(LUẬN văn THẠC sĩ) lược đồ gabor đa cửa sổ trong biểu diễn ảnh và tín hiệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG QUANG LONG LƯỢC ĐỒ GABOR ĐA CỬA SỔ TRONG BIỂU DIỄN ẢNH VÀ TÍN HIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG QUANG LONG LƯỢC ĐỒ GABOR ĐA CỬA SỔ TRONG BIỂU DIỄN ẢNH VÀ TÍN HIỆU Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Ngọc Phan Hà Nội - Năm 2018 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Ngọc Phan, người tận tình hướng dẫn, cung cấp nguồn tài liệu, phương pháp nghiên cứu kinh nghiệm quý báu cho em suốt thời gian thực luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 2015-17 quan tâm giúp đỡ em suốt thời gian học tập trường Em xin gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp Cao học Tốn khóa 2015-17 đặc biệt nhóm Tốn ứng dụng ln sát cánh giúp đỡ em nhiều trình học tập Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè, người quan tâm, động viên em học tập, Ban lãnh đạo Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi để em học Mặc dù nỗ lực cố gắng luận văn khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Em mong góp ý Quý thầy cô bạn! Hà Nội, tháng năm 2018 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Các 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 khái niệm Các không gian Biến đổi Fourier Các phép toán Biến đổi Fourier thời gian ngắn Hàm Gauss Khung không gian Hilbert khung 2.1 Dãy Bessel sở Riesz 2.2 Khung không gian Hilbert 2.3 Cơ sở Gabor khung Gabor Khung Gabor đa cửa sổ 3.1 Biến đổi Zak 3.2 Phương pháp đại số ma trận 3.3 Các trường hợp mật độ lấy mẫu 3.4 Khung đối ngẫu 3.5 Định lý Balian-Low cách xây dựng Ứng dụng xử lý tín hiệu 10 11 Gabor khung 15 15 18 24 30 31 33 35 42 43 51 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu Lời mở đầu Phân tích tín hiệu đóng vai trò quan trọng xã hội đại Các ứng dụng trải dài nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật, từ liên lạc viễn thông đến chuẩn đốn y học, từ giao thơng đến ngành cơng nghiệp giải trí Tín hiệu hiểu đại lượng vật lý chứa thông tin hay liệu truyền Phân tích Fourier cơng cụ tiêu biểu phân tích tín hiệu Về mặt tốn học, tín hiệu biểu diễn hàm tuần hoàn rời rạc tạo thành từ dao động có tần số biên độ khác Phép biến đổi Fourier mô tả lượng tần số chứa tín hiệu Tuy nhiên, liệu thời gian bị qua biến đổi Từ nảy sinh ý tưởng phép biến đổi Fourier thời gian ngắn: áp dụng biến đổi Fourier đoạn thời gian ngắn tín hiệu Các đoạn tín hiệu chia hàm cửa sổ trơn tịnh tiến tồn tín hiệu Dẫu vậy, lượng thông tin thời gian - tần số mà phép biến đổi Fourier thời gian ngắn cung cấp lại thừa cần giảm bớt bảo tồn lượng thơng tin tín hiệu Một nhiệm vụ đặt phân tích tín hiệu việc mơ tả hàm hàm đơn giản có tính chất phổ biến dễ vận dụng Phân tích Fourier thực nhiệm vụ cách biến tín hiệu thành tổng dao động bản, phép biến đổi Fourier thời gian ngắn sử dụng tịnh tiến thời gian - tần số hàm cửa sổ Từ nảy sinh lý thuyết khung - khái niệm tổng quát sở - mà Dennis Gabor người đặt móng vào năm 1946 Phân tích Gabor đề điều kiện để hàm tịnh tiến thời gian - tần số khung mở rộng tín hiệu thành tổ hợp hàm Luận văn trình bày phương pháp đa cửa sổ phân tích tín hiệu thơng qua lý thuyết khung lợi việc sử dụng nhiều cửa sổ Luận văn bao gồm chương sau: • Chương giới thiệu tổng quan số khái niệm quan trọng giải tích Fourier phân tích tín hiệu • Chương giới thiệu lý thuyết khung không gian Hilbert tổng quát trường hợp riêng quan trọng khung Gabor không gian L2 (R) (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu • Chương trình bày phương pháp ma trận đại số lược đồ Gabor đa cửa sổ để kiểm tra tính chất hàm cửa sổ • Chương trình bày ứng dụng xử lý tín hiệu (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu Chương Các khái niệm 1.1 Các không gian L∞ (R) không gian Banach hàm đo được, bị chặn f : R → C với chuẩn supremum Với ≤ p < ∞, Lp (R) không gian hàm f cho |f |p khả tích:   Z ∞ p p L (R) = f : R → C | f đo |f (x)| dx < ∞ −∞ Với p = 2, ta có khơng gian Hilbert  Z L (R) = f : R → C | f đo ∞  |f (x)| dx < ∞ −∞ với tích Z ∞ hf, gi = f (x)g(x)dx, f, g ∈ L2 (R) −∞ Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nói rằng: với f, g ∈ L2 (R), Z (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu Đặt gk = (U −1 )∗ ek ta có f = U U −1 f = ∞ X hf, (U −1 )∗ ek iU ek = k=1 ∞ X hf, gk ifk k=1 Vì (U −1 )∗ bị chặn song ánh nên {gk }∞ k=1 sở Riesz Với f ∈ H, ta có ∞ X |hf, fk i| = k=1 ∞ X |hf, U ek i|2 k=1 ∗ = kU f k2 ≤ kU ∗ k2 kf k2 = kU k2 kf k2 Suy sở Riesz dãy Bessel Do đó, chuỗi (2.2) hội tụ theo Hệ 2.2 2.2 Khung khơng gian Hilbert Tính chất sở {fk }∞ k=1 không gian Hilbert H f ∈ H biểu diễn qua phần tử fk sở: f= ∞ X ck (f )fk (2.3) k=1 Các hệ số ck (f ) Một khung dãy phần tử {fk }∞ k=1 H, cho phép f ∈ H viết (2.3) Tuy nhiên, hệ số tương ứng không Tính khơng hữu ích nhiều ứng dụng thực tế, chẳng hạn việc truyền tín hiệu Trong truyền tín hiệu, hệ số ck (f ) bị ta khơng thể khơi phục lại tín hiệu qua hệ số cịn lại khai triển tín hiệu qua sở Ngược lại, hệ số khai triển không nhất, ta có nhiều cách để biểu diễn tín hiệu Mỗi sở trực chuẩn {ek }∞ k=1 không gian Hilbert H thỏa mãn Đẳng thức Plancherel: ∞ X |hf, ek i|2 = kf k2 ∀f ∈ H (2.4) k=1 Tuy nhiên, dãy thỏa mãn Đẳng thức Plancherel sở, chẳng hạn ví dụ sau: 18 (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu Ví dụ 2.1 Giả sử H = R2 vector   1 f1 = (1, 0), f2 = (0, 1), f3 = √ , √ , 2  f4 = 1 −√ , √ 2  {f1 , f2 } {f3 , f4 } hai sở trực chuẩn R2 , X |hf, fk i|2 = 2kf k2 ∀f ∈ R2 k=1 Suy {2−1/2 fk }4k=1 thỏa mãn Đẳng thức Plancherel, không trực giao sở R2 Ta gọi dãy thỏa mãn Đẳng thức Plancherel khung Parseval Một khung Parseval cần phải thỏa mãn Đẳng thức Plancherel, khung tổng quát phải thỏa mãn điều kiện nhẹ hơn: Định nghĩa 2.6 Một dãy {fk }∞ k=1 không gian Hilbert H khung tồn số A, B > cho với f ∈ H cơng thức Plancherel tổng quát thỏa mãn: Akf k2 ≤ ∞ X |hf, fk i|2 ≤ Bkf k2 k=1 Các số A, B gọi cận khung Các số không Định nghĩa 2.7 Giả sử {fk }∞ k=1 khung không gian Hilbert H • {fk }∞ k=1 gọi khung chặt ta chọn cận khung A = B • {fk }∞ k=1 gọi khung Parseval có cận khung A = B = • {fk }∞ k=1 gọi khung xác ta bỏ phần tử {fk }∞ k=1 khơng cịn khung • {fk }∞ k=1 gọi khung dư thừa khơng phải sở Riesz Ta có số nhận xét khung: Mọi sở trực chuẩn khung Parseval xác ngược lại 19 (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu Khung dãy khơng phải tập hợp nên lặp lại phần tử Vector khơng phần tử khung P∞ Nếu {fk }∞ k=1 khung chuỗi k=1 |hf, fk i| hội tụ Khung dãy Bessel Một dãy Bessel không thiết phải đầy đủ, khung phải đầy đủ Một số ví dụ khung: Ví dụ 2.2 Giả sử {ek }∞ k=1 sở trực chuẩn không gian Hilbert H Khi {ek }∞ k=1 khung chặt, xác H với cận khung A = B = 1, tức khung Parseval {e1 , e1 , e2 , e2 , e3 , e3 , } khung chặt, khơng xác với cận A = B = 2, dãy không trực giao sở chứa sở trực chuẩn Nếu {fk }∞ k=1 sở trực chuẩn khác H {ek } ∪ {fk } khung chặt, khơng xác H {e1 , 21 e2 , 31 e3 , } dãy trực giao, đầy đủ sở H, khơng có cận khung khơng phải khung Đặt 1 1 {fk }∞ k=1 = {e1 , √ e2 , √ e2 , √ e3 , √ e3 , √ e3 , } 2 3 Khi đó, với f ∈ H: ∞ X k=1 ∞ X k|hf, √ ek i|2 k k=1 ∞ X = |hf, ek i|2 = kf k2 |hf, fk i| = k=1 Do {fk }∞ k=1 khung Parseval khơng xác, khơng có dãy khơng dư thừa khung {2e1 , e2 , e3 , } khung xác, khơng chặt với cận A = 1, B = 20 (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu Định nghĩa 2.8 {fk }∞ k=1 khung khơng gian Hilbert H Tốn tử tổng hợp T cho T : l2 (N) → H, T {ck } = ∞ X ck f k , k=1 tốn tử phân tích T ∗ cho T ∗ : H → l2 (N), T ∗ f = {hf, fk i}∞ k=1 Toán tử khung S định nghĩa S : H → H, Sf = T T ∗ f = ∞ X hf, fk ifk k=1 Định lý 2.3 Tốn tử khung S có tính chất sau: S toán tử bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp xác định dương −1 −1 {S −1 fk }∞ k=1 khung với cận B , A Với f ∈ H ta có f= ∞ X hf, S −1 fk ifk = k=1 ∞ X hf, fk iS −1 fk (2.5) k=1 Các chuỗi hội tụ Chứng minh Ta có kSk = kT T ∗ k = kT kkT ∗ k = kT k2 ≤ B Do đó, S bị chặn Vì S ∗ = (T T ∗ )∗ = (T ∗ )∗ T ∗ = T T ∗ = S nên S tự liên hợp Từ định nghĩa khung ta suy Akf k2 ≤ hSf, f i|2 ≤ Bkf k2 với f ∈ H hay AI ≤ S ≤ BI với I toán tử đồng Do S xác định dương Do AI ≤ S nên BI − S ≤ BI − AI 21 (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu suy ≤ I − B −1 S ≤ B−A I B Do kI − B −1 Sk = sup |h(I − B −1 S)f, f i| ≤ kf k=1 B−A < 1, B suy B −1 S khả nghịch hay S khả nghịch Vì S tự liên hợp nên S −1 tự liên hợp Do ∞ ∞ X X −1 −1 hf, S fk iS fk = hS −1 f, fk iS −1 fk k=1 k=1 = S −1 −1 ∞ X hS −1 f, fk ifk k=1 −1 = S S(S = S −1 f ! f) Suy ∞ X |hf, S −1 ∞ X fk i| = hf, S −1 fk ihS −1 fk , f i k=1 k=1 −1 = hS f, f i Vì AI ≤ S ≤ BI nên AIS −1 ≤ SS −1 ≤ BIS −1 hay B −1 I ≤ S −1 ≤ A−1 I, tức B −1 kf k2 ≤ hS −1 f, f i ≤ A−1 kf k2 Vậy B −1 kf k2 ≤ ∞ X |hf, S −1 fk i|2 ≤ A−1 kf k2 k=1 với f ∈ H, {S −1 fk }∞ k=1 khung với cận khung B −1 , A−1 22 (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu Dễ thấy f = SS −1 ∞ ∞ X X −1 f= hS f, fk ifk = hf, S −1 fk ifk k=1 k=1 −1 fk }∞ Vì {fk }∞ k=1 ∈ l (N) nên theo Bổ đề 2.2, chuỗi k=1 dãy Bessel {hf, S hội tụ Tương tự, f =S −1 Sf = S −1 ∞ X hf, fk ifk = k=1 ∞ X hf, fk iS −1 fk k=1 Từ định lý trên, ta thấy khung {fk }∞ k=1 có hệ đối ngẫu −1 ∞ {S fk }k=1 hệ khung Khung đối ngẫu không Định nghĩa 2.9 Giả sử {fk }∞ k=1 khung với toán tử khung S Khung −1 ∞ {S fk }k=1 gọi khung đối ngẫu tắc {fk }∞ k=1 Khung đối ngẫu tắc Trong chương này, ta kí hiệu f˜k = S −1 fk , khung đối ngẫu tắc {f˜k }∞ k=1 Định lý P 2.4 Giả sử {fk }∞ k=1 khung không gian Hilbert H f ∈ H ∞ Nếu f = k=1 ck fk với vơ hướng {ck }∞ k=1 ∞ X k=1 |ck | = ∞ X |hf, f˜k i|2 + k=1 ∞ X |hf, f˜k i − ck |2 k=1 ∞ Nói cách khác, dãy {hf, f˜k i}∞ k=1 có l -chuẩn nhỏ tất dãy {ck }k=1 P ˜ Chứng minh Từ phương trình (2.5) ta có f = ∞ k fk với ak = hf, fk i k=1 a P ∞ ∞ GiảPsử {ck }k=1 dãy vô hướng cho f = k=1 ck fk P ∞ 2 Vì ∞ k=1 |ak | < ∞ nên ta hiển nhiên có điều phải chứng minh k=1 |ak | = ∞ ∞ Do đó, ta giả sử {ck }k=1 ∈ l Từ tính tự liên hợp S −1 , ta có *∞ + X hf, S −1 f i = ak fk , S −1 f k=1 = = ∞ X k=1 ∞ X ak hf˜k , f i ∞ ak ak = h{ak }∞ k=1 , {ak }k=1 il2 k=1 23 (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu hf, S −1 f i = *∞ X + ck fk , S −1 f k=1 = ∞ X ck hf˜k , f i k=1 = ∞ X ∞ ck ak = h{ck }∞ k=1 , {ak }k=1 il2 k=1 ∞ Do đó, {ck − ak }∞ k=1 trực giao với {ak }k=1 l Suy ∞ ∞ k{ck }∞ k=1 kl2 = k{ck − ak }k=1 + {ak }k=1 kl2 ∞ = k{ck − ak }∞ k=1 kl2 + k{ak }k=1 kl2 2.3 Cơ sở Gabor khung Gabor Định nghĩa 2.10 Một hệ Gabor G(g, a, b) dãy L2 (R) có dạng G(g, a, b) = {Mmb Tna g}m,n∈Z , g ∈ L2 (R) gọi hàm cửa sổ hệ, a, b > cố định Định nghĩa 2.11 Nếu G(g, a, b) khung L2 (R) ta gọi khung Gabor Nếu G(g, a, b) sở Riesz L2 (R) ta gọi sở Gabor Nếu G(g, a, b) khung Gabor tốn tử khung X Sf = hf, Mmb Tna giMmb Tna g m,n∈Z Một ví dụ đơn giản sở Gabor G(χ[0,1] , 1, 1) = {e2πimx χ0,1] (x − n)}m,n∈Z G(χ[0,1] , 1, 1) sở trực chuẩn L2 (R) Tuy nhiên, hàm χ[0,1] không liên tục Hơn Z sin πξ gˆ(ξ) = e−2πixξ dx = e−πiξ πξ 24 (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu gˆ giảm chậm dao động Do hàm g khơng hữu ích phân tích tín hiệu Một câu hỏi đặt liệu ta thay hàm χ[0,1] hàm liên tục để thu sở Gabor Tuy nhiên, Định lý Balian-Low sau hạn chế tính chất hàm g Định lý 2.5 (Định lý Balian-Low) Giả sử G(g, 1, 1) sở Riesz L2 (R) Khi Z ∞  Z ∞  2 |xg(x)| dx |ξˆ g (ξ)| dξ = ∞ (2.6) −∞ −∞ Định lý nói hàm g sinh sở Gabor giới hạn tốt miền thời gian tần số, ta khơng thể xây dựng hệ Gabor hữu ích sở Riesz L2 (R) Chính ta cần tính linh hoạt khung để xây dựng hệ Gabor hữu ích Với hệ Gabor G(g, a, b) ta xét hàm G a-tuần hoàn định nghĩa X X |Tna g(x)|2 |g(x − na)|2 = G(x) = n∈Z n∈Z Định lý 2.6 Giả sử g ∈ L2 (R), a, b > cố định Khi Nếu < ab ≤ supp(g) ⊆ [0, 1/b] G(g, a, b) khung L2 (R) tồn số A, B > cho X Ab ≤ |g(x − na)|2 ≤ Bb hầu khắp nơi (2.7) n∈Z Khi đó, A, B cận khung G(g, a, b) Nếu < ab < tồn hàm g có giá [0, 1/b] thỏa mãn phương trình (2.7) trơn Nếu ab = hàm g có giá [0, 1/b] thỏa mãn phương trình (2.7) hàm không liên tục Nếu ab > g có giá [0, 1/b] phương trình (2.7) không thỏa mãn G(g, a, b) không đầy đủ L2 (R) Chứng minh Giả sử supp(g) ⊆ [0, 1/b] phương trình (2.7) thỏa mãn Xét hàm f không gian trù mật Cc (R) (khơng gian hàm liên tục, có giá compact) 25 (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu(LUAN.van.THAC.si).luoc.do.gabor.da.cua.so.trong.bieu.dien.anh.va.tin.hieu Vì g ∈ L2 (R) có giá [0, 1/b] nên Tna g ∈ L2 (Ik ) với Ik = [na, na + 1/b] Do f bị chặn nên tích f.Tna g thuộc L2 (Ik ) Vì {e2πimx }m∈Z sở trực chuẩn L2 [0, 1] nên {b1/2 e2πibmx }m∈Z sở trực chuẩn L2 (Ik ) Ta có Z na+1/b Z ∞ |f (x)Tna g(x)|2 dx |f (x)g(x − na)| dx = −∞ na = kf.Tna gkL2 (Ik ) X = |hf.Tna g, b1/2 e2πibmx iL2 (Ik ) |2 m∈Z X Z na+1/b =b f (x)g(x − na)e−2πibmx dx