Mửc lửc Chữỡng 1. H m số mởt bián phực 3 1.1. Số phực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. _nh nghắa v cĂc php toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. DÔng lữủng giĂc cừa số phực _ Côn bêc n cừa số phực . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. H m số phực v _Ôo h m cừa nõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Tẵnh giÊi tẵch _ H m _iãu hỏa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. CĂc h m phực sỡ cĐp cỡ bÊn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1. H m mụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2. H m lữủng giĂc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3. H m hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.4. H m logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.5. H m lụy thứa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chữỡng 2. Lỵ thuyát tẵch phƠn trản mt phng phực 15 2.1. Tẵch phƠn trản chu tuyán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1. _ữớng cong trỡn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2. Tẵch phƠn phực dồc theo mởt chu tuyán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3. CĂc chên _ối vợi tẵch phƠn _ BĐt _ng thực _ML_ . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.4. Cổng thực Green v mởt số _nh lỵ cỡ bÊn vã tẵch phƠn chu tuyán . . . . . . 17 2.1.5. Tẵch phƠn khổng xĂc _nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Cổng thực tẵch phƠn Cauchy v dÔng m rởng cừa nõ . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Mởt số ựng dửng cừa cổng thực tẵch phƠn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. B i toĂn Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1. Cổng thực Poisson cho trữớng hủp hẳnh trỏn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.2. Cổng thực Poisson cho trữớng hủp nỷa mt phng . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chữỡng 3. Chuội h m phực 29 3.1. CĂc khĂi niằm v kát quÊ cỡ bÊn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Sỹ hởi tử _ãu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3. Chuội lụy thứa v chuội Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4. Mởt số k thuêt _ nhên _ữủc khai trin Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4.1. LĐy tẵch phƠn hay vi phƠn cĂc số hÔng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1 2 Mửc lửc 3.4.2. Khai trin theo nhĂnh cừa h m _a tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.3. NhƠn v chia cĂc chuội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.4. _ữa cĂc h m hỳu t vã cĂc phƠn thực _ỡn giÊn . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5. Chuội Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6. Mởt số tẵnh chĐt cừa h m giÊi tẵch liản quan _án chuội Taylor . . . . . . . . . . . . . 46 3.6.1. Tẵnh cổ lêp cừa cĂc khổng _im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.6.2. Sỹ m rởng liản tửc tẵnh giÊi tẵch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Chữỡng 4. Thng dữ v ựng dửng trong php tẵnh tẵch phƠn 51 4.1. KhĂi niằm thng dữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2. _im ký d cổ lêp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.1. PhƠn loÔi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.2. Tiảu chuân nhên biát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3. Tẵnh thng dữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4. Tẵnh cĂc tẵch phƠn thỹc loÔi I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.5. Tẵnh cĂc tẵch phƠn thỹc loÔi II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.6. Tẵnh cĂc tẵch phƠn thỹc loÔi III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.7. Tẵnh cĂc tẵch phƠn bao gỗm cĂc chu tuyán _trĂnh_ _im ký d . . . . . . . . . . . . . 69 4.8. Tẵnh cĂc tẵch phƠn thỹc bơng tẵch phƠn phực quanh _im vổ hÔn . . . . . . . . . . . 72 Chữỡng 1 HM Sẩ MậT BI.N PHC 1.1. Số phực 1.1.1. _nh nghắa v cĂc php toĂn _nh nghắa 1.1. Số phực z l mởt biu thực _ữủc viát dữợi dÔng z = a + bi hay z = a + ib; trong _õ, a; b 2 R, i l mởt kỵ hiằu _ữủc qui ữợc thọa mÂn i  i = i2 = Ă1: (1.1) CĂc số a, b lƯn lữủt _ữủc gồi l phƯn thỹc v phƯn Êo cừa số phực z v _ữủc viát l a = Re(z); b = Im(z): Khi b = 0, thẳ số phực z = a+bi _ữủc xem l số thỹc a thổng thữớng. Têp hủp mồi số phực thữớng _ữủc kỵ hiằu l C. Hai số phực z = a + bi v w = c + di _ữủc gồi l _bơng nhau_, viát l z = w, náu v ch náu a = c v b = d. CĂc php toĂn _Ôi số cởng, trứ, nhƠn v chia trản cĂc số phực _ữủc tẵnh theo cĂc quy tc thổng thữớng, miạn l Ăp dửng (1.1). Cử th l vợi z = a + bi, w = c + di, ta cõ z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z Ă w = (a + bi) Ă (c + di) = (a Ă c) + (b Ă d)i zw = (a + bi)(c + di) = (ac Ă bd) + (ad + bc)i z w = a + bi c + di = (a + bi)(c Ă di) (c + di)(c Ă di) = ac + bd c2 + d2 + bc Ă ad c2 + d2 i (w 6= 0): _nh nghắa 1.2. Hai số phực _ữủc gồi l liản hủp vợi nhau náu chúng cõ cũng phƯn thỹc, cỏn phƯn Êo thẳ _ối nhau. Vêy, náu z = a+bi thẳ số phực liản hủp vợi z _ữủc kỵ hiằu l z v ta cõ z = aĂbi. Náu z1 v z2 l cĂc số phực bĐt ký thẳ z1 + z2 = z1 + z2 z1 Ă z2 = z1 Ă z2 z1z2 = z1 z2 z1 z2 = z1 z2 : 3 4 Chữỡng 1. H m số mởt bián phực _ối vợi php nhƠn cĂc số phực, ta cõ chú ỵ quan trồng sau: vợi z;w 2 C, ta cõ zw = 0 , z = 0 hoc w = 0: (1.2) _ở lợn cừa mởt số phực z = a + bi, kỵ hiằu jzj, v _ữủc xĂc _nh bi giĂ tr jzj = ja + bij = p a2 + b2: Dạ d ng chựng minh _ữủc cĂc tẵnh chĐt sau: zz = jzj2 jz1z2j = jz1jjz2j z1 z2 = jz1j jz2j jz1 Đ z2j ã jz1j + jz2j jz1j Ă jz2j ã jz1 + z2j: Kát quÊ (1.2) cõ th _ữủc Ăp dửng _ giÊi phữỡng trẳnh az2 + bz + c = 0 (a 6= 0); (1.3) theo cĂc trữớng hủp _ữủc xt sau (a) a; b; c 2 R v  = b2 Ă 4ac á 0: (1.3) , z = Ăb Đ p 2a : (b) a; b; c 2 R v  = b2 Ă 4ac < 0: (1.3) , à z + b 2a ả2 = b2 Ă 4ac 4a2 = i2 àpĂ 2a ả2 , à z + b + ipĂ 2a ảà z + b Ă ipĂ 2a ả = 0 , z = Ăb Đ ipĂ 2a : Ta cụng cõ th giÊi phữỡng trẳnh (1.3) trong trữớng hủp a; b; c 2 C. VĐn _ã n y _ữủc xt trong trữớng hủp tờng quĂt hỡn dữợi _Ơy. 1.1.2. DÔng lữủng giĂc cừa số phực _ Côn bêc n cừa số phực Số phực z = x + iy cõ th _ữủc biu diạn bi vector OĂĂM! trong mt phng Oxy (vợi M l _im (x; y)). Ngo i ra, z = x + iy cụng cõ th _ữủc biu diạn bi tồa _ở cỹc (r; ') cừa _im M. Vêy, z = x + iy = r(cos ' + i sin '); (1.4) trong _õ r = p x2 + y2 = jzj, ' _ữủc kỵ hiằu l arg z v tan ' = y=x: 1.2. H m số phực v _Ôo h m cừa nõ 5 Vá phÊi cừa (1.4) _ữủc gồi l dÔng cỹc hay dÔng lữủng giĂc cừa số phực z v chú ỵ rơng arg z _ữủc xĂc _nh sai khĂc k2ẳ (k 2 Z). Vêy, náu z1 = r1(cos '1 + i sin '1), z2 = r2(cos '2 + i sin '2) thẳ z1 = z2 khi v ch khi r1 = r2; '1 = '2 + k2ẳ (k 2 Z): Cho z1 = r1(cos '1 + i sin '1), z2 = r2(cos '2 + i sin '2). Khi _õ, z1z2 = r1r2 Ê cos('1 + '2) + i sin('1 + '2) Ô z1 z2 = r1 r2 Ê cos('1 Ă '2) + i sin('1 Ă '2) Ô : Tứ _õ, vợi n l số nguyản dữỡng, z = r(cos ' + i sin '), ta cõ zn = rnÊ cos(n') + i sin(n') Ô : _nh nghắa 1.3. Cho số phực z0 v số nguyản dữỡng n. Côn bêc n cừa z0 l nhỳng số phực z thọa: zn = z0: Côn bêc n cừa z0 _ữủc kỵ hiằu l npz0. GiÊ sỷ z0 = r0(cos '0 + i sin '0) v z = r(cos ' + i sin '). Khi _õ zn = z0 , rnÊ cos(n') + i sin(n') Ô = r0(cos '0 + i sin '0) , r = npr0; n' = '0 + 2kẳ (k 2 Z) , r = npr0; ' = '0 n + 2kẳ n (k = 0; 1; : : : ; n Ă 1): Vêy, ta cõ n côn bêc n cừa z0 v chúng _ữủc cho bi cổng thực: z = npr0 h cos '0 + 2kẳ n + i sin '0 + 2kẳ n i (k = 0; 1; : : : ; n Ă 1): Chú ỵ rơng ta cụng chựng minh _ữủc cổng thực sau trong trữớng hủp n 2 Z: Ê r(cos ' + i sin ') Ôn = rnÊ cos(n') + i sin(n') Ô : 1.2. H m số phực v _Ôo h m cừa nõ Náu vợi mội giĂ tr cừa bián (_ởc lêp) z trong mởt D ẵ C, cõ tữỡng ựng duy nhĐt mởt giĂ tr cừa bián (phử thuyởc) w theo mởt quy luêt f bĐt ký thẳ ta nõi: f l mởt h m bián phực xĂc _nh trản D v viát w = f(z). Thổng thữớng D l mởt miãn cừa mt phng phực. Ta cõ cĂc vẵ dử sau: (a) w = 5z, (b) w = ejzj, (c) w = 4ijzj, (d) w = (z Ă 2)(z2 + 4). 6 Chữỡng 1. H m số mởt bián phực Trong cĂc trữớng hủp (a), (b), (c) thẳ z nhên mồi giĂ tr phực, những vợi trữớng hủp (d) thẳ z 6= Đ2i. Mt khĂc, w = f(z) cụng cõ th _ữủc viát dữợi dÔng phử thuởc phƯn thỹc x v phƯn Êo y cừa z: w(z) = w(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y): Chng hÔn vợi h m số w(z) = 3x Ă iy + x + iy x2 + y2 ; (1.5) thẳ ta cõ u = 3x + x x2 + y2 ; v = Ăy + y x2 + y2 : Ngo i ra, ta cõ th biu diạn trỹc tiáp h m số trản theo z náu dũng cĂc _ỗng nhĐt thực: x = z + z 2 ; y = z Ă z 2i : Theo _õ, h m (1.5) cõ th _ữủc viát dữợi dÔng w(z) = z + 2z + 1 z : _nh nghắa 1.4. Cho h m số phực f(z) v số phực f0. Náu vợi mội số thỹc " > 0, tỗn tÔi số thỹc (") > 0 sao cho jf(z) Ă f0j < "; _ối vợi mồi z thọa 0 < jz Ă z0j < ; thẳ ta nõi f(z) cõ giợi hÔn l f0 khi z dƯn _án z0 v kỵ hiằu l lim z!z0 f(z) = f0: Tứ _nh nghắa trản, ta cõ nhỳng nhên xt sau: (a) f phÊi xĂc _nh trong mởt lƠn cên _thừng_ cừa z0. (b) Giợi hÔn f0, náu tỗn tÔi, thẳ khổng phử thuởc v o _ữớng m dồc theo _õ, z ! z0. Theo cĂc nhên xt trản, dạ d ng _i _án kát luên: (i) H m f(z) = arg z (giĂ tr chẵnh) khổng cõ giợi hÔn tÔi nhỳng _im trản trửc thỹc Ơm. (ii) H m f(z) = f(x + iy) = x2 + x + i(y2 + y) x + y khổng cõ giợi hÔn khi z ! 0. Trong trữớng hủp lim z!z0 f(z) = f(z0) thẳ ta nõi f(z) liản tửc tÔi z = z0. Náu f(z) liản tửc tÔi mồi _im trong mởt miãn D thẳ ta nõi f(z) liản tửc trản D. _nh lỵ 1.1. Cho f(z) = u(x; y) + iv(x; y). Khi _õ: f(z) liản tửc tÔi z0 = x0 + iy0 , u; v liản tửc tÔi (x0; y0): _nh lỵ 1.2. Náu f(z) liản tửc trản mởt miãn _õng v b chên D thẳ tỗn tÔi z0 2 D sao cho jf(z)j ã jf(z0)j vợi mồi z 2 D. 1.2. H m số phực v _Ôo h m cừa nõ 7 Ta cụng cõ cĂc tẵnh chĐt vã giợi hÔn khĂc tữỡng tỹ nhữ cĂc tẵnh chĐt cừa giợi hÔn h m mởt bián. Cho h m số phực f(z). _Ôo h m cừa f(z) tÔi _im z0, viát l f0(z0) hay (df=dz)z=z0 , _ữủc cho bi f0(z0) = lim Âz!0 f(z0 + Âz) Ă f(z0) Âz : Náu f(z) cõ _Ôo h m tÔi z0 thẳ ta nõi f(z) khÊ vi tÔi z = z0. Trong trữớng hủp f(z) khÊ vi tÔi mồi _im cừa mởt miãn D, ta nõi f khÊ vi trản D v khi _õ _Ôo h m f0(z) cừa f tÔi mởt _im z 2 D thữớng _ữủc viát chung l df=dz. Vợi n l số nguyản khổng Ơm, dạ d ng chựng minh _ữủc d dz (zn) = nznĂ1: Mt khĂc, ta cụng cõ th kim chựng rơng cổng thực trản cụng _úng khi n Ơm _ối vợi z 6= 0. BƠy giớ vợi h m số phực f(z) _ữủc cho dữợi dÔng f(z) = u(x; y) + iv(x; y), ta hÂy thỷ xĂc _nh biu thực _Ôo h m cừa f0(z0) tÔi _im z0 = x0 +iy0 náu nõ tỗn tÔi. Do f0(z0) khổng phử thuởc v o cĂch m Âz ! 0 nản ta xt trữớng hủp Âz = Âx (Ây = 0) v ta cõ f0(z0) = lim Âx!0 f(z0 + Âx) Ă f(z0) Âx = lim Âx!0 à u(x0 + Âx; y0) Ă u(x0; y0) Âx + i v(x0 + Âx; y0) Ă v(x0; y0) Âx ả : Tứ _õ suy ra u; v phÊi cõ _Ôo h m riảng theo x tÔi (x0; y0) v ta cõ f0(z0) = @u @x (x0; y0) + i @v @x (x0; y0) = à @u @x + i @v @x ả x0;y0 : Lêp luên tữỡng tỹ (khi chồn Âz = iÂy), ta cụng suy ra u; v phÊi cõ _Ôo h m riảng theo y tÔi (x0; y0) v f0(z0) = @v @y (x0; y0) Ă i @u @y (x0; y0) = à @v @y Ă i @u @y ả x0;y0 : Tứ cĂc kát quÊ trản, ta cõ kát luên sau: náu f = u + iv cõ _Ôo h m tÔi _im z n o _õ, thẳ tÔi _im n y u; v cõ cĂc _Ôo h m riảng v thọa hằ thực @u @x = @v @y (1.6) @u @y = Ă @v @x : (1.7) CĂc hằ thực trản cỏn _ữủc gồi l cĂc phữỡng trẳnh Cauchy-Riemann. _nh lỵ 1.3. GiÊ sỷ f(z) = u(x; y) + iv(x; y), u; v liản tửc v cõ cĂc _Ôo h m riảng liản tửc trản mởt lƠn cên cừa _im z0 = x0 + iy0. Khi _õ, f khÊ vi tÔi z0 khi v ch khi cĂc phữỡng trẳnh Cauchy-Riemann _ữủc thọa tÔi (x0; y0). Vẵ dử 1.1. KhÊo sĂt tẵnh khÊ vi cừa f(z) = zz = jzj2. C 8 Chữỡng 1. H m số mởt bián phực Vẳ php toĂn tẵnh _Ôo h m cụng cõ cũng dÔng nhữ _ối vợi h m mởt bián nản ta cụng cõ cĂc quy tc tữỡng tỹ _ối vợi _Ôo h m cừa h m bián phực. Trong trữớng hủp f(z) = u+iv _ữủc xt trong tồa _ở cỹc (r; à) thẳ f(z) = u(r; à)+iv(r; à). Khi _õ, cõ th kim chựng _ữủc rơng cĂc phữỡng trẳnh Cauchy-Riemann (1.6), (1.7) tr th nh: @u @r = 1 r @v @à (1.8) @v @r = Ă 1 r @u @à : (1.9) CĂc phữỡng trẳnh trản cụng chẵnh l cĂc _iãu kiằn cƯn v _ừ _ f khÊ vi tÔi nhỳng _im m tồa _ở cỹc cừa chúng l (r; à), vợi r 6= 0. Tữỡng tỹ nhữ vĐn _ã _ _ữủc khÊo sĂt, náu f0(z) tỗn tÔi thẳ nõ cõ th _ữủc tẵnh bi mởt trong cĂc biu thực sau: f0(z) = à @u @r + i @v @r ả (cos à Ă i sin à); (1.10) f0(z) = à @u @à + i @v @à ảà Ăi r ả (cos à Ă i sin à) (1.11) 1.3. Tẵnh giÊi tẵch _ H m _iãu hỏa _nh nghắa 1.5. H m f(z) _ữủc gồi l giÊi tẵch tÔi z0 náu nõ khÊ vi trong mởt lƠn cên cừa z0. Náu f(z) giÊi tẵch tÔi mồi _im cừa mởt miãn D thẳ ta nõi f(z) giÊi tẵch trong D. Náu f(z) l giÊi tẵch trong to n bở mt phng phực thẳ nõ _ữủc gồi l h m nguyản. Vẵ dử 1.2. H m f(z) = x2 + iy2 giÊi tẵch tÔi nhỳng giĂ tr n o cừa z? C _nh nghắa 1.6. Náu f(z) khổng giÊi tẵch tÔi z0 những giÊi tẵch tÔi ẵt nhĐt mởt _im trong mội lƠn cên cừa z0, thẳ z0 _ữủc gồi l _im ký d cừa f. Vẵ dử 1.3. Tẳm nhỳng _im z m tÔi _õ f(z) = (z3 + 2)=(z2 + 1) khổng giÊi tẵch. C Vẵ dử 1.4. Trong tồa _ở cỹc, hÂy khÊo sĂt tẵnh giÊi tẵch cừa f(z) = r2 cos2 à + ir2 sin2 à; vợi z 6= 0. C BƠy giớ, ta hÂy xt vĐn _ã sau: vợi h m (x; y) cho trữợc, ta cõ th xĂc _nh _ữủc mởt h m giÊi tẵch f(z) cõ dÔng f(z) = + iv hay f(z) = u + i hay khổng? Nõi cĂch khĂc, mởt h m h m (x; y) cho trữợc cõ th xem l phƯn thỹc hay phƯn Êo cừa mởt h m giÊi tẵch _ữủc khổng? _ trÊ lới cho cƠu họi n y, trữợc tiản ta xt mởt h m giÊi tẵch f(z) = u+iv. Khi _õ, theo cĂc phữỡng trẳnh Cauchy-Riemann, ta cõ: @u @x = @v @y (1.12) @u @y = Ă @v @x : (1.13) 1.4. CĂc h m phực sỡ cĐp cỡ bÊn 9 Ta giÊ sỷ l cõ th lĐy vi phƠn phữỡng trẳnh (1.12) theo x v phữỡng trẳnh (1.13) theo y: @2u @x2 = @ @x à @v @y ả (1.14) @2u @y2 = Ă @ @y à @v @x ả : (1.15) BƠy giớ náu giÊ sỷ v cõ cĂc _Ôo h m riảng cĐp hai liản tửc thẳ ta cõ @2v=@x@y = @2v=@y@x. Khi _õ, tứ (1.14), (1.15), ta cõ @2u @x2 + @2u @y2 = 0: (1.16) Lêp luên tữỡng tỹ, ta cụng cõ @2v @x2 + @2v @y2 = 0: (1.17) Vêy, phƯn thỹc v phƯn Êo cừa mởt h m giÊi tẵch phÊi thọa phữỡng trẳnh Laplace sau _Ơy: @2 @x2 + @2 @y2 = 0: (1.18) _nh nghắa 1.7. H m thọa phữỡng trẳnh Laplace trong mởt miãn _ữủc gồi l h m _iãu hỏa trong miãn _õ. Tứ kát quÊ _ xt, ta cõ _nh lỵ sau: _nh lỵ 1.4. Náu f(z) = u + iv giÊi tẵch trong mởt miãn D thẳ u, v l cĂc h m _iãu hỏa trong D. CĂc phƯn thỹc v Êo cừa mởt h m giÊi tẵch _ữủc gồi l cĂc h m liản hủp _iãu hỏa. _nh lỵ 1.5. GiÊ sỷ (x; y) l mởt h m _iãu hỏa trong mởt miãn _ỡn liản D. Khi _õ, tỗn tÔi cĂc h m giÊi tẵch trong D cõ dÔng: f(z) = + iv v g(z) = u + i. Vẵ dử 1.5. Chựng tọ rơng = x3 Ă 3xy2 + 2y cõ th l phƯn thỹc cừa mởt h m giÊi tẵch. Tẳm phƯn Êo cừa h m giÊi tẵch _õ. C _nh lỵ sau cho ta mởt tẵnh chĐt hẳnh hồc rĐt thú v cừa cĂc h m liản hủp _iãu hỏa. _nh lỵ 1.6. Cho h m giÊi tẵch f(z) = u(x; y) + iv(x; y) v cĂc hơng số C1, C2, . . . v D1, D2, . . . . Khi _õ, hồ cĂc _ữớng cong u(x; y) = C1, u(x; y) = C2, . . . v v(x; y) = D1, v(x; y) = D2, . . . l trỹc giao vợi nhau; nghắa l giao cừa mởt _ữớng cong cừa hồ thự nhĐt vợi mởt _ữớng cong cừa hồ thự hai xÊy ra tÔi mởt gõc 900, trứ ra tÔi cĂc _im z thọa f0(z) = 0. 1.4. CĂc h m phực sỡ cĐp cỡ bÊn 1.4.1. H m mụ Ta s _nh nghắa h m số ez (hay exp z), vợi z = x + iy, sao cho (a) ez tr th nh h m số thỹc ex khi z nhên giĂ tr thỹc. (b) ez l h m giÊi tẵch cừa z. 10 Chữỡng 1. H m số mởt bián phực H m ex cos y + iex sin y s l _nh nghắa cho h m ez. Vêy: ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y): Ta cõ th kim chựng _ữủc _nh nghắa trản thọa (a), (b) v ez l mởt h m nguyản cừa z. Ngo i nhỳng tẵnh chĐt ho n to n tữỡng tỹ nhữ h m số mụ thổng thữớng, ta cõ cĂc mối quan hằ quan trồng sau: (a) jezj = ex, vợi z = x + iy. (b) arg(ez) = y + 2kẳ, k 2 Z. (c) eiẳ + 1 = 0. 1.4.2. H m lữủng giĂc Tứ cổng thực Euler eià = cos à + i sin à: (1.19) ta cõ sin à = eià Ă eĂià 2i cos à = eià + eĂià 2 : Theo _õ, mởt cĂch tỹ nhiản, ta _nh nghắa cĂc h m cos z, sin z nhữ sau: sin z = eiz Ă eĂiz 2i (1.20) cos z = eiz + eĂiz 2 : (1.21) Ta dạ d ng kim tra _ữủc cĂc kát quÊ sau (a) Do eiz v eĂiz l cĂc h m nguyản nản cos z v sin z cụng l cĂc h m nguyản. (b) d sin z=dz = cos z, d cos z=dz = Ăsin z, sin2 z +cos2 z = 1 v ta cụng cõ cĂc cổng thực cởng nhữ _ối vợi trữớng hủp cĂc h m lữủng giĂc thỹc, chng hÔn: sin(z1 Đ z2) = sin z1 cos z2 Đ cos z1 sin z2; cos(z1 Đ z2) = cos z1 cos z2 ă sin z1 sin z2: _ thuên tiằn khi tẵnh giĂ tr cừa cĂc h m (1.20), (1.21), _ối vợi z = x + iy, ta cõ sin z = eĂyeix Ă eyeĂix 2i = eĂy(cos x + i sin x) 2i Ă eĂy(cos x Ă i sin x) 2i = sin x ey + eĂy 2