THÔNG TIN TÀI LIỆU
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHANH KHI GIẢNG DẠY BÀI TỐN GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH KHỐI 12 ÔN THI TNTHPTQG Người thực hiện: Nguyễn Bích Thuỷ Chức vụ: Phó Hiệu trưởng SKKN (thuộc lĩnh vực mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2022 skkn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………………………………………………………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân đồng nghiệp….…………………………………………… …….… 19 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận .19 3.2 Kiến nghị 19 skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài - Trong năm gần gần đây, Bộ giáo dục đào tạo sử dụng hình thức trắc nghiệm kỳ thi THPT Quốc gia mơn Tốn với số lượng 50 câu hỏi, thời gian làm 90 phút Đối với hình thức trắc nghiệm khách quan khó khăn lớn học sinh bị áp lực thời gian học sinh phải vận dụng kiến thức kĩ để tìm đáp án khoảng thời gian tương đối ngắn Nhiều dạng Toán xuất hiện, buộc người học phải có tư sáng tạo hồn thành tốt thi thời gian quy định, có tốn tính góc hai mặt phẳng hình học khơng gian Tính góc hai mặt phẳng khơng gian ln dạng tốn tất đề thi đại học học sinh phổ thông, kể học sinh giỏi Trong đề thi TNTHPT, kỳ thi kiểm tra lực đánh giá tư đề thi học sinh giỏi tỉnh thành, toán tính góc hai mặt phẳng ln xuất Mặc dù đa phần tập quy phương pháp tính góc truyền thống góc hai đường vng với hai mặt phẳng, tìm giao tuyến hai mặt phẳng nhiên với thời gian giải đề thi trắc nghiệm nay, việc sử dụng cơng thức tính nhanh giúp học sinh tiết kiệm nhiều thời gian Chính vậy, chọn đề tài “SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHANH KHI GIẢNG DẠY BÀI TỐN GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHO HỌC SINH KHỐI 12 ÔN THI TNTHPTQG” làm đề tài nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng ghi nhớ cơng thức tính nhanh góc mặt phẳng từ vận dụng linh hoạt vào giải toán trắc nghiệm, nhằm giúp học sinh tiết kiệm thời gian làm bài, đạt hiệu cao kì thi TNTHPT , kỳ thi đánh giá lực, tư 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 12 lớp C3,C5,C10 khóa 2019-2022 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, thống kê đưa toán tổng quát Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Kiến thức Định nghĩa : Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng b a Q P Hình Cách xác định góc hai mặt phẳng Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng P ; Q Ta cần dựng mặt phẳng vng góc với d Lấy A mp Q , dựng AB mp P B P Vẽ BH vng góc với d AH vng góc d góc hai mặt phẳng P Q Vậy Q A d α H B P Hình 2 Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg 2.2.Thực trạng vấn đề cần giải - Trong trình giảng dạy khả học hình khơng gian học sinh cịn chưa tốt Đa số học sinh gặp tốn tính góc hai mặt phẳng lúng túng, khơng làm có làm nhiều thời gian Trong đề thi THPT năm gần xuất câu tính góc đường, mặt phẳng Do học sinh lo ngại tỏ sợ hãi trước tốn - Học sinh ý đến tính chất hình học không gian, không nắm rõ mục tiêu, chất phương pháp tính góc từ hai mặt phẳng Do em nhiều thời gian làm mà hiệu lại không cao - Việc học nhiều môn gây cho em học sinh cảm giác chán nản, không tập trung học tập Các hình thức dạy học truyền thống làm hạn chế phát triển kỹ sống toàn diện học sinh, học sinh giảm hứng thú thiếu say mê học tập nói chung mơn Tốn nói riêng 2.3.Các biện pháp tiến hành để giải - Thông qua việc xây dựng, giải số tốn tổng qt, mơ hình quen thuộc, giúp học sinh rút cách nhận diện tốn khó, quy lạ quen để nắm cách xử lý cho gọn gàng, tránh dài dòng lê thê, thời gian CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp giải: Tính góc hai mặt bên SAC SBC Cách 1: Tính góc đường thẳng a b vng góc với mặt phẳng SBC Cách 2: Dựng đường cao SH ABC Lấy điểm M thuộc AC , dựng MN HC Lại có: Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg Dựng MK SC SC MKN SAC ; SBC MK , KN Cách 3: Dựa vào hình vẽ ta có Như vậy: Ngồi cách dựng tính thơng thường ta hồn tồn đưa tốn trở tốn khoảng cách khơng gian Cách 4: Suy : Cách 5:: Sử dụng định lý hình chiếu vng góc Định lý : Gọi diện tích đa giác tích hình chiếu hai mặt phẳng mặt phẳng mặt phẳng diện góc Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết Tìm số đo góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) A B C D Lời giải: Gọi M trung điểm SA S Tam giác SAB cân B suy M Tam giác SAD cân D suy SAB ; SAD BMD Từ 1 , suy SA BMD Tam giác SBO BO SB SO vuông O, B có A O a C Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn D Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg Suy mà vuông cân Vậy Chọn D Ví dụ 2: Cho hình chóp có SA vng góc với mặt phẳng ABC tam giác vng B có hai mặt phẳng Biết , đáy tính góc A B C D Lời giải: Cách 1: Dựng hình tính tốn, chuẩn hóa S F Dựng BH AC BH SAC BH SC K Dựng E SBC ; SAC HKB A H C Ta có: AC AB BC Khi đó: sin KCH HK SA HC SC SA SA2 AC B 1 HK 3 Mặt khác: Vậy góc hai mặt phẳng Cách 2: Chọn C , dựng Trong Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy hình vng tâm tính độ dài đoạn thẳng để góc mặt phẳng A B C D Lời giải: Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn cạnh Biết Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg Ta có: S BD AC BD SAC BD SC BD SA Kẻ BI SC SC BID A I D Vậy SBC ; SCD BI ; ID 600 O OI SC Dễ thấy 1 BIO BID B C 300 Trường hợp 1: BID 600 BIO Ta có: ( (vơ lý) cạnh góc vuông, cạnh huyền tam giác vuông ) Trường hợp 2: Ta có: Mặt khác: Chọn A Cách 2: , đặt chuẩn hóa đó Khi Chọn A Ví dụ 4: Cho hình chóp Gọi có đáy góc hai mặt phẳng hình vng Giá trị A B C D Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg Lời giải: Cách 1: Ta có S Vẽ AN SD N AN SCD N Tương tự vẽ AM SB M AM SBC M Giả sử AB SA Ta có SB SD 3 A 12 , AM AN D H O B C Lại có Chọn B Cách 2: hình vng nên tâm Mặt khác Dựng ta tính góc Ta có: dễ thấy vuông Do trung điểm vuông Chọn B Cách 3: Bạn đọc xem lại ví dụ ta có: Trong áp dụng với Chọn B Ví dụ 5: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật với Biết tính cosin góc hai cạnh bên mặt phẳng A B C D Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg Lời giải: Chuẩn hóa S a SB SA AB 2 H Áp dụng cơng thức ta có: sin d B; SCD d B; SC SA AD SA AD : d A; SCD d B; SC SB.BC SB BC 2 A D K 3 14 : 33 3 B cos Chọn A C Ví dụ 6: [Đề THPT QG 2018] Cho hình lập phương có tâm Gọi tâm hình vng điểm thuộc đoạn thẳng cho Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng A B C D Lời giải: Do AB //C ' D ' nên giao tuyến MAB MC ' D ' đường thẳng d qua M song song với AB Các tam giác MAB, MC ' D ' cân M Gọi H , K trung điểm AB C ' D ' A' D' I K M B' C' O MH AB //d MHK d Ta có: MK C ' D ' //d Ta tính cosin góc Đặt AB OI 3, OM 2, MI Khi A D H I' B C Chọn D Ví dụ 7: Cho hình chóp cạnh lấy điểm hai mặt phẳng có đáy tam giác cạnh cho diện tích tam giác Trên Tính góc Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg A B Lời giải: Ta có: S ABC C D S a2 Gọi MBC ; ABC M Do ABC hình chiếu tam giác MBC mặt C A phẳng ABC nên B Chọn B Ví dụ 8: Cho hình chóp Gọi có đáy hình vng cạnh trung điểm diện có diện tích mặt phẳng cắt khối chóp theo thiết Tính góc mf A B mặt phẳng C D Lời giải: Đặt NCD ; ABCD S Do CD / / AB NCD cắt SAB theo thiết diện N NM / / AB MN đường trung bình tam giác SAB Khi thiết diện tứ giác MNDC M A D Gọi H hình chiếu M mặt phẳng ABCD S AHCD H trung điểm AB B a 2a 2a 3a Do tứ giác hình chiếu tứ giác Do Ví dụ 9: Cho hình chóp vng cân đỉnh Tính cosin góc A H C mặt phẳng Chọn A có vng góc với đáy, tam giác trung điểm Gọi B C D Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg S Lời giải: Gọi E , F trung điểm AB AC N Ta có: Chứng minh được: M A AMN có AM AN MN Do cos Ví dụ 10: 2 C F E SAEF AM : Chọn A SAMN Cho hình chóp tam giác B có , Tính cosin góc hai mặt phẳng A B C D Lời giải: Rõ ràng tốn làm theo phương phán thơng thường khó tính góc hai mặt phẳng Áp dụng cơng thức tính nhanh thể tích , , S Thay vào cơng thức tính nhanh ta được: A C B 10 Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg Ví dụ 11 Cho hình chóp , có đáy hình bình hành Gọi điểm Tính góc hai mặt phẳng A B trung C D Lời giải: S M A B N P D C Ta có Suy Tính nhanh theo tứ diện , Tam giác Tam giác có có Thay vào cơng thức tính nhanh ta được: Ví dụ 12 Cho tứ diện có Tính cosin góc hai mặt phẳng 11 Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg A B C D Lời giải: S H B D Ta có C Dựng Vì hình chữ nhật, Ta có Tam giác có Tam giác có , , Suy 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm khóa học 2016-2019, việc xác định, tính góc hai mặt phẳng tốn nhiều thời gian, đặc biệt học sinh làm toán trắc nghiệm hiệu không cao Lớp 12C3 12C7 Tổng Số 55 50 8.0 – 10.0 SL % 3,5 5,4 6,5 – 7,9 SL % 16 34,8 12 30,9 12 5.0 – 6.4 SL % 26 46,4 22 40 3.5 – 4.9 SL % 11 21,3 13 23,7 Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn 0.0 – 3.4 SL % 0 0 Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg 12C10 55 0 15 30 15 20 0 Dưới Khá 122 chiếm Tổng 160 Trên Khá 38 chiếm 23,75% 76,25% Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm khóa học 2019-2022 tơi thu kết khả quan 8.0 – 10.0 6,5 – 7,9 5.0 – 6.4 3.5 – 4.9 0.0 – 3.4 Tổng Lớp Số SL % SL % SL % SL % SL % 12C3 55 18 32,1 32 57,1 10,8 0 0 12C5 50 14 28 28 56 16 0 0 12C12 55 15 27 30 54 10 18 0 0 Dưới Khá 26 chiếm Tổng 160 Trên Khá 134 chiếm 83,75% 16,25% Kết chung Chuyên đề thực giảng dạy tham gia dạy khối 12 luyện thi đại học ba năm gần Trong trình học chuyên đề này, học sinh thực thấy tự tin, biết vận dụng gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm trình bày cách khái quát lý thuyết tổng quan phương pháp cần nhớ nhanh ghép trục cho hàm số hợp Với cách trình bày trên, tơi cố gắng giới thiệu cách cụ thể dạng thơng qua ví dụ minh họa phần giúp thầy cô giáo em học sinh tham khảo để giải tốt toán thuộc loại đề thi Đại học, cao đẳng đề thi Học sinh giỏi tỉnh thành Xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Tốn trường Trung Học Phổ Thơng Hàm Rồng- Thanh Hóa đóng góp ý kiến quý báu buổi sinh hoạt chuyên đề 3.2 Kiến nghị Đối với sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa: Thơng qua việc chấm sáng kiến kinh nghiệm hàng năm, lựa chọn đề tài có chất lượng cần phổ biến rộng rãi cho trường tỉnh để trường có điều kiện tương đồng triển khai áp dụng hiệu Nên đưa SKKN có chất lượng vào mục “tài nguyên” sở để giáo viên toàn tỉnh tham khảo cách rộng rãi Đối với trường THPT Hàm Rồng : Mỗi sáng kiến kinh nghiệm lựa chọn cần phổ biến rộng rãi phạm vi tổ Cần có lưu thư viện để giáo viên học sinh tham khảo 13 25 50 Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết mặt đạt được, hạn chế hướng phát triển đề tài cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện sáng kiến Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm hỗ trợ việc áp dụng rộng rãi sáng kiến lớp học Phản hồi mặt tích cực mặt hạn chế sáng kiến Đề tài nghiên cứu thời gian hạn chế, mong Hội đồng khoa học Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 04 năm 2022 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Nguyễn Bích Thuỷ 14 Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Tấn Bài tập nâng cao số chuyên đề Hình Học 12 NXB Giáo dục, 2012 Văn Như Cương Bài tập hình học nâng cao 12 NXB Giáo dục, 2008 Các đề thi đại học 2005 – 2021, đề thi thử trường ĐH, trường THPT nước Diễn đàn http://k2pi.net http://mathvn.com http://hmath360.blogspot.com 15 Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Bích Thuỷ Chức vụ đơn vị cơng tác: Phó Hiệu trưởng trường THPT Hàm Rồng TT Cấp đánh giá xếp loại(Phòng, Sở, Tỉnh ) Tên đề tài SKKN Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại BD số nét đặc trưng tư sáng Sở tạo qua PP khai thác cấu trúc logic GD&ĐT toán Thanh Hoá (QĐ số 132/QĐKH-GDCN ngày 19/4/2005) C 20032004 Một số biện pháp giúp HS khắc phục sai Sở lầm, khó khăn gây hứng thú học tập GD&ĐT phần PP toạ độ MP Thanh Hoá (QĐ số 392/QĐ-SGD ngày 11/9/2008) C 20072008 Dùng tiếp tuyến kết vợi với vị trí tương Sở đối tiếp tuyến với dồ thị HS để GD&ĐT chứng minh BĐT (QĐ số 904/QĐ- Thanh Hoá SGD&ĐT ngày 14/2/2010) B 20092010 Tạo hứng hứng thú học tập phần Sở phương pháp toạ độ MP cho HS GD&ĐT lớp 10 Thanh Hoá (QĐ số 871/QĐ-SGD&ĐT ngày 18/12/2012) B 20112012 Một số biện pháp quản lý công Sở tác GD đạo đức cho HS THPT Hàm GD&ĐT Rồng Thanh Hoá (QĐ số 988/QĐ-SGD&ĐT ngày 03/11/2015) B 20142015 16 Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg skkn Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg Skkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqgSkkn.su.dung.cac.phuong.phap.tinh.nhanh.khi.giang.day.bai.toan.goc.giua.hai.mat.phang.trong.hinh.hoc.khong.gian.cho.hoc.sinh.khoi.12.on.thi.tnthptqg
Ngày đăng: 27/12/2023, 02:40
Xem thêm: