(LUẬN văn THẠC sĩ) số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Trường Đại học khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN Hà Nội - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Số phức tính chất liên quan 1.1 Dạng đại số số phức 1.1.1 Định nghĩa tính chất số phức 1.1.2 Dạng đại số số phức 1.1.3 Số phức liên hợp mô đun số phức 1.2 Biểu diễn hình học số phức 1.3 Dạng lượng giác số phức 1.3.1 Tọa độ cực số phức 1.3.2 Biểu diễn lượng giác số phức 1.3.3 Các phép toán dạng lượng giác số phức 10 1.4 10 Căn bậc n đơn vị 12 Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp 17 2.1 Khai triển lũy thừa nhị thức 17 2.2 Số phức với khai triển Newton 20 2.3 Các đẳng thức lượng giác 27 2.4 Ứng dung số phức logic hình thức liên quan đến tổ hợp 31 2.5 Sử dụng số phức giải toán với phép đếm nâng cao 43 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời nói đầu Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình tốn học phổ thông giảng dạy cuối lớp 12 Ta biết đời số phức nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức cầu nối hồn hảo phân mơn Đại số, Lượng giác, Hình học Giải tích (thể sâu sắc mối quan hệ cơng thức eiπ + = 0) Số phức vấn đề hoàn toàn khó học sinh, địi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng Do tính chất đặc biệt số phức nên giảng dạy nội dung giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển tốn để tạo nên lơi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp tính chất số phức với số kiến thức đơn giản khác lượng giác, giải tích, đại số hình học giáo viên xây dựng nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn hồn tồn mẻ Vì đưa vào chương trình SGK nên có tài liệu số phức để học sinh giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức SGK nhiều hạn chế Giúp học sinh có nhìn sâu, rộng số phức, q trình giảng dạy tơi ln tìm tịi khai thác kết hợp kiến thức khác toán học để xây dựng dạng tập cho học sinh tư duy, giải Một vấn đề tơi xây dựng dạng tốn “số phức ứng dụng toán tổ hợp ” sở khai thác tính chất số phức vận dụng khai triển nhị thức Newton Chương Là kiến thức số phức Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết số phức Nội dung trình bày gồm: dạng đại số số phức, biểu diễn hình học số phức, TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Lời nói đầu dạng lượng giác số phức, bậc n đơn vị Chương Là kiến thức khai triển nhị thức trình bày ứng dụng số phức toán tổ hợp Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt bạn bè nhóm Phương pháp toán sơ cấp lớp Cao học 08 - 10, động viên giúp đỡ tác giả tài liệu tham khảo kỹ thuật biên soạn Latex Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Tháng 12 năm 2012 Học viên Nguyễn Thanh Hải (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Số phức tính chất liên quan 1.1 1.1.1 Dạng đại số số phức Định nghĩa tính chất số phức Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]-[2]) Xét R2 = R ( × R = (x, y)|x, y ∈ R x1 = x2 Hai phần tử (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) ⇔ ∀z1 = (x1 , y1 ) , z2 = y = y2 (x2 , y2 ) ∈ R2 Tổng z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 Tích z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 Tập R2 với phép cộng nhân gọi tập số phức C Phần tử (x, y) ∈ C số phức Phép tốn tìm tổng hai số phức gọi phép cộng Phép tốn tìm tích hai số phức gọi phép nhân Tính chất 1.1.2 Tính chât phép cộng: Giao hoán: z1 + z2 = z2 + z1 , ∀z1 , z2 ∈ C (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Số phức tính chất liên quan Kết hợp:(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ), ∀z1 , z2 , z3 ∈ C Tồn phần tử không:∃0 = (0, 0) ∈ C, z + = + z = z, ∀z ∈ C Mọi số có số đối: ∀z ∈ C, ∃ − z ∈ C : z + (−z) = (−z) + z = Số z1 − z2 = z1 + (−z2 ): hiệu hai số z1 , z2 Phép tốn tìm hiệu hai số gọi phép trừ, z1 − z2 = (x1 − x2 , y1− y2 ) ∈ C Tính chất 1.1.3 Tính chât phép nhân: Giao hoán: z1 z2 = z2 z1 , ∀z1 , z2 ∈ C Kết hợp: (z1 z2 ).z3 = z1 (z2 z3 ), ∀z1 , z2 , z3 ∈ C Tồn phần tử đơn vị: ∃1 = (0, 1) ∈ C, z.1 = 1.z = z, ∀z ∈ C Mọi số khác có số nghịch đảo: ∀z ∈ C∗ , ∃z −1 ∈ C : z.z −1 = z −1 z = z −1 = = z  x y ,− 2 x +y x + y2  Thương hai số z1 = (x1 , y1 ), z = (x, y) ∈ C∗   z1 x1 x + y1 y −x1 y + y1 x = , ∈ C z x2 + y x2 + y Ví dụ 1.1.4 Nếu z = (1, 2) z −1 = ( 51 , −2 ) Nếu z1 = (1, 2), z2 = (3, 4) z1 z2 = ( 11 25 , 25 ) Tính chất phân phối phép nhân với phép cộng: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 , ∀z1 , z2 , z3 ∈ C 1.1.2 Dạng đại số số phức Xét song ánh f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Số phức tính chất liên quan Hơn (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0); (x, 0).(y, 0) = (xy, 0) Ta đồng (x, 0) = x Đặt i = (0, 1) ta có: z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = x + iy Định lý 1.1.5 (xem [1]-[2]) Số phức z = (x, y) biểu diễn dạng z = x + yi, x, y ∈ R, i2 = −1 Hệ thức i2 = −1 suy từ định nghĩa phép nhân: i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 Định nghĩa 1.1.6 (xem [1]-[2]) Biểu thức x + yi gọi dạng đại số số phức z = (x, y) Do đó:  C = x + yi x ∈ R, y ∈ R, i2 = −1 x = Re(z): phần thực z y = Im(z): phần ảo z Đơn vị ảo i Khi thực hành cộng, trừ, nhân số phức thực tương tự quy tắc tính đa thức cần lưu ý i2 = −1 đủ Lũy thừa đơn vị ảo: i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i,i4 = 1, i5 = i Bằng quy nạp ta được: i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = −1, i4n+3 = −i, ∀n ∈ N∗ Do in ∈ {−1, 1, −i, i} , ∀n ∈ N∗ Nếu n nguyên âm, có n i = i
−1 −n  −n = = (−i)n i (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ωp0 = = 2qπ n + 2rπr ∈ Z Ta cho mp − nq = r ⇒ pn − qm = rmn Mặt khác, m = m0 d, n = n0 d, U CLN (m0 , n0 ) = pn − qm = rmn ⇒ n0 p − m0 q = rm0 n0 d m0 |n0 p ⇒ m0 |p ⇒ p = p0 m0 , p0 ∈ Z Ta có ωp = ωq0 ⇔ 2pπ m (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Số phức tính chất liên quan 0 2p m π 2p π d agrωp = 2pπ m = m0 d = d ωp = Ngược lại, d|m, d|n, nghiệm z d − nghiệm z m − z n − = trước hết ta tìm số nguyên dương nhỏ p cho ωpd = Từ hệ 2kpπ m = 2k π, k ∈ Z Tức kp m = k ∈ Z Xét d = U CLN (k, m) k = k d, m = m0 d, U CLN (k , m0 ) = k0 p 0 Ta có kmpd d = m0 Bởi k m nguyên tố nhau, ta có m |p Do số nguyên dương nhỏ p thỏa mãn ωkp = p = m0 kết hợp với hệ thức m = m0 d suy p = md , d = U CLN (k, m) Nếu ωk nguyên thủy bậc m đơn vị, từ hệ thức ωkp = 1, p = U CLNm(k,m) suy p = m tức U CLN (k, m) = thức ωpd = ta suy Lưu ý: Phương trình z m − = z n − = có nghiệm chung nếuU CLN (m, n) = Định lý 1.4.3 Nếu ω ∈ Un nguyên thủy bậc n đơn vị nghiệm phương trình z n − = ω r , ω r+1 , , ω r+n−1 , r ∈ N∗ Chứng minh Cho r số nguyên dương h ∈ {0, 1, , n − 1} Khi
n ω r+h = (ω n )r+h = 1, tức ω ( r + h) nghiệm z n − = Ta cần chứng minh ω r , ω r+1 , , ω ( r + n − 1) phân biệt Giả sử không phân biệt, tức tồn r + h1 6= r + h2 , h1 > h2 mà ω r+h1 = ω r+h2 Khi ω r+h2 (ω h1 −h2 − 1) = Nhưng ω r+h2 6= ⇒ ω h1 −h2 = Đối chiếu với < h1 − h2 < n ω nguyên thủy bậc n đơn vị, ta có mâu thuẫn Xét bậc đơn vị Giải phương trình x3 − = ta nghiệm √ √ 3 x1 = 1, x2 = − + i, x3 = − − i 2 2 (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Số phức tính chất liên quan Các nghiệm bậc ba Đặt ε = − 12 √ − i ⇒ε = − 12 √ + i Ta có tính chất sau: ε + ε2 = −1 ε3 = ε3k = ε3k+1 = ε ε3k+2 = ε2 (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Ứng dụng số phức tính toán tổ hợp 2.1 Khai triển lũy thừa nhị thức Ta nhắc lại công thức khai triển nhị thức sau: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y (x + y)4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy + y Ta có cơng thức tổng qt tính hệ số (x + y)n , cịn gọi cơng thức nhị thức Newton sau: Định lý 2.1.1 Cho số tự nhiên n ≥ ta có n (x + y) = n X k n−k k Cn x y k=0 Chứng minh Để khai triển (x + y)n , ta thực phép khai triển lũy thừa cách hình thức mà khơng rút gọn chúng Chẳng hạn (x + y)2 = xx + xy + xy + yy (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Như ta có biểu diễn hình thức n (x + y) = (x + y) (x + y) (x + y) = | {z } X c1 c2 cn n có tất 2n số hạng c1 c2 cn ∈ {x, y} Trong thực phép rút gọn, ta phải đem nhóm tất số hạng có trùng số mũ x y lại với Với ≤ k ≤ n, ta tính số dãy n phần tử, x lặp k lần y lặp n − k lần Do số dãy có lặp theo tần số n! k!(n−k)! , Cnk Do ta có n (x + y) = n X k n−k k Cn x y k=1 Ví dụ 2.1.2 Ta có: (x + y)5 = C50 x5 + C51 x4 y + C52 x3 y + C53 x2 y + C54 xy + C55 y Lưu ý: Trong tam giác Pascal, số bắt đầu kết thúc dòng tam giác Pascal số 1, số khác dịng tổng hai số dịng nó, cho cách tính nhanh chóng hệ số nhị thức Newton 1 1 1 Tính chất 2.1.3 n (x + y) = n X k n−k k Cn x y k=0 Số số hạng bên phải công thức n + 1, n số mũ nhị thức vế trái (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Tổng số mũ x y số hạng n Các hệ số khai triển Cn0 , Cn1 , , Cnn Với ý: k n−k Cn = Cn , ≤ k ≤ n Các hệ số khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu cuối Cn0 + Cn1 + · · · + Cnn = 2n Cnk = n−k+1 k Cnk−1 k Cnk−1 + Cnk = Cn+1 Cn0 + Cn2 + Cn4 + · · · = Cn1 + Cn3 + Cn5 + · · · = 2n−1 Tiếp theo, ta xét khai triển lũy thừa n - thức (x1 + x2 + · · · + xn )r = X k1 +k2 +···+kn r! xk11 xk22 xknn k !k ! kn ! =r Ta có hai cách chứng minh cho cơng thức trên: Cách 1: Chứng minh Chứng minh phương pháp quy nạp Kiểm tra công thức thấy với n = Giả sử công thức với n, ta chứng minh với n + Ta có: r P r−k (x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 )r = Crk (x1 + x2 + · · · + xn ) xkn+1 k=0 = r P = k=0 r P = k=0 k1 +k2 +···+kn =r−k r P P = k=0 k1 +k2 +···+kn =r−k r P P = k=0 k1 +k2 +···+kn =r−k r P P Crk P k1 +k2 +···+kn =r−k Crk P k=0 k1 +k2 +···+kn =r−k (r−k)! k1 k2 k1 !k2 ! kn ! x1 x2 xknn xkn+1 (r−k)! k1 k2 k1 !k2 ! kn ! x1 x2 xknn xkn+1 (r−k)! k1 k2 r! k!(r−k)! k1 !k2 ! kn ! x1 x2 xknn xkn+1 k1 k2 r! k! k1 !k2 ! kn ! x1 x2 xknn xkn+1 k1 k2 r! k1 !k2 ! kn !k! x1 x2 xknn xkn+1 (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp P = k1 +k2 +···+kn +kn+1 =r k1 k2 r! k1 !k2 ! kn !kn+1 ! x1 x2 k n+1 xknn xn+1 Cách 2: Chứng minh (x1 + x2 + · · · + xn )r = (x1 + x2 + · · · + xn ) (x1 + x2 + · · · + xn ) | {z } r Theo quy tắc nhân, để tính số hạng xk11 xk22 xknn k1 + k2 + · · · + kn = r ta phải chia r nhân tử thành n nhóm: Nhóm có k1 nhân tử, nhóm có k2 nhân tử, , nhómn có kn nhân tử Trong nhóm nhân số hạng x1 với số hạng x2 nhóm với với số hạng xn nhóm n để số hạng khai triển Như vậy, số cách chia nhóm số số hạng có dạng trên, số tổ hợp lặp chập k1 + k2 + · · · + kn r phần tử: = k1 !k2r!! kn ! Lấy tổng theo tất trường hợp thỏa mãn k1 + k2 + · · · + kn = r ta có điều cần chứng minh 2.2 Số phức với khai triển Newton Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị số phức thích hợp khai triển trực tiếp số phức Ví dụ 2.2.1 Tính tổng 2008 2010 2012 A = C2012 − C2012 + C2012 − C2012 + · · · + C2012 − C2012 + C2012 2007 2009 2011 B = C2012 − C2012 + C2012 − C2012 − · · · − C2012 + C2012 − C2012 Giải Xét khai triển 2012 (1 + x)2012 = C2012 +x C2012 + · · · + x2012 C2012 (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 20 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Cho x = i ta có : 2012 (1 + x)2012 = C2012 +i C2012 + · · · + (i)2012 C2012
2012 − C2012 + C2012 − · · · + C2012 = C2012
2011 + C2012 − C2012 + C2012 − · · · − C2012 i Mặt khác: √


2012 (1 + i)2012 = ( 2)2012 cos π4 + i sin π4 √
2012π = ( 2)2012 cos 2012π + i sin 4 √ 2012 = ( 2) (−1 + i0) √ 2012 = ( 2) (−1 + i0) = −21006 + 0i So sánh phần thực phần ảo (1 + i)2012 hai cách tính ta được: 2008 2010 2012 A = C2012 −C2012 +C2012 −C2012 +· · ·+C2012 −C2012 +C2012 = −21006 2011 2009 2007 =0 − C2012 + C2012 + · · · − C2012 − C2012 + C2012 − C2012 B = C2012 Ví dụ 2.2.2 Tính tổng
50 48 46 C = 2150 C50 − 325 C50 + 324 C50 − · · · − 323 C50 + 32 C50 − 3C50 Giải Xét  khai√ triển: 50 − 21 + 23 i  √ √ 2 √ 49 49 √ 50 50  1 = 250 C50 − (i 3)C50 + (i 3) C50 + · · · − (i 3) C50 + (i 3) C50  √ 2 √ 4 √ 46 46 √ 48 48 √ 50 50  = 250 C50 − ( 3) C50 + ( 3) C50 − · · · − ( 3) C50 + ( 3) C50 − ( 3) C50  √ √ 3 √ 5 √ 47 47 √ 49 49  1 + 250 − 3C50 + ( 3) C50 − ( 3) C50 + · · · + ( 3) C50 − ( 3) C50 i Mặt  khác: √ 50 − 21 + 23 i
= cos 2π
+ i sin = cos 100π + i sin = − 12 − i √ 2π 50
100π

 So sánh phần thực − 12 + C= 250 √ i 50 hai cách tính ta được:
46 48 50 = − 21 C50 − 3C50 + 32 C50 − · · · − 323 C50 + 324 C50 − 325 C50 (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 21 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Ví dụ 2.2.3 Tính tổng : 20 18 16 + C20 − 3C20 + · · · + 32 C20 − 37 C20 + 38 C20 − 39 C20 D = 310 C20 Giải Xét : √ khaitriển 20 3+i √ 20 √ √ ( 3) C20 + i( 3)19 C20 − ( 3)18 C20 √ 18 √ 19 20 − · · · − ( 3) C20 − i 3C20 + C20
18 20 16 − 3C20 + C20 + · · · + 32 C20 − 37 C20 + 38 C20 − 39 C20 = 310 C20 √ √ √ √ 19 17 + ( 3)19 C20 − ( 3)17 C20 + · · · + ( 3)3 C20 − 3C20 i Mặt √ khác: 20 3+i √ 20 20 =2 + i2
20 = 220 cos π6 + i sin π6
20π = 220 cos 20π + i sin 6
4π 4π 20 = cos + i  sin √ 20 = −2 − i √ = −219 − 219 i √ 20 So sánh phần thực 3+i hai cách tính ta có; 20 18 16 = 2−19 + C20 − 3C20 D = 310 C20 − 39 C20 + 38 C20 − 37 C20 + · · · + 32 C20 Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau cho x nhận giá trị số phức thích hợp Ví dụ 2.2.4 Tính tổng: 25 27 29 D = C30 − 3C30 + 5C30 − 7C30 + · · · + 25C30 − 27C30 + 29C30 26 28 30 E = 2C30 − 4C30 + 6C30 − 8C30 + · · · + 26C30 − 28C30 + 30C30 Giải Xét khai triển: 28 29 30 (1 + x)30 = C30 + xC30 + x2 C30 + x3 C30 + · · · + x28 C30 + x29 C30 + x30 C30 (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Đạo hàm hai vế ta có: 30 29 28 +30x29 C30 +29x28 C30 +· · ·+28x27 C30 +3x2 C30 +2xC30 30 (1 + x)29 = C30 Cho x = i ta có: 30 (1 + i)29
25 27 29 = C30 − 3C30 + 5C30 − 7C30 + · · · + 25C30 − 27C30 + 29C30
26 28 30 + 2C30 − 4C30 + 6C30 − 8C30 + · · · + 26C30 − 28C30 + 30C30 i Mặt khác: 30 (1 + i)29 √ 29
29 = 30 cos π4 + i sin π4 √ 29
29π = 30 cos 29π + i sin √ 29  √ √  = 30 − − 22 i = −15.215 − 15.215 i So sánh phần thực phần ảo 30 (1 + i)29 hai khai triển ta có: 29 27 25 = −15.215 + 29C30 − 27C30 + · · · + 25C30 − 7C30 + 5C30 − 3C30 D = C30 30 28 26 = −15.215 + 30C30 − 28C30 + · · · + 26C30 − 8C30 + 6C30 − 4C30 E = 2C30 Ví dụ 2.2.5 Tính tổng: 18 20 = 2.3C20 − 4.32 C20 + 6.33 C20 − · · · + 18.39 C20 − 20.310 C20 Giải Xét triển:  khai √ 20 + 3x √ √ √ √ √ 19 20 = C20 +( 3x)C20 +( 3x)2 C20 +( 3x)3 C20 +· · ·+( 3x)19 C20 +( 3x)20 C20 √ √ Đạo hàm hai vế ta có 20 3(1 + 3x)19 √ √ √ 19 20 = 3C20 +2.3xC20 +3.( 3)3 x2 C20 +· · ·+19.( 3)19 x18 C20 +20.310 x19 C20 √ √ Cho x = i ta có : 20 3(1 + 3i)19 √ √ 3 √ 5 √ 17 √ 19  17 19 = 3C20 − 3 C20 + C20 − · · · + 17 C20 − 19 C20
18 20 − 20.310 C20 i + 2.3C20 − 4.32 C20 + 6.33 C20 − · · · + 18.39 C20 √ √ 19 Mặt khác: 20 3(1 + 3i) √ 19  √3 19 = 20 3.2 + i (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 23 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp √
19 = 20 3.219 cos π3 + i sin π3 √
19π = 20 3.219 cos 19π + i sin  √ 19 √ = 20 3.2 + 2i √ 19 = 10 3.2 + 30.219 i √ √ So sánh phần ảo 20 3(1 + 3i)19 hai cách tính ta có: 18 20 S = 2.3C20 − 4.32 C20 + 6.33 C20 − · · · + 18.39 C20 − 20.310 C20 = 30.219 Ví dụ 2.2.6 Tính tổng: 12 14 M = C15 − 3C15 + 5C15 − 7C15 + · · · + 13C15 − 15C15 13 15 N = 2C15 − 4C15 + 6C15 − 8C15 + · · · + 14C15 − 16C15 Giải Xét khai triển: (1 + x)15 15 14 13 + x15 C15 + x14 C15 + · · · + x13 C15 + x3 C15 + x2 C15 + xC15 = C15 Nhân hai vế với x, ta có: x (1 + x)15 13 14 15 = xC15 + x2 C15 + x3 C15 + x4 C15 + · · · + x14 C15 + x15 C15 + x16 C15 Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x (1 + x)14 13 14 15 + 16x15 C15 + 15x14 C15 + 3x2 C15 + 4x3 C15 + · · · + 14x13 C15 + 2xC15 = C15 Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i (1 + i)14
12 14 = C15 − 3C15 + 5C15 − 7C15 + · · · + 13C15 − 15C15
13 15 + 2C15 − 4C15 + 6C15 − 8C15 + · · · + 14C15 − 16C15 i Mặt khác: (1 + i)15 + 15i (1 + i)14 √ 15 √ 14

14 π π 15 = cos + i sin + 15i cos π4 + i sin π4 √ 15

15π 14π 14π = cos 15π + i sin + 15.2 i cos + i sin 4 4 √ 15  √ √  = − 22 − 22 i + 15.27 = −27 − 27 i + 15.27 (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 24 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Ứng dụng số phức tính toán tổ hợp = 14.27 − 27 i = 7.28 − 27 i So sánh phần thực phần ảo (1 + i)15 + 15i (1 + i)14 hai cách tính ta có: 12 14 M = C15 − 3C15 + 5C15 − 7C15 + · · · + 13C15 − 15C15 = 7.28 13 15 N = 2C15 − 4C15 + 6C15 − 8C15 + · · · + 14C15 − 16C15 = −27 Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị bậc ba đơn vị Ví dụ 2.2.7 Tính tổng: 3k 15 18 S = C20 + C20 + C20 + · · · + C20 + · · · + C20 + C20 Giải Xét khai triển: (1 + x)20 18 19 20 = C20 + xC20 + x2 C20 + x3 C20 + · · · + x18 C20 + x19 C20 + x20 C20 Cho x = ta có: 18 19 20 220 = C20 + C20 + C20 + C20 + · · · + C20 + C20 + C20 Cho x = ε ta có: 19 20 18 + ε2 C20 + C20 + · · · + C20 + εC20 + ε2 C20 (1 + ε)20 = C20 + εC20 Cho x = ε ta có:
20 18 19 20 + ε2 = C20 + ε2 C20 + εC20 + C20 + · · · + C20 + ε2 C20 + εC20 Cộng theo vế ba biểu thức ta có:
20 220 + (1 + ε)20 + + ε2 = 3S Mặt khác: (1 + ε)20 = (−ε2 )20 = ε40 = ε (1 + ε2 )20 = (−ε)20 = ε20 = ε2 Do vậy: 3S = 220 − hay 20 S = 3−1 (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 25 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Ví dụ 2.2.8 Tính tổng : 3k+1 19 16 + C20 + · · · + C20 + · · · + C20 + C20 + C20 T = C20 Giải Xét khai triển: 18 19 20 (1 + x)20 = C20 + xC20 + x2 C20 + x3 C20 + · · · + x18 C20 + x19 C20 + x20 C20 Nhân hai vế với x2 ta có: 18 19 20 +x3 C20 +x4 C20 +x5 C20 +· · ·+x20 C20 +x21 C20 +x22 C20 x2 (1 + x)20 = x2 C20 Cho x = ta có: 20 19 18 + C20 + C20 + · · · + C20 + C20 + C20 + C20 220 = C20 Cho x = ε ta có: 18 19 20 ε2 (1 + ε)20 = ε2 C20 + C20 + εC20 + ε2 C20 + C20 · · · + ε2 C20 + C20 + εC20 Cho x = ε2 ta có:
20 20 19 18 + ε2 C20 + C20 + · · · + εC20 + εC20 + ε2 C20 + C20 ε + ε2 = εC20 Cộng theo vế ba biểu thức ta có:
20 220 + ε2 (1 + ε)20 + ε + ε2 = 3T
20 Mặt khác: ε2 (1 + ε)20 = 1, ε + ε2 = vậy: 220 + 3T = + ⇒ T = Ví dụ 2.2.9 Tính tổng: 3k 15 18 P = C20 + 3C20 + 6C20 + · · · + 3kC20 + · · · + 15C20 + 18C20 Giải Xét khai triển: 19 20 18 + x19 C20 + x20 C20 + x3 C20 + · · · + x18 C20 + xC20 + x2 C20 (1 + x)20 = C20 Đạo hàm hai vế ta được: 18 19 20 20 (1 + x)19 = C20 +2xC20 +3x2 C20 +· · ·+18x17 C20 +19x18 C20 +20x19 C20 Nhân hai vế với x ta được: 20x (1 + x)19 = xC20 + 2x2 C20 + 3x3 C20 + 18 19 20 · · · + 18x18 C20 + 19x19 C20 + 20x20 C20 Cho x = ta được: 18 19 20 20.219 = C20 + 2C20 + 3C20 + 4C20 + · · · + 18C20 + 19C20 + 20C20 Cho x = ε ta được: 18 19 20 20ε (1 + ε)19 = εC20 +2ε2 C20 +3C20 +4εC20 · · ·+18C20 +19εC20 +20ε2 C20 Cho x = ε2 ta được: 20 (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 26 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp
19 18 19 20ε2 + ε2 = ε2 C20 + 2εC20 + 3C20 + 4ε2 C20 · · · + 18C20 + 19ε2 C20 + 20 20εC20 Cộng được: h theo vế ba biểu thức ta i
19 19 19 2 20 + ε (1 + ε) + ε + ε = 3P − C20 Mặt khác: ε (1 + ε)19 = ε(−ε2 )19 = −ε39 = −1
19 ε2 + ε2 = ε2 (−ε)19 = −ε21 = −1 Nên:
3P = + 20 219 − = 10.220 − 39 ⇒ P = 2.3 10.220 − 13 Các đẳng thức lượng giác Ví dụ 2.3.1 Chứng minh với số tự nhiên n, ta có: cos nα = cosn α−Cn2 cosn−1 α sin2 α+Cn4 cosn−4 α sin4 α−Cn6 cosn−6 α sin6 α+ sin nα = Cn1 cosn−1 α − Cn3 cosn−3 α sin3 α + Cn5 cosn−5 α sin5 α − Giải Theo công thức Moivre, ta có: (cos α + i sin α)n = cos nα + i sin nα Mặt khác, sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton, ta có: n (cos α + i sin α) = n X k n−k Cn (cos α) (i sin α)k k=0 Chú ý i2 = −1, từ ta có: (cos α + i sin α)n = cosn α − Cn2 cosn−2 α sin2 α + Cn4 cosn−4 α sin4 α −
+i Cn1 cosn−1 α sin1 α − Cn3 cosn−3 α sin3 α + So sánh phần thực phần ảo hai khai triển ta có: (LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop(LUAN.van.THAC.si).so.phuc.va.ung.dung.trong.toan.to.hop 27 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com