THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đặng Thị Thảo DÃY SỐ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2011 z MỤC LỤC Mở đầu Dãy số 1.1 Định nghĩa định lý 1.2 Một vài dãy số đặc biệt 1.3 Một số toán áp dụng 13 Một số phương pháp giải toán dãy số 18 2.1 Một số phương pháp giải tốn tìm số hạng tổng qt dãy số 18 2.1.1 Phương pháp quy nạp 18 2.1.2 Phép lượng giác 20 2.1.3 Phương pháp sử dụng phương trình sai phân, tính chất hàm số 24 2.1.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa 31 2.2 Một số phương pháp giải tốn tìm giới hạn dãy số 38 2.2.1 Giới hạn dãy số lặp 38 2.2.2 Giới hạn dãy trung bình Cesaro 41 2.2.3 Giới hạn dãy phân tuyến tính 43 2.3 Một số phương pháp giải toán dãy số số học 48 2.3.1 Phương pháp quy nạp 48 2.3.2 Nguyên lý Dirichlet 50 2.3.3 Dãy số sinh phần nguyên 52 2.4 Một số phương pháp ước lượng tổng tích số dãy số 55 2.4.1 Phương pháp sai phân 55 2.4.2 Phương pháp đại số 58 2.4.3 Sử dụng số phức 62 z Một số phương pháp thiết lập toán dãy số 3.1 Xây dựng dãy số hội tụ sinh đại lượng trung bình 3.1.1 Trường hợp số 3.1.2 Trường hợp lệch số 3.1.3 Phối hợp ba dãy số 3.2 Xây dựng dãy số nghiệm họ phương trình 64 64 64 67 76 79 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 87 z MỞ ĐẦU Đề tài dãy số thuộc lĩnh vực khó rộng (xem [1] - [8]), sử dụng nhiều kiến thức khác toán học Mục tiêu luận văn nhằm đề cập đến số vấn đề dãy số liên quan đến chương trình tốn bậc phổ thơng Nội dung chủ yếu đề tài "Dãy số số phương pháp giải toán dãy số" hệ thống số phương pháp giải toán dãy số số cách xây dựng toán dãy số Đó số phương pháp giải toán xác định số hạng tổng quát dãy số, tốn tìm giới hạn dãy số, toán dãy số số học toán ước lượng tổng tích dãy số Và số cách thiết lập toán dãy số thiết lập dãy số từ đại lượng trung bình, dãy số nghiệm họ phương trình Để giải toán này, ta cần kiến thức tổng hợp tính chất dãy số, giới hạn dãy số, Mục tiêu luận văn hệ thống phương pháp xây dựng toán minh họa, tổng quát vấn đề nêu Nội dung luận văn gồm phần Mở đầu, Kết luận phân thành ba chương, đề cập đến vấn đề sau • Chương trình bày số kiến thức dãy số gồm số định nghĩa, định lý, vài dãy số đặc biệt số tốn áp dụng • Chương hệ thống số phương pháp giải toán dãy số Với tốn xác định cơng thức tổng quát dãy số hệ thống phương pháp quy nạp, phép lượng giác, sử dụng phương trình sai phân, tính chất hàm số, kỹ thuật tuyến tính hóa Với tốn tìm giới hạn dãy số, xét dạng toán dãy số dạng lặp, dãy trung bình Cesaro, dãy phân tuyến tính Với tốn dãy số số học có phương pháp quy nạp, nguyên lý Dirichlet, dãy sinh phần nguyên Với toán ước lượng tổng tích dãy số, hệ thống phương pháp sai phân, đại số, sử dụng số phức z • Chương trình bày số cách thiết lập toán dãy số thiết lập dãy số từ đại lượng trung bình (trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hịa), dãy số nghiệm họ phương trình Tác giả xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy tận tình hướng dẫn, bảo cho học trị q trình học tập, nghiên cứu giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học seminar Phương pháp Toán sơ cấp trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội nhận xét, góp ý cho luận văn Xin bày tỏ tình cảm chân thành tới gia đình, bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập trường Mặc dù có nhiều cố gắng, song q trình thực khơng tránh khỏi sơ suất tác giả mong thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp góp ý để luận văn hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Học viên Đặng Thị Thảo z luan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.so CHƯƠNG DÃY SỐ Chương giới thiệu khái niệm dãy số, định nghĩa, định lý số dãy số đặc biệt Những kiến thức em xem trình bày lại [1], [2] 1.1 Định nghĩa định lý Định nghĩa 1.1 Dãy số hàm số từ N∗ (hoặc N) vào tập hợp số (N, Q, R, C) hay tập tập hợp Các số hạng dãy số thường kí hiệu un , , xn , yn thay u(n), v(n), x(n), y(n) Bản thân dãy số kí hiệu {xn } Nhận xét 1.1 Vì dãy số trường hợp đặc biệt hàm số nên có tính chất hàm số Định nghĩa 1.2 Dãy số {un } gọi dãy số tăng (giảm) với n ta có un+1 ≥ un (un+1 ≤ un ) Dãy số tăng giảm gọi chung dãy đơn điệu Dãy số {un } gọi bị chặn tồn số thực M cho với n ∈ N ta có un ≤ M Dãy số {un } gọi bị chặn tồn số thực m cho với n ∈ N ta có un ≥ m Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi dãy bị chặn Định nghĩa 1.3 Dãy {un } gọi dãy tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho un+l = un , ∀n ∈ N luan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.so z (1.1) luan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.so Số nguyên dương l nhỏ để dãy {un } thỏa mãn (1.1) gọi chu kỳ sở dãy Dãy {un } gọi dãy phản tuần hoàn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho un+l = −un , ∀n ∈ N (1.2) Số nguyên dương l nhỏ để dãy {un } thỏa mãn (1.2) gọi chu kỳ sở dãy Ví dụ 1.1 Chứng minh dãy số {un } tuần hồn cộng tính chu kỳ dãy có dạng un = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ], a, b ∈ R Giải Giả sử u0 = b, u1 = a Theo giả thiết, dãy số {un } tuần hoàn chu kỳ nên ta có un+2 = un , ∀n ∈ N - Nếu n = 2k + un = u2k+1 = a = 21 [a + b + (a − b)(−1)2k+2 ] - Nếu n = 2k un = u2k = b = 12 [a + b + (a − b)(−1)2k+1 ] Vậy un = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ], n ∈ N Ngược lại, un có dạng un = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ], a, b ∈ R, n ∈ N với n ∈ N ta có 1 un+2 = [a + b + (a − b)(−1)n+3 ] = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ] = un 2 Suy un dãy tuần hoàn chu kỳ Ví dụ 1.2 Chứng minh dãy số {un } phản tuần hồn cộng tính chu kỳ r có dạng un = (vn − vn+r ) với vn+2r = (1.3) Giải Ta có un+r = −un với ∀n ∈ N dãy tuần hồn cộng tính chu kỳ 2r Chọn un = , ta có 1 (vn − vn+r ) = (un − un+r ) = (un + un ) = un 2 luan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.so z luan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.so Ngược lại , ta thấy dãy xác định theo (1.3) dãy phản tuần hoàn chu kỳ r Thật 1 un+r = (vn+r − vn+2r ) = (vn+r − ) = −un 2 Ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.2 Dãy tuần hoàn chu kỳ dãy Định nghĩa 1.4 Dãy {un } gọi dãy tuần hồn nhân tính tồn số nguyên dương s (s > 1) cho usn = un , ∀n ∈ N (1.4) Số nguyên dương s nhỏ để dãy {un } thỏa mãn (1.4) gọi chu kỳ sở dãy Dãy {un } gọi dãy phản tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s (s > 1) cho usn = −un , ∀n ∈ N (1.5) Số nguyên dương s nhỏ để dãy {un } thỏa mãn (1.5) gọi chu kỳ sở dãy Ví dụ 1.3 Chứng minh dãy {un } tuần hồn nhân tính chu kỳ dãy có dạng αn tùy ý với n lẻ, un = u2k+1 với n = 2m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N Giải Nhận thấy với n ∈ N viết dạng n = 2s (2k + 1), với s ∈ N Do un = u2s (2k+1) = u2k+1 Vì un = αn tùy ý với n lẻ, u2k+1 với n = 2m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N Ngược lại, dễ thấy {un } xác định dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ Ví dụ 1.4 Chứng minh dãy {un } phản tuần hồn nhân tính chu kỳ dãy có dạng αn tùy ý với n lẻ, un = −u2k+1 với n = 22m+1 (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N, u2k+1 với n = 22m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N luan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.so z luan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.so Giải Nhận thấy với n ∈ N viết dạng n = 2s (2k + 1), với s ∈ N Do u2k+1 s = 2m, m ∈ N∗ , un = u2s (2k+1) = −u2k+1 s = 2m + 1, m ∈ N∗ Vì αn tùy ý với n lẻ, un = −u2k+1 với n = 22m+1 (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N, u2k+1 với n = 22m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N Ngược lại, dễ thấy {un } xác định dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ Nhận xét 1.3 i) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ l dãy tuần hoàn chu kỳ 2l ii) Dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ s dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ s2 Định nghĩa 1.5 Ta nói dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn a n dần đến vô với ε > 0, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn ε) cho với n > N0 ta có |xn − a| < ε lim xn = a ⇔ ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn − a| < ε n→+∞ Ta nói dãy số {xn } dần đến vô n dần đến vô với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn M ) cho với n > N0 ta có |xn | > M lim xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn | > M n→+∞ Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vô n dần đến vô gọi dãy phân kỳ Định lý 1.1 (Tổng, hiệu, tích, thương dãy hội tụ) Nếu {xn }, {yn } dãy hộintụ n − yn }, {xn yn } o có giới hạn tương ứng a, b dãy số {xn + yn }, {x xn a hội tụ có giới hạn tương ứng a + b, a − b, a.b, · (Trong trường yn b hợp dãy số thương, ta giả sử yn b khác không) Định lý 1.2 (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức) Cho dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn l, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có a ≤ xn ≤ b a ≤ l ≤ b luan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.so z luan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.so Định lý 1.3 (Định lý kẹp) Cho ba dãy số {xn }, {yn }, {zn } xn zn có giới hạn hữu hạn a N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có xn ≤ yn ≤ zn Khi yn có giới hạn a Định lý 1.4 (Sự hội tụ dãy đơn điệu) Một dãy tăng bị chặn hay dãy giảm bị chặn hội tụ Nói ngắn gọn hơn, dãy đơn điệu bị chặn hội tụ Định lý 1.5 (Về dãy đoạn thẳng lồng nhau) Cho hai dãy số thực {an }, {bn } cho a) ∀n ∈ N, an ≤ bn ; b) ∀n ∈ N, [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ]; c) bn − an → n → ∞ Khi tồn số thực a cho ∩[an , bn ] = {a} Định lý 1.6 (Bolzano-Weierstrass) Từ dãy bị chặn trích dãy hội tụ Định nghĩa 1.6 Dãy xn gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀m, n > N0 , |xm − xn | < ε Định nghĩa 1.7 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn dãy Cauchy 1.2 Một vài dãy số đặc biệt Cấp số cộng Định nghĩa 1.8 Dãy số {un } (un ) (hữu hạn vô hạn) thỏa mãn điều kiện u1 − u0 = u2 − u1 = = un+1 − un = gọi cấp số cộng Khi dãy số {un } lập thành cấp số cộng hiệu d = u1 − u0 gọi công luan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.soluan.van.thac.si.day.so.va.mot.so.phuong.phap.giai.toan.ve.day.so z
Ngày đăng: 22/01/2024, 23:34
Xem thêm: