Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC LỘC HỆ BOUSSINESQ/BOUSSINESQ TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2013 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC LỘC HỆ BOUSSINESQ/BOUSSINESQ TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chuyên ngành: TOÁN HỌC TÍNH TỐN Mã số : 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS CUNG THẾ ANH Hà Nội - Năm 2013 z Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Bảng kí hiệu vii Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq 1.1 Các phương trình Euler mơ hình đầy đủ 1.2 Khai triển tiệm cận toán tử 1.3 Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq 11 2.1 Tính đặt toán giá trị biên ban đầu trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = 11 2.2 Xấp xỉ số toán giá trị biên ban đầu trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = 14 Kết luận 20 Tài liệu tham khảo 21 i z luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Lời nói đầu Sự lan truyền sóng biên độ nhỏ bề mặt chất lỏng lí tưởng (trên đáy nằm ngang) tác dụng trọng lực mô tả họ hệ Boussinesq [8], (1 − εa2 ∆)∂t ζ + ∇ · V + ε(∇ · (ζV ) + a1 ∆∇ · V ) = 0, (1) (1 − εa4 ∆)∂t V + ∇ζ + ε( ∇|V |2 + a3 ∆∇ζ) = 0, với a1 , a2 , a3 , a4 xác định sau: a1 = θ − a3 = − θ2 µ, λ, a2 = a4 = θ2 − (1 − λ), − θ2 (1 − µ), ≤ θ ≤ λ, µ ∈ R ba tham số Đại lượng ζ(X, t) + h0 , X ∈ Rd (d = 1, 2) độ sâu toàn phần chất lỏng điểm X thời điểm t, h0 độ sâu nước khơng xốy Biến V (X, t) vận tốc ngang điểm (X, z) = (X, θh0 ) thời điểm t Xấp xỉ Boussinesq có hiệu lực ε = a/h0 1, λ/h0 1, a cao độ lớn mức h0 , λ bước sóng điển hình Các hệ Boussinesq mơ tả chuyển động sóng dài có biên độ nhỏ bề mặt chất lỏng lí tưởng Hơn nữa, đề cập [8], từ hệ (1), ta thu nhiều hệ quen thuộc vật lí tốn như: hệ Boussinesq cổ điển, hệ Kaup, hệ Bona-Smith, hệ cặp BBM, hệ cặp KdV, hệ cặp KdV-BBM, hệ cặp BBM-KdV, Tính đặt địa phương toán Cauchy toán giá trị biên ban đầu cho hệ dạng Boussinesq nghiên cứu nhiều nhà toán học (xem [5, 7, 9, 13, 14, 15, 16, 19]) Trong đó, Bona, Colin Lannes [10] chứng minh nghiệm hệ đề cập đến cho xấp xỉ tốt nghiệm phương trình Euler khoảng thời gian dài cỡ 1/ε Gần đây, kết mở rộng trường hợp đáy không phẳng Chazel [12] Song song với lí thuyết sóng nước bề mặt, lí thuyết tốn học sóng mặt phân cách hai lớp chất lỏng không trộn lẫn với mật độ khác có sức hút thú vị lí tưởng đơn giản lan truyền sóng iii luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 z luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Lời nói đầu phức tạp thách thức việc mơ hình hóa, vấn đề định tính xấp xỉ số nghiệm xuất nghiên cứu hệ Vì vậy, vài thập kỉ gần đây, lí thuyết sóng nhiều nhà tốn học nhà vật lí nghiên cứu, đặc biệt tính đặt mơ hình tiệm cận Một bước tiến quan trọng lí thuyết sóng đạt vào năm 2008 Bona, Lannes Saut [11] Họ đề xuất phương pháp tổng quát thiết lập cách hệ thống cho lớp lớn chỉnh thể, mơ hình tiệm cận cho lan truyền sóng mặt phân cách hai lớp chất lỏng không trộn lẫn với mật độ khác nhau, ảnh hưởng trọng lực, mặt cứng, đáy phẳng không xuất sức căng bề mặt Họ thiết lập vài mơ hình cổ điển số mơ hình Họ chứng minh mơ hình tiệm cận tương thích với hệ phương trình Euler đầy đủ Các kết sau mở rộng sang trường hợp đáy khơng phẳng có sức căng bề mặt [1] Trong luận văn này, tác giả tìm hiểu tốn sóng với đáy phẳng không xuất sức căng bề mặt dịng có cấu trúc Boussinesq miền chất lỏng Hệ thống bao gồm chất lỏng có độ sâu d1 với mật độ %1 nằm lớp chất lỏng khác có độ sâu d2 với mật độ %2 > %1 Đặt a biên độ điển hình biến dạng mặt phân cách λ bước sóng điển hình Ta đưa tham số sau: γ := %1 , %2 δ := d1 , d2 ε := a , d1 d21 , λ2 µ := ε2 := a = εδ, d2 µ2 := d22 µ = 2 λ δ Dựa theo cách tiếp cận [2, 11], ε ∼ µ ∼ ε2 ∼ µ2 1, theo biến không thứ nguyên, mô hình đầy đủ tương thích với hệ Boussinesq/Boussinesq đây: δ2 − γ ∇ · (ζvα ) + µa1 ∇ · ∆vα = (1 − µa2 ∆)∂t ζ + γ + δ ∇ · vα + ε (γ + δ)2 (2) ε δ2 − γ (1 − µa ∆)∂ v + (1 − γ)∇ζ + ∇|v | + µa (1 − γ)∆∇ζ = 0, t α α 2 (γ + δ) ζ độ lệch so với mặt phân cách trạng thái tĩnh, vα = (1 − µα∆)−1 v với v "biến vận tốc" số a1 , a2 , a3 , a4 cho bởi: a1 = (1 − α1 )(1 + γδ) − 3δα(γ + δ) 3δ(γ + δ) a4 = α(1 − α2 ) a3 = αα2 , , a2 = γα1 , 3(γ + δ) Quan hệ phân tán liên kết với hệ (2) 2 ω = |k| ( γ+δ − µa1 |k|2 )(1 − γ)(1 − µa3 |k|2 ) (1 + µa2 |k|2 )(1 + µa4 |k|2 ) iv luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 z luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Lời nói đầu Do đó, hệ (2) đặt tuyến tính a2 , a4 ≥ a1 , a3 ≤ Khi γ = 0, δ = 1, ta khơi phục lại hệ Boussinesq (1) cho sóng bề mặt Hệ Boussinesq/Boussinesq thiết lập lần [11] đáy phẳng, sau [2] hồn cảnh tổng qt đáy khơng phẳng có sức căng bề mặt Tính đặt địa phương toán Cauchy hệ Boussinesq/Boussinesq nghiên cứu trọn vẹn cơng trình [2, 3] Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tính đặt xấp xỉ số nghiệm toán giá trị biên ban đầu hệ Boussinesq/Boussinesq (2) trường hợp đặc biệt: a2 , a4 > 0, a1 = a3 = Ngoài lời cảm ơn, lời nói đầu, bảng kí hiệu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq Dựa vào hai báo [2] [11] mục Tài liệu tham khảo, chương thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq cho tốn sóng với đáy phẳng khơng xuất sức căng bề mặt dịng có cấu trúc Boussinesq miền chất lỏng Chương 2: Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq Chương chứng minh tính đặt (sự tồn nghiệm) đưa phương pháp xấp xỉ số nghiệm toán giá trị biên ban đầu hệ Boussinesq/Boussinesq thiết lập Chương trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = Các kết chương hoàn thiện trước cơng bố (xem [4]) Các kí hiệu: Kí hiệu X biến d-chiều theo chiều ngang (d = 1, 2) Vì vậy, X = x d = X = (x, y) d = 2, z biến theo chiều dọc Kí hiệu ∇ ∆ toán tử gradient toán tử Laplace, ∇X,z √ ∆X,z phiên (d + 1)-biến Với µ > 0, ta kí hiệu ∇µX,z = ( µ∇T , ∂z )T ∆µX,z = ∇µX,z · ∇µX,z = µ∆X + ∂z2 Nếu f u hai hàm xác định Rd , ta dùng kí hiệu nhân tử Fourier f (D)u xác định biến đổi Fourier: f\ (D)u = f u b Phép chiếu trực giao trường véc tơ gradient L2 (Rd )d kí hiệu v luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 z luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Lời nói đầu Π xác định cơng thức Π=− ∇∇T |D|2 (Π = Id d = 1) Toán tử Λ = (1 − ∆)1/2 xác định tương đương kí hiệu nhân tử Fourier Λ = (1 + |D|2 )1/2 Hai nhân tử Fourier Tµ Tµ2 xác định sau: Tµ = tanh(∂µ |D|), Tµ2 = tanh(∂µ2 |D|), µ, µ2 > |D| = (−∆)1/2 vi luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 z luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Bảng kí hiệu Lp (Ω) W k,p (Ω) H k (Ω) Hk (Ω) H −k (Ω) H−k (Ω) H0k (Ω) Hk0 (Ω) (., ) ··· không gian Lebesgue, ≤ p ≤ ∞ không gian Sobolev không gian Sobolev W k,2 (Ω) khơng gian tích H k (Ω) × H k (Ω) không gian đối ngẫu H k (Ω) không gian đối ngẫu Hk (Ω) không gian hàm H k (Ω) mà "bằng không biên ∂Ω" khơng gian tích H0k (Ω) × H0k (Ω) tích vơ hướng L2 bất đẳng thức ≤ C · · · , C số dương độc lập với ε vii luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 z luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq 1.1 Các phương trình Euler mơ hình đầy đủ Ta nghiên cứu tốn sóng trong trường hợp đáy phẳng khơng xuất sức căng bề mặt Mơ hình tốn (hình 1) bao gồm lớp chất lỏng có độ sâu d1 mật độ %1 nằm lớp chất lỏng khác có độ sâu d2 mật độ %2 > %1 Đặt Ωit miền chiếm chất lỏng i (i = 1, 2) thời điểm t, Γ1 := {z = 0} , Γ2 := {z = −d1 − d2 } hai biên cứng Γt := {z = −d1 + ζ(t, X)} mặt phân cách hai lớp chất lỏng Theo [11], luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 z luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq chuyển động sóng trong, với hai hàm vận tốc φ1 , φ2 mô tả hệ phương trình: ∆X,z φi = Ωit (1.1) Giả thiết mật độ %i (i = 1, 2) hai chất lỏng số, ta có hai phương trình Bernouilli, luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq Để tránh mặt phân cách chạm vào biên ngang, ta giả sử tồn số dương H1 H2 cho − εζ ≥ H1 Rd , (1.10) + εδζ ≥ H2 Rd (1.11) Để viết (1.9) theo biến không thứ nguyên, theo [11], ta đưa định nghĩa tốn tử Dirichlet-Neumann khơng thứ ngun Gµ [εζ] tốn tử mặt phân cách khơng thứ ngun Hµ,δ [εζ] Định nghĩa 1.1.1 Cho ζ ∈ W 2,∞ (Rd ) cho (1.10) thỏa mãn cho ψ1 ∈ H 3/2 (Rd ) Nếu φ1 nghiệm H (Ω1 ) toán giá trị biên ( µ∆φ1 + ∂z2 φ1 = Ω1 , (1.12) ∂z φ1 |z=0 = 0, φ1 |z=−1+εζ(X) = ψ1 , Gµ [εζ]ψ1 ∈ H 1/2 (Rd ) xác định Gµ [εζ]ψ1 = −µε∇ζ · ∇φ1 |z=−1+εζ(X) + ∂z φ1 |z=−1+εζ(X) q = + ε2 |∇ζ|2 ∂n φ1 |z=−1+εζ(X) , ∂n φ1 |z=−1+εζ(X) đạo hàm đối chuẩn tắc liên kết với tốn tử elliptic µ∆φ1 + ∂z2 φ1 Định nghĩa 1.1.2 Cho ζ ∈ W 2,∞ (Rd ) cho (1.10) (1.11) thỏa mãn cho ψ1 ∈ H 3/2 (Rd ) Nếu φ2 nghiệm H (Ω2 ) (sai khác số) tốn giá trị biên µ∆φ2 + ∂z2 φ2 = Ω2 , ∂ φ | n z=−1− = 0, δ (1.13) µ [εζ]ψ , q ∂ φ | = G n z=−1+εζ(X) + ε2 |∇ζ|2 Hµ,δ [εζ]ψ1 ∈ H 1/2 (Rd ) xác định Hµ,δ [εζ]ψ1 = ∇(φ2 |z=−1+εζ(X) ) Phương trình (1.9) viết theo biến khơng thứ nguyên sau e ψe1 = 0, ∂ ζe − Gµ [εζ] et µ (1.14) e ψe1 − γ∇ψe1 ) + (1 − γ)∇ζe + ε ∇(|Hµ,δ [εζ] e ψe1 |2 − γ|∇ψe1 |2 ) ∂et (Hµ,δ [εζ] µ,δ e e +ε∇N (εζ, ψ1 ) = 0, luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 z luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq e ψe1 ) := µ N µ,δ (ζ, e ψe1 + ∇ζ · ∇ψe1 )2 − ( Gµ [ζ] e ψe1 + ∇ζe · Hµ,δ [ζ] e ψe1 )2 γ( µ1 Gµ [ζ] µ e )2 2(1 + |∇ζ| Ta đưa hệ thống mô hình phương trình sóng trong chỉnh thể Boussinesq/Boussinesq ε ∼ µ ∼ ε2 ∼ µ2 cách thiết lập dạng tiệm cận phương trình (1.14) chỉnh thể Mơ hình tiệm cận hệ (d + 1) phương trình theo biến ζ "biến vận tốc" v xác định v := Hµ,δ [εζ]ψ1 − γ∇ψ1 (1.15) (Với tốn sóng nước bề mặt thông thường khôi phục việc cho γ = δ = 1, v vận tốc ngang bề mặt thoáng) Ta thiết lập phương trình sóng (1.14) tương thích với mơ hình tiệm cận cho (ζ, v) Định nghĩa 1.1.3 Các phương trình sóng (1.14) tương thích với hệ S (d + 1) phương trình cho ζ v với nghiệm đủ trơn (ζ, ψ1 ) (1.14) cho (1.10) (1.11) thỏa mãn, cặp (ζ, v = Hµ,δ [εζ]ψ1 − γ∇ψ1 ) lời giải S với số dư nhỏ gọi độ xác mơ hình tiệm cận 1.2 Khai triển tiệm cận toán tử Từ Bổ đề Chú ý 11 [11], ta có khai triển tiệm cận tốn tử Gµ [εζ] Mệnh đề 1.2.1 Cho s > d/2 ζ ∈ H s+3/2 (Rd ) cho (1.10) thỏa mãn Khi với µ ∈ (0, 1) ψ cho ∇ψ ∈ H s+5/2 (Rd ), ta có µ µ G [εζ]ψ − µ∇ · ((1 − εζ)∇ψ) + ∇ · ∆∇ψ ≤ µ3 C(|ζ| s+3/2 , |∇ψ| s+5/2 ) H H s H theo ε ∈ [0, 1] Bài toán giá trị biên (1.13) đóng vai trị quan trọng việc phân tích tốn tử Hµ,δ [εζ] Ta biến đổi toán (1.13) thành toán giá trị biên, số biến thiên phẳng S = Rd × (−1, 0) sử dụng vi phôi z σ : S → σ(X, z) = X, (1 + εδζ) + (−1 + εζ) δ Do Mệnh đề 2.7 [17], ta có φ2 nghiệm (1.13) φ2 := φ2 ◦ σ nghiệm ∇µ2 · Qµ2 [ε2 ζ]∇µ2 φ = S, X,z X,z (1.16) ∂n φ |z=0 = Gµ [εζ]ψ1 , ∂n φ |z=−1 = 0, 2 δ luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 z luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq với ! √ (1 + ε2 ζ)Id×d − µ2 ε2 (z + 1)∇ζ √ 1+µ2 ε22 (z+1)2 |∇ζ|2 − µ2 ε2 (z + 1)∇ζ T 1+ε2 ζ Qµ2 [ε2 ζ] = Khi đó, khai triển tiệm cận Hµ,δ [εζ]ψ1 = ∇(φ2 |z=0 ) thu cách tìm nghiệm xấp xỉ φapp (1.16) dùng quan hệ tương đương Hµ,δ [εζ]ψ1 ∼ ∇(φapp |z=0 ) (Mệnh đề [11]) Đầu tiên, ta tìm nghiệm xấp xỉ φapp (1.16) Ta phân tích ma trận Qµ2 [ε2 ζ] sau: Qµ2 [ε2 ζ] = Q0 + ε2 Q1 + ε22 Q2 , Id×d , √ ζId×d − µ2 (z + 1)∇ζ , √ −ζ − µ2 (z + 1)∇ζ T Q0 = Q1 = 0 Q2 = ζ + µ2 (z + 1)2 |∇ζ|2 , + ε2 ζ tìm φapp dạng φapp = φ(0) + ε2 φ(1) Ta có 2 ∇µX,z · Qµ2 [ε2 ζ]∇µX,z φapp 2 = ∇µX,z · (Q0 + ε2 Q1 + ε22 Q2 )∇µX,z (φ(0) + ε2 φ(1) ) 2 2 = ∆µX,z φ(0) + ε2 (∆µX,z φ(1) + ∇µX,z · Q1 ∇µX,z φ(0) ) + O(ε22 ), z = z = −1, φapp ∂n φapp = ez · Qµ2 [ε2 ζ]∇µX,z = ez · (Q0 + ε2 Q1 + ε22 Q2 )∇µX,z (φ(0) + ε2 φ(1) ) = ∂z φ(0) + ε2 (∂z φ(1) + ez · Q1 ∇µX,z φ(0) ) + O(ε22 ) Do đó, từ Mệnh đề (1.2.1), ta có µ µ µ2 G [εζ]ψ1 = ∇ · (h1 ∇ψ1 ) + ∇ · (∆∇ψ1 ) + O δ δ 3δ µ3 δ , h1 = − εζ , điều suy φapp nghiệm xấp xỉ (1.16) có cấp luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 z luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq xác O(ε22 + µ3 /δ) φ(0) φ(1) nghiệm toán giá trị biên sau: ( µ ∆X,z φ(0) = 0, µ ∂z φ(0) |z=0 = ∇ · (h1 ∇ψ1 ), δ ∂z φ(0) |z=−1 = 0, µ 2 ∆ φ(1) = −∇µX,z φ(1) · Q1 ∇µX,z φ(0) , X,z µ ∇ · (∆∇ψ1 ) − ez · Q1 ∇µX,z φ(0) |z=0 , 3δ = −ez · Q1 ∇µX,z φ(0) |z=−1 ∂z φ(1) |z=0 = ∂z φ(1) |z=−1 Ta có φ (0) √ √ cosh( µ2 (z + 1) |D|) (X, z) = µ ∇ · (h1 ∇ψ1 ) √ √ cosh( µ2 |D|) |D| tanh( µ2 |D|) 2 [(z + 1)ζ∂z φ(0) ], − ∇µX,z · Q1 ∇µX,z φ(0) = ∆µX,z φ(0) |z=0 = [µ2 ∇ · (ζ∇φ(0) ) + ∂z ((z + 1)ζ∂z φ(0) )]|z=0 , − ez · Q1 ∇µX,z − ez · Q1 ∇µX,z φ(0) |z=−1 = Điều kéo theo φ(1) = (z + 1)ζ∂z φ(0) + u, u nghiệm tốn giá trị biên ∆µX,z u = 0, ∂z u|z=0 = µ ∇ · (∆∇ψ1 ) + µ2 ∇ · (ζ∇φ(0) ), ∂z u|z=−1 = 3δε2 Bài tốn có nghiệm (xem [3], [11]) u(X, z) = √ cosh( µ2 (z + 1) |D|) √ √ cosh( à2 |D|) |D| tanh( à2 |D|) à2 ì √ ∇ · (∆∇ψ1 ) + µ2 ∇ · (ζ∇φ(0) ) 3δε2 µ2 Trong chỉnh thể Boussinesq/Boussinesq, ta có µ ∼ ε ∼ µ2 ∼ ε2 nên + 13 µ2 |D|2 1 ∼ ∼ , √ √ √ tanh( µ2 |D|) µ2 |D| − µ2 |D|2 µ2 |D| − 32 µ2 |D|2 1 ∼ √ ∼ √ √ sinh(2 µ2 |D|) µ2 |D| + µ2 |D|2 µ2 |D| Thay vào biểu thức cho ∇(φapp |z=0 ), ∇(φapp |z=0 ) = [∇φ(0) + (z + 1)∇(ζ∂z φ(0) ) + ∇u]|z=0 , luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 z luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30luan.van.thac.si.he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq ta thu 1 ∇(φapp |z=0 ) = − δ∇ψ1 − µδ − ∆∇ψ1 + ε2 (1 + δ)Π(ζ∇ψ1 ) + O(ε2 ) δ Do đó, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.2.2 [3] Cho t0 > d/2, s ≥ t0 + 1/2, ζ ∈ H s+3/2 (Rd ) cho (1.10) (1.11) thỏa mãn Khi đó, với ψ1 cho ∇ψ1 ∈ H s+5/2 (Rd ), ta có h i 1
Ngày đăng: 21/01/2024, 17:35
Xem thêm:
