(Luận văn) thuật toán phân rã giải bài toán phân bố sản xuất với chi phí lõm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM TIẾN ĐỘ lu an n va THUẬT TOÁN PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN PHÂN p ie gh tn to BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 12/2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM TIẾN ĐỘ THUẬT TOÁN PHÂN RÃ GIẢI BÀI TOÁN PHÂN lu BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM an n va tn to gh Chuyên ngành: Toán ứng dụng p ie Mã số: 60 46 01 12 d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lm ul z at nh oi NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Trần Vũ Thiệu z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 12/2015 ac th si Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.2 XÁC ĐỊNH CÁC ĐỈNH CỦA ĐA DIỆN LỒI 1.3 HÀM LỒI, HÀM LÕM VÀ HÀM TỰA LÕM 12 lu Mở đầu an n va QUI HOẠCH LÕM VỚI RÀNG BUỘC TUYẾN TÍNH 16 p ie gh tn to CỰC ĐẠI HÀM LỒI, CỰC TIỂU HÀM LÕM 16 2.2 BÀI TOÁN QUI HOẠCH LÕM w 19 2.3 THUẬT TỐN XẤP XỈ NGỒI GIẢI QUI HOẠCH LÕM 21 2.1 21 Trường hợp ràng buộc tuyến tính 22 VÍ DỤ MINH HỌA 25 nf va lm ul BÀI TOÁN PHÂN BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM 28 3.1 NỘI DUNG VÀ Ý NGHĨA BÀI TOÁN 28 3.2 Ý TƯỞNG PHÂN RÃ BÀI TOÁN 29 3.3 THUẬT TOÁN PHÂN RÃ 30 3.4 VÍ DỤ MINH HỌA THUẬT TOÁN z at nh oi an 2.4 Ý tưởng phương pháp lu 2.3.2 d oa nl 2.3.1 z co l 39 m an Lu Tài liệu tham khảo gm @ Kết luận 34 40 n va ac th si MỞ ĐẦU Bài toán cực tiểu hàm lõm tập lồi đóng gọi tốn qui hoạch lõm (Concave Programming Problem) Đây toán tối ưu tồn cục, tính phổ biến nhiều tốn tối ưu tồn cục quy dựa lu an nhiều phép giải Đơn giản nghiên cứu nhiều toán n va qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính, cịn đề tài cao học đề cập tới tn to Sách tham khảo [2], [5] nêu nhiều kết lý thuyết phương pháp giải lớp gh toán Các tài liệu tham khảo [3], [4] chủ yếu đề cập tới toán qui hoạch lõm p ie với ràng buộc tuyến tính mơ hình tốn phân bố sản xuất thường gặp w Sau học chuyên đề giải tích lồi, tối ưu hóa kiến thức có oa nl liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học ứng d dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn: lu nf va an "Thuật toán phân rã giải toán phân bố sản xuất với chi phí lõm" lm ul Mục đích luận văn tìm hiểu toán qui hoạch lõm, chủ yếu z at nh oi tốn với ràng buộc tuyến tính thuật tốn xấp xỉ ngồi giải tốn Đặc biệt ý tới thuật tốn phân rã giải mơ hình tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm Luận văn viết dựa tài liệu tham khảo [1]- [5] z gm @ Các kết cần đạt được: hiểu trình bày số nội dung sau: co l a) Hàm lõm toán cực tiểu hàm lõm tập lồi đa diện m b Thuật tốn xấp xỉ ngồi giải tốn qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính an Lu c) Bài tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm thuật toán phân rã giải toán, dựa n va kỹ thuật xấp xỉ ac th si Cấu trúc luận văn gồm chương • Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại kiến thức sở tập lồi, tập lồi đa diện, cách xác định tập đỉnh đa diện lồi hàm lồi, hàm lõm hàm tựa lõm số tính chất hàm • Chương "Bài tốn qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính" trình bày tính chất cực trị hàm lồi, hàm lõm Đáng ý cực tiểu địa phương hàm lõm nói chung khơng cực tiểu tồn cục cực tiểu hãm lõm có đạt điểm cực biên (nói riêng, đỉnh) tập ràng buộc Giới lu thiệu toán qui hoạch lõm: tìm cực tiểu hàm lõm (hay tựa lõm) tập an va lồi đóng Trình bày phương pháp xấp xỉ ngồi giải qui hoạch lõm nói chung n qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính nói riêng Cuối chương nêu ví dụ số to ie gh tn minh họa thuật tốn giải p • Chương "Bài toán phân bố sản xuất với chi phí lõm" trình bày phương pháp w nêu [4] giải số toán qui hoạch tuyến lõm cấu trúc riêng có tên oa nl tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm Phương pháp dựa ý tưởng phân d rã (chia nhỏ) toán ban đầu thành số toán qui hoạch lõm với biến lu nf va an số toán vận tải tương ứng Bài toán qui hoạch lõm giải theo thuật toán xấp xỉ ngồi, cịn tốn vận tải giải theo thuật tốn vị qui lm ul hoạch tuyến tính Cuối chương xét ví dụ số minh họa thuật tốn z at nh oi Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp z @ tục hoàn thiện luận văn sau gm Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS.Trần co l Vũ Thiệu, tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả chân thành m cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, an Lu Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy n va tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu ac th si Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức liên quan đến tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm lu lõm, hàm tựa lõm tính chất chúng Trong chương cịn trình bày cách tính an n va đỉnh đa diện lồi, nhận cách thêm ràng buộc vào đa diện lồi tài liệu [3] [5] ie gh tn to khác mà ta biết tập đỉnh Nội dụng chương tham khảo chủ yếu từ p 1.1 w TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN d oa nl Trước hết ta nhắc lại khái niệm tập lồi Rn khái niệm có liên quan nf va C, ∀λ ∈ [0, 1] an lu Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ R gọi tập lồi λa + (1 − λ)b ∈ C, ∀a, b ∈ lm ul • Ta để ý tới tập lồi đặc biệt sau đây: z at nh oi a) Tập afin tập chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng tập có dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α}, a ∈ Rn , a 6= l gm @ c) Các nửa khơng gian đóng z α ∈ R an Lu d) Các nửa không gian mở m co H + = {x ∈ Rn : aT x > α}, H − = {x ∈ Rn : aT x α} K + = {x ∈ Rn : aT x > α}, K − = {x ∈ Rn : aT x < α} n va ac th si • Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao họ tập lồi tập lồi C, D lồi ⇒ C T D lồi b) Nếu C, D ⊂ Rn C ± D = {x ± y =: x ∈ C, y ∈ D} tập lồi c) Nếu C ⊂ Rm D ⊂ Rn tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rm+n (Có thể mở rộng cho nhiều tập lồi) Định nghĩa 1.2 Cho E tập hợp Rn a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, kí hiệu aff E lu an b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, kí hiệu conv E n va thứ nguyên (số chiều) không gian song song với ie gh tn to Định nghĩa 1.3 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M, kí hiệu dim M, p b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, kí hiệu dim C, thứ nguyên (số oa nl w chiều) bao afin aff C d Định nghĩa 1.4 Tập lồi K ⊆ Rn gọi nón lồi có thêm tính chất nf va an lu λx ∈ K, ∀x ∈ K, ∀λ > Định lí 1.1 Hai tập lồi ∅ 6= C, D ⊂ Rn khơng có điểm chung (C ∩ D = ∅ ) lm ul tách siêu phẳng, nghĩa có vectơ a ∈ Rn , a 6= số α cho z at nh oi aT x α aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D z Định nghĩa 1.5 Một tập lồi F tập lồi C gọi diện C gm @ x, y ∈ C mà (1 − λ)x + λy ∈ F, < λ < [x, y] ⊂ F , nghĩa đoạn m co F l thẳng thuộc C có điểm thuộc F đoạn thẳng phải nằm trọn an Lu Một diện có số chiều gọi điểm cực biên C Nói cách khác, n va điểm thuộc C mà khơng thể điểm đoạn thẳng ac th si với hai đầu mút khác thuộc C Một diện có số chiều gọi cạnh C: cạnh hữu hạn diện đoạn thẳng, cạnh vơ hạn diện nửa hay đường thẳng Tất nhiên tập ∅ thân C diện C Một diện khác C, khác ∅ khác C, gọi diện thực C Ví dụ: diện thực khối lập phương R3 đỉnh, 12 cạnh (hữu hạn) mặt Định nghĩa 1.6 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn phương trình bất phương trình tuyến tính lu an Một tập lồi đa diện không giới nội Một tập lồi đa diện giới nội va n gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường R2 (tam giác, Mỗi điểm cực biên tập lồi đa diện gọi đỉnh tập đa diện ie gh tn to hình thang, hình vng, hình chữ nhật, ) ví dụ cụ thể đa diện lồi p Đối với đa diện lồi (tức tập lồi đa diện bị chặn) ta có định lý biểu diễn sau: nl w Định lí 1.2 Cho D đa diện lồi khác rỗng V tập đỉnh D Khi đó, d oa x ∈ D có biểu diễn: lu X λv = v∈V XÁC ĐỊNH CÁC ĐỈNH CỦA ĐA DIỆN LỒI z at nh oi lm ul 1.2 λv v với λv > v∈V nf va an x= X Mục đề cập tới toán sau thường gặp thực thi thuật tốn xấp xỉ ngồi giải qui hoạch lõm z Bài toán A Cho tập lồi đa diện bị chặn M ⊂ Rn xác định hệ ràng buộc tuyến l gm @ tính có dạng: m co hi (x) = Ai x + bi 0, i = 1, , m, an Lu Ai vectơ hàng n - chiều, bi số, m > n Giả sử ta biết U tập đỉnh M, nghĩa ta có biểu diễn M = conv U (Định lý 1.2) n va Ta giả thiết U 6= ∅ (Đa diện lồi M có đỉnh) Cho hàm afin ac th si h0 (x) = A0 x + b0 với A0 vectơ hàng n - chiều khác 0, b0 số thực Đặt: (1.1) N = M ∩ {x ∈ Rn : h0 (x) 0} Rõ ràng N đa diện lồi Bài toán đặt là: Hãy xác định tập đỉnh V N ? (Bài toán tương tự đặt giải trọn vẹn cho trường hợp tập lồi đa diện không bị chặn Tuy nhiên ta không đề cập tới đây) Để giải vấn đề đặt ra, ta ký hiệu: lu an n va U − = {u ∈ U : h0 (u) < 0} (1.2) U + = {u ∈ U : h0 (u) > 0} (1.3) tn to ie gh H = {x ∈ Rn : h(x) = 0} p Các mệnh đề sau tạo sở lý luận cho việc giải toán đặt oa nl w Mệnh đề 1.1 Nếu U + = ∅ N = M, nghĩa V = U d Chứng minh Theo giả thiết U + = ∅ nên h0 (u) với u ∈ U Với lu nf va an x ∈ M ta có biểu diễn: X λu u, λu 0, lm ul x= u∈U λu = u∈U z at nh oi Suy X h0 (x) = X λu h0 (u) u∈U z m co l Mệnh đề 1.2 Giả sử U − = ∅ Khi đó: gm V = U @ nghĩa x ∈ N Do M ⊆ N Bất đẳng thức ngược lại hiển nhiên Vậy M = N n va b) Nếu U + 6= U V = U \U + an Lu a) Nếu U + = U N = ∅, nghĩa V = ∅ ac th si Hình 1.1: Mệnh đề 1.1: U + = ∅ Chứng minh a) U = U + có nghĩa h0 (u) > với u ∈ U Từ trên, với x ∈ M , ta có: lu an va h0 (x) = X λu h0 (u) > u∈U n tn to (Bất đẳng thức có λu > 0) Vậy N = ∅ V = ∅ ie gh b) U − = ∅ có nghĩa h0 (u) > 0∀u ∈ U Vì theo Định lý 1.2, h0 (x) > 0∀x ∈ p M , nghĩa M ⊂ {x : h0 (x) > 0} Từ suy ra: w oa nl N = M ∩ {x : h0 (x) = 0} = N ∩ H 6= ∅ d (do U \(U + ∪ U − ) = U \U + 6= ∅) Chứng tỏ trường hợp N diện M, lu nf va an đỉnh N đỉnh M Vì ta có V = U \U + z at nh oi lm ul z gm @ n va a) V ∩ U = U \U + an Lu Mệnh đề 1.3 Giả sử U + 6= ∅ U − 6= ∅ Khi đó: m co l Hình 1.2: Mệnh đề 1.2: U − = ∅ ac th si 26 Hình 2.4: Tập ràng buộc tốn Ví dụ 2.1 Bước x1 = (10, 0); f (x1 ) = −300 lu an γ1 = max{−14, 0, −18, 6} = > va i1 = n tn to V1− = {(0, 0); (0, 10)}, V1+ = {(10, 0)} f = {0, −200, −48, −165} p ie gh V2 = {(0, 0); (0, 10); (4, 0); (7, 3)} nl w Bước x2 = (0, 10); f (x2 ) = −200 an lu i2 = d oa γ2 = max{−24, 0, 12, −14} = 12 > nf va V2− = {(0, 0); (4, 0)}, V2+ = {(0, 10)} lm ul V3 = {(0, 0); (0, 10); (4, 0); (7, 3)} f = {0, −200, −48, −165} z at nh oi Bước x3 = (7, 3); f (x3 ) = −165 γ3 = max{−17, 0, −9, 0} = z @ Ví dụ 2.2 Tìm cực tiểu hàm lõm bậc hai (5 biến) co l gm Dừng thuật toán: x3 = (7, 3) lời giải tối ưu với giá trị mục tiêu f (x3 ) = −165 m f (x) = −(x21 + x22 + x23 + x24 + x25 ) + 2x1 + 4x2 + 8x3 + 14x4 + 18x5 n va −x1 − 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 − 85 an Lu ràng buộc tuyến tính: ac th si 27 −7x1 + 9x2 − 5x3 + 33x4 − 11x5 − 500 2x1 − x2 + 2x3 − x4 + 2x5 − 150 1, 3x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 − 300 x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0, x5 > 0, Tập ràng buộc nằm đơn hình S1 = {x ∈ R5 : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 300, xj > 0; j = 1, 2, 3, 4, 5} Áp dụng thuật tốn xấp xỉ ngồi, ta nhận lời giải tối ưu: x∗ = (0, 190, 0, 0, 110) lu f (x∗ ) = −45460 an va n Tóm lại, chương trình bày tính chất cực trị liên quan tới hàm tn to lồi, hàm lõm Đáng ý cực tiểu địa phương hàm lõm (cực đại địa phương ie gh hàm lồi) nói chung khơng cực tiểu (cực đại) toàn cục cực tiểu hàm lõm p (cực đại hàm lồi) có đạt điểm cực biên (nói riêng, đỉnh) nl w tập ràng buộc Giới thiệu toán toán qui hoạch lõm: tìm cực tiểu hàm lõm oa (hay tựa lõm) tập lồi đóng Đó tốn điển hình tối ưu tồn cục d tốn khó có nhiều cực tiểu địa phương Trình bày phương pháp xấp xỉ ngồi lu nf va an giải qui hoạch lõm nói chung qui hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính nói riêng Cuối chương nêu ví dụ minh họa phương pháp giải trình z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 28 Chương BÀI TOÁN PHÂN BỐ SẢN XUẤT VỚI CHI PHÍ LÕM lu an Chương giới thiệu phương pháp phân rã nêu [4] giải toán phân bố va n sản xuất với chi phí lõm Phương pháp dựa việc rút gọn toán ban đầu tn to dãy tốn cỡ nhỏ tìm cực tiểu hàm lõm với ràng buộc tuyến tính, ie gh xử lý thuật toán qui hoạch lõm Cuối chương xét ví dụ số p minh họa cho thuật tốn trình bày w NỘI DUNG VÀ Ý NGHĨA BÀI TOÁN d oa nl 3.1 an lu Xét toán tối ưu sau thường gặp thực tiễn lập kế hoạch sản xuất nf va vận tải, ký hiệu toán (P): lm ul (P ) m X z at nh oi i=1 với điều kiện: n X (3.2) xij = xi ; i = 1, , m gm (3.3) xij = bj ; j = 1, , n co l i=1 i=1 j=1 @ m X (3.1) cij xij → z j=1 fi (xi ) + m X n X (3.4) m xij > 0; i = 1, , m; j = 1, , n an Lu n va ac th si 29 x = (x1 , , xm )T ∈ X đó: m X = {x ∈ R : m X xi = n X bj ; xi > 0; i = 1, , m} j=1 i=1 Có thể giải thích ý nghĩa mơ hình tốn (3.1) - (3.4) sau: Giả sử có m nhà máy giao nhiệm vụ sản xuất loại hàng (xi măng chẳng hạn) có n hộ có nhu cầu tiêu thụ loại hàng Các ký hiệu dùng mơ hình gồm có: • xi biểu thị khối lượng sản xuất hàng nhà máy thứ i (i = 1, , m) lu an • xij số lượng hàng chuyển từ nhà máy thứ i tới hộ tiêu thụ thứ j n va • cij cước phí vận chuyển đơn vị hàng từ nhà máy i tới hộ tiêu thụ j p ie gh tn to • bj nhu cầu tiêu thụ hàng biết hộ tiêu thụ thứ j (j = 1, , n) nl w • fi (xi ) chi phí sản xuất xi đơn vị hàng nhà máy i oa Bài toán đặt nên giao cho nhà máy sản xuất đơn vị hàng d tổ chức vận chuyển lượng hàng sản xuất từ nhà máy đến hộ tiêu thụ lu nf va an tổng chi phí sản xuất vận chuyển nhỏ nhất? Mơ hình tốn (P) thường gọi toán phân bố sản xuất: lập kế hoạch lm ul sản xuất, đồng thời lập phương án phấn phối sản phẩm tới hộ tiêu thụ z at nh oi Ở hàm chi phí sản xuất giả thiết lõm, nghĩa số lượng sản xuất nhiều chi phí sản xuất tính đơn vị giảm z Ý TƯỞNG PHÂN RÃ BÀI TOÁN gm @ 3.2 co l Với giả thiết đó, mặt tốn học, mơ hình (3.1) - (3.4) tốn qui hoạch m lõm: tìm cực tiểu hàm lõm (3.1) với ràng buộc tuyến tính (3.2) - (3.4) Hiện an Lu có nhiều thuật tốn hữu hạn giải toán qui hoạch lõm Tuy nhiên, qui hoạch n va lõm thuộc lớp tốn tối ưu tồn cục phức tạp khó giải nên thuật tốn ac th si 30 có giải tốt tốn có kích thước vừa phải Tuy nhiên, tốn (P) có đặc điểm số biến xi gắn với mục tiêu phi tuyến lõm toán m, số tương đối nhỏ so với số lượng biến tuyến tính ( m × n) Điểu gợi ý cho thấy toán (P) giải hiệu cách áp dụng kỹ thuật phân rã qui hoạch toán học Theo kỹ thuật này, toán ban đầu phân rã (chia nhỏ) thành dãy toán qui hoạch lõm phụ với kích thướng nhỏ (m biến lõm), tốn phụ giải hiệu thuật tốn, chẳng hạn theo thuật tốn xấp xỉ Nói cách ngắn gọn, ý tưởng phương pháp phân rã sau: Khi x (vectơ sản lu xuất) tạm cố định, toán (P) trở thành toán vận tải thơng thường Giải an n va tốn vận tải ta nhận phương án vận chuyển tối ưu vectơ sản chon tối ưu chưa Nếu chưa, ta xác định vectơ sản xuất gh tn to xuất chọn Sau dùng tiêu chuẩn tối ưu, ta kiểm tra xem vectơ sản xuất x p ie cách giải toán qui hoạch lõm phụ ta lại giải toán vận tải tương ứng với w vectơ sản xuất Cứ tiếp tục làm Sau số hữu hạn vòng lặp, ta oa nl nhận lời giải tối ưu toán (P) ban đầu d Mục mơ tả chi tiết thuật tốn phân rã mục cuối chương THUẬT TOÁN PHÂN RÃ lm ul 3.3 nf va an lu trình ví dụ minh họa cho thuật toán giải z at nh oi Thuật toán giải dựa ý tưởng phân rã nêu mục trước tốn đưa toán qui hoạch lõm Rm+1 Để làm điều này, ta đặt l cij xij : xij thỏa mãn (3.2) − (3.4)} m co i=1 j=1 gm g(x) = min{ m X n X fi (xi ) @ i=1 z f (x) = m X i=1 j=1 an Lu m n X X = max{ xi ui + bi vj } : ui + vj cij ∀i = 1, , m; j = 1, , n} n va ac th si 31 với đẳng thức cuối suy từ lý thuyết đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Giả sử M = {(u, v) ∈ Rm+n : ui + vj cij ∀i = 1, , m; j = 1, , n} ă l tập điểm cực biên (đỉnh) tập lồi đối ngẫu qui hoạch ký hiệu M tuyến tính ta cú: n m X X ă} bj vj : (u, v) ∈ M xi ui + g(x) = max{ (3.5) j=1 i=1 Vì thế, g(x) hàm lõm tuyến tính khúc theo x ∈ X Bài tốn (P) diễn đạt lại thành: lu min{f (x) + g(x) : x ∈ X} an va n Chú ý tới (3.5) đưa thêm vào biến phụ t, ta thấy toán (P) tương đương với tn to toán sau đây: (CP) ie gh f (x) + t → p với điều kiện: w oa nl −t+ m X ui xi + n X ă vj bj 0(u, v) M (3.6) j=1 i=1 d (3.7) an lu xX nf va ă hữu hạn nên toán qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính Do tập M lm ul phụ thuộc biến (t, x) ∈ Rm+1 z at nh oi Như vậy, thay cho việc giải tốn (P) ta giải tốn (CP) Tuy nhiên, để giải (CP) ta không cần biết tất ràng buộc (3.6) toán Thuật toán nêu sau tiến hành theo phương pháp xấp xỉ giới thiệu chương z @ trước cho phép vịng lặp q trình giải tạo ràng buộc D = {(t, x) : g(x) t; x ∈ X} 16i6m an Lu j=1 m n X t0 = (bj × cij ) co l gm (3.6) một, cần Cụ thể, giả sử: n va ac th si 32 Có thể thấy D tập hợp tất cặp (t, x) thỏa mãn ràng buộc (3.6) (3.7) t0 cận lớn giá cước phí vận chuyển hàm mục tiêu (3.1) vectơ sản xuất chấp nhận được, nghĩa là: (3.8) t0 g(x)∀x ∈ X Về bản, thuật toán xây dựng dãy tập lồi đa diện S1 , S2 , cho: S1 = {(t, x) : x ∈ X; t > t0 } (theo (3.8), S1 ⊃ D), Sk+1 nhận từ cách thêm vào Sk vào ràng buộc (3.6) D Vì Sk ⊃ Sk+1 ⊃ D lu Mỗi tập lồi đa diện Sk có hướng lùi xa e1 = (1, 0, , 0) ∈ Rm+1 an Lúc đầu S1 có m đỉnh: n va B = Pn j=1 bj Ở vòng lặp k, biết tập đỉnh Sk nên ta p ie gh tn to = (t0 , 0, , B, , 0); i = 1, , m tính tập đỉnh Sk+1 cách sử dụng kỹ thuật sinh đỉnh giới thiệu oa nl w Chương d Ở vịng lặp k-1, tốn nới lỏng: nf va an lu (3.9) min{f (x) + t : (t, x) ∈ Sk } lm ul giải đơn giản nhờ tính so sánh giá trị hàm f (x) + t đỉnh z at nh oi Sk Điều làm hàm f (x) + t bị chặn nửa đường thẳng song song với hướng lùi xa e1 Giả sử (tk , xk ) đỉnh Sk đạt cực tiểu (3.9) Nếu (tk , xk ) ∈ D, nghĩa z gm @ g(xk ) tk (tk , xk ) lời giải (CP) D ⊂ Sk Nếu trái lại, tập lồi đa diện Sk+1 tạo cách thêm vào Sk ràng buộc mới: ui xi + co vj bj j=1 an Lu chọn cho (tk , xk ) khơng cịn thuộc Sk+1 m i=1 n X l −t + m X n va Theo cách này, vòng lặp k thuật toán dừng cho lời giải tối ac th si 33 ưu toán (CP) tập lồi đa diện Sk+1 sinh thuật tốn thực tiếp vịng lặp k+1 Nói cách xác, mơ tả bước thuật tốn phân rã sau THUẬT TỐN Khởi sự: Giải toán qui hoạch lõm m X min{ fi (xi ) + t : x ∈ X; t > t0 } (Q1 ) i=1 để xác định vectơ sản xuất ban đầu (t1 , x1 ) Đặt số vòng lặp k = lu Vòng lặp k > Giải toán vận tải an va m X n X n (Tk ) cij xij → tn to i=1 j=1 gh với điều kiện: xij = xki ; i = 1, , m p ie n X j=1 oa nl w m X xij = bj ; j = 1, , n d i=1 an lu xij > 0; i = 1, , m; j = 1, , n nf va Giả sử {xkij } lời giải (phương án vận chuyển) tối ưu (Tk ) {uki , vjk } z at nh oi a) Nếu lm ul hệ thống vị tương ứng gk = m X n X cij xkij tk i=1 j=1 z gm @ (tiêu chuẩn tối ưu), dừng thuật toán: {xki , xkij } nghiệm tối ưu (P) Lưu ý gk = g(xk ) theo định nghĩa g(x) + n X j=1 vjk bkj > tk an Lu i=1 uki xki m gk = m X co l b) Trái lại, ta có: n va ac th si 34 (đẳng thức vế trái suy từ lý thuyết đối ngẫu qui hoạch tuyến tính) Thêm vào (Qk ) ràng buộc mới: −t + m X uki xi + n X vjk bj j=1 i=1 (từ bất đẳng thức trước cho thấy (tk , xk ) vi phạm ràng buộc này) Giải toán phụ mới: m X (Qk+1 ) fi (xi ) + t → lu i=1 an n va với điều kiện: x ∈ X, t > t0 to tn −t + m X usi xi + n X vjs bj 0, s = 1, , k j=1 Giả sử (tk+1 , xk+1 ) lời giải tối ưu (Qk+1 ) Chuyển sang vòng lặp k+1 p ie gh i=1 oa nl w Mệnh đề 3.1 Thuật toán nêu dừng sau số hữu hạn vòng lặp d Chứng minh Ký hiệu Sk tập ràng buộc (Qk ), nghĩa tập cặp (t, x) nghiệm an lu nf va m X −t + + n X lm ul i=1 usi xi vjs bj 0; s = 1, , k − j=1 z at nh oi x ∈ X, x > t0 Khi đó, Sk+1 tập thực Sk , rõ (tk , xk ) ∈ Sk \Sk+1 Vì z ă th khụng cú phn t no trựng dãy {(u1 , v ), , (uk , v k ), } ⊂ M @ VÍ DỤ MINH HỌA THUẬT TOÁN m co 3.4 l gm ¨ hữu hạn nên thuật tốn khơng thể kéo dài vơ hạn thuật tốn sinh Vì tập M n va trên: an Lu Mục trình bày số ví dụ cụ số cỡ nhỏ để minh họa cho thuật tốn nêu ac th si 35 Ví dụ 3.1 Giải toán (P) với m = 3, n =5: b = (62, 65, 51, 10, 15)  66 68 81     C = 40 20 34 83 27   90 22 82 17   0 xi = i=1, 2, fi (xi ) =  di + ci xi xi >     c = 1, 8, 4, , d = 88 39 lu an Kết tính tốn tóm tắt sau: n va Nghiệm tối ưu (Q1 ): to   (t1 , x ) = 3636 303 0 gh tn p ie Vòng lặp 1: Giá trị mục tiêu tối ưu (T1 ) : g1 = 9000 > t1     Các vị tương ứng với x1 : u1 = −46 −64 ,v = 66 68 81 w oa nl Ràng buộc 1: −t − 46x2 − 64x3 + 9000 d Nghiệm tối ưu (Q2 ): an lu  (t2 , x ) = 363 119, 1875 83, 8125 nf va  lm ul z at nh oi Vòng lặp 2: Giá trị mục tiêu tối ưu (T2 ) : g2 = 5535, 25 > t2   2 Các vị tương ứng với x : u = −106 −140 −102 ,   v = 112 124 174 119 110 z Ràng buộc 2: −t − 106x1 − 140x2 − 102x3 + 26718 @ m co  (t3 , x ) = 3636 104, 51, 46,  l gm Nghiệm tối ưu (Q3 ): an Lu n va Vòng lặp 3: Giá trị mục tiêu tối ưu (T3 ) : g3 = 4651, 44407 > t3   3 Các vị tương ứng với x : u = −60 −94 −92 , ac th si 36   v = 66 114 128 109 64 Ràng buộc 3: −t − 60x1 − 94x2 − 92x3 + 20080 Nghiệm tối ưu (Q4 ):   (t4 , x ) = 3636 73, 176 54, 824 75 Vòng lặp 4: Giá trị mục tiêu tối ưu (T4 ) : g4 = 3773, 647 > t4   4 Các vị tương ứng với x : u = −48 −46 −44 ,   v = 54 66 80 61 52 lu Ràng buộc 4: −t − 48x1 − 46x2 − 44x3 + 13108 an Nghiệm tối ưu (Q5 ): n va gh tn to   (t5 , x5 ) = 3766 77 51 75 p ie Vòng lặp 5: Giá trị mục tiêu tối ưu (T5 ) : g5 = 3766 = t5 Dừng thuật toán w Nghiệm tối ưu tốn: oa nl • Vectơ sản xuất: x1 = 77, x2 = 51, x3 = 75 d • Phương án vận chuyển: nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ m co l • Chi phí tổng cộng (sản xuất + vận chuyển) nhỏ 4805,8 an Lu Như vậy, thuật tốn phân rã trình bày gồm hai việc giải tốn qui hoạch lõm (Qk ), xem kẽ với giải toán vận tải (Tk ) Các toán n va (Qk ) giải theo thuật tốn xấp xỉ ngồi (Chương 2) bàn toán (Tk ) ac th si 37 giải theo thuật toán vị quen thuộc qui hoạch tuyến tính Thực tế tính tốn giải tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm cho thấy cước phí vận chuyển đáng kể so với chi phí sản xuất nhà máy nghiệm tối ưu tốn (P) nhận theo thuật toán phân rã thường trùng với lời giải đạt cực tiểu cước phí vận chuyển (mỗi hộ tiêu thụ cung cấp hàng từ nhà máy gần nhất) Cụ thể là: xopt ij =   bj i = i(j) j=1, , n  0 i 6= i(j) lu an xopt i n X = xopt ij ; i = 1, , m n va j=1 gh tn to i(j) số dịng cho ci(j)j = ckj ; j = 1, , n p ie 16k6m w Mặt khác, chi phí sản xuất tốn nhiều so với cước phí vận chuyển oa nl lời giải tối ưu tốn có nhiều số i với xopt = (hàng hóa sản i d xuất nhà máy có chi phí tương đối rẻ so với nhà máy khác) lu an Ví dụ 3.1 xét không thuộc trường hợp kể trên, chi phí sản xuất nf va cước phí vận chuyển có cạnh tranh lẫn lm ul Cũng từ kinh nghiệm tính tốn cho thấy công việc chủ yếu tốn nhiều công sức z at nh oi tính tốn giải tốn qui hoạch lõm (Qk ) Cịn tốn vận tải (Tk ) giải tương đối dễ dàng Số ràng buộc thêm vào, tức số vòng lặp cần thực để nhận lời giải tối ưu (P) thường vào khoảng m+n, tổng số z gm @ ă ) Vỡ th, rng buc toán (CP) lớn (số số phần tử M phần lớn trường hợp số ràng buộc (3.6) dùng đến giải (P) theo l co thuật toán phân rã Ưu điểm thuật toán phân rã so với cách tiếp cận trực tiếp m đáng kể tốn có m (số nhà máy) nhỏ nhiều so với n (số an Lu hộ tiêu thụ) n va Tóm lại, chương đề cập tới lớp tốn qui hoạch lõm có cấu trúc đặc ac th si 38 thù, gọi tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm Bài toán thường gặp thực tiễn lập kế hoạch sản xuất kinh doanh hãng hay công ty Trong chương trình bày phương pháp phân rã toán Phương pháp dựa việc giải toán ban đầu thơng qua việc giải tốn qui hoạch lõm cỡ nhỏ toán vận tải tương ứng Cuối chương xét ví dụ số minh họa cho thuật tốn giải trình bày lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 39 KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới toán qui hoạch lõm ràng buộc tuyến tính số trường hợp riêng tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm Đây tốn thuộc lớp tối ưu tồn cục đáng quan tâm nghiên cứu lu an Luận văn trình bày nội dung sau: va n • Kiến thức sở tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm lõm hàm tựa lõm to gh tn số tính chất chúng Cách xác định tập đỉnh đa diện lồi p ie • Tính chất cực trị hàm lồi, hàm lõm: cực tiểu địa phương hàm lõm nói w chung khơng cực tiểu tồn cục cực tiểu hàm lõm có đạt oa nl điểm cực biên (nói riêng, đỉnh) tập ràng buộc Bài toán qui hoạch d lõm: tìm cực tiểu hàm lõm (hay tựa lõm) tập lồi đóng Phương pháp lu an xấp xỉ ngồi giải qui hoạch lõm nói chung qui hoạch lõm với ràng buộc nf va tuyến tính nói riêng lm ul • Phương pháp giải tốn phân bố sản xuất với chi phí lõm, dựa ý tưởng z at nh oi phân rã toán ban đầu thành số toán qui hoạch lõm với biến số toán vận tải tương ứng Bài toán qui hoạch lõm giải theo thuật z tốn xấp xỉ ngồi, cịn tốn vận tải theo thuật toán vị qui hoạch l gm @ tuyến tính co Luận văn đề cập tới phương pháp xấp xỉ giải qui hoạch lõm toán m phân bố sản xuất với chi phí lõm Hy vọng tương lai, tác giả luận văn có dịp an Lu tìm hiểu thêm phương pháp thuật toán khác qui hoạch lõm n va ứng dụng chúng ac th si 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu Bùi Thế Tâm (1998), Các phương pháp tối ưu hóa Nhà xuất lu Giao thơng vận tải an va n [2] Hồng Tụy (2003), Lý thuyết tối ưu (Bài giảng lớp cao học) Viện Toán học, Tiếng Anh p ie gh tn to Hà Nội nl w oa [3] Thieu T V., (1984), A finite method for globally minimizing concave func- d tions over unbounded polyhedral convex sets and its applications, Acta math an lu Vietnamica, Vol 9, pp 173 - 191 nf va lm ul [4] Thieu T V (1987), Solving the lay - out planning problem with concave cost, z at nh oi Essays on Nonlinear Analysis and Optimization Problems, pp 101 - 110 [5] Hoang Tuy (1998), Convex analysis and global optimization Kluwer Academic z Publishers, Boston/ London/ Dordrecht m co l gm @ an Lu n va ac th si