luận văn thạc sĩ thuật toán phân rã giải bài toán phân bố sản xuất với chi phí lõm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM TIẾN ĐỘ THUẬT TOÁN PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN PHÂN BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 12/2015 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM TIẾN ĐỘ THUẬT TOÁN PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN PHÂN BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Trần Vũ Thiệu Thái Nguyên - 12/2015 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.2 XÁC ĐỊNH CÁC ĐỈNH CỦA ĐA DIỆN LỒI 1.3 HÀM LỒI, HÀM LÕM VÀ HÀM TỰA LÕM 12 QUI HOẠCH LÕM VỚI RÀNG BUỘC TUYẾN TÍNH 16 2.1 CỰC ĐẠI HÀM LỒI, CỰC TIỂU HÀM LÕM 16 2.2 BÀI TOÁN QUI HOẠCH LÕM 19 2.3 THUẬT TỐN XẤP XỈ NGỒI GIẢI QUI HOẠCH LÕM 21 2.3.1 Ý tưởng phương pháp 21 2.3.2 Trường hợp ràng buộc tuyến tính 22 VÍ DỤ MINH HỌA 25 2.4 BÀI TOÁN PHÂN BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM 28 3.1 NỘI DUNG VÀ Ý NGHĨA BÀI TOÁN 28 3.2 Ý TƯỞNG PHÂN RÃ BÀI TOÁN 29 3.3 THUẬT TOÁN PHÂN RÃ 30 3.4 VÍ DỤ MINH HỌA THUẬT TỐN 34 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom MỞ ĐẦU Bài toán cực tiểu hàm lõm tập lồi đóng gọi tốn qui hoạch lõm (Concave Programming Problem) Đây toán tối ưu tồn cục, tính phổ biến nhiều tốn tối ưu tồn cục quy dựa nhiều phép giải Đơn giản nghiên cứu nhiều toán qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính, cịn đề tài cao học đề cập tới Sách tham khảo [2], [5] nêu nhiều kết lý thuyết phương pháp giải lớp toán Các tài liệu tham khảo [3], [4] chủ yếu đề cập tới toán qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính mơ hình tốn phân bố sản xuất thường gặp Sau học chun đề giải tích lồi, tối ưu hóa kiến thức có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học ứng dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn: "Thuật toán phân rã giải tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm" Mục đích luận văn tìm hiểu toán qui hoạch lõm, chủ yếu toán với ràng buộc tuyến tính thuật tốn xấp xỉ ngồi giải toán Đặc biệt ý tới thuật toán phân rã giải mơ hình tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm Luận văn viết dựa tài liệu tham khảo [1]- [5] Các kết cần đạt được: hiểu trình bày số nội dung sau: a) Hàm lõm toán cực tiểu hàm lõm tập lồi đa diện b Thuật tốn xấp xỉ ngồi giải tốn qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính c) Bài tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm thuật tốn phân rã giải toán, dựa kỹ thuật xấp xỉ luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom Cấu trúc luận văn gồm chương • Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại kiến thức sở tập lồi, tập lồi đa diện, cách xác định tập đỉnh đa diện lồi hàm lồi, hàm lõm hàm tựa lõm số tính chất hàm • Chương "Bài tốn qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính" trình bày tính chất cực trị hàm lồi, hàm lõm Đáng ý cực tiểu địa phương hàm lõm nói chung khơng cực tiểu tồn cục cực tiểu hãm lõm có đạt điểm cực biên (nói riêng, đỉnh) tập ràng buộc Giới thiệu tốn qui hoạch lõm: tìm cực tiểu hàm lõm (hay tựa lõm) tập lồi đóng Trình bày phương pháp xấp xỉ ngồi giải qui hoạch lõm nói chung qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính nói riêng Cuối chương nêu ví dụ số minh họa thuật tốn giải • Chương "Bài tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm" trình bày phương pháp nêu [4] giải số tốn qui hoạch tuyến lõm cấu trúc riêng có tên toán phân bố sản xuất với chi phí lõm Phương pháp dựa ý tưởng phân rã (chia nhỏ) toán ban đầu thành số tốn qui hoạch lõm với biến số toán vận tải tương ứng Bài toán qui hoạch lõm giải theo thuật toán xấp xỉ ngồi, cịn tốn vận tải giải theo thuật tốn vị qui hoạch tuyến tính Cuối chương xét ví dụ số minh họa thuật tốn Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS.Trần Vũ Thiệu, tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức liên quan đến tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm lõm, hàm tựa lõm tính chất chúng Trong chương cịn trình bày cách tính đỉnh đa diện lồi, nhận cách thêm ràng buộc vào đa diện lồi khác mà ta biết tập đỉnh Nội dụng chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [3] [5] 1.1 TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN Trước hết ta nhắc lại khái niệm tập lồi Rn khái niệm có liên quan Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ R gọi tập lồi λa + (1 − λ)b ∈ C, ∀a, b ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] • Ta để ý tới tập lồi đặc biệt sau đây: a) Tập afin tập chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng tập có dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α}, a ∈ Rn , a 6= α ∈ R c) Các nửa khơng gian đóng H + = {x ∈ Rn : aT x > α}, H − = {x ∈ Rn : aT x α} d) Các nửa không gian mở K + = {x ∈ Rn : aT x > α}, K − = {x ∈ Rn : aT x < α} luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom • Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao họ tập lồi tập lồi C, D lồi ⇒ C T D lồi b) Nếu C, D ⊂ Rn C ± D = {x ± y =: x ∈ C, y ∈ D} tập lồi c) Nếu C ⊂ Rm D ⊂ Rn tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rm+n (Có thể mở rộng cho nhiều tập lồi) Định nghĩa 1.2 Cho E tập hợp Rn a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, kí hiệu aff E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, kí hiệu conv E Định nghĩa 1.3 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M, kí hiệu dim M, thứ nguyên (số chiều) không gian song song với b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, kí hiệu dim C, thứ nguyên (số chiều) bao afin aff C Định nghĩa 1.4 Tập lồi K ⊆ Rn gọi nón lồi có thêm tính chất λx ∈ K, ∀x ∈ K, ∀λ > Định lí 1.1 Hai tập lồi ∅ 6= C, D ⊂ Rn khơng có điểm chung (C ∩ D = ∅ ) tách siêu phẳng, nghĩa có vectơ a ∈ Rn , a 6= số α cho aT x α aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D Định nghĩa 1.5 Một tập lồi F tập lồi C gọi diện C x, y ∈ C mà (1 − λ)x + λy ∈ F, < λ < [x, y] ⊂ F , nghĩa đoạn thẳng thuộc C có điểm thuộc F đoạn thẳng phải nằm trọn F Một diện có số chiều gọi điểm cực biên C Nói cách khác, điểm thuộc C mà khơng thể điểm đoạn thẳng luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom với hai đầu mút khác thuộc C Một diện có số chiều gọi cạnh C: cạnh hữu hạn diện đoạn thẳng, cạnh vô hạn diện nửa hay đường thẳng Tất nhiên tập ∅ thân C diện C Một diện khác C, khác ∅ khác C, gọi diện thực C Ví dụ: diện thực khối lập phương R3 đỉnh, 12 cạnh (hữu hạn) mặt Định nghĩa 1.6 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn phương trình bất phương trình tuyến tính Một tập lồi đa diện khơng giới nội Một tập lồi đa diện giới nội gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thơng thường R2 (tam giác, hình thang, hình vng, hình chữ nhật, ) ví dụ cụ thể đa diện lồi Mỗi điểm cực biên tập lồi đa diện gọi đỉnh tập đa diện Đối với đa diện lồi (tức tập lồi đa diện bị chặn) ta có định lý biểu diễn sau: Định lí 1.2 Cho D đa diện lồi khác rỗng V tập đỉnh D Khi đó, x ∈ D có biểu diễn: x= X λv v với λv > v∈V 1.2 X λv = v∈V XÁC ĐỊNH CÁC ĐỈNH CỦA ĐA DIỆN LỒI Mục đề cập tới toán sau thường gặp thực thi thuật tốn xấp xỉ ngồi giải qui hoạch lõm Bài toán A Cho tập lồi đa diện bị chặn M ⊂ Rn xác định hệ ràng buộc tuyến tính có dạng: hi (x) = Ai x + bi 0, i = 1, , m, Ai vectơ hàng n - chiều, bi số, m > n Giả sử ta biết U tập đỉnh M, nghĩa ta có biểu diễn M = conv U (Định lý 1.2) Ta giả thiết U 6= ∅ (Đa diện lồi M có đỉnh) Cho hàm afin luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom h0 (x) = A0 x + b0 với A0 vectơ hàng n - chiều khác 0, b0 số thực Đặt: N = M ∩ {x ∈ Rn : h0 (x) 0} (1.1) Rõ ràng N đa diện lồi Bài toán đặt là: Hãy xác định tập đỉnh V N ? (Bài toán tương tự đặt giải trọn vẹn cho trường hợp tập lồi đa diện không bị chặn Tuy nhiên ta không đề cập tới đây) Để giải vấn đề đặt ra, ta ký hiệu: U − = {u ∈ U : h0 (u) < 0} (1.2) U + = {u ∈ U : h0 (u) > 0} (1.3) H = {x ∈ Rn : h(x) = 0} Các mệnh đề sau tạo sở lý luận cho việc giải toán đặt Mệnh đề 1.1 Nếu U + = ∅ N = M, nghĩa V = U Chứng minh Theo giả thiết U + = ∅ nên h0 (u) với u ∈ U Với x ∈ M ta có biểu diễn: x= X λu u, λu 0, u∈U X λu = u∈U Suy h0 (x) = X λu h0 (u) u∈U nghĩa x ∈ N Do M ⊆ N Bất đẳng thức ngược lại hiển nhiên Vậy M = N V = U Mệnh đề 1.2 Giả sử U − = ∅ Khi đó: a) Nếu U + = U N = ∅, nghĩa V = ∅ b) Nếu U + 6= U V = U \U + luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom Hình 1.1: Mệnh đề 1.1: U + = ∅ Chứng minh a) U = U + có nghĩa h0 (u) > với u ∈ U Từ trên, với x ∈ M , ta có: h0 (x) = X λu h0 (u) > u∈U (Bất đẳng thức có λu > 0) Vậy N = ∅ V = ∅ b) U − = ∅ có nghĩa h0 (u) > 0∀u ∈ U Vì theo Định lý 1.2, h0 (x) > 0∀x ∈ M , nghĩa M ⊂ {x : h0 (x) > 0} Từ suy ra: N = M ∩ {x : h0 (x) = 0} = N ∩ H 6= ∅ (do U \(U + ∪ U − ) = U \U + 6= ∅) Chứng tỏ trường hợp N diện M, đỉnh N đỉnh M Vì ta có V = U \U + Hình 1.2: Mệnh đề 1.2: U − = ∅ Mệnh đề 1.3 Giả sử U + 6= ∅ U − 6= ∅ Khi đó: a) V ∩ U = U \U + luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 26 Hình 2.4: Tập ràng buộc tốn Ví dụ 2.1 Bước x1 = (10, 0); f (x1 ) = −300 γ1 = max{−14, 0, −18, 6} = > i1 = V1− = {(0, 0); (0, 10)}, V1+ = {(10, 0)} V2 = {(0, 0); (0, 10); (4, 0); (7, 3)} f = {0, −200, −48, −165} Bước x2 = (0, 10); f (x2 ) = −200 γ2 = max{−24, 0, 12, −14} = 12 > i2 = V2− = {(0, 0); (4, 0)}, V2+ = {(0, 10)} V3 = {(0, 0); (0, 10); (4, 0); (7, 3)} f = {0, −200, −48, −165} Bước x3 = (7, 3); f (x3 ) = −165 γ3 = max{−17, 0, −9, 0} = Dừng thuật toán: x3 = (7, 3) lời giải tối ưu với giá trị mục tiêu f (x3 ) = −165 Ví dụ 2.2 Tìm cực tiểu hàm lõm bậc hai (5 biến) f (x) = −(x21 + x22 + x23 + x24 + x25 ) + 2x1 + 4x2 + 8x3 + 14x4 + 18x5 ràng buộc tuyến tính: −x1 − 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 − 85 luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 27 −7x1 + 9x2 − 5x3 + 33x4 − 11x5 − 500 2x1 − x2 + 2x3 − x4 + 2x5 − 150 1, 3x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 − 300 x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0, x5 > 0, Tập ràng buộc nằm đơn hình S1 = {x ∈ R5 : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 300, xj > 0; j = 1, 2, 3, 4, 5} Áp dụng thuật tốn xấp xỉ ngồi, ta nhận lời giải tối ưu: x∗ = (0, 190, 0, 0, 110) f (x∗ ) = −45460 Tóm lại, chương trình bày tính chất cực trị liên quan tới hàm lồi, hàm lõm Đáng ý cực tiểu địa phương hàm lõm (cực đại địa phương hàm lồi) nói chung khơng cực tiểu (cực đại) tồn cục cực tiểu hàm lõm (cực đại hàm lồi) có đạt điểm cực biên (nói riêng, đỉnh) tập ràng buộc Giới thiệu toán tốn qui hoạch lõm: tìm cực tiểu hàm lõm (hay tựa lõm) tập lồi đóng Đó tốn điển hình tối ưu tồn cục tốn khó có nhiều cực tiểu địa phương Trình bày phương pháp xấp xỉ ngồi giải qui hoạch lõm nói chung qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính nói riêng Cuối chương nêu ví dụ minh họa phương pháp giải trình luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 28 Chương BÀI TOÁN PHÂN BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM Chương giới thiệu phương pháp phân rã nêu [4] giải tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm Phương pháp dựa việc rút gọn toán ban đầu dãy toán cỡ nhỏ tìm cực tiểu hàm lõm với ràng buộc tuyến tính, xử lý thuật tốn qui hoạch lõm Cuối chương xét ví dụ số minh họa cho thuật tốn trình bày 3.1 NỘI DUNG VÀ Ý NGHĨA BÀI TỐN Xét tốn tối ưu sau thường gặp thực tiễn lập kế hoạch sản xuất vận tải, ký hiệu toán (P): m X (P ) fi (xi ) + i=1 với điều kiện: n X m X n X cij xij → (3.1) i=1 j=1 xij = xi ; i = 1, , m (3.2) xij = bj ; j = 1, , n (3.3) j=1 m X i=1 xij > 0; i = 1, , m; j = 1, , n luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com (3.4) luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 29 x = (x1 , , xm )T ∈ X đó: m X = {x ∈ R : m X i=1 xi = n X bj ; xi > 0; i = 1, , m} j=1 Có thể giải thích ý nghĩa mơ hình tốn (3.1) - (3.4) sau: Giả sử có m nhà máy giao nhiệm vụ sản xuất loại hàng (xi măng chẳng hạn) có n hộ có nhu cầu tiêu thụ loại hàng Các ký hiệu dùng mơ hình gồm có: • xi biểu thị khối lượng sản xuất hàng nhà máy thứ i (i = 1, , m) • xij số lượng hàng chuyển từ nhà máy thứ i tới hộ tiêu thụ thứ j • bj nhu cầu tiêu thụ hàng biết hộ tiêu thụ thứ j (j = 1, , n) • cij cước phí vận chuyển đơn vị hàng từ nhà máy i tới hộ tiêu thụ j • fi (xi ) chi phí sản xuất xi đơn vị hàng nhà máy i Bài toán đặt nên giao cho nhà máy sản xuất đơn vị hàng tổ chức vận chuyển lượng hàng sản xuất từ nhà máy đến hộ tiêu thụ tổng chi phí sản xuất vận chuyển nhỏ nhất? Mơ hình toán (P) thường gọi toán phân bố sản xuất: lập kế hoạch sản xuất, đồng thời lập phương án phấn phối sản phẩm tới hộ tiêu thụ Ở hàm chi phí sản xuất giả thiết lõm, nghĩa số lượng sản xuất nhiều chi phí sản xuất tính đơn vị giảm 3.2 Ý TƯỞNG PHÂN RÃ BÀI TOÁN Với giả thiết đó, mặt tốn học, mơ hình (3.1) - (3.4) toán qui hoạch lõm: tìm cực tiểu hàm lõm (3.1) với ràng buộc tuyến tính (3.2) - (3.4) Hiện có nhiều thuật toán hữu hạn giải toán qui hoạch lõm Tuy nhiên, qui hoạch lõm thuộc lớp tốn tối ưu tồn cục phức tạp khó giải nên thuật toán luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 30 có giải tốt tốn có kích thước vừa phải Tuy nhiên, tốn (P) có đặc điểm số biến xi gắn với mục tiêu phi tuyến lõm toán m, số tương đối nhỏ so với số lượng biến tuyến tính ( m × n) Điểu gợi ý cho thấy tốn (P) giải hiệu cách áp dụng kỹ thuật phân rã qui hoạch toán học Theo kỹ thuật này, toán ban đầu phân rã (chia nhỏ) thành dãy tốn qui hoạch lõm phụ với kích thướng nhỏ (m biến lõm), tốn phụ giải hiệu thuật toán, chẳng hạn theo thuật tốn xấp xỉ Nói cách ngắn gọn, ý tưởng phương pháp phân rã sau: Khi x (vectơ sản xuất) tạm cố định, toán (P) trở thành tốn vận tải thơng thường Giải toán vận tải ta nhận phương án vận chuyển tối ưu vectơ sản xuất chọn Sau dùng tiêu chuẩn tối ưu, ta kiểm tra xem vectơ sản xuất x chon tối ưu chưa Nếu chưa, ta xác định vectơ sản xuất cách giải toán qui hoạch lõm phụ ta lại giải toán vận tải tương ứng với vectơ sản xuất Cứ tiếp tục làm Sau số hữu hạn vòng lặp, ta nhận lời giải tối ưu toán (P) ban đầu Mục mơ tả chi tiết thuật tốn phân rã mục cuối chương trình ví dụ minh họa cho thuật tốn giải 3.3 THUẬT TỐN PHÂN RÃ Thuật tốn giải dựa ý tưởng phân rã nêu mục trước tốn đưa tốn qui hoạch lõm Rm+1 Để làm điều này, ta đặt f (x) = m X fi (xi ) i=1 g(x) = min{ m X n X cij xij : xij thỏa mãn (3.2) − (3.4)} i=1 j=1 m X = max{ i=1 xi ui + n X bi vj } : ui + vj cij ∀i = 1, , m; j = 1, , n} j=1 luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 31 với đẳng thức cuối suy từ lý thuyết đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Giả sử M = {(u, v) ∈ Rm+n : ui + vj cij ∀i = 1, , m; j = 1, , n} ă l cỏc im cc biờn (đỉnh) tập lồi đối ngẫu qui hoạch ký hiệu M tuyến tính ta có: n m X X ă} bj vj : (u, v) M xi ui + g(x) = max{ (3.5) j=1 i=1 Vì thế, g(x) hàm lõm tuyến tính khúc theo x ∈ X Bài tốn (P) diễn đạt lại thành: min{f (x) + g(x) : x ∈ X} Chú ý tới (3.5) đưa thêm vào biến phụ t, ta thấy toán (P) tương đương với toán sau đây: (CP) f (x) + t → với điều kiện: −t+ m X ui xi + n X ă vj bj 0(u, v) M (3.6) j=1 i=1 xX (3.7) ă hu hn nờn toán qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính Do tập M phụ thuộc biến (t, x) ∈ Rm+1 Như vậy, thay cho việc giải tốn (P) ta giải tốn (CP) Tuy nhiên, để giải (CP) ta không cần biết tất ràng buộc (3.6) toán Thuật toán nêu sau tiến hành theo phương pháp xấp xỉ giới thiệu chương trước cho phép vịng lặp q trình giải tạo ràng buộc (3.6) một, cần Cụ thể, giả sử: D = {(t, x) : g(x) t; x ∈ X} n X t0 = (bj × cij ) j=1 16i6m luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 32 Có thể thấy D tập hợp tất cặp (t, x) thỏa mãn ràng buộc (3.6) (3.7) t0 cận lớn giá cước phí vận chuyển hàm mục tiêu (3.1) vectơ sản xuất chấp nhận được, nghĩa là: (3.8) t0 g(x)∀x ∈ X Về bản, thuật toán xây dựng dãy tập lồi đa diện S1 , S2 , cho: S1 = {(t, x) : x ∈ X; t > t0 } (theo (3.8), S1 ⊃ D), Sk+1 nhận từ cách thêm vào Sk vào ràng buộc (3.6) D Vì Sk ⊃ Sk+1 ⊃ D Mỗi tập lồi đa diện Sk có hướng lùi xa e1 = (1, 0, , 0) ∈ Rm+1 Lúc đầu S1 có m đỉnh: = (t0 , 0, , B, , 0); i = 1, , m B = Pn j=1 bj Ở vòng lặp k, biết tập đỉnh Sk nên ta tính tập đỉnh Sk+1 cách sử dụng kỹ thuật sinh đỉnh giới thiệu Chương Ở vịng lặp k-1, tốn nới lỏng: min{f (x) + t : (t, x) ∈ Sk } (3.9) giải đơn giản nhờ tính so sánh giá trị hàm f (x) + t đỉnh Sk Điều làm hàm f (x) + t bị chặn nửa đường thẳng song song với hướng lùi xa e1 Giả sử (tk , xk ) đỉnh Sk đạt cực tiểu (3.9) Nếu (tk , xk ) ∈ D, nghĩa g(xk ) tk (tk , xk ) lời giải (CP) D ⊂ Sk Nếu trái lại, tập lồi đa diện Sk+1 tạo cách thêm vào Sk ràng buộc mới: −t + m X ui xi + i=1 n X vj bj j=1 chọn cho (tk , xk ) khơng cịn thuộc Sk+1 Theo cách này, vòng lặp k thuật toán dừng cho lời giải tối luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 33 ưu toán (CP) tập lồi đa diện Sk+1 sinh thuật tốn thực tiếp vịng lặp k+1 Nói cách xác, mơ tả bước thuật tốn phân rã sau THUẬT TỐN Khởi sự: Giải toán qui hoạch lõm m X min{ fi (xi ) + t : x ∈ X; t > t0 } (Q1 ) i=1 để xác định vectơ sản xuất ban đầu (t1 , x1 ) Đặt số vòng lặp k = Vòng lặp k > Giải toán vận tải m X n X (Tk ) cij xij → i=1 j=1 với điều kiện: n X xij = xki ; i = 1, , m j=1 m X xij = bj ; j = 1, , n i=1 xij > 0; i = 1, , m; j = 1, , n Giả sử {xkij } lời giải (phương án vận chuyển) tối ưu (Tk ) {uki , vjk } hệ thống vị tương ứng a) Nếu gk = m X n X cij xkij tk i=1 j=1 (tiêu chuẩn tối ưu), dừng thuật toán: {xki , xkij } nghiệm tối ưu (P) Lưu ý gk = g(xk ) theo định nghĩa g(x) b) Trái lại, ta có: gk = m X uki xki + i=1 n X vjk bkj > tk j=1 luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 34 (đẳng thức vế trái suy từ lý thuyết đối ngẫu qui hoạch tuyến tính) Thêm vào (Qk ) ràng buộc mới: −t + m X uki xi + n X vjk bj j=1 i=1 (từ bất đẳng thức trước cho thấy (tk , xk ) vi phạm ràng buộc này) Giải toán phụ mới: m X (Qk+1 ) fi (xi ) + t → i=1 với điều kiện: x ∈ X, t > t0 −t + m X usi xi + n X vjs bj 0, s = 1, , k j=1 i=1 Giả sử (tk+1 , xk+1 ) lời giải tối ưu (Qk+1 ) Chuyển sang vịng lặp k+1 Mệnh đề 3.1 Thuật tốn nêu dừng sau số hữu hạn vòng lặp Chứng minh Ký hiệu Sk tập ràng buộc (Qk ), nghĩa tập cặp (t, x) nghiệm −t + m X i=1 usi xi + n X vjs bj 0; s = 1, , k − j=1 x ∈ X, x > t0 Khi đó, Sk+1 tập thực Sk , rõ (tk , xk ) Sk \Sk+1 Vỡ ă th khụng cú phần tử trùng dãy {(u1 , v ), , (uk , v k ), } ⊂ M ă l hu hn nờn thut toỏn khụng th kéo dài vơ hạn thuật tốn sinh Vì tập M 3.4 VÍ DỤ MINH HỌA THUẬT TỐN Mục trình bày số ví dụ cụ số cỡ nhỏ để minh họa cho thuật toán nêu trên: luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 35 Ví dụ 3.1 Giải toán (P) với m = 3, n =5: b = (62, 65, 51, 10, 15)  66 68 81     C = 40 20 34 83 27   90 22 82 17   0 xi = i=1, 2, fi (xi ) =  di + ci xi xi >     c = 1, 8, 4, , d = 88 39 Kết tính tốn tóm tắt sau: Nghiệm tối ưu (Q1 ):   (t1 , x1 ) = 3636 303 0 Vòng lặp 1: Giá trị mục tiêu tối ưu (T1 ) : g1 = 9000 > t1     Các vị tương ứng với x1 : u1 = −46 −64 ,v = 66 68 81 Ràng buộc 1: −t − 46x2 − 64x3 + 9000 Nghiệm tối ưu (Q2 ):   (t2 , x ) = 363 119, 1875 83, 8125 Vòng lặp 2: Giá trị mục tiêu tối ưu (T2 ) : g2 = 5535, 25 > t2   Các vị tương ứng với x2 : u2 = −106 −140 −102 ,   v = 112 124 174 119 110 Ràng buộc 2: −t − 106x1 − 140x2 − 102x3 + 26718 Nghiệm tối ưu (Q3 ):  (t3 , x ) = 3636 104, 51, 46,  Vòng lặp 3: Giá trị mục tiêu tối ưu (T3 ) : g3 = 4651, 44407 > t3   3 Các vị tương ứng với x : u = −60 −94 −92 , luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 36   v = 66 114 128 109 64 Ràng buộc 3: −t − 60x1 − 94x2 − 92x3 + 20080 Nghiệm tối ưu (Q4 ):   (t4 , x ) = 3636 73, 176 54, 824 75 Vòng lặp 4: Giá trị mục tiêu tối ưu (T4 ) : g4 = 3773, 647 > t4   4 Các vị tương ứng với x : u = −48 −46 −44 ,   v = 54 66 80 61 52 Ràng buộc 4: −t − 48x1 − 46x2 − 44x3 + 13108 Nghiệm tối ưu (Q5 ):   (t5 , x5 ) = 3766 77 51 75 Vòng lặp 5: Giá trị mục tiêu tối ưu (T5 ) : g5 = 3766 = t5 Dừng thuật toán Nghiệm tối ưu tốn: • Vectơ sản xuất: x1 = 77, x2 = 51, x3 = 75 • Phương án vận chuyển: • Chi phí tổng cộng (sản xuất + vận chuyển) nhỏ 4805,8 Như vậy, thuật toán phân rã trình bày gồm hai việc giải toán qui hoạch lõm (Qk ), xem kẽ với giải toán vận tải (Tk ) Các toán (Qk ) giải theo thuật tốn xấp xỉ ngồi (Chương 2) bàn toán (Tk ) luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 37 giải theo thuật toán vị quen thuộc qui hoạch tuyến tính Thực tế tính tốn giải tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm cho thấy cước phí vận chuyển đáng kể so với chi phí sản xuất nhà máy nghiệm tối ưu tốn (P) nhận theo thuật toán phân rã thường trùng với lời giải đạt cực tiểu cước phí vận chuyển (mỗi hộ tiêu thụ cung cấp hàng từ nhà máy gần nhất) Cụ thể là: xopt ij =   bj i = i(j) j=1, , n  0 i 6= i(j) xopt i = n X xopt ij ; i = 1, , m j=1 i(j) số dòng cho ci(j)j = ckj ; j = 1, , n 16k6m Mặt khác, chi phí sản xuất tốn nhiều so với cước phí vận chuyển lời giải tối ưu tốn có nhiều số i với xopt = (hàng hóa sản i xuất nhà máy có chi phí tương đối rẻ so với nhà máy khác) Ví dụ 3.1 xét khơng thuộc trường hợp kể trên, chi phí sản xuất cước phí vận chuyển có cạnh tranh lẫn Cũng từ kinh nghiệm tính tốn cho thấy cơng việc chủ yếu tốn nhiều cơng sức tính tốn giải tốn qui hoạch lõm (Qk ) Cịn toán vận tải (Tk ) giải tương đối dễ dàng Số ràng buộc thêm vào, tức số vòng lặp cần thực để nhận lời giải tối ưu (P) thường vào khoảng m+n, c tng s ă ) Vỡ th, ràng buộc toán (CP) lớn (số số phần tử M phần lớn trường hợp số ràng buộc (3.6) dùng đến giải (P) theo thuật toán phân rã Ưu điểm thuật toán phân rã so với cách tiếp cận trực tiếp đáng kể tốn có m (số nhà máy) nhỏ nhiều so với n (số hộ tiêu thụ) Tóm lại, chương đề cập tới lớp toán qui hoạch lõm có cấu trúc đặc luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 38 thù, gọi toán phân bố sản xuất với chi phí lõm Bài tốn thường gặp thực tiễn lập kế hoạch sản xuất kinh doanh hãng hay công ty Trong chương trình bày phương pháp phân rã tốn Phương pháp dựa việc giải tốn ban đầu thơng qua việc giải toán qui hoạch lõm cỡ nhỏ toán vận tải tương ứng Cuối chương xét ví dụ số minh họa cho thuật tốn giải trình bày luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom 39 KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới tốn qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính số trường hợp riêng toán phân bố sản xuất với chi phí lõm Đây tốn thuộc lớp tối ưu toàn cục đáng quan tâm nghiên cứu Luận văn trình bày nội dung sau: • Kiến thức sở tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm lõm hàm tựa lõm số tính chất chúng Cách xác định tập đỉnh đa diện lồi • Tính chất cực trị hàm lồi, hàm lõm: cực tiểu địa phương hàm lõm nói chung khơng cực tiểu tồn cục cực tiểu hàm lõm có đạt điểm cực biên (nói riêng, đỉnh) tập ràng buộc Bài tốn qui hoạch lõm: tìm cực tiểu hàm lõm (hay tựa lõm) tập lồi đóng Phương pháp xấp xỉ ngồi giải qui hoạch lõm nói chung qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính nói riêng • Phương pháp giải toán phân bố sản xuất với chi phí lõm, dựa ý tưởng phân rã toán ban đầu thành số toán qui hoạch lõm với biến số tốn vận tải tương ứng Bài toán qui hoạch lõm giải theo thuật tốn xấp xỉ ngồi, cịn tốn vận tải theo thuật toán vị qui hoạch tuyến tính Luận văn đề cập tới phương pháp xấp xỉ ngồi giải qui hoạch lõm tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm Hy vọng tương lai, tác giả luận văn có dịp tìm hiểu thêm phương pháp thuật toán khác qui hoạch lõm ứng dụng chúng luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom luan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lomluan.van.thac.si.thuat.toan.phan.ra.giai.bai.toan.phan.bo.san.xuat.voi.chi.phi.lom