Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THẮNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THẮNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THẮNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG TỔ HỢP VÀ ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TSKH Huỳnh Văn Ngãi Bình Định - 2020 e Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm xác suất cổ điển 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên, biến cố, không gian mẫu 1.1.2 Định nghĩa cổ điển xác suất 1.1.3 Định nghĩa thống kê xác suất 1.1.4 Quy tắc cộng xác suất 1.1.5 Xác suất có điều kiện 1.2 Biến ngẫu nhiên kỳ vọng 1.2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 1.2.2 Luật phân phối biến ngẫu nhiên rời rạc 1.2.3 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên 1.3 Các phân phối xác suất đặc biệt 1.3.1 Phân phối (rời rạc) 1.3.2 Phân phối Bernoulli 1.3.3 Phân phối nhị thức 1.4 Lý thuyết đồ thị 1.4.1 Các khái niệm 1.4.2 Xích, chu trình, đường 1.4.3 Một số đồ thị đặc biệt Phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị 2.1 Phương pháp sử dụng biến cố, xác suất 2.1.1 Bài tốn tơ màu đồ thị, số Ramsey 2.1.2 Ứng dụng tổ hợp 2.2 Phương pháp sử dụng kỳ vọng 2.2.1 Ứng dụng đồ thị 2.2.2 Ứng dụng tổ hợp 2.3 Một số tập áp dụng e 5 7 9 10 11 11 11 11 11 11 14 16 20 20 20 27 36 36 41 47 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) e MỞ ĐẦU Xác suất nhánh Toán học phát triển mạnh mẽ sử dụng rộng rãi Tuy nhiên, phương pháp xác suất phát triển khoảng 50 năm trở lại đây, bắt đầu cho phương pháp nhà toán học Paul Erd˝os Cơ sở phương pháp mô tả sau: để chứng minh tồn cấu trúc tổ hợp thỏa tính chất đó, ta xây dựng khơng gian xác suất thích hợp phần tử với tính chất cho chọn ngẫu nhiên có xác suất dương Hiện nay, phương pháp xác suất trở thành phương pháp mạnh Lý thuyết tổ hợp đồ thị đặc biệt chứng minh toán tồn Hiện nay, tài liệu đề cập phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị cịn chưa có tài liệu trình bày đầy đủ vấn đề phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị; vấn đề liên quan đến việc ứng dụng hay toán phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị lại phức tạp Do người tiếp cận phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị khó khăn Vì vậy, tơi định chọn đề tài: “Phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị” cho luận văn thạc sĩ nhằm tìm hiểu số phương pháp xác suất lý thuyết tổ hợp đồ thị, với ứng dụng giải toán tổ hợp đồ thị Trong luận văn này, ta nghiên cứu phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị Mục đích giúp người hiểu rõ phương pháp xác suất lý thuyết tổ hợp đồ thị, giải tốn khó lý thuyết tổ hợp đồ thị Nội dung của luận văn trình bày hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm, tính chất xác suất để làm sở trình bày phương pháp xác suất mà không sâu vào khái niệm xác suất Các kết đồ thị trình bày chương Chương 2: Phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị Trong chương này, chúng tơi trình bày số ý tưởng sử dụng xác suất để giải tốn tổ hợp, đồ thị e Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến PGS TSKH Huỳnh Văn Ngãi, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán học Thống kê Trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Phương pháp Toán sơ cấp khóa 21, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn khơng thể tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực Nguyễn Thắng e Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất xác suất để làm sở trình bày phương pháp xác suất mà khơng sâu vào khái niệm xác suất Các khái niệm số kết đồ thị, trình bày chương Các kết chương trình bày dựa vào [2], [4], [5] 1.1 1.1.1 Khái niệm xác suất cổ điển Phép thử ngẫu nhiên, biến cố, không gian mẫu Định nghĩa 1.1 Phép thử ngẫu nhiên T (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà • Kết khơng dự đốn trước được; • Có thể xác định tập hợp tất kết xảy Kết đầu phép thử quy định kết đơn, không phân tách được, lần thử có kết Vì ta hay gọi chúng kết cục (hay biến cố sơ cấp), ký hiệu ζ hay thêm vào số ζ , ζ , Định nghĩa 1.2 Tập tất kết cục có phép thử ngẫu nhiên, ký hiệu Ω gọi không gian mẫu phép thử phép thử Ví dụ 1.1.1 Gieo hai súc sắc phép thử với không gian mẫu Ω = {(1, 1), (1, 2), , (6, 6)} gồm 36 phần tử Khơng gian mẫu có số hữu hạn đếm kết cục gọi không gian mẫu rời rạc; trái lại, không gian mẫu gọi liên tục e Định nghĩa 1.3 Một biến cố A (hay kiện A) liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay khơng xảy tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho biến cố A xảy gọi kết thuận lợi A Tập hợp kết thuận lợi cho A hay ký hiệu A Trong này, để đơn giản ta dùng A để ký hiệu A, ta nói biến cố A mô tả tập A Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T Biến cố chắn mô tả tập Ω ký hiệu Ω Biến cố biến cố không xảy thực phép thử T Biến cố mô tả tập rỗng ký hiệu ∅ 1.1.2 Định nghĩa cổ điển xác suất Xác suất biến cố số đặc trưng cho khả xảy biến cố thực phép thử Giả sử thí nghiệm ngẫu nhiên có thảy n kết cục chúng đồng khả Hơn nữa, giả sử có n A kết cục thuận lợi cho biến cố A (nghĩa biến cố A xảy kết cục xảy ra) Xác suất biến cố A xác định P( A) = nA n (1.1) Như vậy, việc tính xác suất biến cố A quy toán tổ hợp: đếm số kết T đếm số kết thuận lợi A Một giả thiết quan trọng áp dụng định nghĩa kết phép thử T (tức phần tử Ω) coi có khả xảy Từ định nghĩa xác suất nêu ta suy tính chất xác suất Tính chất 1.1.1 P( A) ∈ [0; 1] với biến cố A, P( A) = ⇔ A = ∅, P( A) = ⇔ A = Ω e 1.1.3 Định nghĩa thống kê xác suất Xét phép thử T biến cố A liên quan đến T Ta không cần giả sử kết phép thử có đồng khả Tiến hành lặp lặp lại N lần phép thử Giả sử N lần đó, biến cố A xuất k = k( N ) lần Người ta chứng k( N ) minh N tiến vơ tỉ số ln dần tới giới N hạn xác định Giới hạn gọi xác suất A, tức k( N ) P ( A) = lim N →∞ N Trong trường hợp phép thử T có số hữu hạn kết đồng khả xác suất biến cố A theo định nghĩa thống kê trùng với xác suất biến cố A theo định nghĩa cổ điển k( N ) gọi tần suất A N lần thực phép thử T Tỉ số N Khi N lớn tần suất gần với xác suất Thành thử tần suất xem giá trị gần xác suất 1.1.4 Quy tắc cộng xác suất Định nghĩa 1.4 (Biến cố hợp) Cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra”, ký hiệu A ∪ B, gọi biến cố hợp hai biến cố A B Một cách tổng quát, cho k biến cố A1 , A2 , ., Ak Biến cố “có biến cố A1 , A2 , ., Ak xảy ra”, ký hiệu A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak gọi hợp biến cố Định nghĩa 1.5 (Biến cố xung khắc) Hai biến cố A B gọi xung khắc với biến cố xảy biến cố không xảy Định nghĩa 1.6 (Biến cố đối) Cho A biến cố Khi biến cố “không xảy A” gọi biến cố đối A, ký hiệu A Rõ ràng A A hai biến cố xung khắc hợp chúng biến cố chắn Ω = A ∪ A Mệnh đề 1.1 (Quy tắc cộng) • Nếu hai biến cố A B xung khắc với P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) • Nếu A1 , A2 , ., Ak k biến cố đôi xung khắc với k P ( A1 ∪ A2 ∪ ∪ A k ) = ∑ P ( A i ) i =1 • P A = − P ( A ) e 1.1.5 Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.7 (Biến cố giao) Cho hai biến cố A B Biến cố “cả A B xảy ra”, ký hiệu AB, gọi giao hai biến cố A B Một cách tổng quát, giao k biến cố A1 , A2 , , Ak biến cố “tất biến cố A1 , A2 , , Ak xảy ra”, ký hiệu A1 A2 · · · Ak Định nghĩa 1.8 Xác suất biến cố A tính với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A Và kí hiệu P( A| B) Định lý 1.1 (Cơng thức nhân xác suất) Cho hai biến cố A, B Khi đó, P ( AB) = P( A) P( B| A) Trong trường hợp P( A) > 0, ta có hệ sau P ( AB) Hệ 1.1 P B| A = A Công thức nhân xác suất mở rộng cho n biến cố sau Hệ 1.2 Cho n biến cố A1 , A2 , , An Khi P ( A A A n ) = P ( A ) P A | A P A | A A · · · P A n | A A A n −1 Định nghĩa 1.9 Hai biến cố A B gọi biến cố độc lập P ( A | B ) = P ( A ), P ( B | A ) = P ( B ) Tổng quát, k biến cố A1 , A2 , ., Ak gọi độc lập với việc xảy hay không xảy nhóm biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố lại Từ định nghĩa hai biến cố độc lập, ta có kết sau Hệ 1.3 Cho hai biến cố A, B độc lập Khi P( AB) = P( A) P( B) Hệ 1.3 mở rộng sau: Với A1 , A2 , ., Ak k biến cố độc lập, ta có P ( A1 A2 · A k ) = P ( A1 ) P ( A2 ) · · · P ( A k ) e ... chọn đề tài: ? ?Phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị? ?? cho luận văn thạc sĩ nhằm tìm hiểu số phương pháp xác suất lý thuyết tổ hợp đồ thị, với ứng dụng giải toán tổ hợp đồ thị Trong luận văn này, ta... vấn đề phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị; vấn đề liên quan đến việc ứng dụng hay toán phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị lại phức tạp Do người tiếp cận phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị khó... ta nghiên cứu phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị Mục đích giúp người hiểu rõ phương pháp xác suất lý thuyết tổ hợp đồ thị, giải tốn khó lý thuyết tổ hợp đồ thị Nội dung của luận văn trình bày