Trang 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNGUYỄN THU HIỀN Trang 2 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNGUYỄN THU HIỀNBÀI TỐN CALDERĨNTRONG HÌNH T
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN họ c NGUYỄN THU HIỀN oa BÀI TỐN CALDERĨN vă n th ạc sĩ Kh TRONG HÌNH TRỊN ĐƠN VỊ Lu ận LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN họ c NGUYỄN THU HIỀN oa BÀI TỐN CALDERĨN th ạc sĩ Kh TRONG HÌNH TRỊN ĐƠN VỊ Lu ận vă n Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐẶNG ANH TUẤN Hà Nội - 2019 Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau Đại Học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lời giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường c ĐHKHTN - ĐHQGHN động viên khích lệ, giúp đỡ suốt trình học tập họ Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS.Đặng Anh Tuấn, người hướng Kh oa dẫn, bảo tận tình, sát tơi q trình thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn tới em Mai Thị Kim Dung, người giúp việc sử ạc sĩ dụng Latex hồn thiện trình bày luận văn th Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới người thân, bạn bè người giúp đỡ, Lu ận vă n động viên tơi suốt q trình thực luận văn Hà Nội, ngày 24 tháng 11 năm 2019 Học viên Nguyễn Thu Hiền Mục lục Danh mục kí hiệu họ c Lời cảm ơn oa Mở đầu Kh Chuẩn bị Một số kiến thức giải tích 1.2 Không gian Sobolev 1.2.1 Không gian Sobolev xuyến 1.2.2 Không gian Sobolev B 17 th ạc sĩ 1.1 26 vă n Bài tốn biên elliptic Phương trình elliptic 26 2.2 Ánh xạ Dirichlet - Neumann Lu ận 2.1 31 Bài tốn Calderón 35 3.1 Ví dụ Alessandrini 35 3.2 Mở rộng ví dụ Alessandrini 3.3 Một số ví dụ khác 44 36 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 54 Danh mục kí hiệu • N : Tập hợp số tự nhiên • Z+ : Tập hợp số ngun khơng âm • Zn+ : Tập hợp số ngun khơng âm n chiều • α : đa số, α ∈ Zn+ , α = (α1 , α2 , , αn ) ∂ |α| u ∂x1 α1 ∂x2 α2 ∂xn αn họ • Dα u : định nghĩa Dα u = c • |α| = α1 + α2 + + αn ạc sĩ • S1 = {eiθ |θ ∈ R} ⊂ R2 Kh • Tn xuyến n chiều, Tn = Rn /2πZn oa • B = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x21 + x22 < 1}, hình trịn đơn vị tâm gốc th • Với A S1 , B, Tn ta định nghĩa: đđ L (A) = {u : A −−−−−−−→ C| Lebesgue Z |u(x)|p dx < ∞}, ≤ p < ∞ A vă n p Lu ận • C(S1 ): Không gian hàm liên tục R, tuần hồn chu kì 2π • C m (B): Khơng gian hàm có đạo hàm tới cấp m liên tục B, với ∀|α| ≤ m • C ∞ (B): Không gian hàm khả vi vô hạn B, C ∞ (B) = ∞ T C m (B) m=0 • C0 (B) = {u ∈ C(B), supp u tập compact B}, supp u = {x ∈ B : u(x) 6= 0} • C0m (B) = {u ∈ C m (B), supp u tập compact B} • C0∞ (B) = ∞ T C0m (B) m=0 • C m (B) : Khơng gian hàm u có đạo hàm Dα u liên tục B, ∀|α| ≤ m • C ∞ (B) = ∞ T C m (B) m=0 • ∇u = (ux1 , ux2 ) , uxj , j = 1, đạo hàm riêng u theo xj Mở đầu Xét vật thể dẫn điện mỏng, xem hình trịn B với tính dẫn γ(x) Giả thiết miền B vật thể khơng có nguồn tụ Đặt điện áp f lên S1 sinh điện u B, thỏa mãn toán biên Dirichlet ∇ · (γ∇u) = B, (1) u = f S Bài toán biên Dirichlet (1) có nghiệm u ∈ H (B) với f ∈ H (S1 ) Khi 1 họ c ta định nghĩa ánh xạ Dirichlet-Neumann Λγ : H (S1 ) → H − (S1 ) xác định oa Λγ f = γ∂ν u|S1 Kh Λγ f biểu thị dòng điện theo hướng pháp tuyến S1 Ánh xạ Dirichlet-Neumann sĩ hoàn toàn xác định phép đo đạc biên ạc Bài tốn Calderón đặt ta hiểu ánh xạ Dirichlet-Neumann ta biết th tính dẫn vật thể dẫn điện Trong luận văn này, công việc người viết trình bày ví dụ mở rộng Alessandrini vă n tốn Calderón xét tính ổn định khơi phục lại tính dẫn vật Ngoài người viết quan tâm đến kết tính ổn định C α , < α < 1, T.Barcelo Lu ận đồng nghiệp báo [11], tính ổn định H α , < α < 1, A Clop đồng nghiệp báo [5] Bố cục luận văn gồm chương: • Chương 1: Trình bày kiến thức giải tích, khơng gian Sobolev xuyến khơng gian Sobolev hình trịn để sử dụng cho chương sau • Chương 2: Trình bày kết tính trơn nghiệm phương trình elliptic Sau đó, từ định lý tồn nghiệm tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic, người viết trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ Dirichlet-Neumann Trong trường hợp hệ số phương trình elliptic đặc biệt, người viết nhắc lại kết giúp cho việc viết tường minh ánh xạ DirichletNeumann • Chương 3: Xuất phát từ ví dụ Alessandrini, người viết quan tâm đến lớp tính dẫn γα (x) = α0 + α1 (a − r) < r < a, r = |x| , α0 a < r < 1, (2) Đối với lớp tính dẫn này, người viết thu kết quả: (+) Viết tường minh ánh xạ Dirichlet - Neumann (D-N) (+) Tính ổn định Lipschitz (+) Khơi phục tính dẫn từ ánh xạ D-N c Về tính ổn định tính dẫn C α báo [11], T.Barcelo đồng họ nghiệp thu oa kγ1 − γ2 kL∞ (Ω) ≤ V kΛγ1 − Λγ2 k∗ Kh Bằng nội suy dẫn đến C β ổn định, < β < α Trong luận văn, người viết dùng dãy tính dẫn α ạc sĩ γa (r) = + a ρ r th , a > 0, e r2 −1 |r| < 1, 0 |r| ≥ 1, vă n ρ (r) = a Lu ận để β α Về tính ổn định tính dẫn H α báo [5], A.Clop đồng nghiệp thu kγ1 − γ2 kL2 (Ω) ≤ V kΛγ1 − Λγ2 k∗ Bằng nội suy dẫn đến H β ổn định, < β < α Để β không α ta cần đến dãy tính dẫn phức tạp Trong trường hợp C β ổn định ta cần hình trịn cịn trường hợp ta cần đến nhiều hình trịn Khi số hình trịn tăng vơ hạn ta thấy không H α ổn định Chương Một số kiến thức giải tích họ 1.1 c Chuẩn bị oa Ký hiệu Tn xuyến n chiều, Tn = Rn /2πZn Hàm f : Tn → C hiểu f : Rn → C, Kh tuần hồn với chu kỳ 2πZn Tn tích phân Lebesgue [0; 2π]n , với chuẩn n R th ạc sĩ Định nghĩa 1.1 Cho p ∈ [1; +∞), không gian Lp (Tn ) định nghĩa sau Z p n n p L (T ) := f : R → C : |f (x)| dx < +∞ , vă Tn kf kLp (Tn ) := Lu ận p1 (2π)n Z |f (x)|p dx Tn Nhận xét 1.1 (1) L2 (Tn ) khơng gian Hilbert C, với tích vơ hướng Z (f, g)L2 (Tn ) := f (x)g(x)dx, f, g ∈ L2 (Tn ) (2π)n Tn (2) Với n = , T = R/2πZ = S1 , hàm f : T = S1 → C hiểu f : R → C, tuần hoàn với chu kỳ 2π (3) Với n = 2, T2 = R2 /2πZ2 6= S2 , hàm f : T2 → C hiểu f : R2 → C thỏa mãn f (x1 + k1 2π, x2 + k2 2π) = f (x1 , x2 ), ∀k1 , k2 ∈ Z, ∀(x1 , x2 ) ∈ R2 Khi L2 (T) = L2 S1 = L2 (0, 2π) ; L2 (Tn ) = L2 ((0, 2π)n ) Định nghĩa 1.2 ([8]) Với f ∈ L1 (Tn ), ta định nghĩa hệ số Fourier thứ k f sau: Z b f (k) = f (x) e−ikx dx, (2π)n (0,2π)n k ∈ Zn , k = (k1 , k2 , , kn ), kx = k1 x1 + k2 x2 + + kn xn Chuỗi Fourier f là: X fb(k) ek với ek (x) = eikx k∈Zn Định lý 1.1 ([8])(Tính ) Cho f ∈ L1 (Tn ) Nếu fb(k) = với k ∈ Zn f = hầu khắp nơi họ c Chứng minh Xem chứng minh chi tiết [8], Định lý 3.2.4 oa Định lý 1.2 ([8]) (i) Với f ∈ L2 (Tn ), tổng riêng Sn,R f (x) = P fb(k)ek (x) hội tụ đến f Kh k∈Zn ,|kj |≤R L2 (Tn ), R → ∞ |ak |2 < +∞ Khi tồn f ∈ L2 (Tn ) thỏa mãn P fb(k) = ak Cụ thể f giới hạn L2 (Tn ) ak ek R → ∞ sĩ P k∈Zn ạc (ii) Với {ak }k∈Zn thỏa mãn th k∈Zn ,|kj |≤R vă n Chứng minh Xem chứng minh chi tiết [8], Định lý 3.2.7 Lu ận Định lý 1.3 ([8]) Cho f, g ∈ L2 (Tn ), ta có đẳng thức sau: (1) Đẳng thức Parseval (f, g)L2 (Tn ) = X fb(k)b g (k) k∈Zn (2) Đẳng thức Plancherel kf k2L2 (Tn ) = X e − Z n+2s (0,2π)n |z| ikω |k| e − Z 2s dz = |k| n+2s |ω| (0,2π|k||)n 2s dω = |k| n+2s dω (0,2π|k|)n Tích phân Ak khơng phụ thuộc vào hướng sin2 kw |k| Z |ω| = |k|2s Ak k Ta thấy có số dương |k| C1 , C2 cho ikz e − Z n+2s |z| oa (0,2π)n dz = |k|2s Ak ∼ |k|2s họ Khi c < C2 < Ak < C1 Vậy k∈Zn ạc sĩ k∈Zn X