luận văn thạc sĩ phương pháp lượng giác trong ước lượng đa thức và dãy số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ HỒNG KHUYÊN PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC TRONG ƢỚC LƢỢNG ĐA THỨC VÀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ HỒNG KHUYÊN PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC TRONG ƢỚC LƢỢNG ĐA THỨC VÀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành : Phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số : 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2016 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục MỞ ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Một số tính chất hàm lượng giác 1.2 Đa thức lượng giác 1.3 Đa thức Chebyshev PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC 2.1 Một số lớp phương trình hàm sinh hàm lượng giác 2.2 Bài toán ước lượng đa thức lượng giác 17 2.3 Một số toán cực trị đa thức lượng giác 24 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC KHẢO SÁT MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ 28 3.1 Phương pháp lượng giác để xác định số hạng tổng quát dãy số 28 3.2 Phương pháp lượng giác để ước lượng dãy số 31 3.3 Phương pháp lượng giác để tìm giới hạn dãy số 33 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN 45 4.1 Sử dụng hệ thức lượng giác để thiết lập đẳng thức đại số 45 4.2 Phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức đại số 53 4.3 Phương pháp lượng giác khảo sát phương trình hệ phương 4.4 trình 61 Phương pháp lượng giác toán cực trị 70 download by : skknchat@gmail.com ii KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 download by : skknchat@gmail.com Mở đầu Chuyên đề lượng giác phần quan trọng chương trình tốn THPT Các học sinh học lượng giác thường chưa cặn kẽ tư tưởng phương pháp tiếp cận đặc biệt khâu vận dụng kiến thức vào giải toán đại số, giải tích hình học Trong hoạt động thực tiễn, có nhiều toán cần can thiệp lượng giác để đo đạc, tính tốn mơ Vì vậy, chun đề lượng giác có vị trí đặc biệt tốn học, khơng đối tượng cần nghiên cứu mà cịn cơng cụ đắc lực đại số giải tích hình học Trong kì thi THPT quốc gia, kì thi học sinh giỏi, Olimpic khu vực quốc tế tốn liên quan đến phép tính lượng giác thường ẩn hình thức cơng cụ giải tốn Nhiều tốn liên quan đến ước lượng tính tốn tổng, tích tốn cực trị thường có mối quan hệ nhiều đến lượng giác Lượng giác toán liên quan đề cập hầu hết giáo trình lượng giác Tuy nhiên, việc dạy toán lượng giác THPT chưa chi tiết, có nhiều kiến thức chưa cập nhật cách hệ thống Các tài liệu phương pháp lượng giác chuyên đề chọn lọc cho giáo viên học sinh chưa có nhiều (xem [1]-[6]) Với mong muốn nâng cao trình độ chun mơn đáp ứng nhu cầu học sinh giỏi nên em chọn đề tài “Một số phương pháp lượng giác ước lượng đa thức dãy số” để làm đề tài luận văn thạc sĩ Chuyên đề lượng giác với mảng kiến thức "phương pháp lượng giác ước lượng đa thức dãy số" giúp em học sinh tự tin giải tốt toán liên quan đến lượng giác thêm yêu toán học Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Giáo sư, Tiến sĩ khoa học Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so hướng dẫn khoa học mình, thầy dành nhiều thời gian, tâm huyết hướng dẫn, truyền đạt tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán -Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K8B (khóa 2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm gia đình tạo điều kiện tốt cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập công tác Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Trần Thị Hồng Khuyên luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Một số tính chất hàm lượng giác Trong phần ta xét số tính chất hàm lượng giác trục thực Ta có sin x; cos x ∈ [−1; 1]; sin2 x + cos2 x = 1, ∀x ∈ R sin(x + k2π) = sin x; cos(x + k2π) = cos x, ∀x ∈ R π tan(x + kπ) = tan : x, ∀x 6= + kπ; cot(x + kπ) = cot x, ∀x 6= kπ Cơng thức góc nhân đơi cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α Công thức góc nhân ba cos 3α = cos3 α − cos α, sin 3α = sin α − sin3 α Cơng thức góc nhân năm cos 5α = 16 cos5 α − 20 cos3 α + cos α, sin 5α = 16 sin5 α − 20 sin3 α + sin α Về sau, ta sử dụng hệ thức sin x+cos x = √ √ √ √ √ √ π π π π sin(x+ ) = cos(x− ), − ≤ sin(x+ ) cos(x− ) ≤ 4 4 luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so Ta có sin x − cos x = √ 2≤ √ √ sin(x − sin(x − √ π π ) = cos(x + ) 4 √ π √ π ); cos(x + ) ≤ 4 p p + Nếu C := α sin x + β cos x − α2 + β ≤ C ≤ α2 + β , ∀x ∈ R + Nếu D := cosn x + sinn x ta có −1 ≤ D ≤ 1, ∀x ∈ R 1.2 Đa thức lượng giác Định nghĩa 1.2.1 (xem[6]) Hàm số dạng An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx, an bn không đồng thời không (tức a2n + b2n > 0), ; bj ∈ R với i = 0, 1, , n j = 1, 2, , n, gọi đa thức lượng giác bậc n (n ∈ N) Khi tất bj = với j = 1, 2, , n, ta nhận biểu thức không chứa hàm sin Định nghĩa 1.2.2 Hàm số dạng Cn (x) = a0 + a1 cos x + · · · + an cos nx gọi đa thức lượng giác bậc n theo cosin Tương tự, tất = với i = 1, 2, , n, ta nhận biểu thức không chứa hàm cosin Định nghĩa 1.2.3 Hàm số dạng Sn (x) = b0 + b1 sin x + · · · + an sin nx gọi đa thức bậc n theo sin Sau đây, ta liệt kê tính chất đơn giản đa thức lượng giác Tính chất 1.2.4 Tổng hai đa thức lượng giác An (x) Bm (x) đa thức lượng giác có bậc nhỏ max {m; n} luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so Tính chất 1.2.5 Tích hai đa thức lượng giác An (x) Bm (x) đa thức lượng giác có bậc n + m Tính chất 1.2.6 Nếu đa thức lượng giác An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx đồng với x ∈ R, tất hệ số 0, tức a0 = a1 = b1 = a2 = b2 = · · · = an = bn = Tính chất 1.2.7 Đối với đa thức lượng giác dạng An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx ln tìm đa thức đại số Pn (t); Qn−1 (t) cho An (x) = Pn (cos x) + sin xQn−1 (cos x) Tính chất 1.2.8 Đối với đa thức lượng giác bậc n (n ≥ 1) dạng Sn (x) = b0 + b1 sin x + · · · + an sin nx tồn đa thức đại số Qn−1 (t), cho Sn (x) = b0 + sin xQn−1 (cos x) Tính chất 1.2.9 Đối với đa thức lượng giác bậc n (n ≥ 1) theo cosin Cn (x) = a0 + a1 cos x + · · · + an cos nx tồn đa thức đại số Pn (t) với hệ số cao an 2n−1 cho Cn (x) = pn (cos x) Ngược lại, với đa thức đại số Pn (t) với hệ số bậc cao 1, qua phép đặt ẩn phụ t = cos x biến đổi dạng Cn (x) với an = 21−n 1.3 Đa thức Chebyshev Trong phần ta xét số tính chất đa thức Chebyshev loại loại (xem [6]) luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so Định nghĩa 1.3.1 (Đa thức Chebyshev loại 1) Các đa thức Tn (x) xác định ( T0 (x) = 1; T1 (x) = x Tn+1 (x) = 2x.Tn (x) − Tn−1 (x) , n ≥ gọi đa thức Chebyshev loại Định(nghĩa 1.3.2 (Đa thức Chebyshev loại 2) Các đa thức Un (x) xác định bởi: U0 (x) = 1; U1 (x) = 2x Un+1 (x) = 2x.Un (x) − Un−1 (x) , n ≥ gọi đa thức Chebyshev loại Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta dễ dàng chứng minh Tn (cos α) = cos nα, ∀α ∈ R, ∀k ∈ Z; Un (cos α) = sin (n + 1) α , ∀α 6= kπ, ∀k ∈ Z sin α Tính chất 1.3.3 Ta có Tn (x) = cos (narccosx) , ∀x ∈ [−1; 1] Un (x) = sin (narccosx) √ , ∀x ∈ (−1; 1) − x2 Tính chất 1.3.4 Đa thức Tn (x) , Un (x) ∈ Z [x] có bậc n hệ số cao tương ứng 2n−1 2n Tính chất 1.3.5 Các đa thức Tn (x) , Un (x) hàm số chẵn n chẵn hàm số lẻ n lẻ Tính chất 1.3.6 Các đa thức Tn (x) Un (x) có n nghiệm thực phân biệt tương ứng là: cos (2k + 1) π kπ , k = 0; n − cos , k = 1, n 2n n+1 Chứng minh Do x ∈ [−1; 1] nên ta đặt x = cos α với α ∈ [0; π] Tn (x) = ⇔ Tn (cos α) = ⇔ cos nα = ⇔ α = π k + π, k ∈ Z, n ∈ N∗ 2n n luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so download by : skknchat@gmail.com P (x) |Pn0 (cos α)| ≤ n suy − x2 n ≤ n Áp dụng kết toán 2.2.9 ta thu kết Pn (x) ≤ n suy ra|Pn0 (x)| ≤ n2 ∀x ∈ [−1; 1] n 2.3 Một số toán cực trị đa thức lượng giác Trong mục ta xét số toán cực trị đa thức lượng giác Bài tốn 2.3.1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = + cos x + 1 cos 2x + cos 3x Lời giải Ta có 1 cos 2x + cos 3x 1 = + cos x + (2 cos x − 1) + (4 cos3 x − cos x) = cos3 x + cos2 x + y = + cos x + Đặt t = cos x, |t| ≤ Khi y = t3 + t2 + Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = t3 + t2 + trong[−1, 1] 2 Ta có y = 4t2 + 2t Suy y = t = 0, t = − luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so 25 −1 17 = ; y(0) = ; y(1) = y(−1) = ; y − 12 17 Suy ymax = t=1suy x = k2π, k ∈ Z ymin = t = -1suy x = π + k2π, k ∈ Z   Bài toán 2.3.2 Cho x, y ∈ R thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ y Tìm giá trị lớn biểu thức f (x, y) = x cos y − y cos x + (x − y)( xy − 1) Lời giải Trước hết nhận xét rằng: i) Nếu g(t) hàm liên tục đồng biến [0, y], với x cho ≤ x ≤ y, ta có Zy Zx g(t)dt ≤ x y (2.19) g(t)dt ii) Nếu g(t) hàm liên tục nghịch biến [0, y], với x cho ≤ x ≤ y, ta có Zy Zx g(t)dt ≥ x y (2.20) g(t)dt Thật i) Xét trường hợp g(t) hàm liên tục đồng biến [0, y] - Với x = y x = (2.19) hiển nhiên - Với < x < y, ta xét hàm số Rx F (x) = g(t)dt x có xg(x) − Rx x2 F (x) = g(t)dt Do hàm số g(t) đồng biến [0, y] nên với t ∈ (0, x) ⊂ (0, y), ta có Zx Zx g(t)dt ≤ g(x)dt = xg(x) luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so 26 Vậy F (x) ≥ với < x < y , tức F (x) đồng biến (0, y) Do Rx Ry g(t)dt ≤ x g(t)dt y Từ dễ dàng suy (2.19) ii) Đối với trường hợp g(t) liên tục nghịch biến [0, y] với t ∈ (0, x) ⊂ (0, y), ta có Zx Zx g(t)dt ≥ g(x)dt = xg(x) Vậy F (x) ≤ với < x < y , tức F (x) nghịch biến (0, y) Do Rx Ry g(t)dt x ≥ g(t)dt y Từ dễ dàng suy (2.20) Xét hàm số g(t) = sin t + t Ta thấy g(t) hàm liên tục đồng biến [0, y], nên theo (2.19) với x cho ≤ x ≤ y , ta có Zy Zx (sint + t)dt ≤ x y (sin t + t)dt x2 y2 + 1) ≤ x(− cos y + + 1) 2 x2 y xy ⇔ −y cos x + + y) ≤ −x cos y + + x) 2 ⇔ y(− cos x + hay x cos y − y cos x + x2 y xy − − x + y ≤ 2 Suy x cos y − y cos x + (x − y)( xy − 1) ≤ Vậy giá trị lớn f (x, y) ứng với x = 0, y ≥ tùy ý x = y Bài toán 2.3.3 Cho đa thức lượng giác f (x) = b1 sin x + b2 sin 2x + · · · + bn sin nx luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so 27 thỏa mãn điều kiện |f (x)| ≤ | sin x|, ∀x ∈ R, bi ∈ R, i = 1, 2, , n Tìm giá trị lớn biểu thức S = |b1 + 2b2 + · · · + nbn | Lời giải Ta có f (x) = b1 cos x + 2b2 cos 2x + 3b3 cos 3x + · · · + nbn cos nx Vậy nên f (0) = b1 = 2b2 + 3b3 + · · · + nbn Theo định nghĩa đạo hàm điểm x = f (x) − f (0) f (x) = lim x→0 x→0 x x f (0) = lim Suy f (x) f (x) sin x | ≤ lim | | ≤ lim | |=1 x→0 x x→0 x→0 x x |f (0)| = | lim Vậy S = |b1 + 2b2 + · · · + nbn | ≤ Dấu 00 =00 xảy x = luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so 28 Chương PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC KHẢO SÁT MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ DÃY SỐ Phần dãy số có nhiều tốn hay khó chương trình tốn THPT, đặc biệt kì thi học sinh giỏi Chúng ta thường gặp nhiều dạng toán dãy số mà cách giải thông thường sử dụng phương pháp lượng giác Trong phần ta xét số phương pháp lượng giác để xác định số hạng tổng quát dãy số, ước lượng dãy số để tìm giới hạn dãy số 3.1 Phương pháp lượng giác để xác định số hạng tổng quát dãy số Bài toán 3.1.1 Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định bởi:   x1 = y = √ ;     xn xn+1 = − 4xn+1 Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số (xn ), (yn ) Lời giải Do |xn | , |yn | ≤ ∃ϕn ∈ [0; 2π] để xn = sin ϕn yn = cos ϕn π Trong x1 = y1 = √ ϕ1 = Có sin ϕn+1 = sin ϕn nên 4cos2 ϕn+1 − sin(3ϕn+1 ) = sin ϕn luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so download by : skknchat@gmail.com ; 4yn+1 −1   yn   yn+1 = (3.1) luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so 29 Tương tự cos ϕn+1 = cos ϕn nên − 4sin2 ϕn+1 (3.2) cos(3ϕn+1 ) = cos ϕn Từ (3.1) (3.2) 3ϕn+1 = ϕn ϕn+1 = ϕn (ϕn ) cấp số nhân 3  n−1    n−1   n−1 π  n−1 π π ϕn = ϕ1 = xn = sin yn = cos 4 Bài toán 3.1.2 Cho a0 = 2; b0 = Lập hai dãy số (an ), (bn ) với n = 0, 1, 2, theo quy tắc sau an+1 = p 2an bn ; bn+1 = an+1 bn an + b n Tìm số hạng tổng quát dãy số (an ), (bn ) Nhận xét 3.1.3 Dãy (an ) dãy trung bình điều hịa, dãy (bn ) dãy trung bình nhân.Trong trường hợp phương pháp lượng giác tỏ tối ưu 1 = π , b0 = 1 cos 2 2a0 b0 = a1 = = = π π 1 a0 + b cos + cos2 + a0 b √ b = a1 b = π cos Lời giải Ta có a0 = = Từ phương pháp chứng minh quy nạp, ta chứng minh rằng: an = (cos π π π π cos cos n−1 cos2 n )−1 2.3 3 π π π π cos cos n−1 cos n )−1 2.3 3 π sin π π π π Lưu ý rằng: cos cos cos n−1 cos n = π với n ≥ 2.3 3 n sin n π π 2n sin n 2n sin n , b = Vậy ta có an = n π π π sin cos n sin 3 bn = (cos Bài toán 3.1.4 ( Olympic 30/04/2003) Cho dãy (un ) xácđịnh  √  u1 = 3; √ un + −  √ un+1 = + (1 − Tính un luan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.soluan.van.thac.si.phuong.phap.luong.giac.trong.uoc.luong.da.thuc.va.day.so download by : skknchat@gmail.com 2)un