Trang 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI --- TẠ THỊ THANH MAI HÀM CHÍNH QUY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG ĐẠI SỐ CLIFFORD PHỤ THUỘC THAM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Trang 2 Lời cảm ơnĐể h
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - TẠ THỊ THANH MAI HÀM CHÍNH QUY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG ĐẠI SỐ CLIFFORD PHỤ THUỘC THAM SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC CHUN NGÀNH: TỐN CƠNG NGHỆ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ HÙNG SƠN Hà Nội - 2009 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 17051113871741000000 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, đánh dấu việc hồn thành chương trình đào tạo Thạc sĩ Tốn cơng nghệ mình, lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giáo sư - Tiến sĩ Khoa học Lê Hùng Sơn, người thầy tận tâm bảo tác giả suốt trình theo học cao học Giáo sư người định hướng nghiên cứu, đưa dẫn quý báu từ ý tưởng luận văn hình thành lúc thảo hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn Giáo sư Wolfgang Tutschke cho lời khuyên bổ ích cho phép sử dụng số tài liệu tham khảo quan trọng giúp hoàn thiện kết luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn động viên giúp đỡ thầy giáo, bạn bè đồng nghiệp khoa Tốn - Tin ứng dụng, seminar "Phương trình vi phân đạo hàm riêng" tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi trao đổi ý kiến đóng góp q suốt q trình cơng tác, học tập tác giúp luận văn hoàn thành Tác giả: Tạ Thị Thanh Mai Mở đầu Trong hai thập kỷ gần đây, giải tích Clifford nhánh nghiên cứu phát triển mạnh mẽ nhanh chóng trở thành cơng cụ quan trọng có nhiều ứng dụng từ nội toán học đến vấn đề vật lý hay kỹ thuật Đặc biệt thời gian gần đây, giải tích Clifford có vấn đề thời quan tâm số nhóm nghiên cứu công bố kết đại số Clifford phụ thuộc tham số Đại số Clifford cổ điển định nghĩa cấu trúc quan hệ X = −1(i = 1, n) i X X + X X = 0(j, k = 1, n, j 6= k ) j k k tổng quát hóa bởi: X k i i X X + X X j k k j j = −α i (x)(i = 1, n) = 2γjk (x)(j, k = 1, n, j 6= k ) Bước phát triển mang lại kết tổng quát giải tích Clifford Ở đây, việc xem xét hàm quy nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số lĩnh vực nghiên cứu bắt đầu có tính thời cao Vì lý trên, đề tài chọn "Hàm quy nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số ứng dụng" Cấu trúc luận văn gồm ba chương: • Chương Đại số Clifford với tham số • Chương Hàm quy nhận giá trị Clifford với tham số • Chương Cơng thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số Chương trình bày việc xây dựng đại số Clifford phụ thuộc tham số từ cấu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dụng ý đối chiếu so sánh số tính chất đại số Chương trình bày khái niệm hàm quy nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận khái niệm hàm quy mối liên quan với toán tử đại số quen thuộc Kết chương xây dựng nhân Cauchy đại số Clifford phụ thuộc tham số, ngược lại phản ví dụ chứng tỏ không tồn hàm nhân Cauchy trường hợp xét với khoảng cách Euclid Chương trình bày phát triển công thức Cauchy-Pompeiu từ đại số biết đến đại số Clifford phụ thuộc tham số thông qua phương pháp quen thuộc vận dụng cơng thức Green-Gauss tính chất quy hàm nhân Cauchy đại số Clifford phụ thuộc tham số Ý tưởng xuyên suốt cách bố cục trình bày luận văn cố gắng dẫn đến kết đẹp đường tự nhiên Những kết bước đầu đạt luận văn gợi hướng nghiên cứu có triển vọng phát triển tính chất, cơng thức, định lý từ đại số Clifford cổ điển đến đại số Clifford phụ thuộc tham số Chúng hy vọng vấn đề cịn tiếp tục thầy giáo, bạn bè đồng nghiệp, học viên, nghiên cứu sinh quan tâm nghiên cứu thời gian tới Mặc dù có nhiều nỗ lực tác giả, song chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè đồng nghiệp, độc giả quan tâm Hà Nội, tháng 8/2009 Mục lục Đại số Clifford với tham số 1.1 1.2 Định nghĩa tính chất đại số Clifford 1.1.1 Định nghĩa đại số Clifford 1.1.2 Đại số Clifford C`(n) 11 Đại số Clifford với tham số 16 1.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2 Một số ví dụ 17 1.2.3 Đại số Clifford "exotic" 19 Hàm quy nhận giá trị Clifford có tham số 21 2.1 Định nghĩa hàm quy đại số Clifford 21 2.1.1 Hàm nhận giá trị đại số Clifford 21 2.1.2 Một số không gian hàm nhận giá trị đại số Clifford 21 2.1.3 Toán tử Dirac 23 2.1.4 Tốn tử Cauchy-Riemann giải tích Clifford 28 2.2 Ví dụ hàm quy đại số cụ thể 28 2.2.1 Hàm quy khơng gian phức C 28 2.2.2 Hàm quy khơng gian Quaternion H 30 MỤC LỤC 2.2.3 2.3 Hàm quy khơng gian C`(n) 35 Hàm quy đại số Clifford có tham số 37 2.3.1 2.3.2 2.3.3 Hàm nhân Cauchy C`(n) 37 Biến đổi Todorescu 40 Ví dụ hàm nhân A2 (α, β, γ ) với khoảng cách Euclid 47 2.3.4 Hàm nhân Cauchy đại số Clifford có tham số 53 Công thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số 3.1 60 Cơng thức tích phân Green-Gauss cho hàm nhận giá trị Clifford 60 3.1.1 Cơng thức tích phân Gauss cho tốn tử Cauchy - Riemann 60 3.1.2 Công thức Green-Gauss cho toán tử CauchyRiemann D 62 3.2 Công thức Cauchy-Pompeiu giải tích Clifford 64 3.2.1 Cơng thức Cauchy-Pompeiu giải tích phức 64 3.2.2 Cơng thức Cauchy-Pompeiu giải tích Clifford 66 3.3 Công thức Cauchy-Pompeiu đại số Clifford với tham số 67 Chương Đại số Clifford với tham số 1.1 1.1.1 Định nghĩa tính chất đại số Clifford Định nghĩa đại số Clifford Định nghĩa 1.1 Cho e1 , e2, , e n sở Rn e0 vector đơn vị thỏa mãn: e0 ei = eie = e i∀i = 1, 2, , n ei ej + ej ei = e20 = e 21 = = e2p = e2p+1 = e2p+2 = = e2p+q = −1, p + q = n Ta thu được: e0 , e1 , , e n ; e1 e2 , , en−1en; e e2 e3 , , e n−2en−1 en; ; e1 e2 en sở cấu trúc đại số, ký hiệu C`p,q với phần tử đơn vị e0 Ở phép cộng phép nhân với số thực định nghĩa thông thường theo tọa độ Hơn nữa, thêm điều kiện e1 e2 en = ±1 p − q ≡ 1(mod4) ta thu cấu trúc đại số gọi đại số Clifford phổ dụng C`p,q Chương Đại số Clifford với tham số Chú ý 1.1 a) Rõ ràng C` p,q không gian vector thực với sở gồm 2n phần tử (vì từ định nghĩa 1.1 ta bỏ qua bình phương ei ) Đại số Clifford khơng giao hốn với n > (do ei ej = −ej ei) có tính chất kết hợp phân phối Nếu bình phương số thành phần sở 0, ta nhận cấu trúc đại số mới, gọi đại số Clifford - Grassmann b) Ký hiệu lại sở C`p.q : e i 1i2 i p := e i1 ei2 eip dùng số A cho tập Pn, Pn = {1, 2, , n}, số Clifford x viết dạng: x= X xA eA A∈P n Ký hiệu |A| số phần tử A c) Với p = 0, q = n, ta ký hiệu C `(n) := C ` 0,n d) Đại số Clifford khơng gian vector thực V hiểu theo nghĩa dạng toàn phương Q(x) V Khi phép nhân đơn giản biểu thức: x2 = Q(x) Với trường hợp đại số Clifford xác định định nghĩa 1.1 ta có: Q(x) = x 21 + x 22 + + x2p − x2p+1 − x2p+2 − − x2p+q (p + q = n) Thật vậy: e2i = Q(ei ) = 1(i = 1, p) e2j = Q(ej ) = −1(j = p + 1, p + q ) (ei + ej )2 = Q(e i + ej ) = e 2i + e2j Chương Đại số Clifford với tham số e2i + e iej + e jei + e2j = e2i + e2j Từ e ie j + ej e i = Như cặp (V, Q) xác định đại số Clifford Ví dụ 1.1 a) n = 0, C `0,0 có sở e0 ∈ R Với x ∈ R, x = x.e0 ta có C`0,0 trường số thực R b) n = 1, p = 0, C ` 0,1 có sở e0, e1 e21 = −1 Ký hiệu e = 1, e1 = i Với x ∈ C ` 0,1 ta có x = x1 + x2 i Ta nhận C` 0,1 trường số phức C c) Đại số số đối ngẫu: n = 1, p = 1, C ` 1,0 có sở e0 , e1 thỏa mãn e21 = Với x ∈ C `1,0 , x = x1 e0 + x2.e Trong C`1,0 có ước 0, (1 + e1 )(1 − e1 ) = − e1 + e khác Ta gọi C` 1,0 đại số đối ngẫu d) Đại số số thực Quaternion: n = 2, p = 0, C `0,2 có sở e0 = 1, e1 , e2 , e 1e với e 21 = e22 = −1 Với x ∈ C `2,0 , x = x1 + x2 e1 + x 3.e2 + x e12 Ta thấy sở C`2,0 tương ứng với sở H với luật tính toán Thật vậy, ký hiệu e3 = e1 e2 sở C`2.0 thỏa mãn: