Bài tập phương trình logarit có lời giải chi tiết

Câu 42: Cho hàm số . Tính tổng: . A. . B. . C. . D. . Lời giải Với mọi , ta có: Với hai số thực bất kì thỏa ta có: . Từ đó ta có: Câu 43: Cho , thỏa mãn . Giá trị của bằng A. B. C. D. Lời giải Ta có , với mọi . Dấu ‘ ’ xảy ra khi . Khi đó . Dấu ‘ ’ xảy ra khi . Từ và ta có . Suy ra . Vậy . Câu 44: Cho , thỏa mãn . Giá trị của bằng A. B. C. D.

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Câu 1: (Giải phương trình log ( x  1) 3 A x 63 B x 65 C x 80 Lời giải D x 82 ĐK:  x    x  log  x  1 3  x  43  x 65 Phương trình Câu 2: Tìm nghiệm phương trình A x  log 25  x  1  B x 6 C x 4 x 23 D  10; 10 D  1 D Lời giải Điều kiện: x   1 log 25  x  1   x  5  x 4 Phương trình Câu 3: Tập nghiệm phương trình A   3;3 B log  x  1 3   3  3 C Lời giải log  x  1 3  x  8  x 9  x 3 Câu 4: Tập nghiệm phương trình A  0 B log  x  x   1  0;1   1;0 C Lời giải  x 0  log  x  x   1  x  x  2  x  x 0  x 1 Ta có:  0;1 Vậy tập nghiệm phương trình Câu 5: log  x   5 Nghiệm phương trình A x 41 B x 23 C x 1 Lời giải x    log  x   5   x  25  x 23 Ta có Câu 6: log  x  1  log  x  1 3 Tìm tập nghiệm S phương trình S   3;3 S  4 A B C S  3 D  S   10; 10  Lời giải D x 16  log  x  1 3 x   x  8  x 3 Điều kiện Phương trình cho trở thành Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm phương trình Câu 7: Tìm tập nghiệm S phương trình A  S  2  B  S  2 log x 3  S  3  x  1  log  x  1 1 5;   C S  3    13   S       Lời giải x    x  (*)  x    Điều kiện Phương trình  2log  x  1  log  x 1 1  log  x  1 log  x  1  log 2  log  x  1 log   x  1   x  x  2 x   x 2   L   x  x  0   S  2  x 2  Vậy tập nghiệm phương trình  Câu 8:    log x  x  1 Tập nghiệm phương trình  1  0;1   1;0 A B C Lời giải D  0 D   1 ĐKXĐ: x  x    x    x 0 log  x  x  3 1  x  x  3    x 1 Ta có: S  0;1 Vậy tập nghiệm phương trình Câu 9:   log x  x  1 Tập nghiệm phương trình là:  1; 0 0;1 A  B   C   Lời giải  x 0 log  x  x  3 1  x  x  3  x  x 0    x  log  x  1  log  3x  1 Câu 10: Nghiệm phương trình A x 1 B x 2 C x  Lời giải D x 3 D x Điều kiện phương trình: log  x  1  log  x  1  log   x  1  log  x  1   x 1 3 x   x 3 Ta có x 3 Vậy nghiệm phương trình x 3 log  x  1  log  x  1 1 Câu 11: Tìm tập nghiệm S phương trình A S  3 ĐK: B 2 x     x   S  4 S  1 C Lời giải D S   2  1 x   x    x  2x  2x  log  x  1  log  x  1 1  log x  1  x  3  x 4 Ta có ln  x  1  ln  x  3 ln  x   Câu 12: Số nghiệm phương trình A B C Lời giải x   Điều kiện: D  x 1 (n)  PT  ln   x  1  x  3  ln  x     x  1  x  3  x   x  x  0  x  () log  x  1  log Câu 13: Số nghiệm phương trình A B  x  1 2 C Lời giải D Ta có log  x  1  log  x  1 2 , điều kiện x  , x 1  log  x  1  log  x  1 log  log   x  1  x  1  log   x  3x     x  2     x  3x  9  x  3x  3  x 2 Thử lại ta có nghiệm x 2 thỏa mãn   log 22 x + 8log x + = là: Câu 14: Số nghiệm phương trình A B C Lời giải x > Điều kiện: D log 22 x + 8log x + = Û 4log 22 x +8log x + = Û log x =- Û x = ( TM ) Câu 15: Tích tất nghiệm phương trình A B - log 32 x - log x - = C Lời giải D Điều kiện: x > Đặt t = log x , phương trình trở thành: t - 2t - = ( 1) ( 1) có nghiệm t1; t2 phân biệt thỏa mãn t1 +t2 = Do a.c =- < nên phương trình Khi đó, nghiệm phương trình ban đầu là: x1 = 3t1 ; x2 = 3t2 Þ x1.x2 = 3t1.3t2 = 3t1 +t2 = 32 = Câu 16: Tổng nghiệm phương trình log x  log 9.log x 3 17 A B C D  Lời giải  log x  log x  log 9.log x 3  log x  log x  0     log x 3 2 2 Ta có   x 2   x 8 17 S  8  2 Vậy Câu 17: Biết phương trình A log 22  x   5log x 0 B có hai nghiệm phân biệt C x1 x2 Tính x1 x2 D Lời giải Điều kiện x  Biến đổi phương trình cho phương trình sau: Do log 2 x  3log x  0 log x1 log x2 hai nghiệm phương trình t  3t 1 0 nên log x1  log x2 3 , mà log x1  log x2 log  x1 x2  Suy log  x1.x2  3 Câu 18: Cho phương trình A  0;1 Điều kiện: x  nên x1 x2 8 log 22  x   log B  3;5  x  5 Nghiệm nhỏ phương trình thuộc khoảng  5;9  C Lời giải D  1;3 log 22  x   log  x  5    log  x    log  x  2  log  x  4     log  x   2 2  log  x   0  x 2   x 1  x    0;1 Nghiệm nhỏ Câu 19: Phương trình log x  5log x  0 có hai nghiệm x1 , x2 Tính tích x1.x2 A 32 B 36 C D 16 Lời giải  log x 1  x 2 log 22 x  5log x  0     log x 4  x2 16 Vậy tích x1.x2 32 Câu 20: Cho phương trình hai nghiệm log 32  3x   log 32 x  0 P B A P 9 Ta có log 32  x   log32 x  0 Biết phương trình có nghiệm, tính tích P C P  Lời giải D P 1    log x    log x   0  t     3t  2t 0   2   t    2t   0  t 0 Đặt log x t ta có phương trình  2 t   log x   x 3  3 Với t 0  log3 x 0  x 1 Với 3 Vậy P 1  Câu 21: Cho phương trình sau đây?  1; 3 A log 22  x   log log 22  x   log B  x  5 Nghiệm nhỏ phương trình thuộc khoảng  ; 9  x  5  1  log  x    log  x  2    log  x    x 4    x 1   ;1 C Lời giải D  ; 5  2log  x  5  log 22  x  4  x 2   x 1  Vậy nghiệm nhỏ phương trình thuộc khoảng  ;1 Câu 22: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình log x  m log x  2m  0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 81 A m  B m 4 C m 81 D m 44 Lời giải ĐK: x    t  mt  2m  0 Đặt t log3 x ta phương trình Ta có x1 x2 81  log3  x1 x2  log3 81  log3 x1  log3 x2 4  t1  t2 4 YCBT  có nghiệm thực t1 , t2 thỏa t1  t2 4      b   a 4   m    2m     m 4  m 4  log Cho phương trình x  3log x   3x  m 0 m Câu 23: ( tham số thực) Có tất m giá trị nguyên dương tham số để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? A 79 B 80 C Vô số D 81 2 Lời giải  log Xét phương trình Điều kiện: Ta có x  3log x   3x  m 0  1 2 x    x 3  m 0 x    x log m  m  0  x 4  log x 2   x   log x    log x  3log x  0    1   x  x log m  3x m   m 0    log m 0    log3 m   1 có hai nghiệm phân biệt  Phương trình  m 1  Do m nguyên dương   m  {3; 4;5;;80}   m 1   m  34  Vậy có tất  80  79 giá trị m nguyên dương thỏa mãn đề Câu 24: Cho phương trình nghiệm m 0  A  m  log ( x  1) log ( x  2) m Tất giá trị m để phương trình có B m 1 C  m   m 1  D  m  Lời giải x   x 1 log ( x  1) log ( x  2)m     x  ( x  2)m (m  1) x 2m  1(*) Ta có - Nếu m 1 phương trình trở thành x 1 : phương trình vơ nghiệm - Nếu m 1 phương trình có nghiệm x 2m  m  , nghiệm thỏa mãn  m 1 2m  2m  m 1   10  0  m m m  m  Vậy để phương trình  m 1 log ( x  1) log ( x  2)m có nghiệm  m  Câu 25: Cho phương trình log 32  x    2m   log x  2m  0 m ( tham số thực ) Tập hợp tất  3;9 giá trị m để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  3  3  3 3  1;   1;   1;   ;     A   B   C   D  Điều kiện: x  Ta óc: Lời giải log  x    2m   log x  2m  0    log x    2m   log x  2m  0  log 32 x  2m log x  2m  0  log x 1     log x 2m  đoạn  3;9 Câu 26: Cho phương trình giá trị A  x 3  2m  x 3 Vậy để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc m  0;   32 m 9   2m  2   m  log 32  x    m   log x  m  0 ( m tham số thực) Tập hợp tất 1   ;3 để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  2;  0; 2  0;  B C Lời giải D   log3 x    m   log x  m  0 Điều kiện: x  Phương trình tương đương:  x 3  log3 x 1  log 32 x  m.log x  m  0    m  log3 x m   x 3 1   ;1 Vậy để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn m 3    m    m  Câu 27: Cho phương trình log  x    m  5 log x  3m  10 0 Số giá trị nguyên tham số m để 1;81 phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc  A B C D Lời giải log x  m  5 log x  3m  10 0 x   1;81  t   0; 4 Ta có:    Đặt t log x  t 3  t   m  1 t  3m  0  t m  Khi phương trình cho trở thành: 0 m  4 2 m 6   m 5 ycbt m  3 Vậy có số nguyên m thoả ycbt log 22  x   m log x  0 Câu 28: Cho phương trình Có số ngun m để phương trình có x   1;  nghiệm A ? B D C Lời giải Ta có: log 22  x   m log x  0    log x   m log x  0   log x  log 22 x  m log x  0  log x   m   log x 0  x 1  1;   log x 0    m  log x  log x  m   0  x 2  log x  m  Để phương trình có nghiệm 1  m x   1;      m      m     m   Do m   nên m  4log 22 x  11.log x  20 log3 x  m 0 Câu 29: Cho phương trình Có tất giá trị ngun m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? A B C D Vô số Lời giải x  x   x     x 3 m    m log x  m  log x  m   x 3 Điều kiện:    Phương trình tương đương với m Nghiệm x 3 thỏa mãn điều kiện nghiệm 16  2 nghiệm phân biệt  m    2;  1;0  log x 4   log 22 x  11.log x  20 0    log x     log x  m 0  log x m   m 3  16  log3    x 16     x 2  m  x 3  phương trình có hai  m  log3 16   log 16  m  log Câu 30: Cho phương trình log 22  x    m   log x  m  0 m ( tham số thực) Tập hợp tất  1; 2 giá trị m để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn A  1; 2 B    ; 1   2;   D    ; 1   2;    1; 2 C Lời giải Điều kiện: x  log 22  x    m   log x  m  0    log x    m   log x  m  0 Ta có:  log x 1   log x  m log x  m  0  log x m  Ta có: x   1; 2  log x   0;1 2 Vậy để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn m  1  m  1    1; 2  m 1  m 2  log 32 x   m   log x  3m  0 m Câu 31: Tìm giá trị thực tham số để phương trình có hai nghiệm thực x1 , x2 cho x1 x2 27 A m 1 m B m 25 C Lời giải 28 D m Điều kiện: x  log 32 x   m   log3 x  3m  0  1 t   m   t  3m  0    1 trở thành Đặt t log x phương trình Phương trình  1 có hai nghiệm x1 , x2 phương trình  m 4  2   0  m  8m  0     có hai nghiệm t1 , t2  m 4  2 Khi đó, x1 x2 27  log  x1 x2  log 27  log x1  log x2 3  t1  t2 3 lý Viét với phương trình Câu 32: Cho hàm số  2 Áp dụng định ta có t1  t2 m   m  3  m 1 3log 27  x   m  3 x   m   log  x  x 1  3m  0 Số giá trị nguyên x  x  15 m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn là: A 14 B 11 C 12 D 13 Lời giải Ta có: 3log 27  x   m  3 x   m   log  x  x 1  3m  0  log  x   m   x   m  log x  x   3m    x  x 1  3m   2  x   m  3 x   m  x  x   3m  x  x   3m   *   x   m   x  2m 0  1  x  x   3m   *    x m    x 2 Ta có x   m   x  2m 0 x1  x2  b c m  x1 x2  2m a a , Theo định lý vi-ét ta có Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn  m  m   3m     22    3m    m 2   m     m  4m       m    m      3m   m   Theo giả thiết x1  x2  15   x1  x2   x1 x2  225  m  4m  221    13  m  17 Do  13  m   Câu 33: Cho phương trình nguyên tham số A 40 Vậy số giá trị nguyên m thỏa mãn 13 log   mx log  x  3 m    12; 40  B 28 với m tham số Có tất giá trị để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? C 27 D 39 Lời giải Điều kiện xác định: x   Ta có: log   mx log  x  3  mx  x    x    m  x  0 b c m  x1 x2  9 a a Theo định lý vi-ét ta có ,  x  3  x2  3 x1x2   x1  x2   Suy x    m  x  0 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x1  x2   x1  x2        x1  3  x2  3   x x  3   m    m  12m    m  12   9   m      m   m  12 m    m     Số giá trị nguyên tham số 27 giá trị m    12; 40  để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt log 32 x  4log x  m  0 Có giá trị nguyên tham số m để x  x2  ? phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Câu 34: Cho phương trình A B C Lời giải  1 t log x phương trình trở thành: t  4t  m  0 x  x2  + Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn + Đặt  Phương trình  1 có nghiệm nghiệm phân biệt thỏa mãn t1  t2  D     S   P   22   m  3   m    3m7 4  m    m   Vậy có giá trị nguyên tham số m Câu 35: Tìm m để phương trình log x  (m  2) log x  3m  0 có hai nghiệm x1 , x2 cho x1 x2 27 A m B m 28 C m 25 Lời giải D m 1 Ta có log x  (m  2) log3 x  3m  0 Điều kiện: x  t   m   t  3m  0 Đặt t log3 x phương trình cho trở thành , phương trình bậc hai có biệt thức   m     3m  1 m  8m  Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 cho x1 x2 27 phương trình có hai t  t log x1  log x2 log  x1.x2  log (27) 3 nghiệm t1 , t2 cho m  8m  0  0     m  3 m 1 Điều tương đương với   m 4  2    m 4  2  m 1  m 1 Vậy m 1 log 32 x  3log x  2m  0,  * Câu 36: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình có hai x  x  3 72 nghiệm thực x1 ; x2 thỏa mãn    m A B m 3 C Không tồn Lời giải * Đặt log3 x t Phương trình   trở thành t  3t  2m  0 D m 61  32   2m     37  8m   m  Điều kiện để phương trình có hai nghiệm Theo vi-ét ta có t1  t2 3  log3 x1  log x2 3  x1.x2 27 Từ 37  x1  3  x2  3 72   x1  x2   x1.x2  72  x 3 x1 x2 27    x1  x2 12 Kết hợp với  x2 9 Khi tốn t1 1; t2 2  t1.t2 2m  2  m  9 m Thử lại, thấy thỏa mãn yêu cầu Câu 37: Cho phương trình log 22 x   5m  1 log x  4m  m 0 Biết phương trình có hai nghiệm phân x  x biệt x1 , x2 thỏa x1  x2 165 Giá trị A 16 B 119 C 120 Lời giải Điều kiện: x  Ta có: D 159 log 22 x   5m 1 log x  4m  m 0   log x  m   log x  4m  1 0  x 2m log x  m  log x  m       x 24 m 1 2 2m  log x  4m  0  log x 4m      1  2m  24 m 1 165  2. 2m   2m  165 0   Theo giả thiết: x1  x2 165 m   trở thành: Đặt t 2 , t  Phương trình 2t  t  165 0   t  3  2t  6t  18t  55  0  t 3  x 3 m  1 ta có:  x 162 Do đó: x1  x2 162  159 Với t 3 ta có: 3 Khi từ  log 22 x  3log x   3x  m 0 ( m tham số thực) Có tất Câu 38: Cho phương trình giá trị nguyên dương tham số m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? A 79 B 80 C Vô số D 81 Lời giải  log 22 x  3log x   3x  m 0  1 Xét phương trình x  x    x  m 0  x log m  m   Điều kiện:  Ta có  x 4  log x 2   1    log 22 x  3log x  0   log x    x   1   x  x log m  3x m   m 0    log m 0    log3 m   1 có hai nghiệm phân biệt  Phương trình  m 1  Do m nguyên dương   m  {3; 4;5;;80}   m 1   m  34  Vậy có tất  80  79 giá trị m nguyên dương thỏa mãn đề  log 22 x  log x  5 x  m 0 ( m tham số thực) Có tất Câu 39: Cho phương trình giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt A 49 B 47 C Vô số D 48 Lời giải x   x log m Điều kiện:  é4 log 22 x + log x - = Û ê Û ê x m ê ë Phương trình élog x = ê ê êlog x =ê ê ê ëx = log m  log m 0     log m   1 có hai nghiệm phân biệt  Phương trình  m 1  Do m nguyên dương   m  {3; 4;5;; 48}   m 1   4 m  49  Vậy có tất  48  47 giá trị m nguyên dương thỏa mãn đề x log9 x log12 y log16  x  y  Câu 40: Cho x , y số thực dương thỏa mãn Giá trị y A  1 log    4 C B D log 4 Lời giải  x 9t  t  y 12 4 x  y 16t  t x 9t    t   y 12   Ta có Đặt log x log12 y log16  x  y  t    t     1 VN   4   t 2t t x  3  3             0    y  4  4 4.9t  3.12t 16t Vậy Suy a  ab  b3 3 log16  3a  2b  log9 a log12 b Câu 41: Cho a  , b  thỏa mãn Giá trị a  a b  3b 19    A 83 B C 17 D Lời giải Đặt 3a  2b 16t   a 9t  t t log16  3a  2b  log a log12 b b 12 t a 9t    t   Ta có b 12     t     4  t t  t  9  3        a 1       1     16   4  3.9t  2.12t 16t b 3 a a 3      a  ab  b b b  3 a  a b  3b a a        b b 17 Vậy  2x  f  x   log     x  Tính tổng: Câu 42: Cho hàm số        2015  S f   f   f     f    2017   2017   2017   2017  A 2017 Với x   0;1 B 2016  2016  f   2017  C 1008 Lời giải D 504 , ta có: 1  2x   2x  f  x   log    log     log  x   log   x      log x  log   x   4  1 x   1 x  Với hai số thực a , b  thỏa a  b 1 ta có: 1 1 f  a   f  b     log a  log   a      log b  log   b   4 4 1 1    log a  log b    log b  log a   4 Từ ta có:   f   2017  1008  504  S    2016    f     2017      f   2017    2015   f       2017     1008  f   2017   1009   f   2017   log a 2b1  4a  b  1  log ab 1  2a  2b  1 2 Câu 43: Cho a  , b  thỏa mãn Giá trị a  2b 15 A B C Lời giải D 2  1 Ta có 4a  b  4ab  , với a, b  Dấu ‘ ’ xảy b 2a Khi log a 2b 1  4a  b  1  log ab 1  2a  2b 1 log a 2b 1  4ab  1  log ab 1  2a  2b  1 2 log a 2b 1  4ab  1 log ab 1  a  2b  1 2 log a 2b1  4ab  1 1  4ab  2a  2b    3 15  a  b  a  b  2     ta có 8a  6a 0 Suy Vậy Từ Dấu ‘ ’ xảy log 3a 2b 1  9a  b  1  log ab 1  3a  2b  1 2 Câu 44: Cho a  , b  thỏa mãn Giá trị a  2b A C B D Lời giải a  , b  nên ta có log 3a 2b 1  6ab  1  ; log ab 1  3a  2b  1  2 Ta có 9a  b 6ab Dấu đẳng thức xảy a 3b Do đó, ta có: log 3a  2b 1  9a  b 1  log 6ab 1  3a  2b 1 log 3a  2b 1  6ab  1  log ab 1  3a  2b  1 2 log 3a 2b 1  6ab  1 log ab 1  3a  2b  1 2 log 3a 2b 1  3a  2b  1 2 b 3a   log 3a 2b1  6ab  1 log ab 1  3a  2b  1 Dấu đẳng thức xảy khi: b 3a  b 3a     2 log a 1  18a  1 log18 a2 1  9a  1 log a 1  18a 1 1  b   b 3a  a   a  b   Suy 18a  9a  Câu 45: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 1; 27  nghiệm thực đoạn  m   0; 2 m   0;  A B log x  log x   2m  0 m   2; 4 C Lời giải D m   0;  có t  log x  t   1;2 x   1; 27  Điều kiện: x  Đặt , 2 Khi phương trình cho trở thành: t  t  2m  0  t  t  2m 1; 2 Yêu cầu toán tương đương với phải có nghiệm thuộc đoạn  f  t  t  t  1; 2 f  t 2t 1  0, t   1; 2 Xét hàm số đoạn  Ta có   Bảng biến thiên: Phương trình Câu 46: Hỏi có  * bao có nghiệm thuộc đoạn nhiêu log  mx  2 log  x 1 giá trị m nguyên có nghiệm nhất?  1; 2 thuộc  2m 4  m 2   2017; 2017  để phương trình A 2017 B 4014 C 2018 Lời giải D 4015 mx   x   1; x 0   x   log  mx  2 log  x  1   x     x       2 m  mx  x  1 log  mx  log  x  1   x    Ta có 2  x 1 x 1 x  1   f x       f  x   x   1, x 0  x  x   l  x Xét hàm ; Lập bảng biến thiên  m 4  Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm  m  m    2017; 2017  Vì m   nên có 2018 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu m    2017;  2016; ;  1; 4 Câu 47: Có giá trị nguyên tham số log  mx  2 log  x 1 A có nghiệm? B C 10 Lời giải m   10  m  10  để phương trình D mx   x   1; x 0   log  mx  2 log  x  1   x    x    x  1     2 m  mx  x  1 log  mx  log  x  1 x  Ta có Xét hàm số f  x  x 1  x   1;   \  0 x 1 x , f  x  0  x 1   1;   \  0 Bảng biến thiên: f  x   Để phương trình log  mx  2log  x 1 có nghiệm đường thẳng y m phải cắt m 0  y  f  x   1;   \  0 điểm  m 4 đồ thị hàm số trên m    m    9;  8; ;  2;  1; 4 Do   10  m  10 nên Vậy có 10 giá trị m thỏa mãn Câu 48: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log x  2log x  m 0 có nghiệm x   0;1 A m  B m C Lời giải m D m 1 log 22 x  2log x  m 0  1 Điều kiện: x  Đặt t log x Vì x   0;1 nên t    ;0  2  2 Phương trình trở thành t  2t  m 0  m  t  2t  1 có nghiệm x   0;1 phương trình   có nghiệm t   Phương trình y  f  t   t  2t   ;0  đường thẳng y m có điểm chung với đồ thị hàm số khoảng y  f  t   t  2t   ;0  ; f  t   2t  ; f  t  0  t  Xét hàm số khoảng Bảng biến thiên y  f  t   t  2t y  m m  Từ bảng biến thiên, suy đường thẳng cắt đồ thị hàm số khoảng x   0;1   ;0  Vậy với m 1 phương trình log 22 x  2log x  m 0 có nghiệm 2 Câu 49: Tìm m để phương trình log x  log x  m có nghiệm x  [1;8] A m 9 B m 3 C m 6 D m 6 Lời giải log 2 x  log x  m Điều kiện: x  Phương trình   log x   log x  m  Đặt t log x , với x  [1;8] t  [0;3] Phương trình trở thành: t  2t  m  Để phương trình có nghiệm x  [1;8]  phương trình có nghiệm t  [0;3] Xét hàm số y  f  t  t  2t  f  t 2t  f  t  0  t 1 khoảng [0;3] ;   ; Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta m 6 Câu 50: Cho phương trình log 3 x  log x  m  0 ( m tham số thực) Tập hợp tất giá trị  0;1 m để phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc khoảng 9 m 0m 0m m 4 4 A B C D Lời giải Phương trình cho  log 3 x  log 3x  m  0 t log 3 x , phương trình  1 có dạng: t  t  m  0  t  t 2  m x   0;1   x   log 3x   t  f  t  t  t t    ;1 Khi Xét hàm số với f t Bảng biến thiên : Đặt Số nghiệm phương trình y 2  m  2 Phương trình Vậy 0m  2 số giao điểm đồ thị có hai nghiệm phân biệt nhỏ 1  y  f t đường thẳng 2 m   0 m  4 log  mx  2 log  x 1 Câu 51: Tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt A m 4 B m  C m  m 4 Lời giải   x 1   x 1  log  mx  2 log  x 1   (*)   mx x  x  mx  x  1    Ta có x    (*)   m x    x  Ta thấy x 0 không nghiệm Với x 0 : D m  m  Xét hàm số f  x  x   f  x  1  Ta có Bảng biến thiên: x với x    1;   \  0 x2   x2 x ; f  x  0  x 1 Dựa vào bảng biến thiên suy m  giá trị cần tìm log 22  x   m log m Câu 52: Có giá trị ngun tham số để phương trình có nghiệm thuộc đoạn x  2m  0  1;8 ? A B D C Lời giải   log x   2m log x  2m  0  log 22 x  log x 2m  log x 1  1 ĐK: x  Ta có: t  4t 2m t log x; x   1;8  t   0;3 Đặt ; Khi   trở thành t  PT  1 có nghiệm x  Xét hàm số Có f  t Suy f t  có nghiệm   có nghiệm t   0;3 t  4t t  với t   0;3  0;3 ; liên tục f  t  2 đồng biến f  t   t  2t   t 1  0, t   0;3  0;3 21 t   0;3  f   2m  f  3  m  Do m    m   0;1; 2 Vậy có giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán log  mx  log Câu 53: Có giá trị nguyên m để phương trình A B C Lời giải log  mx  log Xét tốn: Tìm m để phương trình  x 1  1  x 1 vơ nghiệm? D có nghiệm   mx   3 Với điều kiện  1  log  mx  log  x 1 Điều kiện x    mx  x  1  4   vô lý * Nếu x 0 * Nếu x 0  4  m  x2  x 1 x x2  x2  x 1 f ' x  f  x    D   1;   \  0 x2 x Xét hàm số tập ; f ' x f '  x  0  x 1 không xác định x 0 ; Từ bảng biến thiên suy để phương trình cho có nghiệm m  m 4 Từ suy để phương trình cho vơ nghiệm m  Vậy Câu 54: Có m   0;1; 2;3 phương trình cho vô nghiệm số nguyên m thuộc khoảng ( 2020; 2020) để phương log (mx) 3log ( x  1) có nghiệm thực nhất? A 2018  x 1    m x   Điều kiện B 2020 C 2021 Lời giải x     mx  log  mx  3log  x  1  mx  x  1  Đặt D 2019 f  x  x  3x    x  1 x m  x  3x   m x x    1;   \  0 x  x   L  x3  3x  f  x  2 x    f  x   0    x 1  N  x x2  Bảng biến thiên  27  m    ;0     4 Để phương trình cho có nghiệm trình