(LUẬN VĂN THẠC SĨ) Ứng dụng tích phân mờ trong xử lý thông tin Luận văn ThS Công Nghệ thông tin 1 01 10

ĐỘ ĐO LEBESGUE VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE

ĐỘ ĐO LEBESGUE

Trên đường thẳng R, các tập điểm được gán một số không đổi gọi là “độ dài”, ví dụ độ dài của đoạn ∆ = [a;b] là ׀∆׀ = b-a Nếu một tập có thể phân tách thành một số hữu hạn đoạn rời nhau ∆ 1, ∆ 2,…, ∆ n, thì độ dài của nó là ׀∆ 1 ׀ + ׀∆ 2 ׀ + … + ׀∆ n ׀ Tuy nhiên, có những tập mà trực quan không rõ ràng, như tập các điểm hữu tỉ trong đoạn [0;1], đặt ra vấn đề về việc mở rộng khái niệm độ dài cho những tập phức tạp hơn.

Trong không gian R² và R³, việc đo diện tích và thể tích của các hình phức tạp là một thách thức Chúng ta có thể đo diện tích hình chữ nhật trong mặt phẳng và thể tích hình hộp trong không gian ba chiều, nhưng cần tìm phương pháp để đo các tập hợp phức tạp hơn Để thống nhất, ta định nghĩa "đoạn trong R^k" với k = 1 là đoạn thẳng, k = 2 là hình chữ nhật, và k = 3 là hình hộp Hình chữ nhật được hiểu là tập các điểm x = (ξ₁, ξ₂) với α₁ ≤ ξᵢ ≤ βᵢ (i=1,2), còn hình hộp là tập các điểm x = (ξ₁, ξ₂, ξ₃) với αᵢ ≤ ξᵢ ≤ βᵢ (i=1,2,3) Độ đo của đoạn ∆ được ký hiệu là |∆|, với độ dài cho đoạn thẳng, diện tích cho hình chữ nhật và thể tích cho hình hộp Vấn đề là tìm lớp tập Mₖ trong Rₖ để gán cho mỗi tập A thuộc Mₖ một số m(A) (độ đo), thỏa mãn các điều kiện: 0 ≤ m(A) ≤ +∞, m(∆) = |∆| cho mọi đoạn ∆ thuộc Mₖ, và nếu A, B thuộc Mₖ và rời nhau thì m(A ∪ B) = m(A) + m(B) Peano và Jordan đã giải quyết vấn đề này.

Cho trước một tập bị chặn A trong R k , ta gọi “độ đo ngoài” của nó là số

Trong đó ∆ i là những đoạn Nếu A nằm trong đoạn ∆ 0 thì ta gọi “độ đo trong” của nó là số

Tập hợp A được gọi là đo được nếu m * (A) = m    , và giá trị chung của m * (A) và m     được ký hiệu là m(A), được gọi là độ đo của A Lớp các tập đo được theo nghĩa Peano-Jordan được ký hiệu là M k, và lớp M k này thoả mãn các điều kiện a), b) đã nêu Ngoài ra, các lớp M k còn kín đối với các phép toán hợp, giao, và trừ.

A, B  M k  A  B  M k , A  B  M k , A\B  M k Lớp M k (gồm các tập đo được theo nghĩa Peano-Jordan) đã khá rộng: có thể chứng minh rằng nó bao gồm phần lớn các tập trong hình học sơ cấp và trong giải tích cổ điển Cụ thể, nếu một hàm số ƒ không âm, giới nội trên một đoạn ∆  R k là khả tích Riemann thì tập:

Lớp M k luôn có thể đo được theo nghĩa Peano-Jordan, và điều này cũng đúng ngược lại Tuy nhiên, lớp M k không bao gồm nhiều tập hợp đơn giản, không chứa tất cả các tập mở và đóng Đặc biệt, trong trường hợp k = 1, tập hợp các điểm hữu tỉ trong đoạn [0;1] cũng không thể đo được theo nghĩa Peano-Jordan, vì độ đo ngoài của nó là 1, trong khi độ đo trong chỉ bằng 0.

Vấn đề hiện tại là mở rộng khái niệm độ đo để có thể áp dụng cho các tập hợp thường gặp Để giải quyết thách thức này, Lebesgue đã đề xuất một định nghĩa mới cho độ đo ngoài.

Đoạn ∆ i cho phép phủ lên tập A có thể vô hạn, với độ đo trong và tính đo được được định nghĩa cho các tập bị chặn và sau đó mở rộng cho cả tập không bị chặn Qua đó, có thể xây dựng lớp tập L k trong R k và độ đo μ k trên L k, thỏa mãn các điều kiện a), b) và điều kiện c ‟) Cụ thể, nếu A (i=1,2,3,… ) thuộc L k và các tập này đôi một rời nhau thì điều kiện c ‟) được đảm bảo.

Lớp L k là một σ-đại số, trong đó các tập thuộc L k được gọi là đo được theo nghĩa Lebesgue trong R k, với độ đo Lebesgue k thứ nguyên được ký hiệu là μ k L k bao hàm cả σ-đại số Borel trong R k, và đặc biệt, tập các điểm hữu tỉ trong đoạn [0;1] thuộc L k có độ đo bằng 0 Lớp L k bao gồm tất cả các tập cần thiết cho toán học hiện đại, và việc xây dựng những tập không thuộc lớp này phải dựa vào “tiên đề chọn” Độ đo Lebesgue là nền tảng cho khái niệm tích phân tổng quát, vượt trội hơn tích phân Riemann trong giải tích cổ điển, và là công cụ chính của nhiều ngành toán học hiện đại, như xác suất Do đó, trong giải tích hiện đại, độ đo Lebesgue đã thay thế hoàn toàn độ đo Peano-Jordan, cơ sở của tích phân Riemann.

1.2 ĐỘ ĐO TRÊN MỘT ĐẠI SỐ TẬP HỢP

1.2.1 Đại số tập hợp a) Một lớp tập gọi là kín đối với một phép toán nếu kết quả thực hiện phép toán ấy trên những tập của lớp bao giờ cũng cho một tập của lớp Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X,  và kín đối với mọi phép toán hữu hạn về tập (phép hợp và phép giao một số hữu hạn tập, phép trừ và phép trừ đối xứng hai tập) b) Một  -đại số (hay  -trường) là một lớp tập chứa X,  và kín đối với mọi phép toán hữu hạn hay đếm được về tập Dĩ nhiên một  -đại số cũng là một đại số

Cho X là một tập tuỳ ý, mà sau đây sẽ gọi là không gian, M là một lớp tập con của X Một hàm số μ xác định trên lớp M gọi là hàm tập hợp, hay gọn hơn là một hàm tập Hàm tập đó là cộng tính nếu:

Bằng qui lạp ta thấy rằng nếu μ là cộng tính thì nó cũng “hữu hạn cộng tính”, nghĩa là

Hàm tập μ là  -cộng tính nếu

Dĩ nhiên một hàm  -cộng tính thì là cộng tính nhưng ngược lại thì không nhất thiết

Một hàm tập μ được gọi là độ đo nếu nó xác định trên một đại số C và thỏa mãn các điều kiện sau: a) μ(A) ≥ 0 với mọi A thuộc C; b) μ(ỉ) = 0; c) μ là σ-cộng tính Điều kiện b) có thể thay thế bằng b ‟) μ ≠ +∞ trên C, tức là μ(A) < +∞ với ít nhất một A thuộc C Rõ ràng, nếu b) đúng thì b ‟) cũng đúng Ngược lại, nếu b ‟) đúng, ta có μ(A∪ỉ) = μ(A) + μ(ỉ), từ đó suy ra μ(ỉ) = 0 khi μ(A) hữu hạn, chứng tỏ rằng b ‟) dẫn đến b) Do đó, b) và b ‟) là tương đương.

1) C là một đại số và μ(A) bằng số phần tử của A (dễ dàng kiểm tra các điều kiện trên đều thoả mãn)

2) C là một đại số, x 0 là một điểm bất kỳ cho trước của X, và với mọi AC:

 Một độ đo μ gọi là hữu hạn nếu μ(X) < +∞;  -hữu hạn nếu nếu x 0   nếu x 0  

1.2.3 Các tính chất Định lý 1 Nếu μ là độ đo trên đại số C thì i) A, B  C , B  A, μ(B) ≤ μ(A) ii) A, B  C , B  A, μ(B) < + ∞ μ(A\B) = μ(A) - μ(B)

Chứng minh i) Vì B  A nên A = (A\B)  B do đó μ(A) = μ(A\B) + μ(B) ≥ μ(B); ii) Nếu μ(B) < ∞ thì từ μ(A) = μ(A\B) + μ(B) có thể suy ra

 μ(A\B) iii) Trước hết để ý rằng bất cứ các tập B i như thế nào cũng có thể chọn các  i / để có ,

 i i i i đồng thời các  i / rời nhau (tường đôi một),

 và nếu  i  C thì  i /  C Thật vậy, chỉ cần đặt

 n i i n n … ta thấy ngay các  i / có những tính chất đã nêu

Bây giờ ta chứng minh điểm iii)

Trong đó  i /  C ,  i /   i   i nên theo (i)     /      và các  i / rời nhau nên theo tính chất  -cộng tính iii)      

  1 i i ta suy ra với mọi : ,

  i i Mặt khác theo giả thiết các A i rời nhau nên  

Nếu độ đo  là -hữu hạn, thì mọi tập hợp A thuộc đại số C đều có thể phân tích thành một số đếm được các tập hợp có độ đo hữu hạn Định lý 2 khẳng định rằng nếu  là độ đo trên đại số C, thì điều này luôn đúng.

(ii)   C ,      0            \        Định lý 3 Nếu  là độ đo trên đại số C thì

(i) Như đã thấy trong chứng minh phần (i) của định lý 1, nếu ta đặt

 n i i n n thì các B i rời nhau, thuộc C và

(ii) Theo công thức De Morgan     

1 \ \ i i i i trong đó các tập  i /   1 \  i và dĩ nhiên  1 /   / 2  vậy theo phần trên

Nhưng vì     1   mà  i   1 , nên     i   và    

  Định lý 4 (đảo của định lý 3) Cho  là một hàm tập không âm, cộng tính trên đại số C và sao cho ,

 i i nó sẽ là một đại số nếu có một trong hai điều kiện sau:

Cho C là một đại số tập trong một không gian X, m là một độ đo trên C

Ta hãy tìm cách khuếch m thành một độ đo trên một  -đại số bao hàm C

Một hàm tập  * xác định trên lớp tất cả các tập con của một không gian

X được gọi là một đo đo ngoài nếu a)  * ( A )  0 với mọi x  X , b)  * (  )  0 , c)  

Khác với độ đo, trong trường hợp này chỉ cần yêu cầu "σ-dưới cộng tính" mà không cần "σ-cộng tính" (điều kiện c) Tuy nhiên, giá trị μ* được xác định cho tất cả các tập con của X.

Chú ý rằng từ c) ta suy ra c 1 ) A  B   * ( A )   * ( B ) Định lý 5 (Caratheodory) Cho  * là một độ đo ngoài trên X và L là lớp tất cả các tập con A của X sao cho

L là một  - đại số và hàm    * / L (thu hẹp của  * trên L) là một độ đo trên L Độ đo  gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài  *

Các tập A ( thoả mãn điều kiện (1) gọi là  * -đo được Chú ý rằng điều kiện (1) tương đương với

    với mọi E  X vì bất đẳng thức ngược lại luôn luôn đúng do c)

Kết quả cho thấy rằng mỗi độ đo ngoài μ* trên X tạo ra một độ đo trên σ-đại số, bao gồm tất cả các tập A thỏa mãn điều kiện (1) Để áp dụng kết quả này vào việc mở rộng một độ đo m đã cho từ một đại số lên σ-đại số, ta dựa vào mệnh đề sau: Định lý 6: Cho m là một độ đo trên một đại số C các tập con của X.

Nếu ta đặt với mỗi A  X

 thì  * là một độ đo ngoài và  * ( A )  m ( A ) với mọi A  C, đồng thời mọi tập thuộc  -đại số F (C ) đều là  * đo được

Định lý 7 khẳng định rằng độ đo  cảm sinh từ độ đo ngoài  * luôn là độ đo đủ trên -đại số L của các tập  *-đo được, và các tập có độ đo  bằng 0 trùng với các tập có độ đo ngoài  * bằng 0 Định lý 8 chỉ ra rằng với một độ đo m trên đại số C, luôn tồn tại một độ đo  trên -đại số L, trong đó L bao gồm F(C) và C.

(i)  ( A )  m ( A ) với mọi A  C ( nghĩa là  khuếch m)

(ii)  là hữu hạn (  -hữu hạn) nếu m là hữu hạn (  -hữu hạn)

(iii)  là độ đo đủ

(iv) Một tập A thuộc họ L khi và chỉ khi nó có thể biểu diễn dưới dạng

A = B \ N hoặc A = B  N trong đó trong đó B  F ( C ), N  E  F * ( C ),  * ( E )   ( E )  0 , và  * là độ đo ngoài xác định từ m theo công thức (3)

ĐỘ ĐO MỜ VÀ TÍCH PHÂN MỜ 1 ĐỘ ĐO MỜ (fuzzy measures)

ĐỊNH NGHĨA ĐỘ ĐO MỜ

Cho Ω ≠ ỉ, F  2 Ω một σ-cỏc đại số cỏc tập con của Ω Độ đo mờ là hàm tập μ xác định trên F và thoả mãn các điều kiện sau: a) μ(A)=0,    F b) μ(ỉ)=0, c)   ,   F ,             

Bộ ba (Ω, F, μ) được gọi là không gian với độ đo mờ, trong đó điều kiện c) trong định nghĩa 1 thể hiện tính đơn điệu Tính đơn điệu là một đặc điểm quan trọng, và nếu độ đo có tính cộng tính, thì đương nhiên nó cũng sẽ có tính đơn điệu.

Ban đầu Sugeno định nghĩa cho F = 2 Ω , sau đó mở rộng cho trường hợp F là  -đại số các tập con của Ω

1) Hàm tập μ trên F xác định bởi:

 1 là một độ đo mờ trên F

2) Hàm tập  trên F xác định bởi:

 1 là một độ đo mờ trên F

Cho tập Ω = {1,2} Hàm tập m trên 2 Ω xác định bởi:

Là một độ đo mờ trên 2 Ω nếu   1 , 2   , {3}   , hoặc {4}   nếu    , {1}, hoặc {2} nếu {1,2,3}  A, {2,4}  A, hoặc {3,4}  A các trường hợp còn lại

Tập Ω được định nghĩa là {a, b, c}, và F là 2^Ω, với hàm đo μ(A) = |A|^2, trong đó |A| là số phần tử của tập A Hàm μ không thỏa mãn tính cộng tính nhưng lại thỏa mãn tính đơn điệu, do đó μ được xem là độ đo mờ trên F.

Có hai mảnh đất A 1 và A 2 cạnh nhau Cả A 1 và A 2 đều có mặt tiền là 5 (m); sâu 10 (m) Ω = {A 1 , A 2 }, F = 2 Ω Hàm tập μ trên F xác định bởi:

+ Nếu bán riêng từng mảnh thì A 1 và A 2 có giá là 10 triệu(VNĐ)/m 2 Như vậy: giá tiền bán mảnh đất A 1 là μ(A 1 ) = 5 10 10 = 500 triệu giá tiền bán mảnh đất A 2 là μ(A 2 ) = 5 10 10 = 500 triệu

 μ(A 1 ) + μ(A 2 ) = 500 + 500 = 10.000 triệu + Nếu bán cả A 1 và A 2 (tạo thành một miếng) thì có gía là 13 triệu(VNĐ)/m 2

Như vậy: giá tiền khi bán cả A 1 và A 2 là giá tiền khi bán cả A 1 và A 2 là

Rõ ràng    1   2         1    2   là độ đo không cộng tính nhưng lại thỏa mãn tính đơn điệu vậy  là độ đo mờ.

MỘT VÀI VÍ DỤ QUAN TRỌNG VỀ ĐỘ ĐO MỜ

1.2.1 Hàm lòng tin (belief function) và hàm hợp lẽ (plausibility function)

Hàm lòng tin và hàm hợp lẽ là những khái niệm xuất phát từ thống kê toán học, được Dempster giới thiệu vào năm 1976, nhưng đã thực sự phát triển mạnh mẽ trong lý thuyết khả năng nhờ vào các công trình của Shafer vào cùng năm Hàm lòng tin (belief function) đóng vai trò quan trọng trong việc diễn giải và quản lý thông tin không chắc chắn.

Hàm lũng tin là hàm tập bel: X → [0;1] thỏa mãn các điều kiện sau: i) bel(ỉ)=0, bel(Ω) = 1; ii) bel(A) ≤ bel(B) với mỗi tập A, B ∈ X và A ⊆ B; iii) 0 ≤ bel(A) ≤ 1 với A ∈ X Đối với n tập A_i (i = 1…n), có công thức bel(A_1 ∪ ∪ A_n) ≥ Σ i