Ch¬ng 1 PhÇn i h×nh häc häa h×nh Ch¬ng 1 PhÐp chiÕu vµ ®å thøc 1 1 Kh¸i niÖm vµ c¸c lo¹i phÐp chiÕu 1 1 1 Kh¸i niÖm Trong kh«ng gian, ta lÊy mét mÆt ph¼ng P vµ mét ®iÓm S kh«ng phô thuéc mÆt ph¼ng P[.]
Phần i hình học-họa hình Chơng Phép chiếu đồ thức 1.1 Khái niệm loại phép chiếu 1.1.1 Khái niệm Trong không gian, ta lấy mặt phẳng P điểm S không phụ thuộc mặt phẳng P Gọi mặt phẳng P mặt phẳng hình chiếu, điểm S tâm chiếu Từ điểm A không gian kẻ đờng thẳng SA , đờng cắt mặt phẳng P điểm A, làm nh ta đà thực phép chiếu (hình 1-1) Đờng thẳng SA gọi đờng thẳng chiếu hay tia chiếu điểm A gọi hình chiếu điểm A từ tâm S lên mặt phẳng P Vậy, hình chiếu điểm A điểm A, A thuộc mặt phẳng P A trùng với A Hiển nhiên A không hình chiếu điểm A mà hình chiếu điểm đờng thẳng SA S S A A B C P A' P A'B'C' H×nh 1-1 1.1.2 Các loại phép chiếu a Phép chiếu xuyên tâm: Hình chiếu xuyên tâm điểm A giao điểm A đờng thẳng SA mặt phẳng hình chiếu P Nói chung hình chiếu xuyên tâm đờng thẳng k qua hai điểm A, B đờng thẳng k qua hình chiếu A, B hai điểm A,B (h×nh 1-2) S k A B A' B' P k Hình 1-2 b Phép chiếu song song: - Định nghĩa: Trong không gian lấy mặt phẳng P (gọi mặt phẳng hình chiếu) đờng thẳng s cắt P (gọi hớng song song) Hình chiếu song song điểm A giao điểm A đờng th¼ng A, song song víi s - TÝnh chÊt: + Hình chiếu song song đờng thẳng d đờng thẳng d + Hai đoạn thẳng song song AB CD có hình chiếu hai đoạn thẳng AB,CD AB// CD AB:CD=AB:CD (hình 1-3) D B A C A' C' B' P D' H×nh 1-3 + NÕu hình chiếu điểm thẳng hàng ABC điểm thẳng hàng ABC tỷ số AB:CD= AB:CD + Một đờng thẳng song song với hớng chiếu có hình chiếu suy biến thành điểm + Một đoạn thẳng AB song song với mặt phẳng hình chiếu hình chiếu AB song song đoạn thẳng (hình 1-4) B A A' B' P Hình 1-4 + Điểm M thuộc mặt phẳng hình chiếu hình chiếu M trùng với M, đờng thẳng d thuộc mặt phẳng hình chiếu hình chiếu d trùng d c Phép chiếu thẳng góc - Định nghĩa: Phép chiếu thẳng góc (vuông góc) phép chiếu song song, có hớng chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình chiếu P - Tính chất: Phép chiếu thẳng gãc cã tÝnh chÊt cđa phÐp chiÕu song song vµ điều kiện có đủ để góc vuông chiếu thẳng góc thàng goc vuông góc vuông có cạnh song song với mặt phẳng hình chiÕu P (h×nh 1-5) B A C A' B' C' P Hình 1-5 1.2.3 Những yêu cầu vẽ kỹ thuật a Tính tơng đơng hình học: Yêu cầu vẽ kỹ thuật vẽ phải thỏa mà tính tơng đơng hình học, tức phải đợc xây dựng cho theo ngời ta dựng lại hình không gian mà biểu diễn Nhng, phép chiếu công cụ để xây dựng vẽ không thiết lập mối liên hệ đối yếu tố không gian với yếu tố mặt phẳng, phép chiếu điểm tia chiếu hình chiếu trùng ngợc lại điểm mặt phẳng hình chiếu xem hình chiếu vô số điểm đờng thẳng qua điểm tâm chiếu b Tính trực quan: Ngoài tính tơng đơng hình học, kỹ thuật ngời ta muốn vẽ phải có tính trực quan, tức hình biểu diễn vẽ phải gây lên đợc ấn tợng giống nh ngời ta quan sát trùc tiÕp thùc tÕ Muèn cã tÝnh trùc quan điểm đờng thẳng thực tế phải đợc biểu diễn điểm đờng thẳng vẽ 1.2.4 Những phơng pháp biểu diễn thờng gặp: a Phơng pháp hai hình chiếu thẳng góc (phơng pháp Môngjơ): Hình biểu diễn xây dựng phơng pháp đợc dùng nhiều kỹ thuật thờng phận vẽ b Phơng pháp hình chiếu trục đo: Trong vẽ khí, bên cạnh hình chiếu thẳng góc thờng ngời ta vẽ thêm hình biểu diễn xây dựng phơng pháp hình chiếu trục đo để tăng thêm tính trục quan cho vẽ c Phơng pháp hình chiếu phối cảnh: Phơng pháp đợc dùng nhiều vẽ xây dựng kiến trúc, để biểu diễn công trình xây dựng lớn d Phơng pháp hình chiếu có số: Phơng pháp đợc dùng kỹ thuật xây dựng, đo đạc, để diễn tả công trình đất, miền rộng lớn Câu hỏi tập Câu Nêu khái niệm loại phép chiếu? Câu Nêu định nghĩa tính chất phép chiếu song song? Câu Cho hình chiếu song song mặt phẳng tâm O hai đỉnh A, B hình bình hành ABCD O, A, B (hình 1-6) HÃy vẽ hình chiếu hình bình hành mặt phẳng đó? B' O' A' Hình 1-6 Câu Cho nguồn sáng S, mặt phẳng nằm ngang P, mặt phẳng nghiêng Q sào thẳng đứng AB có BP (hình 1-7) Vẽ bóng cấy sào AB đổ lên P Q nguồn sáng S gây ra? Biết hình chiếu theo phơng thẳng đứng S lên P Q lần lợt S1 S2 S A Q B S1 P S2 Hình 1-7 Câu Cho hai mặt phẳng P Q cắt theo đờng thẳng g, điểm A, B, C thuộc mặt phẳng Q đờng thẳng a, b, c thuộc P (hình 1-8) Xác định tâm chiÕu S cho h×nh chiÕu cđa A, B, C từ S lên P lần lợt thuộc a, b, c? Q g c a b P Hình 1-8 Chơng ii điểm, đờng thẳng, mặt phẳng 2.1 Điểm 2.1.1 Đồ thức điểm hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu thẳng góc a Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu không gian Trong không gian, lấy hai mặt phẳng vuông góc với (hình 2-1): - P1 thẳng đứng gọi mặt phẳng hình chiếu đứng - P2 nằm ngang gọi mặt phẳng hình chiếu - Hớng chiếu vuông góc với P1 gọi hớng chiếu đứng - Hớng chiếu vuông góc với P2 gọi hớng chiếu - Đờng thẳng x (giao tuyến mặt phẳng hình chiếu này) gọi trục chiếu x - Hai mặt phẳng hình chiếu P1, P2 chia không gian làm góc phần t I, II, III, IV - Trục x chia P1 làm hai nửa: nửa trên, nưa díi; chia P2 lµm hai nưa: nưa tríc vµ nöa sau P1 II I x III IV P2 Hình 2-1 b Xây dựng đồ thức Giả sử có điểm A góc phần t thứ I Chiếu vuông góc điểm A lên mặt P1 đợc hình chiếu đứng A1; lên mặt P2 đợc hình chiếu A2; Ax giao điểm đờng thẳng c với mặt phẳng (AA1AxA2); A2A=AxA1 gọi độ cao điểm A; A1A=AxA2 gọi độ xa điểm A (hình 2-2a) P1 P1P2 A1 A1 A II I Ax Ax x x III IV A2 A2 P2 H×nh 2-2a H×nh 2-2b Quay mặt phẳng P2 quay quyanh trục x, trùng với mặt ph¼ng P1 cho nưa tríc P2 tíi trïng víi nưa díi P1, nưa sau P2 trïng víi nưa trªn P1 Ta có mặt phẳng đồ thức P1P2 Khi mặt phẳng đồ thức A xA1x AxA2x, nên điểm A1AxA2 trở thành thẳng hàng (hình 2-2b) c Định nghĩa tính chất - Định nghĩa: Đồ thức điểm A hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu P1P2 theo x cặp điểm A1, A2 nằm đuỷongf thẳng vuông góc với x mặt phẳng P 1P2; Đờng thẳng A1A2 vuông góc với trục x gọi đờng dóng đứng - Tính chất: Hai hình chiếu điểm A hai điểm nằm đờng dóng vuông góc với trục x Từ đồ thức điểm a, xác định lại ®iĨm A nhÊt kh«ng gian nh sau: Tõ mặt phẳng đồ thức P 1P2, lấy mặt phẳng P2 quay quanh trục x tới vị trí P2P1 Đờng thẳng qua A2P2 cắt đờng thẳng qua A1P1 điểm A Mặt phẳng phân giác mặt phẳng qua trục x chia đôi góc phần t I III; Mặt phẳng phân giác mặt phẳng qua trục x chia đôi góc phần t II IV (hình 2-3a) B1 E1 A1 P1 fg2 G1 C2 B2 fg1 x H1 x G2 D1 F1F2 A2 P2 C1 D2 H2 E2 Hình 2-3a Hình 2-3b Trên hình 2-3b điểm A góc phần t I; điểm B goc phần t II; điểm C góc phần t thứ III điểm D góc phần t IV; điểm E thuộc mặt phẳng phân giác (hai hình chiếu đối xứng qua trục x); điểm F thuộc mặt phẳng phân giác (hai hình chiếu trùng nhau); điểm G thuộc mặt phẳng hình chiếu P2; điểm H thuộc mặt phẳng hình chiếu đứng 2.1.2 Đồ thức điểm hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu thẳng góc a Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu không gian: Trong không gian với mặt phẳng P 1, P2 ngời ta lấy mặt phẳng P3 vuông góc với trục x, tức vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu P 1, P2; mặt phẳng P3 đợc gọi mặt phẳng hình chiếu cạnh; hớng chiếu vuông góc với P3 gọi hớng chiếu cạnh P1 P2 = trục x; P2 P3 = trôc y; P1 P3 = trôc z tạo thành hệ trục tọa độ oxyz P1 z x o y P2 P3 Hình 2-4 b Xây dựng đồ thức: Giả sử có điểm A góc phần t thứ I Chiếu vuông góc điểm A lên mặt P1 đợc hình chiếu đứng A1; lên mặt P2 đợc hình chiếu A2; lên mặt P3 đợc hình chiÕu c¹nh A3 z P1 z Az A1 P1P2P3 A1 A x A3 Ax x o A2 A3 Az Ay Ax o y Ay y A2 P2 Ay y P3 Hình 2-5a Hình 2-5b Trong đó: - Ax giao điểm trục x mặt phẳng (AA1A2) - Ay giao điểm trục y mặt phẳng (AA2A3) - Az giao điểm trục y mặt phẳng (AA1A3) Điểm A có khoảng tọa độ: - A3A=AzA1=AyA2=OAx=XA (gọi độ xa cạnh ®iĨm A) - A1A=AxA2=AzA3=OAy=YA (gäi lµ ®é xa cđa ®iĨm A) - A2A=AxA1=AyA3=OAz=ZA (gọi độ cao điểm A) Quay P2 quanh trơc x, tíi trïng víi P1; quay P3 quanh trục z, tới trùng với P1; mặt phẳng đồ thức mặt phẳng P1P2P3 c Định nghĩa tính chất: - Định nghĩa: Đồ thức điểm A hệ thống mặt phẳng hình chiếu thẳng góc P1P2P3 gåm ®iĨm A1, A2, A3 cïng víi hai đờng thẳng vuông góc với x(y)z(y) - Tính chất: Hai điểm A1, A2 nằm đờng dóng x; A1, A3 nằm đờng dóng x; AxA2=AzA3 2.2 Đờng thẳng 2.2.1 Đồ thức ®êng th¼ng a LËp ®å thøc cđa ®êng th¼ng: Cã thể lập đồ thức đờng thẳng k hệ hai mặt phẳng hình chiếu nh sau (hình 2-6): Lấy hai điểm A, B thuộc k, tìm hình chiếu A B hai mặt phẳng hình chiếu đa hai mặt phẳng hình chiếu tới trùng P1P2 Trên hai mặt phẳng trùng P1P2 vẽ hai đờng thẳng k1(A1B1) k2(A2B2) đợc đồ thức đờng th¼ng k P1 A1 k1 B1 A1 B k B1 k1 A Bx Ax A2 k2 Bx Ax x B2 B2 k2 P2 x A2 Hình 2-6 b Định nghĩa: Đồ thức đờng thẳng k(AB) cặp đờng thẳng k1(A1B1) k2(A2B2) mặt phẳng đồ thức P1P2 , hình chiếu đứng k1 đờng thẳng nối hình chiếu đứng A1 với hình chiếu đứng B1 hai điểm AB; hình chiếu k đờng thẳng nối hình chiếu A2 với hình chiếu B2 hai điểm AB 2.2.2 Các đờng thẳng có vị trí đặc biệt mặt phẳng hình chiếu Một đờng thẳng song song, vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng đờng thẳng có vị trí đặc biệt mặt phẳng hình chiếu a Đờng thẳng đồng mức: Đờng thẳng nằm song song với mặt phẳng hình chiếu đờng thẳng đồng mức, gồm có: đờng bằng, đờng mặt, đờng cạnh - Đờng thẳng song song với P2 gọi đờng b»ng (h×nh 2-7) h(AB) th× h1(A1B1)//x; h2(A2B2)//=AB; (AB, P1)=(A2B2,x) P1 A1 B1 h1 A Bx Ax A2 h2 A1 B h Bx Ax x B2 h2 P2 B1 h1 x B2 A2 Hình 2-7 - Đờng thẳng song song với P1 gọi đờng mặt f(AB) f2(A2B2)//x; f1(A1B1)//=AB; (AB, P2)=(A1B1,x) P1 A1 f1 B1 A1 B B1 f1 f A Ax A2 Bx x f2 B2 Bx Ax A2 f2 x B2 P2 Hình 2-8 - Đờng thẳng song song với P3 gọi đờng cạnh p(AB) hình chiếu đứng hình chiếu vuông góc với trục x (hình 2-9), hình chiếu cạnh p3(A3B3)//=AB; (AB, P2)=(AB, P1) )=(A3B3, z) z P1 z p1 A1 B1 A1 p1 A A1 p3 o p x A2 B p3 B1 B3 x B1 P3 P2 B2 p2 A3 o A2 p2 B2 y y y H×nh 2-9 b Đờng thẳng chiếu: Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đợc gọi đờng thẳng chiếu, có đờng thẳng: đờng thẳng chiếu đứng, đờng thẳng chiếu bằng, đờng thẳng chiếu cạnh - Đờng thẳng chiếu đứng AB đờng thẳng vuông góc với P1 (hình 2-10), hình chiếu đứng A1B1, hình chiếu A2B2x A2B2//=AB P1 A1k A1k A k A2 B2 x x B A2 k2 P2 B2 k2 Hình 2-10 - Đờng thẳng chiếu AB đờng thẳng vuông góc với P2, hình chiếu đứng A2B2, hình chiếu A1B1x A1B1//=AB (h×nh 2-11) P1 A1 f1 A B1 f A1 f1 B1 x x B A2f P2 A2f Hình 2-11 - Đờng thẳng chiếu cạnh AB đờng thẳng vuông góc với P3, hình chiếu đứng A3B3, hình chiếu A1B1 A2B2//x=AB (hình 2-12) z P1 A3p z p A1 B1 A1 p1 B1 A3p p B A x x o o y p2 B2 A2 P3 P2 A2 y H×nh 2-12 p2 B2 y 2.2.3 Điểm thuộc đờng thẳng a Mệnh đề 1: Một điểm C thuộc đờng thẳng (AB) hình chiếu điểm C phải thuộc hình chiếu tên ®êng th¼ng (AB) Khi Êy cïng tháa m·n tØ sè chiều dài đoạn thẳng hình chiếu tỉ số chiều dài đoạn thẳng tơng ứng h×nh chiÕu (h×nh 2-13): A1B1:B1C1= A2B2:B2C2 P1 A1 C1 B1 A1 B C1 B1 C A x A2 C2 x B2 A2 P2 C2 B2 H×nh 2-13a H×nh 2-13b b MƯnh ®Ị 2: - MƯnh ®Ị 2a: NÕu ®å thức điểm đờng thẳng đờng cạnh thoả mÃn: Hình chiếu đứng điểm thuộc hình chiếu đứng đờng thẳng hình chiếu điểm thuộc hình chiếu đờng thẳng (tất 10