Thiết kế bộ lọc số trong kĩ thuật

R7.1. Các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc được định rõ trong các số hạng của hàm biên độ. Ví dụ: hàm biên độ của bộ lọc thông thấp G(ej) được biểu diễn như hình vẽ. Trong đó 0    p và: Trong dải chắn, tần số nằm trong khoảng s     và hàm biên độ phải thoã mãn:

Thi t k b l c s ế ế ộ ọ ố

(7.1)

khi , 1

) (

p p

hoặc trong dải thông biên độ xấp xỉ bằng 1 mà không cần sai số ±δp

Trong dải chắn, tần số nằm trong khoảng ωs ≤ ω ≤ π và hàm biên độ phải thoã mãn:

(7.2)

khi )

(e jω ≤ δs ωs ≤ ω ≤ π

G

Nghĩa là biên độ trong dải chắn xấp xỉ bằng 0 không tính sai số δs.

ωp : Tần số giới hạn dải thông

ωs : Tần số giới hạn dải chắn

δp: Độ gợn sóng dải thông

δ : Độ gợn sóng dải chắn.

R7.2 Trong hầu hết các ứng dụng, các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc thông thấp được cho như hình vẽ:

Trong dải thông ( 0 ≤ ω ≤ ωp ) giá trị biên độ lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng là 1 và 1 / 1 + ε 2

Độ gợn đỉnh dải thông:

(7.3)

dB

1

log

=

p R

Trong dải chắn, độ gợn sóng cực đại là 1/A

Độ suy giảm cực tiểu:

(7.4)

dB

A log

=

s

R

R7.3. Nếu biên tần dải thông Fp và biên tần dải chắn Fs tính theo Hz phụ thuộc vào tốc độ lấy mẫu FT của bộ lọc thì tần số giới hạn góc tính bằng Rad được cho bởi:

(7.6)

2 2

(7.5)

2 2

T

F F

F F

T

F F

F F

S T

S T

S

P T

P T

π

π ω

R7.4 Bước đầu tiên trong việc thiết kế là ước lượng bậc của hàm truyền Đối với bộ lọc FIR thông thấp hoặc thông cao, có nhiều công thức dùng để ước lượng trực tiếp chiều dài của bộ lọc dựa vào các chỉ tiêu kỹ thuật đã cho như: ωp , ωs , δp , δs Công thức Kaiser tính gần đúng chiều dài N của bộ lọc là:

(7.7)

2

/ ) (

6 14

13 )

( log

π ω

R7.5. Giá trị tương đối chính xác của N do Herrmann, Rabiner và Chan đưa ra là:

[ ] (7.8)

2/)(

2/)(

),()

,

πω

ω

πω

ωδ

δδ

δ

p s

p s

s p s

D N

(log )

(log )

, (

6

2 10

5

2 10

4

10 3

2 10

2

2 10

1

a a

a

a a

a D

p p

s p

p s

p

+ +

−

+ +

=

∞

δ δ

δ δ

δ δ

δ

[ log log ] (7.10) )

,

Và:

R7.6. Khi ước lượng bậc của bộ lọc sử dụng công thức (7.7) và

(7.8) có thể dẫn đến các kết quả không phù hợp với các chỉ tiêu kỹ thuật đã cho Trong trường hợp này giá trị N được chọn tăng dần

cho đến khi đạt được các chỉ tiêu kỹ thuật

R7.7. Việc thiết kế bộ lọc IRR chủ yếu dựa vào phép biến đổi song tuyến tính từ mặt phẳng S sang mặt phẳng Z:

(7.12)

1

−

z

z T

s

Khi sử dụng phép biến đổi trên thì hàm truyền tương tự Ha(s) và hàm truyền số G(z) được cho bởi:

(7.13)

) ( )

s

a s H

z G

R7.8. Đối với phép biến đổi song tuyến tính, quan hệ giữa trục

ảo (s = jΩ) trong mặt phẳng s và đường tròn đơn vị (z = ej ω ) trong mặt phẳng Z được cho bởi công thức:

Ω= tan(ω/2) (7.14)

Việc ánh xạ hoàn toàn trục ảo trong mặt phẳng s sang đường tròn đơn vị sẽ dẫn đến méo trên trục tần số Ðể bộ lọc số thoã mãn hàm biên độ đặc trưng của nó thì các đại lượng tương tự

Ωp ,Ωs và các tần số giới hạn ωp , ωs được chuyển đổi thông qua biểu thức (7.14), sau đó sử dụng phép biến đổi song tuyến tính Ha(s) ta sẽ thu được hàm truyền G(z) của bộ lọc mong muốn

R7.9. Phương pháp dễ thực hiện nhất để thiết kế bộ lọc FIR là dùng các hàm cửa số Phương pháp này được xây dựng bằng cách cắt gọt 1 đáp ứng xung lý tưởng có độ dài vô hạn hD[n] tương ứng với đáp ứng tần số HD(ej ω) bằng một hàm cửa số w[n] có độ dài hữu hạn thích hợp Các hệ số đáp ứng xung đựoc cho bởi công thức:

h[n] = hD[n] w[n]

Bộ lọc thông thấp lý tưởng với đáp ứng pha không

có dạng:

(7.15)

, 0

,

1 )

Các hệ số đáp ứng xung tương ứng hLP[n] được cho bởi:

(7.16)

n

,

-sin ]

[ = ∞ ≤ ≤ ∞

n

n n

LP

π ω

Các hệ số này là vô hạn, không khả tổng tuyệt đối do đó không thực hiện được Bằng cách đặt các hệ số của đáp ứng xung ở ngoài khoảng –M ≤ n ≤ M bằng 0, ta sẽ có được chiều dài gần đúng hữu hạn không nhân quả N = 2M + 1 mà khi dịch phải thì

nó là các hệ số của bộ lọc thông thấp FIR nhân quả.

R7.10.

n

0

1-Nn

0

,)(

)(

sin]

ω

Công thức trên cũng đúng với N chẵn và M là phân số

Hệ số đáp ứng xung hHP[n] của bộ lọc thông cao lý tưởng được cho bởi công thức:

(7.18)

0

n ,

)

sin(

-0n

,

1]

c

HP

π ω π ω

Các hệ số đáp ứng xung hBP[n] của bộ lọc thông dải có tần

số cắt ωc1 và ωc2 được cho bởi công thức:

(7.19)

n -

,

sin

sin ]

n

n n

n n

BP

π

ω π

ω

Các hệ số của bộ lọc chắn dải với tần số cắt ωc1 và ωc2 có

dạng:

(7.20)

0

n ,

)

sin(

-) sin(

0 n

,

( 1 ]

[

c2 c1

1 2

n

n h

c c

BS

π

ω π

ω ω

Tất cả các phương pháp trên đều áp dụng được cho các

bộ lọc thông dải hoặc chắn dải với hai mức biên độ Tuy nhiên, cũng dễ dàng dẫn đến phương pháp tổng quát để thiết kế bộ lọc FIR nhiều mức và công thức tính hệ số đáp ứng xung Đáp ứng tần số pha không của bộ lọc số L dải lý tưởng có dạng:

(7.21)

L1,2, ,k

,

,)

)

sin(

) (

A n

Phép lấy vi phân rời rạc được đặc trưng bởi đáp ứng tần

số có dạng:

(7.25)

, )

0

n

, n

n cos0 , n 0]

R7.13.

Bộ lọc FIR nhân quả nhận được bằng cách cắt gọt các hệ số đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng cho ở phần trên thành hiện tượng dao động trong các hàm đáp ứng biên độ tương ứng gọi chung là hiện tượng Gibbs Hiện tượng Gibbs có thể bị suy yếu khi dùng hàm cửa sổ có độ thoải dần đến 0 tại mỗi điểm kết thúc hoặc dải quá độ bằng phẳng từ dải thông đến dải chắn Trong tất cả các loại cửa sổ dùng để thiết kế lọc thông thấp thì tần số cắt ωc = ½ (ωp + ωs)

R7.14.

Một số hàm cửa sổ chung cho chiều dài 2M + 1 với

độ gợn sóng cố định là:

(7.27)

M,

n M

-, 1 2

2 cos

1 2

M

n M

-, 1 2

2 0.46cos

Mn

M-

,12

4cos

08.0

12

20.5cos

0.42w[n]

n

ππ

R7.15

.

Cửa sổ Chebyshev với chiều dài 2M+1 được định nghĩa bởi:

(7.30)

M n M

, 1 2

2 cos 1

2

cos 2

1 1 2

1 ]

[

1

≤

≤













+













+

+ +

=

M k

k

M

nk M

k T

M

n

γ

trong đó:

γ = Biên độ búp thứ cấp/ biên độ búp trung tâm (7.31)

R7.16

(7.32)

,

1 cosh

x

), x cosh k

cosh(

x

), x cos k

Cửa sổ Kaiser được định nghĩa bởi biểu thức:

(7.34)

M

n M

-, )

( I

) ) M / n ( (

I ]

!

) 2 /

( 1

) (

I

R7.17.

I0(u) có thể dương đối với tất cả các giá trị thực của u Trong thực

tế nó chỉ đúng đối với 20 số hạng đầu trong tổng chuỗi ở (7.35) để

có được kết quả chính xác và hợp lý Tham số β điều khiển độ suy hao cực tiểu αs, độ gợn sóng δs trong dải chắn Việc tính toán β , chiều dài bộ lọc N = 2M + 1 theo αs và ∆ f qua công thức:

(7.36)

21

), ( ) (

, ) ( s s s s s s     < ≤ ≤ − + − > − = 21 0 50 21 07886 0 21 5842 0 50 7 8 1102 0 4 0 α α α α α α β (7.37)

21

, 1 9222 0 21

,

1 36

14

95 7

s

s













≤

+

∆

>

+

∆

−

=

α

α α

f

f N

s

Bộ lọc FIR pha tuyến tính nhận được bằng cách tối thiểu hoá giá trị tuyệt đối cực đại với sai số được trọng hoá

ε là:

π ω

()

ε = P H e jω − D

Trong dải tần số độ gợn sóng là đồng nhất Thuật toán sử dụng có hiệu quả nhất trong việc thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính tối ưu là thuật toán Parks-McClellan

R7.18.