một số vấn đề về hệ động lực rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA TOÁN ————o0o———— LUẬN VĂN THẠC SĨ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC Chun ngành: Tốn Giải tích Giảng viên hướng dẫn: TS HUỲNH MINH HIỀN Học viên: PHẠM THỊ THIÊN NGA Lớp: Tốn giải tích K22 QUY NHƠN, 7/2021 Lời nói đầu Hệ động lực lĩnh vực quan trọng tốn học đại có nhiều ứng dụng nhiều ngành khoa học khác, đặc biệt Vật lý, Cơ học, Sinh học, , nhiều ứng dụng thực tế hệ điều khiển tự động hóa, robot, Hệ động lực có hai loại, phụ thuộc vào biến thời gian, gồm hệ động lực liên tục hệ động lực rời rạc Hệ động lực liên (các dòng) thu từ nghiệm phương trình vi phân, hệ động lực rời rạc thu cách tác động liên tục ánh xạ (nghĩa cách lấy hàm hợp), tập thời gian hệ động lực rời rạc tập số tự nhiên N = {1, 2, } số nguyên Z = { , −2, −1, 0, 1, 2, } Trong chương trình Thạc sĩ Tốn Giải tích, học viên không học lý thuyết hệ động lực Để tìm hiểu bước đầu lý thuyết hệ động lực, chọn đề tài ‘Một số vấn đề hệ động lực rời rạc’ để nghiên cứu Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu số ví dụ kinh điển lớp hệ động lực rời rạc, bao gồm ánh xạ nhân đôi, ánh xạ baker tự đẳng cấu xuyến T2 Mục tiêu đề tài nghiên cứu tính chất điểm tuần hồn, thơng qua cơng cụ đắc lực động lực học ký tự tính liên hợp Tuy nhiên, khuôn khổ đề tài luận văn thạc sỹ, mục đích đề tài làm quen, đọc hiểu làm rõ kết có tài liệu liên quan Luận văn ‘Một số vấn đề hệ động lực rời rạc’ gồm có bốn chương, cụ thể sau: i Chương 1.Trong chương chuẩn bị số kiến thức xuyến, ánh xạ dịch chuyển giới thiệu khái niệm ‘hệ động lực rời rạc’ với tính liên hợp, tự liên hợp Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất ánh xạ nhân đôi, xây dựng động lực học ký hiệu cho ánh xạ này, tính liên hợp, nửa liên hợp ánh xạ nhân đôi với ánh xạ dịch chuyển quỹ đạo tuần hoàn ánh xạ Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất ánh xạ baker, xây dựng động lực học ký hiệu cho ánh xạ này, tính liên hợp, nửa liên hợp ánh xạ baker với ánh xạ khác đồng thời trình bày mối liên hệ ánh xạ nhân đôi ánh xạ baker Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất điểm tuần hồn tự đẳng cấu xuyến T2 ; xây dựng động lực học ký tự nghiên cứu điểm tuần hoàn tự đẳng cấu hyperbolic cụ thể Chúng xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Quy Nhơn Khoa Toán giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Luận văn thực hướng dẫn TS Huỳnh Minh Hiền Chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy, thầy trực tiếp bảo, hướng dẫn suốt thời gian qua Cảm ơn thầy dạy dỗ tận tình, tạo điều kiện để chúng tơi hồn thành luận văn Nhân dịp xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô Khoa Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn dày cơng giảng dạy suốt năm qua tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Mặc dù có tơi cố gắng nỗ lực q trình hồn thành luận ii mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac văn, chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q Thầy, Cơ bạn để luận văn hoàn thiện Bình Định, tháng năm 2021 Học viên thực Phạm Thị Thiên Nga iii mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Mục lục Lời nói đầu i KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Xuyến 1.1.1 Xuyến chiều 1.1.2 Xuyến chiều 1.2 Ánh xạ dịch chuyển 1.3 Tính liên hợp hệ động lực rời rạc 1.3.1 Hệ động lực rời rạc 1.3.2 Tính liên hợp, nửa liên hợp ÁNH XẠ NHÂN ĐÔI 2.1 Khái niệm 2.2 Động lực học ký tự tính nửa liên hợp 10 2.2.1 Khai triển nhị phân 10 2.2.2 Xây dựng động lực học ký tự 12 2.2.3 Tính nửa liên hợp 15 ÁNH XẠ BAKER 21 3.1 Khái niệm 21 3.2 Động lực học ký tự 23 3.3 Tính liên hợp 26 TỰ ĐẲNG CẤU TRÊN XUYẾN T2 iv mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac 29 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac 4.1 Tự đẳng cấu xuyến T2 29 4.2 Điểm tuần hoàn 30 4.3 Động lực học ký tự tính nửa liên hợp 33 Tài liệu tham khảo 44 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị, làm tảng cho chương sau 1.1 1.1.1 Xuyến Xuyến chiều Định nghĩa 1.1 Xét đoạn [0, 1] ⊂ R Nếu ta đồng điểm x ∈ [0, 1] đồng với x + l với l ∈ Z Sự đồng tạo thành tập, gọi xuyến chiều, ký hiệu T1 Cụ thể hơn, T1 = R/Z tập lớp tương đương x ∈ R modulo Z Định nghĩa cách xác hơn, hai điểm x y R gọi tương đương, ký hiệu x ∼ y x − y ∈ Z Khi T1 = R/ ∼= R/Z 3 Ví dụ 1.2 (a) ∼ 1, ∼ = − 2 2 (b) Với x ∈ R, tồn k ∈ Z a ∈ [0, 1) cho x = a + k Do x ∼ a T1 = R/ ∼= [0, 1)/ ∼ mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac (1.1) mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Xét hình trịn đơn vị, kí hiệu S :  S = (x, y) : x2 + y = ⊂ R2 Với (x, y) ∈ S , tồn ≤ θ < cho (x, y) = e2πθi Khi  S = e2πθi , ≤ θ < ⊂ C Ánh xạ Ψ cho bởi: Ψ : R/Z → S , Ψ (x) = e2πxi , x ∈ R/Z (1.2) thiết lập tương ứng − R/Z S 1.1.2 Xuyến chiều Tiếp theo, ta xét hình vng [0, 1] × [0, 1] Khi ta dán hai cạnh song song thẳng đứng với hai cạnh song song nằm ngang với cách đồng (x, 0) ∼ (x, 1), x ∈ [0, 1] (0, y) ∼ (1, y), y ∈ [0, 1], ta diện trông giống bánh vòng Diện gọi xuyến chiều ký hiệu T2 ; xem Hình 1.1 Ta định nghĩa xuyến chiều cách chỉnh chu sau Định nghĩa 1.3 Xuyến chiều T2 = R2 /Z2 gồm lớp tương đương (x, y) ∈ R2 modulo Z2 Hai điểm (x, y) (x0 , y ) R2 gọi tương đương, ký hiệu (x, y) ∼ (x0 , y ) (x − x0 , y − y ) = (k, l) ∈ Z2 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac (1.3) mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Hình 1.1: Xuyến T2 1 Ví dụ 1.4 (a) (1, 1) ∼ (0, 0), ( , ) ∼ ( , ) 2 2 (b) Với (x, y) ∈ R , tồn (k, l) ∈ Z2 (a, b) ∈ [0, 1)2 cho (x, y) = (a, b) + (k, l) Do đó, (x, y) = (a, b) ta có T2 = R2 /Z2 = [0, 1)2 /Z2 1.2 Ánh xạ dịch chuyển Cho X tập hữu hạn phần tử Mỗi phần tử ta gọi ký tự Ký hiệu Σ = X Z = {(xi )i∈Z : xi ∈ X} tập dãy hai chiều với số hạng thuộc X Σ+ = X N = {(xi )i∈N : xi ∈ X} tập dãy chiều với số hạng thuộc X Ví dụ 1.5 Xét X = {0, 1} Mỗi phần tử Σ+ dãy phía (dãy số thơng thường) với phần tử 1, chẳng hạn 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac phần tử Σ dãy hai phía với phần tử 1, chẳng hạn , 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, Định nghĩa 1.6 Các ánh xạ σ : Σ → Σ σ + : Σ+ → Σ+ xác định sau: (a) Với x = (xi )∞ i=−∞ , σ(x) = y = (yi )∞ i=−∞ yi = xi+1 , i ∈ Z; (b) Với x = (xi )∞ i=1 , σ + (x) = y = (yi )∞ i=1 yi = xi+1 , i ∈ N gọi ánh xạ dịch chuyển (shift map) Ví dụ 1.7 Ánh xạ dịch chuyển σ + : Σ+ → Σ+ dịch chuyển dãy sang bên trái: ∞ σ + ((ai )∞ i=1 ) = (bi )i=1 , bi = ai+1 ∞ Dãy (bi )∞ i=1 nhận từ dãy (ai )i=1 cách bỏ chữ số dịch chuyển chữ số sang trái vị trí Ví dụ (ai )∞ i=1 = 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, , (bi )∞ i=1 = 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, Ánh xạ σ : Σ → Σ khả nghịch ánh xạ ngược σ −1 : Σ → Σ ánh xạ dịch chuyển phải: Σ−1 (x)i = xi−1 , với i ∈ Z Chú ý ánh xạ σ + khơng khả nghịch, khơng đơn ánh Các mêtric Σ = X Z Σ+ = X N định nghĩa sau: d (x, y) = +∞ X 2−n |xn − yn |, x = (xn ) , y = (yn ) ∈ X Z n=−∞ mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Ánh xạ fA khả nghịch det(A) = ad − bc = ±1, ! ! a b d −b A−1 = =± det(A) c d −c a có hạng tử nguyên Ma trận cảm sinh ánh xạ fA−1 : T2 → T2 (fA )−1 = fA−1 Định nghĩa 4.1 Ma trận nguyên cấp hai A gọi hyperbolic det(A) = A có giá trị riêng với môđun khác ! Ví dụ 4.2 Ma trận A = có giá trị riêng 1 √ √ 3+ 3− λ1 = λ2 = 2 nên A ma trận hyperbolic Định nghĩa 4.3 Cho A ma trận nguyên cấp Ta gọi fA : T2 → T2 cảm sinh A định nghĩa (4.1) tự đồng cấu xuyến Trường hợp det(A) = ±1, ta gọi fA tự đẳng cấu xuyến Trường hợp A ma trận hyperbolic, ta gọi fA tự đẳng cấu xuyến hyperbolic 4.2 Điểm tuần hoàn Định lý 4.4 Cho fA : T2 → T2 phép tự đẳng cấu xuyến hyperbolic cảm sinh ma trận A Các điểm tuần hoàn fA tất điểm [0, 1) × [0, 1) có tọa độ hữu tỷ Nói cách khác, tập hợp điểm tuần hồn fA   p1 p2 , , q q p1 , p2 ∈ Z,  Chứng minh Nếu (x, y) = p p2 , q q q ∈ N, ≤ p1 , p2 < q  có tọa độ hữu tỷ, (n) (n) p1 p2 , q q fAn (x, y) = 30 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac ! mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Khi p1 (n) , p2 (n) số nguyên ≤ p1 (n) , p2 (n) < q viết dạng    (n)   p  an p1 + bn p2 p1 mod   q  q  mod Z2 =  q  ,  = An    p2   cn p1 + dn p2   p2 (n)  mod q q q ! a b n n An = Khi cn dn ! ! p1 (n) an p1 + bn p2 mod q = p2 (n) cn p1 + dn p2 mod q
Vì có nhiều q cách chọn lựa chọn cho cặp p1 (n) , p2 (n) nên tồn ≤ m 6= n ≤ q + cho fAm (x, y) = fAn (x, y) Nếu m > n fAm−n (x, y) = (x, y), nghĩa (x, y) điểm tuần hồn Nếu m < n fAn−m (x, y) = (x, y) ta có (x, y) điểm tuần hoàn Ngược lại, (x, y) n-tuần hồn fAn (x, y) = (x, y) theo định nghĩa fA điều có nghĩa tồn k, l ∈ Z cho: An x ! = y I = x ! + y k ! x ⇔ (An − I) l y ! = k l ! , ! Ta kiểm tra (An − I) khả nghịch Vì fA hypebolic nên giá trị riêng A có mơđun khác nên An khơng có giá trị riêng Điều có nghĩa khơng tồn véctơ v khác véctơ không cho (An − I)v = 0, chứng tỏ (An − I) khả nghịch Do đó, ta có x y ! = (An − I)−1 k l ! Vì A có số hạng Z, (An − I) có số hạng Z nên (An − I)−1 có số hạng Q Do hai x, y số hữu tỷ 31 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Định lý 4.5 Cho fA phép tự đẳng cấu hyperbolic xuyến T2 cảm sinh ma trận A với det(A) = giá trị riêng λ1 λ2 Số điểm tuần hoàn với chu kỳ n |λn1 + λn2 − 2| Chứng minh Các điểm tuần hoàn với chu kỳ n nghiệm fAn (x, y) = (x, y) Điều tương đương với ! ! x k (An − I) = , với k, l ∈ Z y l (4.3) Ánh xạ (An − I) biến hình vng đơn vị [0, 1) × [0, 1) thành hình bình hành P tạo véctơ (An − I) v1 (An − I) v2 Do đó, nghiệm (4.3) tương ứng với điểm nguyên (k, l) ∈ Z2 thuộc hình bình hành P Số điểm nguyên diện tích P , tính | det(An − I)| Vì định thức tích giá trị riêng nên ta cần tính giá trị riêng ma trận An − I Nếu v véc tơ riêng ma trận An − I với giá trị riêng µ (An − I)v = µv Điều tương đương với An v = (µ + 1)v, nên v véc tơ riêng An ứng với giá trị riêng µ + Vì A có giá trị riêng λ1 λ2 nên An có giá trị riêng λn1 λn2 An − có giá trị riêng λn1 − λn2 − Suy card{(x, y) : fAn (x, y) = (x, y)} = Area(P ) = det(An − I) = |(λn1 − 1)(λn2 − 1)| = |λn1 + λn2 − 2|, ý λn1 λn2 = det(A) = Định lý chứng minh xong 32 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac 4.3 Động lực học ký tự tính nửa liên hợp Để tìm hiểu động lực học ký tự tự đẳng cấu hyperbolic ! xuyến T2 , ta xét tự đẳng cấu cụ thể TA với A = Khi 1 TA (x1 , x2 ) = ((2x1 + x2 ) mod 1, (x1 + x2 ) mod 1) Ma trận A có giá trị riêng √ √ 3+ 3− λ1 = λ2 = 2 khơng thuộc đường trịn đơn vị, với véctơ riêng tương ứng ! ! √ √ 3− 3+ ,1 u2 = ,1 u1 = 2 Đa tạp không ổn định x = x + Z2 ∈ T2 hình chiếu đường thẳng R2 qua x nhận u1 làm véctơ phương xuống T2 , đa tạp ổn định x hình chiếu đường thẳng R2 qua x nhận u2 làm véctơ phương xuống T2 Do véctơ u1 gọi hướng khơng ổn định véctơ u2 gọi hướng ổn định Tự đẳng cấu TA gọi ánh xạ CAT Arnold (xem Hình 4.1) Ánh xạ Arnold Avez đưa năm 1968 để minh họa tính egordic hệ động lực Bức ảnh dùng để minh họa mèo (CAT), sau nhà khoa học khác dùng từ ‘CAT’ để viết tắt cho ‘Continuous Automophirms on Torus’ Ánh xạ CAT dùng nhiều để minh họa tính hỗn độn lý thuyết hỗn độn (chaos theory) Để xây dựng động lực học ký tự TA , ta cần phân hoạch Markov (xem [1]) Phân hoạch Markov vi phôi TA xây dụng Katok Hasselblatt [3] gồm hình chữ nhật R0 , R1 , R2 , R3 , R4 (xem Hình 4.2) Các Ri hình chiếu hình chữ nhật R2 cạnh theo hướng ổn định (véctơ riêng u2 ) hướng không ổn định (véctơ u1 ) 33 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Hình 4.1: Ánh xạ CAT Theo tính chất phân hoạch Markov, ∪4i=0 Ri = T hình chữ nhật giao biên Hơn nữa, intTA (Ri ) ∩ Rj 6= TA (Ri ) giao với Rj dọc theo toàn hướng ổn định, TA−1 (Ri ) ∩ Rj 6= TA−1 (Ri ) giao với Rj dọc theo tồn hướng khơng ổn định (Xem hình 4.3) Ma trận chuyển A = (aij )4i,j=0 cho bởi:  1 intTA (Ri ) ∩ intRj = ∅ ai,j = 0 intT (R ) ∩ intR = ∅ A i j (4.4) Tính tường minh ta được:  1  1   A=1  0  0 1   0   0  1  Định nghĩa aij (4.4) có nghĩa có quỹ đạo TA cắt intRi tiếp đến cắt intRj aij = 1, ngồi aij = Từ ma trận chuyển A, ta xây dựng tập dãy số hai chiều sau 34 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Hình 4.2: Một phân hoạch Markov TA Ký hiệu A = {0, 1, 2, 3, 4} Và  A Z = x = (xi )i∈Z : xi ∈ A với i∈Z Ta định nghĩa  ΛA = (xn ) ∈ A Z : axi ,xi+1 = ∀i ∈ Z , họ dãy AZ có tính chất sau: ký tự theo sau 0, 1, 0, 1, 3, ký tự theo sau 3, Khi ΛA tập đóng AZ bất biến qua phép dịch chuyển σ : A Z → A Z , tức σ (ΛA ) = ΛA Ánh xạ σ|ΛA : ΛA → ΛA gọi dịch chuyển kiểu hữu hạn cảm sinh ma trận A Z Định nghĩa 4.6 Dãy x = (xn )+∞ n=−∞ ∈ A gọi tuần hoàn với chu kỳ n σ n (x) = x, tức xi+n = xi , 35 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac ∀i ∈ Z mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Hình 4.3: Kiểu giao (a) tính chất phân hoạch Markov, cịn kiểu giao (b) khơng phải tính chất phân hoạch Markov Khi ta viết x = [x0 x1 xn−1 ] Tập dãy tuần hoàn với chu kỳ n ΛA ký hiệu Pn Với n ≥ 1, ký hiệu:  Xn = x0 xn−1 : x0 xn−1 ∈ A , axi ,xi+1 = 1, i ∈ {0, , n − 2} , tập đoạn n ký tự dãy ΛA Khi n = 2, ta có X2 = {00, 01, 03, 10, 11, 13, 20, 2, 23, 32, 34, 42, 44} Tiếp theo ta tìm số phần tử Pn Xn thơng qua An Do ta cần chéo hóa ma trận A Ta có: A = P diag (λ1 , λ2 , 0, 0, 0) P −1 , với  √ 1− 2√ 1− 2√ 1−     P =  1  √ 1+ 2√ 1+ 2√ 1+ −1 −1 0 1 0 Từ suy tr (An ) = λn1 + λn2 , 36 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac      −1     mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac  an an bn an bn   an   n A =  an  b  n bn   an bn an bn    an bn an bn  ,  bn cn bn cn   bn cn bn cn √ √ 5+ n 5− n λ + λ2 an = 10 √1 10 √ + n −5 + n bn = − λ1 + λ2 10 10 √ √ 5+2 n 5−2 n cn = λ1 + λ2 10 10 Mệnh đề 4.7 (a) Số phần tử Xn là: √ √ 25 − 11 n−1 25 + 11 n−1 card (Xn ) = λ1 + λ2 10 10 (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) (b) Số phần tử Pn là: card (Pn ) = card {x ∈ ΛA : σ n (x) = x } = λn1 + λn2 Chứng minh Ta dựa vào [4, Prop 2.2.12] (a) Số dãy có độ dài n tổng phần tử ma trận An−1 , là: √ √ 25 − 11 n−1 25 + 11 n−1 λ1 + λ2 9an−1 + 12bn−1 + 4cn − = 10 10 (b) Số dãy tuần hoàn với chu kỳ n tr(An ) λn1 + λn2 Ký hiệu  Qn = x ∈ ΛA : σ n (x) = x, σ k (x) 6= 0, ≤ k < tập điểm tuần hoàn chu kỳ nguyên tố n Hiển nhiên [ Pn = Qk k|n 37 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac để tính q (k), ta cần cơng thức ngc Măobius:   X k (m) p q (k) = m m|k µ hàm số Măobius c nh ngha theo Nu m = ps11 , , psrr dãy phân tích thừa số nguyên tố,   (−1)r m số phương tự    µ (m) = m =    0 Nhắc lại m gọi số phương tự thừa số ngun tố khơng xuất nhiều lần Khi ta có kết sau: Mệnh đề 4.8 Số dãy tuần hoàn với chu kỳ nguyên tố n X n  n n k µ q (n) = λ1 + λ2k k k|n Tiếp theo, ta trình bày mối qua hệ dãy tuần hoàn ΛA quỹ đạo tuần hoàn TA Cho x = (xn )n∈Z ∈ ΛA Theo tính chất phân hoạch Markov, tập giao \ TA−n Rxn n∈Z điểm đơn T Ta định nghĩa h : ΛA → T2 , h (x) = \ TA−n Rxn (4.9) n∈Z Khi h tồn ánh liên tục thỏa mãn h ◦ σ = TA ◦ h, 38 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac (4.10) mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac tức biểu đồ sau giao hoán ΛA σ h T2 ΛA h TA T2 Mệnh đề 4.9 Tự đẳng cấu hyperbolic TA nửa liên hợp với phép dịch chuyển σ : λA → ΛA qua nửa liên hợp h cho (4.9) Từ Bổ đề 1.14 ta suy rằng, x ∈ ΛA n-tuần hoàn h(x) n-tuần hồn TA Ta nhắc lại kết Định lý 4.5 Mệnh đề 4.10 Số điểm chu kỳ n TA  card x ∈ T2 : TAn (x) = x = |λn1 + λn2 − 2| Nhận xét 4.11 (a) Nếu x = (xi ) ∈ Pn h (x) = x ∈ T2 thỏa mãn TAn (x) = x TAk (x) ∈ Rxk , k = 0, , n − (b) Ánh xạ σ|ΛA có điểm cố định, điểm tuần hoàn với chu kỳ 1, [0] , [1] , [4] Tuy nhiên, có + Z2 điểm cố định TA Vì h ([0]) = h ([1]) = h ([4]) = + Z2 Các điểm cố định xem n-tuần hoàn với n > Điều giải thích đẳng thức  card {x ∈ ΛA : σ n (x) = x} = card x ∈ T2 : TAn (x) = x − Từ nhận xét ta có tính chất sau 39 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Mệnh đề 4.12 Ánh xạ   h : Pn \ {[0] , [1] , [4]} → x ∈ T2 \ + Z2 : TAn (x) = x song ánh Vì thế, thay xét điểm tuần hồn TA , ta làm việc dãy tuần hoàn ΛA Đặt Xi;n = {ix1 xn−1 ∈ Xn } tập hợp phần tử Xn bắt đầu ký tự i ∈ {0, 1, 2, 3, 4} Mệnh đề 4.13 Ký hiệu Cn , αn , βn , γn , ζn , ηn lực lượng tập Xn , X0;n , X1;n , X2;n , X3;n , X4;n Khi (a) ζn = ηn = Cn−2 ; (b) αn = βn = γn = (Cn − 2Cn−2 ) = Cn−1 − Cn−2 ; (c) αn + ζn = Cn−1 Chứng minh (a) Vì theo sau nên ζn = ηn = βn−1 + ζn−1 = (αn−2 + βn−2 + γn−2 ) + (ζn−2 + ηn−2 ) = cardXn−2 = Cn−2 (b) Tương tự, ký tự phép theo sau 0, 1, 0, 1, nên αn = βn = γn Khi αn + βn + γn + ζn + ηn = cardXn + Cn kết αn = βn = γn = (Cn − 2Cn−2 ) (c) Ta có αn = αn−1 + αn−1 + ζn−1 = 3αn−1 + 2ζn−1 − (αn−1 + ζn−1 ) = Cn−1 − Cn−2 40 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Hệ 4.14 Ta có (a) Cn = 3Cn−1 − Cn−2 ; (b) αn = Cn −2Cn−1 , ζn = 3Cn−1 −Cn Đặc biệt, 2Cn−1 < Cn < 3Cn−1 ; (c) Cn = 2Cn−1 + Cn−2 + · · · + C2 + Chứng minh (a) Điều có nhờ Mệnh đề 4.13 (b) Điều thu 3αn + ζn = Cn αn + ζn = Cn−1 (c) Thật Cn = 3Cn−1 − Cn−2 = 2Cn−1 + 2Cn−2 − Cn−3 = 2Cn−1 + Cn−2 + 2Cn−3 − Cn−4 + = 2Cn−1 + Cn−2 + Cn−3 + + 2C3 − C2 = 2Cn−1 + Cn−2 + C2 + 8, ta áp dụng C3 − C2 = C2 + Nhận xét 4.15 (a) Quan hệ Hệ 4.14 (a) phương trình sai phân phân tuyến tính bậc hai Điều cho phép ta tính Cn mà khơng cần sử dụng ma trận An Phương trình đặt trưng tương ứng có hai giá trị riêng λ1 , λ2 ; với C1 = C2 = 13 ta thu công thức (4.8) (b) Từ hệ 4.14 (b), kết hợp với (4.5)-(4.7) ta αn = 3an−1 + 2bn−1 tổng hạng tử dòng An 41 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac Kết luận Luận văn ’Một số vấn đề hệ động lực rời rạc’ đạt kết sau 1) Ánh xạ nhân đơi ˆ Trình bày khái niệm ánh xạ nhân đôi (Định nghĩa 2.1) ˆ Xây dựng động lực học ký hiệu ánh xạ (Mệnh đề 2.5) Trình bày quỹ đạo trù mật ánh xạ nhân đôi [0, 1] (Định lý 2.7) ˆ Trình bày nửa liên hợp ánh xạ dịch chuyển ánh xạ nhân đơi (Mệnh đề 2.9) ˆ Trình bày số điểm tuần hồn chu kỳ n ánh xạ nhân đơi (Định lý 2.10) ˆ Trình bày điểm tuần hồn ánh xạ nhân đôi trù mật [0, 1] (Định lý 2.13) 2) Ánh xạ baker ˆ Trình bày khái niệm ánh xạ baker (Định nghĩa 3.1) ˆ Xây dựng động lực học ký hiệu ánh xạ baker (Định nghĩa 3.3) ˆ Trình bày mối liên hệ ánh xạ baker ánh xạ nhân đôi (Mệnh đề 3.6) Nửa liên hợp ánh xạ baker ánh xạ dịch chuyển (Định lý 3.7) 3) Tự đẳng cấu hyperbolic xuyến T2 ˆ Trình bày khái niệm tự đẳng cấu xuyến hyperbolic (Định nghĩa 4.3) ˆ Trình bày tập điểm tuần hoàn tự đẳng cấu xuyến hyperbolic (Định lý 4.12, Định lý 4.5) ˆ Xây dựng động lực học ký hiệu của tự đẳng cấu hyperbolic cụ thể (Định nghĩa 4.6) Số điểm tuần hoàn chu kỳ n tự đẳng cấu hyperbolic cụ thể (Mệnh đề 4.8, Mệnh đề 4.9, Mệnh đề 4.10, Mệnh đề 4.12) 42 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac 43 mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac mot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.racmot.so.van.de.ve.he.dong.luc.roi.rac