ĐỀTHITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012. Mônthi : TOÁN (ĐỀ 203) A /phÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh. ( 8 điểm ) Câu I : ( 2 điểm ). Cho hàm số y = x 3 + ( 1 – 2m)x 2 + (2 – m )x + m + 2 . (C m ) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (C m ) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1. Câu II : ( 2 điểm ). 1. Giải phương trình: sin 2 2 2(sinx+cosx)=5x − . 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2 2 3 .x mx x + = − Câu III : ( 2 điểm ). 1. Tính tích phân sau : 2 2 3 1 1 . x I dx x x − = + ∫ 2. Cho hệ phương trình : 3 3 ( ) 1 x y m x y x y − = − + = − Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x 1 ;y 1 );(x 2 ;y 2 );(x 3 ;y 3 ) sao cho x 1 ;x 2 ;x 3 lập thành cấp số cộng ( ) 0d ≠ .Đồng thời có hai số x i thỏa mãn i x > 1 Câu IV : ( 2 điểm ). Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d 1 : 1 1 2 x y z = = ; d 2 1 2 1 x t y t z t = − − = = + và điểm M(1;2;3). 1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M và d 1 ; Tìm M ’ đối xứng với M qua d 2 . 2.Tìm 1 2 ;A d B d∈ ∈ sao cho AB ngắn nhất . B. PHẦN TỰ CHỌN: ( 2 điểm ). ( Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu V a hoặc V b sau đây.) Câu V a . 1. Trong mặt phẳng oxy cho ABC ∆ có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . Tính diện tích ABC ∆ . 2.Tìm hệ số x 6 trong khai triển 3 1 n x x + ÷ biết tổng các hệ số khai triển bằng 1024. Câu V b . 1. Giải bất phương trình : 2 2 1 1 5 5 x x+ − − > 24. 2.Cho lăng trụ ABC.A ’ B ’ C ’ đáy ABC là tam giác đều cạnh a. .A ’ cách đều các điểm A,B,C. Cạnh bên AA ’ tạo với đáy góc 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ. ______________ Hết ____________ ĐÁP ÁN ĐỀTHITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012. Mônthi : TOÁN (ĐỀ 203) 2 . Tìm m để đồ thị hàm số (C m ) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1. 1,00 Hàm số có cực trị theo yêu cầu đầu bài khi và chỉ khi thỏa mãn 2 ĐK sau :+ y ’ =0 có 2 nghiệm pbiệt x 1 < x 2 ⇔ ' 2 4 5 0m m∆ = − − ⇔ m < - 1 hoặc m > 5 4 + x 1 < x 2 < 1 ( Vì hệ số của x 2 của y ’ mang dấu dương ) ⇔ ⇔ ' 4 2m∆ − ⇔ … ⇔ 21 15 m 0,25 Kết hợp 2 ĐK trên ta được… Đáp số ( ) ; 1m∈ −∞ − 5 7 ; 4 5 ∪ ÷ 0,25 II 2,00 1 1.Giải phương trình: sin 2 2 2(sinx+cosx)=5x − . ( I ) 1,00 Đặt sinx + cosx = t ( 2t ≤ ). ⇒ sin2x = t 2 - 1 ⇒ ( I ) ,25 ⇔ 2 2 2 6 0t t− − = ⇔ 2t = − ) 0,25 +Giải được phương trình sinx + cosx = 2− … ⇔ os( ) 1 4 c x π − = − + Lấy nghiệm Kết luận : 5 2 4 x k π π = + ( k ∈Z ) hoặc dưới dạng đúng khác 0,25 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất : 2 2 3 .x mx x + = − 1,00 ⇔ hệ 2 2 2x x 9 6x 3 m x x + = + − ≤ có nghiệm duy nhất 0,25 ⇒ x 2 + 6x – 9 = -mx (1)+; Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm. + ; Với x ≠ 0 (1) ⇔ 2 6x 9x m x + − = − . Xét hàm số :f(x) = 2 6x 9x x + − trên ( ] { } ;3 \ 0−∞ có f ’ (x) = 2 2 9x x + > 0 0x∀ ≠ + , x = 3 ⇒ f(3) = 6 , có nghiệm duy nhất khi – m > 6 ⇔ m < - 6 0,25 III 2,00 2 2.Cho hệ phương trình : 3 3 ( ) 1 x y m x y x y − = − + = − Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt (x 1 ;y 1 );(x 2 ;y 2 );(x 3 ;y 3 ) sao cho x 1 ;x 2 ;x 3 lập thành cấp số cộng ( ) 0d ≠ .Đồng thời có hai số x i thỏa mãn i x > 1 3 3 ( ) 1 x y m x y x y − = − + = − ⇔ 2 2 ( )( ) 0 1 x y x y xy m x y − + + − = + = − ⇔ 2 1 2 1 ( ) 1 0 x y y x x x x m ϕ = = − = − − = + + − = Trước hết ( )x ϕ phải có 2 nghiệm pbiệt x 1 ; x 2 ⇔ 3 4 3 0 4 m m∆ = − ⇔ 1,00 0,25 0,25 Có thể xảy ra ba trường hợp sau đây theo thứ tự lập thành cấp số cộng. +Trường hợp 1 : 1 2 − ; x 1 ; x 2 +Trường hợp 2 : x 1 ; x 2 ; 1 2 − +Trường hợp 3 : x 1 ; 1 2 − ; x 2 0,25 Xét thấy Trường hợp 1 ;2 không thỏa mãn. Trường hợp 3 ta có 1 2 1 2 1 1 x x x x m + == − = − đúng với mọi m > 3 4 Đồng thời có hai số x i thỏa mãn i x > 1 ta cần có thêm điều kiện sau 2 1 4 3 1 4 3 3 3 2 m x m m − + − = ⇔ − ⇔ Đáp số : m > 3 0,25 IV Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d 1 : 1 1 2 x y z = = ; d 2 1 2 1 x t y t z t = − − = = + và điểm M(1;2;3).1.Viết phương trình mặt phẳng chứa M và d 1 ; Tìm M ’ đối xứng với M qua d 2 . .+ Phương trình mặt phẳng chứa M và d 1 …. Là (P) x + y – z = 0 + Mp(Q) qua M và vuông góc với d 2 có pt 2x – y - z + 3 = 0 2,00 0,25 0,25 + Tìm giao d 2 với mp(Q) là H(-1 ;0 ;1) … ⇒ Điểm đối xứng M ’ của M qua d 2 là M ’ (-3 ;-2 ;-1) 2.Tìm 1 2 ;A d B d ∈ ∈ sao cho AB ngắn nhất .Gọi A(t;t;2t) và B(-1-2t 1 ;-t 1 ;1+t 1 ) AB ngắn nhất khi nó là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d 1 và d 2 . 0,50 ⇒ 1 2 . 0 . 0 AB v AB v = = ……. ⇒ tọa độ của 3 3 6 ; ; 35 35 35 A ÷ và 1 17 18 ; ; 35 35 35 B − − ÷ 0,50 Va 2,00 1 1. Trong mặt phẳng oxy cho ABC ∆ có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C . +AC qua A và vuông góc với BH do đó có VTPT là (3;1)n = AC có phương trình 3x + y - 7 = 0 + Tọa độ C là nghiệm của hệ AC CM …… ⇒ C(4;- 5) + 2 1 ; 2 2 B B M M x y x y + + = = ; M thuộc CM ta được 2 1 1 0 2 2 B B x y+ + + + = + Giải hệ 2 1 1 0 2 2 3 7 0 B B B B x y x y + + + + = − − = ta được B(-2 ;-3) 0,25 0,25 Tính diện tích ABC ∆ .+ Tọa độ H là nghiệm của hệ 14 3 7 0 5 3x 7 0 7 5 x x y y y = − − = ⇔ + − = = − Tính được BH = 8 10 5 ; AC = 2 10 Diện tích S = 1 1 8 10 . .2 10. 16 2 2 5 AC BH = = ( đvdt) 2.Tìm hệ số x 6 trong khai triển 3 1 n x x + ÷ biết tổng các hệ số khai triển bằng 1024.+ ; 0 1 1024 n n n n C C C+ + + = ⇔ ( ) 1 1 1024 n + = ⇔ 2 n = 1024 ⇔ n = 10 0,25 0,25 M C B H A + ; ( ) 10 10 10 3 3 10 1 1 . k k k k o x C x x x − = + = ÷ ÷ ∑ ; ……. Hạng tử chứa x 6 ứng với k = 4 và hệ số cần tìm bằng 210 . V b 2,00 1 1. Giải bất phương trình : 2 2 1 1 5 5 x x+ − − > 24. (2) ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 5 5 24 5 5 0 x x − − ⇔ 2 5 5 x ⇔ x 2 > 1 ⇔ 1 1 x x − 1,00 0,5 0,5 2 2.Cho lăng trụ ABC.A ’ B ’ C ’ đáy ABC là tam giác đều cạnh a. .A ’ cách đều các điểm A,B,C. Cạnh bên AA ’ tạo với đáy góc 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ. G N M C B A B' C' A' Từ giả thiết ta được chop A ’ .ABC là chop tam giác đều . ' A AG là góc giữa cạnh bên và đáy . ⇒ ' A AG = 60 0 , … AG = 3 3 a ; Đường cao A ’ G của chop A ’ .ABC cũng là đường cao của lăng trụ . Vậy A ’ G = 3 3 a .tan60 0 = 3 3 a . 3 = a. …… Vậy Thể tích khối lăng trụ đã cho là V = 3 1 3 3 . . . 2 2 4 a a a a = 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 Ghi chú : + Mọi phương pháp giải đúng khác đều được công nhận và cho điểm như nhau . + Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần và làm tròn ( lên ) đến 0,5 điểm. . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012. Môn thi : TOÁN (ĐỀ 203) A /phÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh. ( 8 điểm ) Câu I : ( 2 điểm ). Cho hàm số y = x 3 + ( 1 – 2m)x 2 . giác đều cạnh a. .A ’ cách đều các điểm A,B,C. Cạnh bên AA ’ tạo với đáy góc 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ. ______________ Hết ____________ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012. Môn. THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012. Môn thi : TOÁN (ĐỀ 203) 2 . Tìm m để đồ thị hàm số (C m ) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1. 1,00 Hàm số có cực trị theo yêu cầu đầu bài khi