(Luận văn) bài toán calderón trong hình tròn đơn vị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THU HIỀN lu an n va BÀI TỐN CALDERĨN to p ie gh tn TRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Hà Nội - 2019 ac th si ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THU HIỀN lu an n va BÀI TỐN CALDERĨN to p ie gh tn TRONG HÌNH TRỊN ĐƠN VỊ w d oa nl Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 01 02 nf va an lu lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z gm @ m co l Người hướng dẫn khoa học: TS ĐẶNG ANH TUẤN an Lu n va Hà Nội - 2019 ac th si Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phịng Sau Đại Học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lời giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường ĐHKHTN - ĐHQGHN động viên khích lệ, giúp đỡ suốt q trình học tập lu an Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Đặng Anh Tuấn, người ln hướng n va dẫn, bảo tận tình, sát tơi q trình thực luận văn to gh tn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới em Mai Thị Kim Dung, người giúp việc sử dụng Latex hồn thiện trình bày luận văn p ie Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới người thân, bạn bè người giúp đỡ, w d oa nl động viên tơi suốt q trình thực luận văn nf va an lu Hà Nội, ngày 24 tháng 11 năm 2019 lm ul z at nh oi Học viên Nguyễn Thu Hiền z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục Danh mục kí hiệu Mở đầu Chuẩn bị lu Lời cảm ơn an n va Một số kiến thức giải tích gh Không gian Sobolev tn to 1.1 1.2 ie Không gian Sobolev xuyến p 1.2.1 Không gian Sobolev B 17 oa nl w 1.2.2 Bài toán biên elliptic 26 d Phương trình elliptic 26 2.2 Ánh xạ Dirichlet - Neumann an lu 2.1 nf va 35 lm ul Bài tốn Calderón 31 Ví dụ Alessandrini 35 3.2 Mở rộng ví dụ Alessandrini 3.3 Một số ví dụ khác 44 z at nh oi 3.1 36 52 z Kết luận @ m co l gm Tài liệu tham khảo 54 an Lu n va ac th si Danh mục kí hiệu • N : Tập hợp số tự nhiên • Z+ : Tập hợp số nguyên không âm • Zn+ : Tập hợp số nguyên không âm n chiều • α : đa số, α ∈ Zn+ , α = (α1 , α2 , , αn ) • |α| = α1 + α2 + + αn lu • Dα u : định nghĩa Dα u = an ∂ |α| u ∂x1 α1 ∂x2 α2 ∂xn αn n va • B = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x21 + x22 < 1}, hình trịn đơn vị tâm gốc gh tn to • Tn xuyến n chiều, Tn = Rn /2πZn p ie • S1 = {eiθ |θ ∈ R} ⊂ R2 đđ L (A) = {u : A −−−−−−−→ C| Lebesgue p Z |u(x)|p dx < ∞}, ≤ p < ∞ A d oa nl w • Với A S1 , B, Tn ta định nghĩa: lu nf va an • C(S1 ): Khơng gian hàm liên tục R, tuần hồn chu kì 2π • C m (B): Khơng gian hàm có đạo hàm tới cấp m liên tục B, với ∀|α| ≤ m lm ul ∞ T • C ∞ (B): Không gian hàm khả vi vô hạn B, C ∞ (B) = C m (B) z at nh oi m=0 • C0 (B) = {u ∈ C(B), supp u tập compact B}, supp u = {x ∈ B : u(x) 6= 0} • C0m (B) = {u ∈ C m (B), supp u tập compact B} @ ∞ T z C0m (B) gm • C0∞ (B) = m=0 ∞ T C m (B) m • C ∞ (B) = co l • C m (B) : Khơng gian hàm u có đạo hàm Dα u liên tục B, ∀|α| ≤ m m=0 an Lu • ∇u = (ux1 , ux2 ) , uxj , j = 1, đạo hàm riêng u theo xj n va ac th si Mở đầu Xét vật thể dẫn điện mỏng, xem hình trịn B với tính dẫn γ(x) Giả thiết miền B vật thể khơng có nguồn tụ Đặt điện áp f lên S1 sinh điện u B, thỏa mãn toán biên Dirichlet   ∇ · (γ∇u) = B, (1) u = f S   Bài tốn biên Dirichlet (1) có nghiệm u ∈ H (B) với f ∈ H (S1 ) Khi 1 lu ta định nghĩa ánh xạ Dirichlet-Neumann Λγ : H (S1 ) → H − (S1 ) xác định an va n Λγ f = γ∂ν u|S1 to tn Λγ f biểu thị dòng điện theo hướng pháp tuyến S1 Ánh xạ Dirichlet-Neumann ie gh hoàn toàn xác định phép đo đạc biên p Bài tốn Calderón đặt ta hiểu ánh xạ Dirichlet-Neumann ta biết w tính dẫn vật thể dẫn điện oa nl Trong luận văn này, công việc người viết trình bày ví dụ mở rộng Alessandrini tốn Calderón xét tính ổn định khơi phục lại tính dẫn vật Ngoài d an lu người viết quan tâm đến kết tính ổn định C α , < α < 1, T.Barcelo báo [5] nf va đồng nghiệp báo [11], tính ổn định H α , < α < 1, A Clop đồng nghiệp lm ul Bố cục luận văn gồm chương: z at nh oi • Chương 1: Trình bày kiến thức giải tích, khơng gian Sobolev xuyến khơng gian Sobolev hình trịn để sử dụng cho chương sau z • Chương 2: Trình bày kết tính trơn nghiệm phương trình elliptic @ gm Sau đó, từ định lý tồn nghiệm toán biên Dirichlet cho l phương trình elliptic, người viết trình bày định nghĩa số tính chất ánh co xạ Dirichlet-Neumann Trong trường hợp hệ số phương trình elliptic đặc biệt, m người viết nhắc lại kết giúp cho việc viết tường minh ánh xạ Dirichlet- an Lu Neumann n va ac th si • Chương 3: Xuất phát từ ví dụ Alessandrini, người viết quan tâm đến lớp tính dẫn γα (x) =   α0 + α1 (a − r) < r < a, r = |x| ,  α0 a < r < 1, (2) Đối với lớp tính dẫn này, người viết thu kết quả: (+) Viết tường minh ánh xạ Dirichlet - Neumann (D-N) (+) Tính ổn định Lipschitz (+) Khơi phục tính dẫn từ ánh xạ D-N Về tính ổn định tính dẫn C α báo [11], T.Barcelo đồng lu an nghiệp thu n va
kγ1 − γ2 kL∞ (Ω) ≤ V kΛγ1 − Λγ2 k∗ tính dẫn gh tn to Bằng nội suy dẫn đến C β ổn định, < β < α Trong luận văn, người viết dùng dãy α a , a > 0, p ie γa (r) = + a ρ r w |r| < 1,  0 |r| ≥ 1, d oa nl ρ (r) =   e r2 −1 lu an để β α thu nf va Về tính ổn định tính dẫn H α báo [5], A.Clop đồng nghiệp lm ul
kγ1 − γ2 kL2 (Ω) ≤ V kΛγ1 − Λγ2 k∗ z at nh oi Bằng nội suy dẫn đến H β ổn định, < β < α Để β khơng α ta cần đến dãy tính dẫn phức tạp Trong trường hợp C β ổn định ta cần hình trịn cịn trường hợp ta cần đến nhiều hình trịn Khi số hình trịn z m co l gm @ tăng vô hạn ta thấy không H α ổn định an Lu n va ac th si Chương Chuẩn bị lu an 1.1 Một số kiến thức giải tích n va Ký hiệu Tn xuyến n chiều, Tn = Rn /2πZn Hàm f : Tn → C hiểu f : Rn → C, tn to tuần hoàn với chu kỳ 2πZn p ie gh Định nghĩa 1.1 Cho p ∈ [1; +∞), không gian Lp (Tn ) định nghĩa sau   Z   p n n p L (T ) := f : R → C : |f (x)| dx < +∞ ,   Tn tích phân Lebesgue [0; 2π]n , với chuẩn d oa Tn nl w R lu  p1  an nf va kf kLp (Tn ) :=  (2π)n Z |f (x)|p dx Tn lm ul z at nh oi Nhận xét 1.1 (1) L2 (Tn ) khơng gian Hilbert C, với tích vô hướng Z (f, g)L2 (Tn ) := f (x)g(x)dx, f, g ∈ L2 (Tn ) (2π)n Tn (2) Với n = , T = R/2πZ = S1 , hàm f : T = S1 → C hiểu f : R → C, tuần hoàn z gm @ với chu kỳ 2π l (3) Với n = 2, T2 = R2 /2πZ2 6= S2 , hàm f : T2 → C hiểu f : R2 → C thỏa mãn m co f (x1 + k1 2π, x2 + k2 2π) = f (x1 , x2 ), ∀k1 , k2 ∈ Z, ∀(x1 , x2 ) ∈ R2 an Lu Khi n va
L2 (T) = L2 S1 = L2 (0, 2π) ; L2 (Tn ) = L2 ((0, 2π)n ) ac th si Định nghĩa 1.2 ([8]) Với f ∈ L1 (Tn ), ta định nghĩa hệ số Fourier thứ k f sau: Z b f (k) = f (x) e−ikx dx, (2π)n (0,2π)n k ∈ Zn , k = (k1 , k2 , , kn ), kx = k1 x1 + k2 x2 + + kn xn Chuỗi Fourier f là: X fb(k) ek với ek (x) = eikx k∈Zn Định lý 1.1 ([8])(Tính ) Cho f ∈ L1 (Tn ) Nếu fb(k) = với k ∈ Zn f = hầu khắp nơi Chứng minh Xem chứng minh chi tiết [8], Định lý 3.2.4 lu an Định lý 1.2 ([8]) va n (i) Với f ∈ L2 (Tn ), tổng riêng Sn,R f (x) = P fb(k)ek (x) hội tụ đến f L2 (Tn ), R → ∞ gh tn to k∈Zn ,|kj |≤R |ak |2 < +∞ Khi tồn f ∈ L2 (Tn ) thỏa mãn P fb(k) = ak Cụ thể f giới hạn L2 (Tn ) ak ek R → ∞ p ie (ii) Với {ak }k∈Zn thỏa mãn P k∈Zn nl w k∈Zn ,|kj |≤R d oa Chứng minh Xem chứng minh chi tiết [8], Định lý 3.2.7 nf va (1) Đẳng thức Parseval an lu Định lý 1.3 ([8]) Cho f, g ∈ L2 (Tn ), ta có đẳng thức sau: X fb(k)b g (k) k∈Zn z at nh oi (2) Đẳng thức Plancherel lm ul (f, g)L2 (Tn ) = kf k2L2 (Tn ) = X e − Z n+2s |z| (0,2π)n ikω |k| e − Z 2s dz = |k| n+2s |ω| (0,2π|k||)n sin2 kw |k| Z 2s dω = |k| n+2s dω |ω| (0,2π|k|)n Tích phân Ak khơng phụ thuộc vào hướng = |k|2s Ak k Ta thấy có số dương |k| C1 , C2 cho < C2 < Ak < C1 Khi ikz e − lu Z an n+2s n va (0,2π)n |z| dz = |k|2s Ak ∼ |k|2s Vậy to tn kf k2H s (Tn ) ∼ X k∈Zn p ie gh k∈Zn X