Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC LỘC HỆ BOUSSINESQ/BOUSSINESQ TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC LỘC HỆ BOUSSINESQ/BOUSSINESQ TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chun ngành: TỐN HỌC TÍNH TỐN Mã số : 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS CUNG THẾ ANH Hà Nội - Năm 2013 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Bảng kí hiệu vii Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq 1.1 Các phương trình Euler mơ hình đầy đủ 1.2 Khai triển tiệm cận toán tử 1.3 Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq 11 2.1 Tính đặt toán giá trị biên ban đầu trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = 11 2.2 Xấp xỉ số toán giá trị biên ban đầu trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = 14 Kết luận 20 Tài liệu tham khảo 21 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Lời nói đầu Sự lan truyền sóng biên độ nhỏ bề mặt chất lỏng lí tưởng (trên đáy nằm ngang) tác dụng trọng lực mô tả họ hệ Boussinesq [8], (1 − εa2 ∆)∂t ζ + ∇ · V + ε(∇ · (ζV ) + a1 ∆∇ · V ) = 0, (1) (1 − εa4 ∆)∂t V + ∇ζ + ε( ∇|V |2 + a3 ∆∇ζ) = 0, với a1 , a2 , a3 , a4 xác định sau: a1 = θ − a3 = − θ2 µ, λ, a2 = a4 = θ2 − (1 − λ), − θ2 (1 − µ), ≤ θ ≤ λ, µ ∈ R ba tham số Đại lượng ζ(X, t) + h0 , X ∈ Rd (d = 1, 2) độ sâu toàn phần chất lỏng điểm X thời điểm t, h0 độ sâu nước khơng xốy Biến V (X, t) vận tốc ngang điểm (X, z) = (X, θh0 ) thời điểm t Xấp xỉ Boussinesq có hiệu lực ε = a/h0 1, λ/h0 1, a cao độ lớn mức h0 , λ bước sóng điển hình Các hệ Boussinesq mơ tả chuyển động sóng dài có biên độ nhỏ bề mặt chất lỏng lí tưởng Hơn nữa, đề cập [8], từ hệ (1), ta thu nhiều hệ quen thuộc vật lí tốn như: hệ Boussinesq cổ điển, hệ Kaup, hệ Bona-Smith, hệ cặp BBM, hệ cặp KdV, hệ cặp KdV-BBM, hệ cặp BBM-KdV, Tính đặt địa phương tốn Cauchy toán giá trị biên ban đầu cho hệ dạng Boussinesq nghiên cứu nhiều nhà toán học (xem [5, 7, 9, 13, 14, 15, 16, 19]) Trong đó, Bona, Colin Lannes [10] chứng minh nghiệm hệ đề cập đến cho xấp xỉ tốt nghiệm phương trình Euler khoảng thời gian dài cỡ 1/ε Gần đây, kết mở rộng trường hợp đáy khơng phẳng Chazel [12] Song song với lí thuyết sóng nước bề mặt, lí thuyết tốn học sóng mặt phân cách hai lớp chất lỏng khơng trộn lẫn với mật độ khác có sức hút thú vị lí tưởng đơn giản lan truyền sóng iii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Lời nói đầu phức tạp thách thức việc mơ hình hóa, vấn đề định tính xấp xỉ số nghiệm xuất nghiên cứu hệ Vì vậy, vài thập kỉ gần đây, lí thuyết sóng nhiều nhà tốn học nhà vật lí nghiên cứu, đặc biệt tính đặt mơ hình tiệm cận Một bước tiến quan trọng lí thuyết sóng đạt vào năm 2008 Bona, Lannes Saut [11] Họ đề xuất phương pháp tổng quát thiết lập cách hệ thống cho lớp lớn chỉnh thể, mơ hình tiệm cận cho lan truyền sóng mặt phân cách hai lớp chất lỏng không trộn lẫn với mật độ khác nhau, ảnh hưởng trọng lực, mặt cứng, đáy phẳng không xuất sức căng bề mặt Họ thiết lập vài mơ hình cổ điển số mơ hình Họ chứng minh mơ hình tiệm cận tương thích với hệ phương trình Euler đầy đủ Các kết sau mở rộng sang trường hợp đáy khơng phẳng có sức căng bề mặt [1] Trong luận văn này, tác giả tìm hiểu tốn sóng với đáy phẳng không xuất sức căng bề mặt dịng có cấu trúc Boussinesq miền chất lỏng Hệ thống bao gồm chất lỏng có độ sâu d1 với mật độ %1 nằm lớp chất lỏng khác có độ sâu d2 với mật độ %2 > %1 Đặt a biên độ điển hình biến dạng mặt phân cách λ bước sóng điển hình Ta đưa tham số sau: γ := %1 , %2 δ := d1 , d2 ε := a , d1 d21 , λ2 µ := ε2 := a = εδ, d2 µ2 := d22 µ = 2 λ δ Dựa theo cách tiếp cận [2, 11], ε ∼ µ ∼ ε2 ∼ µ2 1, theo biến khơng thứ ngun, mơ hình đầy đủ tương thích với hệ Boussinesq/Boussinesq đây: δ2 − γ ∇ · (ζvα ) + µa1 ∇ · ∆vα = (1 − µa2 ∆)∂t ζ + γ + δ ∇ · vα + ε (γ + δ)2 (2) ε δ2 − γ (1 − µa ∆)∂ v + (1 − γ)∇ζ + ∇|v | + µa (1 − γ)∆∇ζ = 0, t α α 2 (γ + δ) ζ độ lệch so với mặt phân cách trạng thái tĩnh, vα = (1 − µα∆)−1 v với v "biến vận tốc" số a1 , a2 , a3 , a4 cho bởi: a1 = (1 − α1 )(1 + γδ) − 3δα(γ + δ) 3δ(γ + δ) a4 = α(1 − α2 ) a3 = αα2 , , a2 = γα1 , 3(γ + δ) Quan hệ phân tán liên kết với hệ (2) 2 ω = |k| ( γ+δ − µa1 |k|2 )(1 − γ)(1 − µa3 |k|2 ) (1 + µa2 |k|2 )(1 + µa4 |k|2 ) iv TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Lời nói đầu Do đó, hệ (2) đặt tuyến tính a2 , a4 ≥ a1 , a3 ≤ Khi γ = 0, δ = 1, ta khôi phục lại hệ Boussinesq (1) cho sóng bề mặt Hệ Boussinesq/Boussinesq thiết lập lần [11] đáy phẳng, sau [2] hồn cảnh tổng qt đáy khơng phẳng có sức căng bề mặt Tính đặt địa phương tốn Cauchy hệ Boussinesq/Boussinesq nghiên cứu trọn vẹn cơng trình [2, 3] Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tính đặt xấp xỉ số nghiệm toán giá trị biên ban đầu hệ Boussinesq/Boussinesq (2) trường hợp đặc biệt: a2 , a4 > 0, a1 = a3 = Ngồi lời cảm ơn, lời nói đầu, bảng kí hiệu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq Dựa vào hai báo [2] [11] mục Tài liệu tham khảo, chương thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq cho tốn sóng với đáy phẳng không xuất sức căng bề mặt dịng có cấu trúc Boussinesq miền chất lỏng Chương 2: Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq Chương chứng minh tính đặt (sự tồn nghiệm) đưa phương pháp xấp xỉ số nghiệm toán giá trị biên ban đầu hệ Boussinesq/Boussinesq thiết lập Chương trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = Các kết chương hồn thiện trước cơng bố (xem [4]) Các kí hiệu: Kí hiệu X biến d-chiều theo chiều ngang (d = 1, 2) Vì vậy, X = x d = X = (x, y) d = 2, z biến theo chiều dọc Kí hiệu ∇ ∆ toán tử gradient toán tử Laplace, ∇X,z √ ∆X,z phiên (d + 1)-biến Với µ > 0, ta kí hiệu ∇µX,z = ( µ∇T , ∂z )T ∆µX,z = ∇µX,z · ∇µX,z = µ∆X + ∂z2 Nếu f u hai hàm xác định Rd , ta dùng kí hiệu nhân tử Fourier f (D)u xác định biến đổi Fourier: f\ (D)u = f u b Phép chiếu trực giao trường véc tơ gradient L2 (Rd )d kí hiệu v TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 1 µ,δ H [εζ]ψ1 − −δ∇ψ1 − µδ − ∆∇ψ1 + ε2 (1 + δ)Π(ζ∇ψ1 ) s δ H 5/2 2√ ≤ µ + ε2 µ C √ µ2 1 max max , ,δ , µ2 , |ζ|H s+3/2 H1 H2 |∇ψ1 |H s+5/2 Ước lượng theo ε ∈ [0, 1], µ ∈ (0, 1) δ ∈ (0, δ max ) cho µ2 = µ/δ ∈ (0, µmax ) √ Chứng minh Tương tự chứng minh Hệ [11] Chú ý µ xuất √ số hạng ε22 µ biểu thức cho φ(0) Điều cho phép ta tăng độ xác khai triển biểu thức tốn tử Hµ,δ [εζ] 1.3 Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq Ta thiết lập dạng tiệm cận phương trình (1.14) chỉnh thể Boussinesq/Boussinesq Mơ hình tiệm cận thiết lập từ (1.14) cách thay hai tốn tử Gµ [εζ], Hµ,δ [εζ] khai triển tiệm cận chúng dùng "thủ thuật BBM", thay đổi biến Ta chứng minh chỉnh thể tại, phương trình sóng (1.14) tương thích với hệ Boussinesq/Boussinesq đây: δ2 − γ (1 − µa2 ∆)∂t ζ + ∇ · vα + ε ∇ · (ζvα ) + µa1 ∇ · ∆vα = 0, γ+δ (γ + δ) (1 − µa4 ∆)∂t vα + (1 − γ)∇ζ + ε δ − γ ∇ |vα |2 + µa3 (1 − γ)∆∇ζ = 0, 2 (γ + δ) vα = (1 − µα∆)−1 v (1.17) số a1 , a2 , a3 a4 xác định bên Định lí 1.3.1 Cho < cmin < cmax , < µmin < µmax , đặt 2 a1 = (1 − α1 )(1 + γδ) − 3δα(γ + δ) , 3δ(γ + δ)2 a3 =αα2 , a2 = γα1 , 3(γ + δ) a4 = α(1 − α2 ), TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq với α1 , α ≥ α2 ≤ Với cách chọn tham số trên, phương trình sóng (1.14) tương thích với phương trình Boussinesq/Boussinesq (1.17), với độ xác O(ε2 ) theo ε ∈ [0, 1], µ, δ ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện cmin ≤ ε ≤ cmax , µ µmin ≤ µ ≤ µmax δ2 Chú ý 1.3.1 Cho γ = 0, δ = phương trình hệ Boussinesq/Boussinesq (1.17), ta có hệ thu gọn sau − µ α1 ∆ ∂t ζ + ∇ · v + ε∇ · (ζv) + µ − α1 − 3α ∆∇ · v = 0, 3 (1 − µα(1 − α2 )∆)∂t v + ∇ζ + ε ∇ |v|2 + µαα2 ∆∇ζ = Đây hệ Boussinesq sóng bề mặt thiết lập [8] Chú ý 1.3.2 Quan hệ phân tán liên kết với (1.17) 2 ω = |k| ( γ+δ − µa1 |k|2 )(1 − γ)(1 − µa3 |k|2 ) (1 + µa2 |k|2 )(1 + µa4 |k|2 ) Do đó, (1.17) đặt tuyến tính a2 , a4 ≥ a1 , a3 ≤ Chứng minh Việc chứng minh qua vài bước, tương ứng với giá trị tham số α1 , α2 , α Trong chỉnh thể này, ta có ε ∼ µ ∼ ε2 ∼ µ2 ε → Bước 1: α1 = α = α2 = 0.Từ khai triển tốn tử Dirichlet-Neumann, ta có ∂t ζ − ∇ · ((1 − εζ)∇ψ1 ) − µ ∇ · (∆∇ψ1 ) = O(ε2 ), ∂t v + (1 − γ)∇ζ + ε ∇ Hµ,δ [εζ]ψ1 − γ |∇ψ1 |2 = O(ε2 ), với O(µ) = O(ε) Từ quan hệ Hµ,δ [εζ]ψ1 = v + γ∇ψ1 Mệnh đề 1.2.2, ta có ∇ψ1 = − 1−δ 1+δ 1+µ ∆ + ε2 Π[ζ.] v + O(ε2 ) γ+δ 3δ (γ + δ) γ+δ Thay biểu thức vào hệ trên, ta có kết cần chứng minh Bước 2: α1 ≥ 0, α = α2 = Ta dùng thủ thuật BBM cổ điển Từ phương trình đầu, ta có ∇ · v = (1 − α1 )∇ · v − α1 (γ + δ)∂t ζ + O(ε) Tiếp theo, ta thay biểu thức ∇ · v vào số hạng thứ ba phương trình hệ thiết lập Bước 1, ta có kết cần chứng minh Bước 3: α1 , α ≥ 0, α2 = TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq Thay v (1 − µα∆)vα hệ thiết lập Bước bỏ qua số hạng O(ε2 ), ta có kết cần chứng minh Bước 4: α1 , α ≥ 0, α2 ≤ Ta dùng thủ thuật BBM Từ phương trình thứ hai hệ từ Bước 3, ta thấy với α2 ≤ 1, ∂t vα = (1 − α2 )∂t vα − α2 (1 − γ)∇ζ + O(ε) Thay vào hệ thiết lập Bước 3, ta có kết cần chứng minh 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 (LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30(LUAN.van.THAC.si).he.boussinesq.boussinesq.trong.co.hoc.chat.long.luan.van.ths.toan.hoc.60.46.30 Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq Kí hiệu vα , ∂t ζ, ∂t V V, ζt , Vt Khi đó, hệ (1.17) viết dạng: δ2 − γ (1 − µa2 ∆)ζt + ∇·V +ε ∇ · (ζV ) + µa1 ∇ · ∆V = 0, γ+δ (γ + δ)2 (2.1) (1 − µa4 ∆)Vt + (1 − γ)∇ζ + ε δ − γ ∇ |V |2 + µa3 (1 − γ)∆∇ζ = (γ + δ)2 Theo Chú ý 1.3.2 Chương 1, hệ (2.1) đặt tuyến tính a2 , a4 ≥ 0, a1 , a3 ≤ Trong chương ta xét tính đặt đưa phương pháp xấp xỉ số nghiệm toán giá trị biên ban đầu hệ (2.1) trường hợp đặc biệt: a2 , a4 > 0, a1 = a3 = 2.1 Tính đặt tốn giá trị biên ban đầu trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = Do µ ∼ ε 1, khơng giảm tổng qt, ta coi µ = ε, a2 , a4 > nên toán tử (I − εa2 ∆), (I − εa4 ∆) có nghịch đảo Khi đó, hệ (2.1) viết dạng 2−γ δ −1 ∇·V +ε ∇ · (ζV ) = 0, ζt + (I − εa2 ∆) (γ + δ)2 γ + δ (2.2) 2−γ ε δ −1 (1 − γ)∇ζ + ∇|V | = Vt + (I − εa4 ∆) 2 (γ + δ) Ta xét hệ (2.2) miền bị chặn Ω R2 , với điều kiện ban đầu ζ(x, 0) = ζ0 (x), V (x, 0) = V0 (x), x = (x, y) ∈ Ω, 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
Ngày đăng: 20/12/2023, 03:00
Xem thêm:
