(LUẬN văn THẠC sĩ) phương trình tích phân ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– TRẦN THỊ THỦY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– TRẦN THỊ THỦY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phương trình tích phân tất định: 1.1.1 Giới thiệu: 1.1.2 Phương trình Fredholm loại với hạch suy biến: 1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến: 11 1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên 12 1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 25 1.3.1 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục 25 1.3.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: 29 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FREDHOLM VÀ VOLTERRA 33 2.1 Phương trình Fredholm Volterra với hàm vế phải ngẫu nhiên 33 2.1.1 Giới thiệu: 33 2.1.2 Nghiệm phương trình tích phân: 34 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.1.3 Nghiệm hàm hiệp phương sai: 37 2.1.4 Sự liên tục bình phương trung bình nghiệm: 40 2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: 41 2.2 Hạch K(x, y, ω) ngẫu nhiên suy biến 42 2.3 Hạch K(x, y, ω) biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian hàm gián đoạn vừa phải 44 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 49 3.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên 49 3.1.1 Thiết lập phương trình tích phân số phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên 49 3.1.2 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên không gian hàm liên tục: 57 3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên 58 3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên vế phải ngẫu nhiên 62 3.3.1 3.3.2 Giới thiệu: 62 Tồn nhất: Tài liệu tham khảo 64 67 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình GS.TS.Đặng Hùng Thắng- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN Thầy dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Khoa Tốn- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho suốt q trình học tập Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, Tháng năm 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien MỞ ĐẦU Từ cuối kỉ 17, Newton Leibniz xây dựng phép tính vi phân tích phân cổ điển Tới nửa đầu kỉ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu xây dựng Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên phép tính tích phân ngẫu nhiên trở thành cơng cụ quan trọng ứng dụng nhiều tốn học, vật lý, sinh học kinh tế Trong phương trình tốn tử tuyến tính, phương trình tích phân ngẫu nhiên giúp cho việc nghiên cứu toán học đại mang lại nhiều kết Trong luận văn "Phương trình tích phân ngẫu nhiên" này, xét hai loại phương trình tích phân ngẫu nhiên Fredholm Volterra Ngồi ra, xét số phương trình tích phân ngẫu nhiên phi tuyến Chúng quan tâm lớn có tầm quan trọng nhiều nhánh khoa học, kinh tế cơng nghệ Đặc biệt, phương trình tích phân phi tuyến xuất tượng vật lý cụ thể việc xây dựng phương trình tích phân phương trình vi phân phi tuyến TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Phương trình tích phân tất định: Giới thiệu: Xét phương trình tích phân: Z b K(x, y)f (y)dy = g(x) (1.1) a Z b K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) a (1.2) phương trình Fredholm khơng loại thứ thứ hai tương ứng phương trình tích phân tuyến tính: Z x K(x, y)f (y)dy = g(x) (1.3) a Z x a K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) (1.4) phương trình Volterra không loại thứ thứ hai tương ứng Từ phân loại phương trình tuyến tính trên, ta thấy phương trình Volterra trường hợp đặc biệt phương trình Fredholm với hạch:  K(x, y) x > y e K(x, y) = x < y (1.5) Phương trình tích phân tuyến tính chiếm phần quan trọng phương trình tốn tử tuyến tính ứng dụng tốn học TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Chúng ta xét ví dụ mối quan hệ phương trình tích phân phương trình khác Bài tốn giá trị ban đầu: Xét phương trình vi phân cấp 2: dx d2 x + a + bx = f (t) dt dt (1.6) với điều kiện ban đầu x′(0) = v0 x(0) = x0, (1.7) Trong (1.6) a b hàm t Nếu viết lại phương trình (1.6) là: d2 x dx = −a − bx + f (t) dt2 dt tích phân khoảng (0, t) có được, sử dụng (1.7) Z t Z t Z t dx dx f dr a dr − bxdr + =− dt dt 0 Z t Z t ′ f dr + a(0)x0 + v0 = −ax − (b − a )xdr + 0 Tích phân có được: Z tZ t Z t [b(r) − a(r)]x(r)drdr a(r)x(r)dr − x(t) = x0 − 0 Z tZ t f (r)drdr + [a(0)x0 + v0 ]t + 0 mà viết với hình thức là: Z t a(r) + (t − r)[b(r) − a′ (r)]x(r)dr x(t) = − Z0 t + (t − r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0 Có thể viết lại là: x(t) − Z t K(t, r)x(r)dr = g(t) (1.8) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Trong đó: K(t, r) = (r − t)[b(r) − a′ (r)] − a(r) Z t (t − r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0 g(t) = Do phương trình (1.6) (1.7) phương trình tích phân (1.8) phương trình Volterra loại thứ hai Bài tốn biên: Xét phương trình vi phân sau: d2 x + λx = 0, dt2 x(0) = 0, (1.9) x(a) = Tiến hành ví dụ đầu tiên, tích phân khoảng (0, t) : Z t dx x(r)dr + x′ (0) = −λ dt Ở x′(0) chưa biết Tích phân lặp lại khoảng (0, t) sử dụng điều kiện x(0) = 0, có được: x(t) = −λ Z t (t − r)x(r)dr + x′ (0)t (1.10) Thay điều kiện thứ hai x(a) = có: Z a ′ (a − r)x(r)dr x (0) = (λ/a) Do đó, (1.10) viết lại : Z a Z t (a − r)x(r)dr x(t) = −λ (t − r)x(r)dr + t(λ/a) 0 Z a Z t t(a − r)x(r)dr r(a − t)x(r)dr + (λ/a) = (λ/a) (1.11) t Nếu đặt :  (r/a)(a − t) với r < t K(t, r) = (t/a)(a − r) với r > t TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Phương trình (1.11) viết lại là: Z a K(t, r)x(r)dr x(t) = λ (1.12) Do đó, phương trình (1.9) dẫn đến phương trình Fredholm loại thứ hai Xét tốn tử vi phân tuyến tính cấp sau:   dx d p(t) + q(t)x L[x] = dt dt (1.13) Ở đó, p(t) > Chúng ta xét hàm x(t) hai đầu khoảng cho (a, b) thỏa mãn điều kiện biên nhất: αx(a) + βx′(a) = 0, γx(b) + δx′ (b) = (1.14) Chúng ta giả sử nghiệm x(t) phương trình Lx = thỏa mãn điều kiện biên (1.14) để x(t) x′(t) liên tục nghiệm tầm thường x(t) ≡ Hàm Green’s hàm ảnh hưởng liên kết với toán tử L khác điều kiện biên hàm G(t, r) với tính chất đây: (i) G(t, r) liên tục với t, r ∈ [a, b] ∂G (ii) Mỗi khoảng [a, r] [r, b], đạo hàm ∂G ∂t ∂r liên tục (iii) G(t, r) liên tục t = r (iv) Đạo hàm G điểm gián đoạn độ lớn − p(r) t = r, là:   ∂G ∂G − = ∂r t=r+ ∂r t=r− p(r) (v) Cho r cố định , G(t, r) thỏa mãn phương trình L[G] = khoảng [a, r), (r, b] (vi)Hàm t, G(t, r) thỏa mãn điều kiện biên (1.14) Để định nghĩa hàm Green’s xây dựng tích phân u(t) v(t) L[x] = thỏa mãn điều kiện Cauchy: u′(a) = −α u(a) = β v ′ (b) = −γ v(b) = δ TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien t − t t − t0 t0 Z t ||X(s) − X(t0 )||ds t − t0 t0 ε(t − t0 ) = ε t − t0 Điều chứng minh Lp ta có: Y (t) − Y (t0) = X(t0 ) → Y ′ (t0) = X(t0 ) t→t0 t − t0 Rt Đặt Y (t) = a X ′ (s)ds theo khẳng định Y ′ (t) = X ′ (t) với t Do theo định lý 1.4 Y (t) = X(t) + ξ ∀t ξ ∈ Lp Vì Y (a) = → Rb ξ = −X(a) Do Y (b) = X(b) − X(a) tức a X ′ (t)dt = X(b) − X(a) Định lý sau cho ta tiêu chuẩn tính L2 khả tích X thơng qua tính khả tích hàm trung bình hàm tự tương quan lim Định lý 1.7 Hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ T = [a, b] L2 khả tích hàm trung bình m(t) khả tích T hàm tự tương quan 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien K(s, t) khả tích T × T Trong trường hợp ta có: Z b Z b Z b m(t)dt EX(t)dt = E[ X(t)dt] = a a a Z bZ b Z b K(s, t)dsdt V ar[ X(t)dt] = a a a Z bZ d Z d Z b K(s, t)dsdt X(t)dt] = cov[ X(t)dt, a c a c Nếu X = X(t), t ∈ T = [a, b], Y = Y (t), t ∈ T = [c, d] L2 khả tích thì: Z bZ d Z d Z b E[X(t)Y (s)]dsdt (1.34) Y (t)dt] = E[ X(t)dt][ a c a c Từ suy cov[ Z b X(t)dt, a Chứng minh: Z d X(t)dt] = Z bZ a c b cov[X(t)Y (s)]dsdt a Điều kiện đủ: Giả sử X L2 khả tích Đặt: Z b X(t)dt ξ= a SI = n−1 X i=0 X(si )(ti+1 − ti ) Vì SI hội tụ tới ξ L2 nên lim = E(SI ) = Eξ Mặt khác: |I|→0 E(SI ) = n−1 X i=0 m(si )(ti+1 − ti ) Rb m(t)dt Trước hết ta chứng minh 1.34 Giả sử J phân hoạch đoạn [c,d] c = t′0 < t′1 < < t′m = d Đặt: Z d Y (t)dt η= Do đó, m(t) khả tích Eξ = a c h(t, s) = E[X(t)Y (s)] m−1 X Y SJ = Y (s′j )(t′j+1 − t′ j) i=0 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Ta có lim |I|→0|J|→0 E(SI SJY ) = Eξη Mặt khác: ESI SJY = n−1 m−1 X X h(si , s′j )(ti+1 − ti )(t′j+1 − t′j ) Eξη = Z bZ i=0 j=0 Do đó: a d h(s, t)dsdt c Điều chứng minh 1.34 Tiếp theo 1.34 (với (Y (t) = X(t)) ta có: Z bZ d E[X(t)X(s)]dsdt Eξη = c a Z bZ d Z bZ d m(t)m(s)dsdt K(s, t)dsdt + = a a c c Z d Z b Z bZ d m(s)ds] K(s, t)dsdt + [ m(t)dt][ = c a a c Z bZ d K(s, t)dsdt + (Eξ)(Eη) = c a Z bZ d K(s, t)dsdt → cov(ξ, η) = a c Cho a = c, b = d ta ξ = η đó: V ar(ξ) = cov(ξ, ξ) = Z bZ a d K(s, t)dsdt c Điều kiện cần: Giả sử I J hai phép phân hoạch tùy ý [a,b] I : a = t0 < t1 < < tn = b J : a = t0 < t1 < < tm = b với điểm si ∈ [ti ; ti+1], s′i ∈ [t′i ; t′i+1] Xét tổng: SI = SJ = n−1 X i=0 m−1 X i=0 X(si )(ti+1 − ti ) X(s′i )(t′i+1 − t′i ) 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Ta có tồn tại: lim E(SI ) = lim |I|→0 |I|→0 lim cov(SI , SJ ) = |I|,|J|→0 = n−1 X m(si )(ti+1 − ti ) = i=0 n−1 m−1 X X lim |I|,|J|→0 Z bZ a i=0 j=0 Z b m(t)dt a K(si, s′j )(ti+1 − ti )(t′j+1 − t′j ) b K(s, t)dsdt a Ta có tồn lim SI L2 Vậy X L2 khả tích |I|→0 Ví dụ 1.2 Giả sử W = (W (t), t > 0) hàm ngẫu nhiên Wiener Xét hàm ngẫu nhiên X = (X(t), t > 0) xác định bởi: Z t W (s)ds X(t) = Tìm hàm trung bình hàm tự tương quan X Trước hết ta tìm kì vọng phương sai X(t) Ta có: Z t EW (s)ds = EX(t) = Z tZ t Z t min(s, u)dsdu V arX(t) = V ar[ W (s)ds] = 0 Z t Z tZ u uds]du sds + [ = u 0 Z t u2 t3 (tu − )du = = Để tìm hàm tự tương quan X(t) giả sử s < t Ta có: Z t X(t) = X(s) + (t − s)W (s) + [W (u) − W (s)]du s → cov(X(s), X(t)) = EX(s)X(t) = EX(s) + (t − s)EX(s)W (s)   Z t (1.35) + E X(s) [W (u) − W (s)]du s 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Mặt khác theo trên: s3 EX(s)2 = V arX(s) =  Z s W (s)W (u)du EX(s)W (s) = E Z s Z s cov(W (s), W (u))du E[W (s)W (u)]du = = 0 Z s s2 udu = = Do W (u), u s W (u) − W (s), s u t độc lập nên X(s) = Rt Rs W (u)du ξ = s [W (u) − W (s)] độc lập Vì vậy:   Z t E X(s) [W (u) − W (s)]du = EX(s)Eξ = s Thay vào 1.35 ta được: Với s t thì: s3 s2 s2 cov(X(s), X(t)) = + (t − s) = (3t − s) Ví dụ 1.3 Giả sử N = N (t), t > hàm ngẫu nhiên Poisson với tham số λ > 0, ξ biến ngẫu nhiên rời rạc P (ξ = a) = P (ξ = −a) = 0, độc lập với N = N (t), t > Xét hàm ngẫu nhiên V = V (t), t > X = X(t), t > cho bởi: V (t) = ξ(−1)N (t) Z t V (s)ds X(t) = Ta hình dung vật chuyển động chịu va đập ngẫu nhiên Giả sử N(t) số lần va đập hạt khoảng thời gian (0; t] Tại thời điểm ban đầu vận tốc hạt ξ Vật giữ ngun vận tốc đến gặp va chạm Mỗi lần va chạm vận tốc vật đổi dấu Như V (t) vận tốc vật thời điểm t X(t) quãng đường vật khoảng thời gian (0;t] Hãy tính kì vọng phương sai V(t), X(t) 20 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Trước hết ta có: EV (t) = (Eξ)E(−1)N (t) = Z t EV (s)ds = → EX(t) = Lại có: V arV (t) = EV (t)2 + Eξ = a2 Z tZ t K(u, v)dudv V arX(t) = (1.36) K(s, t) hàm tự tương quan V(t) Giả sử s < t Khi đó: K(s, t) = EV (s)V (t) = E[ξ 2(−1)N (s)+N (t)] = a2 E[(−1)2N (s)+N (t)−N (s)] = a2 E[(−1)N (t)−N (s)] ∞ k X −λ(t−s) λ(t − s) (−1)k =a e k! k=0 = a2 e−λ(t−s) e−λ(t−s) = a2 e−2λ(t−s) Vì vậy: K(s, t) = a2 e−β|t−s| , Trong β = 2λ Thay vào 1.36 ta được: V arX(t) = a = a2 + a2 Z tZ t e−β|u−v| dudv Z0 Z e−β(u−v) dudv Z Z 06v6u6t e−β(v−u) dudv Z 0Z6u6v6t e−β(u−v) dudv 06v 6u6t Z u Z t −β(u−v) e−β(u−v) dv e du = 2a = 2a2 0 = 2a −βt (e + βt − 1) β2 Định lý sau cho ta khai triển hàm ngẫu nhiên thành chuỗi ngẫu nhiên 21 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Định lý 1.8 (Khai triển Karunen-Loeve) Cho X = X(t), t ∈ [a, b] hàm ngẫu nhiên L2 liên tục Khi tồn dãy đại lượng ngẫu nhiên ξn đôi khơng tương quan với kì vọng dãy hàm tất định φn (t) cho ∀t ∈ [a, b] ta có khai triển sau: ∞ X X(t) = m(t) + ξn φn (t) (1.37) n=1 đó: • m(t) hàm trung bình X(t) • Dãy φn (t) sở trực chuẩn L2 [a, b] hàm riêng tốn tử tích phân A: L2 [a, b] → L2 [a, b] cho Z b K(s, t)x(s)ds Ax(t) = a K(s,t) hàm tự tương quan X • Eξn = 0, V arξn = λn λn giá trị riêng A ứng với hàm riêng φn (t) Sự hội tụ chuỗi (1.37) hội tụ L2 Chứng minh: Xét tốn tử tích phân A:L2 [a, b] → L2 [a, b] cho bởi: Z b K(s, t)x(s)ds Ax(t) = a Theo lý thuyết phương trình tích phân tồn sở trực chuẩn L2[a, b] gồm hàm riêng φn (t) với giá trị riêng tương ứng λn > A Z b K(s, t)φn(t)ds = λn φn (t) Aφn (t) = a K(s, t) = ∞ X λn φn (s)φn (t) n=1 chuỗi hội tụ tuyệt đối theo hai biến s,t Đặt Y (t) = X(t) − m(t) ta có EY (t) = 0, EY (s)Y (t) + K(s, t) Đặt: Z b φn (t)Y (t)dt ξn = a 22 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Ta có: Z b φn (t)EY (t)dt = Z bZ b φm (s)φn (t)EY (s)Y (t)dsdt cov(ξn , ξm ) = Eξnξm = a a Z bZ b φm (s)φn(t)K(s, t)dsdt = a a Z b Z b K(s, t)φm(s)ds φn (t)dt = a a Z b = λm φm (s)φn (t)dt = λn δmn Eξn = a a Ở δmn ký hiệu Kronecke Vậy cov(ξn , ξm ) = m 6= m V arξn = λn lại có: Z b Y (t)Y (s)φk (s)ds EY (t)ξk = E a Z b K(s, t)φk (s)ds = λk φk (t) = a  2 n X E Y (t) − ξk φk (t) k=1 = EY (t) − = K(t, t) − = K(t, t) − n → ∞ Vậy Y (t) = P∞ k=1 ξk φk (t) n X φk (t)EY (t)ξk + E( k=1 n X λk φ2k (t) + k=1 n X k=1 n X ξk φk (t))2 k=1 n X λk φ2k (t) k=1 λk φ2k (t) → L2 ta có (1.37) Chú ý: Nếu X(t) hàm ngẫu nhiên Gauss ξn dãy biến ngẫu nhiên Gauss khơng tương quan chúng độc lập Ví dụ 1.4 Ta tìm khai triển Karunen-Loeve hàm ngẫu nhiên Wiener 23 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien [0;1] Ta có m(t) = 0, K(s, t) = min(s, t) Xét phương trình: Z min(s, t)φn(s)ds = λn φn (t) Z Z t φn (s)ds = λn φn (t) sφn (s)ds + t → t Z t ′ φn (s)ds → λn φn (t) = − → λn φ′′n (t) = −φn (t) Từ hệ phương trình vi phân với điều kiện ban đầu φn (0) = 0, φ′n (1) = R1 điều kiện chuẩn hóa φ2n (t)dt = ta tìm được: √ φn (t) = 2sin(n + )πt λn = n = 1, 2, (n + 21 )2π Cho nên: ∞ √ X ξn sin(n + )πt W (t) = 2 n=1 dãy (ξn), n = 1, 2, dãy biến Gauss độc lập N (0, λn) Một khai triển Karunen-Loeve khác hàm ngẫu nhiên Wiener [0;1] thiết lập sau: Đặt X(t) = W (t) − tW (1) Dễ thấy X(t) hàm ngẫu nhiên Gauss với hàm trung bình m(t)=0 hàm tự tương quan K(s, t) = min(s − t) − ts Tương tự ta tìm hàm riêng giá trị riêng là: √ φn (t) = 2sin(nπt) n = 1, 2, λn = 2 nπ Vì : ∞ √ X X(t) = ξn sinnπt n=1 ∞ √ X ξn sinnπt → W (t) = tW (1) + n=1 24 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (ξn ), n = 1, 2, dãy biến Gauss độc lập Đặt ξ0 = W (1) dễ kiểm tra Eξ0 = 0, Eξ02 = và: √ Z E(W (t) − tW (1))W (1)sinnπtdt Eξ + 0ξn = √ Z = (EW (t)W (1) − tEW (1)2)sinnπtdt = 0 Do : ∞ √ X ξn sinnπt W (t) = tξ0 + nπ n=1 dãy (ξn), n = 0, 1, 2, dãy biến Gauss độc lập N (0, 1) 1.3 1.3.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục Định nghĩa 1.3 Cho E không gian metric khả ly Y không gian Banach khả ly Một ánh xạ Φ : Ω × E → Y gọi toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y với x ∈ E, Φ(ω, x) biến ngẫu nhiên Y giá trị Từ quan điểm lý thuyết xác suất, toán tử ngẫu nhiên Φ : Ω × E → Y định nghĩa ánh xạ Φ từ E vào LY0 (Ω) đặt tương ứng phần tử x ∈ E với biến ngẫu nhiên Y- giá trị Φ(x) xác định Φx(ω) + Φ(ω, x) Sau ta định nghĩa số tính chất quy tốn tử ngẫu nhiên Định nghĩa 1.4 Cho Φ toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y Φ gọi liên tục x0 ∈ E với ω ∈ Ω ánh xạ x → Φ(ω, x) liên tục x0 Φ gọi liên tục E liên tục điểm x0 ∈ E Φ gọi liên tục ngẫu nhiên điểm x0 ∈ E với dãy (xn) ⊂ E cho lim xn = x0 ∈ E với ε > ta có: lim P (ω : ||Φ(ω, xn) − Φ(ω, x0)|| > ε) = n→∞ 25 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Φ gọi liên tục ngẫu nhiên E liên tục điểm x0 ∈ E Định nghĩa 1.5 Giả sử E khơng gian Banach Tốn tử ngẫu nhiên Φ từ E vào Y gọi tuyến tính nếu: với x1, x2 ∈ E, λ1, λ2 ∈ R ta có: Φ(ω, λ1x1 + λ2 x2 ) = λ1 Φ(ω, x1) + λ2 Φ(ω, x2) hầu chắn Toán tử ngẫu nhiên Φ từ E vào Y gọi tốn tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên Φ tuyến tính liên tục ngẫu nhiên Toán tử ngẫu nhiên Φ từ E vào Y gọi tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn A tuyến tính tồn biến ngẫu nhiên không âm k(ω) cho với x ∈ E : ||Φx(ω)|| k(ω)||x|| hầu chắn Định lý 1.9 Một tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ E vào Y liên tục ngẫu nhiên nếu: lim sup P (||Ax|| > t) = t→∞ ||x||61 (1.38) Chứng minh: Giả sử A liên tục ngẫu nhiên Cho ε > Do A liên tục ngẫu nhiên nên tồn δ > cho ||x|| < δ P (||Ax|| > 1) < ε Nếu t > với x: ||x|| ta có: δ P (||Ax|| > t) = P (||A(x/t)|| > 1) < ε < δ Điều chứng minh (1.38) Ngược lại giả sử có (1.38) Cho trước c > 0, ε > tồn t > cho P (||Ax|| > t) < ε với x ||x|| Lấy δ = ct ta có t||x|| < c ||x|| < δ Do ||x|| < δ thì: || xt || t P (||Ax|| > c) P (||Ax|| > t||x||) = P (||A(x/||x||)|| > t) < ε 26 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Vậy: lim P (||Ax|| > c) = x→0 tức A liên tục ngẫu nhiên Từ đó: lim P (||A(xn ) − A(x0)|| > c) = P (||A(xn − x0)|| > c) = xn →x0 Từ định lý ta suy A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn A tốn tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên Tuy nhiên điều ngược lại không Sau số ví dụ tốn tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên Ví dụ 1.5 Giả sử T1 , T2, , Tn ∈ L(E, Y ) α1 , α2 , , αn biến ngẫu nhiên thực Khi dễ thấy toán tử ngẫu nhiên A xác định bởi: Ax(ω) = n X αk (ω)Tk x k=1 toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Ví dụ 1.6 Cho K(s, t, ω) hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo liên tục hình vng [0; 1] × [0; 1] Với hàm x(t) ∈ C[0; 1] ta định nghĩa: Z K(t, s, ω)x(s)ds Ax(t, ω) = Khi y(t, ω) = Ax(t, ω) hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo liên tục Dễ thấy A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính từ C[0; 1] vào C[0; 1] Vì K(t, s, ω) có quỹ đạo liên tục nên tồn biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C([0, 1] × [0, 1]) xác định ξ(ω) = K(., , ω) Ta có: Z |K(t, s, ω)|ds ||ξ(ω)|| ||x|| |Ax(t, ω)| ||x|| Do A tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Ví dụ 1.7 Xác định tốn tử ngẫu nhiên A từ L2 [0, 1] vào C[0, 1] bởi: Z t x(s)dW (s) Ax(t) = 27 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien (LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien(LUAN.van.THAC.si).phuong.trinh.tich.phan.ngau.nhien Dễ thấy A tuyến tính Ta chứng minh A liên tục ngẫu nhiên Thật vậy, theo bất đẳng thức martingale ta có: P (||Ax|| > r) = P { sup | t∈[0,1] Z 1 E| r2 Z t x(s)dW (s)|2 > r2} x(s)dW (s)|2 = Vậy ||x||2 r =0 t→∞ t2 lim sup P (||Ax|| > t) lim t→∞ ||x||61 Theo định lý (1.9) A liên tục ngẫu nhiên Vậy A toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục từ L2 [0, 1] vào C[0, 1] Ta chứng minh A không bị chặn Với h > gọi xh(t) hàm cho bởi: ( √ 1 t h 2hlnln h xh(t) = ngược lại Ta có xh ∈ L2 [0, 1] và: ||xh || = = Z x2h (t)dt = Z h dt 2hlnln h1 → h → 2lnln h1 Lại có: ||Axh (ω)|| = sup ||Axh (t)|| > ||Axh (1)||