ĐỒNG NHẤT HÓA VẬT LIỆU ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP FEM

Trong kỹ thuật vật liệu, đồng nhất hóa các vật liệu không đồng nhất là công việc rất cần thiết để xác định các tính chất vĩ mô của vật liệu, từ đó xác định các ứng xử của vật liệu khi chịu tác dụng của các lực, nhằm ứng dụng vật liệu đó phù hợp trong thực tế. Vì vậy việc đơn giản hóa quá trình tính toán đồng nhất hóa vật liệu bằng cách đưa các mô hình phức tạp về các mô hình đơn giản hơn là rất quan trọng. Tính toán bằng phương pháp số với việc áp dụng các phần mềm như Matlab, Mapple, Ansys…trên cơ sở Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một bước tiến quan trọng trong kỹ thuật tính toán. Phương pháp này cho phép tính được các phép tính phức tạp, quy mô lớn với độ chính xác cao hơn, từ đó cho phép so sánh kiểm tra phương pháp tính truyền thống. Luận văn này đã xây dựng được công thức xác định các hệ số đàn hồi của cốt liệu hình tròn trong mô hình vật liệu tư ơng đương với mô hình vật liệu hai pha đẳng hướng cốt liệu elip. Từ đó làm đơn giản hóa quá trình tính toán. Kết quả đã được kiểm tra bằng tính toán bằng phương pháp số. Kết quả này có thể ứng dụng trong việc đồng nhất hóa các vật liệu cốt liệu elip trong thực tế. Đồng thời có thể sử dụng làm cơ sở để xây dựng công thức xác định các mô hình tương đương cho các mô hình khác. Với những kết quả đã đạt được, hiện nay chúng tôi đang phát triển bài toán này ở mức độ cao hơn, cũng như áp dụng để tính toán các loại vật liệu có cốt liệu khác, kết quả sẽ được công bố trong thời gian tới.

2 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TSKH Phạm Đức Chính TS Trần Anh Bình, người tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin cảm ơn thầy cô dạy chuyên đề cao học trang bị cho kiến thức tảng Tôi xin cảm ơn Bộ Môn Cơ Sức Bền – Khoa Cơ Khí – Trường Đại học Cơng nghiệp Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để tơi có thời gian trang thiết bị để tập trung nghiên cứu Và cuối xin cảm ơn gia đình ln động viên để tơi hồn thành tốt luận văn Hà Nội, ngày 05 tháng 10 năm 2014 Tác giả luận văn Trần Nguyên Quyết LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan tất kết khoa học trình bày luận văn thành lao động thân giúp đỡ tận tình PGS TSKH Phạm Đức Chính TS Trần Anh Bình Các kết thu khơng chép từ cơng trình tác giả khác Hà Nội, ngày 05 tháng 10 năm 2014 Tác giả luận văn Trần Nguyên Quyết MỤC LỤC Trang phụ bìa ………………………………………………………………… LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC CHƯƠNG TỔNG QUAN 1.1 Mở đầu vật liệu đàn hồi không đồng 1.2 Một số đánh giá cho modun đàn hồi vĩ mô vật liệu không đồng 10 1.3 Một số phương pháp xấp xỉ modun đàn hồi vĩ mô vật liệu không đồng ………………………………………………………………………….12 1.4 Các phương pháp số đồng hóa vật liệu khơng đồng 13 1.5 Phương pháp nghiên cứu bố cục luận văn 14 KẾT LUẬN CHƯƠNG 14 CHƯƠNG 2: HỆ SỐ ĐÀN HỒI CỦA CỐT LIỆU TRÒN TRONG VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG TƯƠNG ĐƯƠNG VẬT LIỆU CỐT LIỆU ELIP 15 2.1 Một số xấp xỉ đơn giản cho vật liệu đàn hồi đẳng hướng dạng + cốt liệu tròn 15 2.2 Tính tốn hệ số đàn hồi vĩ mô cho vật liệu không đồng đẳng hướng hai pha có cốt liệu elip phân bố thưa 16 2.3 Xác định hệ số đàn hồi cốt liệu tròn mơ hình vật liệu đẳng hướng tương đương 23 KẾT LUẬN CHƯƠNG 27 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG ĐỒNG NHẤT HÓA VẬT LIỆU KHÔNG ĐỒNG NHẤT 28 3.1 Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn 28 3.2 Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn đồng hóa vật liệu không đồng 41 KẾT LUẬN CHƯƠNG 43 CHƯƠNG 4: TÍNH TỐN – SO SÁNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 44 4.1 Tính tốn số với mơ hình hình vng 45 4.2 Tính tốn số với mơ hình lục giác 51 KẾT LUẬN CHƯƠNG 56 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình Nội dung Trang 1.1 Mơ hình vật liệu tựa đối xứng ba pha …………………………… 1.2 Phần tử tuần hồn mơ hình ba chiều………………………… 2.1 Một mơ hình vât liệu đàn hồi đẳng hướng tuần hồn hai pha cốt liệu hình elip………………………………………………… 16 2.2 Một mơ hình vât liệu hai pha đàn hồi đẳng hướng tuần hồn với cốt liệu hình trịn…………………………………………… 24 3.1 Mơ hình phần tử hữu hạn đơn giản…………………………… 30 3.2 Dạng nội suy hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange…… 33 3.3 Chọn dạng đa thức theo tam giác pascal………………………… 36 4.1 Mơ hình tính tốn phương pháp số………………………………… 44 4.2 Mơ hình tính tốn số thực tế mơ hình vng………………… 46 4.3 eff Biểu đồ C – vI KM = 10; K I = ; μM = ; μI = 0.4 mô hình vng……………………………………………………………… 4.4 Biểu đồ Ceff – vI KM = 1; KI = 10 ; μM = ; μI = 0.4 mơ hình vng ……………………………………………………………… 4.5 4.7 4.8 49 eff Biểu đồ C – vI KM = 1; KI = 10 ; μM = 0,4 ; μI = mơ hình vng…………………………………………………………… 50 Mơ hình tính tốn số thực tế mơ hình lục giác đều…………… 51 eff Biểu đồ C – vI KM = 10; K I = ; μM = ; μI = 0.4 mơ hình lục giác đều……………………………………………………… 4.9 48 Biểu đồ Ceff – vI KM = 10; K I = ; μM = 0,4 ; μI = mơ hình vng……………………………………………………………… 4.6 47 52 Biểu đồ Ceff – vI K M = 1; K I = 10 ; μM = ; μI = 0.4 mơ hình lục giác đều……………………………………………………… 53 4.10 Biểu đồ Ceff – vI K M = 10; KI = 1; μM = 0,4 ; μI = mơ hình lục giác đều……………………………………………………… 54 eff 4.11 Biểu đồ C – vI K M = 1; K I = 10; μM = 0,4 ; μI = mơ hình lục giác đều……………………………………………………… 55 CHƯƠNG TỔNG QUAN Một số lớn vật liệu sử dụng tạo từ nhiều thành phần vật liệu khác nhằm phục vụ cho đòi hỏi nhiều lĩnh vực đời sống người Trong luận văn xây dựng mối quan hệ tính chất đàn hồi vĩ mô vật liệu đàn hồi không đồng tính chất thành phần vi mơ với hình học vi mơ khác Việc nghiên cứu mối quan hệ cần thiết có ý nghĩa thực tiễn giúp giải thích mối quan hệ tính chất vĩ mơ vật liệu với tính chất thành phần cấu thành hình học vi mô, giúp thiết kế vật liệu với tính chất vĩ mơ theo u cầu Trong chương này, muốn giới thiệu đến bạn đọc tổng quan vật liệu đàn hồi khơng đồng nhất, tính chất đàn hồi vi mô vĩ mô loại vật liệu này, với phương pháp nghiên cứu để đạt kết đề 1.1 Mở đầu vật liệu đàn hồi không đồng Các loại vật liệu tổ hợp cấu tạo vi mô từ thành phần vật liệu khác mặt vĩ mơ coi đồng có tính chất đàn hồi vĩ mơ nói chung khác với tính chất thành phần cấu thành Các cấu trúc vi mô coi đủ lớn so với kích thước phân tử để xem môi trường liên tục Các trường nội lực chuyển vị liên tục mặt ngăn cách pha Khi thành phần cấu thành phân bố không thiên hướng hỗn độn không gian ta có vật liệu tổ hợp đẳng hướng vĩ mơ Ở giới hạn với giả thiết vật liệu thành phần đẳng hướng Việc xác định lý tính vĩ mơ (macroscopic) (cịn gọi hữu hiệu, hiệu quả, hiệu dụng (effective ) hay tổng thể (overall moduli)) vật liệu tổ hợp vấn đề khoa học vật liệu, tính chất phụ thuộc phức tạp vào tính chất thành phần cấu thành hình học vi mơ vật liệu Hình 1.1: Mơ hình vật liệu tựa đối xứng ba pha Xét phần tử đặc trưng V vật liệu tổ hợp (RVE) Phần tử đặc trưng phải đủ lớn so với cấu trúc vi mơ để coi thực đại diện cho vật liệu xem xét phải đủ nhỏ so với kích thước vĩ mơ vật thể đem sử dụng (và độ dài bước sóng trường hợp tốn động) để việc xác định tính chất hiệu thực có ý nghĩa Phần tử đặc trưng V cấu thành n thành phần chiếm chiếm không gian Vα V có hệ số đàn hồi k ,  ; α=1… n; vα kí hiệu hệ số thể tích V V ( thể tích V coi 1) Phần tử đặc trưng V gắn với hệ tọa độ Đề vng góc {x1, x2, x3} Hình 1.2: Phần tử tuần hồn mơ hình chiều (từ trái qua phải: lập phương đơn giản, lập phương tâm khối lập phương tâm mặt) Trong điều kiện chịu lực vật thể , trường ứng suất σ (x) ( ten xơ ứng suất bậc với thành phần σij ) cần phải thỏa mãn phương trình cân :   σ (x)  0, x V (1.1) ( hiểu cách tự nhiên bao gồm điều kiện cân mặt ngăn cách pha), quan hệ với trường biến dạng ε(x) thông qua định luật Hook : σ (x )  C(x ) : ε( x), x  V ( ijkl  Cijkl  kl ) (1.2) Tổng dấu ngoặc lấy theo số latin lặp lại từ tới 3; Các thành phần εij ten xơ biến dạng ε biểu diễn tuyến tính qua thành phần ui véc tơ chuyển vị u liên tục V:  ij  (ui , j  u j ,i ) (1.3) Chỉ số Latin sau dấu phảy ký hiệu phép vi phân với tọa độ Đề tương ứng; C(x)   C   [Cijkl (x)   Cijkl (x)] (1.4)   (x)   nêu x V nêu x R \V Chỉ số Hy Lạp dấu tổng chạy từ tới n ; Cα ten xơ đàn hồi đẳng hướng bậc với thành phần không gian d chiều: Cijkl  Tijkl (k ,  )  k  ij kl   ( ik jl   il jk  d 1  ij kl ) d (1.5) [C  T(k ,  )], δij ký hiệu Krơnecker thơng thường Giá trị trung bình ứng suất biến dạng miền V xác định sau: σ   σdx, V ε   εdx, (1.6) V Quan hệ giá trị trung bình ứng suất biến dạng V vật liệu tổ hợp đẳng hướng thể thông qua ten xơ đàn hồi vĩ mô Ceff: σ = Ceff : ε , Ceff  T(k eff ,  eff ) (1.7) Một giá trị ε( x) σ (x) V xác định, từ (1.7) ta có keff, μ eff Các phương trình quan hệ (1.1) - (1.3) chưa đủ để xác định ε( x) σ (x) , cần điều kiện biên V V Chú ý phần tử V nhỏ so với kích thước vĩ mơ vật thể chịu lực , điều kiện biên đồng cho chuyển vị kiến nghị : u  ε0  x (ui   ij0 x j ) V, ε0 =const Thay cho (1.8) ta lấy điều kiện biên lực đồng nhất: (1.8) σ  n  σ0  n V, σ =const (1.9) n véc tơ đơn vị vuông góc biên V Bên cạnh việc xác định hệ số đàn hồi vĩ mô thông qua việc giải trực tiếp phương trình học mơi trường liên tục trình bày ( gọi tắt Đường hướng giải phương trình), ta cịn cách khác thơng qua việc tìm cực trị phiếm hàm lượng V ( gọi tắt Đường hướng lượng hay Đường hướng biến phân), chẳng hạn : ε : Ceff : ε  inf  ε : C : εdx V ij eff ijkl kl ( C   inf   ij Cijkl  kl dx ) (1.10) V Trong ten xơ biến dạng ε biểu diễn qua véc tơ chuyển vị u (1.3), u thỏa mãn điều kiện biên đồng (1.8) Có thể điểm cực trị (1.10) với ràng buộc (1.3),(1.8) thỏa mãn phương trình cân (1.1) Một cách khác - thay cho điều kiện biên đồng chuyển vị (1.8) ta lấy ràng buộc trung bình biến dạng V σ  ε0 (1.11) Có thể điểm cực trị (1.10) với ràng buộc (1.3), (1.11) thỏa mãn phương trình cân (1.1) trường lực tương ứng đồng biên V (theo cách hiểu (1.9)) Ceff xác định từ nguyên lý biến phân đối ngẫu (1.10): σ : (Ceff ) 1 : σ  inf  σ : C1 : σdx (1.12) V Trong đó: ten xơ ứng suất thỏa mãn phương trình cân (1.1) điều kiện biên đồng (1.9) Có thể điểm cực trị (1.12) với ràng buộc (1.1) , (1.9) thỏa mãn phương trình tương thích biến dạng (nghĩa với (1.2) tồn quan hệ (1.3)) Một cách khác - thay cho điều kiện biên đồng (1.9) ta lấy ràng buộc trung bình ứng suất V  σ  σ (1.13) 10 Có thể điểm cực trị (1.12) với ràng buộc (1.1) , (1.13) thỏa mãn phương trình tương thích biến dạng (Với (1.2) tồn (1.3)) trường chuyển vị tương ứng đồng biên V Trong điều kiện làm việc vật thể, trường chuyển vị ứng suất thực nói chung khơng thỏa mãn xác điều kiện biên đồng (1.8) (1.9) cho dù V nhỏ so với kích thước vĩ mơ vật thể mà thay đổi dao động xung quanh giá trị cấu trúc vi mô không đồng V, nhiên nhiễu có ảnh hưởng vùng gần biên V giống nội dung nguyên lý Cent Venant (để tính Ceff - - ta cần tổng tích phân giá trị trường toàn V) Cũng giống trường ứng suất biến dạng xác định (1.1) - (1.3), (1.8); hay (1.1) (1.3), (1.9); hay (1.1), (1.3), (1.8); hay (1.1), ( 1.3), ( 1.11); hay (1.12), ( 1.1), ( 1.9); hay (1.12), ( 1.1), ( 1.13) nói chung không trùng Giả thiết xuất phát định nghĩa cho mơ đun vĩ mô C eff trùng mặt tiệm cận kích thước V đủ lớn so với kích thước vi mơ; Ceff cần phải khơng phụ thuộc vào việc chọn phần tử đặc trưng cụ thể V vật liệu hình dạng V với điều kiện kích thước V lớn nhiều so với kích thước vi mơ Do V lấy hình cầu hay khối lập phương thuận tiện cho phương pháp toán học áp dụng Các tính chất khác vật liệu tổ hợp hệ số dẫn xem xét tương tự 1.2 Một số đánh giá cho modun đàn hồi vĩ mô vật liệu không đồng Những nghiên cứu tính chất vật liệu khơng đồng thực cuối kỉ 19 – đầu kỉ 20 nhà khoa học hàng đầu thời kì Theo đó, họ xác định hệ số đàn hồi vĩ mô vật liệu không đồng cách đưa đánh giá cho giá trị hệ số Nói cách khác, họ đưa khoảng giá trị cận cận chúng Vào năm 1928, Voight đưa công thức trung bình cộng số học để tính xấp xỉ tính chất hữu hiệu vật liệu tổ hợp đẳng hướng: n k eff   v k  1 n  eff   v   1 (1.14) 11 Reuss (1929), số trường hợp cơng thức trung bình cộng điều hòa cho kết xấp xỉ tốt hơn: k eff  eff  n     v k    1  1  n     v     1  (1.15) 1 Xuất phát từ nguyên lý biến phân nói chọn trường số, Hill (1952) Paul (1960) chứng minh tính chất vĩ mơ vật liệu tổ hợp đẳng hướng dù hình học pha nằm giá trị (1.14) (1.15) Cụ thể, đánh giá Hill- Paul viết sau: 1 n  n  eff v k  k  v k       1   1  (1.16) 1 n  n  eff v     v         1   1 Vào năm 1962 1963, Hashin Shtrikman đưa vào trường phân cực (polarization fiels) có giá trị trung bình khác pha khác nhau, ông xây dựng thành công đánh giá tốt đánh giá HillPaul: Với d số chiều tốn Cơng thức tổng quát viết sau:  2(d  1)   2(d  1)  Pk     k eff  Pk   max   d   d  (1.17) 1   v Pk  k*        k*   k  k*  min   |   1, , n , m ax  max  |   1, , n P  * ( kmin , min    eff  P  * ( kmax ,  m ax  1  v  P  *       * ,     *  * (k0 , 0 )  0 (1.18) d k0  2(d  1)(d  2) 0 2dk0  4d 0 kmin  k |   1, , n , km ax  max k |   1, , n Đánh giá Hashin- Strickman (HS) cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng (bất kể hình học pha nào) với tỷ lệ thể tích vα tính chất đàn hồi