩn này có thể xem trong [7]

Ta thấy rằng cả hai tiêu chuẩn trên là không phụ thuộc vào điều kiện đầu của

hệ ở đây ta chỉ nêu ra hai tiêu chuẩn này là để tham khảo thêm chứ ta không

đi vào chi tiết cụ thể Sau đây sẽ trình bày tiêu chuẩn thiết kế TMD nhằm giảm thành phần dao động tần số riêng cho hệ chính sẽ đợc sử dụng trong luận văn

Trong [ -17 18 đã đa ra tiêu chuẩn tối u với mục tiêu tối thiểu hoá năng ] lợng toàn phần của hệ Năng lợng toàn phần của hệ (là tổng động năng và

KQ

MNăng lợng toàn phần của hệ trong suốt quá trình dao động đợc tính nh sau

0 0

0 T

Phơng trình (1.21) sẽ có nghiệm duy nhất nếu ma trận là ổn định.A

Trong nhiều trờng hợp ngời ta không cần phải cực tểu toàn bộ năng lợng của hệ mà chỉ cần giảm một thành phần nào đó Khi đó hàm mục tiêu không phải là cực tiểu năng lợng toàn phần trong cả quá trình dao động của hệ Thay vào đó một hàm mục tiêu có dạng khác đợc đa ra vớ i mục đích là chỉ cực tiểu một phần năng lợng của hệ tuỳ theo mục đích thiết kế

trong đó Q là ma trận đối xứng (thờng là bán xác định dơng) Ta có thể hiểu

Q nh là hàm trọng số Tùy thuộc vào thành phần năng lợng cần tính mà Q

đợc chọn sao cho phù hợp Khi đó P sẽ là nghiệm của phơng trình Lyapunov sau

A P + PA = -Q

với là ma trận trọng số đợc chọn tuỳ thuộc hàm năng lợng cần tối u.Q

Tiêu chuẩn này sẽ đợc sử dụng để thiết kế các tham số tối u cho TMD nhằm giảm thành phần dao động tần số riêng cho hệ chính có dạng con lắc ngợc

đợc trình bày cụ thể trong chơng 3 của luận văn

K ết luận chơng 1

Chơng này đã trình bày tổng quan nghiên cứu về TMD Nêu ra một số ứng dụng điển hình của TMD trong công trình thực tế trên thế giới Giải thích nguyên lý giảm dao động của TMD qua việc tính hệ số cản tơng đơng của

hệ sau khi lắp TMD Đa ra tiêu chuẩn thiết kế tối u TMD, và cách tính toán hàm mục tiêu để tìm ra các tham số tối u của TMD

Chơng 2 Mô hình con lắc ngợc một bậc tự do

Những vấn đề liên quan đến dao động tuyến tính của hệ động lực đã đợc rất nhiều tác giả trong nớc và thế giới quan tâm nghiên cứu từ lâu [1], [ ], [ ] 2 11Nhng để phục vụ cho mục tiêu thiết kế TMD, trong chơng này trình bày những nghiên cứu về động lực học và đáp ứng của cơ hệ có mô hình con lắc ngợc một bậc tự do

2.1 Dao động tự do không cản

21TXét cơ hệ một bậc tự do không cản có dạng con lắc ngợc gồm vật nặng có

khối lợng mR 1 R, thanh đồng chất chiều dài , khối lợng , có mômen quán l m

tính đối với trục đi qua đầu thanh , lò xo xoắn có độ cứng nh Hình 2.1J k 21T

ThÕ n¨ng vµ hµm hao t¸n cña hÖ

2 1

02

02

2 22

( (0) 0ϕ = ), dao động của hệ có dạng hàm cos Trên Hình 2.2b là đồ thị biều diễn dao động tự do của hệ khi hệ đợc kéo lệch ra khỏi vị trí cân bằng giá trị (0)

ϕ và thả ra với vận tốc ban đầu (0)ϕ , dao động của hệ có dạng tổ hợp của

hàm sin và cos.

2.2 Dao động tự do có cản

Cơ hệ con lắc ngợc một bậc tự do có cản là mô hình cho trên hình 2.1 và có thêm bộ cản tuyến tính có hệ số cản là d đợc cho nh trên Hình 2 dới đây.3

Sau ®©y ta sÏ tiÕn hµnh nghiªn cøu hÖ (2.17) lÇn lît øng víi c¸c trêng hîp nªu trªn

a Tr¬ng hîp c¶n díi tíi h¹n (ξ <1)

áp dụng phép biến đổi Laplace đối với hai vế của phơng trình (2.17) ta có

2

ss

Trờng hợp hệ có cản thì trong biểu thức nghiệm xuất hiện số hạng e−ξω0 t

đợc xem nh là hệ số nhân Hệ số này có giá trị giảm theo luật số mũ âm khi thời gian tăng Đây là lý do biên độ đáp ứng của hệ giảm theo thời gian nh Hình 2.4

ˆˆ

ss

2 0

Ta thấy rằng cả hai số hạng ở vế bên phải của (2.26) đều giảm dần theo luật số

mũ âm Vì thế dịch chuyển của con lắc trong trờng hợp này sẽ giảm từ từ về

vị trí cân bằng

c Trờng hợp cản tới hạn (ξ =1)

Thông thờng, đối với các hệ cơ học trong thực tế thờng có tỉ số cản hớn hơn

hoặc nhỏ hơn một, lớn trờng hợp ξ =1 là rất hiếm khi gặp Tuy nhiên, để cho

đầy đủ cũng nh là để tham khảo thêm khi cần thiết ta đa vào đây trờng hợp

1

ξ =

Trong trờng hợp cản tới hạn ξ =1 thì phơng trình đặc trng có hai nghiệm

là thực âm và bằng nhau Do đó, (2.21) đợc viết dới dạng

di chuyển về vị trí cân bằng mà không thực hiện một dao động nào

Trong Hình 2 dới đây sẽ cho thấy đáp ứng của hệ ứng với ba trờng hợp 5 cản dới tới hạn, cản tới hạn và cản trên tới hạn với điều kiện đầu (0) 0ϕ ≠ và (0) 0

ϕ =

Nh vậy trong trờng hợp cản dới tới hạn (ξ <1) đáp ứng của hệ là dao động tắt

dần, khi hệ có cản tới hạn hoặc trên tới hạn thì hệ sẽ chuyển động dần về vị trí cân bằng chứ không thực hiện dao động

Hình 2.5 Đáp ứng của hệ ứng với cản khác nhau

2.3 Đáp ứng của hệ có cản chịu kích động điều hoà

Trong mục này sẽ nghiên cứu hệ có cản (cản dới tới hạn) chịu kích động điều hoà Tơng tự nh trờng hợp dao động tự do hơng trình vi phân dao động , p

của hệ chịu kích động điều hoà với lực kích động có dạng PR 0 RcosΩt đợc thành lập có dạng nh sau:

=

+ , ω ξ0, nh trong (2.16) với điều kiện đầu ϕ(0)=ϕ ϕ0, (0) =ϕ Nghiệm của phơng trình (2.28) sẽ là tổng 0nghiệm của phơng trình thuần nhất tơng ứng và nghiệm riêng của nó

( ) ( ) ( )

trong đó ϕp( )t là nghiệm riêng của(2.28), ϕh( )t là nghiệm của phơng trình thuần nhất tơng ứng Phơng trình đặc trng của phơng trình thuần nhất tơng ứng với (2.28) có dạng

Thế (2.31) vào (2.28) sau đó đồng nhất hệ số của sinΩt và cosΩt ta thu đợc hệ

phơng trình đại số tuyến tính sau:

Giải hệ(2.32) ta thu được

PN

Nghiệm riêng (2.31) có thể được ết lạ dướ dạ vi i i ng sau:

ϕ

ω β

Thế (2.30) và (2.31) vào (2.29) ta có nghiệm của phơng trình (2.28)

Các hằng số CR 1 R, CR 2 R đợc xác định từ các điều kiện đầuϕ(0)=ϕ ϕ0, (0) =ϕ 0

Lấy đạo hàm (2.36) theo t ta đợc

0 0

N u ế đư vào đạ ượa i l ng

0

η ω

PC

η ϕ

tanˆ

α ϕ

(2.43)

Thành phần đầu trong biểu thức nghiệm (2.42) là dao động tự do với tần số riêng của hệ, do hệ có cản nên thành phần này sẽ tắt dần theo thời gian Tuy nhiên đối với các công trình trong thực tế lực kích động thờng là các hàm liên tục từng khúc, do đó quá trình chuyển tiếp (tồn tại thành phần đao động tự do) xảy ra thờng xuyên nh trên Hình 2.7

Hình 2.7 Đáp ứng với kích động không liên tục

Đối với các công trình kỹ thuật, ảnh hởng lớn nhất đối với con ngời trên đó

là gia tôc dao động của công trình Từ biểu thức nghiệm (2.42) đạo hàm hai lần theo thời gian sẽ thu đợc gia tốc dao động

ω ω ξ α

Trong thc tế tần số dao động riêng của hệ là lớn so với tần số của lực kích

động do vậy biên độ gia tốc của thành phần dao động tần số riêng sẽ rất lớn so với biên độ gia tốc của thành phần dao động cỡng bức Do đó ảnh hởng của

dao động tần số riêng đối với kết cấu à rất lớn so với dao động cỡng bức Để lminh hoạ cho điều này trên Hình 2.8 và Hình 2.9 tơng ứng dịch chuyểnlà và gia tốc của kết cấu có tần số dao động riêng là 1,1Hz chịu kích động điều hoà với tần số lực kích động 0,3Hz

Hình 2.8 Dịch chuyển của kêt cấu

Hình 2.9 G ia tốc của kết cấu

Nh trên Hình 2 biên độ gia tốc dao động tần số riêng9 là rất lớn so với gia tốc dao động cỡng bức, do vậy thành phần dao động tần số riêng là rất nguy hiểm đối với con ngời hay đồ vật trên đó Vậy vần đề nghiên cứu để tìm ra phơng pháp giảm đợc tối đa thành phần dao động tần số riêng cho công trình là rất cần thiềt và quan trọng.

Quan sát biểu thức nghiệm (2.42) ta thấy rằng chỉ có thành phần dao động tự

do của hệ mới phụ thuộc vào điều kiện đầu Để thấy đợc ảnh hởng của điều kiện đầu đến biên độ dao động tự do, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của thành phần dao động tự do phụ thuộc vào điều kiện đầu Đồ thị Hình 2.10 dới đây cho ta thấy sự biến đổi của ˆϕh theo điều kiện đầu ϕ ϕ0,  , với các tham số của 0

hệ η=0.1, ξ=0.0064, P=1

Hình 2.10 Đồ thị mô tả sự biến thiên của ϕˆh theo điều kiện đầu

Hình 2.11.a Sự phụ thuộc của ˆϕhvào

điều kiện đầu ϕ0với ϕ0 =0.1

7THình 2.11.b7T Sự phụ thuộc của ˆϕhvào

điều kiện đầu ϕ với 0 ϕ0 =0.2Nh vậy từ đồ thị Hình 2.10 và Hình 2.11 ta thấy rằng tồn tại một điều kiện đầu khi đó biên độ của dao động tự do sẽ đạt giá trị nhỏ nhất Theo (2.43) ta có biên

độ của thành phần dao động tự do của hệ

PC

η ϕ

η ϕ

ξη ϕ

Hình 2.12 Nếu hệ bị kích động với điều kiện đầu không thoả mãn (2.47) thì

đáp ứng sẽ có dạng nh Hình 2.13

Hình 2.12 Dao động của hệ với điều kiện đầu thoả mãn (2.47)

Hình 2.13 Dao động của hệ với điều kiện đầu không thoả mãn (2.47)

Trong thực tế các công trình thờng chịu tải trọng kích động với tần số thấp,

do vậy việc làm giảm đợc thành phần dao động tự do với tần số cao là rất quan trọng Nếu nh hệ dao động với điều kiện đầu thoả mãn điều kiện (2.47) thì hệ sẽ chỉ dao động thuần tuý với tần số của lực kích động Tuy nhiên, trạng thái đầu của hệ là ngẫu nhiên mà ta không thể lựa chọn hay đa về trạng thái mong muốn

Kết luận chơng 2

Chơng này nghiên cứu hệ có mô hình con lắc ngợc một bậc tự do ứng với các trờng hợp không cản, có cản Tìm ra các đáp ứng của hệ trong các trờng hợp không chịu lực kích động và chịu kích động điều hoà Từ đó xem xét những yếu tố nguy hiểm cần đợc hạn chế, tạo cơ sở khoa học cho việc thiết

kế TMD