luận văn thạc sĩ một vài kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2017 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Mục lục ii Danh sách ký hiệu iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tiền Hilbert 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Các ví dụ 1.1.4 Một vài tính chất Tập lồi hàm lồi không gian Hilbert 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 11 Hàm toàn phương 17 1.2 1.3 Bài tốn quy hoạch tồn phương 21 2.1 Giới thiệu toán 21 2.1.1 Phát biểu toán 21 Các định lí tồn nghiệm 23 2.2 download by : skknchat@gmail.com ii 2.2.1 Bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính 2.2.2 23 Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi với hữu hạn ràng buộc tồn phương lồi khơng gian Hilbert thực 37 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong iii Danh sách ký hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực Rn Không gian số thực n chiều h., i Tích vơ hướng k.k Chuẩn 0+ F Nón lùi xa tập lồi F ∂f (x) Dưới vi phân f x ∂ε f (x0 ) ε−Dưới vi phân f x0 ∇f (x) Đạo hàm f x Rm×n Khơng gian ma trận cấp m × n Rn×n S Khơng gian ma trận đối xứng cấp n × n AT Ma trận chuyển vị ma trận A B(x0 , ρ) Hình cầu đóng tâm x0 bán kính ρ H Khơng gian Hilbert thực luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong Mở đầu Quy hoạch toàn phương phận đặc biệt quy hoạch phi tuyến, có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tế Đây vấn đề nhiều nhà Toán học nghiên cứu xây dựng nên nhiều thuật toán để giải Sau học kiến thức chun ngành Tốn ứng dụng, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng Đồng thời muốn tìm hiểu sâu kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương Tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một vài kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương" Luận văn trình bày tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính Rn tốn quy hoạch tồn phương lồi với ràng buộc tồn phương lồi khơng gian Hilbert Các kết thông tin luận văn viết dựa vào báo "On the Solution Existence of Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces" Vũ Văn Đông Nguyễn Năng Tâm, 2016 Luận văn chia thành hai chương với nội dung sau: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị", chương trình bày số kiến thức sở không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi không gian Hilbert Chương 2: "Bài tốn quy hoạch tồn phương", chương trình bày nội dung tốn quy hoạch tồn phương tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính khơng gian Rn tốn quy hoạch tồn phương lồi với hữu hạn ràng buộc toàn phương lồi luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong không gian Hilbert thực Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Đào Thị Thu luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức cở không gian Hilbert giải tích lồi Đó kết dùng cho chương sau Nội dung chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [1], [2], [3] [4] 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho H khơng gian trường K Tích vơ hướng H ánh xạ xác định sau: h., i : H × H → K, (x, y) 7→ hx, yi, thỏa mãn điều kiện sau đây: a) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H; b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H; c) hλx, yi = λhx, yi với x, y ∈ H; λ ∈ K; d) hx, xi ≥ với x ∈ H hx, xi = x = Số hx, yi gọi tích vơ hướng hai véctơ x y Cặp (H, h., i) gọi không gian tiền Hilbert (hay cịn gọi khơng gian Unita) Từ định nghĩa ta thấy với trường R tích vơ hướng h., i dạng song tuyến tính xác định dương H Khi H gọi không gian tiền Hilbert thực luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong Định lí 1.1.2 Cho H khơng gian tiền Hilbert với x, y ∈ H ta có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi Dấu "=" xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.1.3 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi kxk = hx, xi, x ∈ H xác định chuẩn H 1.1.2 Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert xem khơng gian định chuẩn đầy đủ không đầy đủ Định nghĩa 1.1.4 Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng gọi khơng gian Hilbert Cũng tương tự trường hợp không gian tiền Hilbert, với trường R ta có khơng gian Hilbert thực 1.1.3 Các ví dụ i) Rn khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng hx, yi = n X xi yi , x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn i=1 ii) Xét không gian ( l2 = ) ∞ luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 18  −1  xT = (x1 , x2 ) ∈ R2 Với ∀xT ∈ Ví dụ 1.3.3 Xét A =  −1 R2 \{0}, ta có    −1 x1   hx, Axi = xT Ax = (x1 , x2 )  −1 x2   x1 − x2  = (x1 , x2 )  −x1 + x2  = x21 − x1 x2 − x1 x2 + x22 = x21 − 2x1 x2 + x22 ≥ Suy A ma trận nửa xác định dương Mệnh đề 1.3.4 Cho f (x) = hx, Dxi + hC, xi + α với D ∈ Rn×n S ,C ∈ Rn , α ∈ R Nếu D ma trận nửa xác định dương f (x) hàm tồn phương lồi Chứng minh Ta có hàm x 7→ hC, xi + α hàm lồi Thật vậy, với t ∈ [0; 1], x ∈ Rn hC, tx + (1 − t)yi + α = thC, xi + (1 − t)hC, yi + α = tf (x) + (1 − t)f (y) Tổng hai hàm lồi hàm lồi nên để chứng minh mệnh đề ta chứng minh f (x) = hx, Dxi hàm lồi D nửa xác định dương Thật vậy, D ma trận nửa xác định dương nên với u, v ∈ Rn ta có ≤ hu − v, D(u − v)i = hu, Dui − 2hv, Dui + hv, Dvi Suy hv, Dvi ≤ hu, Dui − 2hv, D(u − v)i luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com (1.6) luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 19 Cho x, y ∈ Rn , ∀t ∈ [0; 1] Đặt z = tx + (1 − t)y Trong (1.6) thay v z ta có hz, Dzi ≤ hy, Dyi − 2hz, D(y − z)i; hz, Dzi ≤ hx, Dxi − 2hz, D(x − z)i Vì z = tx + (1 − t)y nên y − t = t(y − x), x − t = −(1 − t)(y − x) Suy hz, Dzi ≤ hy, Dyi − 2thz, D(y − x)i; hz, Dzi ≤ hx, Dxi − 2(1 − t)hz, D(y − x)i Vì t ∈ (0; 1) nên − t > 0; t > Suy thz, Dzi + (1 − t)hz, Dzi ≤ (1 − t)hy, Dyi + thx, Dxi hay hz, Dzi ≤ thx, Dxi + (1 − t)hy, Dyi hay f1 (tx + (1 − t)y) ≤ tf1 (x) + (1 − t)f1 (y) Suy f1 (x) = hx, Dxi hàm lồi Do f (x) = hx, Dxi + hC, xi + α hàm toàn phương lồi Nhận xét: Nếu D nửa xác định âm f hàm lõm, tức ∀x, y ∈ Rn , t ∈ (0; 1) f (tx + (1 − t)y) ≥ tf (x) + (1 − t)f (y) Ví dụ 1.3.5 Cho hàm toàn phương f (x) = (3x21 − 4x1 x2 + 4x22 ) + 4x1 − 3x2 −     3; −2  , C =   , α = −9 Do ma trận D xác định Ta có D =  −2; dương (dùng quy tắc Jacobi) nên f hàm lồi ngặt R2 luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 20 Mệnh đề 1.3.6 (Định lí Weierstrass) Xét hàm lồi thường đóng f : Rn → (−∞, +∞] giả sử ba điều kiện sau thỏa mãn (i) dom(f ) bị chặn; (ii) tồn số thực γ cho tập mức {x| f (x) ≤ γ} khác rỗng bị chặn; (iii) f hàm Khi đó, tập cực tiểu Sol(P ) f Rn khác rỗng compact Chứng minh • Giả sử điều kiện (i) Vì f hàm thường đóng nên dom(f ) 6= ∅ Xét dãy {xk } ⊂ dom(f ) cho lim f (x) = infn f (x) k→∞ x∈R Vì dom(f ) bị chặn nên dãy có điểm giới hạn yếu x∗ Vì f lồi, đóng nên f nửa liên tục yếu x∗ Do f (x∗ ) ≤ lim f (x) = k→∞ inf f (x), suy x điểm cực tiểu f (x) ∗ x∈Rn Như Sol(P ) 6= ∅; Sol(P ) ⊂ dom(f ) dom(f ) bị chặn nên suy Sol(P ) bị chặn Tuy nhiên Sol(P ) giao tất tập mức {x| f (x) ≤ γ} γ > infn f (x) Vì f đóng nên tập mức x∈R đóng, Sol(P ) đóng, suy Sol(P ) compact yếu • Giả sử điều kiện (ii) đúng, ta việc thay f hàm   f (x) f (x) ≤ γ fe(x) = ∞ f (x) > γ Miền xác định fe tập mức {x| f (x) ≤ γ} Nó bị chặn giả thiết đóng f đóng Tập cực tiểu fe tập cực tiểu f Áp dụng điều kiện (i) suy điều phải chứng minh • Giả sử điều kiện (iii) Vì f thường nên có tập mức khác tập rỗng Vì f nên tập mức khác rỗng, bị chặn hay {x| f (x) ≤ γ} = ∅ bị chặn, suy (ii) đóng, suy điều phải chứng minh luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 21 Chương Bài tốn quy hoạch tồn phương Trong chương luận văn trình bày vài kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính khơng gian Hilbert thực hữu hạn chiều tốn quy hoạch tồn phương lồi với hữu hạn ràng buộc tồn phương lồi khơng gian Hilbert thực Nội dung chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu tham khảo [5], [6] [7] 2.1 Giới thiệu toán 2.1.1 Phát biểu tốn Ta xét tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính Rn : Định nghĩa 2.1.1 Bài toán          f (x) = hx, Dxi + hc, xi + α       x ∈ Rn , Ax ≥ b (2.1) D ∈ RSn×n , A ∈ Rm×n , c ∈ Rn , b ∈ Rm , α ∈ R gọi tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính Rn Nếu D ma trận α = f hàm tuyến tính Do đó, lớp luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 22 tốn quy hoạch tuyến tính lớp tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính Nếu hàm mục tiêu f hàm lồi tốn (2.1) gọi tốn quy hoạch tồn phương lồi Nếu f khơng lồi (2.1) tốn quy hoạch tồn phương không lồi Nếu ta bỏ số α cơng thức hàm mục tiêu f khơng làm thay đổi tập nghiệm tốn quy hoạch tồn phương ban đầu Do đó, ta cần xét toán          f (x) = hx, Dxi + hc, xi   (P ) :     x ∈ Rn , Ax ≥ b D ∈ RSn×n , A ∈ Rm×n , c ∈ Rn , b ∈ Rm Trong không gian Hilbert thực H nói chung ta xét tốn quy hoạch tồn phương lồi sau: Định nghĩa 2.1.2            f (x) = 2hx, T xi + hc, xi (CQP ) :       x ∈ H, gi (x) = hx, Ti xi + hci , xi + αi ≤ 0, i = 1, 2, , m T, Ti : H → H tốn tử tuyến tính tự liên hợp, nửa xác định dương c, ci ∈ H, αi ∈ R, i = 1, 2, , m Nhận xét: Nếu với i = 1, 2, , m mà Ti tốn tử khơng tốn (CQP ) tốn quy hoạch tồn phương lồi tập ràng buộc tuyến tính (QP L) Nếu T, Ti tốn tử không với i = 1, 2, , m tốn (CQP ) luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 23 trở thành toán quy hoạch tuyến tính lớp lớp tốn quy hoạch tuyến tính lồi ràng buộc có dạng tồn phương lồi F = {x ∈ H| gi (x) = 12 hx, Ti xi + αi ≤ 0, ∀i = 1, 2, , m} tập ràng buộc toán (CQP ), F lồi đóng bị chặn 2.2 2.2.1 Các định lí tồn nghiệm Bài tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính Định lí 2.2.1 (Định lí Frank - Wolfe) Nếu θ = inf{f (x) : x ∈ ∆} số thực hữu hạn tốn (P ) có nghiệm, ∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} = ∆(A, b) Chứng minh Dùng tính chất compact mặt cầu đơn vị Giả sử θ ∈ R Ta cần chứng minh tốn (P ) có nghiệm Do θ ∈ R nên ∆ 6= ∅ Lấy x0 ∈ ∆, với ρ > tùy ý Đặt ∆ρ = ∆ ∩ B(x0 , ρ) Suy ∆ρ tập lồi, khác rỗng compact Xét toán min{f (x) : x ∈ ∆ρ } (2.2) Theo định lí Weierstrass, tồn y ∈ ∆ρ cho f (y) = qρ := min{f (x) : x ∈ ∆ρ } Vì tập nghiệm (2.2) khác rỗng compact nên tồn yρ ∈ ∆ρ cho ky − x0 k = min{ky − x0 k : y ∈ ∆ρ , f (y) = qρ } Khi đó, tồn ρb > cho kyρ − x0 k < ρ, ∀ρ ≥ ρb (2.3) Thật vậy, giả sử trái lại ta tìm dãy tăng {ρk } ρk → +∞ cho với k tồn yρk ∈ ∆ρk cho f (yρk ) = qρk ; kyρk − x0 k = ρk luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 24 Để đơn giản cho kí hiệu ta viết y k thay cho yρk Vì y k ∈ ∆ nên Ai y k ≥ bi , ∀i = 1, 2, , m Với i = ta có dãy {A1 y k } bị chặn nên tồn dãy {k } ⊂ {k} 0 cho lim A1 y k tồn (có thể lim A1 y k = +∞) Khơng tính tổng k →+∞ k →+∞ quát ta giả sử {k } ≡ {k}, lim A1 y k tồn k→∞ Tương tự, với i = ta có lim A2 y k tồn Tiếp tục trình k→∞ với i = m ta có lim Am y k tồn Khi đó, với i ∈ {1, 2, , m} ta ln k→∞ có lim Ai y k tồn k→∞ Đặt I = {1, 2, , m}, I0 = {i ∈ I : lim Ai y k = bi }, I1 = I\I0 = {i ∈ k→∞ k I : lim Ai y > bi } k→∞ Khi đó, tồn ε > cho lim Ai y k ≥ bi + ε, ∀i ∈ I1 Mặt khác k→∞ k kyk − x0 k = ρk , suy k y −x k = 1, ∀k ρk Vì mặt cầu đơn Rn compact nên khơng tính tổng quát ta vị trong  y k − x0  giả sử dãy hội tụ v ∈ Rn k → ∞ kvk = Vì  ρk  ρk → +∞ nên với i ∈ I0 ta có  = lim (Ai y k − bi ) = lim  k→∞ Ai y − bi  ρk  k→∞  = lim Ai k→∞ k k y − x0 ρk    + lim  k→∞ Ai x − bi  ρk  = Ai v Tương tự, với i ∈ I1 ta có     k k 0 A i y − bi Ai y − Ai x Ai x − bi  = lim inf   ≤ lim inf  + k→∞ k→∞ ρk ρk ρk luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 25  k = lim Ai y − x0 ρk k→∞    + lim  Ai x − bi k→∞ ρk   = Ai v Khi Ai v = 0, ∀i ∈ I0 Ai v ≥, ∀i ∈ I1 Suy v phương lùi xa tập lồi đa diện ∆ Do y + tv ∈ ∆ ∀t ≥ y ∈ ∆ (2.4) V f (y k ) = f (yρk ) = qρk = min{f (x) : x ∈ ∆ρk } = min{f (x) : x ∈ ∆ ∩ B(x0 , ρk )} Vì dãy ρk dãy tăng ρk → +∞ nên ta có {f (y k )} dãy giảm f (y k ) → θ với k đủ lớn Ta có θ − ≥ f (y k ) ≥ θ + Sử dụng cơng thức hàm f ta viết dạng θ − ≤ hy k − x0 , D(y k − x0 )i + hC, y k − x0 i + hx, D(y k − x0 )i + hx0 , Dx0 i + hC, x0 i < θ + Chia vế bất đẳng thức cho ρ2k cho k → +∞ ta ≤ hv, Dvi ≤ ⇒ hv, Dvi = Từ (2.4) suy y + tv ∈ ∆, ∀t ≥ k ∈ N Kết hợp với điều kiện hv, Dvi = ta có f (y k + tv) = hy k + tv, D(y k + tv)i + hc, y k + tvi = hy k , Dy k i + hc, y k i + thy k , Dvi + hc, vi Suy hy k , Dvi + hc, vi ≥ 0, ∀k ∈ N luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com (2.5) luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 26 Giả sử ngược lại hy k , Dvi+hc, vi < với k ∈ N f (y k +tv) → −∞ t → +∞ Điều trái với giả thiết θ ∈ R Do có (2.5) Mặt khác hv, vi = y k − x0 ρk * → v nên ∃k1 ∈ N cho y k − x0 ρk + ,v > 0, ∀k > k1 Cố định k ≥ k1 ta có hy k − x0 , vi > Suy ky k − x0 − tvk2 = ky k − x0 k2 − 2thy k − x0 , vi + t2 kvk2 ≤ ky k − x0 k2 (2.6) Với t > đủ nhỏ Ta lại có Ai (y k − tv) = Ai y k ≥ bi , ∀i ∈ I0 (do với i ∈ Ik ta có Ai v = 0) Mặt khác lim Ai y k ≥ bi + ε, ∀i ∈ I1 nên ∃k2 ∈ N, k2 ≥ k1 cho ε Ai y k ≥ bi , ∀k ≥ k2 , i ∈ I1 ε Cố định số k ≥ k2 chọn δk > cho tAi v ≤ , ∀i ∈ I1 , t ∈ (0, δk ) Khi Ai (y k − tv) ≥ bi + ε − tAi v ≥ bi , ∀i ∈ I1 , t ∈∈ (0, δk ) Suy y k − tv ∈ ∆, ∀t ∈ (0, δk ) Kết hợp với (2.6) ta có y k − tv ∈ ∆ k(y k − tv) − x0 k = ky k − x0 − tvk ≤ ky k − x0 k = ρk với t ∈ (0, δk ) đủ nhỏ Từ (2.5) ta có f (y k − tv) = hy k , Dy k i + hc, y k i + hy k , Dv + hc, vii = f (y k ) − thy k , Dv + hc, vii ≤ f (y k ) luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 27 Do y k − tv nghiệm toán min{f (x) : x ∈ ∆ρk } Từ bất đẳng thức k(y k − tv) − x0 k < ky k − x0 k suy y k khơng phải nghiệm tốn với khoảng cách tới x0 nhỏ Điều trái với giả thiết ky k − x0 k = min{ky − x0 k : ∈ ∆ρk , f (y) = qρk } Vậy ta chứng minh tồn ρb > cho (2.3) thỏa mãn Tiếp tục, trình chứng minh ta tồn ρ > ρb cho (2.7) qρ = θ Vì qρ = min{f (x) : ρx ∈ ∆ρ } nên kết (2.7) suy định lí chứng minh Ta chứng minh khẳng định (2.7) phản chứng Giả sử ngược lại qρ 6= θ, ∀ρ > ρb (2.8) Chú ý qρ ≥ ρ0ρ với ρ0 ≥ ρ qρ → θ ρ → +∞ Từ (2.8) suy tồn ρi ∈ (b ρ, +∞), (i = 1, 2) cho ρ1 < ρ2 qρ1 > qρ2 Vì ρ2 > ρ1 nên kết (2.3) ta có kyρ2 − x0 k < ρ2 Ta có qρ1 > qρ2 nên ρ1 < kyρ2 k Thật ρ1 ≥ kyρ2 − x0 k yρ2 ∈ ∆ρ2 f (yρ2 ) = qρ2 < qρ1 = f (yρ1 ) Điều mâu thuẫn với cách chọn qρ1 Đặt ρ3 = kyρ2 − x0 k ta có ρ1 < ρ3 < ρ2 Vì ρ3 < ρb ρ2 > ρb nên từ khẳng định (2.3) ta có kyρ3 − x0 k < ρ3 = kyρ2 − x0 k < ρ2 (2.9) Vì ρ2 > ρ3 nên qρ3 = f (yρ3 ) ≥ f (yρ2 ) = qρ2 Nếu f (yρ3 ) = f (yρ2 ) từ (2.9) suy yρ3 véctơ chấp nhận toán min{f (x) : x ∈ ∆ρ2 } luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com (2.10) luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 28 Với hàm mục tiêu có giá trị tối ưu qρ2 = f (yρ2 ) mà f (yρ3 ) = f (yρ2 ) nên yρ3 nghiệm toán (2.10) Mặt khác kyρ3 − x0 k < kyρ2 − x0 k Suy yρ2 khơng phải nghiệm tốn (2.10) với khoảng cách tới x0 đủ nhỏ Điều trái với tồn yρ2 Do f (yρ3 ) > f (yρ2 ) Ta lại có kyρ2 − x0 k = ρ3 nên yρ3 điểm chấp nhận toán min{f (x) : x ∈ ∆ρ3 } Từ bất đẳng thức f (yρ3 ) > f (yρ2 ) dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện yρ3 nghiệm tối ưu toán Suy khẳng định (2.7) chứng minh Vậy tốn (P) có nghiệm Nhận xét: Định lý Frank - Wolfe phát biểu sau: Nếu hàm toàn phương f bị chặn tập lồi đa diện khác rỗng f đạt giá trị nhỏ tập Ví dụ 2.2.2 Xét tốn quy hoạch tồn phương hai biến min{f (x) = 3x21 − 4x1 x2 + 5x22 ; x1 − 2x2 ≥ 1, x2 ≥ 0} Trong toán ta có f (x) = 3x21 − 4x1 x2 + 5x22 = 2x21 + (x1 − 2x2 )2 + x22 ≥ với x ∈ R2 ∆ = {xT = (x1 , x2 ) ∈ R2 cho x1 − 2x2 ≥ 1, x2 ≥ 0} tập lồi đa diện, khác rỗng Theo định lí Frank - Wolfe tốn cho có nghiệm Có thể thấy nghiệm cực tiểu toán x∗ = (1, 0) với fmin = f (x∗ ) = Ví dụ 2.2.3 Xét tốn quy hoạch tồn phương hai biến min{f (x) = (2x21 +16x1 x2 +30x22 )−2x2 −6; x1 +5x2 ≥ 3, x1 +3x2 ≥ 4} Bài tốn ta có f (x) = x21 + 8x1 x2 + 15x22 − 2x2 − luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 29 = x21 + 8x1 x2 + 16x22 − x22 − 2x2 − = (x1 + 4x2 )2 − (x2 + 1)2 − ≥ (3 + 1)(4 − 1) − = 7; ∀(x1 , x2 )T ∈ ∆ Ta có f bị chặn miền ràng buộc ∆ = {xT = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 + 5x2 ≥ 3, x1 + 3x2 ≥ 4} Ta có (1; 1)T ∈ ∆, suy ∆ 6= ∅ Theo định lí Frank - Wolfe tốn có  T 11 nghiệm Rõ ràng x∗ =  ; −  nghiệm fmin = f (x∗ ) = 2 Ví dụ 2.2.4 Xét tốn min{f (x) = 2x2 + 1; x1 x2 − x2 ≥ 1, x2 ≥ 0, x1 ≥ 1}, f (x) = 2x2 + hàm toàn phương Tập ràng buộc ∆ = {xT = (x1 , x2 ) ∈ R2 : (x1 − 1)x2 ≥ 1, x1 ≥ 1, x2 ≥ 0} tập lồi đa diện Ta có f (x) = 2x2 + ≥ 1, ∀(x1 , x2 ) ∈ ∆, suy f (x) bị chặn tập ∆ 6= ∅   Lấy {xk } = 1 + k,  ∈ ∆, k ∈ N, f (xk ) = + 1, suy lim = k→+∞ k k   lim  + 1 = 1, suy θ = inf{f (x) : x ∈ ∆} = k→+∞ k Mặt khác f (x) = 2x2 + = x2 = mà (x1 , 0) ∈ / ∆ Vậy tốn vơ nghiệm luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 30 Ví dụ 2.2.5 Xét toán     x+1 : x ∈ R, x ≥ f (x) =   x−2 Ta có f khơng hàm tồn phương Miền ràng buộc ∆ = {x ∈ R : x ≥ 3} tập lồi đa diện  ∆ 6= ∅   x+1 Ta có θ = inf f (x) = : x ∈ R, x ≥ = 1, lim f (x) = x→+∞   x−2 Rõ ràng toán min{f (x)| x ∈ ∆} trường hợp khơng có nghiệm Qua Ví dụ 2.2.4 Ví dụ 2.2.5 ta thấy định lí Frank - Wolfe thiếu hai giả thiết hàm tồn phương miền ràng buộc tập lồi đa diện định lí khơng cịn Định lí 2.2.6 (Định lí Eaves) Bài tốn (P) có nghiệm ba điều kiện sau thỏa mãn: (i) ∆ 6= ∅; (ii) Nếu v ∈ Rn Av ≥ hv, Dvi ≥ 0; (iii) Nếu v ∈ Rn cho Av ≥ 0, hv, Dvi = Ax ≥ b hDx + c, vi ≥ Chứng minh Giả sử tốn (P ) có nghiệm x, ta cần chứng minh điều kiện (i), (ii), (iii) thỏa mãn Thật vậy, x nghiệm tốn (P ) nên x ∈ ∆, suy ∆ 6= ∅ tức (i) thỏa mãn Giả sử v ∈ Rn Av ≥ Ta có A(x + tv) = Ax + tAv ≥ b + = b, ∀t ≥ nên x + tv ∈ ∆, ∀t ≥ Suy f (x + tv) ≥ f (x), ∀t ≥ hay 1 hx + tv, D(x + tv)i + hC, t + tvi ≥ hx, Dxi + hc, xi 2 luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 31 ⇒ t2 hv, Dvi + thDx + c, vi ≥ 0, ∀t ≥ Suy hv, Dvi ≥ (vì ngược lại hv, Dvi < ta cho t → +∞ vế trái bất đẳng thức tiến tới −∞, điều vô lý) Do đó, điều kiện (ii) thỏa mãn Giả sử v ∈ Rn x ∈ Rn cho Av ≥ 0, hv, Dvi ≥ Ax ≥ b x + tv ∈ ∆, ∀t ≥ x nghiệm toán (P ) nên f (x + tv) ≥ f (x), ∀t ≥ Từ điều kiện hv, Dvi = suy thDx + c, vi + hx, Dxi + hc, xi ≥ f (x), ∀t ≥ Nếu hDx + c, vi < ta cho t → +∞ bất đẳng thức dẫn đến điều vô lý Suy ra, điều kiện (iii) thỏa mãn Ngược lại, giả sử ba điều kiện (i), (ii), (iii) thỏa mãn Ta chứng minh tốn (P ) có nghiệm Đặt θ = inf{f (x) : x ∈ Rn , Ax ≥ b} Vì ∆ 6= ∅ nên θ 6= +∞ Nếu θ ∈ R theo định lí Frank - Wolfe tốn (P ) có nghiệm Ta chứng minh θ = −∞ không xảy Thật vậy, giả sử θ = −∞ Cố định x0 ∈ ∆, với ρ > ta định nghĩa ∆ρ = ∆ ∩ B(x0 , ρ) Ta xét toán min{f (x) : x ∈ ∆ρ } Gọi qρ giá trị tối ưu toán Lấy yρ ∈ ∆ρ cho f (yρ ) = qρ kyρ − x0 k = min{ky − x0 k : y ∈ ∆ρ , f (yρ ) = qρ } Khi đó, ln tồn ρb > cho kyρ − x0 k < ρ, ∀ρ ≥ ρb Thật vậy, giả sử ngược lại ta tìm dãy tăng {ρk } : ρk → +∞ cho k tồn yρk ∈ ∆yρk cho f (ρk ) = qρk , kyρk − x0 k = ρk Để đơn giản cho kí hiệu ta viết y k thay cho yρk Vì y k ∈ ∆ nên Ai y k ≥ bi , ∀i = 1, 2, , m Với i = ta có dãy A1 y k bị chặn nên tồn dãy {k } ⊂ {k} cho lim A1 y k = y tồn (có thể xảy trường hợp Ak1 = 1) Khơng tính k →∞ luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong 32 tổng quát ta giả sử {k } = {k} Khi lim A1 y k tồn k→∞ Tương tự, với i = ta có lim A2 y k tồn Tiếp tục trình k→∞ với i = m ta có k → ∞, lim Am y tồn Khi đó, với i ∈ {1, 2, , m} k k→∞ ta có lim Ai y tồn k k→∞ Đặt I = {1, 2, , m}; I0 = {i ∈ I : lim Ai y k = b}; I1 = I\I0 = {i ∈ k→∞ I : lim Ai y k > b} k→∞ Khi đó, tồn δ > cho lim Ai y k ≥ bi + δ, ∀i ∈ I1 Mặt khác k→∞ k y − x n ky − x k = ρk , suy ρk = 1, ∀k Vì mặt cầu đơn vị R    y k − x0  hội compact nên không tính tổng qt ta giả sử dãy  ρ  tụ v ∈ R k → ∞ kvk = Vì ρk → +∞ nên với i ∈ I0 ta có   k Ai y − bi  = lim (Ai y k − bi ) = lim  k→∞ k→∞ ρk y k − x0 = lim Ai k→∞ ρk + lim k→∞ Ai x0 − bi ρk Tương tự, với i ∈ I1 ta có   Ai y k − b  ≤ lim inf  k→∞ ρk   k A i y − b A i x − bi  = lim inf  + k→∞ ρk ρk   k y −x Ai x0 − bi  + lim = lim Ai = Ai v k→∞ k→∞ ρk ρk Khi Ai v = 0, ∀i ∈ I0 Ai v ≥ 0, ∀i ∈ I1 Suy v phương lùi xa tập lồi đa diện ∆ Do y + tv ∈ ∆, ∀t ≥ y ∈ ∆ luan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuongluan.van.thac.si.mot.vai.ket.qua.ve.su.ton.tai.nghiem.cua.bai.toan.quy.hoach.toan.phuong download by : skknchat@gmail.com (2.11)