(LUẬN văn THẠC sĩ) phương trình sai phân, một số ứng dụng và định tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———- * ——— NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ ĐỊNH TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ ĐỊNH TÍNH Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội - Năm 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu 1 Phương trình sai phân vài ứng dụng 1.1 1.2 1.3 Sai phân phương trình sai phân 1.1.1 Thang thời gian Z sai phân 1.1.2 Khái niệm phương trình sai phân Phương trình sai phân R1 vài ứng dụng 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số 1.2.2 Một vài ứng dụng Phương trình sai phân tuyến tính Rp 13 1.3.1 Nghiệm tổng quát hệ 14 1.3.2 Nghiệm tổng quát hệ không 16 1.3.3 Ứng dụng kết R1 cho phương trình Rp 18 1.3.4 Nghiệm hệ dừng qua vector riêng 22 Nghiên cứu định tính phương trình sai phân 26 2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân 26 2.2 Phương pháp nghiên cứu định tính 28 2.2.1 Phương pháp thứ Lyapunov 28 2.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 38 2.2.3 Phương pháp bất đẳng thức 43 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh Bảng ký hiệu ρ(A) - tập giải tốn tử tuyến tính A σ(A) - tập phổ tốn tử tuyến tính A Φ(n, m) - ma trận hệ K - lớp hàm Hahn iii (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh Mở đầu Các trình với thời gian liên tục (t ∈ R) Toán học lĩnh vực khác nghiên cứu nhiều Gần đây, thang thời gian tổng quát ý nghiên cứu lý thuyết khai thác ứng dụng Thang thời gian rời rạc cách đều, thường quy tập số nguyên loại thang thời gian rời rạc đơn giản tiện lợi, sử dụng nhiều việc thu thập, xử lý số liệu Luận văn nghiên cứu đối tượng thay đổi thang thời gian này, chúng gọi hệ động lực dạng sai phân Việc giải tường phương trình vi phân (các lớp thơng dụng) nói chung đơn giản nhiều so với phương trình sai phân có dạng tương tự Việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình sai phân khó hơn, cơng cụ so với phương trình vi phân dạng Một số cơng thức hồn tồn xác đinh, có biểu thức để tính tốn khó thực thực tế Ví dụ, nghiệm phương trình x(n + 1) = f (n, x(n), x(n − 1), , x(n − k + 1)) với điều kiện ban đầu (n0 , x0 ), x0 = (x00 , x0−1 , x0−2 , , x0−k+1 )(x0i ∈ Rp ) thiết lập cách dễ dàng phương pháp truy hồi (xem [2]) Tuy nhiên công thức nghiệm nói chung khó tính tốn thực hành Khi số bước lớn biểu thức truy hồi cồng kềnh Luận văn muốn tìm số trường hợp riêng số ví dụ cụ thể mà cơng thức tổng qt viết chi tiết đến thành phần vector phần tử ma trận, Luận văn (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh Mở đầu giành phần để tìm hiểu dáng điệu tiệm cận nghiệm vài loại phương trình sai phân Cấu trúc luận văn sau: Chương trình bày kiến thức tổng quan, phương trình sai phân vài ứng dụng Chương trình bày số định tính, chủ yếu tính ổn định phương trình sai phân, phương pháp nghiên cứu tính ổn định Do em bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu nên luận văn khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Kính mong thầy đồng nghiệp bảo lượng thứ Luận văn thực hướng dẫn PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp em xin cảm ơn thầy giúp đỡ em việc nắm bắt kiến thức chuyên ngành việc định hình, hồn thiện luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại Học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN kiến thức quý em nhận thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn thầy cô, bạn Xemina tổ Giải tích, ĐHKHTN Cảm ơn bạn tập thể lớp Cao học giải tích Cám ơn gia đình, người thân lời động viên, khích lệ Hà Nội tháng 12 năm 2011 Nguyễn Thị Mỹ Hằng (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng 1.1 1.1.1 Sai phân phương trình sai phân Thang thời gian Z sai phân Ta làm việc nhiều với trình với thời gian liên tục (t ∈ R) Nhưng thực tế số liệu thu thập cần xử lý lại thường từ điểm thời gian rời rạc (xem [3, 4, 5, 7, 8, 9, 10]) Quá trình thời gian rời rạc đơn giản trình bao gồm thời điểm cách khoảng h > 0, bắt đầu thời điểm t0 : I = {t0 + nh : n = 0, ±1, ±2, } Khi ta nói I lưới thời gian rời rạc cách với bước lưới h > 0, thời điểm t0 ∈ R Trường hợp đặc biệt: Nếu lấy t0 = coi h = đơn vị thời gian tập I trở thành tập số nguyên Z I = {0 + n : n = 0, ±1, ±2, } := Z (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng Nếu lấy n = 0, 1, 2, ta có I = {0, 1, 2, 3, } = Z+ -tập số nguyên không âm Ta đưa thêm số ký hiệu dùng sau: R+ = [0, +∞) N(n0 ) = {n0 , n0 + 1, n0 + 2, , } (n0 ∈ Z) N(n, m) = {m, m + 1, m + 2, , n − 1, n} (m < n) Giả sử f ánh xạ từ Z vào Rp (hoặc từ Z+ vào Rp ) f :Z → Rp Z 3n 7−→ f (n) ∈ Rp Khi ta nói f (·) hàm có đối số nguyên Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (·) hàm số xác định tập Z, nhận giá trị Rp Khi đó, sai phân cấp hàm f (·) n ∈ Z hiệu sau đây: ∆f (n) = f (n + 1) − f (n) (1.1) Sai phân cấp hai là: ∆2 f (n) = ∆(∆f (n)) = f (n + 2) − 2f (n + 1) + f (n) (1.2) Sai phân cấp k là: k ∆ f (n) = ∆(∆ k−1 f (n)) = k X Cki (−1)i f (n + i) (1.3) i=0 Sai phân cấp có tính chất (xem [3]): ∆c = (c số)  0 k m ∆ x = đa thức bậc m − k k > m k ≤ m ∆k [αx(n) + βy(n)] = α∆k x(n) + β∆k y(n) (α, β ∈ R) N X ∆k x(n) = ∆k−1 x(N + 1) − ∆k−1 x(M ) n=M (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng 1.1.2 Khái niệm phương trình sai phân Định nghĩa 1.1.2 Giả sử x(n) hàm đối số nguyên n ∈ Z chưa biết, cần tìm từ đẳng thức: F (n, ∆k x(n), ∆k−1 x(n), , ∆x(n), x(n)) = (1.4) khơng khuyết ∆k x(n) Khi đó, đẳng thức (1.4) gọi phương trình sai phân cấp k Từ định nghĩa 1.1.1, ta thấy phương trình sai phân cấp k đưa dạng tương đương sau F1 (n, x(n + k), x(n + k − 1), , x(n + 1), x(n)) = (1.5) Trường hợp riêng sau (1.5) gọi phương trình sai phân cấp k dạng tắc x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), , x(n + 1), x(n)) (1.6) Trường hợp đặc biệt sau (1.6) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp k x(n + k) + ak−1 (k)x(n + k − 1) + · · · + a1 (k)x(k + 1) + a0 (k)x(k) = f (k) (1.7) Nếu f (k) ≡ ta có phương trình sai phân tuyến tính x(n+k)+ak−1 (k)x(n+k −1)+· · ·+a1 (k)x(k +1)+a0 (k)x(k) = (1.8) Nếu hệ số (k) khơng phụ thuộc vào k ta có phương trình sai phân hệ số Tính chất phương trình sai phân tuyến tính 1/ Nếu x1 (n) x2 (n) nghiệm (1.8) với số α, β có x(n) = αx1 (n) + βx2 (n) nghiệm (1.8) (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  =9−2=7 D(2) =    Phương trình đặc trưng " λ2 − 3λ + = ⇒ λ=1 λ = 10 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng Nghiệm tổng quát (∗) với điều kiện ban đầu:     D(n) = C1 + C2 2n  C = −1  ⇒ D(1) = C =    D(2) = Vậy D(n) = 2n+1 − 1.2.2.3 Tìm quy luật dãy vec tơ Ví dụ 1.2.5 Tìm quy luật dãy vector (x(n), y(n))T , đó: x(n) : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, y(n) : 7, 19, 37, 65, 91, 127, 169, 217, Lời giải Từ dãy số liệu x(n), ta thấy ∆x(0) = ∆2 x(0) = 12 ∆3 x(0) = ∆4 x(0) = ∆x(1) = 19 ∆2 x(1) = 18 ∆3 x(1) = ∆x(2) = 37 ∆2 x(2) = 24 ∆x(3) = 61 Tương tự: ∆4 x(1) = ∆4 x(2) = = Một cách tổng quát ∆4 x(n) = x(n + 4) − 4x(n + 3) + 6x(n + 2) − 4x(n + 1) + x(n) = Mặt khác, từ bảng số liệu x(n), y(n) ta thấy y(n) = ∆x(n) hay x(n + 1) = y(n) + x(n) 11 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng Như vậy, ta có hệ phương trình sai phân tuyến tính với điều kiện ban đầu    x(n + 4) − 4x(n + 3) + 6x(n + 2) − 4x(n + 1) + x(n) = (∗)   x(n + 1) = y(n) + x(n)    x(0) = 1, x(2) = 8, x(3) = 27, x(4) = 64; y(1) = (∗∗) (∗ ∗ ∗) Phương trình đặc trưng (∗) là: λ4 − 4λ3 + 6λ2 − 4λ + = ⇔ λ = (bội 4) Vậy nghiệm tổng quát (∗) có dạng: x(n) = (an3 + bn2 + cn + d) · 1n Thay điều kiện ban đầu:    x(n) = an3 + bn2 + cn + d     x(0) =    x(1) =      x(2) = 27     x(3) = 64    a =      b = ⇔   c=      d = 1 Vậy x(n) = n3 + 5n2 + n + Tiếp theo từ (**) (***), ta có 2 23 y(n) = x(n + 1) − x(n) = = n2 + n + 2 Dãy vector cần tìm là: 1  3 23 (x(n); y(n)) = n + 5n + n + 1; n + n + 2 2 1.2.2 Các ứng dụng khác Kết việc giải phương trình sai phân R1 thường sử dụng để tính tích phân có chứa tham số n ∈ Z+ , để xét tính chất dãy số liệu thang thời gian Z để giải số phương trình đơn giản khơng gian có số chiều lớn 12 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính Rp Ở mục ta có cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số biết tập nghiệm phương trình đặc trưng Trường hợp hệ số biến thiên (hay gọi hệ nonautonomous) cách giải nói với k đủ lớn khơng hiệu Để tìm hướng giải khác, ta nhận xét cách tăng số chiều không gian ta ln đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp k cấp Trường hợp đơn giản nhất: Đưa phương trình sai phân cấp k R1 phương trình sai phân cấp Rk Xét phương trình sai phân tuyến tính dạng tắc: x(n + k) = ak−1 x(n+k−1)+ak−2 x(n+k−2)+· · ·+a1 x(n+1)+a0 x(n)+f (n) (1.13) Đặt    y1 (n) = x(n)      y2 (n) = x(n + 1) = y1 (n + 1)        yk−1 (n) = x(n + k − 2) = yk−2 (n + 1)     y (n) = x(n + k − 1) = y (n + 1) k k−1 Khi đó, ta có hệ phương trình sai phân cấp một:    y1 (n + 1) = y2 (n)       y2 (n + 1) = y3 (n)     y (n + 1) = y (n)         yk−1 (n + 1) = yk (n)     y (n + 1) = a y (n) + a y (n) + · · · + a y (n) + a y (n) + f (n) k 1 k−2 k−1 k−1 k 13 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng  0  0  Đặt A =  0 0   a0 a1 a2 a3           Khi đó, phương trình       f (n)    y1 (n)      y2 (n)    , Y (n) =   F (n) =     yk (n) ak (1.13) trở thành Y (n + 1) = AY (n) + F (n) (1.14) Ngược lại, ta đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp Rp phương trình sai phân tuyến tính cấp k R1 Một cách tổng quát, phương trình sai phân tuyến tính cấp l Rd đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp Rl+d Vì vậy, khơng giảm tính tổng qt ta xét phương trình sai phân tuyến tính cấp một: x(n + 1) = A(n)x(n) + f (n) (1.15) Phương trình là: x(n + 1) = A(n)x(n) 1.3.1 (1.16) Nghiệm tổng quát hệ Đầu tiên, ta nghiên cứu nghiệm tổng quát phương trình (1.16) Giả sử A(n) xác định Z Cho cặp (n0 , x0 ) ∈ Z × Rp tùy ý Nghiệm (1.16) với điều kiện ban đầu (n0 , x0 ) xác định sau 14 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng (xem [6,7,9]):    x(n0 ) = x0       x(n0 + 1) = A(n0 )x(n0 ) = A(n0 )x0   x(n0 + 2) = A(n0 + 1)A(n0 )x0          x(n) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(n )x0 Đặt Φ(n, n0 ) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(n0 + 1)A(n0 ) = n−1 Q A(i) i=n0 C = x(n0 ) - vector tùy ý Khi đó, ta có x(n) = Φ(n, n0 )C (1.17) Ma trận Φ(n, m) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(m + 1)A(m) (m ≤ n) (1.18) gọi ma trận nghiệm phương trình (1.16) (1.15) Trong trường hợp ma trận A không suy biến với n ∈ Z, ta có Φ(n, m) = Φ(n, 0)Φ−1 (m, 0) = A(n − 1) · · · A(1)A(0)[A(m − 1)A(m − 2) · · · A(1)A(0)]−1 = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(m + 1)A(m) (1.19) Trong trường hợp A(n) không suy biến, ma trận sau gọi ma trận Green: Φ(n, m) = Φ(n, 0)Φ−1 (m, 0) Ma trận xác định với m, n ∈ Z, kể m > n Ma trận Green có tính chất [6,7]: 1/ Φ(n, n) = I với n ∈ Z 15 (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.sai.phan mot.so.ung.dung.va.dinh.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com