Hcmute phân tích dao động tự do tấm vật liệu fgm có vết nứt sử dụng phương pháp xcs dsg3

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG PHÂN TÍCH DAO ÐỘNG TỰ DO TẤM VẬT LIỆU FGM CÓ VẾT NỨT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP XCS-DSG3 S K C 0 9 MÃ SỐ: T2013 – 04GVT S KC 0 Tp Hồ Chí Minh, tháng - 2014 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG DÀNH CHO GIẢNG VIÊN TRẺ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO TẤM VẬT LIỆU FGM CÓ VẾT NỨT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP XCS-DSG3 Mã số: T2013 – 04GVT Chủ nhiệm đề tài: ThS Nguyễn Thị Bích Liễu TP HỒ CHÍ MINH - 02/2014 Luan van TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA XÂY DỰNG VÀ CƠ HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG DÀNH CHO GIẢNG VIÊN TRẺ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO TẤM VẬT LIỆU FGM CÓ VẾT NỨT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP XCS-DSG3 Mã số: T2013 – 04GVT Chủ nhiệm đề tài: ThS Nguyễn Thị Bích Liễu TP HỒ CHÍ MINH - 02/2014 Luan van i MỤC LỤC MỤC LỤC i DANH MỤC HÌNH VẼ iii DANH MỤC BẢNG BIỂU v THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU MỞ ĐẦU I Mở đầu II Sơ lược tình hình nghiên cứu Tình hình nghiên cứu tác giả nước Tình hình nghiên cứu tác giả nước III Tính cấp thiết IV Mục tiêu nhiệm vụ V Đối tượng phạm vi nghiên cứu VI Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Giới thiệu 1.2 Cơ sở lý thuyết 1.2.1 Giới thiệu vật liệu phân lớp chức 1.2.2 Dạng yếu phương trình chủ đạo phương pháp PTHH cho FGM8 1.2.3 Phương pháp độ lệch trượt 12 1.2.4 Phần tử CS-DSG3 15 1.2.5 Cơ sở phương pháp PTHH mở rộng XFEM 17 1.2.5.1 Ý tưởng phương pháp 17 Luan van ii 1.2.5.2 Phương pháp xác định loại phần tử mở rộng 23 1.3 Cơng thức tính tốn FGM theo CS-DSG3 25 1.4 Thuật tốn phân tích dao động tự FGM có vết nứt CS-DSG328 1.5 Sơ đồ khối 29 CHƯƠNG 2: VÍ DỤ SỐ 31 2.1 Giới thiệu 31 2.2 Mơ hình tốn 31 2.2.1 Tấm FGM có vết nứt cạnh 31 2.2.2 Tấm FGM có vết nứt 34 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Luan van iii DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1: Sơ đồ hình học FGM hệ quy chiếu Hình 1.2: Quan hệ Vc z/t Hình 1.3: Phần tử tam giác nút 10 Hình 1.4: Phần tử tam giác nút hệ tọa độ địa phương 13 Hình 1.5: Ba tam giác nhỏ  1 , 2 , 3  tạo từ phần tử 1-2-3 CS-DSG3 cách kết nối điềm trọng tâm O với ba nút phần tử 1, 2, 16 Hình 1.6: Mơ hình vết nứt với nút làm giàu XFEM 18 Hình 1.7: Vectơ tiếp tuyến es pháp tuyến đơn vị en với đường nứt trơn đường nứt thắt nút 20 Hình 1.8 Hệ trục tọa độ địa phương đỉnh vết nứt 21 Hình 1.9: (a) Vết nứt trùng với lưới phần tử; (b) Vết nứt cách lưới phần tử đoạn  22 Hình 1.10 Phần tử chứa nút hữu có vết nứt cắt ngang 22 Hình 1.11 Định nghĩa hàm levelset 23 Hình 1.12 Quy ước dấu 24 Hình 1.13 Vectơ tiếp tuyến es pháp tuyến đơn vị en xây dựng từ x* 24 Hình 1.14 Minh họa việc chia nhỏ phần tử làm giàu cạnh, phần tử làm giàu đỉnh thành tam giác nhỏ quy trình chuyển tọa độ điểm Gauss từ tam giác nhỏ phần tử tam giác lớn 27 Hình 1.15: Số lượng vị trí điểm Gauss sử dụng loại phần tử khác phương pháp XCS-DSG3 28 Luan van iv Hình 2.1: a)Tấm chữ nhật FGM tựa đơn có vết nứt cạnh 29 b) Tấm vng có vết nứt rời rạc thành 60x60 phần tử tam giác 29 Hình 2.2: Dạng dao động sáu mode đầu có vết nứt phương pháp XCS-DSG3 …32 Hình 2.3: Tấm đầu ngàm SUS304/Si3N4 có vết nứt .33 Luan van v DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 1: Đặc trưng vật liệu FGMs 32 Bảng 2: So sánh tần số dao động tự nhiên Frq Al/ Al2O3 tựa đơn (a/b = 1, a/h = 10, yc/a = 0.5, d/a = 0.5) 33 Bảng 3: So sánh tần số dao động tự nhiên Frq Al/ZrO2 tựa đơn 33 Bảng 4: Tần số dao động Frq SUS304/Si3N4 35 Luan van TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc KHOA XD&CHUD Tp HCM, ngày 20 tháng năm2014 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung: - Tên đề tài: Phân tích dao động vật liệu FGM có vết nứt sử dụng phương pháp XCS-DSG3 - Mã số: T2013-04GVT - Chủ nhiệm: ThS Nguyễn Thị Bích Liễu - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: 14 tháng Mục tiêu: - Sử dụng phương pháp rời rạc lệch trượt trơn dựa cạnh cho phần tử tam giác nút (CS-DSG3) kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng XFEM gọi chung phương pháp XCS-DSG3 để phân tích dao động tự có vết nứt làm vật liệu chức có tính biến đổi theo chiều dày (tấm FGM) Tính sáng tạo: - Kết hợp hai phương pháp XFEM CS-DSG3 cho phần tử tam giác nút đời phương pháp XCS-DSG3 có hiệu đáng kể so với XFEM DSG - Vật liệu FGM có vết nứt Kết nghiên cứu: - Đề nghị mơ hình phân tích tốn FGM có vết nứt - Xây dựng chương trình tính tốn ngơn ngữ lập trình Matlab - Kiểm tra chương trình tính so sánh kết số với số báo quốc tế công bố Luan van Sản phẩm: Bài báo tên chấp nhận đăng thuộc tạp chí Khoa học cơng nghệ (các trường đại học kỹ thuật), mã số 13-345 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: - Báo cáo khoa học - Tạp chí nước Trưởng Đơn vị Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên) Luan van 34 Bảng so sánh tần số dao động ba mode hai trường hợp FGM có vết nứt cạnh phương pháp XCS-DSG3 phương pháp S Natarajan (2011) [5], C.S Huang (1972) [10] (ở bảng tài liệu) Các kết cho thấy phù hợp nghiệm XCS-DSG3 nghiệm tham khảo, thể độ tin cậy phương pháp đề xuất Hình 2.2 trình bày mode dao động ứng với sáu tần số phương pháp XCS-DSG3 Kết cho thấy hình dạng dao động phù hợp với dạng dao động vật lý thật có vết nứt (a) (b) (c) (d) (e) (f) Hình 2.2 Dạng dao động sáu mode đầu FGM có vết nứt phương pháp XCS-DSG3; (a) Mode 1; (b) Mode 2; (c) Mode 3; (d) Mode 4; (e) Mode 5; (f) Mode Luan van 35 2.2 Tấm FGM có vết nứt Xét toán dao động tự FGM đầu ngàm với thông số chiều dài chiều rộng a,b; chiều dày t Vết nứt có chiều dài d, cách biên khoảng yc hình 2.3 Tấm làm từ vật liệu SUS304/Si3N4 với thông số bảng a d b yc t Hình 2.3: Tấm SUS304/Si3N4 có vết nứt Trong ví dụ này, ảnh hưởng chiều dài vết nứt d/a, số gradient n tần số không thứ nguyên Frq đưa bảng Bảng 4: Tần số dao động Frq SUS304/Si3N4 Mode Chỉ số Gradient, n 10 d/a 0.608 1.432 2.630 3.578 4.322 0.2 0.608 1.420 2.535 3.575 3.965 0.4 0.606 1.408 2.381 3.506 3.639 0.6 0.543 1.277 2.307 3.192 3.856 0.2 0.542 1.266 2.224 3.189 3.537 0.4 0.541 1.255 2.088 3.127 3.245 0.6 0.491 1.154 2.038 2.886 3.483 0.2 0.491 1.144 1.965 2.884 3.193 0.4 0.489 1.134 1.846 2.824 2.933 0.6 0.466 1.094 1.930 2.737 3.301 0.2 Luan van 36 0.465 1.084 1.860 2.735 3.026 0.4 0.464 1.075 1.747 2.677 2.781 0.6 Từ kết bảng 4, nhận thấy chiều dài vết nứt tăng lên tần số dao động riêng giảm Điều chảy dẻo cục dẫn đến giảm tần số dao động riêng Mặt khác số n tăng tần số dao động Frq giảm Lý n tăng thể tích thành phần Si3N4 giảm, độ cứng trở nên nhỏ Kết dẫn đến tần số tự nhiên giảm Luan van 37 KẾT LUẬN I Giới thiệu Trong chương 2, số ví dụ số thảo luận so sánh với nghiên cứu khác có liên quan, kết cho thấy độ tin cậy nghiên cứu Tại ví dụ đó, vài nhận xét thảo luận rút kết luận hữu ích cho tốn phân tích dao động Chương đưa số kết luận chung hướng phát triển đề tài tương lai II Kết luận Thông qua kết đạt được, số kết luận chung nghiên cứu rút sau: Kết luận  Do áp dụng kỹ thuật làm trơn dựa phần tử phương pháp CS-FEM nên phương pháp CS-DSG3 khắc phục nhược điểm phương pháp DSG3 cải thiện đáng kể độ xác nghiệm  Bên cạnh đó, sử dụng phần tử tam giác ba nút nên việc xây dựng mơ hình phần tử dễ dàng đơn giản việc tính tốn  Trong nghiên cứu này, phương pháp đường đồng mức (level-set) XFEM sử dụng, lưới phần tử hữu hạn rời rạc cách độc lập với vết nứt mà khơng cần rời rạc tương thích với vết nứt Để tính tốn ma trận độ cứng phần tử từ hàm xấp xỉ chuyển vị, phần tử CS-DSG3 sử dụng để tính tốn cho phần tử khơng có vết nứt qua Tuy nhiên, với phần tử cắt ngang vết nứt phần tử chứa đỉnh vết nứt, phần tử CS-DSG3 Luan van 38 bổ sung tương ứng hàm làm giàu bất liên tục hàm suy biến X-FEM Kết số từ việc áp dụng phương pháp XCS-DSG3 so sánh với lời giải tham khảo chứng minh tính xác hiệu phương pháp đề xuất Kiến nghị Mặc dù nghiên cứu đạt số kết trình bày cịn nhiều vấn đề chưa nghiên cứu Vì vậy, tơi đề xuất số hướng nghiên cứu để phát triển tương lai:  Phát triển cho tốn vỏ có vết nứt phương pháp XCS-DSG3  Đề tài đề cập đến dao động tự FGM có vết nứt, ta mở rộng cho tốn động lực học FGM có vết nứt chịu tác động tải trọng  Mở rộng cho vết nứt có dạng toán lan truyền vết nứt Luan van 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bachene M, Tiberkak R, Rechak S (2009) Vibration analysis of cracked plates using the extendedfinite element method Arch Applied Mechanics, 79, pp 249-262 Bletzinger K U, Bischoff M, Ramm E (2000) A unified approach for shear-locking free triangular and rectangular shell finite elements Computers and Structures, 75, pp 321–334 Belytschko T, Black T (1999) Elastic Crack Growth in Finite Element with minimal Remeshing International Journal for numerical methods in Engineering, 45: 601-620 Dolbow J, N Moes, T Belytschko (2000) Modeling fracture in Mindlin – Reissner plates with the extended finite element method International Journal of Solids and Structures, 37: 7161-7163 Huang C.S, O.G McGee III, M.J Chang (2011) Vibrations of cracked rectangular FGM thick plates Composite Structures, 93: 1747-1764 Hosseini-Hashemi Sh, H Rokni Damavandi Taher, H Akhavan, M Omidi (2010) Free vibration of functionally graded rectangular plates using firstorder shear deformation plate theory Applied Mathematical Modelling, 34: 1276-1291 Lyly M, Stenberg R, Vihinen T, (1993) A stable biliear element for the Reissner – Mindlin plate model Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering; 110:343 – 357 Liu G R, Nguyen Thoi Trung (2010) Smoothed Finite Element Methods CRC Press, Taylor and Francis Group, NewYork Nguyen-Xuan H, L.V Tran, T Nguyen-Thoi, H.C Vu-Do (2011) Analysis of functionally graded plates using an edge-based smoothed finite element method Composite Structures, 93: 3019-3039 10 Natarajan S, P.M Baiz, S Bordas, T Rabczuk, P Kerfriden (2011) Natural frequencies of cracked funcitnally graded material plates by the extended finite element method Composite Structures, 93: 3082-3092 11 Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Nguyen-Xuan H, Thai-Hoang C (2012) A cell-based smoothed discrete shear gap method using triangular elements for static and free vibration analyses of Reissner–Mindlin plates International Journal for Numerical Methods in Engineering, 91, pp 705741 Luan van 40 12 Nguyễn Vĩnh Phú, “An object oriented approach to the Extended Finite Element Method with Applications to Fracture Mechanics, ” Master's thesis, EMMC-Ho Chi Minh University of Technology, Vietnam, 2005 13 Reddy J N (2006) Theory and analysis of elastic plates and shells CRC Press: Taylor and Francis Group, NewYork Luan van 41 PHỤ LỤC Code chương trình close all clc format long tic path(path,'./MeshTools') path(path,'./PlotTools') path(path,'./Crackprocessing') path(path,'./Routines') %global variables global L H t global node element elemType numnode numelem global ndof nnel global rho E nu fac Db Ds mfactor global numcrack deltaInc numstep global bcNodes edgNodes global plotmesh plotNode boundary global A B D Cs % Vat lieu FGM global tam %% material and model details % Al/Al2O3 E_m=70e9; E_c=380e9; nu_m=0.3; nu_c=0.3; tam rho_m=2702; rho_c=3800; % % Al/ZrO2-1 % E_m=70e9; % nu_m=0.3; % an_m=23e-6; % k_m=204; % rho_m=2707; % unit N/m2 % he so poisson ko thay doi theo chieu day % kg/m3 E_c=200e9; nu_c=0.3; an_c=10e-6 ; k_c=2.09 ; rho_c=5700; Luan van 42 %% =========================================================== shcof = 5/6;%he so hieu chinh cat L = 1; % a H = 1; % b t = 1/10; %chieu day tam boundary = 'SS' ; %options - SS/CC % ====== MEMBRANE, BENDING, CURVATURE, SHEAR, MASS MATRIX ================= n=1; % membrane matrix A11=@(z)((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_cnu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); % E/(1-v^2) A12=@(z)((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).*((E_cE_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); A66=@(z)((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(2.*(1+((nu_cnu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m))); a11=(quad(A11,-t/2,t/2)); a12=(quad(A12,-t/2,t/2)); a66=(quad(A66,-t/2,t/2)); A=[a11 a12 0; a12 a11 0; 0 a66]; %bending matrix B11=@(z)z.*((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_cnu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); B12=@(z)z.*((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).*((E_cE_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); B66=@(z)z.*((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(2.*(1+((nu_cnu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m))); b11=(quad(B11,-t/2,t/2)); b12=(quad(B12,-t/2,t/2)); b66=(quad(B66,-t/2,t/2)); B=[b11 b12 0; b12 b11 0; 0 b66]; %curvature matrix D11=@(z)z.^2.*((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_cnu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); D12=@(z)z.^2.*((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).*((E_cE_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(1-((nu_c-nu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m).^2); Luan van 43 D66=@(z)z.^2.*((E_c-E_m).*(1/2+z./t).^n+E_m)./(2.*(1+((nu_cnu_m).*(1/2+z./t).^n+nu_m))); d11=(quad(D11,-t/2,t/2)); d12=(quad(D12,-t/2,t/2)); d66=(quad(D66,-t/2,t/2)); D=[d11 d12 0; d12 d11 0; 0 d66]; % shear Cs=shcof*[a66 0; a66]; % mass matrix M11=@(z)(rho_c-rho_m).*(1/2+z./t).^n+rho_m; M12=@(z)z.*((rho_c-rho_m).*(1/2+z./t).^n+rho_m); M22=@(z)z.^2.*((rho_c-rho_m).*(1/2+z./t).^n+rho_m); m11=(quad(M11,-t/2,t/2)); m12=(quad(M12,-t/2,t/2)); m22=(quad(M22,-t/2,t/2)); mfactor=[m11 0 m12; m11 m12 0; 0 m11 0; m12 m22 0; m12 0 m22]; %element detail and mesh generation elemType = 'T3' ; % nnx = 16 ; nnx = 30 ; nny = nnx ; pt1 = [0 0]; pt2 = [L 0]; pt3 = [L H]; pt4 = [0 H]; [node,element] = meshRectangularRegion(pt1,pt2,pt3,pt4,nnx,nny,elemType) ; numnode = size(node,1) ; numelem = size(element,1); % break nnel = ;% number of node per element ndof = ; % dof of node %identify boundary nodes uln = nnx*(nny-1)+1 ; urn = nnx*nny ; Luan van 44 lrn = nnx ; lln = ; cln = nnx*(nny-1)/2+1 ; rightEdge = [lrn:nnx:(uln-1); (lrn+nnx):nnx:urn ]' ; leftEdge = [ uln:-nnx:(lrn+1); (uln-nnx):-nnx:1 ]' ; topEdge = [ uln:1:(urn-1); (uln+1):1:urn ]' ; botEdge = [ lln:1:(lrn-1); (lln+1):1:lrn ]' ; botNodes = unique(botEdge) ; rightNodes = unique(rightEdge) ; topNodes = unique(topEdge) ; leftNodes = unique(leftEdge) ; bcNodes = {botNodes rightNodes topNodes leftNodes} ; edgNodes = {botEdge rightEdge topEdge leftEdge} ; %crack properties % xCr(1).coor =[-0.1 0.5; % 0.51 0.5]; xCr(1).coor =[-0.1 0.5; 0.49 0.5]; deltaInc = ; numstep = 1; numcrack = size(xCr,2) ; % - Plot mesh and check before proceeding plotmesh = 'YES' ; plotNode = 'no' ; if( strcmp(plotmesh,'YES') ) plotNode='no' ; xd = node(:,1); yd = node(:,2) ; plotMesh(node,element,elemType,'b-',plotNode); title(' Domain discretized with finite elements') end %% Tim tam cua tam giac for i=1:numelem sctr = element(i,:); end N=size(node,1); Ne=max(size(element)); tam=zeros(Ne,2); for i=1:Ne if iscell(element)==0 sctr=element(i,:); nnel=length(sctr); Luan van 45 else sctr=element(i); nnel=length(element(i)); end x=node(sctr,1); y=node(sctr,2); xx=sum(x,1)/nnel; yy=sum(y,1)/nnel; tam(i,:)=[xx yy]; end %% Enrdomain = [ ] ; tipElem = [ ] ; splitElem = [ ] ; vertexElem = [ ] ; %loop over number of steps of crack growth for ipas = 1:numstep %find elements within a small region [Enrdomain] = crackDetect(xCr,ipas,tipElem,splitElem,vertexElem,Enrdomain) ; %find type of element: tip, split, vertex [typeElem,elemCrk,tipElem,splitElem,vertexElem,xTip,xVertex,enrichNode]= nodeDetect(xCr,Enrdomain) ; %plot mesh with crack and enriched nodes plotCrack(xCr,enrichNode,plotmesh); %initialize stiffness matrix, force vector %each split node is enriched by ONE function, H(x) %each tip node is enriched by FOUR functions, B_i(x), i=1,2,3,4 %total dof = numnode*ndof + numsplitnode*1*ndof + numtipnode*4*ndof split = ; tip = ; for k=1:size(xCr,2) split = split + size(find(enrichNode(:,k) == 2), 1); % tong so nut lam giau theo ham Heaviside (loai 2) tip = tip + size(find(enrichNode(:,k) == 1),1 ) ; end totalUnknown = numnode*ndof + split*1*ndof + tip*4*ndof ; K = sparse(totalUnknown,totalUnknown) ; M = sparse(totalUnknown,totalUnknown) ; % -%stiffness matrix computation pos = posi(xCr,numnode,enrichNode) ; [K,M] = kmXFEM(enrichNode,elemCrk,typeElem,xTip,xVertex, splitElem,tipElem,vertexElem,pos,xCr,K,M) ; Luan van 46 % % % % % % %apply boundary condition [K,M] = bcApplyPlate(K,M) ; %non-dimensionalize the stiffness matrix ak = full(K) ; am = full(M) ; [eigVec,eigVal]=eig(ak,am) ; %% MODIFIED bcdof=bc_condition(bcNodes,boundary); [eigVal,eigVec]=eigens(K,M,bcdof) ; %non-dimensionalize the frequencies eigVal =sqrt(eigVal); eigVal = diag(eigVal*(H^2/t)*sqrt(rho_c/E_c)); numModes = ; [eigV,ii] = sort(real(eigVal)) ; ii = ii(1:numModes) ; for i=1:numModes Freq(i) = eigV(end,i); end Freq1 = Freq break %mode shape id = ii(1:numModes) for i=1:length(id) U = eigVec(:,id(i)) scale = ; z = U(3:5:5*numnode-2)*scale ; XYZ = [node(:,1),node(:,2),z] figure(i+1) clf; hold on plotMesh(XYZ,element,elemType,'b-',plotNode); view(20,150) end Luan van 47 save DuLieu eigVec eigVal node element numelem numnode plotNode elemType typeElem splitElem tipElem elemCrk pos id end Luan van S K L 0 Luan van