luận văn thạc sĩ các bất đẳng thức đặc trưng của không gian banach lồi đều và trơn đều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ TÌNH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA KHƠNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU VÀ TRƠN ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ TÌNH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU VÀ TRƠN ĐỀU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2015 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Mục lục i Lời cam đoan ii Lời nói đầu iii Lời cảm ơn iv Danh sách ký hiệu Mở đầu 1 Các khái niệm 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Không gian Banach Các bất đẳng thức đặc trưng không gian Banach lồi trơn 10 2.1 Một số bất đẳng thức không gian L p , Wmp 10 2.2 Đặc trưng bất đẳng thức không gian Banach lồi 12 2.3 Đặc trưng bất đẳng thức không gian Banach trơn 19 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 Phụ lục 28 i download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu Lời cam đoan Tác giả luận văn xin cam đoan tính trung thực, tính đắn hợp pháp luận văn Đây chép luận văn có trước đó, mà tham khảo, tổng hợp trình bày theo suy nghĩ chủ quan tác giả luận văn kết khoa học có liên quan tới chủ đề đặt cho luận văn Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Lê Thị Tình luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu ii download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu LỜI NĨI ĐẦU Luận văn trình bày kết chủ yếu bất đẳng thức không gian Banach lồi trơn Dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn thời gian trình độ hạn chế chắn khơng tránh khỏi thiếu sót định Kính mong góp ý thầy cô bạn để luận văn hồn chỉnh nhiều ý nghĩa Lê Thị Tình Học viên Cao học Tốn Khóa 7: 2013-2015 Chun ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu iii download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo tận tình giảng dạy, bồi dưỡng kiến thức suốt trình học tập, nghiên cứu rèn luyện trường Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường tận tình hướng dẫn suốt trình viết luận văn Xin chân thành cảm ơn Lê Thị Tình Thái Nguyên, 2015 Học viên Cao học Tốn Khóa 7: 2013-2015 Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu iv download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu Danh sách ký hiệu k.k Không gian định chuẩn B(X) Hình cầu đóng tâm 0, bán kính S(X) Mặt cầu đóng tâm 0, bán kính h., i Tích vơ hướng C[a,b] Khơng gian hàm liên tục Kn Không gian Euclid n-chiều luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu Mở đầu Như biết khơng gian Hilbert có đẳng thức hình bình hành   2 2 kx + yk + kx − yk = kxk + kyk (1) khơng gian có cấu trúc đẹp đẽ Lý nói vấn đề đặt khơng gian phân tích cách dễ dàng hoàn chỉnh Tuy nhiên nhiều ứng dụng cần phải xét không gian Banach, liệu khơng gian Banach có tính chất gần đẹp đẽ khơng gian Hilbert khơng? Mục đích luận văn trình bày đặc trưng dạng tương tự (1) không gian Banach lồi trơn đều, không gian Hilbert Bố cục luận văn gồm chương: Chương I Một số khái niệm Chương II Các bất đẳng thức đặc trưng không gian Banach lồi trơn luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu Chương Các khái niệm Chương trình bày khái niệm thuộc không gian Hilbert không gian Banach Trong nêu lên tính chất, ví dụ cụ thể loại không gian 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho X khơng gian tuyến tính R Một tích vơ hướng X ánh xạ h., i thỏa mãn điều kiện sau: i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = ⇐⇒ x = 0; ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X; iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, α ∈ R; iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X Khơng gian tuyến tính X với tích vơ hướng h., i gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Tính chất 1.1 Nếu X khơng gian tiền Hilbert tích vơ hướng liên tục X × X Tính chất 1.2 (Đẳng thức Pythagore) Nếu x⊥y kx + yk2 = kxk2 + kyk2 Một cách tổng quát x1 , ., xn ∈ X với xi x j = với i 6= j n n kxi k2 , x = ∑ i ∑ i=o i=1 p p với kxk = hx, xi, kyk = hy, yi luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu Tính chất 1.3 (Đẳng thức hình bình hành)   kx + yk2 + kx − yk2 = kxk2 + kyk2 , ∀x, y ∈ X, p p với kxk = hx, xi, kyk = hy, yi Ví dụ 1.1 (Khơng gian Euclide n-chiều) Xét khơng gian vectơ Cn = {x = (x1 , ., xn ) : x1 , ., xn ∈ C} Khi dễ có cơng thức n hx, yi = ∑ x j y j , x = (x1, ., xn), y = (y1, , yn) ∈ C j=1 xác định tích vơ hướng C Bởi C đầy Cn đầy với chuẩn, đặc biệt với chuẩn Euclide !1 n kxk = fn (x) − fn (x0 ) ≤ ε, ∀ |x − x0 | < δ , ∀x ∈ [a, b] 0 Từ (1.2) suy | f (x) − f (x0 ) ≤ | f (x) − fn0 (x0 ) + fn0 (x) − fn0 (x0 ) + fn (x0 ) − f (x0 ) ≤ 3ε, với x ∈ [a, b] , |x − x0 | < δ Tính liên tục f chứng minh Cũng từ (1.2) suy { fn (x)}∞ n=1 hội tụ đến f C [a, b] Ví dụ 1.5 (Không gian hàm bị chặn) Giả sử S tập tùy ý Ký hiệu B(S) không gian tất hàm bị chặn S k f k := sup{| f (s)| : x ∈ S} < +∞ (1.3) Có thể thấy B(S) khơng gian Banach với chuẩn xác định Ví dụ 1.6 (Không gian dãy khả tổng bậc p) Với số thực p ≥ tùy ý, ta ký hiệu tập tất dãy số (thực phức) khả tổng bậc p bởi: ( lp = x = (xn ) ⊂ N ∗ : ∞ ) ∑ |xn| p < +∞ n=1 luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu l p không gian Banach với chuẩn cho ∞ kxk p = ∑ |xn| !1 p p n=1 Định nghĩa 1.4 Cho không gian vectơ X - Đoạn thẳng [a, b] tập hợp [a, b] = {λ a + (1 − λ )b ∈ X : ≤ λ ≤ 1} - Đoạn thẳng không tầm thường [a, b] mà a 6= b Đoạn thẳng tầm thường [a, b] mà a=b - Tập A không gian vectơ X gọi lồi có tính chất: hai vectơ a, b ∈ A đoạn [a, b] nằm trọn A Cho X không gian định chuẩn, suốt luận văn sử dụng ký hiệu sau: - S(x)là mặt cầu tâm 0, bán kính X, S(x) = {x ∈ X : kxk = 1}, - B(x) hình cầu đóng tâm 0, bán kính X, B(x) = {x ∈ X : kxk ≤ 1} Định nghĩa 1.5 Không gian Banach X gọi lồi với ε > tồn δ = δ (ε) > cho với x, y ∈ S(X) mà kx − yk ≥ ε ta có x + y 1− ≥ δ Ta gọi mođun lồi không gian Banach X hàm số δX : [0; 2] → R : x, y ∈ S(X), kx − yk = ε} δX (ε) = inf {1 − x+y Ta gọi đặc trưng lồi không gian Banach X số xác định ε0 (X) = sup{ε ∈ [0; 2] : δX (ε) = 0} Ví dụ 1.7 Khơng gian Hilbert có số chiều không không gian lồi Mọi không gian Hilbert có số chiều lớn khơng gian lồi Thật vậy, không gian Hilbert X có dimX=1 S(X) có hai điểm e1 x + y e2 = −e1 Với x = e1 , y = −e2 không tồn δ > cho − ≥δ x + y − = 0, kx − yk = > ε = Vậy X không gian lồi Giả sử X khơng gian Hilbert có dimX ≥ Giả sử ε ∈ (0; 2], với x, y ∈ S(X) kx − yk ≥ ε Từ đẳng thức hình bình hành kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu ta có kx + yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 − kx − yk2 ≤ − ε x + y ε2 ⇔ ≤ 1− r x + y ε2 ⇔ ≤ 1− r ! x + y ε ⇔ ≤ 1− 1− 1− , từ đó, suy với ε ∈ (0; 2] đặt r ε2 δ = − − > 0, x + y với x, y ∈ S(X) mà kx − yk > ε ta có − > δ Vậy X không gian Hilbert lồi Định nghĩa 1.6 Không gian Banach X gọi trơn điểm x ∈ S(X) tồn hàm f ∈ X ∗ (X ∗ không gian đối ngẫu) cho k f k = f (x) = Chúng ta xét khái niệm mạnh tính trơn tính trơn Định nghĩa 1.7 Một không gian Banach X gọi trơn ρX (t) = 0, t t→0+ lim ρX (t) mođun trơn xác định ρX (t) = sup{ kx + tyk + kx − tyk − : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1} Tóm lại chương tơi trình bày lại khái niệm không gian Hilbert, không gian Banach đặc biệt không gian Banach trơn, trơn đều, lồi, lồi Chương dành cho việc xét bất đẳng thức đặc trưng không gian Banach mở rộng đẳng thức không gian Hilbert luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu Chương Các bất đẳng thức đặc trưng không gian Banach lồi trơn Chương trình bày bất đẳng thức đặc trưng khơng gian Banach lồi trơn Các kết trình bày chương lấy từ báo [5] 2.1 Một số bất đẳng thức không gian L p, Wmp Cho X không gian Banach X ∗ gọi không gian đối ngẫu Gọi B(x) S(x) tương ứng mặt cầu đơn vị đóng hình cầu đơn vị X Từ cặp x ∈ X x∗ ∈ X ∗ , x∗ (x) biểu thị hx∗ , xi Cho  δx (ε) = inf − (x + y) : x, y ∈ S(X), kx − yk ≥ ε ,  sup {kx + yk + kx − yk − : x ∈ S(x), kyk ≤ τ} Được nêu [5] tất không gian Hilbert không gian Banach l p , L p ,Wmp ,(1 ρx (τ) = < p < ∞) có bất đẳng thức đặc trưng sau: q δH (ε) = − − (1/4)ε ; luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu 10 download by : skknchat@gmail.com (2.1) luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu  p−1  p−1 2    ε + o(ε ) > ε , < p < δl p (ε) = δL p (ε) = δWmp (ε) = h i  ε ε   1 − − ( ) p p > ( ) p , p ≥ 2; p ρH (τ) = + τ
1/2 − 1;  1  (1 + τ p ) p − < τ p , < p < p ρl p (τ) = ρL p (τ) = ρWmp (τ) = p − p−1   τ + o(τ ) < τ , p ≥ 2 (2.2) (2.3) (2.4) Chúng ta xét tính chất sau hàm δx (ε) ρx (τ): (δ 1) δx (0) = 0, δx (ε) ≤ ( ρH (τ); (ρ5) ρx∗ (τ) = sup{τε/2 − δx (ε) : ≤ ε ≤ 2}; (ρ6) ρx (τ) tương đương với hàm giảm, cụ thể là, tồn số c cho ρx (η)/η ≤ cρx (τ)/τ nhiên η ≥ τ > cho ϕ : R+ → R+ , ϕ(0) = 0, liên tục, hàm tăng chặt Ánh xạ Jϕ : X → 2X ∗ định nghĩa Jϕ = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx ∗k kx k , kx ∗k = ϕ(kx k)}, gọi ánh xạ đối ngẫu với biến ϕ Trong trường hợp riêng hàm ϕ(t) = t ký hiệu J gọi ánh xạ đối ngẫu Chúng ta sử dụng tính chất ánh xạ đối ngẫu thành lập [5], tương ứng: (J1) J = I X không gian Hilbert; (J2) X trơn J (Jϕ ) giá trị liên tục tập co bị chặn X; (J3) J toàn ánh X phản xạ; luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu 11 download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu (J4) Jϕ (λ x) = sign(λ )(ϕ |λ | kxk)/ kxk)Jx, λ ∈ R1 ; (J5) Jϕ (x) ⊂ ∂ φ (kxk), ∂ φ (kxk) vi phân φ (k.k) với x φ cho Zt φ (t) = ϕ(s)ds Mặt khác, X phản xạ, Jϕ (x) = ∂ φ (kxk) Trong mục sau, ký hiệu J p ánh xạ đối ngẫu với hàm φ (t) = t p−1 , j p ký hiệu tùy ý lựa chọn từ J p (nếu j p x ∈ J p x với x ∈ X) Cho số thực tùy ý a b ta ln có a ∨ b = max(a, b), a ∧ b = min(a, b) λ , µ ∈ [0; 1] , p, q ∈ (1, ∞) giả sử 1 λ + µ = 1, + = p q ∗ Cũng vậy, cho đa giá trị ánh xạ F : X → 2X , D(F), R(F), G(F), F −1 ký hiệu miền, biểu đồ, đồ thị, ánh xạ ngược, định nghĩa D(F) = {x ∈ X : Fx 6= φ }; R(F) = {x∗ ∈ X ∗ , x∗ ∈ Fx, x ∈ D(F)}; G(F) = { bx, x∗ c ∈ X × X ∗ : x ∈ D(F), x∗ ∈ Fx}; F −1 x∗ = {x ∈ D(F) : x∗ ∈ Fx} 2.2 Đặc trưng bất đẳng thức không gian Banach lồi Cho X không gian Banach với mođun lồi δX (ε), số thực p > tùy ý, A = {φ : R+ → R+ : φ (0) = 0, φ (t) tăng chặt có số K cho φ (t) ≥ KδX (t/2)} Bây thiết lập kết phần này: luan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deuluan.van.thac.si.cac.bat.dang.thuc.dac.trung.cua.khong.gian.banach.loi.deu.va.tron.deu 12 download by : skknchat@gmail.com