Skkn một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

SỞ GD-ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ - SÁNG KIẾN ĐỀ NGHỊ THẨM ĐỊNH , ĐÁNH GIÁ Ở CẤP :Ngành TÊN SÁNG KIẾN: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ" Tác giả sáng kiến: Ngơ Thị Phong Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Tổ Tốn-Trường THPT n Phong số Bộ mơn(chun ngành): Tốn n phong,Tháng 11 năm 2015 skkn Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số MỤC LỤC MỤC LỤC: PHẦN I: MỞ ĐẦU: Mục đích sáng kiến: 2 Đóng góp sáng kiến: PHẦN II : NỘI DUNG .3 Chương : Thực trạng vấn đề ………………………… Chương : Những giải pháp ………………… 1.PP nâng lên lũy thừa…………… ……………………………………………6 2.PP trị tuyệt đối hóa……………………………………………………………7 3.PP sử dụng bất đẳng thức………………………………………………… 4.PP đưa dạng tích… ………………………………………………………10 5.PP đặt ẩn phụ………… ……………………………………………………11 Chương : Kết kiểm chứng………………………………… 17 PHẦN III : Kết luận… .18 PHẦN IV : MỤC LỤC… 19 NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HĐKH: …………………………………… 20 skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số PHẦN I: MỞ ĐẦU MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN : Giải phương trình nội dung quan trọng chương trình Đại số 10 nói riêng chương trình tốn phổ thơng nói chung Hơn nữa, nội dung “cứng” cấu trúc đề thi THPT quốc gia Bộ GD ĐT, nội dung khó đề khiến nhiều học sinh băn khoăn trăn trở Vì vậy, tơi viết đề tài‘‘Một số Phương pháp giải PT vô tỷ’’ nhằm cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ giải pt vô tỷ Học sinh thông hiểu trình bày tốn trình tự, logic, không mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải lớp tốn giải phương trình vơ tỷ ĐĨNG GĨP CỦA SÁNG KIẾN Đề tài nhằm góp phần nâng cao nhận thức kĩ cho người dạy người học nội dung phương trình vô tỷ ,đưa số phương pháp giải cho dạng toán thường gặp giúp học sinh biết cách phân tích, nhìn nhận tổng quan phương trình vơ tỷ.Qua hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh khối 10 hệ THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy giảng dạy mơn Tốn Các thầy học sinh sử dụng tốn đề tài làm toán gốc để đặt giải tập cụ thể Trong đề tài đưa giải số dạng toán thường gặp tương ứng tập tự luyện Sau tốn tơi có nhận xét bình luận khắc phục sai lầm giúp bạn đọc chọn cho phương pháp giải tối ưu nhất, để có lời giải đơn giản nhanh Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số PHẦN II: NỘI DUNG Chương : THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Qua tìm hiểu, nhận thấy việc dạy học nội dung giải phương trình vơ tỷ có số vấn đề đáng bàn sau đây: 1) Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hành trình bày hạn hẹp có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải rườm rà khó hiểu dễ mắc sai lầm, phần tập đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên khơng thể đưa đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu địi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi tốn học nhanh nhẹn thục.Chính giải phương trình vơ tỷ em học sinh lúng túng, việc định hướng gặp nhiều khó khăn 2) Các tập sách giáo khoa cịn ít, dễ khơng đa dạng nên ơn tập dạng tốn đặc biệt ơn thi THPT quốc gia gặp tốn khó học sinh không làm 3) Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua khơng giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần Khi giảng dạy cho học sinh nhận thấy: Khi gặp tốn: Giải phương trình 2x  = x - (1) Sách giáo khoa đại số 10 giải sau: điều kiện pt(1) x  (*) (1)  2x - = x2 - 4x +  x2 - 6x + = Phương trình cuối có nghiệm x = + x = - Cả nghiệm thoả mãn điều kiện(*)của phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x = - bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) x = + Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số Mặt khác, số học sinh cịn có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x  (*) để lấy nghiệm nghiệm phương trình x = + x = - Theo cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x điều kiện cần đủ 2 Khi gặp tốn: Giải phương trình 5x2  6x  = x3 5 x  x   Học sinh đặt điều kiện  bình phương 2vế để giải phương trình x   Điều ý học sinh tìm cách để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x +  điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Khi gặp tốn: Giải phương trình (x + 4) x  = Một số HS có lời giải sai sau: (x + 4) x  = x    x  4   x   x-2 =0 Nhận xét: Đây toán mắc sai lầm mà khơng đáng có Rõ ràng x = - nghiệm phương trình B   Chú ý rằng: A B    A   B   bị bỏ qua điều kiện là: B ≥ (x ≥ 2) Khi gặp tốn: Giải phương trình x  12 x  11 = 4x2 - 12x + 15 Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thông x2  x2 Khi gặp tốn: Giải phương trình  x  5 x5 Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số HS giải sai sau: x    x  2   2  x  x  10  x  x   x  5 x  2   x    x  2   3 x  x   10  x  2  Vậy phương trình cho vô nghiệm  x  14 Nhận xét: Rõ ràng x = 14 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vô nghiệm Cần ý rằng: B A  AB A  0; B   B  AB A  0; B  Lời giải xét thiếu trường hợp A < 0; B < Khi gặp toán: Giải phương trình x2 – 7x + 12 =  x  3  x  x  6 HS giải sau: x2 –7x+12=  x  3  x  x  6  (x-3)(x-4) =  x  3 x  3 x  2  (x-3)(x-4) =   x  3 Giải   ta có   x  3  x  2   x  3 x  = (x-3)(x-4) x    x2  x4  x2 x4    x   x  x2  x4     x7  x  x  14   x    x  4 Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = Tuy nhiên HS không ngờ phương trình cịn có nghiệm x = 0 A   A B  A B   A B A     A B A  Chú ý rằng: Lời giải bỏ sót trường hợp A ≤ Lúc vai trò người thầy quan trọng, phải rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải tốn phương trình vơ tỉ Chương 2:NHỮNG GIẢI PHÁP Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số Phương pháp nâng lên lũy thừa  a) Dạng 1: Chú ý: Không cần đặt đồng thời g(x)  f(x)  Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải: (1)  Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = b) Dạng 2:  f ( x )  0( g ( x )  0) f( x )  g( x )    f ( x )  g ( x ) Chú ý: Không cần đặt đồng thời g(x)  f(x)  f(x) = g(x) Ví dụ Giải phương trình 3x  = x  , (2) Giải: (2)  ! Lưu ý: Điều kiện x   , (*) điều kiện cần đủ phương trình (1) nên ta cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối phương trình + Ví dụ 2: Giải phương trình x  3x  = x  , (2) Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải khơng âm pt(2)  Vậy nghiệm phương trình x = c) Dạng 3: Ví dụ Giải phương trình: (2) Giải: Với điều kiện x ≥ Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số (2)  Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = d) Dạng 4: Ví dụ Giải phương trình: (3) Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có: (3)     4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16  76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 =  5x2 – 84x + 352 =  x1 = ; x2 = Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = e) Dạng 5: Ví dụ Giải phương trình: Giải: Với điều kiện x ≥ (4) Ta có: (4)      45 + 14x + 14 =0 Với x ≥ vế trái của phương trình là một số dương  phương trình vô nghiệm Phương pháp trị tuyệt đối hóa Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải: (1)  Với điều kiện x ≤ Ta có:(1)  |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1)  – x = – x (vô nghiệm) – Nếu ≤ x ≤ 8: (1)  x – = – x  x = HD: Đáp số: x = Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số Ví dụ Giải phương trình Giải: (2)   Đặt y = (y ≥ 0)  phương trình đã cho trở thành: – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y  y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y –  y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y =  x + =  x = Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, đó phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình Cách điều kiện x ≥  vế trái âm Với x ≥ thì: Vế trái: ≥  vế phải dương Vế phải: Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm  Cách Với x ≥ 1, ta có:  Vế trái là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥  phương trình vô nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải: Ta có (1)   Ta có: Vế trái ≥ Dấu “=” xảy  x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy  x = –1 Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là nhất) Ví dụ Giải phương trình: Giải: điều kiện x ≥ Dễ thấy x = là một nghiệm của phương trình – Nếu : VT = Mà: VP < – Nếu x > 2: VP = 2x2 + > 2.22 + = VT < Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm nhất là x = Ví dụ Giải phương trình: Giải: Thử với x = Ta có: (1)  Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP Vậy: x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: Giải: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = nghiệm phương trình Ta cần chứng minh nghiệm Thật vậy:Với x < Tương tự với :  < x < 2: Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải: (1) Nếu 3x =–(2x + 1) x = Vậy x = biểu thức vế nghiệm phương trình Hơn nghiệm (1) nằm khoảng Với Ta chứng minh nghiệm : 3x < –2x – <  (3x)2 > (2x + 1)2   (1) khơng có nghiệm Suy ra: khoảng Chứng minh tương tự, ta đến kết luận (1) khơng có nghiệm d) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví dụ Giải phương trình Giải: điều kiện Áp dụng bất đẳng thức Với điều kiện với ab > Nên: Dấu “=” xảy  Phương pháp đưa về phương trình tích Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: x ≥ Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế phương trình: Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty 10 skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số   PT vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải ĐK: | x | ≤ 1: (1)  x1=0;x2 = Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải Chú ý: x4 – = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1) (1)  x=2 Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt (1) = y (y ≥ 0) y2 = x +  x = y2 –  x2 = (y2 – 1)2  (2)  (y2 – 1)2 + y – =  y(y  1)(y2 + y  1) = Từ suy tập nghiệm phương trình là: Ví dụ Giải phương trình: HD: ĐK: x ≥ Đặt (1) =y (1)   y3 + y2 – =  (y – 1)(y2 + 2y + 2) = y=1 x=1 b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: 2(x2 + 2) = Giải Đặt u = ,v= (3) (ĐK: x ≥ 1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó:u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + (3)  2(u2 + v2) = 5uv  (2u  v)(u  2v) = Giải ra, xác định x Kết là: x  Ví dụ Giải phương trình: (1) Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty 11 skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số Giải ĐK: x ≥ –2 (1)  Đặt: = v (u, v ≥ 0) u2 – v2 = = u, (a –b)(1 + ab) = a2 – b2 (a – b)(1 – a + ab – b)=0 (a – b)(1 – a)(1–b)=0 (1) Giải ra: x = –1 nghiệm Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: x ≥ Đặt (1) = u, = v (u, v ≥ 0): b – a = a2 – b2  (a – b)(a + b + 1) = (1) Mà a + b + >  a = b  x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt = u, (1) = v (u, v ≥ 0) (1)  u – (v2 – u2) – v =  (u – v)(1 + u + v) = Vì + u + v > nên: u = v Giải ta được: x = c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình: (1) Giải ĐK: x ≥ (1)  Đặt: (1) = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0): ab + c = b + ac  (a – 1)(b – c) = 0 a = b = c Thay ngược trở lại ta x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : Giải Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0)  x = − u2 = − v2 = − t2 = uv + vt + tu Từ ta có hệ: Nhân vế (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty 12 skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số Vì u ; v ; t ≥ nên: (4) Kết hợp (4) với (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: Cộng vế (5) ; (6) ; (7) ta có: (8) Kết hợp (8) với (5) ; (6) ; (7) ta có: d) Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình Cách 1: Giải tương tự Ta x = Cách 2: Đặt  Ta có hệ: x = Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: ≤ x ≤ 25 Đặt  =u, (u, v ≥ 0): Giải ta có x = nghiệm Ví dụ Giải phương trình: Giải ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt   = u, = v (u, v ≥ 0) Thế ngược trở lại: x = nghiệm Ví dụ Giải phương trình: Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty 13 skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số Giải ĐK: – ≤ x ≤ Đặt  (u, v ≥ 0)  Ví dụ Giải phương trình: (u, v ≥ 0)  Giải ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt Giải ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)} Từ ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt = u, (1) = v (u, v ≥ 0)  (1)  Ví dụ Giải phương trình: Giải Đặt (1)   kết Giải và biện luận phương trình vô tỉ Ví dụ Giải và biện luận phương trình:  Giải Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m ≠ 0: Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤  + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤ –2 Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoặc < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm – Nếu –2 < m ≤ hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải biện luận phương trình với m tham số: Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty 14 skkn ≥m Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số Giải Ta có: – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  – Nếu m ≠ 0: + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤  + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤ Tóm lại: – Nếu hoặc – Nếu Phương trình có nghiệm: hoặc : phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải và biện luận theo tham số m phương trình: Giải Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành  có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m * Sau tập giải phương trình vơ tỉ hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng tập tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình vơ tỉ Bài tập Giải phương trình a 3x  = - 2x b  2x = c 3x  x  + x - = x 1 HD: Dùng pp nâng lũy thừa Giải phương trình: x2 - 3x + x  3x  = Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty 15 skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ HD: Đặt Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số t= (t  ) x  3x  Giải phương trình: x 1 + 3x  = 5x 1 HD: Đặt đk sau bình phương hai vế Giải phương trình: HD : A  B x  x 1  x 1 x 1  AB A  0; B  AB  B  B  AB A  0; B   B x2  x2 Giải phương trình:  x  5 x5 HD: B A  AB A  0; B   B  AB A  0; B  Giải phương trình: x  + x  10 = x  + x  Giải phương trình: x 1 + Giải phương trình: x + x 1 = 1 x  x = 2 Giải phương trình: x2 + 3x + = (x + 3) x  10 Giải phương trình: (4x - 1) x3  = 2x3 + 2x +1 11 Giải phương trình: x2 - = 2x x  x 12 Giải phương trình: x2 + 4x = (x + 2) x  x  CHƯƠNG KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty 16 skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số Chuyên đề áp dụng vào giảng dạy lớp đạt kết tốt: - 100% học sinh nắm dạng yêu cầu đề - 100% học sinh nắm phương pháp giải phương trình vơ tỷ - 92,5% học sinh đạt điểm kiểm tra từ trung bình trở lên khơng có học sinh đạt điểm Cụ thể kết kiểm tra 40 em học sinh lớp 10a10 sau:  Kết chưa vận dụng sáng kiến : Kết Số học sinh Tỷ lệ Điểm giỏi 2,5 % Điểm 15% Điểm trung bình 13 32,5% Điểm yếu 10 25 % Điểm 10 25% Kết Số học sinh Tỷ lệ Điểm giỏi 17,5% Điểm 16 40% Điểm trung bình 14 35% Điểm yếu 7,5%  Kết vận dụng sáng kiến : Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty 17 skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số PHẦN III: KẾT LUẬN - Trên vài trao đổi nhỏ phương pháp giải phương trình vơ tỷ thơng qua số ví dụ tập Qua học sinh phần nắm lý thuyết hình thành kỹ giải phương trình vơ tỷ từ vận dụng tốt vào việc giải tập Tuy nhiên, để làm tốt dạng toán học sinh cần nắm vững lý thuyết, có kỹ biến đổi nhằm đưa phương trình dạng quen thuộc Hy vọng chuyên đề đóng góp phần nhỏ vào việc ơn tập có hệ thống phát huy khả sáng tạo em học sinh - Điều mà muốn làm rõ phương pháp tìm lời giải cho tốn giúp cho em học toán nhẹ nhàng hơn, thú vị sáng tạo Qua đúc rút kinh nghiệm giảng dạy đối tượng học sinh, áp dụng chủ quan đánh giá học sinh tiếp nhận tương đối tốt phần đạt kết định Tuy nhiên, với kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều kiến thức vô tận nên khuôn khổ hạn hẹp chuyên đề chắn cịn thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp tổ chun mơn, bạn đồng nghiệp em học sinh - Kiến nghị với cấp trên: Phần phương trình vơ tỷ nội dung quan trọng SGK cần đưa ví dụ đa dạng phong phú Xin cảm ơn ý kiến phê bình đóng góp Tơi tiếp tục hồn thiện vấn đề nêu có ý tưởng Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty 18 skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Một số PP giải PT vô tỷ Ngô Thị Phong - THPT Yên Phong số Phần IV :MỤC LỤC -Tài liệu tham khảo : + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất giáo dục + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Các giảng luyện thi mơn tốn - Nhà xuất giáo dục (TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất) + Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải + Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục + Các đề thi đại học năm trước   Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty 19 skkn Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty Skkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.tySkkn.mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.vo.ty