Ơy l mởt mổ hẳnh mổ tÊ sỹ dao ởng cừa cĂc tĐmn hỗi cõ liản quan án cĂc iÃu kiằn biản dÔng ngm, gối tỹa v biảntỹ do hộn hủp.. XuĐt phĂt tứ cĂc im kẳ d l im giao giỳa cĂc loÔi iÃn kiằnbiản
Khổng gian Sobolev
Khổng gian C k Ω ¯
Giá sỉ Ω là một miền mở trong không gian Euclid n chiều R n, và Ω ¯ là bao đóng của Ω Ta ký hiệu C k Ω ¯, với k = 0, 1, 2 là tập hợp các hàm có đạo hàm k lần liên tục trong Ω, và liên tục trong Ω ¯ Ta đưa vào C k Ω ¯ chuẩn: kuk C k (Ω ¯) =.
|D α u (x)| , trong õ α = (α 1 , α 2 , , α n ) ữủc gồi l a ch¿ số vectỡ vợi cĂc tồa ở nguyản khổng Ơm, |α| = α 1 + α 2 + + α n :
Sỹ hởi tử theo chuân  cho l sỹ hởi tử ãu trong Ω ¯ cừa cĂc h m v tĐt cÊ Ôo h m cừa chúng án cĐp k Ró r ng têp C k Ω ¯ vợi chuân  cho l khổng gian Banach.
Khổng gian L p (Ω)
GiÊ sỷ Ω l mởt miãn trong R n v p l mởt số thỹc dữỡng Ta kẵ hiằu
L p (Ω) l lợp cĂc h m o ữủc f xĂc ành trản Ω sao cho:
Trong không gian Lp(Ω), ta tổng hợp các hàm bậc mũ hữu hạn trên miền Ω Do đó, các phần tử của Lp(Ω) là các lớp tương đương của các hàm số thỏa mãn điều kiện hai hàm tương đương nếu chúng bàng nhau hữu hạn trên miền Ω.
|f (x) + g (x)| p 6 (|f (x) + g (x)|) p 6 2 p (|f (x)| p + |g (x)| p ) , nản ró r ng L p (Ω) l mởt khổng gian vectỡ.
Ta ữa v o L p (Ω) phiám h m k.k p ữủc xĂc ành bði: kuk p =
Khổng gian W 1,p (Ω)
Trong một miền Ω thuộc R^n, hàm u(x) được gọi là khối tách tại điểm x₀ ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận ω của x₀ sao cho u(x) khối tách trong ω Tương tự, nếu cho miền Ω trong R^n, hai hàm u(x) và v(x) được gọi là khối tách tại Ω nếu chúng thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
∂x k 1 1 ∂x k n n ϕdx, ối vợi mồi ϕ (x) ∈ C 0 k (Ω) , k = k 1 + + k n , k i 6 0 (i = 1, 2, , n) Khi â, ∂x k 1 ∂ k u
1 ∂x kn n ữủc gồi l Ôo h m suy rởng cĐp k cừa u(x) Kẵ hiằu: v (x) = ∂ k u
. ành nghắa 1.1.3 GiÊ sỷ p l mởt số thỹc, 1 6 p < ∞, Ω l mởt miãn trong R n Khổng gian Sobolev W 1,p (Ω) ữủc ành nghắa nhữ sau:
Trong õ cĂc Ôo h m trản l cĂc Ôo h m suy rởng.
Khổng gian H 0 1 (Ω) v khĂi niằm vát cừa h m
Không gian Sobolev W 1,p 0 (Ω) được định nghĩa như các bao lồng của D (Ω), trong đó các hàm có hỗ trợ compact trong Ω tương ứng với chuẩn của W 1,p 0 (Ω) Không gian H 0 1 (Ω) được xác định dựa trên các yếu tố này.
H 0 1 (Ω) = W 1,2 0 (Ω) ành lẵ 1.1.5 GiÊ sỷ ∂Ω l liản tửc Lipschitz thẳ: i) Náu 1 6 p < n thẳ
- Nhúng Compact ối vợi q ∈ [1, p∗] trong õ p∗ 1 = 1 p − n 1 ,
- Nhúng liản tửc ối vợi q = p∗ ii) Náu p = n thẳ
W 0 1,n (Ω) ⊂ L q (Ω) l nhúng Compact náu q ∈ [1, +∞] iii) Náu p > n thẳ
Trong bài viết này, chúng tôi xem xét một ánh xạ duy nhất mở từ không gian H1(Ω) đến L2(∂Ω), với điều kiện rằng Ω là một miền trong Rn có biên Lipschitz Cụ thể, ánh xạ này được định nghĩa bởi γ: H1(Ω) → L2(∂Ω), sao cho với mọi hàm u thuộc H1(Ω) ∩ C0(Ω¯), ta có γ(u) = u|∂Ω Điều này cho thấy tính chất liên tục và sự kết nối giữa không gian hàm và biên của miền Ω.
H m γ (u) ữủc gồi l vát cừa u trản ∂Ω ành nghắa 1.1.7 GiÊ sỷ biản ∂Ω l liản tửc Lipschitz, khổng gian
H 1 2 (∂Ω) ữủc gồi l miãn giĂ trà cừa Ănh xÔ vát γ , tực l :
H 1 2 (∂Ω) = γ H 1 (Ω) ành lẵ 1.1.8 GiÊ sỷ ∂Ω l liản tửc Lipschitz thẳ: i) H 1 2 (∂Ω) l mởt khổng gian Banach vợi chuân: kuk 2
|x − y| n+1 ds x ds y ii) Tỗn tÔi mởt hơng số C γ (Ω) sao cho: kγ (u)k
H 1 2 (∂Ω) 6 C γ (Ω) kuk H 1 (Ω) , ∀u ∈ H 1 (Ω) Khi õ C γ (Ω) ữủc gồi l hơng số vát.
Bờ ã 1.1.9 GiÊ sỷ ∂Ω l liản tửc Lipschitz, khổng gian H 1 2 (∂Ω) cõ cĂc tẵnh chĐt sau: i) Têp {u| ∂Ω , u ∈ C ∞ (R n )} l trũ mêt trong H 1 2 (∂Ω) ii) Nhóng H 1 2 (∂Ω) ⊂ L 2 (∂Ω) iii) Tỗn tÔi mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh liản tửc: g ∈ H 1 2 (∂Ω) → u g ∈ H 1 (Ω)
Vợi γ (u g ) = g v tỗn tÔi mởt hơng số C 1 (Ω) ch¿ phử thuởc miãn Ω sao cho: ku g k H 1 (Ω) 6 C 1 (Ω) kgk
Cổng thực Green, bĐt ¯ng thực Poincare
ành lẵ 1.1.10 (Cổng thực Green) GiÊ sỷ ∂Ω l liản tửc Lipschitz, cho u, v ∈ H 1 (Ω) khi â:
∂Ω γ (u) γ (v) n i ds, 1 6 i 6 n, trong õ n = (n 1 , , n n ) l vectỡ phĂp tuyán ngo i cừa Ω Tẵnh chĐt 1.1.11 GiÊ sỷ biản ∂Ω l liản tửc Lipschitz Khi õ:
Tẵnh chĐt 1.1.12 ( BĐt ¯ng thực Poincare) Tỗn tÔi mởt hơng số C Ω sao cho: kuk L 2 (Ω) 6 C Ω k∇uk L 2 (Ω) , ∀u ∈ H 0 1 (Ω)
Trong không gian số C Ω, phương trình Poincaré mô tả mối quan hệ giữa hàm và gradient của nó Bất đẳng thức Poincaré có thể được diễn đạt là kuk L 2 (Ω) ≤ C Ω k∇uk L 2 (Ω), trong đó C là một hằng số phụ thuộc vào miền Ω Để áp dụng bất đẳng thức này, biên ∂Ω cần phải là biên Lipschitz, được chia thành hai tập Γ 1 và Γ 2, với Γ 1 chứa các điểm biên có điều kiện Khi đó, tồn tại một hằng số C sao cho bất đẳng thức trên luôn đúng.
Khổng gian Sobolev vợi ch¿ số Ơm H −1 (Ω) v H − 1 2 (∂Ω) 10
ành nghắa 1.1.14 Ta kẵ hiằu H −1 (Ω) l mởt khổng gian Banach ữủc x¡c ành bði:
Trong õ hF, ui H −1 (Ω),H 0 1 (Ω) l tẵch nông lữủng trản c°p khổng gian ối ng¨u.
Bờ ã 1.1.15 Cho F ∈ H −1 (Ω) thẳ tỗn tÔi n + 1 h m f 0 , f 1 , , f n trong
∂x i Theo nghắa phƠn bố v ỗng thới: kF k 2 H −1 (Ω) = inf n
X i=0 kf i k 2 L 2 (Ω) ,trong õ inf lĐy trản tĐt cÊ cĂc vectỡ (f 0 , f 1 , , f n ) trong L 2 (Ω) n+1
Phữỡng trẳnh Elliptic
KhĂi niằm nghiằm yáu cừa phữỡng trẳnh
Giả sử u ∈ C²(Ω) và f ∈ C(Ω) thỏa mãn phương trình (1.2) trong miền Ω Khi đó, u(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.2) Để tìm nghiệm, ta cần xác định không gian D(Ω) = C₀∞(Ω) và hai điều kiện liên quan đến phương trình (1.2) để từ đó tiến hành tách phân tích nghiệm.
Ω f ϕdx (1.3) p dửng cổng thực Green v o (1.3) v kát hủp vợi iãn kiằn ϕ| ∂Ω = 0 ta câ :
Nhữ vêy, náu u l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.2) thẳ cõ (1.4) Những náu f ∈C ¯ (Ω) thẳ phữỡng trẳnh (1.2) khổng cõ nghiằm cờ iºn Vêy, ta cƯn mð rởng khĂi niằm khi f ∈ L 2 (Ω)
ành nghắa
ành nghắaGiÊ sỷ u ∈ H 1 (Ω) , f ∈ L 2 (Ω) , u ữủc gồi l nghiằm yáu cừa phữỡng trẳnh (1.1) náu (1.3) ữủc thọa mÂn.
Mằnh ã
Mằnh ãNáu u l nghiằm yáu cừa phữỡng trẳnh (1.2) v u ∈ C 2 (Ω) , f ∈ C (Ω) thẳ u l nghiằm cờ iºn, tực l − M u = f
Kián thực vã cĂc sỡ ỗ l°p cỡ bÊn
Lữủc ỗ l°p hai lợp
Ay = f (1.5) trong õ A : H → H l toĂn tỷ tuyán tẵnh trong khổng gian Hilbert thỹc hỳu hÔn chiãu H GiÊ sỷ A l toĂn tỷ ối xựng, xĂc ành dữỡng, f ∈ H l vectì tòy þ.
Trong một phương pháp lập, xuất phát từ y₀ bắt đầu khẳng định giá trị H, người ta đưa ra cách xác định giá trị y₁, y₂, , yₖ của phương trình Các giá trị này được biết đến như là các cặp giá trị lập với chỉ số k = 1, 2, ; bản chất của những phương pháp này là giá trị yₖ+₁ có thể được tính thông qua các giá trị lập trước đó: yₖ, yₖ₋₁,
Phương pháp lập ước gồi là phương pháp lập một bước hoặc hai bước nhằm xác định thông qua một hoặc hai giá trị trước đó Động chính thức của lực là lập hai lớp l.
B k y k+1 − y k θ k+1 + Ay k = f, k = 0, 1, 2, (1.6) Lữủc ỗ l°p (1.6) cho ta xĐp x¿ chẵnh xĂc nghiằm y cừa phữỡng trẳnh (1.5) vợi bĐt kẳ toĂn tỷ B k v cĂch chồn tham số θ k+1
Náu B k = E thẳ lữủc ỗ l°p (1.5) ữủc gồi l lữủc ỗ l°p hiằn. y k+1 − y k θ k+1 + A y k = f, k = 0, 1, 2, (1.7) Trong trữớng hủp θ k = θ l hơng số thẳ lữủc ỗ l°p (1.7) cỏn gồi l lữủc ỗ l°p ỡn giÊn.
Náu B k 6= E thẳ lữủc ỗ l°p (1.5) ữủc gồi l lữủc ỗ ân.
Lữủc ỗ dứng, cĂc ành lỵ cỡ bÊn vã sỹ hởi tử cừa ph÷ìng ph¡p l°p
Lữủc ỗ l°p (1.6) vợi toĂn tỷ B k = B , tham số θ k+1 = θ khổng ời (k = 0, 1, 2, ) cỏn ữủc gồi l lữủc ỗ l°p dứng, cõ dÔng:
B y k+1 − y k θ + A y k = f, k = 0, 1, 2 (1.8) ành lẵ 1.3.1 Náu A l toĂn tỷ ối xựng , xĂc ành dữỡng thẳ:
2 θ ( A x, x) , ∀x ∈ H, (1.9) l iãu kiằn ừ cho sỹ hởi tử cừa lữủc ỗ l°p trong khổng gian H A vợi ρ < 1 tốc ở hởi tử cĐp số nhƠn. kz k+1 k A 6 ρkz k k A , k = 0, 1, 2, (1.10)
Lỵ thuyát vã sai phƠn
Phữỡng phĂp lữợi
Để xác định lưới trong không gian hai chiều, ta có thể sử dụng công thức 1 v M > 1, với °t h = (b−a)/N là bước lưới theo x và k = (d−c)/M là bước lưới theo y Các điểm lưới được xác định bởi °t x i = a + ih và y j = c + jk, với i = 0, …, N và j = 0, …, M Mỗi điểm (x i , y j) tương ứng với một nút lưới tại tọa độ (i, j) Tập hợp tất cả các nút trong lưới được ký hiệu là Ω hk Nút biên Γ là tập hợp các nút nằm trên biên của lưới, và tập hợp các nút biên được ký hiệu là Γ hk Cuối cùng, Ω ¯ hk = Ω hk ∪ Γ hk đại diện cho một lưới hoàn chỉnh với sự phân bố đồng nhất.
Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị của hàm lưới u(x, y) tại nút lưới (i, j) được ký hiệu là u_ij Mỗi hàm u(x, y) xác định tại mỗi u(x, y) ∈ Ω tạo ra hàm lưới u xác định bởi u_ij.
B i to¡n sai ph¥n
Kẵ hiằu Ω = Ω ¯ ∪ Γ , X²t b i toĂn Lu = f , giÊ sỷ b i toĂn cõ nghiằm u ∈ C 4 ( ¯ Ω) v gi£ sû max
Do õ theo cổng thực Taylor ta cõ: u(x i+1 , y j ) = u(x i + h, y j )
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét phương trình vi phân riêng phần với điều kiện biên, cụ thể là phương trình dạng ∆hk u = f(xi, yj), với (xi, yj) thuộc Ωhk Phương trình này được biểu diễn dưới dạng: u(i+1,j) - 2u(i,j) + u(i-1,j) / h² + u(i,j+1) - 2u(i,j) + u(i,j-1) / k² = f(xi, yj), với (xi, yj) thuộc Ωhk Việc áp dụng phương pháp này giúp giải quyết các bài toán liên quan đến vi phân và điều kiện biên một cách hiệu quả.
(1.13) ỗng thới thay iãu kiằn biản bơng iãu kiằn: u ij = g(x i , y j ), (x i , y j ) ∈ Γ hk (1.14)
Tâm hình lưới tối ưu cho các nút (i, j) trong bài toán sai phân (1.13) với điều kiện biên (1.14) là rất quan trọng Việc xác định nghiệm của bài toán vi phân (1.11) đòi hỏi phải đảm bảo tính chính xác và đồng nhất giữa các điều kiện biên và bài toán sai phân Do đó, việc áp dụng các phương pháp số học phù hợp là cần thiết để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Kát luên
Nội dung chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hình học, phương trình elliptic, lý thuyết và các sở hữu lớp về phương pháp sai phân Các kiến thức này được tham khảo từ các tài liệu uy tín.
B i to¡n stick-slip v ph÷ìng ph¡p tẳm nghiằm dÔng tiằm cên
Mổ hẳnh b i toĂn
X²t mổ hảnh b i toĂn trữủt cừa tĐm trong mổi trữớng chĐt lọng, dÔng hẳnh hồc cừa dỏng chÊy ữủc mổ tÊ trong hẳnh 1 ho°c hẳnh 2 Do tẵnh ối xựng, ch¿ cõ nỷa trản cừa miãn dỏng chÊy ữủc xem x²t, tực l phƯn giợi hÔn S D PhƯn biản S A v S E Ôi diằn cho cĂc bực tữớng v cĂc bã m°t ph¯ng tữỡng ựng S C v S E tữỡng ựng l cĂc biản tỹ do.
Trong trữớng hủp n y, mổ hẳnh trản ữủc mổ tÊ bði phữỡng trẳnh song iãu hỏa
∇ 4 ψ = 0 trong Ω, (2.1) vợi ψ l h m dỏng chÊy ữủc ành nghắa bði u x ≡ ∂ψ
∂x , (2.2) u x v u y l cĂc th nh phƯn vên tốc theo hữợng x v y tữỡng ựng.
Do tẵnh chĐt vêt lỵ, cĂc iãu kiằn biản cừa b i toĂn tữỡng ựng ữủc mổ tÊ trong cĂc hẳnh (2.1) ho°c hẳnh (2.2)
Hẳnh 2.1: B i toĂn giĂn oÔn ph¯ng dữợi h m dỏng chÊy ψ
Hẳnh 2.2: B i toĂn giĂn oÔn ph¯ng bà bián ời dữợi dÔng u = ψ − 1
Sau khi sỷ dửng cĂc ph²p bián ời ψ = u + 1 , b i toĂn trong hẳnh (2.1) ữủc mổ hẳnh hõa nhữ sau:
∇ 4 u = 0 trong Ω, (2.3) vợi hằ iãu kiằn biản u = 0, ∂u
Bài viết này tập trung vào việc phân tích và tổng hợp các yếu tố liên quan đến mổ tết trong hình học, đồng thời xem xét sự tương tác giữa các phương trình song song và các điều kiện biên Nội dung sẽ làm rõ vai trò của các điều kiện này trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp.
∂x = 0, (2.5) nhữ trong S C cõ thº thay thá bði iãu kiằn Dirichlet mÔnh hỡn u = y − 1 (2.6)
Mởt số phữỡng phĂp tẳm nghiằm dÔng khai triºn
Cỡ sð cừa phữỡng phĂp tẳm nghiằm dữợi dÔng khai triºn l ta xĂc ành nghiằm dữợi dÔng khai triºn thổng qua cĂc hằ h m riảng u(r, θ) =
X j=1 a j r à j +1 f (θ, à j ), với (r, θ) thuộc Ω, thể hiện một hàm số trong không gian cụ thể Ở đây, à j (j = 1, 2, ) là các số mũ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, trong khi hàm số f (θ, à j ) là các hàm số riêng biệt Các số a j là các hệ số khai triển cần xác định để mô tả chính xác hàm số này.
H m số W j ≡ r à j +1 f (θ, à j ) ữủc gồi l cĂc h m kẳ dà Nghiằm àa phữỡng (2.7) bao gỗm cĂc hằ nghiằm chđn v l´, cĂc h m kẳ dà trong số õ s³ ữủc kỵ hiằu l W 1 j v W 2 j tữỡng ựng.
Trong trữớng hủp nghiằm chđn
2 , j = 1, 2 (2.9) ối vợi trữớng hủp nghiằm l´
Vẵ dử h m kẳ dà Ưu tiản l
Hàm số liên quan đến áp suất tĩnh và áp suất động trong ống dẫn có thể được mô tả bằng các biến số như bán kính và góc Để phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến áp suất, ta sử dụng các ký hiệu αj và βj cho các hệ số tương ứng Việc này giúp xác định mối quan hệ giữa các thông số trong hệ thống, từ đó rút ra các kết luận về sự thay đổi áp suất trong ống dẫn.
Trong phương pháp khai triển, việc xác định các phương pháp là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của các hằng số khai triển trong các cổng thực tiễn Sau đó, chúng ta sẽ mở rộng số các phương pháp được các tác giả đưa ra trong tài liệu.
Ph÷ìng ph¡p SFBIM
Kát luên
Trong chương 2, luận văn sẽ trình bày mô hình của bài toán Stick-Slip và một số phương pháp xác định nhằm tìm kiếm bài toán thông qua phương pháp khai triển dựa trên lý thuyết nghiêm ngặt Cần chú ý rõ các kết quả trong trường hợp khi phải điều kiện biên nhất định Các kết quả trong trường hợp Stick-Slip sẽ được trình bày trong chương 3 của luận văn.
Ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n stick slip têng qu¡t
Cỡ sð lỵ thuyát
Cỡ sð phữỡng phĂp chia miãn
GiÊ sỷ Ω cho bði hẳnh 3.1, x²t b i toĂn
Bài toán được nghiên cứu là bài toán biên hỗn hợp, trong đó biên Γ được chia thành hai loại điều kiện biên: Dirichlet và Neumann Miền Ω được phân chia thành Ω1 và Ω2, với Ω1 ∩ Ω2 = φ và biên Γ = ∂Ω1 ∩ ∂Ω2 Ở mỗi miền con, u i = u|Ω i (i = 1, 2) được xác định, với Γ1 = ∂Ω1 \ Γd ∪ Γ và Γ2 = ∂Ω2 \ Γn ∪ Γ Mục tiêu là giải quyết hai bài toán trong hai miền con, trong đó điều kiện biên đóng vai trò quan trọng để đảm bảo tính chính xác của giải pháp cho bài toán biên hỗn hợp này.
Cõ hai cĂch tiáp cên:
1 CĂch tiáp cên thự nhĐt l xĂc ành giĂ trà h m trản biản phƠn chia dỹa trản mởt sỡ ỗ l°p CĂch tiáp cên n y  ữủc cĂc tĂc giÊ Nhêt BÊn phĂt triºn v o nôm 2001.
2 CĂch tiáp cên thự hai l xĂc ành giĂ trà Ôo h m trản biản phƠn chia dỹa trản mởt sỡ ỗ l°p CĂch tiáp cên n y  ữủc phĂt triºn cừa cĂc tĂc giÊ Viằt Nam, phữỡng phĂp n y  ữủc Ănh giĂ cõ tốc ở hởi tử nhanh hỡn CĂc kát quÊ ữủc tham khÊo trong cĂc t i liằu [2], [3], [4], [5],[9].
Sau Ơy chúng ta giợi thiằu cÊ 2 cĂch tiáp cên
• Thuêt toĂn chia miãn Saito-Fuijta[9]. °t g = u 2 | Γ Bữợc 1: Cho trữợc g (0) ∈ L 2 (Γ) Bữợc 2: Vợi ∀g (k) trản Γ tián h nh giÊi hai b i toĂn.
• Thuêt toĂn chia miãn DQA_VVQ:[3] °t g = ∂u ∂n | Γ Khi õ giĂ trà cừa g ữủc xĂc ành bði sỡ ỗ l°p: Bữợc 1: Cho trữợc g (0) ∈ L 2 (Γ)
Bữợc 2: Vợi g ( k) trản Γ(k = 0, 1, 2, ) tián h nh giÊi hai b i toĂn
Bữợc 3: Hiằu ch¿nh giĂ trà g (k+1) g (k+1) = (1 − τ )g (k) − τ ∂u (k) 2
∂v 2 , x ∈ Γ, (3.7) trong õ τ l tham số l°p cƯn lỹa chồn
CĂc sỡ ỗ chia miãn trản  ữủc cĂc tĂc giÊ chựng minh l hởi tử vợi giĂ trà tham số 0 < τ < 1 CĂc kát quÊ Â ữủc ữa ra trong t i liằu[3].
Sỡ ỗ l°p cừa toĂn tỷ biản miãn
Hằ iãu kiằn biản trản ữủc mổ tÊ trong hẳnh 3.1
Hẳnh 3.2: º tẳm nghiằm cừa b i toĂn trản, sỷ dửng phữỡng phĂp hÔ cĐp phữỡng trẳnh: °t v = M u vợi ∀x ∈ Ω, v = ϕ vợi ∀x ∈ S A Khi õ b i toĂn s³ tữỡng ữỡng vợi hai b i toĂn cĐp hai sau:
Nhữ vêy náu xĂc ành ữủc ϕ thẳ lới giÊi b i toĂn, cần áp dụng các phương pháp xác định giá trị của hàm ϕ Để thực hiện điều này, điều kiện cần thỏa mãn là ∂u(ϕ)/∂n = g 1 trên S A Sử dụng phương pháp xây dựng sở hữu lớp, hàm ϕ sẽ được xác định thông qua sở hữu lớp như sau.
Bữợc 1: XuĐt phĂt tứ ϕ (0) ∈ L 2 (S A , S C ) , (ϕ (0) = 0) Bữợc 2: Vợi ∀ (k = 0, 1, 2, ) tián h nh giÊi cĂc b i toĂn:
Bữợc 3: Hiằu ch¿nh lÔi giĂ trà ϕ (k) trản S A ϕ (k+1) = ϕ (k) − τ ∂u (k)
Nhữ vêy sỹ hởi tử cừa sỡ ỗ l°p trản ho n to n phử thuởc v o sỹ hởi tử cừa sỡ ỗ (3.13).
Nhên x²t: Sỡ ỗ (3.13) chẵnh l sỡ ỗ l°p 2 lợp ối vợi h m Bơng viằc sỷ dửng lỵ thuyát vã toĂn tỷ, cõ thº chựng minh sỡ ỗ trản l hởi tử (Xem [1]).
Sỡ ỗ l°p kát hủp
Nhên x²t Thổng qua phương pháp phân rã, bài toán sóng điều hòa được nghiên cứu với hai bài toán biên cấp hai trong miền Ω Tuy nhiên, ở lôgic hai bài toán biên với điều kiện biên hỗn hợp (trong đó có hai loại điều kiện biên Dirichlet và Neumann) Vì vậy, để giải hai bài toán này, chúng ta cần sử dụng thảm mởt phương pháp đặc biệt, chính là phương pháp chia miền với việc chia miền Ω = Ω₁ ∩ Ω₂ và từ đó chuyển bài toán biên hỗn hợp thành hai bài toán biên hỗn hợp yếu, xây dựng sơ đồ lớp chia miền xác định nhằm trình bày toàn miền.
Nhữ vêy vợi mửc ẵch xĂc ành giĂ trà h m ϕ, kát hủp vợi phữỡng phĂp chia miãn, quĂ trẳnh giÊi b i toĂn s³ ữủc thỹc hiằn nhữ sau: ta tián h nh chia miãn Ω th nh hai miãn Ω 1 bản trĂi v Ω 2 bản phÊi bði ữớng th¯ng x = 0 v kẵ hiằu biản phƠn cĂch giỳa hai miãn con l Γ, u i = u| Ω i , (i = 1, 2) Thỹc hiằn sỡ ỗ l°p sau Ơy.
Bữợc 1: Cho trữợc ϕ (0) = 0 trản Γ 1 ∪ Γ 3 ∪ Γ 6 ; ξ (0) = 0; η (0) = 0 trản Γ (3.14)
Bữợc 2: Vợi mội giĂ trà ϕ (k) , ξ (k) , η (k) , (k = 0, 1, 2 ) tián h nh giÊi lƯn lữủt :
Bữợc 3: Tẵnh cĂc xĐp x¿ mợi ξ (k+1) = (1 − θ) ξ (k) − θ ∂v 2 (k)
(3.17) trong õ θ, τ l cĂc tham số l°p s³ ữủc chồn º cĂc sỡ ỗ l°p trản hởi tử.
Phương pháp lập kết hợp đa dạng trong toán học là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng, giúp tối ưu hóa các bài toán phức tạp Cụ thể, nó có thể được áp dụng trong các tình huống thực tiễn, như trong mô hình toán Stick Slip, nhằm giải quyết các vấn đề liên quan đến chuyển động và lực ma sát Việc hiểu rõ các nguyên lý này sẽ mở ra nhiều cơ hội cho các ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật.
2 Sỡ ỗ l°p kát hủp ð trản  sỷ dửng thuêt toĂn chia miãn cừa DQA
- VVQ, ho n to n tữỡng tỹ, chúng ta cõ thº thiát lêp phữỡng phĂp l°p khĂc dỹa trản tữ tữðng cừa SAITO - FUIJTA.
Mởt số kát quÊ thỹc nghiằm
Trong trường hợp 1, chúng ta so sánh nghiêm ngặt với nghiêm chính xác Xuất phát từ nghiêm chính xác u*(x, y), chúng ta xác định các hàm và phải có các điều kiện biên của bài toán Từ đó, sử dụng thuật toán xác định nghiêm xấp xỉ của bài toán sai số ε1 = Max u(*) i,j = u(k) i,j.
Trong trường hợp 2: Kết quả khi không biết trước nghiệm ứng (bài toán gốc Stick - Slip) Sử dụng số liệu để xác định nghiệm trong trường hợp tường quét khi không biết trước nghiệm ứng, chúng ta xác định các điều kiện biên theo hình 3.3, từ đó sử dụng thuật toán xác định nghiệm ổn định cho bài toán sai số ε 2 = Max u (k+1) i,j = u (k) i,j.
Trong quĂ trẳnh tẵnh toĂn, ngổn ngỳ sỷ dửng l ngổn ngỳ Matlab version 7.0, cĂc h m mău giÊi cĂc b i toĂn cĐp hai ữủc sỷ dửng trong thữ viằn chữỡng trẳnh RC2009 [2].
BÊng 3.1: Trữớng hủp tờng quĂt ( biát trữợc nghiằm úng) τ n ε 1
BÊng 3.2 : Trữớng hủp tờng quĂt ( b i toĂn gốc) τ n ε 2
Hẳnh 3.5: ỗ thà nghiằm cừa b i toĂn Stick - slip
Luên vôn  ã cêp án cĂc phữỡng phĂp xĐp x¿ xĂc ành nghiằm gƯn úng cừa b i toĂn Stick - Slip CĂc kát quÊ chẵnh cừa luên vôn gỗm câ:
Trản cỡ số liệu trong nghiên cứu này, liên quan đến mô hình toán học của hiện tượng Stick-Slip dưới các điều kiện biên khác nhau, cho thấy sự tương tác giữa các phương pháp tính toán và các kết quả thực nghiệm.
Dỹa trản kát quÊ cừa thuêt toĂn chia miãn ối vợi b i toĂn song iãu hỏa vợi iãu kiằn biản giĂn oÔn mÔnh, luên vôn  ữa ra sỡ ỗ l°p xĂc ành nghiằm xĐp x¿ cừa b i toĂn Stick - Slip trong trữớng hủp tờng quĂt Tián h nh lêp trẳnh xĂc ành nghiằm số cừa b i toĂn, Ănh giĂ vã tốc ở hởi tử v ở chẵnh xĂc cừa sỡ ỗ l°p.
Hữợng phĂt triºn cừa luên vôn l mð rởng cĂc kát quÊ ối vợi cĂc b i toĂn song iãu hỏa vợi cĂc hằ iãu kiằn biản phực tÔp hỡn.
Do vấn đề ảnh hưởng đến việc cấp vốn trong lĩnh vực đầu tư, nhiều người gặp khó khăn trong việc tiếp cận nguồn tài chính Thời gian và những rào cản hiện tại khiến cho việc huy động vốn trở nên phức tạp hơn Tác giả hy vọng rằng những ý kiến đóng góp từ các chuyên gia và những người quan tâm sẽ giúp cải thiện tình hình tài chính và nâng cao khả năng tiếp cận nguồn vốn cho các dự án đầu tư.
Bài viết của Ngô Quang, Trương H Hải, và Võ Vinh Quang (4/2011) trình bày phương pháp lập giải mở bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình sóng phi tuyến, với mục tiêu tối ưu và tính toán khoa học Nghiên cứu này được công bố trong Tạp chí Khoa học Lần thứ 9, tại Bà Vĩnh.
Vinh Quang, Trữỡng H HÊi, và Nguyạn Thà Tuyºn (2010) đã nghiên cứu việc xây dựng bở chữ trẳnh RC2009, nhằm giải mởt một số bài toán biện elliptic với hằng số hơng Nghiên cứu này được công bố trong Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, T.69(07), trang 56 - 63.
Vinh Quang, Trữỡng H HÊi, và Nguyạn Thà Tuyºn đã nghiên cứu việc xây dựng chữ trạnh RC2009, mở rộng số b i toĂn biản elliptic với hằng số hơng Nghiên cứu này được công bố trong Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, T.69(07):56 - 63 vào năm 2010.
In the book "Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes," the authors Dang Qang A and Vu Vinh Quang present a domain decomposition method specifically designed for strongly mixed boundary value problems related to the Poisson equation This work was featured in the proceedings of the 4th International Conference on High-Performance Scientific Computing held in Hanoi, Vietnam, in 2009, and was published by Springer in 2012.
[4] Dang Quang A, Truong Ha Hai, Vu Vinh Quang, Interative Method for a Biharmonic Problem with Crack Singgularities, Applied Math- ematical Sciences, Vol 6, 2012, no 62, 3095-3018.
[5] Funaro D., Quarteroni A., Zanolli P (1998), " An iterative proce- dure with interface relaxation for domain decomposition method", SIAM J Number Anal 25(6), pp 1213 - 1236.
[6] M Elliotis, G Georgiou and C Xenophontos, Solution of the planar Newtonian stick-slip problem with the singular function boundary integral method, int J Numer Meth Fluids 2005; 48:1001-1021.
[7] Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York.
[8] Samarskij A and Nikolaev E., Numerical methods for Grid Equa- tions, vol 2, Birkhauser, basel, 1989.
(CĂc chữỡng trẳnh nguỗn trản mổi trữớng Matlab)
1 Chữỡng trẳnh kiºm tra b i toĂn Stick-lip
% Chuong trinh giai bai to¡n stick-slip
% Truong hop khong biet truoc nghiem dung
% phi la ham ve phai
% b1,b2,b3,b4: la cac gia tri tren bien trai,phai,duoi,tren
% Da kiem tra chẵnh xac clear all clc teta=0.5;%tham so lap chia mien to=0.95;%tham so lap song dieu hoa a=1; e1=0.5; b=1; k1=1;k2=1; cc=0; count=-1; epxilon (-4);saiso; n=6;
M=N; p1=1; p2=M+1; p3=2*M+1; p4=3*M+1; p5=4*M+1; p6=5*M+1; q1=1; q2=N+1; q3=2*N+1; for j=0:N; csi1(j+1)=0; % khởi tạo giá trị lặp chia miền eta1(j+1)=0; end; for i=0:M; phi1(i+1)=0; % Khởi tạo cho dãy lặp sóng điều hòa phi3(i+1)=0; end; h11M; h21=(a-e1)/M; h12=b/N; h22=b/N; for i=0:2*M; for j=0:N; uluu(i+1,j+1)=0; end; end; thời gian=cputime; while and(countepxilon); count=count+1;
% Gia tri ve phai v nghiem dung for i=0:M2; for j=0:N2; phi(i+1,j+1)=0;% Ham ve phai end; end;
% Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; b1(j+1)=csi1(j+1); b2(j+1)=0; end;
% Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M2; b3(i+1)=0; b4(i+1)=0; end; v2=u1100(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2);
% Gia tri ve phai for i=0:M2; for j=0:N2; phi(i+1,j+1)=-v2(p2+i,q1+j); % Ham ve phai end; end;
% Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; b1(j+1)=eta1(j+1); b2(j+1)=0; end;
% Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M2; b3(i+1)=-1; b4(i+1)=0; end; u2=u1100(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,1,1,0,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2);
% Gia tri ve phai for i=0:M1; for j=0:N1; phi(i+1,j+1)=0; % Ham ve phai end; end;
% Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N1; b1(j+1)=phi1(j+1); b2(j+1)=v2(p2,q1+j); end;
% Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; b3(i+1)=0; b4(i+1)=phi3(i+1); end; v1=u0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M1,N1,n1,p1,p2,q1,q2);
% Gia tri ve phai for i=0:M1; for j=0:N1; phi(i+1,j+1)=-v1(p1+i,q1+j); % Ham ve phai end; end;
% Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N1; x2=0+j*h12; b1(j+1)=1/2*x2*(3-x22)-1; b2(j+1)=u2(p2,q1+j); end;
% Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; b3(i+1)=-1; b4(i+1)=0; end; u1=u0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,1,1,0,M1,N1,n1,p1,p2,q1,q2);
% Hieu chinh gia tri csi1 tren bien chia 2 mien 1-2 for j=0:N1; ph01(j+1)=0; end; dv1=dx(q1,q2,p2,ph01,v1,h11,h12,k1,k2,M1,-1); csi1=teta*csi1-(1-teta)*dv1;
% Hieu chinh gia tri eta1 tren bien chia 2 mien 1-2 for j=0:N1; ph01(j+1)=-v1(p2,q1+j); end; du1=dx(q1,q2,p2,ph01,u1,h11,h12,1,1,M1,-1); eta1=teta*eta1-(1-teta)*du1;
%Hieu chinh gia tri phi1 for j=0:N2; x2=0+j*h12; dh22(j+1)=0; ph003(j+1)=-v1(p1,q1+j); end; du1=dx(q1,q2,p1,ph003,u1,h11,h12,1,1,N,1); phi1=phi1+to*(du1-dh22);
Đoạn mã này thực hiện việc cập nhật giá trị phi3 thông qua vòng lặp, trong đó giá trị ph0043 được tính toán dựa trên hàm -v1 Sau đó, biến du3 được tính
%================ Ve do thi tren toan mien for i=0:M; x1=0+i*h11; xx(p1+i)=x1; x1i*h21; xx(p2+i)=x1; end; for j=0:N; x2=0+j*h12; yy(q1+j)=x2; end;
[X, Y ] =meshgrid(xx,yy); mesh(X,Y,uxx'); title('Deflection surfaces') xlabel('x') ylabel('y')
2 Chữỡng trẳnh Stick_lip tờng quĂt % Chuong trinh giai bai toĂn stick_slip_cx
% Truong hop biet truoc nghiem dung
% phi la ham ve phai
% b1,b2,b3,b4: la cac gia tri tren bien trai,phai,duoi,tren
% udd la nghiem bai toan:
% Da kiem tra chẵnh xac clear all clc teta=0.5;%tham so lap chia mien to=0.95;%tham so lap song dieu hoa a=1; e1=0.5; b=1; k1=1;k2=1; cc=0; count=-1; epxilon(-4);saiso; n=6;
M=N; p1=1; p2=M+1; p3=2*M+1; p4=3*M+1; p5=4*M+1; p6=5*M+1; q1=1; q2=N+1; q3=2*N+1; for j=0:N; csi1(j+1)=0; eta1(j+1)=0; end; for i=0:M; phi1(i+1)=0; phi3(i+1)=0; end; h11=M; h21=(a-e1)/M; h12=b/N; h22=b/N; for i=0:M; for j=0:N; x1=0+i*h11; x2=0+j*h12; ud(p1+i,q1+j)=u(x1,x2); x2=0+j*h22; ud(p2+i,q1+j)=u(x1,x2); end; end; thoigian=cputime; while and(countepxilon); count=count+1;
%==================================Giai mien 2============= % Giai bai toan voi v2 l1=a-e1;l2=b;M2=M;N2=N;n2=n;
% Gia tri ve phai v nghiem dung for i=0:M2; for j=0:N2; x1i*h21; x2=0+j*h22; phi(i+1,j+1)=vp1(x1,x2,cc,k1,k2);% Ham ve phai end; end;
% Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; x2=0+j*h22; b1(j+1)=csi1(j+1); b2(j+1)=dh3x(a,x2); end;
% Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M2; x1i*h21; b3(i+1)ta(x1,0); b4(i+1)ta(x1,b); end; v2=u1100(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2);
% Gia tri ve phai for i=0:M2; for j=0:N2; phi(i+1,j+1)=-v2(p2+i,q1+j); % Ham ve phai end; end;
% Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; x2=0+j*h22; b1(j+1)=eta1(j+1); b2(j+1)=dhx(a,x2); end;
% Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M2; x1i*h21; b3(i+1)=u(x1,0); b4(i+1)=u(x1,b); end; u2=u1100(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,1,1,0,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2);
% Gia tri ve phai for i=0:M1; for j=0:N1; x1=0+i*h11; x2=0+j*h12; phi(i+1,j+1)=vp1(x1,x2,cc,k1,k2); % Ham ve phai end; end;
% Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N1; x2=0+j*h12;
% Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; x1=0+i*h11; b3(i+1)ta(x1,0); b4(i+1)=phi3(i+1); end; v1=u0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M1,N1,n1,p1,p2,q1,q2);
% Gia tri ve phai for i=0:M1; for j=0:N1; phi(i+1,j+1)=-v1(p1+i,q1+j); % Ham ve phai end; end;
% Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N1; x2=0+j*h12; b1(j+1)=u(0,x2); b2(j+1)=u2(p2,q1+j); end;
% Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; x1=0+i*h11; b3(i+1)=u(x1,0); b4(i+1)=u(x1,b); end; u1=u0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,1,1,0,M1,N1,n1,p1,p2,q1,q2);
% Hieu chinh gia tri csi1 for j=0:N1; x2=0+j*h12; ph01(j+1)=vp1(e1,x2,cc,k1,k2); end; dv1=dx(q1,q2,p2,ph01,v1,h11,h12,k1,k2,M1,-1); csi1=teta*csi1-(1-teta)*dv1;
% Hieu chinh gia tri eta1 for j=0:N1; ph01(j+1)=-v1(p2,q1+j); end; du1=dx(q1,q2,p2,ph01,u1,h11,h12,1,1,M1,-1); eta1=teta*eta1-(1-teta)*du1;
%Hieu chinh gia tri phi1 for j=0:N2; x2=0+j*h12;