(LUẬN văn THẠC sĩ) bài toán dirichlet đối với phương trình elliptic tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VŨ THỊ THANH HẰNG BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VŨ THỊ THANH HẰNG BÀI TỐN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HỒNG QUỐC TOÀN Hà Nội - Năm 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị Các định nghĩa phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic Ký hiệu kiến thức bổ sung 2.1 Ký hiệu 2.2 Các không gian hàm 2.3 Một số kiến thức bổ sung Bài tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp 1.1 Định lý Lax Milgram 1.2 Bài tốn Dirichlet phương trình Laplace 1.2.1 Không gian Sobolev H10 (Ω) 1.2.2 Bài toán Dirichlet nghiệm suy rộng 1.2.3 Toán tử toán Dirichlet 1.2.4 Sự tồn nghiệm suy rộng toán Dirichlet 1.3 Bài tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp 1.3.1 Điều kiện "bức" 1.3.2 Bài tốn Dirichlet phương trình elliptic cấp 6 9 11 11 12 14 15 20 23 25 Bài tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp cao 29 2.1 Bất đẳng thức Garding tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp cao 29 2.1.1 Bất đẳng thức Garding 29 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.1.2 2.2 Bài toán Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp cao Lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder toán Dirichlet 2.2.1 Lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder 2.2.2 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào toán Dirichlet phương trình elliptic cấp 2.2.3 Áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào toán Dirichlet phương trình elliptic cấp cao 34 36 36 44 50 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh LỜI MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phần quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Mặc dù nhiều mơ hình tốn học tốn học vật lý mơ tả phương trình vi phân khơng tuyến tính, việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hàng kỷ tiếp tục đến tận Những kết việc nghiên cứu vừa góp phần phát triển lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nói chung, vừa có nhiều ứng dụng để giải vấn đề liên quan đến vật lý học mà nhằm giải nhiều vấn đề tự nhiên, kinh tế xã hội, chẳng hạn mơ hình quần thể sinh thái, mơ hình phát triển dân số, Có nhiều phương pháp khác áp dụng để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng phương pháp ứng dụng giải tích, giải tích phức, phương trình tích phân, giải tích hàm, Trong luận văn chúng tơi trình bày vài ứng dụng phương pháp giải tích hàm để nghiên cứu tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính Nội dung luận văn bao gồm: Chương 1: Trình bày định lý Lax-Milgram áp dụng định lý vào chứng minh tồn nghiệm toán Dirichlet phương trình Laplace phương trình elliptic cấp hai Chương 2: bao gồm chứng minh bất đẳng thức Garding áp dụng vào tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính cấp cao, áp dụng lý thuyết Fredholm-Riesz-Schauder vào tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính Trong q trình viết luận văn, tác giả hướng dẫn nhiệt tình PGS.TS Hồng Quốc Toàn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy tổ giải tích khoa Tốn -Cơ -Tin học giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn hạn Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp cổ vũ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục làm quen với định nghĩa phương trình đạo hàm riêng, ký hiệu kiến thức bổ sung sử dụng phần sau Các định nghĩa phương trình đạo hàm riêng, phương trình elliptic Định nghĩa 1.1 Cho k số nguyên dương, Ω tập mở Rn Một phương trình liên hệ ẩn hàm u(x1 , x2 , , xn ), biến độc lập xi đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng cho gọn viết tắt phương trình ĐHR) Nó có dạng: F (x, u(x), Du(x), , Dk u(x)) = 0, (x ∈ Ω) (1.1) k Trong F : Ω × R × Rn × Rn → R hàm cho trước u : Ω → R hàm cần tìm Cấp cao đạo hàm riêng u có mặt phương trình gọi cấp phương trình Ở (1.1) phương trình cấp k Ta nói phương trình (1.1) giải ta tìm tất hàm số u thỏa mãn (1.1) Định nghĩa 1.2 (i) Phương trình ĐHR (1.1) gọi tuyến tính có dạng: X aα (x)Dα u = f (x) |α|≤k aα (x), f (x) hàm số cho Phương trình tuyến tính gọi f ≡ (ii) Phương trình (1.1) gọi nửa tuyến tính có dạng X aα (x)Dα u + a0 (x, u, Du, , Dk−1 u) = |α|=k (iii) Phương trình (1.1) gọi tựa tuyến tính có dạng X aα (x, u, Du, , Dk−1 u)Dα u + a0 (x, u, Du, , Dk−1 u) = |α|=k (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh (iv) Phương trình (1.1) gọi phi tuyến hồn tồn phụ thuộc khơng tuyến tính vào đạo hàm cấp cao X Định nghĩa 1.3 Xét toán tử vi phân A(x, D) = aα (x)Dα , aα (x) |α|≤m n hàm có giá trị phức đo được, x ∈ R Nếu aα (x) 6= với α mà |α| = m nguyên dương m gọi bậc A Đa thức đặc trưng toán tử A X A0 (x, ξ) = aα (x)ξ α |α|=m ξ = (ξ1 , , ξn ) ξ α = ξ1α1 · ξ2α2 · · · ξnαn Đó đa thức ξ với hệ số phụ thuộc vào x Toán tử A gọi elliptic điểm x0 A0 (x0 , ξ) khác với ξ ∈ Rn \ {0} Toán tử A gọi elliptic miền elliptic điểm miền Điều kiện elliptic viết dạng: |A0 (x, ξ)| ≥ γ0 |ξ|m γ0 = const > mặt cầu đơn vị |A0 (x, ξ)| ≥ γ0 A0 hàm bậc m ξ Hằng số γ0 gọi số elliptic Định nghĩa 1.4 Giả sử Ω miền Rn Phương trình A(x, D)u = f (x), x∈Ω (1.2) gọi phương trình elliptic miền Ω A toán tử elliptic miền Ω Hàm u(x) gọi nghiệm phương trình (1.2) đẳng thức Au = f thỏa mãn hầu khắp x ∈ Ω Định lý 1.5 Nếu số chiều khơng gian Rn lớn bậc phương trình elliptic chẵn Định nghĩa 1.6 Bài tốn tìm nghiệm phương trình ĐHR (1.2) cho u(x) = g(x) với x ∈ ∂Ω gọi tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính Khi u(x) = với x ∈ ∂Ω phương trình ĐHR (1.2) gọi tốn Dirichlet phương trình elliptic tuyến tính (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh Ký hiệu kiến thức bổ sung 2.1 Ký hiệu (i) Rn không gian Euclide n chiều (ii) Ω tập mở Rn , ∂Ω biên Ω, Ω = Ω ∪ ∂Ω (iii) Ký hiệu  ∂u ∂u  Du = , , = (Dx1 u, , Dxn u), ∂x1 ∂xn ∆u toán tử Laplace, n X ∂2u ∂2u ∂2u = + · · · + ∆u = ∂x2i ∂x21 ∂x2n i=1 (iv) Ký hiệu α = (α1 , , αn ) với αi ∈ N (i = 1, 2, , n), gọi đa số bậc |α| = α1 + · · · + αn Ta có Dα u = Dxα11 Dxα22 Dxαnn với α1 + α2 + · · · + αn = |α| 2.2 Các không gian hàm (i) C k (Ω) = {u : Ω → R| u liên tục khả vi k lần} ∞ (ii) C ∞ (Ω) = {u : Ω → R| u khả vi vô hạn Ω}, C ∞ (Ω) = ∩ C k (Ω) k=0 (iii) C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω)|supp u compact Ω} (iv) C0∞ (Ω) = {u ∈ C ∞ (Ω)| supp u compact Ω} (v) Lp (Ω) = {u : Ω → R| u đo Lebesgue, ||u||Lp (Ω) < +∞} ||u||Lp (Ω) = Z 1 p |u(x)| dx , ≤ p < +∞ p Ω (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh (vi) Hk (Ω) (k = 0, 1, 2, ), ký hiệu không gian Sobolev Hk (Ω) bổ sung đủ C ∞ (Ω) theo chuẩn ||u||k = Z X 1 |D u| dx α Ω |α|≤k 2.3 Một số kiến thức bổ sung 2.3.1 Không gian Banach Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 2.1 Ta nói dãy {uk }∞ k=1 ⊂ X hội tụ đến u ∈ X lim ||uk − u|| = 0, k→∞ ký hiệu uk → u Định nghĩa 2.2 (i) Dãy {uk }∞ k=1 ⊂ X gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn N > cho ||uk − ul || < ε với k, l ≥ N (ii) X đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ (iii) Không gian Banach X khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ 2.3.2 Khơng gian Sobolev Định nghĩa 2.3 (i) Không gian W m,p (Ω) không gian bao gồm hàm u(x) ∈ Lp (Ω) cho tồn đạo hàm suy rộng cấp α, |α| ≤ m, thuộc Lp (Ω) trang bị chuẩn ||u||W m,p (Ω)  = X Z 1 p |D u(x)| dx α p 0≤|α|≤m Ω (ii) Khi p = 2, không gian W m,p (Ω) = W m,2 (Ω) ký hiệu Hm (Ω) Như Hm (Ω) = {u ∈ L2 (Ω), ∀ α : |α| ≤ m, Dα u ∈ L2 (Ω)} (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh Trong Hm (Ω) đưa vào tích vơ hướng X Z (u, v)m = Dα uDα vdx |α|≤m Ω = X (Dα u, Dα v)L2 (Ω) , với u, v ∈ Hm (Ω) |α|≤m Do ||u||2m = (u, u)m = X (Dα u, Dα u) = |α|≤m X ||Dα u||2L2 (Ω) |α|≤m (iii) Khi m = có H0 (Ω) = L2 (Ω) 2.3.3 Định lý vết Giả sử Ω bị chặn ∂Ω C Khi tồn tốn tử tuyến tính bị chặn: T : H1 (Ω) → L2 (∂Ω) cho: (i) T u = u|∂Ω u ∈ H1 (Ω) ∩ C(Ω) (ii) ||T u||L2 (Ω) ≤ c||u||H1 (Ω) với u ∈ H1 (Ω) c số Khi T u gọi vết u ∂Ω 2.3.4 Định lý nhúng n Giả sử Ω ⊂ Rn tập đóng, bị chặn có biên trơn Nếu s > + j (j ∈ N) n s s j H (Ω) ⊂ C (Ω) có nghĩa s > + j u ∈ H (Ω) u khả vi liên tục đến cấp j, u ∈ C j (Ω) 2.3.5 Bất đẳng thức Poincare Tồn γ > cho ||Du||L2 (Ω) ≥ γ · ||u||L2 (Ω) , với u ∈ C0∞ (Ω), Du =  ∂u ∂u ∂u  , , , ∂x1 ∂x2 ∂xn (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ≤ c bi · ||u||L2 ∂xi ∂xi ∂xi L2 Ω Ω Z cu dx ≤ c0 · ||u||2 Ω Suy tồn số C1 C2 cho a(u, u) ≥ γ||Du||2L2 (Ω) − C1 ||Du||L2 (Ω) · ||u||L2 (Ω) − C2 ||u||2L2 (Ω) Theo bất đẳng thức Cauchy |ab| ≤ εa2 + b , ∀ε > 4ε Ta có ||Du||L2 (Ω) · ||u||L2 (Ω) ≤ ε||Du||2L2 (Ω) + ||u||2L2 (Ω) 4ε γ , ta bất đẳng thức 2C1  γ  a(u, u) ≥ γ||Du||2L2 (Ω) − C1 ||Du||2L2 (Ω) + ||u||2L2 (Ω) − C2 ||u||2L2 (Ω) 2C1 4ε   γ 2C1 ≥ ||Du||2L2 (Ω) − + C2 ||u||2L2 (Ω) γ Đặt ε = 22 (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh Vậy tồn số C > cho a(u, u) ≥ (a(u, u)) + C||u||2L2 (Ω) ≥ γ ||Du||2L2 (Ω) − C||u||2L2 (Ω) hay γ ||u||2H1 (Ω) ∀ u ∈ V (1.18) Áp dụng hệ ?? suy toán tử A + λI đẳng cấu từ V = H10 (Ω) lên V với λ > C 1.3.1 Điều kiện "bức" Vì bi , b0i ∈ C (Ω) nên bi , b0i đạo hàm chúng bị chặn Ω Do f ∈ H1 (Ω), b ∈ H1 (Ω) ta có ∂k (bi f ) = (∂k bi )f + bi (∂k f ) Ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 1.15 Cho f, g ∈ H1 (Ω), chúng thuộc H10 (Ω) Ta có Z Z (∂k f )gdx = − (∂k g)f dx Ω Ω Chứng minh Nếu f ∈ H10 (Ω), xấp xỉ f dãy hàm ϕj ∈ C0∞ (Ω) theo chuẩn H1 (Ω) Áp dụng cơng thức tích phân phần Z Z Z Z (∂k ϕj )gdx = ϕj gdx − (∂k g)ϕj dx = − (∂k g)ϕj dx Ω Ω ∂Ω Ω Cho j → +∞, ta có đẳng thức phải chứng minh Áp dụng bổ đề 1.15, ta có Z Z Z bi (∂i u)udx = − (∂i bi )uudx − bi u∂udx Ω Ω Z ⇔ (bi u)∂udx = − bi (∂i u)udx + Ω ZΩ Z Ω Ω Z ⇔ Z bi [(∂i u)u + u∂u]dx = − Ω bi (∂i u)udx = − Ω (∂i bi )|u|2 dx Ω Z ⇒ (∂i bi )uudx Z (∂i bi )|u|2 dx Ω 23 (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh Tương tự, ta có Z b0i (∂i u)dx =− Ω Z (∂i b0i )|u|2 dx Ω Áp dụng tính elliptic, với u ∈ V = H10 (Ω), a(u, u) = Z X n Ω Z X n n X ∂u ∂u ∂u ∂u  aij bi b0i u dx + u+ dx+ ∂x ∂x ∂x ∂x i j i i i,j=1 i=1 i=1 Ω Z + c|u|2 dx Ω ≥ γ||Du||2L2 Z h n n X ∂bi X ∂b0i i − |u| dx + c− i=1 ∂xi i=1 ∂xi Ω Ký hiệu B = (b1 , b2 , , bn ), B = (b01 , b02 , , b0n ), ta nhận ước lượng Z   a(u, u) ≥ γ||Du||L2 (Ω) + c − div (B + B ) |u|2 dx ∀ u ∈ H10 (Ω) Ω Vậy tồn δ > cho c − div (B + B ) ≥ δ ∀x∈Ω (1.19) dạng song tuyến tính a(u, v) thỏa mãn điều kiện a(u, u) ≥ c0 ||u||2H1 (Ω) ∀ u ∈ H10 (Ω), c0 = min(γ, δ) Định lý 1.16 Giả thiết tồn số δ > cho c − div(B + B ) ≥ δ ∀ x ∈ Ω Khi đó, tốn tử A liên kết với dạng song tuyến tính a(u, v) đẳng cấu từ H10 (Ω) lên H−1 (Ω) 24 (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh(LUAN.van.THAC.si).bai.toan.dirichlet.doi.voi.phuong.trinh.elliptic.tuyen.tinh 1.3.2 Bài tốn Dirichlet phương trình elliptic cấp Giả sử Ω miền không bị chặn với biên ∂Ω trơn Xét tốn Dirichlet phương trình elliptic cấp 2: n X n n ∂  ∂u  X ∂u X ∂ Au = − aij + bi − (bi u) + cu = f Ω, (1.20) ∂x ∂x ∂x ∂x j i i i i,j=1 i=1 i=1