Một số kiến thức chuẩn bị
Trong phần trình bày của luận văn, chúng tôi tập trung vào việc nghiên cứu phương pháp giải gần đúng cho bài toán giá trị ban đầu liên quan đến phương trình vi phân cấp một, thường được gọi là bài toán Cauchy.
Hàm y(t) : [t 0 , T ] → R n là hàm số cần xác định, với giá trị ban đầu y 0 ∈ R n và hàm vế phải f : [t 0 , T ] × R n → R n đã cho Giả thiết rằng thời gian ban đầu t 0 là hữu hạn, trong khi thời gian T có thể tiến đến vô cùng trong hệ động lực học Để đơn giản hóa, ta giả sử t 0 = 0.
Khi f = f(y), phương trình được gọi là dừng (autonomous) Ta có thể giả định rằng phương trình là dừng mà không mất tính tổng quát Nếu phương trình không ở dạng dừng, ta có thể thêm biến phụ y n+1 = t và đặt y ˆ = (y 1, y 2, , y n+1) Như vậy, phương trình sẽ được viết lại dưới dạng ˆ y 0 = ˆ f (ˆ y), với f ˆ (ˆ y) = f (y), 1 T.
Các kết quả liên quan đến bài toán giá trị ban đầu, bao gồm sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm, cũng như sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ liệu ban đầu, thường được trình bày trong nhiều giáo trình về phương trình vi phân.
Từ giờ cho tới hết phần trình bày của luận văn, chúng ta giả thiết rằng nghiệm của bài toán Cauchy là duy nhất toàn cục trên [0, T] Điểm y ¯ ∈ R n được gọi là điểm bất động hay điểm cân bằng của phương trình nếu f (¯ y) = 0 Nếu y ¯ là một điểm bất động, ta sẽ tiếp tục phân tích các đặc điểm của nó.
1 Điểm (vị trí) ổn định (stable) nếu với mọi > 0 , tồn tại δ = δ() > 0 sao cho nếu y 0 ∈ B(¯ y, δ) thì nghiệm y(t, y 0 ) ∈ B(¯ y, ) với mọi t ≥ 0
2 Điểm ổn định tiệm cận (asymptotically stable) nếu y là ổn định và
||y(t, y 0 ) − y|| → 0 khi t → ∞ với mọi ||y 0 − y|| đủ nhỏ.
3 Điểm không ổn định nếu điều kiện 1 của định nghĩa không được thỏa mãn.
Nếu y ¯ ổn định, các lời giải gần y ¯ sẽ nằm trong hình cầu tâm y ¯ với bán kính nhất định Nếu y ¯ ổn định tiệm cận, nó sẽ hút các lời giải gần đó, dẫn đến hội tụ về y ¯ Điều này cho thấy rằng nếu y ¯ ổn định tiệm cận, nó cũng ổn định; ngược lại, nếu y ¯ ổn định nhưng không tiệm cận, thì được gọi là ổn định yếu Định nghĩa 1.3: Giả sử f : R n → R n là hàm C 1, Jacobian của hàm f tại điểm bất động y ¯ được ký hiệu như thế nào.
Nếu ma trận J có tất cả các giá trị riêng λ k với phần thực Re(λ k ) khác 0, thì y ¯ được gọi là điểm bất động hyperbolic Ngược lại, nếu có ít nhất một giá trị riêng có phần thực bằng 0, y ¯ sẽ được gọi là điểm bất động không hyperbolic (non-hyperbolic).
Giả sử f là hàm số khả vi liên tục với y ¯ là điểm bất động hyperbolic và y(t) là một nghiệm của phương trình (1.2) với điều kiện ban đầu y 0 Ta định nghĩa (t) = y(t) − y ¯ là sự thay đổi (nhiễu) của nghiệm y(t) xung quanh điểm bất động hyperbolic y ¯ Áp dụng khai triển Taylor và bỏ qua các thành phần bậc hai trở đi, ta có thể phân tích sự biến đổi này một cách chính xác hơn.
Phương trình (1.3) được gọi là phương trình tuyến tính hóa cho phương trình nhiễu xung quanh điểm ổn định hyperbolic y ¯ Theo Định lý 1.1, nếu f là hàm số khả vi liên tục và y ¯ là một điểm bất động hyperbolic, thì y ¯ sẽ ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đối với các trạng thái ban đầu 0 = y 0 − y với || 0 || đủ nhỏ, nghiệm (t) = 0 e tJ của (1.3) thỏa mãn điều kiện lim t→∞ (t) = 0.
Điều kiện Re(λ) < 0 cho mọi λ thuộc tập hợp các giá trị riêng σ(J) đảm bảo rằng điểm bất động y là ổn định Ngược lại, điểm bất động y sẽ không ổn định nếu tồn tại ít nhất một λ trong σ(J) với Re(λ) > 0 hoặc khi giới hạn lim t→∞ (t) tiến đến vô cùng.
Điểm y ¯ không phải là điểm bất động hyperbolic, do đó định lý không áp dụng Khi Re(λ) < 0 cho mọi λ thuộc σ(J), điểm y ¯ được gọi là điểm ổn định tuyến tính Điều này tương đương với việc phương trình tuyến tính 0 = J là ổn định.
Ví dụ 1.1 Xét hệ động lực xác định bởi phương trình Logistic y 0 = λy(1 − y), y(0) = y 0 (1.4) Phương trình này có nghiệm chính xác y(t) = y 0
(1 − y 0 )e −λt + y 0 (1.5)Phương trình (1.4) có hai điểm bất động là y = 0 , y ˆ = 1 Sử dụng Định lý
1 y ¯ = 0 là ổn định tiệm cận nếu λ < 0 và không ổn định nếu λ > 0
2 y ˆ = 1 là không ổn định nếu λ < 0 và ổn định tiệm cận nếu λ > 0
3 λ = 0 thì mọi hằng số đều là ổn định nhưng không ổn định hyperbolic.
Trong trường hợp λ < 0, tất cả các nghiệm của phương trình (1.4) với y0 < 1 sẽ hội tụ đơn điệu về ȳ = 0 Ngược lại, các nghiệm với y0 > 1 sẽ dẫn đến các quỹ đạo tăng trưởng không bị chặn trong thời gian hữu hạn, tức là các nghiệm bùng nổ Thời gian bùng nổ là một yếu tố quan trọng cần được xem xét.
Nếu λ > 0, các nghiệm với y0 > 0 sẽ hội tụ đơn điệu về yˆ = 1 Trong khi đó, các nghiệm với y0 < 0 sẽ dẫn đến các quỹ đạo tiến về −∞ trong thời gian hữu hạn T.
1 λ > 0 (1.7) Hình vẽ 1.1 - 1.4 biểu diễn các quỹ đạo của phương trình Logistic.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ trình bày lại một số khái niệm và kết quả quan trọng liên quan đến các phương pháp số để giải phương trình vi phân, đặc biệt là bài toán giá trị ban đầu.
Trong bài toán vi phân, ta có phương trình y 0 = f(t, y) với điều kiện 0 ≤ t ≤ T và y(0) = y 0, trong đó y và f thuộc R n Giả thiết rằng hàm f có tính trơn liên tục và các đạo hàm riêng của nó bị chặn, đảm bảo rằng lời giải của bài toán tồn tại duy nhất và có đạo hàm bị chặn đến cấp cần thiết.
Ta lấy một phân hoạch không nhất thiết đều của đoạn [0, T ] (rời rạc hóa trục thời gian) π = {0 = t 0 < t 1 < t 2 < < t N = T }, h n = t n − t n−1 được gọi là bước lưới hay cỡ bước (stepsize)
Rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính
Để minh họa hiện tượng không ổn định số khi sử dụng lược đồ sai phân bình thường, ta xem xét phương trình phân rã tuyến tính được xác định bởi dy/dt = -λy, với điều kiện y(0) = y0 và λ > 0 Trong đó, λ là tham số dương và y0 là điều kiện ban đầu Đối với mọi giá trị ban đầu y0, phương trình này có nghiệm duy nhất là y(t) = y0 e^(-λt) với t ≥ 0.
Tất cả nghiệm của phương trình (1.13) với các điều kiện ban đầu khác nhau đều giảm dần về 0 Khi giá trị của λ tăng lên, nghiệm tương ứng sẽ giảm về 0 nhanh hơn Nếu λ có giá trị lớn, bài toán được gọi là bài toán cương (stiff problem) Hình vẽ 1.5 minh họa nghiệm của phương trình (1.13) trong một số trường hợp cụ thể.
Sử dụng công thức Euler hiển rời rạc hóa, ta có phương trình sai phân y k+1 − y k = −λy k h, trong đó h là ∆t, t k = hk và y k là xấp xỉ cho y(t k) Phương trình này có thể được viết lại để thể hiện mối quan hệ giữa các biến.
Hình 1.5: Nghiệm của phương trình (1.13) trong một vài trường hợp y k+1 = (1 − h λ )y k , h λ = λh (1.15)
Phương trình (1.15) là phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng số Ta dễ dàng tìm được nghiệm của (1.15) y k+1 = y 0 (1 − h λ ) k (1.16)
Từ (1.16), ta có các kết luận sau đây (Hình ( 1.6 ) - ( 1.9 )).
1 Nếu 0 < h λ < 1 thì nghiệm y k đơn điệu dần về 0
3 Nếu 1 < h λ < 2 thì y k dao động (xung quanh nghiệm chính xác) với biên độ giảm dần về 0
4 Nếu h λ = 2 thì y k dao động (xung quanh nghiệm chính xác) với biên độ không đổi có độ lớn bằng 2
5 Nếu h λ > 2 thì y k dao động (xung quanh nghiệm chính xác) với biên
Chỉ có trường hợp 1 mang lại nghiệm gần đúng tương tự như nghiệm chính xác Các trường hợp còn lại với h λ ≥ 1 dẫn đến hiện tượng không ổn định số.
Hiện tượng này có thể được giải thích rằng phương trình (1.13) chỉ có một điểm bất động duy nhất là y(t) = 0, và với λ > 0, điểm này cũng là ổn định tuyến tính Tương tự, phương trình rời rạc (1.17) cũng có điểm bất động duy nhất là ȳn = 0, nhưng điểm này chỉ ổn định tuyến tính khi 0 < hλ < 1 Trong các trường hợp khác, điểm bất động này không ổn định tuyến tính, dẫn đến sự khác biệt giữa dáng điệu của nghiệm rời rạc và nghiệm chính xác.
Trong trường hợp này, hiện tượng bất ổn định số xuất hiện do lược đồ sai phân không duy trì tính ổn định cho điểm bất động của phương trình vi phân Đây là một nhược điểm phổ biến của các lược đồ sai phân thông thường Sự không bảo toàn tính chất điểm bất động của phương trình vi phân thường xảy ra trong hai khả năng khác nhau.
Phương trình sai phân và phương trình vi phân không chia sẻ cùng một tập hợp điểm bất động Các phương pháp như Runge-Kutta và Taylor thường tạo ra những điểm bất động giả, điều này phụ thuộc vào kích thước của bước lưới.
Điểm bất động y(t) ≡ y ¯ là điểm ổn định tuyến tính của phương trình vi phân, trong khi y k ≡ y ¯ không phải là điểm ổn định tuyến tính của phương trình sai phân Điều này cho thấy sự khác biệt giữa tính ổn định của hai loại phương trình.
Hiện tượng bất ổn định số có thể xảy ra ngay cả khi áp dụng các kỹ thuật tiên tiến trong việc xây dựng lược đồ sai phân bình thường, chẳng hạn như phương pháp Taylor cấp cao.
Ta xét bài toán giá trị ban đầu dy dt = f (y, t), y(0) = y 0 (1.17)
Sử dụng khai triển Taylor, ta có y ≈ y(t ) = y(t + h) = y(t ) + h dy
+ O(h 3 ) (1.18) Để có (1.18) ta cần giả thiết rằng nghiệm chính xác y(t) có đạo hàm cấp 3 tồn tại và bị chặn Từ (1.18) ta thu được y k+1 = y k + hf (y k , t k ) + h 2
Bây giờ ta lấy hàm f cụ thể là f = y 2 (1 − y) Từ (1.19) ta thu được y k+1 = y k + hy k 2 (1 − y k ) + h 2
2 y k 3 (1 − y k )(2 − y k ) (1.21) Như vậy khi ta rời rạc hóa phương trình dy dt = y 2 (1 − y), (1.22) bởi công thức (1.19) ta thu được phương trình sai phân (1.21) Nghiệm chính xác của (1.22) xác định bởi ln |y|
|1 − y| + 1 y = t + C, trong đó C là hằng số xác định được từ điều kiện đầu y(0) = y 0 Nghiệm chính xác của (1.22) được minh họa trong Hình 1.10
Ta thấy rằng, phương trình vi phân (1.22) có 3 điểm cố định là ¯ y (1) = ¯ y (2) = 0, y ¯ (3) = 1.
Nếu giá trị ban đầu y₀ > 0, mọi nghiệm sẽ hội tụ đơn điệu đến điểm bất động ȳ(3) = 1 Ngược lại, nếu y₀ < 0, các nghiệm sẽ tăng đơn điệu đến điểm bất động ȳ(1) = ȳ(2) = 0 Tuy nhiên, nghiệm của phương trình sai phân không có tính chất này Hình vẽ 1.11 minh họa nghiệm số từ phương pháp Taylor, cho thấy rằng khi bước h không quá nhỏ, lời giải số không duy trì được tính chất của lời giải chính xác Ngoài ba điểm bất động ȳ(1) = ȳ(2) = 0 và ȳ(3) = 1, phương trình sai phân từ phương pháp Taylor còn có hai điểm bất động giả ȳ(4,5) = 1.
Hình 1.10: Nghiệm của phương trình (1.22)
Phương pháp Taylor với h = 0.57 cho thấy hiện tượng tương tự như khi áp dụng phương pháp Euler (RK 1) và phương pháp hình thang (RK 2), như được minh họa trong Hình 1.12 và 1.13.
Rời rạc hóa hệ động lực học
Chúng ta xét phương trình Logistic y 0 = λy(1 − y), y(0) = y 0 (1.23)
Phương trình (1.23) có hai điểm bất động là y1 = 0 và y2 = 1, trong đó y1 = 0 không ổn định tuyến tính, còn y2 = 1 thì ổn định tuyến tính Nghiệm chính xác của phương trình (1.23) được xác định bởi công thức y(t) = y0 + (1 − y0)e^(-t).
1 Nếu giá trị ban đầu y 0 > 0 thì tất cả các nghiệm của (1.23) đều hội tụ đơn điệu về trạng thái ổn định y 2 = 1 (xem Hình 1.14 ).
2 Nếu giá trị ban đầu y 0 < 1 thì trong khoảng thời gian từ t 0 = 0 đến t ∗ = ln 1+|y |y 0 |
0 | mọi nghiệm đều giảm tới −∞ , sau đó từ khoảng thời gian t > t ∗ thì tất cả các nghiệm lại hội tụ đơn điệu về y 2 = 1 (xem Hình 1.15 ).
Ta rời rạc hóa (1.23) bằng các công thức sai phân khác nhau Đầu tiên, sử dụng công thức sai phân trung tâm, ta thu được y k+1 − y k−1
Phương trình (1.25) là phương trình sai phân cấp hai, yêu cầu giá trị y₁ để tìm các định nghiệm Điều kiện đầu của (1.23) chỉ cung cấp y₀, do đó cần xấp xỉ y₁ từ y₀ bằng các công thức một bước như phương pháp Runge - Kutta Cụ thể, công thức Euler hiển được sử dụng để xấp xỉ y₁ từ y₀ mà không làm giảm độ chính xác của công thức sai phân trung tâm Kết quả xấp xỉ cho y₁ được tính theo công thức: y₁ = y₀ + hy₀(1 - y₀) (1.26) Nghiệm của phương trình sai phân (1.25) có thể được xác định trong một số trường hợp cụ thể.
Hình 1.16: Nghiệm số thu được từ công thức sai phân trung tâm
Trong trường hợp này, nghiệm số từ phương trình sai phân trung tâm không chính xác Để giải thích kết quả, ta phân tích tính ổn định tuyến tính của hai điểm bất động của phương trình (1.25) Cần lưu ý rằng phương trình này có hai nghiệm hằng, cụ thể là y k = ¯ y (0) = 0 và y k = ¯ y (1) = 1.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng y ¯ (0) = 0 và y ¯ (1) = 1 đều là điểm bất động không ổn định tuyến tính của phương trình sai phân (1.25) Đối với phương trình vi phân (1.23), y(t) = 0 là điểm bất động không ổn định tuyến tính, trong khi y(t) = 1 là điểm bất động ổn định tuyến tính Để phân tích tính ổn định của nghiệm hằng y k = ¯ y (0) = 0, chúng ta sẽ xem xét phương trình nhiễu xung quanh y ¯ (0) với y k = y (0) + k, trong đó | k | ≤ 1.
Phương trình tuyến tính hóa tương ứng là k+1 − k−1
Phương trình sai phân cấp hai (1.29) có nghiệm k = A(r + ) k + B(r − ) k , (1.30) trong đó A và B là các hằng số nhỏ tùy ý, được xác định từ hai điều kiện đầu với 0 , 1 đã có và r + = h + √
Số hạng đầu tiên trong biểu thức (1.30) tăng theo cấp số nhân với công bội r, trong khi số hạng thứ hai dao động quanh trục Ox với biên độ giảm theo cấp số nhân Điều này dẫn đến việc k không thể tiến gần về 0 khi k → ∞ Vì vậy, y ¯ (0) = 0 không phải là điểm bất động ổn định tuyến tính.
Một cách tương tự, ta xem xét sự thay đổi của nghiệm xung quanh điểm bất động y (1) = 1 Phương trình tuyến tính hóa tương ứng là η k+1 − η k−1
Phương trình sai phân cấp hai (1.32) có nghiệm η k = C (r + ) k + D(r − ) k , (1.33) trong đó C và D là các hằng số nhỏ tùy ý, được xác định từ hai điều kiện đầu nếu 0 , 1 đã có và r + = −h + √
Từ (1.33) và (1.34), ta nhận thấy số hạng đầu tiên ở vế phải của (1.33) giảm theo cấp số nhân với công bội r, trong khi số hạng thứ hai ở vế phải của (1.30) dao động quanh trục Ox với biên độ tăng theo cấp số nhân.
Do đó y ¯ (1) = 1 cũng không phải điểm bất động ổn định tuyến tính.
Từ ví dụ trên, ta nhận thấy rằng phương trình sai phân từ công thức sai phân trung tâm có hai điểm bất động giống như phương trình vi phân Tuy nhiên, phương trình vi phân sở hữu một điểm ổn định tuyến tính và một điểm ổn định không tuyến tính, trong khi đó, cả hai điểm bất động của phương trình sai phân đều không ổn định tuyến tính Điều này dẫn đến hiện tượng không ổn định số.
Kết luận từ ví dụ này cho thấy việc sử dụng công thức sai cho phương trình sai phân cấp hai có hệ nghiệm cơ bản gồm hai hàm r − (h) và r + (h), trong khi hệ nghiệm của phương trình vi phân cấp một chỉ có một hàm Do đó, cần tránh sử dụng các công thức rời rạc hóa đạo hàm có cấp chính xác cao hơn cấp của đạo hàm trong phương trình vi phân Đây là một quy tắc quan trọng trong việc xây dựng các lược đồ sai phân hiệu quả.
Bây giờ chúng ta xem xét kiểu rời rạc hóa sau đây cho phương trình Logistic y k+1 − y k−1
Trong công thức (1.35), ta có 2h = y k−1 (1 − y k+1 ), trong đó hàm y(1 − y) được rời rạc hóa không địa phương trên lưới thông qua các giá trị tại các nút k − 1 và k + 1 Điều này khác với công thức (1.25), nơi hàm được rời rạc hóa địa phương tại nút k Khi đặt x k = 1 y k và thay vào (1.35), ta nhận được x k+1 − 1.
Phương trình (1.35) là phương trình sai phân phi tuyến cấp hai, trong khi (1.36) là phương trình sai phân tuyến tính, không thuần nhất với hệ số hằng số Giải phương trình (1.36) cho ra nghiệm tổng quát x k = 1 + h A + B(−1) k i (1 + 2h) −k/2, với A và B là các hằng số tùy ý Thay ngược trở lại, ta thu được y k = 1.
Nghiệm của phương trình (1.38) được thể hiện qua Hình 1.17 - 1.18 Nghiệm thu được trong trường hợp này có đặc điểm tương tự như nghiệm chính xác, chỉ khác biệt ở sự dao động nhỏ diễn ra vào thời điểm đầu.
Kết luận của chúng tôi cho thấy rằng rời rạc hóa không địa phương thường mang lại kết quả tốt hơn so với rời rạc hóa địa phương Đây là một quy tắc quan trọng trong việc phát triển các lược đồ khác thường.
Ví dụ cuối cùng trong mục này cũng cho chúng ta các kết luận tương tự.
Cụ thể, chúng ta rời rạc hóa phương trình Logistic bằng công thức Euler hiển (chính xác cấp một) y k+1 − y k h = y k (1 − y k ) (1.39)
Phương trình (1.39) có hai điểm bất động là y (0) = 0 , y (1) = 1 Các thay đổi (nhiễu) k , η k xung quanh các điểm bất động lần lượt xác định bởi k+1 − k h = k , η k+1 − η k h = −η k (1.40)
Từ đó, ta thu được k = 0 (1 + h) k , η k = η 0 (1 − h) k (1.41)
Kết quả cho thấy rằng điểm y(0) không ổn định với mọi giá trị h > 0 Ngược lại, tính ổn định tuyến tính của điểm bất động y(1) lại phụ thuộc vào kích thước bước h.
1 0 < h < 1 : y (1) ổn định tuyến tính, nhiễu giảm theo cấp số nhân.
2 1 < h < 2 : y (1) ổn định tuyến tính, tuy nhiên, nhiễu dao động với biên độ giảm theo cấp số nhân.
3 h > 2 : y (1) không ổn định tuyến tính, nhiễu dao động với biên độ tăng theo cấp số nhân.
Kết luận rằng lược đồ Euler duy trì tính ổn định của điểm bất động y (1) khi 0 < h < 2 Với cỡ bước này, tính chất nghiệm của phương trình vi phân được bảo toàn, do đó không xảy ra hiện tượng không ổn định số Nghiệm số thu được được thể hiện trong Hình 1.19 - 1.21.
Kiểu rời rạc tiếp theo được xây dựng bằng cách sử dụng công thức Euler hiển để xấp xỉ đạo hàm cấp một, đồng thời rời rạc hóa không địa phương hàm vế phải f(y) = y(1 − y) thông qua các nút k và k + 1 Cụ thể, công thức được thể hiện như sau: y k+1 − y k = h * y k (1 − y k+1).
Lược đồ sai phân chính xác
Phương trình vi phân cấp một vô hướng được xét là dy/dt = f(y, t, λ), với điều kiện y(t₀) = y₀, trong đó λ là tham số và hàm f(y, t, λ) đảm bảo tồn tại nghiệm duy nhất trên khoảng t₀ ≤ t < T Nghiệm duy nhất được ký hiệu là y(t) = φ(λ, y₀, t₀, t) và thỏa mãn điều kiện ban đầu φ(λ, y₀, t₀, t₀) = y₀ Nghiệm rời rạc của phương trình có thể được biểu diễn dưới dạng yₖ₊₁ = g(λ, h, yₖ, tₖ), với h = ∆t, tₖ = hk và yₖ ≈ y(tₖ) Nghiệm của phương trình sai phân có thể viết lại là yₖ₊₁ = ψ(λ, h, y₀, t₀, tₖ), trong đó ψ(λ, h, y₀, t₀, t₀) = u₀ Hai phương trình (1.44) và (1.47) được coi là có nghiệm tổng quát tương đương nếu yₖ = y(tₖ) với mọi h > 0 Lược đồ sai phân được định nghĩa là chính xác nếu nghiệm của phương trình sai phân tương đương với nghiệm của phương trình vi phân.
Nghiệm số từ lược đồ sai phân chính xác trùng khớp với nghiệm của phương trình vi phân, đồng nghĩa với việc sai số toàn cục tại các nút lưới bằng 0.
Sự tồn tại của lược đồ sai phân chính xác được thể hiện trong Định lý 1.3, liên quan đến phương trình vi phân cấp một Cụ thể, đối với phương trình dy/dt = f(y, t, λ) với điều kiện y(t₀) = y₀, luôn có lược đồ sai phân chính xác được xác định bởi công thức yₖ₊₁ = φ(λ, yₖ, tₖ, tₖ₊₁) Hàm φ trong công thức này phải thỏa mãn điều kiện đã nêu trong (1.45).
Kết quả sau đây được sử dụng để xây dựng lược đồ sai phân chính xác cho hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một Định lý 1.4 nêu rằng, giả sử n hàm số độc lập tuyến tính y(i)(t) xác định trên khoảng [t0, T] và y(t) là tổ hợp tuyến tính của các hàm này Nếu yk là hàm rời rạc trên lưới đều π, thì điều kiện cần và đủ để yk ≡ y(tk) với mọi k = 1, N là một yếu tố quan trọng trong việc xác định độ chính xác của phương pháp.
= 0, (1.52) trong đó ta ký hiệu y k (i) = y (i) (t k ) Chứng minh Xem [16], p 7 , Theorem 1.2 Nếu n y (i) (t), i = 1, 2, , N o là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình
Từ Định lý 1.3 - 1.4, ta nhận thấy rằng nếu có lời giải chính xác cho phương trình vi phân, thì lược đồ sai phân sẽ được xác định hoàn toàn Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, việc tìm kiếm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là không khả thi Do đó, các định lý này chỉ chứng minh sự tồn tại của lược đồ sai phân chính xác mà không cung cấp phương pháp xây dựng cho trường hợp tổng quát Mặc dù vậy, từ việc xây dựng lược đồ sai phân cho một số phương trình vi phân đã biết lời giải, chúng ta có thể phát triển các quy tắc tổng quát để tạo ra lược đồ sai phân khác thường.
Ví dụ 1.3 Xét phương trình phân rã tuyến tính (1.13) dy dt = −λy, y(0) = y 0 Nghiệm chính xác của (1.13) xác định bởi (1.14) y(t) = y 0 e −λt
Do đó, lược đồ sai phân chính xác được xác định bởi (1.52)
Từ đó, ta nhận được y k+1 = e −λh y k Viết lại phương trình trên ta thu được y k+1 − y k ( 1−e λ −λh ) = −λy k (1.53)
Ta chú ý rằng, công thức sai phân tiến xấp xỉ đạo hàm cấp một có dạng dy dt → y k+1 − y k h
Lược đồ Euler hiển tương ứng cho phương trình phân rã xác định bởi y k+1 − y k h = −λy k Điểm khác biệt giữa lược đồ chính xác và lược đồ Euler hiển là việc xấp xỉ đạo hàm cấp một; thay vì sử dụng công thức dy dt → y k+1 − y k h, lược đồ này áp dụng công thức dy dt → y k+1 − u k φ, trong đó hàm φ được xác định bởi φ(λ, h) = 1 − e −λh λ Hàm φ có tính chất φ(λ, h) = h + O(λh 2) khi h tiến đến 0.
Dao động điều hòa tuyến tính được mô hình hóa bởi phương trình vi phân cấp hai d²y/dt² + ω²y = 0, trong đó ω là hằng số thực Hệ hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình này là y(1)(t) = e^(iωt) và y(2)(t) = e^(-iωt).
Sử dụng (1.52) của Định lý 1.4 ta thu được
Tính toán tường minh định thức trên và sử dụng các biến đổi đơn giản, ta thu được phương trình sai phân cấp hai y k+1 − 2 cos(ωh)y k + y k−1 = 0.
2 ) ta viết lại phương trình sai phân dưới dạng y k+1 − 2y k + y k−1
Trong ví dụ này, đạo hàm cấp một được rời rạc hóa thông qua công thức sai phân cấp hai với mẫu số đặc biệt Đồng thời, hàm vế phải cũng cần được rời rạc hóa một cách địa phương.
Ví dụ 1.5 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng
du dt = au + bv, dw dt = cu + dw,
(1.59) trong đó ad − bc 6= 0 , u 0 = u(t 0 ) , w 0 = w(t 0 ) Một cách tương tự, ta thu được lược đồ chính xác xác định bởi u k+1 − u k φ = au k + bw k , w k+1 − ψw k φ = cu k + dw k , (1.60) trong đó ψ = λ 1 e λ 2 h − λ 2 e λ 1 h λ 1 − λ 2 , φ = e λ 1 h − e λ 2 h λ 1 − λ 2 (1.61)
Các kết quả của L - I W Roeger cung cấp phương pháp xây dựng lược đồ sai phân độc đáo cho hệ hai phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số bất kỳ Các lược đồ sai phân này được thiết kế dưới dạng x k+1 − x k φ(h) = A[θ x k+1 + (1 − θ) x k ].
Các lược đồ này khác với lược đồ mà R E Mickens đã xây dựng Xem
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét lại phương trình dao động điều hòa tuyến tính (1.57) đã đề cập trong Ví dụ 1.4 Bằng cách áp dụng phép đổi biến y 0 = w, phương trình (1.57) được chuyển đổi thành hệ phương trình vi phân (1.59), trong đó các hệ số a, b, c, d được xác định là a = 0, b = 1, c = −ω 2 và d = 0.
Lược đồ sai phân chính xác cho (1.57) tương ứng là y k+1 − cos(ωh)y k sin(ωh) ω
Một cách tương tự, đối với phương trình dao động tắt dần d 2 u dt 2 + 2 du dt + u = 0, (1.64) hay du dt = ω, dw dt = −u − 2w (1.65)
Trong dạng phương trình vi phân cấp hai (1.64), lược đồ sai phân chính xác có dạng u k+1 − 2u k + u k−1 φ 2 + 2 u k − ψu k−1 φ
Trong dạng hệ phương trình vi phân (1.65), lược đồ sai phân chính xác là u k+1 − ψu k φ = w k , (1.67a) w k+1 − ψw k φ = −u k − 2w k , (1.67b) trong đó ψ = e −h
Phương trình Logistic tổng quát được xác định bởi phương trình vi phân phi tuyến dy/dt = λ₁y - λ₂y² với điều kiện y(t₀) = y₀, trong đó λ₁ và λ₂ là các tham số không âm Để tìm nghiệm của phương trình này, chúng ta có thể áp dụng phương pháp tách biến với y(t) = λ₁y₀.
Một cách tương tự, lược đồ sai phân chính xác cho phương trình Logistic là y k+1 − y k e λ 1 h − 1 λ 1
Trong trường hợp đặc biệt, λ 1 = −λ , λ 2 = 0 thì (1.70) là lược đồ sai phân chính xác cho phương trình phân rã tuyến tính.
Nếu λ 1 = 0 , λ 2 = 1 , ta thu được lược đồ chính xác cho phương trình dy dt = −y 2 , (1.71) xác định bởi y k+1 − y k h = −y k+1 y k (1.72)
Xét phương trình vi phân phi tuyến dy/dt = -y³, thực hiện phép đổi biến z = y³, ta có dz/dt = -2z² Lược đồ sai phân chính xác tương ứng là z(k+1) - z(k) = -2z(k+1)z(k) Khi thực hiện đổi biến ngược lại, ta thu được y(k+1) - y(k) = -2y(k+1)² + y(k)y(k+1)y²(k).
Chúng ta có thể thấy rằng, hàm vế phải f = −y 3 được rời rạc hóa không địa phương như sau
Ví dụ 1.7 Cuối cùng, xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai d 2 u dt 2 = du dt (1.75)
Hệ nghiệm độc lập tuyến tính là u (1) (t) = 1, u (2) (t) = e λt
Lược đồ sai phân chính xác được xác định bởi u k 1 e λhk u k+1 1 e λh(k+1) u k+2 1 e λh(k+2)
Cuối cùng, ta thu được u k+1 − 2u k + u k−1 e λh − 1 λ h
Trong ví dụ này, đạo hàm được rời rạc hóa thông qua công thức sai phân trung tâm, sử dụng hàm mẫu số khác thường Đồng thời, hàm vế phải cũng được rời rạc hóa theo phương pháp không địa phương.
Bảng 1 trình bày các lược đồ sai phân chính xác cho một số phương trình vi phân Qua việc quan sát các lược đồ này, chúng ta có thể nhận thấy những đặc điểm quan trọng và ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các bài toán vi phân.
1 Các công thức rời rạc hóa đạo hàm có cấp chính xác đúng bằng cấp của đạo hàm xuất hiện trong phương trình vi phân.
Hàm vế phải cần được rời rạc hóa không địa phương trên lưới, phù hợp với các đánh giá trước đó về việc rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính và hệ động lực học Cuối chương này, chúng ta sẽ trình bày các quy tắc tổng quát để xây dựng lược đồ sai phân khác thường.
Lược đồ sai phân khác thường
Dựa trên các quan sát và đánh giá trước đó, chúng tôi đề xuất các quy tắc xây dựng lược đồ sai phân khác thường, được R Mickens giới thiệu vào năm 1980 Lược đồ sai phân khác thường đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực này.
Phương trình Lược đồ bình thường Lược đồ chính xác dy dt = −λy y k+1 − y k h = −λy k y k+1 − y k
= −λy k dy dt = −y 2 y k+1 − y k h = −y 2 k y k+1 − y k h = −y k y k+1 dy dt = −y 3 y k+1 − y k h = −y 3 k y k+1 − y k h = − 2y k+1 y k + y k+1 y 2 k y k+1 dy dt = λ 1 y − λ 2 y 2 y k+1 − y k h = λ 1 y k − λ 2 y 2 k y k+1 − y k e λ 1 h − 1 λ
Bảng 1 Lược đồ sai phân chính xác cho một số phương trình vi phân
Quy tắc 1 Cấp chính xác của công thức rời rạc hóa đạo hàm nên được chọn bằng đúng cấp của đạo hàm tương ứng trong phương trình vi phân.
Khi áp dụng công thức rời rạc hóa đạo hàm với cấp chính xác cao hơn cấp của đạo hàm, hệ nghiệm cơ bản của phương trình sai phân sẽ có nhiều hàm hơn so với hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân Điều này dẫn đến hiện tượng không ổn định số, như đã được minh chứng trong các ví dụ về rời rạc hóa hệ động lực học.
Quy tắc 2 chỉ ra rằng mẫu số trong các công thức rời rạc đạo hàm hiện đại thường phức tạp hơn so với mẫu số của các công thức rời rạc đạo hàm cổ điển.
Bình luận 2 Ví dụ, công thức rời rạc đạo hàm cấp một có dạng dy dt → y k+1 − ψy k φ , (1.77) trong đó ψ và φ có tính chất ψ(h) = 1 + O(h 2 ), φ(h) = h + O(h 2 ), h → 0 (1.78)
Các hàm số ψ và φ có thể phụ thuộc vào các tham số trong phương trình vi phân, cho phép tổng quát hóa định nghĩa đạo hàm thông thường Cụ thể, ta có thể viết: dy/dt = − lim h→0 [y(t + α(h)) − ψ(h)y(t)] / φ(h) Trong đó, ψ và φ là các hàm thỏa mãn tính chất nhất định, với φ(h) được gọi là hàm mẫu số Chương 2 sẽ trình bày cách lựa chọn hàm mẫu số nhằm bảo toàn tính chất nghiệm của phương trình vi phân.
Quy tắc 3 Các thành phần phi tuyến xuất hiện trong phương trình phân, nói chung, nên được rời rạc hóa không địa phương.
Trong phương trình vi phân Logistic, thành phần phi tuyến y² được thay thế bằng yₖ₊₁ yₖ, tức là thực hiện rời rạc hóa thông qua giá trị của hàm tại hai nút lưới k và k + 1 Ngoài ra, có thể áp dụng phương pháp rời rạc tổng quát hơn, chẳng hạn như y² = 2y² - yₖ₊₁ yₖ, với y² được thể hiện dưới dạng 2(yₖ)² - yₖ₊₁ yₖ.
Quy tắc 4 yêu cầu rằng các điều kiện đặc biệt cho nghiệm của phương trình vi phân cần phải được duy trì cho nghiệm của phương trình sai phân tương ứng với lược đồ sai phân.
Sự bất ổn định số có thể xảy ra khi phương trình rời rạc không đáp ứng các điều kiện quan trọng mà phương trình vi phân tương ứng thỏa mãn, như tính chất nghiệm dương, nghiệm đơn điệu, bị chặn và tuần hoàn Ngoài ra, trong các bài toán Cơ học và Vật lý, các tính chất bất biến như bảo toàn năng lượng và bảo toàn hình dạng hình học cũng là yêu cầu cần thiết.
Lược đồ sai phân khác thường không phải là lược đồ chính xác, nhưng hy vọng chúng không gây ra hiện tượng không ổn định số trong tính toán Các quy tắc đã nêu không dẫn đến lược đồ duy nhất, mà phụ thuộc vào các tính chất cụ thể của phương trình vi phân để xây dựng lược đồ thích hợp Trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ phát triển lược đồ sai phân khác thường nhằm bảo toàn các tính chất của các phương trình vi phân cụ thể.
Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân
Trong chương này, chúng ta sẽ phát triển các lược đồ sai phân khác thường cho một số phương trình vi phân một chiều, dựa trên việc rời rạc hóa không địa phương và tái chuẩn hóa mẫu số Những kết quả này được áp dụng cho phương trình vi phân có ba điểm bất động và các phương trình vi phân với vế phải là đa thức Các lược đồ sai phân này được thiết kế để bảo toàn các tính chất quan trọng của bài toán, bao gồm tính chất dương, tính chất đơn điệu và đặc biệt là tính ổn định tuyến tính cho các điểm bất động Các thử nghiệm số cho thấy rằng các lược đồ sai phân khác thường có ưu thế hơn so với các lược đồ sai phân thông thường khi giải quyết các bài toán có tính chất đặc biệt.
Xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa trên rời rạc hóa không địa phương
Mở đầu
Bài toán giá trị ban đầu được xem xét là dy/dt = f(y), với điều kiện y(t₀) = y₀, trong đó y là hàm chưa biết trên khoảng [t₀, T) và f là hàm cho trước Giả thiết rằng t₀ là hữu hạn và T có thể tiến ra dương vô cùng, đồng thời (2.1) có duy nhất nghiệm Để tìm nghiệm số cho (2.1), chúng ta rời rạc hóa thời gian bằng lưới điểm rời rạc {tₖ := t₀ + kh}, với h > 0 là bước lưới Ký hiệu yₖ là xấp xỉ cho nghiệm tại nút lưới thứ k, tức là yₖ ≈ y(tₖ) Nghiệm số xấp xỉ {yₖ} được xác định từ phương trình sai phân dưới dạng yₖ₊₁ = F(h, yₖ).
Lược đồ sai phân khác thường, được R Mickens giới thiệu vào năm 1980, là một phương pháp số nhằm giải phương trình vi phân (2.1) trong đó bảo toàn các tính chất của nghiệm tương ứng Theo R Lubuma và J S M Lubuma, lược đồ một bước (2.2) được xem là lược đồ sai phân khác thường nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện nhất định.
1 Trong công thức rời rạc đạo hàm cấp một ở (2.2), mẫu số truyền thống h được thay thế bằng một hàm số không âm φ(h) , sao cho φ(h) = h + O(h 2 ), h → 0 (2.3)
2 Các số hạng phi tuyến xuất hiện trong hàm vế phải f (y) của (2.1) phải được xấp xỉ hóa không địa phương Tức là, xấp xỉ thông qua giá trị của hàm số trên một vài điểm lưới. Định nghĩa 2.2 Giả sử rằng nghiệm của phương trình (2.1) thỏa mãn tính chất P nào đó Khi đó, lược đồ một bước (2.2) được gọi là ổn định (stable) đối với tính chất P hay bảo toàn tính chất P , nếu với mọi cỡ bước h > 0 nghiệm tương ứng của phương trình sai phân (2.2) cũng có tính chất P
Lược đồ sai phân khác thường được xây dựng dựa trên điều kiện 1 của Định nghĩa 2.1, thường gọi là tái chuẩn hóa mẫu số Trong khi đó, cách xây dựng dựa trên điều kiện 2 được biết đến như xấp xỉ hóa không địa phương Phần này chủ yếu tập trung vào việc phát triển các lược đồ khác thường dựa trên phương pháp xấp xỉ hóa không địa phương.
Lược đồ sai phân khác thường vượt trội so với lược đồ sai phân bình thường nhờ vào khả năng bảo toàn các tính chất của nghiệm phương trình vi phân với mọi cỡ bước h > 0 Ngược lại, lược đồ sai phân bình thường thường dẫn đến bất ổn định số khi cỡ bước h vượt quá ngưỡng h ∗, mà thường là một giá trị nhỏ Ví dụ, với phương trình phân rã tuyến tính, h ∗ = 1/λ, và khi λ lớn, h ∗ trở nên rất nhỏ Trong các hệ động lực học, khi thời gian T tiến ra ∞, việc chọn bước lưới quá nhỏ sẽ không hiệu quả cho tính toán.
Chúng ta sẽ tập trung vào các tính chất P quan trọng, bao gồm tính chất dương, tính đơn điệu, tính bị chặn, tính tuần hoàn, tính ổn định của các điểm bất động và một số tính chất bất biến khác Đặc biệt, trong phần này, sự chú ý chính sẽ được dành cho tính đơn điệu của nghiệm của phương trình vi phân.
Các lược đồ bảo toàn các tính chất đơn điệu
Chúng ta giả thiết rằng hàm F (h; y) trong (2.2) có đạo hàm cấp một liên tục đối với cả hai biến y ∈ R , h > 0 và thỏa mãn:
Dễ dàng nhận thấy nếu điều kiện (2.4) được thỏa mãn thì lược đồ (2.2) là tương thích (cấp chính xác ít nhất bằng 1 ) với phương trình vi phân (2.1).
Tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu được định nghĩa như sau: một tập hợp các hàm số thực G(Ω) xác định trên tập con Ω ⊂ [t , ∞) được coi là phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu tại t0 nếu với hai hàm y, z ∈ G(Ω) bất kỳ, điều kiện y(t0) ≤ z(t0) dẫn đến y(t) ≤ z(t) cho mọi t ∈ Ω.
Nghiệm của phương trình phân rã tuyến tính minh chứng cho tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu Định lý 2.1 nêu rõ điều kiện cần và đủ để lược đồ (2.2) bảo toàn tính chất này Cụ thể, lược đồ sai phân một bước (2.2) sẽ duy trì tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu khi và chỉ khi thỏa mãn những điều kiện nhất định.
Định lý 2.1 cung cấp tiêu chuẩn để xây dựng các lược đồ sai phân bảo toàn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu Trong bối cảnh này, chúng ta sẽ tiếp tục xem xét các lược đồ đảm bảo tính đơn điệu của nghiệm.
2 Tính chất đơn điệu của nghiệm
Phương trình ôtônôm mà chúng ta xem xét có thể có các điểm bất động thực, với các nghiệm có tính chất đơn điệu trên một số khoảng mở Tính chất tăng hoặc giảm của nghiệm được phân chia bởi các điểm y sao cho f(y) = 0 Định nghĩa lược đồ sai phân một bước (2.2) là bảo toàn tính chất đơn điệu của nghiệm (2.1) nếu nghiệm {y_k} của (2.2) giữ tính chất tăng hoặc giảm tương tự như nghiệm y(t) của (2.1) với giá trị ban đầu y_0 ∈ R Theo định lý 2.2, nếu lược đồ sai phân (2.2) bảo toàn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu và hai phương trình y = F(h, y) và f(y) = 0 có cùng tập hợp nghiệm y*, thì lược đồ (2.2) sẽ bảo toàn tính chất đơn điệu của nghiệm.
Theo Định lý 2.2, để lược đồ sai phân bảo toàn tính chất đơn điệu của nghiệm, cần đảm bảo tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu và lược đồ phải có cùng tập hợp điểm bất động với phương trình vi phân Trong khi các lược đồ bình thường và lược đồ khác thường có thể thỏa mãn điều kiện đầu tiên, điều kiện thứ hai thường khó đạt được đối với các lược đồ bình thường như Runge.
Phương pháp Kutta hay Taylor thường tạo ra các điểm bất động giả phụ thuộc vào bước lưới Các lược đồ khác, được xây dựng thông qua việc rời rạc hóa không địa phương, có thể đáp ứng điều kiện này.
Mặc dù các lược đồ bình thường có thể có cùng tập hợp điểm bất động, nhưng chúng không nhất thiết bảo toàn tính chất ổn định tuyến tính của các điểm bất động với mọi bước lưới Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ khám phá các lược đồ khác thường có khả năng duy trì tính chất ổn định tuyến tính cho các điểm bất động.
3 Tính chất ổn định cơ bản
Nghiên cứu tính chất ổn định tuyến tính của các điểm bất động là rất quan trọng trong việc xác định tính chất nghiệm của phương trình vi phân Nghiệm của phương trình vi phân có thể đơn điệu trên các khoảng mở phân chia bởi các điểm bất động Nếu lược đồ sai phân không bảo toàn tính chất này, sẽ dẫn đến hiện tượng bất ổn định số Lược đồ (2.2) được coi là ổn định cơ bản nếu với mọi cỡ bước h > 0, tính chất ổn định tuyến tính của các điểm bất động được bảo toàn Điều này có nghĩa là các điểm bất động của phương trình sai phân và phương trình vi phân đều có tính chất ổn định Theo Định lý 2.3, với các giả thiết của Định lý 2.2, lược đồ sai phân (2.2) được xác định là ổn định cơ bản.
Ta tóm tắt kết quả của Định lý 2.1, 2.2, 2.3 đơn giản như sau
1 Bảo toàn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị đầu (∂F/∂y) ≥ 0 + bảo toàn tập hợp điểm bất động = ⇒ bảo toàn tính chất đơn điệu.
2 Bảo toàn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị đầu (∂F/∂y) ≥ 0 + bảo toàn tập hợp điểm bất động = ⇒ ổn định cơ bản.
Kết quả thu được sẽ được áp dụng để phát triển một lược đồ sai phân đặc biệt nhằm giải quyết phương trình Logistic và phương trình đốt cháy.
Xây dựng một vài lược đồ sai phân khác thường
Các lược đồ sai phân không địa phương thường được xây dựng thông qua việc rời rạc hóa các số hạng phi tuyến Cụ thể, các số hạng này trong vế phải của phương trình (2.1) được rời rạc hóa bằng nhiều phương pháp khác nhau, chẳng hạn như y^2(t_k) = y(t_k)y(t_k) ≈ y_k y_{k+1} và y_k y_{k-1} + y_{k+1}.
Chúng ta xem xét phương trình Logistic dy/dt = y - y², trong đó y² được xấp xỉ dưới dạng y² ≈ ayk² + (1 - a)yk yk+1 với a ∈ R Sự xấp xỉ này dẫn đến các lược đồ sai phân khác thường, thể hiện mối quan hệ giữa các giá trị y tại các thời điểm k và k+1.
Hay tương đương với lược đồ một bước y k+1 = F (h, y k ), F (h, y) = y + φ(h)y − φ(h)ay 2
Chúng ta sẽ xác định tham số a để đảm bảo lược đồ (2.12) đạt tính ổn định cơ bản, cụ thể là tham số a phải thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1 và 2.2 Đặc biệt, điều kiện của Định lý 2.1 được thể hiện qua bất phương trình a(a − 1)φ 2 (h)y 2 − 2aφ(h)y + 1 + φ(h) ≥ 0.
Vế trái của bất đẳng thức là một đa thức bậc hai theo biến y Áp dụng Định lý về dấu của tam thức bậc hai, chúng ta có thể dễ dàng rút ra kết luận.
Hơn nữa, F (h, y) còn có thể viết dưới dạng
1 + φ(h)(1 − a)y , điều đó chỉ ra rằng nếu a ≤ 0 thì với mọi h > 0 ta có
Tức là, nếu a ≤ 0 thì tập hợp điểm bất động của phương trình Logistic được bảo toàn Như vậy, Định lý 2.3 được thỏa mãn khi a ≤ 0
Tóm lại, nhờ các Định lý 2.1, 2.2 ta nhận được: Nếu a ≤ 0 thì lược đồ (2.11) là ổn định cơ bản.
Ta chọn hàm φ(h) = h , a = 0 , ta thu được lược đồ ẩn y k+1 − y k h = y k − y k y k+1 Dạng hiển tương ứng của lược đồ là y k+1 = (1 + h)y k
Kết quả thu được từ lược đồ được thể hiện trong Hình 2.1 và 2.2 Trong trường hợp này, lược đồ (2.11) duy trì tính chất của bài toán với mọi kích thước bước.
2 Phương trình đốt cháy (Combustion equation)
Chúng ta xét phương trình đốt cháy dy dt = y 2 (1 − y) (2.13)
Phương trình có hai điểm bất động là y ¯ (0) = 0 (bội 2) và y(1) = 1 ¯ (bội 1), trong đó y(1) = 1 ¯ là điểm bất động ổn định tuyến tính Đối với y ¯ (0) = 0, không thể kết luận về tính chất ổn định tuyến tính do f 0 (0) = 0 Tính chất đơn điệu của nghiệm được thể hiện như sau: nếu y 0 ∈ (−∞, 0) thì nghiệm đơn điệu tăng và giới hạn khi t → ∞ là 0; nếu y 0 ∈ (0, 1) thì nghiệm đơn điệu giảm và giới hạn là 1; nếu y 0 ∈ (1, +∞) thì nghiệm đơn điệu tăng và giới hạn cũng là 1.
Điểm bất động y ¯ (0) = 0 có xu hướng thu hút các lời giải phía dưới và đẩy các lời giải phía trên Mục tiêu của chúng ta là xây dựng các lược đồ sai phân giữ gìn các tính chất này Để đạt được điều đó, chúng ta sẽ xem xét một tập hợp các lược đồ sai phân đặc biệt, bao gồm công thức y k+1 − y k φ(h) = ay k 2 + (1 − a)y k và y k+1 − by k 3 − (1 − b)y 2 k.
Họ các lược đồ này được viết lại dưới dạng một bước y k+1 = F (h; y k ), F (h; y) = y + φ(h)ay 2 − φ(h)by 3
Các tham số a và b được xác định nhờ các Định lý 2.1 - 2.3 Cụ thể, ta thu được kết quả.
Mệnh đề 2.1 Lược đồ (2.14) ổn định cơ bản nếu a ≥ 1, b < 1
2 , và hàm mẫu số φ thỏa mãn tính chất
Chúng ta có thể chọn hàm φ(h) = (1 − e −hc )/c Từ đó, ta thu được lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính chất của bài toán.
Các lược đồ mà chúng ta đã xây dựng ở trên đạt cấp chính xác một Tiếp theo, chúng ta sẽ phát triển các lược đồ chính xác cấp hai thông qua việc kết hợp xấp xỉ hóa không địa phương và lựa chọn hàm mẫu số phù hợp.
Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp
Xét bài toán giá trị ban đầu dy dt = f (y), y(0) = y 0 (2.15) Xét các lược đồ khác thường một bước dạng y k+1 − y k ϕ(h) = g(y k , y k+1 , h) ≡ g(x, y, h) (2.16)
Ký hiệu y(t) là nghiệm chính xác của (2.15) với giá trị ban đầu y(0) = y k Khai triển hàm (y(h) − y(0))/ϕ(h) và hàm g(y(0), y(h), h) ta có y(h) − y(0) ϕ(h) = f (y k ) + f 0 (y k ) − ϕ 00 (0)
So sánh (2.17) với (2.18), chúng ta có điều kiện cần và đủ cho lược đồ chính xác cấp hai Định lý 2.4 khẳng định rằng lược đồ sai phân khác thường (2.16) đạt độ chính xác cấp hai khi và chỉ khi g(y k , y k , 0) = f (y k ).
∂y (y k , y k , 0) f (x k ) (2.19) Nếu ta giả thiết thêm ∂g/∂h ≡ 0 Ví dụ, trường hợp hàm lặp g không phụ thuộc biến h thì điều kiện thứ hai trong Định lý 2.4 trở thành
Chúng ta sẽ sử dụng kết quả này để xây dựng các lược đồ chính xác cấp hai bảo toàn các tính chất của bài toán.
1 Phương trình phân rã tuyến tính
Xét phương trình phân rã tuyến tính dy dt = −λy, λ > 0.
Lược đồ sai phân thu được từ công thức Euler ẩn có dạng y k+1 − y k h = −λy k+1 Trong trường hợp này ta có g(y k , y k+1 , h) = −λy k+1 , ϕ(h) = h Do đó, g(y k , y k , 0) = −λy k = f (y k ),
Lược đồ Euler ẩn đảm bảo tính ổn định cấp một, theo các Định lý 2.1 - 2.3 Điều này cho thấy lược đồ này duy trì tính ổn định tuyến tính toàn cục cho điểm bất động y ¯ = 0 Hơn nữa, lược đồ còn bảo toàn các tính chất đơn điệu của bài toán.
Bây giờ, ta xét lược đồ khác thường dạng y k+1 − y k ϕ(h) = −λy k+1 (2.21)
Ta xác định hàm mẫu số ϕ(h) để lược đồ có cấp chính xác hai.
Trong trường hợp này, hàm g(y k , y k+1 , h) = −λy k+1 Do đó, điều kiện đầu tiên của Định lý 2.4 được thỏa mãn Điều kiện thứ hai của định lý lúc này trở thành
2 Đẳng thức này tương đương với ϕ 00 (0) = λ (2.22)
Điều kiện cần và đủ để lược đồ (2.21) chính xác cấp hai được xác định bởi (2.22) Dựa vào các Định lý 2.1 - 2.3, chúng ta có thể xác định điều kiện để lược đồ (2.21) đảm bảo tính ổn định cơ bản và duy trì các tính chất đơn điệu của bài toán Bước đầu tiên là viết lại lược đồ (2.21) dưới dạng y k+1 = 1.
Theo Định lý 2.3, lược đồ được coi là ổn định cơ bản nếu hàm ϕ(h) không âm Kết hợp với công thức (2.22), chúng ta lựa chọn hàm ϕ(h) = e λh − 1 λ Do đó, công thức (2.21) trở thành lược đồ chính xác cấp hai, ổn định cơ bản và bảo toàn các tính chất đơn điệu của bài toán.
Ta xét phương trình Logistic dy dt = λy(1 − y).
Chúng tôi sẽ phát triển lược đồ chính xác cấp hai và ổn định cơ bản cho phương trình Logistic Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi sẽ xem xét họ các lược đồ đặc biệt có dạng y k+1 − y k ϕ(h) = λy k − aλy k 2 − (1 − a)λy k y k+1.
Dễ dàng kiểm tra điều kiện đầu tiên của Định lý 2.4 được thỏa mãn Điều kiện thứ hai của định lý tương đương với
Từ đó ta suy ra, lược đồ có cấp chính xác hai khi và chỉ khi a = 0, ϕ 00 (0) = λ (2.24) a = 0 nên lược đồ có dạng y k+1 − y k ϕ(h) = λy k − λy k y k+1 (2.25)
Ta viết lại lược đồ ở dạng hiển y k+1 = y k + ϕ(h)λy k
Từ đó, ta thấy (2.26) và phương trình Logistic có cùng tập hợp điểm bất động Hơn nữa
Lược đồ sẽ ổn định cơ bản nếu hàm ϕ(h) là không âm Bằng cách kết hợp với (2.24) và chọn hàm ϕ(h) = (e λh − 1)/λ, chúng ta có thể thu được lược đồ chính xác cấp hai, đồng thời đảm bảo tính ổn định cơ bản cho phương trình Logistic.
Chúng ta xét lược đồ khác thường sau cho phương trình đốt cháy (2.13) dy/dt = y 2 (1 − y) y k+1 − y k ϕ(h) = ay k 2 + (1 − a)y k y k+1 − by k 3 − (1 − b)y 2 k y k+1
Với kiểu rời rạc hóa này, điều kiện đầu tiên của Định lý 2.4 được thỏa mãn Điều kiện thứ hai của định lý trở thành
Từ đó, lược đồ có cấp chính xác hai khi và chỉ khi a = 0, b = −1/2, ϕ 00 (0) = 0.
Do đó, ta thu được lược đồ khác thường y k+1 − y k ϕ(h) = y k y k+1 − 3
Ta viết lại lược đồ dưới dạng hiển y k+1 = y k + 1
Từ đó, ta thấy phương trình sai phân và phương trình vi phân có cùng tập hợp điểm bất động Mặt khác ta có
, do đó, ∂F/∂y > 0 với mọi h, y khi và chỉ khi g(ϕ, y) = 3
Khảo sát hàm vế trái ta thu được
Nếu ϕ(h) < 1/2 thì ta có ∂F/∂y > 0 Hay lược đồ là ổn định cơ bản Tóm lại, ta cần chọn hàm ϕ(h) thỏa mãn ϕ 00 (0) = 0, ϕ(h) < 1
2 1 − e −(2h−4 cos h+4) , khi đó, lược đồ là chính xác cấp hai và ổn định cơ bản.
Kết hợp rời rạc hóa không địa phương với việc lựa chọn hàm mẫu số phù hợp cho phép chúng ta phát triển các lược đồ chính xác cấp hai, đồng thời bảo toàn các tính chất của bài toán Tuy nhiên, việc xây dựng các lược đồ có cấp chính xác cao hơn (lớn hơn 2) trong khi vẫn duy trì tính chất của bài toán là một thách thức lớn Tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng các kết quả hiện có để phát triển lược đồ sai phân không thường cho phương trình vi phân với ba điểm bất động.
Lược đồ sai phân khác thường cho phương trình vi phân có
Đặt bài toán
Xét phương trình vi phân với ba điểm bất động dạng \( y_0 = y(y - \alpha)(y - 1) = y^3 - (1 + \alpha)y^2 + \alpha y \) và \( y_0 = -y(y - \alpha)(y - 1) = -y^3 + (1 + \alpha)y^2 - \alpha y \), trong đó \( 0 \leq \alpha \leq 1 \) Khi \( \alpha = 0 \), phương trình trở thành phương trình đốt cháy đã được xem xét trước đó Nếu \( \alpha \neq 0 \), phương trình có ba điểm bất động là \( \bar{y_1} = 0 \), \( \bar{y_2} = \alpha \) và \( \bar{y_3} = 1 \).
Trên mỗi khoảng (0, α) , (α, 1) và (1, ∞) nghiệm của bài toán là đơn điệu (tăng hoặc giảm) Cụ thể, nghiệm của phương trình (2.27) có các tính chất sau đây:
1 Với t > 0 các nghiệm của phương trình với các giá trị ban đầu khác nhau đều dương.
2 Nếu giá trị ban đầu y 0 ∈ (0, α) và y 0 ∈ (1, ∞) thì mọi nghiệm của phương trình đều đơn điệu tăng Nếu giá trị ban đầu y 0 ∈ (α, 1) thì mọi nghiệm của phương trình là đơn điệu giảm.
3 Phương trình có ba điểm bất động Trong đó, α là điểm bất động ổn định tuyến tính, còn 0 và 1 là những điểm bất động không ổn định tuyến tính.
Tương tự, nghiệm của phương trình (2.28) có các tính chất gần giống (2.28) (tính chất 1 và 2 ngược lại) Cụ thể, ta có
1 Với t > 0 các nghiệm của phương trình với các giá trị ban đầu khác nhau đều dương.
2 Nếu giá trị ban đầu y 0 ∈ (0, α) hoặc y 0 ∈ (1, ∞) thì mọi nghiệm của phương trình đều đơn điệu giảm Nếu giá trị ban đầu y 0 ∈ (α, 1) thì mọi nghiệm của phương trình là đơn điệu tăng.
3 Phương trình có ba điểm bất động Trong đó, α là điểm bất động không ổn định tuyến tính, còn 0 và 1 là những điểm bất động ổn định tuyến tính.
Mục tiêu của chúng ta là phát triển các lược đồ sai phân khác thường nhằm bảo toàn các tính chất nghiệm của các phương trình (2.27) và (2.28) Các lược đồ này cần đảm bảo tính chất dương, tính chất đơn điệu và tính chất ổn định của các điểm bất động Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ xây dựng các lược đồ khác thường dựa trên các Định lý 2.1 đến 2.3 đã được trình bày trước đó Nội dung này dựa trên những kết quả đã được nghiên cứu.
Hình 2.4: Nghiệm của (2.27) với α < y(0) < 1 và 0 < y(0) < α
Hình 2.5: Nghiệm của (2.28) với các giá trị ban đầu khác nhau
Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường
1 Lược đồ sai phân khác thường cho y 0 = y(y − α)(y − 1)
Chúng ta xây dựng lược đồ sai phân khác thường cho (2.27) ở dạng y k+1 − y k φ = y k 2 [(θ 2 + 1)y k − θ 2 y k+1 ]
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình (2.29) với φ = h + O(h²) và các hệ số θ i ≥ 0 (i = 0, 1, 2) để đảm bảo tính dương của nghiệm trên khoảng [0, ∞) Tiếp theo, chúng ta đưa ra các điều kiện cần thiết cho các hệ số θ i nhằm đảm bảo rằng lược đồ (2.29) đạt được sự ổn định cơ bản Dựa trên các Định lý 2.1 - 2.3, chúng ta rút ra được kết quả quan trọng trong Định lý 2.5, trong đó các hệ số θ i cần thỏa mãn một bất đẳng thức nhất định.
3θ 0 + 2θ 0 θ 2 + 2θ 1 + 2θ 1 2 − θ 2 ≥ 0, thì lược đồ (2.29) bảo toàn các tính chất nghiệm của (2.27).
Chứng minh Ta chỉ cần kiểm tra các điều kiện của Định lý (2.1) - (2.3), xem
Khi θ 0 = θ 1 = θ 2 = 0 thì điều kiện của Định lý 2.5 hiển nhiên được thỏa mãn Từ đó, ta có hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.1 Lược đồ sai phân khác thường y k+1 − y k φ(h) = y k 3 − (1 + α)y k y k+1 + α k , (2.30) là lược đồ bảo toàn các tính chất của nghiệm của (2.27).
Chúng ta sẽ áp dụng lược đồ đã xây dựng để giải quyết bài toán cụ thể Cụ thể, xem xét phương trình (2.27) với tham số α = 0.5, dẫn đến phương trình có dạng dy/dt = y(y − 0.5)(y − 1).
Ta sử dụng lược đồ (2.30) ở Hệ quả 2.1 để giải bài toán Trong đó, ta chọn hàm mẫu số thông thường là φ(h) = h Lược đồ cho bài toán có dạng y k+1 − y k
= y 3 − 3 y y + 1 y Đây là lược đồ dạng ẩn, ta có thể đưa lược đồ về dạng hiển như sau y k+1 = y k + h(y 3 k + 1
Chúng ta tiến hành so sánh các nghiệm số thu được từ lược đồ sai phân khác thường với lược đồ sai phân bình thường, trong đó lược đồ bình thường được chọn là lược đồ từ công thức Runge-Kutta bốn nấc kinh điển Các nghiệm số này được thể hiện qua các Hình 2.6 - 2.9.
Lược đồ sai phân khác thường giữ nguyên các tính chất của bài toán bất kể cỡ bước, trong khi phương pháp Runge-Kutta bốn nấc cổ điển chỉ bảo toàn các tính chất này khi cỡ bước được chọn nhỏ đủ.
2 Lược đồ sai phân khác thường cho y 0 = −y(y − α)(y − 1)
Chúng ta xây dựng lược đồ sai phân khác thường cho (2.28) ở dạng y k+1 − y k φ = −y k 2 [(θ 2 + 1)y k − θ 2 y k+1 ] + (1 + α)y k [(θ 1 + 1)y k+1 − θ 1 y k ] − α[(θ 0 + 1)y k − θ 0 y k+1 ],
(2.31) trong đó, φ = h + O(h 2 ) , và θ i ≥ 0 , i = 0, 1, 2 Ta để ý rằng, khi α = 0 , θ 1 = a − 1 và θ 2 = −b , chúng ta thu được lược đồ sai phân khác thường cho phương trình đốt cháy trước đó. Định lý 2.6 Nếu
2θ 2 − 1 ≥ 0, (2.32) thì lược đồ (2.31) bảo toàn các tính chất nghiệm của (2.28).
Chứng minh Chứng minh tương tự Định lý 2.4 dựa trên Định lý 2.1 − 2.3 , xem [27], p 382 , Theorem 3
Chúng ta sẽ áp dụng các lược đồ đã xây dựng để giải bài toán và đánh giá hiệu quả của phương pháp Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét phương trình (2.28) với tham số α = 0.5, dẫn đến phương trình có dạng dy/dt = −y(y − 0.5)(y − 1).
Hình 2.7: Lược đồ sai phân khác thường, 0.5 = α < y(0) < 1, h = 16
Hình 2.9: Lược đồ sai phân khác thường, 0 < y(0) < 0.5 = α, h = 16
Ta sử dụng lược đồ (2.31) với θ 0 = θ 1 = 0 , θ 2 = 1 để giải bài toán Trong đó ta chọn hàm mẫu số thông thường là φ(h) = h Lược đồ cho bài toán có dạng y k+1 − y k h = −y k 2 (2y k+1 − y k ) + 3
2 y k+1 Đây là lược đồ dạng ẩn, ta có thể đưa lược đồ về dạng hiển như sau y k+1 = y k + hy k 3 + 3
Tương tự như thử nghiệm số cho phương trình (2.27) trước đó, lược đồ khác thường này bảo toàn các tính chất của bài toán Trong khi đó, phương pháp Runge-Kutta bốn nấc kinh điển chỉ duy trì tính chất của bài toán khi bước lưới được chọn nhỏ, như đã thể hiện trong Hình (2.10) - (2.14).
Xây dựng các lược đồ sai phân khác thường bằng cách tái chuẩn hóa mẫu số
Các kết quả chính
Giả sử hệ (3.1) có hữu hạn điểm cân bằng và Reλ khác 0 với mọi λ thuộc Ω, trong đó Ω được xác định bởi S y∈Γ σ (J (y)), với Γ là tập hợp các điểm cân bằng của hệ Lược đồ sai phân đặc biệt này bảo toàn tính ổn định cho hệ động lực học (3.1) dựa trên các định lý đã nêu Định lý 3.1 khẳng định rằng hàm φ(h) là một hàm thực trên R, thỏa mãn điều kiện φ(h) = h + O(h^2) và 0 < φ(h) < 1 cho mọi h > 0.
Ký hiệu q là số thực thỏa mãn q > max
Khi đó, lược đồ sai phân khác thường xây dựng dựa trên phương pháp θ là lược đồ ổn định cơ bản (elementary stable nonstandard method - ESN) y k+1 − y k φ(hq )/q = θf (y k+1 ) + (1 − θ)f (y k ) (3.4)
Chú ý 3.1 Trong trường hợp θ = 1 2 lược đồ sai phân bình thường y k+1 − y k
Lược đồ hình thang ẩn, còn được gọi là lược đồ ổn định cơ bản, là một phương pháp quan trọng trong giải tích số Bằng cách áp dụng Định lý 3.1 cho các trường hợp θ = 0 (phương pháp Euler ẩn) và θ = 1 (phương pháp Euler rõ), chúng ta có thể rút ra những hệ quả quan trọng cho việc phân tích ổn định của các lược đồ này.
Hệ quả 3.1 Giả sử φ(h) là hàm số thực thỏa mãn tính chất (3.3) và q là số thực thỏa mãn q > max
Khi đó, hai lược đồ dưới đây là ổn định cơ bản
1 Lược đồ Euler ESN hiển y k+1 − y k φ(hq)/q = f (y k ); (3.5)
2 Lược đồ Euler ESN ẩn y k+1 − y k φ(hq)/q = f (y k+1 ); (3.6)
Các lược đồ sai phân khác thường ổn định cơ bản được phát triển từ các phương pháp Runge-Kutta cấp hai, dựa trên Định lý 3.2 Theo Định lý 3.2, nếu φ(h) là hàm số thực thỏa mãn tính chất (3.3) và q là một số thực với q > max, thì có thể xây dựng các lược đồ này một cách hiệu quả.
Khi đó, lược đồ sai phân khác thường xây dựng dựa trên phương pháp Runge
- Kutta cấp hai là ổn định cơ bản (ESN) y k+1 − y k φ(hq)/q = f (y k ) + f (y k + (φ(hq))/q)f (y k )
Chú ý 3.2 Tồn tại rất nhiều các hàm φ thoả mãn (3.3), chẳng hạn φ(h) =
Các chứng minh của Định lý 3.1 và 3.2 đã được trình bày chi tiết trong tài liệu [5] (xem [5], p 2.82 − 285, Định lý 1, 2), do đó chúng tôi sẽ không lặp lại ở đây Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng các kết quả đã xây dựng để giải quyết vấn đề.
Thử nghiệm số trong trường hợp hai chiều
To illustrate the effectiveness of the newly developed ESN methods, we first examine predator-prey systems, commonly referred to as the predator-prey model, characterized by the Beddington-DeAngelis functional response This system is defined by the equation dx/dt = x - Axy, where x represents the prey population and y denotes the predator population.
(3.8) trong đó, x và y lần lượt đại diện cho số lượng động vật ăn thịt và con mồi Các hằng số A, D, E nhận giá trị
Dễ thấy hệ thú - mồi (3.8) có hai điểm cân bằng (bất động) là
Ma trận J (0, 0) có hai giá trị riêng thực là λ 1 = 1 > 0, λ 2 = −5 < 0. Điều đó có nghĩa là điểm cân bằng (0, 0) không ổn định tuyến tính.
Ma trận J (4, 1) có hai giá trị riêng phức với các phần thực đều âm, đó là λ 3,4 = − 1
Điều này cho thấy rằng (4, 1) là một điểm ổn định tuyến tính Hơn nữa, nó đã được chứng minh rằng (4, 1) là điểm ổn định toàn cục trong góc phần tư thứ nhất.
Chúng ta bắt đầu với bài toán có giá trị ban đầu x(0) = 4.5 và y(0) = 0.5 Để phân tích hình dạng nghiệm của hệ phương trình (3.8), chúng tôi áp dụng phương pháp Runge - Kutta - Fehlberg Đây là một kỹ thuật sử dụng cặp phương pháp nhúng để ước lượng sai số tại mỗi bước, từ đó tự động điều chỉnh bước đi nhằm đạt được lời giải với sai số đã định trước (tham khảo [3, 9, 10]) Kết quả thu được từ phương pháp này được trình bày trong các Hình 3.1 và 3.2.
Trong bài viết này, chúng ta phân tích hình vẽ biểu diễn nghiệm và nhận thấy các điểm (x, y) bị hút về điểm bất động ổn định toàn cục (4, 1) theo hướng xoắn ốc Để giải bài toán, chúng ta áp dụng phương pháp Euler hiển với các cỡ bước h khác nhau Kết quả thu được từ phương pháp này được thể hiện trong Hình 3.3 và 3.4.
Khi T = 50 và bước h = 0.25, phương pháp Euler không bảo toàn được tính chất của hệ, dẫn đến các điểm (x, y) ngày càng xa điểm bất động ổn định toàn cục (4, 1) theo hướng xoắn ốc Thậm chí, khi giữ nguyên bước h = 0.25 và tăng độ dài đoạn tìm nghiệm lên T = 150, lời giải số thu được hoàn toàn không chính xác.
Phương pháp Euler ESN hiển mới được xây dựng cho thấy khả năng bảo toàn tốt các tính chất của bài toán Cụ thể, phương pháp này được áp dụng để giải bài toán trên đoạn [0, T = 900] với bước h = 0.45, cho phép tìm nghiệm với bước lưới lớn hơn so với phương pháp Euler hiển Hàm mẫu số ϕ(h) = φ(hq) với q = 1 − e −hq và q = 5.1, lớn hơn q∗ = 5, trong đó q∗ = 5 được xác định theo Định lý 3.1 như là ngưỡng giá trị cần bảo vệ.
Hình 3.1: Dáng điệu nghiệm chính xác x(0) = 4, 5, y(0) = 0.5, T = 100
Hình 3.2: Dáng điệu nghiệm chính xác x(0) = 6.8, y(0) = 9.8, T = 100
Explicit Euler method Stable Equilibrium
Hình 3.3: Phương pháp Euler hiển với h = 0.25, T = 50
Explicit Euler method Stable Equilibrium
Hình 3.4: Phương pháp Euler hiển với h = 0.25, T = 150
Explicit Euler ESN method Stable Equilibrium
Hình 3.5: Phương pháp Euler ESN hiển với h = 0.45, T = 900
Chúng ta so sánh phương pháp Runge - Kutta hai nấc (RK2) với phương pháp Runge - Kutta ESN (RK2 ESN) Đầu tiên, áp dụng phương pháp RK2 để giải bài toán trong khoảng [0, T = 160] với cỡ bước h = 1.1 Nghiệm số thu được được thể hiện trong hình 3.6.
Phương pháp RK2 không bảo toàn tính chất nghiệm của bài toán, khiến các điểm (x, y) không thể hội tụ đến điểm bất động toàn cục (4, 1) Ngược lại, khi áp dụng phương pháp RK2 ESN để giải bài toán trên khoảng [0, T = 1000] với bước lưới h = 1.1, tính chất của bài toán được bảo toàn, và nghiệm số thu được được thể hiện trong hình 3.7.
Trong các thử nghiệm số, chúng tôi đã áp dụng các phương pháp ESN khác thường với giá trị q lớn hơn q ∗ Hiện tại, chúng tôi sẽ kiểm tra tính ổn định cơ bản của các phương pháp này với các giá trị q nhỏ hơn q ∗, cụ thể là q = 1, 1.9 và 3 Các kết quả thu được từ các phương pháp này được trình bày trong hình 3.8 đến 3.10.
Ta thấy rằng, với giá trị q = 1 và q = 1.9 thì lược đồ là ổn định cơ bản.Trường hợp q = 3 thì lược đồ không bảo toàn được tính chất của bài toán.
Second Order Runge − Kutta method Stable Equilibrium
Hình 3.6: Phương pháp RK2 với h = 1.1, T = 160
Second − Order RK ESN method Stable Equilibrium
Hình 3.7: Phương pháp RK2 ESN với h = 1.1, T = 1000
Second − Order RK ESN method Stable Equilibrium
Second − Order RK ESN method Stable Equilibrium
Second − Order RK ESN method Stable Equilibrium Initial Value
Định lý 3.2 và 3.3 đã xác định các điều kiện cần thiết cho lược đồ ổn định cơ bản Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày các thử nghiệm số liên quan đến hệ ba chiều.
Thử nghiệm số trong trường hợp ba chiều
Chúng ta xem xét môn hình tiêm chủng (Vaccination model, xem [4]) dS dt = àN − βSI/N − (à + φ)S + cI + δV, dI dt = βSI/N − (à + c)I, dV dt = φS − (à + δ)V,
(3.9) trong đó, các hằng số β = 0.7, c = 0.1, à = 0.8, δ = 0.8, φ = 0.8.
Trong mô hình này, tổng dân số cố định là N = 100, được chia thành ba nhóm: Susceptibles (S), Infectives (I) và Vaccination (V) Chúng ta giả định rằng vắc-xin hoàn toàn hiệu quả trong việc ngăn ngừa sự lây nhiễm.
Các phân tích toán học cho thấy, hệ (3.9) có điểm bất động là
3 ). Đây trạng thái ổn định tiệm cận toàn cục.
Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Euler hiển, phương pháp Runge
- Kutta hai nấc, phương pháp Euler ESN hiển, phương pháp Runge - Kutta ESN ( q = 1.3 > q ∗ = 1.2 ) để giải bài toán Các giá trị ban đầu ta lấy là
S(0) = 75, I (0) = 25, V (0) = 0. Đầu tiên, chúng ta vẫn sử dụng phương pháp Runge - Kutta - Fehlberg để xem xét dáng điệu nghiệm của bài toán Nghiệm S (t) và V (t) được biểu diễn trong các Hình 3.11 - 3.12
Nghiệm S(t) ban đầu giảm nhanh chóng nhưng sau đó ổn định tại S(t) = 200/3 Trong khi đó, nghiệm V(t) tăng nhanh trong thời gian ngắn và cuối cùng cũng đạt trạng thái ổn định là V(t) = 100/3.
Bài toán cương (stiff problem) có nghiệm với các thành phần thay đổi nhanh và chậm, khiến các phương pháp Runge-Kutta hiển không hiệu quả do miền ổn định bị chặn Ngược lại, các phương pháp Runge-Kutta ẩn như Euler ẩn, Radau, hoặc các phương pháp đa bước tuyến tính PDF có thể giải quyết hiệu quả các bài toán này Tuy nhiên, việc áp dụng các phương pháp ẩn dẫn đến hệ đại số phi tuyến, có thể được giải bằng phương pháp lặp đơn hoặc lặp Newton Để đảm bảo sự hội tụ của phương pháp lặp, cần chọn bước h đủ nhỏ, trong khi các phương pháp khác vẫn bảo toàn tính chất của bài toán với mọi cỡ bước h > 0.
Nghiệm số thu được từ phương pháp Euler hiển trong các trường hợp khác nhau được biểu diễn trong Hình 3.13 − 3.14
Trong trường hợp h = 0.8, nghiệm số không phản ánh chính xác thành phần thay đổi nhanh của nghiệm chính xác trong giai đoạn đầu Khi h = 0.85 hoặc lớn hơn, nghiệm số thu được hoàn toàn không chính xác Phương pháp Euler hiển và phương pháp Euler ESN được so sánh qua các hình ảnh 3.15, 3.16 và 3.17 Kết quả cho thấy phương pháp Euler hiển không bảo toàn tính chất nghiệm V(t) khi cỡ bước h không quá nhỏ, trong khi phương pháp Euler ESN bảo toàn tính chất nghiệm của bài toán, như thể hiện trong hình 3.18.
So sánh phương pháp RK2 với phương pháp RK2 ESN cho thấy kết quả tương tự Nghiệm số thu được từ các phương pháp này được trình bày trong các Hình 3.19 đến 3.22.
Các phương pháp RK ESN bảo toàn tính chất nghiệm của bài toán với mọi cỡ bước, trong khi các phương pháp RK chỉ bảo toàn tính chất khi bước lưới không quá lớn Do đó, khi nghiên cứu các hệ động lực học với thời gian có thể kéo dài đến vô hạn, các lược đồ bình thường không mang lại lợi thế.
Hình 3.13: Phương pháp Euler hiển h = 0.8, S(0) = 75, I (0) = 25, V (0) = 0
Hình 3.14: Phương pháp Euler hiển h = 0.85, S(0) = 75, I (0) = 25, V (0) = 0
Hình 3.15: Phương pháp Euler ESN hiển h = 0.8, S (0) = 75, I (0) = 25, V (0) = 0
Hình 3.16: Phương pháp Euler hiển h = 0.8, S(0) = 75, I (0) = 25, V (0) = 0
Hình 3.17: Phương pháp Euler hiển h = 0.85, S(0) = 75, I (0) = 25, V (0) = 0
Hình 3.18: Phương pháp Euler ESN hiển h = 0.85, S(0) = 75, I(0) = 25, V (0) = 0
Second − Order RK ESN method
Hình 3.20: Phương pháp RK2 ESN h = 0.8, S (0) = 75, I(0) = 25, V (0) = 0
Second − Order RK ESN method
Hình 3.22: Phương pháp RK2 ESN h = 1, S(0) = 75, I (0) = 25, V (0) = 0
Xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai
Xây dựng hệ điều kiện cho lược đồ chính xác cấp hai 90
Nhiều hiện tượng trong thực tế, khoa học kỹ thuật, và các mô hình Vật lý, Sinh học có thể được mô tả thông qua hệ hai phương trình vi phân cấp một.
Ta xây dựng lược đồ khác thường cho (3.10) ở dạng x k+1 − x k ϕ 1 (h) = g 1 (x k , x k+1 , y k , y k+1 , h), y k+1 − y k ϕ 2 (h) = g 2 (x k , x k+1 , y k , y k+1 , h).
(3.11) Để đơn giản cho việc trình bày, ta ký hiệu
Giả sử x(t) , y(t) là nghiệm của (3.10) với giá trị ban đầu x(0) = x k , y(0) = y k Sử dụng khai triển Taylor ta nhận được x(h) − x(0) ϕ 1 (h) = f 1 (x k , y k ) +
Giả sử ∂g i /∂h ≡ 0, tức là hàm lặp g i không phụ thuộc vào bước lưới h, điều này dẫn đến việc thỏa mãn điều kiện ∂g i /∂h ≡ 0 So sánh các biểu thức (3.12) với (3.14) và (3.13) với (3.15), ta có được hệ điều kiện cho lược đồ chính xác cấp hai Theo Định lý 3.3, lược đồ sai phân khác thường (3.11) sẽ chính xác cấp hai nếu và chỉ nếu g 1 (X 0 ) = f 1 (x k , y k ) và g 2 (X 0 ) = f 2 (x k , y k ) theo công thức (3.16).
Việc lựa chọn các kiểu rời rạc hóa không địa phương cho hàm vế phải để thỏa mãn điều kiện tương thích không phải là điều khó khăn Bằng cách kết hợp với các hàm mẫu số khác thường, chúng ta có thể phát triển các lược đồ sai phân chính xác cấp hai Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ xây dựng lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai cho hệ Lotka - Volterra, khác với lược đồ được R E Mickens phát triển.
Lược đồ sai phân khác thường chính xác cấp hai cho hệ Lotka - Voltera
Ta xét hai loài A và B cùng tồn tại trong một môi trường sống cụ thể Khi đó, có ba kiểu liên hệ giữa chúng như sau
1 Thứ nhất là quan hệ kiểu cạnh tranh (competition) Trong đó, hai loài
A và B cạnh tranh cho các nguồn tài nguyên chung như không gian sống và thức ăn Sự hiện diện của loài A ảnh hưởng tiêu cực đến sự phát triển của loài B, và ngược lại.
2 Thứ hai là quan hệ kiểu hợp tác (Cooperation) Ở kiểu quan hệ này thì sự xuất hiện của loài A có tác động tích cực đến sự phát triển của loài
3 Cuối cùng là quan hệ kiểu thú - mồi (predator - prey) Nếu A là con mồi và B là động vật ăn thịt thì sự xuất hiện của A tạo ra hiệu ứng tích cực cho sự phát triển của B và sự hiện diện của B ảnh hưởng tiêu cực đến sự phát triển của A
Tốc độ phát triển của loài A và loài B tại thời điểm t được mô hình hóa thông qua hệ phương trình vi phân cấp một, trong đó x(t) và y(t) lần lượt đại diện cho mật độ của hai loài này.
Hệ Lotka - Volterra, được giới thiệu bởi Volterra vào năm 1931 và Lotka vào năm 1920, mô tả sự tương tác giữa hai loài A và B Trong hệ này, r1 và r2 đại diện cho tốc độ phát triển của loài A và B, trong khi a11 và a22 biểu thị tác động tiêu cực từ xung đột giữa các thành viên của hai loài Thêm vào đó, a12 thể hiện ảnh hưởng của loài B lên sự phát triển của loài A, và a21 phản ánh tác động ngược lại.
A đến sự phát triển của loài B Hiển nhiên a 11 ≥ 0 và a 22 ≥ 0 Đối với các
1 Kiểu cạnh tranh (Competitive species): a 12 ≥ 0 , a 21 ≥ 0
2 Kiểu hợp tác (Cooperative species): a 12 ≤ 0 , a 21 ≤ 0
Rất nhiều các lược đồ sai phân khác thường được xây dựng cho hệ Lotka
Các nghiên cứu của Lih-Ing W Roeger và R E Mickens đã tập trung vào việc phát triển các lược đồ sai phân đặc biệt cho hệ Lotka-Volterra kiểu cạnh tranh, với các tham số r1 > 0, r2 > 0, a11 > 0, a22 > 0, a12 ≥ 0, a21 ≥ 0 Nghiệm chính xác của hệ thống này có những đặc điểm nổi bật cần được nghiên cứu sâu hơn.
1 Với các giá trị ban đầu dương thì nghiệm x(t) , y(t) cũng dương Nói cách khác, góc phần tư thứ nhất là bất biến dương.
2 Hệ (3.20) có ít nhất bốn điểm cân bằng Đó là, E 0 = (0, 0) , E 1 = (r 1 /a 11 , 0) , E 2 = (0, r 2 /a 22 ) , E 3 = ((a 22 r 1 −a 12 r 2 )/(a 11 a 22 −a 12 a 21 ), (a 11 r 2 − a 21 r 1 )/(a 11 a 22 − a 12 a 21 ))
3 Có bốn kết quả liên quan đến các điểm cân bằng của hệ (3.20) Đó là, (i) E 0 là một điểm đẩy và luôn không ổn định (ii) E 1 là ổn định tiệm cận địa phương nếu a 11 a 21 < r 1 r 2 (iii) E 2 là ổn định tiệm cận địa phương nếu r 1 r 2 < a 12 a 22 (iv) E 3 là ổn định tiệm cận địa phương nếu a 11 a 21 > r 1 r 2 > a 12 a 22
4 Hệ là đơn điệu (monotonic).
5 Các nghiệm của hệ là bị chặn (eventually bounded).
6 Nửa trục dương Ox và Oy là bất biến dương Hơn nữa, nếu E 3 là ổn định thì nó là ổn định tiệm cận toàn cục.
Các lược đồ được xây dựng bởi các tác giả nhằm bảo toàn 6 tính chất của hệ thống được gọi là tương thích động lực học Những lược đồ này đảm bảo rằng các tính chất của hệ thống được duy trì một cách nhất quán và hiệu quả.
R E Mickens đã nghiên cứu hệ Lotka-Volterra kiểu thú mồi với các phương trình dx/dt = ax − bxy và dy/dt = −cx + dxy, trong đó các hệ số a, b, c, d đều lớn hơn 0 Đây là một trường hợp đặc biệt của hệ phương trình (3.20) khi a11 = a22 = 0 Để đơn giản hóa, tác giả đã xem xét hệ (3.21) với các giá trị a = b = c = d = 1, dẫn đến các phương trình dx/dt = x − xy và dy/dt = −x + xy.
Hệ (3.22) có hai điểm cân bằng là E 0 = (0, 0) và E 1 = (1, 1) Trong đó
Điểm cân bằng E0 là một điểm không ổn định trong hệ thống tuyến tính, trong khi E1 đóng vai trò là tâm của quỹ đạo quanh điểm cân bằng này Với các giá trị ban đầu x0 > 0 và y0 > 0, tất cả các nghiệm của hệ thống đều mang giá trị dương.
Việc xây dựng lược đồ bảo toàn tính chất cho mô hình kiểu thú - mồi (3.21) phức tạp hơn so với mô hình kiểu cạnh tranh (3.20) Khó khăn chính trong việc giải gần đúng phương trình (3.22) là nghiệm của hệ với điều kiện ban đầu dương là các hàm tuần hoàn, với chu kỳ phụ thuộc vào giá trị ban đầu Các quỹ đạo tương ứng tạo thành đường cong khép kín trong góc phần tư thứ nhất, cụ thể là quỹ đạo của hệ thỏa mãn điều kiện ln x(t) + ln y(t) − x(t) − y(t) = ln x(0) + ln y(0) − x(0) − y(0) ≡ E0 cho mọi t > 0.
Một sai lệch nhỏ trong nghiệm x(t) hoặc y(t) có thể khiến quỹ đạo trở thành đường cong xoắn ốc ra hoặc vào từ giá trị ban đầu Thông thường, các lược đồ sai phân cho quỹ đạo đều tạo ra đường xoắn ốc Dù áp dụng các kỹ thuật tinh vi như phương pháp Runge-Kutta-Felhberg để giảm sai số, quỹ đạo vẫn có thể không phải là đường cong khép kín, như thể hiện trong các Hình 3.23 − 3.32.
Hình 3.26: Tính chất bất biến của hệ
Hình 3.27: Phương pháp RK4, nghiệm x(t), h = 0.4, x(0) = 0.1, y(0) = 1
Hình 3.28: Phương pháp RK4 ,nghiệm y(t), h = 0.4, x(0) = 0.1, x(0) = 1
Hình 3.30: Phương pháp RK 4 E(t) = ln x + ln y − x − y
Trong kết quả của mình, Mickens đề xuất lược đồ sai phân khác thường x k+1 − x k φ = 2x k − x k+1 − x k+1 y k , (3.23) y k+1 − y k φ = −y k+1 + 2x k+1 y k − x k+1 y k+1 , (3.24) trong đó, hàm mẫu số φ có tính chất φ(h) = h + O(h 2 ) (3.25)
Hàm mẫu số khác thường được chọn là φ(h) = sin(h) (3.26)
So sánh lược đồ (3.23) - (3.24) với hệ phương trình (3.21) ta thấy rằng
1 Các đạo hàm cấp một được rời rạc hóa dựa trên công thức sai phân tiến với mẫu số khác thường dx dt → x k+1 − x k φ , dy dt → y k+1 − y k φ (3.27)
2 Số hạng tuyến tính và phi tuyến xuất hiện trong vế phải của (3.21) được rời rạc hóa không địa phương, cụ thể x = 2x − x → x x k − x k+1 , −xy → −x k+1 y k
Trong trường hợp này, lược đồ được coi là lược đồ ẩn, và giá trị x k+1 được xác định từ phương trình (3.23) sẽ được sử dụng để tính toán y k+1 ở phương trình (3.24) Ta có thể chuyển đổi lược đồ sang dạng bán hiển với công thức x k+1 = [1 + 2φ].
Từ (3.29) và (3.30) ta có thể thấy rằng, nếu các giá trị ban đầu x 0 > 0 và y 0 > 0 thì x k > 0 và y k > 0 , tức là tính dương của nghiệm được bảo toàn.
Lược đồ (3.23) - (3.24) chỉ mang tính chất tương thích và được xây dựng để tạo ra lược đồ khác thường Tuy nhiên, phương pháp này chỉ duy trì tính ổn định tuyến tính cho điểm bất động hyperbolic (0, 0) mà không bảo toàn tính dương Hơn nữa, lược đồ này chỉ đạt cấp chính xác một Việc xây dựng các lược đồ chính xác cấp một để bảo toàn tính ổn định tuyến tính của điểm bất động hyperbolic không phải là điều khó khăn.
(0, 0) và bảo toàn tính dương của hệ Chẳng hạn, ta xét lược đồ x k+1 − x k ϕ 1 (h) = x k − x k+1 y k , y k+1 − y k ϕ 2 (h) = −y k+1 + x k+1 y k Dạng bán hiển tương ứng của lược đồ là x k+1 = 1 + ϕ 1
1 + ϕ 2 y k Các giá trị x k+1 được sử dụng ngay để tính y k+1 Nếu ϕ i là các hàm không âm thì tính dương của hệ được bảo toàn.
Nhờ Định lý 3.3, chúng ta xây dựng lược đồ chính xác cấp hai cho hệ Lotka - Volterra Để thực hiện điều này, chúng ta xem xét các lược đồ sau: \( x_{k+1} - x_k \phi_1(h) = \lambda_1 x_k + (1 - \lambda_1)x_{k+1} - \lambda_2 x_{k+1} y_k - (1 - \lambda_2)x_k y_{k+1} \) và \( y_{k+1} - y_k \phi_2(h) = -\lambda_3 y_k - (1 - \lambda_3)y_{k+1} + \lambda_4 x_{k+1} y_k + (1 - \lambda_4)x_k y_{k+1} \), trong đó \( \lambda_i \) (với \( i = 1, 4 \)) là các hệ số thực Điều kiện tương thích của lược đồ được đảm bảo với cách rời rạc hóa này.
Sử dụng Định lý 3.3 chúng ta suy ra rằng, lược đồ chính xác cấp hai nếu λ 2 = 1
2 (3.33) Để đơn giản, chúng ta chọn λ 1 = λ 3 = 1 Khi đó, lược đồ chính xác cấp hai nếu hàm ϕ i thỏa mãn ϕ 00 1 (0) = 1, ϕ 00 2 (0) = −1 (3.34)
Tóm lại, ta thu được lược đồ chính xác cấp hai cho hệ Lotka - Volterra dạng x k+1 − x k ϕ 1 (h) = x k − 1
Các thử nghiệm số
Ví dụ 3.1 Xét hệ (3.21) với các giá trị ban đầu x(0) = 0.1 , y(0) = 1
Chúng ta sẽ tiến hành so sánh nghiệm số từ các lược đồ cấp hai (3.37) và lược đồ (3.23) - (3.24) của Mickens Đối với lược đồ (3.37), chúng ta sử dụng hàm mẫu số ϕ 1 (h) = e sin(h) − 1 và ϕ 2 (h) = 1 − e − sin(h)
Với bước h = 0.1, nghiệm số từ lược đồ (3.37) và lược đồ (3.23) - (3.24) của Mickens được trình bày trong Hình 3.32 - 3.35 Qua việc quan sát nghiệm số từ hai lược đồ, chúng ta nhận thấy những điểm tương đồng và khác biệt đáng chú ý.
Hình 3.33: Tính chất bất biến của bài toán
1 Nghiệm số thu được từ lược đồ của Mickens và lược đồ cấp hai đều xấp xỉ với hàm tuần hoàn với chu kỳ T 1 và T 2 Tuy nhiên, nghiệm số thu được từ lược đồ của Mickens tuần hoàn với chu kỳ T 1 lớn hơn chu kỳ
T 2 của nghiệm số thu được từ lược đồ cấp hai.
2 Ký hiệu M x = max{x k }, M y = max{y k } là giá trị lớn nhất của nghiệm xấp xỉ thu được từ lược đồ của Mickens N x = max{x k }, N y = max{y k } là giá trị lớn nhất cho nghiệm xấp xỉ được từ lược đồ cấp hai Ta thấy rằng M x , M y > 4 , trong khi N x , N y < 4
Các phân tích sau đây cho thấy, lược đồ cấp hai bảo toàn chu kỳ và tính bị chặn của hệ tốt hơn lược đồ của Mickens.
1 Bảo toàn tính bị chặn Đầu tiên, ta xác định giá trị lớn nhất của nghiệm chính xác của hệ (3.21).
Ta biết rằng, quỹ đạo của hệ thỏa mãn ln x(t) + ln y(t) − x(t) − y(t) = E 0 ≡ ln x 0 + ln y 0 − x 0 − y 0
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x(t) đạt được khi y(t) = 1, trong khi y(t) có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi x(t) = 1 Vì vậy, các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x(t) và y(t) đều thỏa mãn phương trình ln u − u = E 0 + 1 (3.40)
Chúng ta nhận thấy rằng E 0 < −2 với mọi 0 < x 0 , y 0 6= 1 Khi khảo sát hàm số f (u) = ln u − u, phương trình (3.40) luôn có hai nghiệm dương phân biệt: một nghiệm u 1 thuộc khoảng (0, 1) và một nghiệm u 2 thuộc khoảng (1, ∞) Giá trị lớn nhất của x(t) và y(t) là nghiệm dương nằm trong khoảng (1, ∞) của (3.40), trong khi giá trị nhỏ nhất của x(t) và y(t) là nghiệm dương thuộc khoảng (0, 1).
Ta không thể tìm nghiệm chính xác của (3.40) Vì thế, ta sẽ sử dụng phương pháp lặp Newton để giải phương trình (3.40) với độ chính xác 10 −10
Ta xét phương trình f (u) = ln u − u − E 0 − 1 = 0, u ∈ (1, ∞).
Do đó, phương pháp lặp Newton là hội tụ nếu ta chọn xấp xỉ ban đầu u 0 là điểm Fourier: f (u 0 )f 00 (u 0 ) < 0 Phương pháp lặp Newton trong trường hợp này có dạng
Ta sử dụng ước lượng hậu nghiệm
2m |u n+1 − u n | < = 10 −10 , làm tiêu chuẩn dừng Trong đó
Tuy nhiên, trên khoảng (1, ∞) ta không thể ước lượng được hằng số m, M
Để thu hẹp khoảng phân ly nghiệm của phương trình, ta cần đảm bảo rằng f (−E 0 /2)f (e −E 0 ) < 0 cho mọi E 0 < −2 Điều này dẫn đến việc phương trình (3.40) có duy nhất nghiệm trên đoạn (−E 0 /2, e −E 0 ) ⊂ (1, ∞) Hơn nữa, các hằng số được ước lượng là m = 1 + 2/E 0 và M = 1.
Phương pháp lặp Newton hội tụ khi chọn xấp xỉ ban đầu u 0 = −E 0 /2 Bắt đầu với giá trị x 0 = 0.1 và y 0 = 1, sau 5 lần lặp, ta thu được nghiệm u 5 = 3.7150 với độ chính xác 10 −10 Đây là giá trị lớn nhất của nghiệm x(t) và y(t) trong một chu kỳ Tuy nhiên, lược đồ của Mickens không bảo toàn được tính bị chặn của nghiệm, trong khi lược đồ cấp hai lại duy trì được điều này.
Dù sử dụng các bước lưới lớn hơn, như h = 1, T = 600 cho lược đồ của Mickens và h = 3, T = 600 cho lược đồ cấp 2, lược đồ cấp 2 vẫn bảo toàn tính bị chặn tốt hơn so với lược đồ của Mickens (xem Hình 3.36 và 3.37).
6 method of Mickens method order2
−3 method of Mickens method order2
2 Tính bảo toàn chu kỳ
Kết quả của Barat Nuriyev và Tanil Ergenc (xem [24]) chỉ ra nghiệm của hệ tuần hoàn với chu kỳ
√ dz z 2 − ke z , k = 4e E 0 , trong đó, z 1 < z 2 là hai nghiệm dương của phương trình z
2 Nghiệm của phương trình và tích phân trên không thể tính chính xác Tuy nhiên, ta có thể xấp xỉ chu kỳ của hệ bằng cách như sau:
1 Sử dụng phương pháp lặp Newton để giải gần đúng nghiệm z 1 < z 2 với độ chính xác tùy ý ( 10 −8 ) Chú ý thu hẹp khoảng phân ly nghiệm của phương trình để có các ước lượng sai số và tiêu chuẩn dừng.
2 Sử dụng các công thức tính gần đúng tích phân với cận z 1 và z 2 xác định ở trên Nếu sử dụng các công thức hình thang hoặc Simpson thì ta cần ước lược được các chặn trên của đạo hàm các cấp Tuy nhiên, trong trường hợp này, khó có thể đưa ra chặn trên cho đạo hàm các cấp vì hàm dưới dấu tích phân phức tạp Do đó, ta sẽ sử dụng công thức cầu phương thích nghi (Adaptive quadrature) để tích gần đúng tích phân với độ chính xác ( 10 −8 ).
Với bài toán ta đang xét, x 0 = 0.1 , y 0 = 1 ta tính xấp xỉ được chu kỳ là
Ta giải bài toán trên đoạn [0, 7.9] với cỡ bước h = 0.1 Nghiệm số biểu diễn trên Hình 3.38 và 3.39
Lược đồ cấp hai đảm bảo tính bị chặn và chu kỳ tốt hơn, đặc biệt khi sử dụng bước lưới nhỏ hơn Các thử nghiệm cho thấy với bước lưới h = 10^(-2) và h = 10^(-5), lược đồ cấp hai vẫn mang lại kết quả chính xác hơn.
Trong trường hợp này, lược đồ cấp hai thể hiện khả năng bảo toàn tính chất của hệ tốt hơn Ví dụ tiếp theo sẽ xem xét hệ với giá trị ban đầu lớn hơn, tương tự như ví dụ mà Mickens đã phân tích trong kết quả nghiên cứu của mình.
Hình 3.38: Lược đồ của Mickens T = 7.9
Hình 3.39: Lược đồ cấp hai T = 7.9
Ví dụ 3.2 Xét hệ (3.21) với giá trị ban đầu x(0) = 20 , y(0) = 1
Nghiệm số thu được từ lược đồ (3.23) - (3.24) của Mickens biểu diễn trong Hình 3.45- 3.47
Nghiệm số gần đúng với các hàm tuần hoàn và quỹ đạo gần giống đường cong khép kín Tuy nhiên, nghiệm xấp xỉ từ lược đồ không thể hiện chính xác tính chất của nghiệm chính xác.
1 Giá trị lớn nhất của nghiệm xấp xỉ x k nằm trong khoảng (12, 14) Trong khi ta có thể tính toán được nghiệm chính xác x(t) đạt giá trị lớn nhất là x max = 20
2 Nghiệm số thu được tuần hoàn với chu kỳ T ≈ 15 Trong khi nghiệm chính xác tuần hoàn với chu kỳ T ≈ 24
Khi ta lấy bước lưới nhỏ hơn thì nghiệm số tuần hoàn với chu kỳ gần với chu kỳ của nghiệm chính xác hơn.
Chúng ta sẽ áp dụng lược đồ cấp hai (3.37) để giải hệ Khi chọn cặp hàm mẫu số ϕ 1 (h) = e sin(h) − 1 và ϕ 2 (h) = 1 − e − sin(h), với bước lưới h = 0.1, lược đồ không bảo toàn được tính dương của hệ Tuy nhiên, nếu chọn cặp hàm ϕ 1 = h − cos(h) + 1 và ϕ 2 = 1 − e − sin(h), lược đồ sẽ bảo toàn tính dương của hệ với cùng bước lưới h = 0.1 Điều này cho thấy việc bảo toàn tính dương phụ thuộc vào sự lựa chọn các hàm ϕ i Trong thử nghiệm này, mặc dù vẫn sử dụng cặp hàm ϕ 1 (h) = e sin(h) − 1 và ϕ 2 (h) = 1 − e − sin(h), nhưng với bước lưới nhỏ hơn h = 10 −2, lược đồ cấp hai bảo toàn tính chất bài toán tốt hơn Nhìn chung, với cùng một bước lưới, lược đồ cấp hai luôn bảo toàn tính chất bài toán hiệu quả hơn.