luận văn thạc sĩ phương pháp xác suất trong tổ hợp và đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THẮNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THẮNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TSKH Huỳnh Văn Ngãi Bình Định - 2020 download by : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm xác suất cổ điển 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên, biến cố, không gian mẫu 1.1.2 Định nghĩa cổ điển xác suất 1.1.3 Định nghĩa thống kê xác suất 1.1.4 Quy tắc cộng xác suất 1.1.5 Xác suất có điều kiện 1.2 Biến ngẫu nhiên kỳ vọng 1.2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 1.2.2 Luật phân phối biến ngẫu nhiên rời rạc 1.2.3 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên 1.3 Các phân phối xác suất đặc biệt 1.3.1 Phân phối (rời rạc) 1.3.2 Phân phối Bernoulli 1.3.3 Phân phối nhị thức 1.4 Lý thuyết đồ thị 1.4.1 Các khái niệm 1.4.2 Xích, chu trình, đường 1.4.3 Một số đồ thị đặc biệt Phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị 2.1 Phương pháp sử dụng biến cố, xác suất 2.1.1 Bài tốn tơ màu đồ thị, số Ramsey 2.1.2 Ứng dụng tổ hợp 2.2 Phương pháp sử dụng kỳ vọng 2.2.1 Ứng dụng đồ thị 2.2.2 Ứng dụng tổ hợp 2.3 Một số tập áp dụng download by : skknchat@gmail.com 5 7 9 10 11 11 11 11 11 11 14 16 20 20 20 27 36 36 41 47 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi MỞ ĐẦU Xác suất nhánh Toán học phát triển mạnh mẽ sử dụng rộng rãi Tuy nhiên, phương pháp xác suất phát triển khoảng 50 năm trở lại đây, bắt đầu cho phương pháp nhà toán học Paul Erd˝os Cơ sở phương pháp mô tả sau: để chứng minh tồn cấu trúc tổ hợp thỏa tính chất đó, ta xây dựng khơng gian xác suất thích hợp phần tử với tính chất cho chọn ngẫu nhiên có xác suất dương Hiện nay, phương pháp xác suất trở thành phương pháp mạnh Lý thuyết tổ hợp đồ thị đặc biệt chứng minh toán tồn Hiện nay, tài liệu đề cập phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị cịn chưa có tài liệu trình bày đầy đủ vấn đề phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị; vấn đề liên quan đến việc ứng dụng hay toán phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị lại phức tạp Do người tiếp cận phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị khó khăn Vì vậy, tơi định chọn đề tài: “Phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị” cho luận văn thạc sĩ nhằm tìm hiểu số phương pháp xác suất lý thuyết tổ hợp đồ thị, với ứng dụng giải toán tổ hợp đồ thị Trong luận văn này, ta nghiên cứu phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị Mục đích giúp người hiểu rõ phương pháp xác suất lý thuyết tổ hợp đồ thị, giải toán khó lý thuyết tổ hợp đồ thị Nội dung của luận văn trình bày hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất xác suất để làm sở trình bày phương pháp xác suất mà khơng sâu vào khái niệm xác suất Các kết đồ thị trình bày chương Chương 2: Phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị Trong chương này, chúng tơi trình bày số ý tưởng sử dụng xác suất để giải toán tổ hợp, đồ thị luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến PGS TSKH Huỳnh Văn Ngãi, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn học Thống kê Trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 21, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực Nguyễn Thắng luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất xác suất để làm sở trình bày phương pháp xác suất mà không sâu vào khái niệm xác suất Các khái niệm số kết đồ thị, trình bày chương Các kết chương trình bày dựa vào [2], [4], [5] 1.1 Khái niệm xác suất cổ điển 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên, biến cố, không gian mẫu Định nghĩa 1.1 Phép thử ngẫu nhiên T (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà • Kết khơng dự đốn trước được; • Có thể xác định tập hợp tất kết xảy Kết đầu phép thử quy định kết đơn, khơng phân tách được, lần thử có kết Vì ta hay gọi chúng kết cục (hay biến cố sơ cấp), ký hiệu ζ hay thêm vào số ζ , ζ , Định nghĩa 1.2 Tập tất kết cục có phép thử ngẫu nhiên, ký hiệu Ω gọi khơng gian mẫu phép thử phép thử Ví dụ 1.1.1 Gieo hai súc sắc phép thử với không gian mẫu Ω = {(1, 1), (1, 2), , (6, 6)} gồm 36 phần tử Khơng gian mẫu có số hữu hạn đếm kết cục gọi không gian mẫu rời rạc; trái lại, không gian mẫu gọi liên tục luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi Định nghĩa 1.3 Một biến cố A (hay kiện A) liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho biến cố A xảy gọi kết thuận lợi A Tập hợp kết thuận lợi cho A hay ký hiệu A Trong này, để đơn giản ta dùng A để ký hiệu A, ta nói biến cố A mơ tả tập A Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T Biến cố chắn mô tả tập Ω ký hiệu Ω Biến cố biến cố không xảy thực phép thử T Biến cố mô tả tập rỗng ký hiệu ∅ 1.1.2 Định nghĩa cổ điển xác suất Xác suất biến cố số đặc trưng cho khả xảy biến cố thực phép thử Giả sử thí nghiệm ngẫu nhiên có thảy n kết cục chúng đồng khả Hơn nữa, giả sử có n A kết cục thuận lợi cho biến cố A (nghĩa biến cố A xảy kết cục xảy ra) Xác suất biến cố A xác định P( A) = nA n (1.1) Như vậy, việc tính xác suất biến cố A quy toán tổ hợp: đếm số kết T đếm số kết thuận lợi A Một giả thiết quan trọng áp dụng định nghĩa kết phép thử T (tức phần tử Ω) coi có khả xảy Từ định nghĩa xác suất nêu ta suy tính chất xác suất Tính chất 1.1.1 P( A) ∈ [0; 1] với biến cố A, P( A) = ⇔ A = ∅, P( A) = ⇔ A = Ω luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi 1.1.3 Định nghĩa thống kê xác suất Xét phép thử T biến cố A liên quan đến T Ta không cần giả sử kết phép thử có đồng khả Tiến hành lặp lặp lại N lần phép thử Giả sử N lần đó, biến cố A xuất k = k( N ) lần Người ta chứng k( N ) minh N tiến vơ tỉ số ln dần tới giới N hạn xác định Giới hạn gọi xác suất A, tức k( N ) P ( A) = lim N →∞ N Trong trường hợp phép thử T có số hữu hạn kết đồng khả xác suất biến cố A theo định nghĩa thống kê trùng với xác suất biến cố A theo định nghĩa cổ điển k( N ) gọi tần suất A N lần thực phép thử T Tỉ số N Khi N lớn tần suất gần với xác suất Thành thử tần suất xem giá trị gần xác suất 1.1.4 Quy tắc cộng xác suất Định nghĩa 1.4 (Biến cố hợp) Cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra”, ký hiệu A ∪ B, gọi biến cố hợp hai biến cố A B Một cách tổng quát, cho k biến cố A1 , A2 , ., Ak Biến cố “có biến cố A1 , A2 , ., Ak xảy ra”, ký hiệu A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak gọi hợp biến cố Định nghĩa 1.5 (Biến cố xung khắc) Hai biến cố A B gọi xung khắc với biến cố xảy biến cố khơng xảy Định nghĩa 1.6 (Biến cố đối) Cho A biến cố Khi biến cố “khơng xảy A” gọi biến cố đối A, ký hiệu A Rõ ràng A A hai biến cố xung khắc hợp chúng biến cố chắn Ω = A ∪ A Mệnh đề 1.1 (Quy tắc cộng) • Nếu hai biến cố A B xung khắc với P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) • Nếu A1 , A2 , ., Ak k biến cố đơi xung khắc với k P ( A1 ∪ A2 ∪ ∪ A k ) = ∑ P ( A i ) i =1   • P A = − P ( A ) luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi 1.1.5 Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.7 (Biến cố giao) Cho hai biến cố A B Biến cố “cả A B xảy ra”, ký hiệu AB, gọi giao hai biến cố A B Một cách tổng quát, giao k biến cố A1 , A2 , , Ak biến cố “tất biến cố A1 , A2 , , Ak xảy ra”, ký hiệu A1 A2 · · · Ak Định nghĩa 1.8 Xác suất biến cố A tính với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A Và kí hiệu P( A| B) Định lý 1.1 (Công thức nhân xác suất) Cho hai biến cố A, B Khi đó, P ( AB) = P( A) P( B| A) Trong trường hợp P( A) > 0, ta có hệ sau
P ( AB) Hệ 1.1 P B| A = A Công thức nhân xác suất mở rộng cho n biến cố sau Hệ 1.2 Cho n biến cố A1 , A2 , , An Khi


P ( A A A n ) = P ( A ) P A | A P A | A A · · · P A n | A A A n −1 Định nghĩa 1.9 Hai biến cố A B gọi biến cố độc lập P ( A | B ) = P ( A ), P ( B | A ) = P ( B ) Tổng quát, k biến cố A1 , A2 , ., Ak gọi độc lập với việc xảy hay không xảy nhóm biến cố khơng làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố lại Từ định nghĩa hai biến cố độc lập, ta có kết sau Hệ 1.3 Cho hai biến cố A, B độc lập Khi P( AB) = P( A) P( B) Hệ 1.3 mở rộng sau: Với A1 , A2 , ., Ak k biến cố độc lập, ta có P ( A1 A2 · A k ) = P ( A1 ) P ( A2 ) · · · P ( A k ) luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com ( F, F ) F, F ∈ F , F ∩ F = ∅  +δ  n Giả định Daykin Erdos trình bày m = với δ > cố định, d(F ) = o(m2 ) n tiến dương vô Kết thu từ định lý sau định lý trường hợp đặc biệt kết tổng quát Định lý 2.6  Đặt F họ m tập rời X = {1, 2, , n } với m=2 +δ n δ > Khi δ2 d(F ) < m2− (2.1) Chứng minh Giả sử kết sai chọn cách độc lập t thành phần A1 , A2 , , At F với số lần lặp lại ngẫu nhiên, t số nguyên dương lớn, giá trị chọn sau Chúng ta chứng minh biến cố | A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ At | > n/2 có xác suất dương hợp tập hợp rời đến 2n/2 tập rời X Sự mâu thuẫn dẫn đến kết định lý Thật vậy,
P | A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ A t | ≤ ∑ P ( Ai ⊂ S, i = 1, , t) S⊂ X,|S|≤n/2 ≤ 2n (2n/2 /2((1/2)+δ)n )t = 2n(1−δt) Đặt v ( B ) = { A ∈ F : B ∩ A = ∅} | Rõ ràng ∑ v( B) = 2d(F ) ≥ 2m2−δ /2 B∈F luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com (2.2) luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi 28 Gọi Y biến ngẫu nhiên mà giá trị số thuộc B ∈ F , B khơng có phần tử chung với tất tập Ai , ≤ i ≤ t Sử dụng tính chất lồi zt , giá trị kỳ vọng Y thoả mãn E (Y ) = ∑ (v( B)/m)t = mt · m B∈F ≥ t ·m m ∑ vt ( B) ! m 2d(F ) m !t ≥ 2m1−tδ /2 (2.3) Vì Y ≤ m, ta kết luận Pr (Y ≥ m1−tδ /2 ≥ mtδ /2 (2.4) Ta kiểm tra với t = d1 + 1/δe, m1−tδ /2 > 2n/2 vế phải bất đẳng thức (2.4) lớn vế phải bất đẳng thức (2.2) Do đó, với xác suất dương, | A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ At | > n/2 hợp tập hợp rời đến 2n/2 phần tử F Sự mâu thuẫn chứng minh (2.1) Trong phần tiếp theo, xem xét ứng dụng phương pháp xác suất để chứng minh ba định lý kinh điển lý thuyết tập hợp hữu hạn Một tính chất mang tính đặc trưng xác suất đẳng thức P( A1 ) + P( A2 ) + · · · + P( An ) = 1, { A1 , A2 , , An } phân hoạch khơng gian xác suất Ω Tính chất dùng để chứng minh nhiều đẳng thức bất đẳng thức tổ hợp phương pháp xác suất Chúng ta bắt đầu với Bất đẳng thức Lubell-Yamamoto-Meshalkin, thường gọi Bổ đề Sperner Mệnh đề 2.2 (Bất đẳng thức Lubell-Yamamoto-Meshalkin) Gọi A1 , A2 , ., Ak tập tập S = {1, 2, , n} cho khơng có tập Ai tập tập khác tập lại Đặt = | Ai | với i ∈ {1, 2, , k}, chứng minh k ∑ Cn < i =1 a i Rõ ràng, với i ∈ {1, 2, , k }, hệ số Cnai số tập có phần tử tập S Như vậy, ta coi không gian mẫu tập hợp tất tập có phần tử xác suất để chọn tập cho trước có phần tử luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi 29 1 Như vậy, xác suất chọn tập Ai với i = 1, 2, , k Từ Cnai Cnai đây, ta đến lời giải sau: Chứng minh Xét phép thử ngẫu nhiên T chọn ngẫu nhiên tập S Với i = {1, 2, , k}, gọi Xi biến cố chọn tập Ai Khi đó, • Vì Ai 6⊂ A j với i, j ∈ {1, 2, , k} nên biến cố Xi đôi xung khắc; ; Cnai ! • P ( Xi ) = • P k S i Xi < Như vậy, theo công thức cộng xác suất, ta thu k ∑ Cn i =1 < Áp dụng Bất đẳng thức Lubell-Yamamoto-Meshalkin, nhận kết sau Hệ 2.1 (Định lý Sperner) Cho n ∈ Z+ Một họ tập T Sn = {1, 2, , n} gọi untichain ( phản chuỗi, đối xích) ∀ A, B ∈ T, A 6= B ta ln có ( A 6⊂ B, B 6⊂ A bnc Khi đó, |T | ≤ Cn Kết thứ hai Định lý Erdos-Ko-Rado Họ F tập hợp gọi họ giao với A, B thuộc F, ta có A ∩ B 6= ∅ Mệnh đề 2.3 (Định lý Erdos-Ko-Rado) Cho tập X gồm n phần tử Với số nguyên dương k thỏa n ≥ 2k, gọi F họ giao k−tập X Khi đó, |F | ≤ Ckn− −1 Chú ý kết chặt: ta chọn họ tất k−tập chứa chung phần tử cho trước Chứng minh ngắn gọn đưa G Katona (1972) Trước chứng minh Mệnh đề 2.3, ta cần kết sau Gọi F họ giao tập {0, 1, , n − 1}, ta có bổ đề sau luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi 30 Bổ đề 2.3 Với ≤ s ≤ n − 1, đặt As = {s, s + 1, , s + k − 1}, phép cộng lấy theo modulo n Khi đó, F chứa nhiều k số tập As Chứng minh Bổ đề 2.3 Do tính đối xứng, ta giả sử A0 ∈ F Các tập hợp As khác A0 có giao với A0 gồm 2k − tập As với −(k − 1) ≤ s ≤ k − 1, s 6= 0, số lấy theo modulo n Các tập hợp chia thành k − cặp tập hợp rời nhau, Ai , Ai+k , với −k ≤ i ≤ −1 Vì F chứa nhiều hai tập cặp nên ta có khẳng định bổ đề Chứng minh Mệnh đề 2.3 Giả sử hoán vị σ {0, , n − 1} i ∈ {0, 1, , n − 1} chọn cách ngẫu nhiên với phân bố độc lập với đặt A = {σ(i ), , σ(i + k − 1)}, phép cộng theo modulo n Với σ, áp dụng Bổ đề 2.3, ta nhận P ( A ∈ F) ≤ k n Lại có, tập A chọn ngẫu nhiên từ tập hợp tất k−tập Do vậy, k |F | ≥ P ( A ∈ F) = k n Cn Suy |F | ≤ k k Cn = Ckn− − n Giả sử F = {( Ai , Bi )}ih=1 họ cặp tập tập hợp Ta gọi F (k, l )−hệ | Ai | = k | Bi | = l với ≤ i ≤ h, Ai ∩ Bi = ∅ Ai ∩ Bj 6= ∅ với ≤ i 6= j ≤ h Chứng minh Định lý Bollobas thuộc Jaeger, Payan Katona Mệnh đề 2.4 (Định lý Bollobas) Giả sử F = {( Ai , Bi )}ih=1 (k, l )−hệ Khi h ≤ Ckk+l Chứng minh Đặt X = h S i =1 Ai ∪ Bi xét thứ tự ngẫu nhiên π X Với i, ≤ i ≤ h, gọi Xi biến cố mà phần tử Ai đứng trước phần tử Bi thứ tự Rõ ràng P ( Xi ) = Ckk+l luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi 31 Ta kiểm tra dễ dàng biến cố Xi đôi xung khắc Thật vậy, giả sử điều sai π thứ tự mà phần tử Ai đứng trước phần tử Bi phần tử A j đứng trước phần tử Bi Khơng tính tổng qt ta giả sử phần tử cuối Ai không xuất sau phần tử cuối A j Nhưng trường hợp tất phần tử Ai đứng trước tất phần tử Bj , mâu thuẫn với kiện Ai ∩ Bj 6= ∅ Như vậy, tất biến cố Xi đôi xung khắc Từ đó,   h h [ 1 ≥ P  Xi  = ∑ P ( Xi ) = h · k Ck + l i =1 i =1 Điều kéo theo h ≤ Ckk+l Phương pháp xác suất có ứng dụng hiệu việc chứng minh tồn cấu trúc Sau xem xét số ví dụ Ta biết người tồn ba người đôi quen ba người đôi không quen Khi thay điều khơng cịn ta chứng tỏ điều cách phản ví dụ Khi số lớn, việc xây dựng phản ví dụ trở nên khó khăn Trong trường hợp phương pháp xác suất tỏ hữu dụng Ví dụ 2.1.4 Chứng minh 2100 người, khơng thiết phải có 200 người đôi quen 200 người đôi khơng quen Rõ ràng, với hai người có hai khả xảy • quen • khơng quen u cầu tốn, phát biểu lại rằng, tồn 200 người 2100 người cho trước thỏa đồng thời hai điều kiện • có hai người quen • có hai người khơng quen Điều có nghĩa rằng, biến cố chọn 200 người 2100 người mà 200 đơi quen đơi không quen nhau, không biến cố chắn Từ đây, ta có lời giải sau luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi 32 Lời giải Ví dụ 2.1.4 Xét phép thử, chọn ngẫu nhiên 200 người từ 2100 người Gọi A biến cố "200 người chọn đôi quen đôi không quen nhau" Trong nhóm gồm 200 người, xác suất để họ đôi quen đôi không quen 2 · 2−C200 = 2−19899 Vì có C2200 100 cách chọn 200 người, xác suất tồn 200 người đôi quen đôi không quen nhiều bằng:  200 100 2101 −19899 −19899 · = < P( A) = C2200 · < 100 200! 200! Từ đây, suy khơng thiết phải có 200 người đơi quen đôi không quen Bài tốn chứng minh Ví dụ 2.1.5 (IMO Shortlist 1987) Chứng minh tơ số thuộc tập {1; 2; ; 1987} bốn màu cho dãy cấp số cộng gồm 10 số tập khơng màu với Chứng minh Tô màu số cách ngẫu nhiên bốn màu với xác suất cho việc tô màu cách cạnh độc lập Xét biến cố A cách tô màu thỏa mãn tồn cấp số cộng gồm 10 số tập tô màu Lấy 10 số xác định lập thành cấp số cộng Xác suất để 10 số tô màu Bây giờ, ta đếm số dãy cấp số cộng gồm 10 số Một dãy hoàn toàn xác định u d với u số hạng d công sai Chúng ta cần ý < u + 10d < 1987 ⇔ d ∈ [1; 220] Lại có, với d có 1987 − 9d số u tương ứng Do đó, số dãy cấp số cộng gồm 10 số 220 ∑ (1987 − 9d) = 218350 d =1 Từ đây, ta có P( A) ≤ 218350 < 49 luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi 33 Từ ý tưởng lời giải trên, ta tổng qt tốn sau Ví dụ 2.1.6 (Tổng qt IMO Shortlist 1987) Cho bốn số nguyên dươngn, k,l j thỏa mãn k > l, j > l ≥ Xét tập S = {1; 2; ; n}, phần tử S tô j màu c1 , c2 , , c j Chứng minh tồn cách tô cho dãy cấp số cộng gồm k số tập S tô khơng l + màu Rõ ràng, Ví dụ 2.1.5 trường hợp đặc biệt ví dụ với n = 1987, k = 10, j = 4, l = Ví dụ 2.1.7 Trong bảng 100 × 100, ta viết số nguyên 1, 2, , 5000 Hơn nữa, số nguyên bảng xuất hai lần Chứng minh ta chọn 100 ô bảng thỏa mãn ba điều kiện sau: (1) Mỗi hàng chọn ô (2) Mỗi cột chọn ô (3) Các số ô chọn đôi khác Chứng minh Chọn hoán vị ngẫu nhiên a1 , a2 , , a100 {1, 2, , 100} chọn ô thứ hàng thứ i Cách chọn thỏa mãn (1) (2) Với j = 1, 2, , 5000, xác suất để chọn hai có số j 1 hai ô hàng cột · trường hợp ngược lại 100 99 Do đó, xác suất để cách chọn thỏa mãn (3) − 5000 · 1 · > 100 99 Ví dụ 2.1.8 (IMO Shortlist 2006) Cho S tập hữu hạn điểm mặt phẳng cho khơng có ba điểm thẳng hàng Với đa giác lồi P với điểm thuộc S, gọi a( P) số điểm P b( P) số điểm S nằm P Chứng minh với số thực x, ta có đẳng thức: ∑ x a(P) (1 − x)b(P) = 1, P tổng tính theo tất đa giác lồi có đỉnh thuộc S (Chú ý: đoạn thẳng, điểm tập rỗng coi đa giác lồi với 2, 1, đỉnh tương ứng) luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi 34 Các hạng tử x k (1 − x )n−k gợi ý cho liên tưởng đến việc sử dụng xác suất.Tuy nhiên x số thực tùy ý nên ta cần hạn chế x ∈ [0, 1] Lại để ý rằng, vế trái đa thức theo x, ta cần chứng minh đẳng thức xảy với x ∈ [0, 1] đủ Chứng minh Ta tô màu cách ngẫu nhiên điểm S màu xanh màu đỏ với xác suất tương ứng x, − x Với đa giác lồi P, gọi XP biến cố đỉnh P tô màu xanh đỉnh ngồi P tơ màu đỏ Khi P ( X P ) = x a ( P ) (1 − x ) b ( P ) Đặt X = XP , với P chạy qua tất đa giác lồi mà có đỉnh thuộc S Khi X biến cố "Tồn đa giác lồi P mà đỉnh P tơ màu xanh cịn đỉnh nằm ngồi P tô màu đỏ" Theo kết bao lồi tập hữu hạn điểm đoạn thẳng, điểm tập rỗng đa giác lồi Do X biến cố chắn Điều có nghĩa S P( X ) = ⇒ ∑ x a(P) (1 − x)b(P) = P Để tính xác suất biến cố theo định nghĩa cổ điển ta thường phải giải hai tốn tổ hợp: tính số kết thuận lợi tính số kết Thơng thường toán sau đơn giản toán trước Và điều tạo ứng dụng thú vị xác suất: Nếu ta tính số kết xác suất tính số kết thuận lợi Ví dụ 2.1.9 Trong số cách chọn ba đỉnh hình lập phương đơn vị, có cách chọn thỏa mãn điều kiện ba đỉnh chọn ba đỉnh tam giác Chứng minh Ta chọn đỉnh theo thứ tự sau • Đỉnh đỉnh tùy ý • Với đỉnh thứ hai, đỉnh thứ chọn ta chọn √ ba đỉnh có khoảng cách đển đỉnh ban đầu Xác suất thành cơng • Ở lượt cuối cùng, xác suất thành công luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi 35 Như vậy, xác suất để ba đỉnh chọn ba đỉnh tam giác Vì số cách chọn ba đỉnh từ đỉnh C83 nên số cách chọn thỏa mãn điều kiện đỉnh chọn đỉnh tam giác · C83 = 8·7·6 1·2·3 Ví dụ 2.1.10 Trong kì thi có n mơn thi, có đề tiếng Pháp đề tiếng Anh Thí sinh thi mơn tùy ý, thí sinh chọn hai ngơn ngữ cho môn thi Với hai môn thi bất kỳ, tồn thí sinh thi hai mơn ngơn ngữ khác Nếu mơn có nhiều 10 thí sinh dự thi, tìm giá trị lớn n Chứng minh Ta gán ngẫu nhiên cho thí sinh "người Pháp" "người Anh" Gọi Ej biến cố "mọi thí sinh thi môn j" thi đề với quốc tích gán" Vì có nhiều 10 thí sinh mơn thi, ta có xác suất   P Ej ≥ 2−10 = 1024 Vì với mơn thi bất kì, tồn thi sinh thi hai môn hai ngôn ngữ khác nhau, nên khơng có hai Ej xảy đồng thời Từ suy n 1024 Nhưng xác suất biến cố khơng vượt nên từ ta suy n ≤ 1024 P(ít Ej xảy ra) = P( E1 ) + · · · + P( En ) ≥ Ví dụ 2.1.11 Trong giải cờ vua có 40 kỳ thủ Có tổng cộng 80 ván đấu, hai kỳ thủ đấu với nhiều lần Với số nguyên n, chứng tồn n kỳ chưa đấu với Chứng minh Ta gán xếp hạng ngẫu nhiên cho 40 kỳ thủ, ta chọn người chơi với người có thứ hạng thấp Chú ý cách hai kỳ thủ chọn không đấu với Giả sử kỳ thủ thứ i chơi di ván Vì có 80 ván đấu ta có d1 + · · · + d40 = 80 · Ta thấy, kỳ thủ thứ i chọn đước gán với thứ hạng cao người chơi với, xác suất kiện Như số trung bình kỳ thủ di + 1 402 402 +···+ ≥ = = d1 + d40 + d1 + · · · + d40 160 + 40 luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi 36 Có nghĩa tồn kỳ thủ đôi không đấu với 2.2 Phương pháp sử dụng kỳ vọng Ý tưởng phương pháp kỳ vọng dựa tính chất sau Tính chất 2.2.1 Tồn cấu hình mà giá trị biến ngẫu nhiên lớn (nhỏ hơn) giá trị kỳ vọng 2.2.1 Ứng dụng đồ thị Một tập hợp thống trị đồ thị vô hướng G = (V, E) tập hợp U ⊂ V cho với đỉnh v ∈ V \ U, ln có đỉnh kề U Ví dụ 2.2.1 Cho đồ thị G = (V, E) có n đỉnh cho bậc đỉnh không bé δ > Chứng minh chọn tập thống trị có số đỉnh khơng q + ln(δ + 1) n· δ+1 Chứng minh Chọn ngẫu nhiên độc lập đỉnh thuộc tập đỉnh V vào tập V1 với xác suất p ∈ [0; 1] cho lần chọn Gọi V2 tập đỉnh thuộc V \ V1 mà không kề với đỉnh thuộc V1 Khi đó, tập V1 ∪ V2 tập thống trị Ta tính kỳ vọng biến ngẫu nhiên X số đỉnh thuộc vào V1 ∪ V2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên X thành tổng báo phần tử có chọn hay khơng, ta có E[| X |] = np Xét đỉnh v ∈ V, ta thấy
P (v ∈ V ) = P v đỉnh không thuộc V = (1 − p)d(v)+1 ≤ (1 − p)δ+1 Điều dẫn đến, biểu diễn số phần tử thuộc Y thành tổng biến   báo, ta có E |Y | ≤ n(1 − p)δ+1 Do       E | X ∪ Y | ≤ E | X | + E |Y | ≤ np + n(1 − p)δ+1 Do đó, tồn cách chọn có khơng q np + n(1 − p)δ+1 Chọn p = ln(δ + 1) , ta nhận kết toán δ+1 Ví dụ 2.2.2 (Szele 1943) Chứng minh có đồ thị đầy đủ có hướng n n! đỉnh chứa n−1 đường Hamilton Kết luận số vòng Hamilton? luan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thiluan.van.thac.si.phuong.phap.xac.suat.trong.to.hop.va.do.thi download by : skknchat@gmail.com