luận văn thạc sĩ hệ động lực p adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THU HÀ HỆ ĐỘNG LỰC P −ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THU HÀ HỆ ĐỘNG LỰC P - ADIC Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - 2016 download by : skknchat@gmail.com Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà i download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phịng Đào nhà trường Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu, trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà ii luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Mở đầu hệ động lực p−adic 1.1 Tập hút tập đẩy 1.1.1 Tính chất bất biến lùi tiến ánh xạ 1.1.2 Tập hút, tập đẩy tính chất 1.2 Điểm bất động ánh xạ 1.2.1 Quan hệ Riemann - Hurwitz 1.2.2 Điểm bất động hàm nguyên Họ hàm chuẩn tắc lý thuyết Fatou - Julia 2.1 Họ chuẩn tắc định lý Montel 2.1.1 Họ chuẩn tắc tính chất 2.1.2 Định lý Montel 2.2 Lý thuyết Fatou - Julia 2.2.1 Một số khái niệm 2.2.2 Tính chất tập Julia 3 12 12 16 20 20 20 26 36 36 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 iii luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic Mở đầu Một vấn đề nghiên cứu quan trọng hàm phân hình nghiên cứu hệ động lực ánh xạ lặp thực hàm phân hình, tức nghiên cứu tính chất ánh xạ lặp thực hàm phân hình Những vấn đề nghiên cứu lý thuyết hệ động lực phức nghiên cứu quỹ đạo ánh xạ, tính chất bất biến tập hợp qua ánh xạ, điểm bất động ánh xạ, tính chất chuẩn tắc họ ánh xạ phân hình lý thuyết Julia-Fatou Cuối kỷ 19, kết nghiên cứu hệ động lực phức tập trung vào tính chất địa phương ánh xạ chỉnh hình lặp lân cận điểm bất động Năm 1906, P Fatou cho biết dáng điệu toàn cục ánh xạ thơng qua số kết nghiên cứu Về sau, vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới G Julia, S Lattes, J F Ritt, J Milnor, L.Carleson, T,W Gamelin Ngày động lực phức lĩnh vực phát triển mạnh mẽ, liên kết với lĩnh vực khác có nhiều ứng dụng rộng rãi Song song với việc phát triển lý thuyết hệ động lực ánh xạ lặp thực hàm phân hình phức, thời gian gần nhà tốn học nghiên cứu tính chất tương tự cho ánh xạ thực hàm phân hình trường không Acsimet Những nghiên cứu công bố P C Hu, C C.Yang, A F Beardon, W K Hayman, I N Baker, E Hille, A Escassut Hu, P.C & Yang, C.C tập hợp lại sách "Meromorphic functions over Non - Archimedean Fields" ([7]) Với mong muốn tìm hiểu kiến thức ban đầu lý thuyết hệ động lực p−adic chúng luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic chọn đề tài "Hệ động lực p−adic" Mục đích luận văn giới thiệu số tính chất quỹ đạo, tính chất bất biến, điểm bất động ánh xạ thực hàm phân hình trường Cp Ngoài ra, luận văn giới thiệu số kết nghiên cứu tính chất chuẩn tắc họ ánh xạ phân hình lý thuyết Julia-Fatou tác giả giới công bố thời gian gần Luận văn chia làm hai chương, Chương chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna cho hàm phân hình p−adic giới thiệu số kiến thức mở đầu hệ động lực p−adic quỹ đạo ánh xạ, tính chất bất biến ánh xạ, điểm bất động ánh xạ Chương chúng tơi trình bày nghiên cứu họ hàm chuẩn tắc lý thuyết Fatou - Julia Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic Chương Mở đầu hệ động lực p−adic 1.1 Tập hút tập đẩy 1.1.1 Tính chất bất biến lùi tiến ánh xạ Trước hết ta giới thiệu số khái niệm Cho M tập hợp hợp khác rỗng, f : M −→ M ánh xạ Một tập E M là: (a) Bất biến tiến f (E) = E; (b) Bất biến lùi f −1 (E) = E; (c) Hoàn toàn bất biến f −1 (E) = E = f (E) Nếu f đơn ánh bất biến tiến kéo theo bất biến lùi hồn tồn bất biến (do f tồn ánh) Một cách tổng quát, ta có liên hệ sau: Bổ đề 1.1 ([6]) Nếu E bất biến lùi f (E) = E ∩ f (M ) ⊂ E; Nếu f −1 (E) ⊂ E, f (E) ⊂ E E bất biến lùi Chứng minh (1) Hiển nhiên (2) Do f (E) ⊂ E nên với x ∈ E : f (x) ∈ E Suy x ∈ f −1 (E) suy E ⊂ f −1 (E) suy E = f −1 (E) Cho M, N hai không gian topo, kí hiệu C(M, N ) tập ánh xạ liên tục từ M vào N Lấy f ∈ C(M, N ) ta kí hiệu lặp f f = id, f n = f n−1 ◦ f = f ◦ f n−1 (n > 0)) luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic Ta ký hiệu quỹ đạo tiến x ∈ M [ O+ (x) = {f n (x)} n >0 Các phần tử O+ (x) gọi phần tử x Ta kí hiệu quỹ đạo lùi x [ O− (x) = {f −n (x)} n >0 Các phần tử O− (x) gọi phần tử trước x Ta kí hiệu quỹ đạo tồn phần x [ O(x) = O+ (x) O− (x) Tổng quát, với E ⊂ M , ta định nghĩa quỹ đạo tiến, lùi, toàn phần E cách tương ứng S n S −n S O+ (E) = f (E), O− (E) = f (E), O(E) = O+ (E) O− (E) n≥0 n≥0 Hiển nhiên, ta có + O (E) = [ − + O (x), O (E) = x∈E [ O− (x) x∈E Với x, y ∈ M , ta xác định quan hệ ∼ M x ∼ y tồn m, n ∈ N cho f m (y) = f n (x), nghĩa x y có chung phần tử Ta thấy: ˆ “ ∼ ” đối xứng x ∼ y tồn m, n ∈ N∗ f m (x) = f n (y) Suy f n (x) = f m (y) suy y ∼ x ˆ “ ∼ ” phản xạ x ∼ x với n : f n (x) = f n (x) ˆ “ ∼ ” bắc cầu x ∼ y, y ∼ z tồn m, n, k, l ∈ N∗ : f m (x) = f n (y), f k (y) = f l (z), (f m (x))k = (f n (y))k suy f mk (x) = (f k (y))n , suy f mk (x) = (f l (z))n = f nl (z) Bởi ∼ quan hệ tương đương M Ta kí hiệu lớp tương đương chứa x [x], gọi quỹ đạo tổng quát x Vì ∼ quan hệ tương đương nên hai quỹ đạo tổng quát đồng rời Dễ dàng chứng minh ( ) [ [ [ [x] = O+ (x) O− (f n (x)) = O(f n (x)) n >0 n >0 luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic Định lý 1.2 ([6]) Các quỹ đạo tổng quát tập nhỏ có tính chất bất biến lùi Hệ 1.3 ([7]) Một tập E M bất biến lùi hợp lớp tương đương [x] Trong trường hợp này, phần bù M \ E phải hợp lớp tương đương bất biến lùi Hệ 1.4 ([7]) Giả sử f : M → M ánh xạ mở liên tục giả sử E bất biến lùi Thì phần E ◦ , biên ∂E , bao đóng E E bất biến lùi Với E ⊂ M , ta xác định [E] = [ [x] x∈E Khi [E] bất biến lùi (vì [x] bất biến lùi) Hiển nhiên, E bất biến lùi [E] = O(E) = E Tập [E] tập có tính chất bất biến lùi nhỏ chứa E Một điểm bất động ánh xạ f : M → M điểm x ∈ M cho f (x) = x Kí hiệu tập điểm bất động f Fix(f ) Một k - vòng (vòng bậc k ) k - gồm k phần tử x0 , , xk−1 M đôi khác cho f (xi ) = xi+1 (0 i k − 1; f (xk−1 ) = x0 Đối với họ k -vòng {x0 , , xk−1 }, hiển nhiên xi thỏa mãn f k (xi ) = xi , nghĩa {x0 , , xk−1 } ⊂ Fix(f k ) Mỗi xi gọi điểm bất động cấp k f Một 1-vịng f điểm bất động f Đặt: ∞ [ Per(f ) = Fix(f k ) k=1 Các điểm cuả Per(f ) gọi điểm tuần hoàn f Hiển nhiên x ∈ Per(f ) f k (x) = x với k ∈ Z+ Giá trị k bé cho f k (x) = x gọi chu kỳ x Nếu k chu kỳ x k > 1, {x, f (x), , f k−1 (x)} k -vòng f Bởi Per(f ) hợp vòng f Với x ∈ M , ta xác định tập w - giới hạn L+ (x) x bởi: \[ L+ (x) = f n (x) k >0 n>k luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic download by : skknchat@gmail.com df n df = [f (0)] = (0) max (x) x∈[0,r] dz dz Đặt f n = g Khi g khả vi [0, r] f (0) = Ta chứng minh |g (x)| max |g(x)| , với x ∈ [0, r] r x∈[0,r] Do g liên tục [0, r] suy tồn x0 ∈ [0, r] để |g(x0 )| = max |g(x)| x∈[0,r] Suy cần chứng minh g (x) g(x0 ), với x ∈ [0, r] luan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adicluan.van.thac.si.he.dong.luc.p.adic download by : skknchat@gmail.com